Equação de estado da matéria de Quarks

EQUAÇO DE ESTADO DA MATÉRIA

DE QUARKS

ORIENTADOR: RODRIGO NEGREIROS

Niterói-RJ

Equação de Estado da Matéria de Quarks

Trabalho de monograa apresentado ao

urso de graduação em Físi a

-Ba harelado, da Universidade Federal

Fluminense, omo requisito par ial à

on lusão do urso.

Aprovada emagosto de 2013.

BANCA EXAMINADORA:

Prof. Dr. Rodrigo Pi anço Negreiros

UFF

Prof. Dr. Roberto Linares

UFF

Prof. Dr. Antnio Delno

UFF

Niterói-RJ

A matéria de quarks omo um novo estado da matéria foi on ebida logo após a

ons-tatação que os quarks, onstituintes dos nu leons(protons e neutrons), estão sujeitos a

hamadaliberdadeassintóti a. Quando a matériahadrni a seen ontraemsituaçõesde

densidadee/outemperaturasextremasainteraçãoentreosquarkssetornaextremamente

fra a.

Explorandoa liberdadeassintóti a podemos tomar amatéria de quarks, emprimeira

aproximação, omo um gás fra amente interagente. Tratando o gás a temperatura nula,

utilizaremospropriedadesde um gás de Fermipara obteraexpressãoanalíti apara

pres-são edensidade de energiada matériade quarks.

A interação entre osquarks édes rita pelaCromodinâmi a Quânti a (Quantum

Ch-romodynami s eminglês, ou QCD). Embora saibamos que elaseja a teoria fundamental

quedes reveainteraçãoforte,asuanaturezanãolineareasdi uldadesqueapare emno

tratamentodamatéria omdensidadenitatornamaQCDnãomuitoadequadapara

ob-terresultadosparaequaçãodeestado,oquenoslevaare orreramodelosfenomenológi os.

Atualmenteexistemmuitosmodelos,quejuntostêmsidobemsu edidosnaexpli ação

deumgrandenúmerosdefenmenosemfísi adepartí ulas. Umdosmodelosmaisusados

é o hamadoMIT bag model, queéum modelo baseado naliberdadeassintóti a,onde a

ıbag

(sa olaemportuguês)é umaentidade fenomenológi aque forne eapressãointerna de magnitudeBparamanterosquarks onnados. Paraessemodeloapressãodosquarks

e leptons ébalan eada pelapressão externa total da

ıbag”

.

P

+ B =

X

f

P

f

(1)

Onde

f

são asdiferentes espé ies de quarks eleptons onsideradas.

Para haver estabilidade namatéria de quarks devemos in luiros efeitos daQCD. No

Mit bag model a presença da

bag

pode ser onsiderada omo um efeito de ordem zero daQCD. Efeitosde primeiraordemseriama tro ade um gluonentre os quarks, quenão

serão onsiderados neste trabalho.

Objetivo deste trabalho é obter a equação de estado da matéria de quarks em

equi-líbrio quími o e temperatura zero. Con entraremos nosso estudo da equação de estado

para diferentes valoresda onstanteB,separados emdois asos emque amassadoquark

strange é100MeV e 150MeV.Com isso esperamos obter on lusõessimples sobre as

pro-priedades da matéria de quarks, tendo em vista que a equação de estado é de grande

importân iapara sedeterminar aspropriedadesmi ro ema ros ópi asde sistemas omo

estrelas ompa tas.

No apítulo 2 iremos rever as propriedades de um gás de fermi, no apítulo 3 o

on- eito de matéria de quarks será introduzido e suas propriedades e a equação de estado

Um gás de N férmions pode ser des rito por uma função de onda antissimétri a que dá

origem a função de distribuição de Fermi-Dira

f

(ε)

,que forne e a probabilidadede que um estado de energia

ε

esteja o upado para um gás de férmions em equilíbrio térmi o temos

f(ε) =

1

e

β

(ε−µ)

_{+ 1}

(2) Onde

β

=

1

κ

B

,

κ

B

é a onstante de Boltzman e

µ

o poten ialquími o.

Umgás quânti o noestado fundamental, om temperaturanula, está ompletamente

degenerado. Para férmions em T=0, a probabilidade de um estado de energia

ε

estar o upado é dado por uma função degrau [7℄, ou seja, a o upação de apenas um fermion,

omo mostra aFigura 1.

Para T=0 então

f(ε) = 1, µ = ε

F

(3)

Figura1: Distribuiçãode Fermi-Dira .

