Variáveis Linguísticas CONTEÚDO. Variáveis Linguísticas. Variáveis Linguísticas. Formalismo: caracterizada por uma

CONTEÚDO

CONTEÚDO

• Introdução

– Introdução, Objetivo e Histórico

• Conceitos Básicos

– Definição, Características e Formas de Imprecisão

•

•

Conjuntos Fuzzy

Conjuntos

Fuzzy

– Propriedades, Formas de Representação e Operações

• Lógica Fuzzy

– Relações, Composições, Modus Ponens Generalizado

• Aplicações

Variáveis Linguísticas

Variáveis Linguísticas

• Têm a função de fornecer uma maneira

sistemática para uma

caracteriza

caracteriza

ç

ç

ão

ão

aproximada de fenômenos complexos

aproximada de fenômenos complexos

ou

mal definidos

• Por exemplo:

ƒ temperatura;

ƒ idade.

Variáveis Linguísticas

Variáveis Linguísticas

• Variável linguística:

variável cujos

valores são nomes de conjuntos fuzzy

Exemplo:

temperatura

de um processo

120140160180200220240260280300320340360 100

Baixa Média Alta Muito Alta

pertinência

Temperatura

Variáveis Linguísticas

Variáveis Linguísticas

•

•

Formalismo

Formalismo

:

:

caracterizada por uma

quíntupla (N, T(N), X, G, M ), onde:

N: nome da variável ex: temperatura

T(N): conjunto de termos de N, ou seja, o conjunto conjunto

de nomes dos valores linguísticos

de nomes dos valores linguísticosde N {baixa, média, alta, muito alta}

X: universo de discursouniverso de discurso(espaço fuzzy completo

de variação de uma variáveldo modelo)

Variáveis Linguísticas

Variáveis Linguísticas

G: regra sintática para gerar os regra sintática para gerar os valoresvaloresde Nde Ncomo uma composição de termos de TT((NN), conectivos ), conectivos lógicos, modificadores e delimitadores

lógicos, modificadores e delimitadores temperatura não baixa

temperatura não muito alta

M: regra semântica, para associar a cada valor regra semântica

gerado por G um conjunto fuzzy em X

associa os valores acima a conjuntos fuzzy

cujas funções de pertinência exprimem seus

significados

Funções de Pertinência

Funções de Pertinência

• Aos

termos

termos

de uma

variável linguística

variável linguística

(ou aos

seus

valores

valores

) faz-se corresponder conjuntos

fuzzy, definidos por suas

funções de pertinência

• Podem ter formas padrão ou definidas pelo

usuário

Funções de Pertinência

Funções de Pertinência

•

•

Contínuas

Contínuas

:

:

podem ser definidas por meio de

funções analíticas

1

)

))

(

(

1

(

)

(

=

+

−

b − A

x

a

x

c

µ

1 2 1 2 1 2

)

)

2

(

9

1

(

)

(

)

)

5

,

0

(

9

1

(

)

(

)

9

1

(

)

(

− − −

−

+

=

−

+

=

+

=

x

x

x

x

x

x

grande médio pequeno

µ

µ

µ

Funções de Pertinência

Funções de Pertinência

•

•

Discretas

Discretas

:

:

consistem em valores discretos

correspondendo a elementos (discretos) do

universo

{

}

{

}

{

0

;

0

;

0

;

0

0

,

3

;

0

,

7

;

1

}

)

(

3

,

0

;

7

,

0

;

1

;

7

,

0

;

3

,

0

;

0

;

0

)

(

0

;

0

;

3

,

0

;

7

,

0

;

1

;

7

,

0

;

3

,

0

)

(

=

=

=

x

x

x

grande médio pequeno

µ

µ

µ

{

0

,

1

,

2

,

3

,

4

,

5

,

6

}

=

X

CONJUNTOS FUZZY

CONJUNTOS FUZZY

• Conjuntos Crisp x Fuzzy

• Definição

• Representação

• Propriedades

•

•

Formatos

Formatos

• Operações

• Hedges

Funções de Pertinência

Funções de Pertinência

9

Linear

9 Trapezoidal

9 Triangular

9 Formato S

9 Formato Z

9 Formato PI

9 Gaussiana

9 Singleton

9 Irregulares

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

•

•

Linear:

Linear:

