APOSTILA
Matrizes e Determinantes
MATRIZ.
DEFINIÇÃO 1. É uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas. ORDEM OU DIMENSÃO.
DEFINIÇÃO 2. A ordem de uma matriz é o número de linhas e colunas.
NOTAÇÃO. Representaremos a matriz A de m linhas e n colunas, isto é, a matriz A de ordem m por n, por
[ ]
ij m nmn m
m m
n n n
n
m a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A × = ×
=
" # % # # #
" " "
3 2 1
3 33
32 31
2 23
22 21
1 13
12 11
OBSERVAÇÕES.
1.Existem outras notações para matrizes, além de colchetes, como parênteses ou duas barras.
=
×
23 22 21
13 12 11 3 2
b b b
b b b
B ou
34 33 32 31
24 23 22 21
14 13 12 11
4 3
c c c c
c c c c
c c c c
C × =
2.Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes e minúsculas para os seus elementos.
3.Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos, funções ou mesmo outras matrizes.
4.Os elementos de uma matriz de ordem n × n que estão nas posições em que i = j, pertencem a diagonal que chamamos de diagonal principal. E a outra diagonal é chamada de diagonal secundária.
=
×
33 32 31
23 22 21
13 12 11
3 3
m m m
m m m
m m m M
DIAGONAL SECUNDÁRIA DIAGONAL PRINCIPAL EXEMPLOS.
Curso:
Disciplina:Matemática Data: Modalidade Integrada Turma:
Turno:
Professor (a): Gustavo Costa
TIPOS DE MATRIZES.
1. Nula: é a matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero (aij = 0, ∀ i = 1,...,m e j = 1,...,n).
EXEMPLOS.
2. Coluna: é a matriz que possui m linhas e uma única coluna (n = 1). EXEMPLOS.
3. Linha: é a matriz que possui uma única linha e n colunas (m = 1). EXEMPLOS.
4. Quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m = n), que será chamada de matriz de ordem m.
EXEMPLOS.
4.1. Diagonal: é a matriz quadrada que possui todos os elementos da diagonal principal diferentes de
zero e os outros iguais a zero (aij ≠ 0, para i = j e aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e
j = 1,...,n). EXEMPLOS.
4.1.1. Escalar: é a matriz quadrada diagonal que tem os elementos da diagonal principal iguais e os outros iguais a zero (aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).
EXEMPLOS.
4.1.1.1. Identidade: é a matriz escalar que tem os elementos da diagonal principal iguais a um (aij = 1, para i = j e aij = 0, para i ≠ j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).
4.2. Triangular Superior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero (e aij = 0, para i > j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).
EXEMPLOS.
4.3. Triangular Inferior: é a matriz quadrada que possui todos os elementos acima da diagonal principal iguais a zero (e aij = 0, para i < j, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).
EXEMPLOS.
4.4. Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal iguais (aij = aji, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).
EXEMPLOS.
4.5. Anti-Simétrica: é a matriz quadrada que possui os seus elementos simétricos em relação à diagonal principal opostos (aij = – aji, ∀ i = 1,...,n e j = 1,...,n).
EXEMPLOS.
IGUALDADE DE MATRIZES.
DEFINIÇÃO 3. Duas matrizes
[ ]
n m ij nm a
A × = × e
[ ]
s r ij s
r b
B× = × são iguais, A = B, se elas têm a mesma ordem (o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s)), e todos os seus elementos correspondentes são iguais (aij = bij).
EXEMPLO. Determine x, y, z e t, sabendo que as matrizes A e B são iguais:
(1) A =
−4
3 3 2x z
e B =
+ +
4 3
2 1
y x
(2) A =
2 2
5
4 t
y x x
e B =
t t z
x x
OPERAÇÕES COM MATRIZES.
1. Adição: A soma de matrizes de mesma ordem ou de mesma dimensão, m × n, é ainda uma matriz de ordem m × n, cujos elementos são obtidos pela soma dos elementos correspondentes das matrizes dadas.
NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n =
[ ]
n m ija × e Bm×n =
[ ]
bij m×n. Então, Cm×n = Am×n + Bm×n⇔[ ]
[
]
n m ij ij n m
ij a b
c × = + ×
+ +
+
+ +
+
+ +
+
=
×
mn mn m
m m m
n n
n n
n m
b a b
a b a
b a b
a b a
b a b
a b a
C
"
# %
# #
" "
2 2 1 1
2 2 22
22 21 21
1 1 12
12 11 11
EXEMPLOS.
(1) Dadas as matrizes A =
5 2
4 1
, B =
−
0 5
2 3
e C =
− −
− 15 8
2 4
. Calcule D = A + B + C.
(2) Dadas as matrizes A =
− −
4 3 3 5
4
2 1 9
3 e B =
− − −
1 0 5 1
2 8
19
. Calcule C = A + B.
(3) Dadas as matrizes A =
3 11
5
Como foi definida a adição de matrizes, esta operação tem as mesmas propriedades da adição de números reais.
PROPRIEDADES. Considere as matrizes A, B e C de ordem m × n. [P1] Comutativa: A + B = B + A;
[P2] Associativa: (A + B) + C = A + (B + C);
[P3] Elemento Neutro: A + O = A, onde O é a matriz nula de ordem m × n; [P4] Elemento Simétrico: A – A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n. 2. Subtração: Se o sinal da adição for mudado por subtração tem-se a operação.
NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n =
[ ]
aij m×n e Bm×n =[ ]
bij m×n. Então, Cm×n = Am×n – Bm×n⇔[ ]
[
]
n m ij ij n m
ij a b
c × = − ×
− −
−
− −
−
− −
−
=
×
mn mn m
m m m
n n
n n n
m
b a b
a b a
b a b
a b a
b a b
a b a
C
"
# %
# #
" "
2 2 1 1
2 2 22
22 21 21
1 1 12
12 11 11
OBSERVAÇÃO. C = – D ⇔ D = – C EXEMPLOS.
(1) Dadas as matrizes A =
−
−1 4 7 1
1 8 9 11
e B =
− −
−
1 10 13 4
1 2 8 0
. Calcule C = A – B e D = B – A.
(2) Dadas as matrizes A =
4 21 10
e B =
7 6
5 22
1 3
. Calcule C = A – B e D = B – A.
(3) Dadas as matrizes A =
− −
2
4 5
1 2 1
2 10
e B =
− −
−
2
15 5
11 2
3
8 5 3
OBSERVAÇÃO. Usualmente, chamaremos um número real de escalar.
3. Multiplicação de um escalar por uma matriz: O produto de um escalar por uma matriz de ordem m × n, resulta em uma outra nova matriz também de ordem m × n, cujos elementos é o produto do escalar por cada elemento da matriz dada.
NOTAÇÃO. Considere o escalar k e a matriz Am×n =
[ ]
aij m×n. Então, Bm×n = k ⋅ Am×n⇔[ ]
bij m×n =[
k⋅aij]
m×nBm×n=
mn m
m
n n
ka ka
ka
ka ka
ka
ka ka
ka
" # % # #
" "
2 1
2 22
21
1 12
11
EXEMPLOS.
(1) Dados o escalar k = 3 e a matriz A =
−1 4
3 0
1 2
. Calcule B = k ⋅ A.
(2) Dados o escalar k = 2 1
e a matriz A =
−8 4 1
5 2 0
. Calcule B = k ⋅ A.
(3) Dados o escalar k = – 5 e a matriz A =
− − −
12 10 3
5
5 2 0 2
3 25
4 1
. Calcule B = k ⋅ A.
