Sobre a consistência da violação da invariância de Lorentz na eletrodinâmica quântica.

Universidade Federal de Campina Grande

Centro de Ciencias e Tecnologia

Unidade Acad&mica de Fisica

Programa de Pos-Graduagao em Fisica

Curso de Mestrado em Fisica

Dissertagao de Mestrado

Sobre a Consistericia da Violagao da Invariancia de Lorentz

na Eletrodinamica Quantica

Priscila Vald£nia dos Santos

Priscila Valdenia dos Santos

Disserta^ao de Mestrado

Sobre a Consist&ncia da Violagao da Invariancia de Lorentz

na Eletrodinamica Quantica

Dissertagao submetida ao Programa de Pos-Gradua^ao

em Ffsica da Universidade Federal de Campina Grande,

sob orientagao do professor Dr. Eduardo Marcos

Rodrigues dos Passos, como parte dos requisitos

para obtengao do tftulo de Mestre em Fisica.

Universidade Federal de Campina Grande

Centro de Ciencias e Tecnologia

Unidade Academica de Fisica

Programa de Pos-Graduagao em Fisica

Curso de Mestrado em Fisica

Sobre a ConsistSncia da Violagao da Invariancia de Lorentz

na Eletrodinamica Quantica

Priscila Vald6nia dos Santos

Orientador: Prof. Dr. Eduardo Marcos Rodrigues dos Passos

Area de concentra^ao: Fisica de Particulas e Campos

Campina Grande

2011

F1CHA C A T A L O G R A F I C A E L A B O R A D A P E L A B I B L I O T E C A C E N T R A L DA D F C G

S237s Santos, Priscila Valdenia dos.

Sobre a Consistencia da Violacao da invariancia de Lorentz na

Eletrodinamica Quantica / Priscila Valdenia dos Santos — Campina Grande, 2011.

45 f.

Dissertacao (Mestrado em Fisica) - Universidade Federal de Campina Grande, Centro de Ciencias e Tecnologia.

Referencias.

Orientador: Prof. Dr. Eduardo Marcos Rodrigues dos Passos.

3L Modelo de Chern-Simons. 3. Simetria de Lorentz. 3.

4 , Eletrodinamica~Quantica Estendida. I . Titulo.

P R I S C I L A V A L D E N I A D O S S A N T O S

SOBRE A C O N S I S T E N C Y DA VIOLA£AO DA INVARIANCIA DE LORENTZ NA ELETRODINAMICA QUANTICA

Dissertagao aprovada em 04/02/2011

BANCA E X A M I N A D O R A

(Presidente)

Prof. Dr. Eduardo Marcos Rodrigues dos Passos Unidade Academica de Fisica - UFCG

(Membro interno)

Prof. Dr. Francisco de Assis de Brito Unidade Academica de Fisica - UFCG

(Membro externo)

Prof9. Dr a. Morgana Lfgia de Farias Freire

"A ciencia humana de maneira nenhuma nega a existencia de Deus. Quando considero quantas e quao maravilhosas

coisas o homem compreende, pesquisa e consegue realizar, entao reconhego

claramente que o espirito humano e obra de Deus, e a mais notavel."

Galileu Galilei. 3

Agradecimentos

Agradego em primeiro lugar a Deus, por ter me dado forgas e motivagao, mesmo nos momentos mais dificeis, permitindo que eu conseguisse concretizar mais esse sonho.

Ao Prof. Dr. Eduardo Marcos Rodrigues dos Passos, nao apenas pela orientagao, mas pela compreensao e o incentivo, por ter me ajudado de todas as maneiras possiveis e por nao ter me permitido desistir de realizar este trabalho.

Ao Prof. Dr. Francisco de Assis de Brito, pela atengao e dedicagao a mim dispensados em diversos momentos, desde a minha graduagao, e por sua preciosa contribuigao para a minha formagao.

A Profa. Dra. Morgana Ligia, por seu incentivo e interesse e por suas contribui-goes para o melhoramento deste trabalho.

Aos professores da Unidade Academica de Fisica (UAF) e da Unidade Academica de Matematica e Estatistica (UAME) da Universidade Federal de Campina Grande que contribuiram para a minha formagao, em especial a Daisy Martins, Fabio Leal de Melo Dahia, Romulo Rodrigues, Aercio Lima e Antonio Carlos Buriti (UAF)e Jose Luiz Neto e Luiz Mendes (UAME).