– É o conjunto mais simples, sendo uma

boa escolha na aproximação de

conceitos não bem compreendidos

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 µ (x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

µ (x) _{CrescenteCrescente DecrescenteDecrescente}

x x

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

•

•

Trapezoidal:

Trapezoidal:

 Rápido processamento  Contém descontinuidades µ (x) 1.0 a a bb cc Trap

Trap(x,a,b,c,d)(x,a,b,c,d)

Trap

Trap(x,a,b,c,d) = 0(x,a,b,c,d) = 0 x x ≤≤aa

1 1 --(b (b --x)/(b x)/(b --a) a) a a <<x x ≤≤bb 1 1 b b <<x x ≤≤cc (d (d --x)/(d x)/(d --c)c) c c <<x x ≤≤dd 0 0 x x >>dd Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato d d _x

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

•

•

Triangular:

Triangular:

Mais simples que a Trapezoidal

TRI (x,e,f,g) = 0 TRI (x,e,f,g) = 0 x x ≤≤ee 1 1 --(f (f --x)/(f x)/(f --e) e) e e <<x x ≤≤ff (g (g --x)/(g x)/(g --f) f) f f <<x x ≤≤gg 0 0 x x >>gg Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato µ (x) 1.0 e e ff TRI (x,e,f,g) TRI (x,e,f,g) g g _x

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

•

•

Formato S:

Formato S:

Equação Quadrática

µ (x) 1.0 a a bb cc S(x,a,b,c) S(x,a,b,c) dS/dx dS/dx S (x,a,b,c) = 0 S (x,a,b,c) = 0 x x ≤≤aa 2 [(x 2 [(x --a)/(c a)/(c --a )] a )] 22 _{a a ≤≤x x ≤≤bb} 1 1 --2 [(x 2 [(x --c)/(c c)/(c --a)] a)] 22_{b b ≤≤x x ≤≤cc} 1 1 x x ≥≥cc Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato x

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

•

•

Formato S com 2 parâmetros:

Formato S com 2 parâmetros:

µ (x) 1.0 a a S(x,a,b) S(x,a,b) dS/dx dS/dx S (x,a,b) = 0 S (x,a,b) = 0 x x ≤≤a a --bb [x [x --(a (a --b)] b)] 22_{/ 2b/ 2b}22 _{a a --b b} ≤≤_{x x} ≤≤_aa 1 1 --[(a + b) [(a + b) --x]x]22_{/ 2b/ 2b}22 _{a a <<x x ≤≤a + ba + b} 1 1 x x >>a + ba + b Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato b b x

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

•

•

Formato Z:

Formato Z:

Z (x,a,b) = 1 - S(x,a,b)

Z (x,a,b) = 1 Z (x,a,b) = 1 x x <<a a --bb 1 1 --[x [x --(a (a --b)] b)] 22_{/ 2b/ 2b}22_{a a --b b} ≤≤_{x x} ≤≤_aa [(a + b) [(a + b) --x]x]22_{/ 2b/ 2b}22 _{a a <<x x ≤≤a + ba + b} 0 0 x x >>a + ba + b Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato µ (x) 1.0 a a Z (x,a,b) Z (x,a,b) b b x

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

•

•

Formato PI:

Formato PI:

Junção das curvas S e Z

PI (x,a,b) = S ( x, a PI (x,a,b) = S ( x, a --b/2, b/2) b/2, b/2) x x ≤≤a a Z (x, a + b/2, b/2) x Z (x, a + b/2, b/2) x ≥≥a a Variável independente Variável independente Parâmetros do formato Parâmetros do formato µ (x) a a b b PI (x,a,b) PI (x,a,b) x

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

• Gaussiana:

- distribuição normal

- cai a zero para valores muito maiores ou muito menores do que a média

µ (x) µ σ G (x,µ,σ) Ponto de Inflexão Ponto de Inflexão µ = média σ = desvio padrão x

(

)

( 2) 2 , , σ µ

σ

µ

= − − x e x G

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

•

•

Sigmoidal

Sigmoidal

:

:

S (x,a,b) = S (x,a,b) = Variável Variável independente independente Parâmetros Parâmetros do formato do formato x 1 b

a

θ

θ

,

tg

~

µ ρ ) (

1

1

b x a

e

− −

+

=

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

•

•

Singleton

Singleton

:

:

- na verdade não é um conjunto não é um conjunto fuzzyfuzzy - Simplifica os cálculos para produzir as

saídas fuzzy. µ (x) a a 1.0 x 1 x = a Sgl (x,a) = 0 x ≠ a

Formatos dos Conjuntos

Formatos dos Conjuntos

•

•

Irregulares:

Irregulares:

- Ocasionalmente as formas padrões não conseguem capturar a semântica de uma

variável Î representarepresentaçções arbitrões arbitrááriasrias.