Para análise das propriedades doestado fundamental de N férmions de spin 1/2 não

interagentes onnadoaum volume V, onsidere uma partí ulade spin1/2 que pode ser

partí ulasem interaçãoasso iada a um nível de energia

ε

édada por

−

¯h

2

2m

(∂

2

x

+ ∂

2

y

+ ∂

2

z

)ψ(~r) = εψ(~r)

(4)

Estandoogás onnado aum volumeV=

L

3

afunção de onda deveatender as

ondi-ções de ontorno de Born-VonKarma,então éobtido o vetor de onda daforma

k

x

=

2πn

x

L

, k

y

=

2πn

y

L

, k

z

=

2πn

z

L

(5)

Como a solução são ondas planas, obtemos que

ψ(~r)

é um autoestado do operador momento om autovalor

~

p

= ¯h~k

(6)

Cadaníveldeumapartí ulaéespe i adopelovetor deonda

~k

epelaprojeçãodoseu spin. Portanto para ada valor de

~k

permitido existem dois níveis asso iados, um para adadireçãodespin. Dea ordo omoprin ípiodeex lusãode Pauli, sópodemos olo ar

2 partí ulaem ada nível,um para ada estado,partindo donívelde mais baixaenergia

e preen hendo até que se tenha distribuido todos as partí ulas. A região o upada será

indistinguível de uma esfera no espaço dos momentos; essa esfera é hamada de esfera

de fermi, que representa a distribuição as partí ulas do gás quando este está no estado

fundamental. O raio da esfera é

k

F

, que está asso iado a energia de fermi

ε

F

, esta é denida omo aenergia donível mais altoo upado noestado fundamentaldo gás.

A partirda energiade fermié denida a temperatura de fermi

T

F

=

ε

F

κ

F

(7)

Umimportanteresultado,queé onsequên ia doprin ípiode ex lusãode Pauli, éque

a pressão exer idapelogás de férmionsé diferentede zero noestado fundamental.

Quando a temperatura não é zero, naaproximação partí ula independente a energia

interna U éa soma dos níveis de uma part¢ulade energia

ε(~k)

vezes o número médio de partí ulano nível

U

= 2

X

k

ε(~k)f (ε)

(8)

Ondeo fator 2denota osníveisde spin para osvalores de

~k

permitidos. Podemos es rever adensidade de energia

u

=

U

V

omo

u

=

Z

_d~k

4π

3

ε(~k)f (ε)

(9)

A partirda densidade de energia, éobtido adensidade de entropia

s

s

= −κ

B

Z

_d~k

4π

3

[f ln f + (1 − f ) ln(1 − f )]

(10) Uma vez que o número de total de N partí ula é exatamente a soma de todos os níveis

N

=

X

i

f(ε

i

)

(11)

Portanto adensidade de partí ulas

n

=

Z

_d~k

4π

3

f

(ε)

(12)

Dado o poten ialquími o

µ

=

G

N

, onde Gé a energialivre de Gibbs

G

= U − T S + P V

(13)

Uma vez que pressãoP satisfaça essa relação, obtemos

P

= −κ

B

T

Z

_d~k

4π

3

ln(1 + exp

(

−ε

k −µ

κB T

)

₎

(14) 3 Matéria de Quarks

Propriedades da matériasob ondiçõesextremas de altas densidades é de grande

impor-tân ia para uma melhor ompreenssão da hamada QCD(Quantum Chromodynami s),

poisnesta ondiçãohápossibilidadede libertarquarksdoseu estado onnadodentrode

hádrons e tranformá-los em uma nova fase ujos muitos quarks e gluons estão presentes

num estado de plasma,o quark-gluon plasma.

Embora a QCD seja uma teoria fundamental para es ala nu lear e subnu lear, o

o-nhe imentoatual daQCD aindanão émuito adequadopara obterresultados práti osno

estudo damatériade quarks, portantoserá utilizadoummodelofenomenológi obaseado

na liberdadeassintóti a onhe ido omoMIT bag model.

3.1 Propriedades da Matéria de Quarks

Como onsequên ia da liberdade assintóti a a interação entre os quarks a pequenas

dis-tân iassetorna fra a, adistân iasgrandes, omparada adistân iasentre aspartí ulas, a

interaçãoentre quarksé desprezada, análogoao o que a onte e om ainteração

oulom-biana num plasmaem equilíbrio.

Para altasdensidades ainteraçãoresultanteentre quarksdeveser suentementefra a

eamatériadequarkspodeser tomada omoprimeiraaproximação omoumgásde Fermi

Considerando a matéria de quarks omposta de quark up(u), quark down(d) e quark

strange(s), temos que oequilíbrio

β

sob interação fra aimpli a

d ↔ u

+ e + ν

(15)

s ↔ u

+ e + ν

(16)

u

+ e ↔ d + ν

(17)

u

+ e ↔ s + ν

(18)

s

+ u ↔ u + d

(19)

Ondee denota oelétron,

ν

neutrino e

ν

antineutrino.