PROPRIEDADES. Considere as matrizes A e B de mesma ordem, m × n e os escalares k1 e k2. [P1] k1 ⋅ (k2 ⋅ A) = (k1 ⋅ k2) ⋅ A;
[P2] k1 ⋅ (A + B) = k1 ⋅ A + k1 ⋅ B; [P3] (k1 + k2) ⋅ A = k1 ⋅ A + k2 ⋅ A;
[P4] 0 ⋅ A = O, onde O é a matriz nula de ordem m × n; [P5] 1 ⋅ A = A;
4. Multiplicação entre matrizes:
OBSERVAÇÃO PRELIMINAR. O símbolo de somatório (a notação sigma
∑
): o uso do símbolo de somatório ajuda não somente na designação das localizações dos parâmetros e variáveis, mas também fornece um modo fácil e econômico de indicar somas de termos que surgirão no processo de multiplicação entre matrizes.EXEMPLOS. (1)
∑
= 4
0
i i
x = x0 + x1 + x2 + x3 + x4 [Generalizando:
∑
=
n i
i x
1
= x0 + x1 + x2 + x3 + ... + xn – 2 + xn – 1 + xn]
(2)
∑
= 6
3
j j
ax = a ⋅ x3 + a ⋅ x4 + a ⋅ x5 + a ⋅ x6 = a ⋅ (x3 + x4 + x5 + x6) = a ⋅
∑
= 6
3
j j
x
4.1O produto matricial A ⋅ B só é definido se o número de colunas da primeira matriz, A, for igual ao número de linhas da segunda matriz, B.
4.2A matriz resultante do produto da matriz de ordem m × n, Am×n, por uma matriz de ordem n × p,
Bn×p, é uma nova matriz de ordem m × p, Cm×p. NOTAÇÃO. Considere as matrizes Am×n =
[ ]
n m ij
a × e Bn×p =
[ ]
p n jk
b × . Então, Cm×p = Am×n ⋅ Bn×p =
[ ]
cik m×p4.3O elemento cik da matriz resultante C é obtido, somando o produto dos elementos da i-ésima linha
da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz. NOTAÇÃO. cik = ai1 ⋅ b1k + ai2 ⋅ b2k + ai3 ⋅ b3k + … + ain ⋅ bnk =
∑
=
⋅ n j
jk ij b
a 1
EXEMPLOS.
(1) Dadas as matrizes A =
−1 1 2
3 2 1
e B =
−
4 2 1
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A.
(2) Dadas as matrizes A =
−1 0
1 0
e B =
−
− 3 2
7 4
(3) Dadas as matrizes A =
1 5
e B = −
5 1
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A.
(4) Dada a matriz A =
5 4 5 2
5 2 5 1
. Calcule A2.
PROPRIEDADES. Considere as matrizes A de ordem m × n, B de ordem, n × p, C de ordem p × q. [P1] Associativa: (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C);
[P2] Distributiva à direita em relação à adição: (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C; [P3] Distributiva à esquerda em relação à adição: A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C; [P4] Elemento Neutro: A ⋅ In = A, onde In é a matriz identidade de ordem n × n;
Im ⋅ A = A, onde Im é a matriz identidade de ordem m × m;
[P5] Elemento Nulo: A ⋅ O1 = O, onde O1 é a matriz nula de ordem n × p; O2 ⋅ A = O, onde O2 é a matriz nula de ordem l × m; [P6] k ⋅ (A ⋅ B) = (k ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ (k ⋅ B), onde k é um escalar.
OBSERVAÇÃO. Em geral, a multiplicação entre matrizes não é comutativa, isto é, A ⋅ B nem sempre é igual a B ⋅ A.
EXEMPLOS.
(1) Dadas as matrizes A =
− −
3 4
1 1
e B =
−
1 2
0 6
OBSERVAÇÃO. Pelo exemplo anterior temos que B ⋅ A = O, sem que A = O ou B = O, com é verificado para o produto entre números reais, isto é, x ⋅ y = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0.
(2) Dadas as matrizes A =
1 0
2 1
e B = 0 1
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A.
(3) Dadas as matrizes A =
1 2
2 1
e B =
2 1
1 2
. Calcule C = A ⋅ B e D = B ⋅ A.
MATRIZES TRANSPOSTAS.
DEFINIÇÃO 4. Dada uma matriz
[ ]
n m ij nm a
A × = × , pode-se obter uma outra matriz cujas linhas são as colunas da matriz A dada, chamada matriz transposta de A.
