EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 1 2 quadrimestre 2011

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EN2607 – Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares

Lista de Exercícios Suplementares 1

2° quadrimestre 2011

Figura 1 – Convolução (LATHI, 1998).

1. (201121N) (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 79) O pulso trapezoidal x t

( )

da figura a seguir é aplicado a um diferenciador, definido por:

( )

d

( )

y t x t dt = (1) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t y (t )

(a) Determine e esboce a saída resultante y t

( )

do diferenciador. (b) Determine a energia total de y t

( )

.

2

Resposta: (a)

y t

( )

=

u t

(

+

5)

−

u t

(

+

4)

−

u t

(

−

5)

+

u t

(

−

4)

; (b) 2.

2. (201121N) (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010, p. 39) Aprendemos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:

(a) Sem memória (b) Invariante no tempo (c) Linear

(d) Causal (e) Estável

Determine quais dessas propriedades são válidas e quais não são para o sistema de tempo con-tínuo a seguir. Justifique suas respostas. Como sempre, y t

( )

representa a saída do sistema e

( )

x t representa a entrada.

( )

cos 3

( ) ( )

y t =  t _x t (2)

Resposta: (a) sem memória; (b) variante no tempo; (c) linear; (d) causal; (e) estável.

3. (201121N) (HSU, 2004, p. 107) O sistema mostrado na figura a seguir é formado pela conexão de dois sistemas em paralelo. As respostas ao impulso dos sistemas são dadas por

( )

2

( )

1 t

h t =e− u t e _h2

( )

_{t =}2_{e u t}−t

( )

_.

(a) Encontre a resposta ao impulso h t

( )

do sistema total; (b) O sistema total é estável?

Resposta: (a)

h t

( )

=

(

e

−2t

+

2

e

−t

)

u t

( )

; (b) estável.

4. (201121N) (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010, p. 149) Um sinal periódico de tempo contí-nuo x t

( )

tem valor real e período fundamental T =8. Os coeficientes diferentes de zero da série de Fourier de x t

( )

são

*

1 1 2, 3 3 4

a =a₋ = a =a₋ = j (3)

3

( )

(

)

0 cos k k k k x t A ωt φ ∞ = =

∑

+ . (4)

Resposta:

cos

8 cos

3

4

4

(

2

)

4

x t

_



_



π

t

_

_







+

_



_



π

t

+

π







_

_



=







.

5. (201121N) (LATHI, 2007, p. 593) Para o sinal periódico da figura a seguir, obtenha os coeficientes da série de Fourier e trace o espectro correspondente.

Resposta:

1

,

0

5

sin

5

,

0

k

a

k

k

k

k

π

π



₌





_

_

= 

_

_

_

_



_



_{ }





≠



.

6. (201121D) (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 79) O pulso trapezoidal x t

( )

mostrado na figura a seguir é definido por:

( )

5 , 4 5 1, 4 4 5, 5 4 0, caso contrário t t t x t t t  − ≤ ≤   _{− ≤ ≤}  =  +_ − ≤ ≤ −  (5)

Determine a energia total de x t

( )

.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t y (t ) Resposta:

26

3

.

4

7. (201121D) (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010, p. 39) Aprendemos diversas propriedades gerais dos sistemas. De modo particular, um sistema pode ou não ser:

(a) Sem memória (b) Invariante no tempo (c) Linear

(d) Causal (e) Estável

Determine quais dessas propriedades são válidas e quais não são para o sistema de tempo con-tínuo a seguir. Justifique suas respostas. Como sempre, y t

( )

representa a saída do sistema e

( )

x t representa a entrada.

( )

(

2

)

(

2

)

y t =x t − +x −t (6)

Resposta: (a) com memória; (b) variante no tempo; (c) linear; (d) não causal; (e) estável.

8. (201121D) (HSU, 2004, p. 76) Calcule e esboce y t

( )

=x t

( )

∗h t

( )

, em que x t

( )

e h t

( )

estão mostrados na figura a seguir.

Resposta:

, 0

2

2, 2

3

( )

5

, 3

5

0, caso contrário

t

t

t

y t

t

t



_<





_<



= 

_{ −}

_<





≤

≤

≤

.

9. (201121D) (OPPENHEIM; WILLSKY, 2010, p. 88) Usando os blocos básicos vistos em aula, esboce representações em diagrama de blocos para os sistemas LIT causais descritos pelas seguintes equações diferenciais:

(a)

( )

1

( )

4

( )

2 dy t y t x t dt    = − _{  } +   (b) dy t

( )

3y t

( )

x t

( )

dt + =

5

10.(201121D) (LATHI, 2007, p. 593) Para o sinal periódico da figura a seguir, obtenha os coeficientes da série de Fourier e trace o espectro correspondente.