Oequilíbrioimpli aque ospoten iasquími os das espé ies presentes namatéria

obe-de em asseguintes equações

µ

d

= µ

u

+ µ

e

(20)

µ

s

= µ

d

(21)

2

3

n

u

=

1

3

(n

d

+ n

s

) + n

e

(22)

Onde

n

u

édensidadede quarkup,

n

d

densidadedequarkdown,

n

s

densidadede quark strange e

n

e

densidade de elétrons.

Para que haja estabilidade na matéria é essen ial in luir os efeitos da interação da

QCD. Oprimeiroefeitodainteraçãoéatransferên iadeenergiado'vá uo'nafasede

des- onnamento, omparado om o vá uo hadrni o normal. Essa transferên ia de energia

porunidade de volume é des ritapela onstante

”bag”

B doMIT bag model[2℄.

No MIT bag model, assume-se que as partí ulas existem no interior da

”bag”

[4℄. É adequado onsiderar a

”bag”

omo uma entidade fenomenológi a que forne e a pressão internademagnitude Bpara manterosquarks onnados [1℄. Portanto paraeste modelo

apressãoindividual

P

i

dequarkseleptonsnointeriorda

”bag”

é ontrabalan eadaporB:

P

= −B +

X

i

P

i

(23)

A onstanteB éadi ionadaa densidadede energiadosistemadamesmamaneiraque

a pressão nointerior da

”bag”

é ontrabalan eada por B:

ε

= B +

X

i

ε

i

(24)

3.2 Equação de Estado da Matéria de Quarks

Para um simples modelo de quarks livresna

”bag”

,uma boaaproximaçãoé onsiderar a matéria de quarks omo um gás de Fermi de quarks não interagentes.

As expressões analíti aspara pressão P, densidade de energia

ε

, densidade barini a

ρ

e densidade de entropia s obtidassão

P

=

X

f

1

3

γ

f

2π

2

Z

κ∂

κ

ε

f

(κ)[n(κ, µ

f

) + n(κ, −µ

f

)]κ

2

dκ − B

(25)

ε

=

X

f

γ

f

2π

2

Z

ε

f

(κ)[n(κ, µ

f

) + n(κ, −µ

f

)]κ

2

dκ

+ B

(26)

ρ

=

X

f

1

3

γ

f

2π

2

Z

[n(κ, µ

f

) + n(κ, −µ

f

)]κ

2

dκ

(27)

s

= (∂

T

p)

V,µ

f

(28)

Onde

ε

f

éa energia de fermiporsabor

ε

f

(κ) = (m

2

f

+ κ

2

f

)

1

2

(29)

E

n(κ, µ

f

)

é a distribuição de Fermi-Dira dada pela equação (2). Os estados de po-ten ial quími o negativo representam as anti-partí ulas que para o aso estudado, T=0,

não estão presentes(

n(κ, −µ

f

)

=0 ).

A degeneres ên ia para quarksé dada por:

g

q

= N

color

.N

spin

.N

f lavor

(30)

Como hadróns são singletos de or, todas as três ores estarão presentes na matéria

de quarksigualmente. Portanto adegeneres ên ia dos quarksporsabor:

γ

f

= 2

spin

.3

color

(31)

Ofator

1

3

édevido adensidade barini a. Bárionssão estados ligadosde quarks om-postos pela ombinaçãode 3quarks, portantotemos 3quarks por bárion.

3.3 Temperatura Zero

Neste trabalhoserá analisadouma situação extremanaqual atemperaturaénula, T=0,

permitindoumaestimativasimples,em dois asos.

As equações (24),(25)e (26) para T=0 tornam-se

P

= −B +

X

f

1

4π

2

[µ

f

κ

f

(µ

2

f

−

5

2

m

2

f

) +

3

2

m

4

f

ln(

µ

f

+ κ

f

m

f

)]

(32)

ε

= B +

X

f

3

4π

2

[µ

f

κ

f

(µ

2

f

−

1

2

m

2

f

) −

1

2

m

4

f

ln(

µ

f

+ κ

f

m

f

)]

(33)

ρ

=

1

3

X

f

κ

3

_f

π

2

(34)

De a ordo om a Equação (2)e utilizandoaEquação (28) temos

µ

f

= (m

2

f

+ κ

2

f

)

1

2

.