µ (x) µ (x)

Hora 10 20 30 4050 60708090100Idade

Risco Alto de Dirigir

Risco Alto de Dirigir

Tráfego Intenso

Tráfego Intenso

9 10 111213 14 151617 18

CONJUNTOS FUZZY

CONJUNTOS FUZZY

• Conjuntos Crisp x Fuzzy

• Definição

• Representação

• Propriedades

• Formatos

•

•

Operações

Operações

• Hedges

Operações Conjuntos

Operações Conjuntos

Crisp

Crisp

•

•

Função Característica:

Função Característica:

– determina se os indivíduos do conjunto

universal são

são

ou não membros

não membros

de um

certo conjunto A

conjunto A

•

•

4 Operações Básicas:

4 Operações Básicas:

– União, Interseção, Negação e União

Exclusiva

µ

µ

(x) = 0

(x) = 0

x

x

∉

∉

A

A

µ

µ

(x) = 1

(x) = 1

x

x

∈

∈

A

A

•

•

Exemplo:

Exemplo:

X = {1,2,...20}

2 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 19 20 1 2 3 5 8 13 20 1 3 5 7 11 13 17 S S₁₁ 1 3 5 SS₂2 13 1 2 3 5 7 8 11 13 17 20 2 7 8 11 17 20 União União todos os elementos de X que ∈ a S₁ou a S₂ Interseção Interseção todos os elementos de X que estão em S₁e em S₂ Complemento Complemento todos os elementos de X que ∉ S₁

Operações Conjuntos Ordinários

Operações Conjuntos Ordinários

União Exclusiva União Exclusiva S1⊕ S2= S1∪ S2- S1∩ S2

Definições e operações

Definições e operações

•

•

Interseção

Interseção

-

-

Conjuntos ordinários

Contém todos os elementos que pertencem a A e a B

1

)

(

=

∩

x

f

_{A B} se x∈ A e x ∈ B se x∉ A ou x ∉ B

0

)

(

=

∩

x

f

_{A B}

X

x

x

f

x

f

x

f

_A∩B

(

)

=

_A

(

)

∧

_B

(

)

∀

∈

Definições e operações

Definições e operações

•

•

União

União

-

-

Conjuntos ordinários

Contém todos os elementos que pertencem a A ou a B

X

x

x

f

x

f

x

f

_A∪_B

(

)

=

_A

(

)

∨

_B

(

)

∀

∈

Definições e Operações

Definições e Operações

• a exemplo dos conjuntos crisp, existem operações para combinar e modificar os conjuntos fuzzy

As operações são aplicadas às funções de pertinência

• um certo elemento é membrode um conjunto fuzzy – se está dentro do domíniodo conjunto

– se o grau de pertinênciaé > 0

– (se está acima do limite α-cut)

Operações Básicas

Operações Básicas

•

•

Interseção

Interseção

•

•

União

União

•

•

Complemento

Complemento

Operadores de

Operadores de

Zadeh

Zadeh

•

•

Interseção:

Interseção:

– Em analogia com os conjuntos

ordinários, que utilizam o operador

AND

AND

, em conjuntos

conjuntos

fuzzy

fuzzy

geralmente

se utiliza o Mínimo

Mínimo

das Funções de

Funções de

Pertinência

Pertinência

(operadores de

(operadores de

Zadeh

Zadeh

)

).

.

X

x

x

x

x

_{A B} B A∩

(

)

=

µ

(

)

∧

µ

(

)

∀

∈

µ

Operadores de

Operadores de

Zadeh

Zadeh

•

•

União:

União:

– Em analogia com os conjuntos crisp,

que utilizam o operador OR

OR

, em

conjuntos

conjuntos

fuzzy

fuzzy

geralmente se utiliza

o Máximo

Máximo

das Funções de Pertinência

Funções de Pertinência

(operadores de

(operadores de

Zadeh

Zadeh

).