Dica: _{u e du}n au 1_{u e}n au n _un 1_{e du}au a a − = −

∫

∫

. Resposta:

1

,

0

1

,

0

2

2

k

k

j

k

k

a

π



₌



= 



_≠



.

11.(201021N) (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 79) O pulso de cosseno elevado x t

( )

mostrado na figura a seguir é definido como:

( )

12 cos

( )

1 , 0, caso contrário t t x t π π ω ω ω   ₊  _{− ≤ ≤}    =    ₍₇₎

Determine a energia total de x t

( )

.

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t x (t ) -ππππ/ωωωω ππππ/ωωωω Resposta: 3 4 E π ω ∞ = .

12.(201021N) (LATHI, 2007, p. 142) Um sistema é dado por:

( )

d

(

1

)

y t x t

dt

= − . (8)

(a) O sistema é estável BIBO? [Dica: Considere a entrada do sistema x t

( )

como uma onda quadrada].

6 (b) O sistema é linear? Justifique sua resposta.

(c) O sistema é sem memória? Justifique sua resposta. (d) O sistema é causal? Justifique sua resposta.

(e) O sistema é invariante no tempo? Justifique sua resposta.

Respostas: (a) Não; (b) Sim; (c) Não; (d) Sim; (e) Sim.

13.(201021N) (OPPENHEIM et al., 1997, p. 139) Seja:

( )

(

₃

)

(

_{5 e}

)

( )

3t

( )

x t =u t − −u t − h t =e− u t

(9) (a) Calcule e esboce y t

( )

= x t

( ) ( )

∗h t .

(b) Calcule g t

( )

d x t

( )

h t

( )

dt  _  =_ _∗  .

(c) Como g t

( )

está relacionada com y t

( )

?

Respostas: (a)

( )

(

)

(

)

3 9 3 15 9 0, 3 1 1 , 3 5 3 1 , 5 3 t t t y t e t e e e t − + −  _≤   =_ − < ≤   − >  ; (b) g t

( )

=e−3(t−3)u t

(

−3

)

−e−3(t−5)u t

(

−5

)

; (c)

( )

( )

dy t g t dt = .

14.(201021N) (HSU, 2004, p. 227) Encontre os coeficientes espectrais a e faça um gráfico _k

de a_k para o sinal periódico x t

( )

mostrado na figura a seguir para 0

4 T d = . 0 d T 2T -T t x(t) A

7 Resposta: 8 , 0 8 sin , 0 8 k _jk A k a A k e k k π π π −  ₌  = _{  }      ≠  _{ }     .

15.(201021N) (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 265) O sistema mecânico mostrado na figura a seguir tem a força aplicada x t

( )

como sua entrada e a posição y t

( )

como sua saída. A relação entre x t

( )

e y t

( )

é regida pela equação diferencial

( )

( )

( )

( )

2 2 d d m y t f y t ky t x t dt dt + + = ₍₁₀₎

(a) Encontre a função de sistema H s

( )

deste sistema;

(b) Encontre a resposta em frequência H jω

( )

deste sistema;

(c) Para qual valor de frequência w o módulo da resposta em frequência atinge seu máximo? _c

Resposta: (a)

( )

2 1 H s ms fs k = + + ; (b)

( )

(

2

)

1 H j m k jf ω ω ω = − + + ; (c) c k m ω =

16.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 57) Determine os valores de P_∞ e E_∞ para cada um dos seguintes sinais: (a) x₁

( )

t =e−2tu t

( )

(b)

( )

2 4 2 j t x t e π  _  +        = (c) x₃

( )

t = cos

( )

t Respostas: no livro.

17.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 57) Seja x t

( )

um sinal com x t

( )

= 0 para t < . Para 3

cada sinal dado a seguir, determine os valores de t para os quais se garante que ele é nulo: (a) x

(

1−t

)

(b) x

(

1−t

)

+x

(

2−t

)

(c) x

(

1−t x

) (

2−t

)

(d) x

( )

3t

8 (e) 3 t x  _{ }   Respostas: no livro.

18.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 57) Expresse a parte real de cada um dos seguintes sinais na forma _Ae−atcos

(

_ωt +_φ

)

_{, em que A , a , ω e φ são números reais com A}> e ₀

π φ π − < ≤ : (a) x₁

( )

t = −2 (b)

( )

4

(

)

2 2 cos 3 2 j x t e t π π = + (c) _x3

( )

_{t =e}−t sin 3

(

_{t +π}

)

(d) x₄

( )

t = je(− +2 j100)t Respostas: no livro.