Aos funcionarios e colegas da UAF, especialmente a Wellington Serafim, Waldson Marcelo, Kelder Cavalcanti, Emanuel Cunha, Fernando Gama, Elialdo Andriola, Renato Pereira, Jardel Lucena, Jose de Arimateia, Marcio Siqueira, Jose Jacinto, Fabio Alves, Eugenio Bastos e Aubery Vital pela grata convivencia durante minha permanencia nesta Pos-Graduagao.

A minha familia, especialmente a minha mae, por ter me tornado tudo o que sou hoje e ao meu noivo Joel Rodrigues, por ter me acompanhado e incentivado em mais essa etapa da minha vida.

A todos os que contribuiram de maneira direta ou indireta, mesmo que simples-mente torcendo para que eu concluisse este trabalho com exito.

Resumo

Nesta dissertagao, direcionamos nossa atencao para os impactos realizados pelo termo tipo Chern-Simons CPT-impar ou modelo CFJ na extensao da eletrodinamica classica e quantica (QED) em (3+1) dimensoes.Do ponto de vista classico, fizemos um levantamento das caracteristicas da teoria de Maxwell quando o termo de Chern-Simons esta presente. Na QED investigamos a consistencia da possibilidade de se induzir o modelo CFJ via corregoes radiativas usando o metodo de expansao derivativa de determinantes para fermions sem massa e fermions massivos. No caso sem massa, racionalizamos o propagador da teoria e mostramos que o coeficiente do modelo CFJ pode ser encontrado com valor finito e nao nulo atraves de dois esquemas de regularizagao. No caso massivo, usamos uma aproximagao pertubativa ate a primeira ordem em 6M, e mostramos que o valor do coeficiente do modelo CFJ

nao se altera quando sao aplicados dois esquemas de regularizagao. Finalizamos nossa dissertagao abordando o problema da divisao de um foton polarizado no vacuo. No contexto da violagao da simetria de Lorentz, mostramos que e possivel se induzir uma agao efetiva semelhante ao modelo CFJ com coeficiente nao nulo.

Palavras-Chave: Modelo de Chern-Simons, Simetria de Lorentz, Eletrodinamica Quantica Estendida.

Abstract

In this work we fix our attention to the impact of a term such as CPT - odd Chern - Simons or CFJ model in classical and quantum electrodynamics (QED) in (3+1) dimensions. From the classical point of view, we conducted a survey of the characteristics of Maxwell's theory, when this term is present. In QED we investi-gate the consistency of the possibility of inducing the CFJ model through radiative corrections. We used the method of derivative expansion of determinants, for mas-sless and massive fermions. In the masmas-sless case, we rationalize the propagator of theory and show that the coefficient of the CFJ model can be found with finite and nonzero value through two different regularization schemes. In the massive case, we use an pertubative approximation up to first order in 6M, and we also show that the

coefficient of the CFJ model does not change when applied two different regulariza-tion schemes. We conclude our work discussing the problem of a polarized photon while splitted in the vacuum. In the context of Lorentz symmetry violation, we show that it is possible to induce an effective action similar to CFJ model with non-zero coefficient.

Keywords: Chern-Simons model, Lorentz Simmetry, Extended Quantum Elec-trodynamics.

Notagoes e Convengoes

Nesta dissertagao, serao adotadas as unidades fundamentais, em que h = c= 1. Nesse sistema temos:

[cornprimento] — [tempo] = [massa]'1 = [energia]'1.

Usamos tambem a seguinte notagao para o tensor metrico: 1 0 0 0

0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1

As letras gregas indicam 0,1,2,3 (t,x, y, z), os indices romanos (i,j,.--) indicam 1,2,3 (x, y, z) e os indices repetidos indicam soma. Para os quadri-vetores escreve-mos as seguintes relagoes:

p2 = pujf = p0pu + pip\ . tm = (x°,x), e = g»vxv.

