MATRIZES ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

MATRIZES

O Excel possui uma notação especial que permite que as operações que envolvem matrizes sejam feitas rapidamente. Nesta aula, no entanto, nos focaremos no procedimento usual das operações matriciais. Assim, o preenchimento da planilha é intuitivo, desde que se saiba como as operações matriciais são feitas e como inserir fórmulas no Excel.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Se quisermos somar a matriz A com a matriz B, temos que somar os elementos correspondentes, ou seja o 1 com o 11, o 2 com o 12 e assim por diante. Como no Excel costumamos usar os endereços das células em vez de seus valores, o primeiro termo da matriz resultante da soma de A com B seria:

Cada uma das células da matriz resultante deve ser a soma de elementos correspondentes das matrizes A e B. Assim, a matriz preenchida seria:

Como são 9 células, podemos utilizar o preenchimento automático para maior eficiência. Atente-se ao fato de que na cópia automática não há arraste na diagonal, então o arraste é feito primeiro na vertical e depois na horizontal (ou primeiro na horizontal e depois na vertical). A planilha acima está com as fórmulas expostas apenas para clareza na explicação. A matriz resultante é apresentada com o resultado das somas já processadas:

MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR

Um escalar é um número real. Na multiplicação de um escalar por uma matriz, o procedimento é bastante simples: basta multiplicar o escalar por todos os elementos da matriz. O resultado é também uma matriz de mesma ordem da matriz envolvida na multiplicação.

Retomemos a primeira planilha apresentada. Se quisermos multiplicar a matriz A por 5 podemos fazer:

Nesse caso, a cópia com atualização automática pode ser utilizada, sendo necessário apenas o preenchimento da célula B9 = 5*B1. Como resultado, a matriz acima apresentará:

No entanto, e se quisermos usar o escalar como parâmetro livre? Se eu decido que a multiplicação não será mais por 5 e sim por 10 terei que fazer todo o procedimento novamente substituindo o 5 por 10? Nesses casos o melhor é usar o endereço de uma célula, em vez de um número. Considere novamente a primeira planilha apresentada nesta aula. Na célula L1 está guardado o valor de um escalar que, neste caso, vale 5. Para fazer a multiplicação desse escalar, chamado de k, pela matriz A, fazemos:

O que são aqueles “$”? Esse símbolo tem o significado de “não atualize”, ou seja, ele está dizendo que quando a célula G9 for copiada, a letra L não deve ser atualizada e a linha 1 também não deve ser atualizada. Ao copiar a célula G9 para o restante da matriz obtemos:

Repare que na célula G10, o endereço L1, que é onde fica o escalar, permaneceu L1, enquanto que o B2 foi atualizado. Se não colocarmos o “$” antes do L e antes do 1, a célula G10 ficaria L2*B2 produzindo uma resposta incorreta. Não se esqueça de colocar DOIS “$”, um ANTES da letra e outro ANTES do número.

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Dentre as operações com as matrizes, a multiplicação de uma matriz por outra é a menos intuitiva. É preciso tomar um cuidado redobrado para não executar a multiplicação da mesma maneira que se executa a adição. NUNCA faça a multiplicação de matrizes apenas multiplicando os elementos correspondentes, esse procedimento NUNCA deve ser aplicado.

A maneira correta de fazer multiplicação de matrizes é fazer a multiplicação dos elementos da linha da 1ª matriz pelos elementos correspondentes da coluna da 2ª matriz, onde os resultados devem ser somados constituindo um único item posicional na matriz resultante. O enunciado completo é meio complicado de memorizar, mas, para resumir, lembre-se sempre: Multiplicação de matrizes é sempre linha por coluna.