)

.

X

x

x

x

x

_{A B} B A∪

(

)

=

µ

(

)

∨

µ

(

)

∀

∈

µ

Operadores de

Operadores de

Zadeh

Zadeh

•

•

Complemento:

Complemento:

– Em analogia com os conjuntos crisp, o

complemento do conjunto fuzzy A (~A)

contém TODOS os elementos que não

estão em A.

– Em conjuntos

conjuntos

fuzzy

fuzzy

geralmente se

utiliza:

_µ

~A

(x) = 1 -

µ

A

(x)

∀x ∈ X

µ

µ

_~A~A

(x) = 1

(x) = 1

-

-

µ

µ

A_A

(x)

(x)

∀

∀

x

x ∈

∈

X

X

Supondo conjuntos normalizados!!

Supondo conjuntos normalizados!!

Propriedades

Propriedades

Utilizando os operadores (de Zadeh)

max

e

min

para a

união

e

interseção

fuzzy

,

verificam-se as seguintes propriedades:

A

A

'

)'

=

(

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

∪

=

∩

A

A

A

A

A

A

Propriedades

Propriedades

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

∪

=

∪

∩

=

∩

A

B

B

A

A

B

B

A

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

∪

∪

=

∪

∪

∩

∩

=

∩

∩

)

(

)

(

)

(

)

(

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

Propriedades

Propriedades

Observando que as funções de

pertinência dos conjuntos

vazio

e

universo

são

0

e

1

:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

∪

=

∩

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

∅

∪

∅

=

∅

∩

X

X

A

A

X

A

e

A

A

A

Propriedades

Propriedades

Conjuntos

ordinários

:

X

A

A

A

A

∩

'

=

∅

e

∪

'

=

Conjuntos

fuzzy

:

X

A

A

x

x

x

A

A

x

x

x

' A A A A ' A A A A

≠

∪

⇒

≠

−

∨

=

∅

≠

∩

⇒

≠

−

∧

=

∪ ∩

1

))

(

1

(

)

(

)

(

0

))

(

1

(

)

(

)

(

' '

µ

µ

µ

µ

µ

µ

Operações Conjuntos

Operações Conjuntos

Fuzzy

Fuzzy

•

•

Lei da Não Contradição:

Lei da Não Contradição:

Î

Î

INVÁLIDA!!

INVÁLIDA!!

–

A

A

∩

∩

~A

~A

≠

≠

φ

φ

•

•

Lei da Exclusão Mútua:

Lei da Exclusão Mútua:

Î

Î

INV

INV

Á

Á

LIDA!!

LIDA!!

–

Lei da Não

Lei da Não

-

-

Contradição

Contradição

Ex. 1:

Ex. 1:Quais os membros que são de MEIAMEIA--IDADEIDADE

e nãonão--MEIAMEIA--IDADEIDADEao mesmo tempo?

Ex. 2:

Ex. 2:Quais os membros que são ALTOSALTOSe nãonão--ALTOSALTOS

ao mesmo tempo?

INTERSEÇÃO

INTERSEÇÃO

c

c

Caso Crisp:

Caso Crisp:

Conjunto ALTO

Conjunto ALTO Conjunto MEIAConjunto MEIA--IDADEIDADE

30 25 35 40 45 50 55 1.65 1.60 1.701.751.80 1.85 1.90

INTERSEÇÃO

INTERSEÇÃO

c

c

Caso

Caso

Fuzzy

Fuzzy

:

:

Conjunto ALTO

Conjunto ALTO Conjunto MEIAConjunto MEIA--IDADEIDADE

30

25 35 40 45 50 55 1.65

1.60 1.701.751.80 1.85 1.90

Lei da Não

Lei da Não

-

-

Contradição

Contradição

NOME IDADE

µM-I

(x)

µ~M-I

(y)

FUZZY

Abel

36

.92

.08

.08

José

58

0

1

0

Carlos

64

0

1

0

João

32

.47

53

.47

Pedro

40

1

0

0

Tiago

22

0

1

0

Felipe

47

.74

.26

.26

André

25

.10

.90

.10

– Quais os membros que são de MEIAMEIA--IDADEIDADEe

não

Lei da Não

Lei da Não

-

-

Contradição

Contradição

NOME IDADE

µM-I

(x)