Sumario

1 Introdugao 11 2 A eletrodinamica classica modificada 15

2.1 A invariancia de calibre e as equagoes de rnovimento 16

2.2 A relagao de dispersao 17 2.3 O tensor energia-momento 18

3 Agao efetiva induzida em um loop 20

3.1 Agao efetiva 20 3.2 Tensor de polarizagao do vacuo: fermions sem massa m = 0 23

3.2.1 Aplicando o metodo de regularizagao dimensional 25 3.2.2 Aplicando o metodo de regularizagao via cut-off-A 26 3.3 Tensor de polarizagao do vacuo: fermions com massa m / 0 27

3.3.1 Aplicando o metodo de regularizagao dimensional 28 3.3.2 Aplicando o metodo de regularizagao via cut-off-A 29

4 Agao efetiva induzida via divisao do foton no vacuo 30

4.1 Agao efetiva modificada 31 4.2 Tensor de polarizagao do vacuo: fermions com massa m ^ 0 32

4.3 Tensor de polarizagao do vacuo: fermions sem massa m = 0 33

5 Consideragoes finais e Perspectivas 36

9

SUMARIO SUMARIO

Referencias Bibliograficas 38

Apendice 43 A Formulas da regularizagao dimensional das integrals de Feynman 43

Capitulo 1

Introdugao

Atualmente e observada uma serie de pressupostos atraves dos quais considera-se que simetrias como a de Lorentz e CPT sejam apenas leis aproximadas da natureza. A moderna teoria quantica de campos ja admite a possibilidade da quebra da inva-riancia de Lorentz pelo mecanismo de quebra espontanea de simetria. A base dessa possibilidade surge em razao do seguinte argumento: mesmo que o entendimento das leis da natureza obedega a simetria de Lorentz, a solugao do vacuo da teoria pode violar espontaneamente essa simetria.

A invariancia de Lorentz e composta por dois tipo de transformagoes: rotagoes e boosts. Enquanto que a invariancia por CPT e composta pelas transformagoes discretas: conjugagao de carga (C), paridade (P) e reversao temporal (T). Estas duas simetrias (de Lorentz e CPT) sao consideradas leis fundamentals da Fisica, em que suas ocorrencias tern sido confirmadas atraves de experimentos de alta precisao

[!]•

0 modelo padrao da fisica das particulas fundamentals, por si so, nao possui dinamica necessaria para causar violagao espontanea da simetria de Lorentz. Neste caso, a ideia basica e que essa violagao pode ocorrer em teorias mais fundamentals, tais como Teoria de Cordas, Geometria Nao-Comutativa, etc., e a teoria resultante

12

pode ser efetivamente descrita na estrutura da extensao do modelo padrao [2, 3]. O mecanismo da extensao do modelo padrao consiste em adicionar termos fe-nomenologicos a alguns setores da lagrangeana do modelo padrao usual, mantendo todas as propriedades fisicas desejaveis, tais como a invariancia de calibre, proces-sos de renormalizacao, conservagao do tensor energia-momento etc. Como exemplo, escrevemos abaixo a extensao geral da eletrodinamica quantica para um simples campo de Dirac ip de massa m, para o qual a Lagrangeana C e [4]:

+ \kae«x^AxF»u--^FaXF»„ (1.1)

onde Dv = dv + ieAv e a derivada covariante usual e

r =

Y + <?

u

i» + rf^757M

+ e" + + Ig^axv

M = m + lbp + i + l - H ^ (1.2)

No setor dos fermions, os coeficientes oM, 6M, C^h,, d^, eM, /M, gx^ e /fM J / sao

res-ponsaveis pela quebra de simetria de Lorentz. A quebra de simetria CPT se da devido aos termos aM, 6M, eM, /M,e NO setor dos fotons, FM I / e o tensor

intensi-dade do campo eletromagnetico usual, e o coeficiente kaXfll/ e real e adimensional

com propriedades do tensor de Riemann, ja o coeficiente kQ e real com dimensao de

massa.

Paralelo ao estudo teorico da extensao do modelo padrao, existem estudos expe-rimentais que analisam quais os possiveis valores dos parametros que podem real-mente determinar sinais de violagao das simetrias de Lorentz e CPT. Ate agora, tais testes experimentais tern incluido estudos referentes a espectroscopia de hidrogenio e anti-hidrogenio [5], observagoes do comportamento do pendulo de torgao de um spin polarizado [6], medidas cosmologicas sobre a polarizagao da luz proveniente de galaxias distantes [7], entre outros.