(35)

Onde

κ

f

éomomentode fermiporsabore

f

pode representarum dos seguintes u,d,s e e.

A partirda Equação (35) podemos es rever

κ

e

= (µ

2

e

−

m

2

e

)

1

2

.

(36)

κ

u

= (µ

2

u

−

m

2

u

)

1

2

.

(37)

κ

d

= (µ

2

d

−

m

2

d

)

1

2

.

(38)

κ

s

= (µ

2

s

−

m

2

s

)

1

2

.

(39)

ρ

=

κ

3

u

3π

2

+

κ

3

_d

3π

2

+

κ

3

_s

3π

2

(40)

Utilizando a ondição de equilíbrio quími o, equações (20) e (21), neutralidade de

arga, equação (22), e as equaçções (36), (37), (38), (39) podemos al ulara pressão e a

densidade de energia,emdois asos.

Oprimeiro asoestudadoseráogásatemperaturanula omamassadoquarkstrange

igual a 100MeV. O segundo será a massa do quark strange igual a 150MeV. Em ambos

os asos a massa do quark up e down é onsiderada aproximadamente nula. Isso pode

ser justi ado pelofato de as massas dos quarks e up e down poderem ser onsideradas

desprezíveis frente ao poten ialquími o do sistema. Na tabela1 sumarizamos osvalores

up 1.5-4

down 4.1-5.8

strange 100 -150

Tabela 1: Valores usadospara a massa dos quarks.

4 Resultados

Os resultados foram obtidos numeri amente para diferentes valores da onstante

”bag”

B

1

4

, listados na tabela abaixo. Tais valores foram es olhidos pois levam a matéria de quarks absolutamente "estável"(isto é,mais estávelque a matériahadrni a).

B

1

4

=160MeV

B

1

4

=170MeV

B

1

4

=180MeV

B

1

4

=190MeV

B

1

4

=200MeV

Tabela2: Valores da onstante

”bag”

B.

4.1 A relevân ia da massa do quark strange

A densidade de quarks up, down, strange edensidade de elétrons omo função da

densi-dade barini apara

m

s

=100MeVobtida pode ser vistanaFigura4epara

m

s

=150MeV na Figura5.

Foiobservadoqueparaosdiferentesvaloresda onstanteBadensidadede quarksnão

sofremudanças, ouseja,independeda onstanteB. Esseresultadojáera esperado,poisB

é um parâmetro global, logonão interfere na população(propriedade mi ros ópi a),mas

apenas na equação de estado(propriedade ma ros ópi a).

Podemos observar que a massa do quark strange tem grande inuên ia nas

proprie-dades mi ros ópi as do sistema. O fatodo quark strange ter uma massa nita levauma

diminuiçãodos mesmosembaixas densidades(baixo poten ialquími o),poisa energiade

fermi épropor ionaladensidade de partí ulas, e omoestamos tratando ogás noestado

fundamental, em baixas densidades temos um poten ialquími o menor. A neutralidade

de arga,requerquehajaum oaumentodadensidadedos elétrondevido adiminuiçãoda

densidade dostrange, omo pode ser observado omparando asFiguras 4 e 5. Tal efeito

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n(fm

-3

)

ρ

(fm

-3

)

nx

ρ

nu

nd

ns

ne

Figura4: Densidadede quarks

n

u,d,s

edensidadedeelétrons

n

e

omofunçãodadensidade barini a

ρ

para

m

s

=100MeV.

4.2 A relevân ia da onstante "bag"

A equação de estadopara amatériaquark om valores diferentes da onstante

”bag”

B e

m

s

=100MeV, omomostraaFigura6epara

m

s

=150MeV omomostraaFigura7,tem um ara ter quase linear que permane e prati amente inalterada para diferentes valores

desta onstante.

É interessante notar que quando a massa do quark strange é tomada omo zero a

equação de estadose torna

P

=

(ε − 4B)

3

(41)

que é exatamente uma relação linear entre a pressão e adensidade de energia. Esse fato

em onjunto omoresultadoobtido,mostraqueamassadoquarkdostrangenãotemum

papel muito relevante na equação de estado. Observamos que a onstante B entretanto

tem grande inuên ia nas propriedades ma ros ópi asdosistema.

Podemosentenderarelevân iada onstanteBobservandoqueparaumadadaenergia

temos valores diferentes da pressão para diferentes valores de B, quanto menor o valor

de B maior a pressão e portanto maior a dureza da equação de estado. Isso mostra

que a onstante

”bag”

tem um papel importante na estabilidade da matéria de quarks. Paraumvalorpequenoamatériaestranhanãoseforma,obtendoapenasmatérianu lear.