µ~M-I

(y)

FUZZY

Abel

36

.92

.08

.08

José

58

0

1

0

Carlos

64

0

1

0

João

32

.47

53

.47

Pedro

40

1

0

0

Tiago

22

0

1

0

Felipe

47

.74

.26

.26

André

25

.10

.90

.10

4 membrostêm grau de pertinência diferente de zero para ambosos conjuntos Meia-Idade e não-Meia-Idade

– Quais os membros que são de MEIAMEIA--IDADEIDADEe

não

não--MEIAMEIA--IDADEIDADEao mesmo tempo?

NOME ALTURA

µ

ALTO

(y)

µ

~ALTO

(y)

FUZZY

Abel

1.70

.84

.16

.16

José

1.75

.92

.08

.08

Carlos

1.65

.68

.32

.32

João

1.78

.96

.04

.04

Pedro

1.77

.94

.06

.06

Tiago

1.60

.39

.61

.39

Felipe

1.73

.90

.10

.10

André

1.75

.92

.08

.08

Lei da Não

Lei da Não

-

-

Contradição

Contradição

– Quais os membros que são ALTOSALTOSe nãonão--ALTOS ALTOS

ao mesmo tempo?

NOME ALTURA

µ

ALTO

(y)

µ

~ALTO

(y)

FUZZY

Abel

1.70

.84

.16

.16

José

1.75

.92

.08

.08

Carlos

1.65

.68

.32

.32

João

1.78

.96

.04

.04

Pedro

1.77

.94

.06

.06

Tiago

1.60

.39

.61

.39

Felipe

1.73

.90

.10

.10

André

1.75

.92

.08

.08

Lei da Não

Lei da Não

-

-

Contradição

Contradição

TODOSos membros têm grau de pertinência diferente de zero para ambosos conjuntosALTO e não-ALTO

– Quais os membros que são ALTOSALTOSe nãonão--ALTOS ALTOS

ao mesmo tempo?

Lei da Exclusão Mútua

Lei da Exclusão Mútua

NOME IDADE µM-I (x) µ~M-I (y) FUZZY

Abel 36 .92 .08 .92 José 58 0 1 1 Carlos 64 0 1 1 João 32 .47 53 .53 Pedro 40 1 0 1 Tiago 22 0 1 1 Felipe 47 .74 .26 .74 André 25 .10 .90 .90

– Quais os membros que são de MEIAMEIA--IDADEIDADE

Lei da Exclusão Mútua

Lei da Exclusão Mútua

Nem TODOS os membros têm grau de pertinênciaum para a uniãodos conjuntos Meia-Idadee não-Meia-Idade

NOME IDADE µ_M-I (x) µ~M-I (y) FUZZY

Abel 36 .92 .08 .92 José 58 0 1 1 Carlos 64 0 1 1 João 32 .47 53 .53 Pedro 40 1 0 1 Tiago 22 0 1 1 Felipe 47 .74 .26 .74 André 25 .10 .90 .90

– Quais os membros que são de MEIAMEIA--IDADEIDADE

ou nãonão--MEIAMEIA--IDADEIDADEao mesmo tempo?

Lei da Exclusão Mútua

Lei da Exclusão Mútua

NOME ALTURA µALTO (y) µ~ALTO (y) FUZZY

Abel 1.70 .84 .16 .84 José 1.75 .92 .08 .92 Carlos 1.65 .68 .32 .68 João 1.78 .96 .04 .96 Pedro 1.77 .94 .06 .94 Tiago 1.60 .39 .61 .61 Felipe 1.73 .90 .10 .90 André 1.75 .92 .08 .92

– Quais os membros que são ALTOSALTOSou

não

não--ALTOS ALTOS ao mesmo tempo?

Lei da Exclusão Mútua

Lei da Exclusão Mútua

NENHUM dos membros têm grau de pertinência igual a um para a uniãodos conjuntos ALTOe não-ALTO

NOME ALTURA µALTO (y) µ~ALTO (y) FUZZY

Abel 1.70 .84 .16 .84 José 1.75 .92 .08 .92 Carlos 1.65 .68 .32 .68 João 1.78 .96 .04 .96 Pedro 1.77 .94 .06 .94 Tiago 1.60 .39 .61 .61 Felipe 1.73 .90 .10 .90 André 1.75 .92 .08 .92

– Quais os membros que são ALTOSALTOSou

não

não--ALTOS ALTOS ao mesmo tempo?