CAPITULO 1. INTRODUQAO 13

Esta dissertagao aborda aspectos teoricos da violagao da simetria de Lorentz via extensao do modelo padrao. Mais especificamente, estudaremos diferentes questoes relacionadas a primeira extensao da Lagrangeana (1.1).

Conhecida na literatura como termo tipo Chern-Simons CPT-impar1 ou modelo

CFJ, pois foi desenvolvida inicialmente por Carroll, Field e Jackiw [8], essa extensao tern como propriedade de preservar a invariancia de calibre na agao, porem modifica a relagao de dispersao prevendo um efeito peculiar birrefringente2 da luz no vacuo

advindo de galaxias distantes. Recentemente, possiveis ocorrencias de tal efeito estao sendo investigadas atraves de dados cosmologicos [9]. Contudo, efeitos desse tipo ainda nao foram observados na natureza. Isto indica que a intensidade de k^ pode ser muito pequena a ponto de desaparecer efetivamente. Como ponto de partida, estudamos as principals caracteristicas do modelo CFJ quando adicionado a teoria eletromagnetica de Maxwell.

A natureza CPT-impar da agao do tipo Chern-Simons sugere que esse termo deve ser, de alguma forma, gerado via calculos quanticos no nivel de um loop. A relevante densidade de lagrangeana proposta para o estudo dessa questao e des-crita pelo setor fermionico da QED (eletrodinamica quantica) usual adicionado pelo termo ip^fnp. Essa teoria possui a importante propriedade de induzir o termo do tipo Chern-Simons de CPT-impar via corregoes radiativas obtendo a relagao k^ = Cb^. Contudo, o coeficiente de proporcionalidade C depende do esquema de regularizagao utilizado, isto e, diferentes metodos de regularizagao podem oferecer diferentes valo-res para a constante de proporcionalidade C [10]. Este e um tipo de indeterminagao que recentemente foi bastante investigada por diversos trabalhos na literatura [11]. Ao abordarmos esta questao, mostramos que e possivel gerar o termo tipo Chern-Simons com um valor definido e diferente de zero para a constante C atraves de dois

^ s t e termo, alem de violar a invariancia de Lorentz, tambem viola a simetria C P T .

2O s materiais ou meios chamados birrefringentes apresentam diferentes velocidades de

propa-gagao da luz (ou indices de refragao) para diferentes diregoes de polarizagao.

14

distintos esquemas de regularizagao bem conhecidos na literatura. Nossos calculos abordam os regimes de fermions sem massa e com massa, respectivamente. Depois, estendemos os calculos de corregoes radiativas para investigar a possibilidade de se isolar uma agao efetiva atraves do processo de divisao de um foton na polarizagao do vacuo, sendo este o principal objetivo dessa dissertagao.

Dessa forma, a presente dissertagao foi organizada em capitulos: No capitulo 2, estudamos os impactos realizados na eletrodinamica classica quando o termo tipo Chern-Simons CPT-impar esta presente na teoria. Neste caso, analisamos a invari-ancia de calibre, a relagao de dispersao e o tensor energia-momento. No capitulo 3, estudamos a possibilidade de gerar o termo tipo Chern-Simons CPT-impar atraves de corregoes radiativas na eletrodinamica quantica. Neste problema, investigamos possiveis ambiguidades presentes na abordagem das integrals infinitas no regime de fermions massivos e sem massa. Usando dois metodos de regularizagao diferentes: regularizagao dimensional e cut-off, mostramos que para ambos os casos, os valo-res para a constante de proporcionalidade C sao finitos, nao nulos e determinados. No capitulo 4, abordamos o problema da divisao de um foton em multifotons no processo de polarizagao do vacuo da eletrodinamica quantica. Observamos que a presenga da violagao da simetria de Lorentz induz uma agao efetiva nao nula. U t i -lizamos o metodo de expansao derivativa de operadores fermionicos associado ao esquema de regularizagao dimensional. Finalmente, no Capitulo 5 apresentamos nossos resultados e algumas perspectivas para trabalhos futuros que envolvam este tema.