NOTAÇÃO. Dada a matriz
[ ]
n m ij nm a
A × = × , a sua transposta é a matriz
[ ]
m n ji tm
n a
A× = ×
Am×n =
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
" # % # #
" "
2 1
2 22
21
1 12
11
⇒
=
×
mn n
n
m m t
m n
a a
a
a a
a
a a
a
A
" " % # #
" "
2 1
2 22
12
1 21
11
EXEMPLOS.
(1) Dada a matriz A =
3 0
1 2
, qual é a sua transposta?
(2) Dada a matriz A =
−
−
5 6 9
3 2 1
PROPRIEDADES. Considere as matrizes A de ordem m × n e B de ordem, n × p. [P1] Toda matriz simétrica é igual à sua transposta.
[P2] A transposta da transposta de uma matriz A é a própria matriz A. Em símbolos,
( )
A A t t =. [P3] A transposta da soma é a soma das transpostas. Em símbolos, (A + B)t = At + Bt.
[P4] O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica. [P5] (k ⋅ A)t = k ⋅ At, onde k é um escalar.
[P6] (A ⋅ B)t = Bt ⋅ At.
EXERCÍCIO.
(1) Dada a matriz simétrica A =
−
−
8 0 2
0 1 5
2 5 3
, qual a sua transposta?
D
ETERMINANTEO determinante de uma matriz A só é definido para matrizes quadradas.
NOTAÇÃO. det A = det [aij] = A, onde as barras não indica o valor absoluto de A ou o módulo de A.
DEFINIÇÃO 5. É um escalar associado a esta matriz, que é obtido dos elementos desta matriz, mediante operações da seguinte forma:
1.se A é uma matriz de ordem 1, então det A é o único de A, isto é, A = [a11] ⇒ det A = a11. EXEMPLOS.
2. se A é uma matriz de ordem 2, então det A é calculada pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária, isto é,
A =
22 21
12 11
a a
a a
⇒ det A = a11 a22 – a12 a21. EXEMPLOS.
3. se A é uma matriz de ordem 3, A =
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
, então det A é calculada por
REGRA PRÁTICA: Regra de Sarrus
1.Repita as duas colunas (ou linhas) ao lado (ou abaixo) da matriz.
2.Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando os elementos da diagonal principal e os elementos das suas paralelas que têm três elementos.
3.Os termos precedidos pelo sinal “–” são obtidos multiplicando os elementos da diagonal secundária e os elementos das suas paralelas que têm três elementos.
32 31
22 21
12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a
a a
a a
a a a
a a a
a a a
ou
23 22 21
13 12 11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
EXEMPLOS. Dadas as matrizes abaixo calcule o seu determinante.
(1) A =
− −
3 1 3
4 2 0
3 4 1
(2) B =
− −
2 3 3
0 2 2
2 3 1
(3) I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
PROPRIEDADES. Considere uma matriz A de ordem n. [P1] det A = det At
[P2] Se a matriz A tem uma linha ou uma coluna qualquer nula, então det A = 0.
EXEMPLO. Dada a matriz A =
−
−
7 4 0
5 6 1
3 2 1
, se for multiplicado 2 na 3ª linha é obtido a matriz
B =
−
−
14 8 0
5 6 1
3 2 1
. Calcule det A e det B.
[P4] Se duas linhas forem trocadas da matriz A, então o determinante desta nova matriz tem sinal oposto ao de A.
[P5] Se a matriz A tiver linhas ou colunas iguais, então det A = 0.
[P6] Se a matriz A tiver linhas ou colunas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det A = 0.
EXEMPLO. Dadas as matrizes A =
1 6 3
3 4 2
0 2 1
e B =
−
− −
1 2 1
2 3 0
6 9 0
, calcule det A e det B.
[P7] Se a matriz A for uma matriz diagonal, triangular superior ou triangular inferior, então o determinante destas matrizes é calculado pelo produto dos elementos da diagonal principal.
[P8] Teorema de Binet: det (A ⋅ B) = det A ⋅ det B.
[P9] Se a matriz A tiver uma linha ou uma coluna que é combinação linear das outras linhas ou colunas, então det A = 0.