Como exemplo, consideremos a seguinte multiplicação:

(0 1 2 3 4 5) . ( 10 5 1 2 −1 0 ) = (0.10 + 1.1 + 2. (−1) 0.5 + 1.2 + 2.0 3.10 + 4.1 + 5. (−1) 3.5 + 4.2 + 0.5) = ( −1 2 29 23) Para executar a multiplicação acima, adotamos o seguinte procedimento: Para o elemento da primeira linha e primeira coluna da matriz resultante (cujo resultado será -1), fizemos a multiplicação da primeira linha da primeira matriz com a primeira coluna da segunda matriz. O 1º elemento da linha foi multiplicado com o 1º elemento da coluna, o 2º com o 2º e o 3º com o 3º (ou seja, NÃO se faz uma distributiva entre todos os elementos). Os resultados são então somados o que resulta em -1. O elemento da 1ª linha e 2ª coluna da matriz resultante (cujo resultado é 2) foi obtida pela multiplicação da 1ª linha da 1ª matriz com a 2ª coluna da 2ª matriz e assim por diante.

Repare que:

 As matrizes multiplicadas não precisam ter a mesma dimensão.  A 1ª matriz SEMPRE fornece a linha na multiplicação.

 A 2ª matriz SEMPRE fornece a coluna.

 O número de elementos na linha multiplicada deve ser igual ao número de elementos da coluna multiplicada.

 A matriz resultante tem o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da 2ª.

 A multiplicação das matrizes não é comutativa, ou seja, A x B não é necessariamente igual B x A.

O seguinte esquema sumariza a análise que deve ser feita para verificar se a multiplicação é possível e qual será a dimensão da matriz resultante:

Exemplos:

 A3x2 B2x1 = (AB)3x1

 C3x1 D3x1 = Impossível

 E2x3 F3x4 = (EF)2x4

 F3x4 E2x3 = Impossível (não-comutativa)

No Excel, o procedimento é basicamente o mesmo. Devemos apenas nos lembrar de que não é aconselhável usar números nas fórmulas e sim endereços de células. Como exemplo, podemos considerar a multiplicação da matriz A pela matriz B da primeira planilha apresentada na aula.

Repare que neste caso, não é apropriado utilizar a cópia com atualização. Cada célula deverá ser preenchida INDIVIDUALMENTE (na aula que vem, veremos como fazer a multiplicação de modo mais eficiente, mas por ora é desta maneira que devemos executar a multiplicação de matrizes).

EXEMPLO

Qual a fórmula a ser inserida nas céluas: a) D8

b) H7

Solução:

Primeiro vamos verificar se é possível fazer a multiplicação e, em caso afirmativo, qual a dimensão da matriz resultante. A matriz C possui 3 linhas e 2 colunas assim podemos escrever C3x2, enquanto que a matriz D é escrita como D2x3 (2 linhas e 3 colunas). Assim, fazendo esquematicamente:

Ao olhar para o esquema acima, verificamos que os dois índices internos são iguais (2), ou seja, é possível fazer a multiplicação. Se fossem diferentes, não haveria o mesmo número de elementos na linha da primeira matriz e na coluna da segunda matriz, de modo que a multiplicação não poderia ser feita. Os dois índices externos não precisam ser iguais, apenas indicam quantas linhas e quantas colunas terá a matriz resultante.

A mesma análise pode ser feita para a multiplicação D.C. Note que, embora a multiplicação também seja possível, a matriz resultante terá duas linhas e duas colunas. Torna-se óbvio aqui, que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores ALTERA o produto.

Neste exercício não são solicitadas as fórmulas para todas as células, somente para uma. Lembrando que a multiplicação de matrizes é feita de linha por coluna, como sabemos qual linha e qual coluna são multiplicadas para dar determinado elemento? Basta lembrar que a primeira matriz manda na linha e a segunda manda na coluna. Assim:

a) D8 – é a célula do elemento que fica na 2ª linha e 3ª coluna, ou seja, devemos fazer a multiplicação da 2ª linha de C (1ª matriz) pela 3ª coluna de D (2ª matriz):

Lembre-se que não é aconselhável usar os números e sim os ENDEREÇOS DAS CÉLULAS. Portanto NÃO FAÇA =10*1 + 5*(-2), pois, embora forneça o resultado correto, tal resposta torna a planilha inflexível. A resposta seria então:

D8 = B3*H2 + C3*H3

b) H7 corresponde ao elemento da 1ª linha e 2ª coluna da matriz resultante. Assim:

Note que a primeira matriz na multiplicação é a matriz D, portanto é a linha da matriz D que devemos usar na multiplicação. A resposta será:

EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM MATRIZES

Para entregar: 4 ou mais estrelas.