Capitulo 2

A eletrodinamica classica modificada

Neste capitulo, fizemos um levantamento sobre as principals caracteristicas do termo do tipo Chern-Simons de paridade impar modificando a eletrodinamica clas-sica [12]. Analisamos a invariancia de calibre do modelo, as equagoes de movimento, a relagao de dispersao eletromagnetica e o tensor de energia-momento. A eletrodi-namica modificada e dada pela seguinte teoria:

CMCS = — F ^ F " " - \^F^AV - J^A" (2.1)

onde F^V = d^Av — dvA^ e F ^ = -\e^UA^Fa0 e o tensor de intensidade de campo

eletromagnetico e seu dual, respectivamente. 0 parametro ryM e um quadri-vetor

constante que determina uma diregao privilegiada no espago-tempo violando a si-metria de Lorentz e tambem a sisi-metria CPT.

2.1. A INVARIANCIA DE CALIBRE E AS EQUAQOES DE MOVIMENTO 16

2.1 A invariancia de calibre e as equagoes de

movi-mento

A Lagrangeana (2.1) nos conduz as equagoes de movimento para os potenciais

A^ = {Ao, A) represntadas por:

{UrT - WW - ^£^Vpda)Av = f. (2.2)

Como na eletrodinamica convencional, a conservagao da corrente duj1* = 0 segue

como uma relagao de consistencia.

As equagoes de Maxwell modificadas sao dadas por:

dpF" - = f. (2.3)

Verificando a invariancia de calibre da teoria, devemos considerar apenas o termo do tipo Chern-Simons, ou seja:

Ccs = \n^A»=

X

-p^F

ap

A

v

= \]^daApAv (2.4)

e aplicando a seguinte variagao: 6A^ = dMA, entao sobre essa transformagao de

calibre do campo eletromagnetico, temos que a Lagrageana Ccs varia apenas por uma divergencia:

/\CCS = hF^{dllriu-dl/%), (2.5)

Portanto, a invariancia de calibre para a fungao arbitraria A necessita que = 0. Contudo, ACcs pode sumir com um termo de superficie.

Considerando a Eq. (2.3), podemos escrever as leis de Gauss e de Ampere modificadas em termos das componentes do tensor FM" , da corrente e do

quadri-vetor constante, definidos como

FiLV = {£, B}, F"u = F0i = -E\

Fi0 = E\ F^ = -eijkB\ f = (p,j), 77M = (m,f/)

CAPITULO 2. A ELETRODINAMICA CLASSICA MODIFICADA ₁₇ (2.6) (2.7) (2.8) pois a

correspon-2.2 A relagao de dispersao

Agora por intermedio do ansatz1:

A0 = A0(p)eip»x" com x* = (*,£), Pft = (2.9)

e pela equagao de movimento (2.2) para j1* = 0, obtemos a seguinte relagao de

dispersao modificada:

(papa? + (i?X)(PoP°) = ( W ) - (2-10)

A expressao (2.10) determina uma freqiiencia angular u associada ao tri-vetor momento p. Para um caso particular em que o quadri-vetor constante e do tipo-tempo 7]^ = (m, 0),obtemos:

u2 = |pf ± m\p\. (2.11)

1 Ansatz e um termo proveniente do alemao, utilizado no sentido de se fazer uma tentativa.

e 0 - E1 —E2 — E3 E1 0 -B3 B2 E'2 B3 0 -Bl E3 -B2 Bl 0 Assim, V • E-if-B = p e VxB-E-mB-fjxB = j .

As equagoes de Maxwell sem fontes permanecem inalteradas, dencia campo-potencial e a convencional.

2.3. O TENSOR ENERGIA-MOMENTO ₁₈

Entao, temos os possiveis modos de freqiiencia para m <C \p\:

« ± ( | P l ± ? ) - (2-12) Atraves da analise da velocidade de grupo determinada via Eq(2.12), observa-se

que esta quantidade pode exceder a velocidade da luz c numa certa direcao privilegi-ada, violando as simetria de Lorentz (as transformacoes dos boosts e das rotagoes). Tambem existe a violagao da simetria de CPT quebrando explicitamente a trans-formagao de paridade (P), na qual as transformagoes de conjugagao de carga (C) e reversao temporal (T) nao sao capazes de se restaurar.