EXEMPLO. Dadas as matrizes A =
− 9 4 5
3 1 4
5 3 2
, onde C3 = C1 + C2, e B =
23 12 7
5 2 1
4 3 2
, onde
L3 = 2L1 + 3L2. Calcule det A e det B.
[P10] Em geral, det (A + B) ≠ det A + det B.
EXEMPLOS. Dadas as matrizes abaixo, calcule seus determinantes e verifique a propriedade P10.
(1) A =
−
4 2
3 1
e B =
−
5 8
0 6
(2) A =
0 3
4 0
e B =
−1 0
DESENVOLVIMENTO DE LAPLACE. [Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês] Observe que o determinante da matriz A3×3 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes de ordem 2×2.
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33
A = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
A = a11 (a22 a33 – a23 a32) – a12 (a21 a33 – a23 a31) + a13 (a21 a32 – a22 a31)
32 31
22 21 13 33 31
23 21 12 33 32
23 22 11
a a
a a a a a
a a a a a
a a a
A = − +
13 13 12 12 11
11 A a A a A
a
A = − +
Se ∆ij = (–1)i+j Aij , então A =a11∆11 +a12∆12 +a13∆13, onde Aij é o determinante da submatriz
obtida retirando a linha i e a coluna j da matriz inicial.
DEFINIÇÃO 6. Chama-se cofator ou complemento algébrico do elemento aij o número ∆ij .
O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, onde n ≥ 2, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n – 1. E consiste em somar os produtos dos elementos de uma linha qualquer ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores, isto é,
(n ) i(n ) i(n ) i(n ) in in i
i i i i
i n
m a ai a a a a
A × = 1∆1 + 12∆ 2 + 3∆ 3 +"+ −2 ∆ −2 + −1∆ −1 + ∆
( )
∑
∑
=
+
=
× = ∆ = −
n j
ij j i ij n
j
ij ij n
m a a A
A
1 1
1 ,
onde Aij é o determinante da submatriz obtida retirando a linha i e a coluna j da matriz inicial. EXEMPLOS.
(1) Dada a matriz A =
2 3 3
5 1 2
4 3 4
, calcule A1j , onde j = 1,...,3, e conclua qual o valor de A.
(2) Dada a matriz B =
− −
− −
2 2 2
1 1 2
3 2 1
(3) Calcule
2 1 2
1 1 2
3 2 1
− −
− − =
A
(4) Calcule
1 3 5 2
0 3 2 1
0 0 2 4
4 3 2 1
− −
− −
=
B .
(5) Calcule
3 1 2 0
1 0 3 2
2 0 1 3
0 2 3 1 =
C .
OBSERVAÇÃO. Quanto mais zeros houver em uma linha ou coluna, mais fácil será o cálculo do determinante se for usado esta linha ou coluna.
MATRIZ DOS COFATORES.
DEFINIÇÃO 7. A matriz formada pelos cofatores de cada elemento de uma matriz quadrada A, de ordem n, é chamada de matriz dos cofatores.
NOTAÇÃO.
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
=
nn n
n n
n n n
A
" # % # # #
" " "
3 2 1
3 33
32 31
2 23
22 21
1 13
12 11
MATRIZ ADJUNTA.
DEFINIÇÃO 8. Dada a matriz quadrada A, de ordem n, chama-se matriz adjunta de A à matriz transposta da matriz dos cofatores de A.
NOTAÇÃO. adj A = t A
EXEMPLO. Verifique que a matriz A =
−
5 6 1
4 1 3
0 1 2
satisfaz a igualdade A⋅At =
(
detA)
⋅I, onde I é amatriz identidade de ordem 3.
MATRIZES INVERSÍVEIS.
DEFINIÇÃO 9. Dada a matriz A quadrada de ordem n. Diz-se que A é matriz inversível se existir uma matriz A–1, única, que obedece as seguintes relações: A ⋅ A–1 = In e A–1 ⋅ A = In, onde In é a matriz
identidade de ordem n.
NOTAÇÃO. A matriz inversa de A é a matriz A–1, de ordem n.