Operadores

Operadores

Fuzzy

Fuzzy

–

–

operadores de

operadores de

Zadeh

Zadeh

;

;

–

–

operadores Compensatórios;

operadores Compensatórios;

–

Operadores Compensatórios

Operadores Compensatórios

• Utilizam formas alternativas

alternativas

às de Zadeh

para as operações com conjuntos;

•

•

Compensatórios

Compensatórios

porque atuam de forma

a compensar os operadores rígidos

operadores rígidos

de

MÍN e MÁX de Zadeh.

ª

ª

Desprezam as informações

Desprezam as informações

contidas na outra variável!

contidas na outra variável!

Operadores Compensatórios

Operadores Compensatórios

Operadores Alternativos

Operadores Alternativos

Transformações Transformações Aritméticas Simples Aritméticas Simples • •ProdutoProduto • •MédiaMédia •

•Soma LimitadaSoma Limitada •

•Diferença LimitadaDiferença Limitada • •...... Transformações Funcionais Transformações Funcionais mais Complexas mais Complexas • • YagerYager

Transformações Aritméticas

Transformações Aritméticas

•

•

Interseção:

Interseção:

Operador Interseção

Zadeh

Mín [µ

_A

(x), µ

_B

(x)]

Média

[µ

_A

(x) + µ

_B

(x)] / 2

Produto

µ

_A

(x) * µ

_B

(x)

Diferença Limitada

(Lukasiewicz)

Máx [0 , µ

A

(x) + µ

B

(x) –1]

INTERSEÇÃO

INTERSEÇÃO

•

•

Exemplo:

Exemplo:

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00

0.25

0.25 0.25 0.25 0.25

0.50

0.25

0.50 0.50 0.50

0.75

0.25

0.50

0.75 0.75

1.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00

0.25

0.25

0.50

0.25

0.50

0.75

0.25

0.50

0.75

1.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Operador

Operador ZadehZadeh

MÍN MÍN Diferença Limitada Diferença Limitada Máx [0, Máx [0, µµAA(x) + (x) + µµBB(x) (x) --1]1]

Transformações Aritméticas

Transformações Aritméticas

•

•

União:

União:

Operador União

Zadeh

Máx [µ

_A

(x), µ

_B

(x)]

Média

{2 * mín[µ

_A

(x), µ

_B

(x)] + 4 *

máx[µ

A

(x), µ

B

(x)]} / 6

Soma Probabilística [

µ

A

(x) + µ

B

(x)] – [µ

A

(x) * µ

B

(x)]

Soma Limitada

Mín [1 , µ

_A

(x) + µ

_B

(x)]

UNIÃO

UNIÃO

•

•

Exemplo:

Exemplo:

Operador

Operador ZadehZadeh

MÁX MÁX Soma Limitada Soma Limitada Mín [1, Mín [1, µµ_AA(x) + (x) + µµBB(x)](x)]

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.25

0.25 0.25

0.50

0.75

1.00

0.50

0.50 0.50 0.50

0.75

1.00

0.75

0.75 0.75 0.75 0.75

1.00

1.00

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00

0.25

0.50 0.75

1.00

0.25

0.25

0.50

0.75

1.00 1.00

0.50

0.50

0.75

1.00 1.00 1.00

0.75

0.75

1.00 1.00 1.00 1.00

1.00

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

Transformações Funcionais

Transformações Funcionais

•

•

Funções

Funções

Yager

Yager

:

:

– Os operadores compensatórios

anteriores envolvem simples

manipulações algébricas

manipulações algébricas

– Os operadores

operadores

Yager

Yager

envolvem uma

família parametrizada

família parametrizada

de operadores

INTERSEÇÃO

INTERSEÇÃO

T(x,y) = 1

UNIÃO

UNIÃO

C(x,y) = MÍN [1, (

C(x,y) = MÍN [1, (x

x

pp

_{+ y}

₊

_y

pp

₎

₎

1/p 1/p

_{] p}

_{] p}

>

>

₀

₀

Operadores

Operadores

Fuzzy

Fuzzy

•

•

Para esses dois contextos, tem

Para esses dois contextos, tem

-

-

se

se

os seguintes tipos de operadores

os seguintes tipos de operadores

:

:

–

–

operadores de

operadores de

Zadeh

Zadeh

;

;

–

–

operadores Compensatórios;

operadores Compensatórios;

–

–

Operadores

Operadores

T

T

-

-

norm

norm

e

e

T

T

-

-

conorm

conorm

.