19.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 58) Determine se cada um dos seguintes sinais é ou não periódico. Se um sinal for periódico, especifique seu período fundamental.

(a) _x1

( )

_t = _jej10t _(b)

( )

( 1 ) 2

j t

x t =e − +

Respostas: no livro.

20.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 58) Considere o sinal de tempo contínuo:

( )

(

2

)

(

2

)

x t = δ t + −δ t − . (11)

Calcule o valor de E_∞ para o sinal

( )

t

( )

y t x t dt

−∞

=

∫

(12)

Respostas: no livro.

21.(HSU, 2004, p. 50) Considere o circuito RC mostrado na figura a seguir. Encontre a rela-ção entre a entrada x t

( )

e a saída y t

( )

:

(a) se x t

( )

= v_S

( )

t e y t

( )

=v_C

( )

t . (b) se x t

( )

= v_S

( )

t e y t

( )

=i t

( )

.

9

Respostas: no livro.

22.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 59) Considere um sistema de tempo contínuo com entrada

( )

x t e saída y t

( )

relacionada por:

( )

(

sin

( )

)

y t = x t . (13)

(a) Este sistema é causal? (b) Este sistema é linear?

Respostas: no livro.

23.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 59) Para a seguinte relação entrada-saída, determine se o sistema correspondente é linear, invariante no tempo ou ambos:

( )

2

(

₁

)

y t = t x t− (14)

Respostas: no livro.

24.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 139) Determine e esboce a convolução dos seguintes sinais:

( )

( )

(

)

(

)

1, 0 1 2 , 1 2 0, caso contrário 2 2 1 t t x t t t h t δ t δ t  + ≤ ≤  =_ − < ≤   = + + + . (15) Respostas: no livro.

25.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 139) Suponha que:

( )

1, 0_{0, caso contrário}t 1 x t =  ≤ ≤  (16) e h t

( )

x t α    = _{ }  , com 0 <α ≤ . 1

(a) Determine e esboce y t

( )

= x t

( ) ( )

∗h t . (b) Se dy t

( )

10

Respostas: no livro.

26.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 140) Quais das seguintes respostas ao impulso correspon-dem a sistemas LIT estáveis?

(a) h t₁

( )

=e− −(1 2j t)u t

( )

(b) _{h t2}

( )

=_e−t cos 2

( ) ( )

_{t u t}

Respostas: no livro.

27.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 140) Considere um sistema LIT cuja entrada x t

( )

e a saída

( )

y t estejam relacionadas pela equação diferencial:

( )

4

( )

( )

d

y t y t x t

dt + = . (17)

O sistema também satisfaz a condição de repouso inicial. (a) Se x t

( )

=e(− +1 3 j t)u t

( )

, qual é y t

( )

?

(b) Note que Re x t

{

( )

}

satisfará a Eq. (17) com Re y t

{

( )

}

. Determine a saída y t

( )

do sistema LIT se

( )

t cos 3

( ) ( )

x t =e− t u t (18)

Respostas: no livro.

28.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 251) Use a equação de análise da série de Fourier para cal-cular os coeficientes a do sinal periódico de tempo contínuo: _k

( )

1.5, 0_{1.5, 1} t ₂1 x t t  _{≤ <}  = _{− ≤ <}  (19)

com frequência fundamental ω₀ = . π

Respostas: no livro.

29.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 252) Suponha que sejam dadas as seguintes informações sobre um sinal x t

( )

:

1. x t

( )

é real e par

2. x t

( )

é periódico com período T = e tem coeficientes de Fourier 2 a . _k

3. a_k = para 0 k >1. 4.

( )

2 2 0 1 1 2

∫

x t dt = .

11

Especifique dois diferentes sinais que satisfazem estas condições.

Respostas: no livro.

30.(OPPENHEIM et al., 1997, p. 254) Considere um sistema LIT causal implementado como o circuito RLC mostrado na figura a seguir. Neste circuito, x t

( )

é a tensão de entrada. A tensão y t

( )

sobre o capacitor é considerada a saída do sistema.

(a) Encontre a equação diferencial relacionando x t

( )

e y t

( )

.

(b) Determine a resposta em frequência deste sistema considerando a saída do sistema a entradas da forma _{x t}

( )

=_ej tω _.

(c) Determine a saída y t

( )

se x t

( )

= sin

( )

t .