DEFINIÇÃO 13. Se a matriz quadrada A possui uma inversa, A–1, diz-se que A é uma matriz não-singular. Caso contrário, A é dita matriz singular.
EXEMPLOS. (1) A =
7 2
3 1
é inversível e A–1 =
−
− 1 2
3 7
, pois:
A ⋅ A–1 =
=
+ − −
+ − − =
−
− ⋅
1 0
0 1 7 6 14 14
3 3 6 7 1
2 3 7 7
2 3 1
= I2
A–1⋅ A =
=
+ − + −
− −
= ⋅
−
−
1 0
0 1 7 6 2 2
21 21 6 7 7
2 3 1 1 2
3 7
= I2
(2) A matriz A =
8 4
2 1
é singular, pois é impossível determinar a, b, c, e d que satisfaça a relação
A ⋅ A–1 = I2, onde A–1 =
d c
b a
.
PROPRIEDADES. Considere as matrizes quadradas de ordem n, A e B. [P1]
( )
A = A− −1 1
;
[P2]
(
)
1 11 − −
− = ⋅
⋅B B A
A ;
[P3]
( ) ( )
t tA A −1 = −1 ;
[P5] det A–1 = A det
1 ; [P6] A–1 =
A det
1 ⋅
(adj A)
EXEMPLOS.
(1) Dada a matriz A–1 =
−
− 1 2
3 7
, determine A, sabendo que A =
( )
A−1 −1.(2) Dadas as matrizes A =
7 2
3 1
e B =
2 0
1 3
, determine (A ⋅ B)–1, B–1 ⋅ A–1 e verifique a igualdade
(
⋅)
−1 = −1⋅ −1A B B
A .
(3) Dada a matriz A =
−
2 5
1 2 3
, verifique a igualdade
( ) ( )
At −1 = A−1 t.(4) Dada a matriz A =
− −
2 3 2 5
2 7 2 11
, determine det A.
(5) Dada a matriz A =
2 1 0
4 1 2
3 5 1
L
ISTA DEE
XERCÍCIOS1. Considere as matrizes
( )
2
2x
ij
a
A= , tal que ≠ = + = j i j i j i aij , 0 ,
e
( )
2
2x
ij
b
B= , tal que bij =2i−3j. Determine A + B.
2. Determine x · y para que se tenha
− + = + − 4 3 1 1 4 18 2 1 x y y x y x .
3. Sabendo que A = (aij)2 x 3 =
1, se , se
i j
i j i j
=
+ ≠
e B = (bij)3 x 3 =
0, se
2 , se , se
i j
i j i j
j i j
=
+ >
<
, determine (A ⋅ B)t.
4. Que tipo de matriz é a matriz C, sabendo que A = (aij)3 x 3, onde aij =
≠ − = j i , i j j i , se se 0
, B = (bij)3 x 3,
onde bij =
> + = < − − j i , j i j i , i j i , j i se se se
e C = A – B?
5. Considere as seguintes matrizes: − = 4 3 2 1
A ,
− = 7 6 0 5
B ,
− − = 5 6 2 4 3 1
C ,
= 4 3 2 1
D e
= 11 6 4 5 E .
(a) Determine 5 ⋅ A – 2 ⋅ B e 2 ⋅ A + 3 ⋅ B. (b) Determine A2 = A ⋅ A e A ⋅ C.
(c) Mostre que as matrizes D e E comutam e A e B não comutam.
6. Determine, se possível, x∈ℜ para que a matriz
+ − 0 1 4 0 1 2 0 3 2 x x x x x seja:
(a) Simétrica (b) Anti-simétrica
7. Dada a matriz
= 6 3 2 1
A , determine uma matriz
( )
3
2x
ij
b
B= , com elementos distintos, tal que A ⋅ B = O, onde O é matriz nula de dimensão 2 × 3.