.

Operadores

Operadores

•

•

Generalização

Generalização

operadores

norma

norma

-

-

t

t

e

co

co

-

-

norma

norma

-

-

t

t

(

norma

norma

-

-

s

s

)

)

• Operações binárias de [0,1] x [0,1] → [0,1], tal que,

∀x, y, z, w ∈ [0,1], determinadas propriedades são satisfeitas.

Operadores T

Operadores T

-

-

NORM

NORM

•

•

Definição:

Definição:

– Seja T

T

uma função de duas variáveis x

x

e y

y

no intervalo [0,1]. Se, para qualquer x

x, y

y, e z

z

em [0,1], as seguintes condições forem

satisfeitas

Î

T

T

é dita uma operação T

T

-

-

norm

norm

c T(x,1) = x d T(0,0) = 0

e Se x ≤ x’, então T(x,y) ≤ T(x’,y) f T(x,y) = T(y,x) g T(T(x,y),z) = T(x,T(y,z)) monotônica monotônica comutativa comutativa associativa associativa

Norma

Norma

-

-

t

t

As seguintes propriedades são satisfeitas:

x

y

y

x

∗

=

∗

)

(

)

(

x

∗

y

∗

z

=

x

∗

y

∗

z

z

y

w

x

z

w

y

x

≤

,

≤

,

então

∗

≤

∗

se

x

x

x

∗

0

=

0

e

∗

1

=

Operadores T

Operadores T

-

-

NORM

NORM

•

•

Exemplos:

Exemplos:

Mínimo

Mínimo

Produto

Produto

Lukasiewicz

Lukasiewicz

T

T

-

-

norm

norm

degenerada

degenerada

M (x,y) = mín (x,y) M (x,y) = mín (x,y) P (x,y) = x * y P (x,y) = x * y W (x,y) = máx (0, x + y W (x,y) = máx (0, x + y --1)1) x, se y = 1 x, se y = 1 Z (x,y) = y, se x = 1 Z (x,y) = y, se x = 1 0, caso contrário 0, caso contrário

Operadores T

Operadores T

-

-

CONORM

CONORM

•

•

Definição:

Definição:

– Seja S

S

uma função de duas variáveis x

x

e y

y no

intervalo [0,1]. Se, para qualquer x

x, y

y, e z

z

em

[0,1], as seguintes condições forem satisfeitas

Î

S

S

é dita uma operação T

T

-

-

conorm

conorm

c S(x,0) = x d S(1,1) = 1

e Se x ≤ x’, então S(x,y) ≤ S(x’,y) f S(x,y) = S(y,x) g S(S(x,y),z) = S(x,S(y,z)) monotônica monotônica comutativa comutativa associativa associativa

Co

Co

-

-

norma

norma

-

-

t

t

As seguintes propriedades são satisfeitas:

x

y

y

x

⊕

=

⊕

)

(

)

(

x

⊕

y

⊕

z

=

x

⊕

y

⊕

z

z

y

w

x

z

w

y

x

≤

,

≤

,

então

⊕

≤

⊕

se

1

1

e

0

=

⊕

=

⊕

x

x

x

Operadores T

Operadores T

-

-

CONORM

CONORM

•

•

Exemplos:

Exemplos:

Máximo

Máximo

Soma Probabilística

Soma Probabilística

Soma Limitada

Soma Limitada

T

T

-

-

conorm

conorm

degenerada

degenerada

M (x,y) = máx (x,y) M (x,y) = máx (x,y) P* (x,y) = x + y P* (x,y) = x + y --x * yx * y W* (x,y) = mín (1, x + y) W* (x,y) = mín (1, x + y) x, se y = 0 x, se y = 0 Z* (x,y) = y, se x = 0 Z* (x,y) = y, se x = 0 1, caso contrário 1, caso contrário