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

n(fm

-3

)

ρ

(fm

-3

)

nx

ρ

nu

nd

ns

ne

Figura5: Densidadede quarks

n

u,d,s

edensidadedeelétrons

n

e

omofunçãodadensidade barini a

ρ

para

m

s

=150MeV.

5 Con lusões

Neste trabalho foramestudados diversos on eitos e propriedades damatéria de quarks,

que é um estado da matéria barini a em equilíbrio quími o e altas densidades. E que

o on eito de matériade quarks surgiudo fato de os quarksestarem sujeitos a liberdade

assintóti a, ouseja,que ainteraçãoentre eles é su ientemente fra aemregiõesde altas

densidades.

Vimos que devido as ompli ações que apare em na teoria que des reve a interação

entre os quarks (QCD) faz se ne essário re orrer a modelos fenomenológi os. Neste

es-tudo utilizamoso modelo doMIT bag model emque assumimos que as partí ulas estão

no interior da

”bag”

, e apressão dos quarks é ontrabalan eada pelapressão dabag. No MIT bag model onsideramos os quarks e leptons do sistema omo um gás de

fermifra amenteinteragente ompostoporquarksup, down estrange etambémpor

elé-trons(ne essários para neutralidade de arga e equilíbrio quími o). In luindo os efeitos

de ordem zero da QCD, representados pela pressão e densidade de energia da

”bag”

, e tratando o gás atemperaturanulaobtemosa equaçãode estado(pressão omofunção da

energia) ea omposiçãoda matéria(populaçãode partí ulas).

Fizemos umaaproximaçãoemque asmassasdos quarks up edown eram desprezíveis

omparadosaos poten iaisquími osdosistema,de maneiraque massadessesquarkstem

efeito muito pequeno na equação de estado e omposição. A massa do quark estranho

por outro lado é signi antemente maior e tem um papel importante na omposição,

seus efeitos são parti ularmente visíveis em regiões de baixa densidade (baixo poten ial

quími o), onde o orre uma redução signi ativa desses quarks e, omo onsequên ia, o

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

1000

2000

3000

4000

5000

6000

P(MeV/fm

3

)

ε

(MeV/fm

3

)

Px

ε

B

1/4

= 160

B

1/4

= 170

B

1/4

= 180

B

1/4

= 190

B

1/4

= 200

Figura 6: Equação de estado da matéria de quarks, baseado no MIT bag Model, para

diferentes valores da onstante

”bag” B

1

4

e

m

s

=100MeV.

Estudamos opapelda onstante B para aspropriedades dosistema. Observamos sua

relevân ia, exer endo um papel fundamental determinação da dureza de equação de

es-tado. No entanto notamos que a onstante B tem efeitonulona omposição do sistema

, sendo irrelevante nas propriedades mi ros ópi as, o que faz sentido já que esta é uma

propriedade global. Foivisto tambémque aequação de estado éindepende damassa do

quark strange, se mostrando prati amente linear nos asos onsiderados.

Estudos mais avançados requereriam a in lusão de efeitos mais omplexos, omo por

exemplo atro a de um glúon entre osquarks e possivelmente o estudo de modelos mais

omplexos omo ode Nambu-Jona-Lasinio.

Referên ias

[1℄ SamuelS. M. Wong, "Introdu toryNu lear Physi s", Prenti e-Hall, 1990.

[2℄ GordonBaym,"Quark matter",inStatisti alMe hani s ofQuarks andHadrons. H.

Satz, ed. NorthHolland,Amsterdam, 1981,p. 17.

[3℄ Norman K. Glendenning, "Compa t Stars: Nu lear Physi s, Parti le Physi s and

General Relativity",Springer-Verlag, New York, 2000.

[4℄ RodrigoNegreiros,Numeri alStudyofthePropertiesofCompa tStars,Dissertation,

The Claremont Graduate University and San DiegoState University, 2009.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

P(MeV/fm

3

)

ε

(MeV/fm

3

)

Px

ε

B

1/4

= 160

B

1/4

= 170

B

1/4

= 180

B

1/4

= 190

B

1/4

= 200

Figura 7: Equação de estado da matéria de quarks, baseado no MIT bag Model, para

diferentes valores da onstante

”bag” B

1

4

e

m

s

=150MeV.

[6℄ Neil W. Ash roft and N. David Mermin, "Solid State Physi s", Cengage Learning,

1976.

[7℄ SílvioRobertoAzevedoSalinas,"IntroduçãoàFísi aEstatísti a",EdUSP,SãoPaulo,

1997.

[8℄ Charles Kittel, "Introdu tionto Solid StatePhysi s", LTC, 2004.