8. Calcule o determinante das matrizes abaixo: (a)
− 2 4 1 3
(b)
y y x x cos sen sen cos
(c)
− y y x x cos sen cos sen
(d)
(g) 3 1 2 0 1 0 3 2 2 0 1 3 0 2 3 1 (h) 0 1 0 0 0 1 0 1 0 a b b a a b a (i) d c b a 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 5 4 3 2 1
9. Determine x nas equações abaixo:
(a) 11
1 3 5 4 2 2 = − + − x x x x
(b) 0
1 1 1 1 1 1 = − − x x x
10.Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem. Determine X sabendo-se que:
(a) A ⋅ X ⋅ B = C (b) A ⋅ ( B + X) = A (c) A ⋅ C ⋅ X ⋅ B = C (d)
(
) (
−1)
−1⋅ = ⋅ ⋅
⋅B A X C C
A (e) A⋅Bt⋅X⋅B−1= At
11.Dada a matriz ∈ℜ
−
= θ θ θ
θ θ , 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
M , calcule M ⋅ Mt e conclua que Mt =M−1.
12.Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
(a)
= 7 2 3 1 A (b) − − = 1 4 0 2 1 4 1 5 2 B (c) − − − = 2 1 0 4 2 3 2 1 1 C
13.Verifique se as seguintes sentenças são verdadeiras ou falsas.
(A) Se duas linhas (colunas) de A são trocadas, para se tornar a matriz B, então: det (B) = –det (A). (B) Se AT é a transposta da matriz A, então det (AT) = det (A).
(C) Se os elementos de uma linha (ou coluna) de A são multiplicadas por uma constante c, o valor do determinante da nova matriz é c ⋅ det (A).
(D) Se qualquer linha (ou coluna) de A é um múltiplo de qualquer outra linha (ou coluna) de A, então o determinante da matriz A é nulo.
(E) A matriz transposta de uma matriz simétrica é a própria matriz. (F) A matriz transposta de uma matriz linha é uma matriz linha.
(G) A matriz transposta da matriz transposta de uma matriz A, é a matriz transposta da matriz A. (H) A soma de uma matriz A, de ordem 3 × 1, com uma matriz B, de ordem 1 × 3, é uma matriz de
ordem 3 × 3.
(I) O produto de uma matriz A, de ordem m × n, por uma matriz B, de ordem n × p, sendo m, n e p números inteiros positivos quaisquer, é tal que AB = BA.
(J) Se A e B são matrizes de ordem 5 × 6 e 6 × 7 respectivamente, então A ⋅ B é uma matriz 5 × 7 e não existe B ⋅ A.
(K) Se A e B são matrizes de ordem 3 × 5 e 5 × 3 respectivamente, então A ⋅ B é uma matriz 3 × 3 e B ⋅ A é uma matriz de ordem 5 × 3.
(L) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3, então A ⋅ B e B ⋅ A também são matrizes quadradas de ordem 3.
G
ABARITO1.
−
2 1
4 1
2. 10
3.
(
)
= ⋅
12 12
46 34
40 43 t
B
A 4.
− − −
− −
− =
3 6 6
6 2 4
6 4 1
C é uma matriz anti-simétrica
5. (a) 5 ⋅ A – 2 ⋅ B = 34 27
10 5
− −
e 2 ⋅ A + 3 ⋅ B =
−12 13
4 17
(b) A2 =
22 9
6 7
−
−
e A ⋅ C =
− −
− 32 33 5
6 9 5
6. (a) x=0 (b) x=−2
7.
− − − =
3 2 1
6 4 2
B . Existem outras.
8. (a) 10 (b) cos
(
x+y)
(c) sen x(
+y)
(d) 1 (e) 49 (f) –6
(g) 48 (h) a2 + b2 (i) abcd
9. (a) x=−1 ou x=12 (b) x=0 ou x=1
10. (a) X =A−1.C.B−1 (b) X =I−B (c) X =
(
B.C−1.A.C)
−1 (d) X =B (e) X =( )
Bt −1.A−1.At.B11. M ⋅Mt = I ⇒Mt =M−1. M é chamada de matriz ortogonal.
12. (a)
−
− =
−
1 2
3 7
1
A (b)
−
−
− =
−
27 11 27 4 27 8
27 4 27 1 27 2
6 1 6
1 6 1
1 B
(c) C não é inversível.