1. (⋆) Considere a seguinte planilha:

Determine a fórmula a ser colocada nas seguintes células: a) C9 b) G7 c) D13 d) H11 e) B15 f) I16

2. (⋆) Considere a planilha com a matriz A e os escalares m e n.

Determine a fórmula a ser colocada nas seguintes células: a) B25

b) G26 c) C29 d) F28

Para os exercícios 3 e 4 considere a planilha a seguir:

3. (⋆) Verifique se as seguintes multiplicações de matrizes são possíveis e, se são, qual a dimensão da matriz resultante.

Operação É possível? Dimensão da matriz resultante a) B.D ( )sim ( ) não

b) D.A ( )sim ( ) não c) C.D ( )sim ( ) não d) E.F ( )sim ( ) não e) F.D ( )sim ( ) não f) F.C ( )sim ( ) não g) C.E ( )sim ( ) não

4. (⋆) Considere o seguinte complemento da planilha dada anteriormente:

Determine a fórmula a ser colocada nas seguintes células, caso a operação seja possível: a) C49

b) H48 c) C53 d) F52

Para os exercícios 5 e 6 considere a planilha onde as matrizes estão designadas por letras maiúsculas e os escalares identificados por letras minúsculas:

5. (⋆⋆) Sabendo que as matrizes W, X, Y e Z são dadas pelas seguintes operações: W = (a + b). B

X = b.B – d.A Y = e.(X – W) Z = f. (Y – g..W)

Determine a fórmula da primeira célula de cada uma das matrizes:

6. (⋆⋆) Sabendo que as matrizes M e, M2 são dadas pelas seguintes operações: M1 = b.A.C + d.B.C

M2 = e.D.A + g.B

Determine a fórmula da primeira célula de cada uma das matrizes:

7. (⋆⋆) Na planilha a seguir, a tabela apresenta uma lista com os custos envolvidos na fabricação de alguns produtos.

Sabendo que na célula G97 é colocada a porcentagem sobre o preço de custo total que a fábrica pretende lucrar, preencha a matriz V com a fórmula apropriada para que sejam dados os preços de venda dos produtos mencionados na tabela.

8. (⋆⋆) A planilha a seguir foi feita por uma empresa especializada na fabricação de três produtos. A empresa é capaz de contabilizar o custo envolvido na manufatura, no transporte e na matéria-prima de cada um dos produtos, conforme a tabela “Custo por Produção”. No mês de janeiro, os quatro polos de produção fabricaram a quantidade de produtos descritas na tabela “Quantidade Fabricada”.

Com base nessas informações, responda:

a) Quanto a Matriz gastou no total com transporte? b) Quanto a Filial 3 gastou no total com matéria-prima?

c) Quanto a Filial 1 gastou no total com a manufatura de todos os produtos? d) Quais as fórmulas utilizadas nas células da tabela “Custo Total” para a obtenção

das respostas acima?

9. (⋆⋆⋆) As Transformações de Lorentz descrevem as medidas de espaço e tempo de dois observadores em sistemas de referência distintos, de acordo com a Relatividade Especial de Einstein. Considerando que um corpo se desloca na direção de x, as Transformações de Lorentz são dadas por:

( 𝑐𝑡′ 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ ) = ( 𝛾 −𝛽𝛾 0 0 −𝛽𝛾 𝛾 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( 𝑐𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 )

sendo os termos linha (‘) as coordenadas do sistema em movimento e o termo sem linha, as coordenadas do referencial em repouso. Temos ainda o termo 𝛽 =𝑣

𝑐 e:

𝛾 = 1

√1 − 𝛽2

Se uma espaçonave viaja com velocidade equivalente a 𝛽 = 0,9 até Vega, distante 𝑥 = 26 anos-luz da Terra e chegará lá quando 𝑡 = 28,9 anos de acordo com o referencial de quem fica na Terra, qual será o tempo marcado no referencial dos astronautas que viajam na espaçonave quando chegarem em Vega? (adote 𝑐 = 1 ano-luz / ano, 𝑦 = 0 e 𝑧 = 0).