2.3 O tensor energia-momento

Podemos calcular o tensor energia-momento escrevendo [13, 14):

Para o caso usual, podemos usar a identidade a ( g ^g ) ] = 4 F "a e obtemos a

forma explicita:

0 ^ = lg^Fa0Fa0 - F»aduAa + g^jaAa. (2.14)

Considerando o fato de que o tensor intensidade de campo eletromagnetico e anti-simetrico, a quadri-divergencia do tensor energia-momento se reduzira a seguinte quantidade:

dfiP = {Vj0)A*. (2.15)

Sendo assim, a quebra da conservagao da energia e momento e conseqiiencia do tratamento inicial da corrente externa. Como o tensor energia- momento possui

CAPITULO 2. A ELETRODINAMICA CLASSICA MODIFICADA ₁₉

invariancia por urna transformagao de calibre, podemos expressa-lo na forma:

T*" = 8"" + dCf(F*iaAv) (2.16)

ou ainda,

= ^FQ0FQ0 - F^F^g^vjaAa - J»AU. (2.17)

Entao percebemos a invariancia de calibre pelo fato de a expressao T^v depender

somente do tensor de intensidade do campo eletromagnetico.

De maneira analoga, para o caso da inclusao do termo tipo Chern-Simons CPT hnpar, o tensor energia-momento adquire a seguinte forma:

© M C S = ~ F^STAa - ~grrh&*At. (2.18)

Assim, com a presenga de fontes externas, ocorrem modificagoes no tensor energia-momento, implicando que a adigao do termo do tipo Chern-Simons contribui com sua modificagao para uma contribuigao anti-simetrica, ou seja, Q^cs ^ ®MCS' caracterizando a quebra da simetria de Lorentz. Portanto, o novo tensor energia-momento e reescrito na forma

TMCS = \grFatF* - F-"F^sT - r f F « Ma. (2.19)

Na ausencia de fontes externas JM = 0, este tensor e conservado: d^Q^ = 0.

Note que o procedimento de simetrizagao usual e inaplicavel, pois a simetria de Lorentz e violada. Note tambem que T^cs e dependente de uma transformagao de

calibre. Porem o termo adicional

gerado por uma transformagao de calibre Aa —» AQ + dQA e um termo de superficie

que nao afeta a conservagao do quadri-momento:

Pv = [ d3xT0l/. (2.20)

Unidade Academica de Fisica-CCT

C a p i t u l o 3

A g a o e f e t i v a i n d u z i d a e m u m l o o p

Neste capitulo, estudamos a possibilidade de se induzir um termo tipo Chern-Simons CPT - impar via calculos quanticos no nivel de um loop na QED, na ausencia ou na presenga da massa. Usaremos o metodo de expansao derivativa do determi-nante fermionico associado a regularizagao dimensional e a regularizagao via um cut-off.

0 modelo que tem o potencial de investigar a indugao do termo tipo Chern-Simons CPT -impar e descrito pela seguinte densidade de Lagrageana:

Substituindo a Eq. (3.2) na Eq. (3.1) e integrando sobre os campos fermionicos, obtemos

3.1 Agao efetiva

C = ip(i<jH — m)ip - ip'ysfnp - eipjLijj. (3.1)

A correspondente funcional geratriz e dada por [13, 14]:

(3.2)

Z[b, A] - i det\fi - m - 75j5 - ejf\. (3.3)

CAPITULO 3. AQAO EFETIVA INDUZIDA EM UM LOOP ₂₁

Portanto, podemos escrever a expressao para a agao efetiva como:

Se/f[b,A] = -zlndetfoi - m - 75/J - eJf\

= —iTv In [7$ — rn — 75/) — eJf\. Com o auxilio das seguintes propriedades da fungao logaritmica:

ln(>l • B) = \n(A) + \n{B)

00

l n (1 - * ) = E ^ n

n=l podemos reescrever a Eq. (3.4) da seguinte forma:

Seff[b,A] = S.„[b] + Sefflb,A] onde se,/[b] = -my> - m - 7 5/ i ] (3.4) (3.5) (3.6) (3.7)

Se„[b,An] = iTt^2- \ -ieSb{p)A

n=l

sendo Sb{p) o propagador exato do campo fermionico, dado por:

i

Sb(P) =

(3.8) (3.9)

•fi-m-isf)'

Note que Se/f[b] independe do campo de gauge A^(x). e assim nao contribui

para a geragao do termo do tipo Chern-Simons. Entao, o termo da serie na Eq.(3.8) associado a n = 2 e escrito como segue

—le

Seff[b,A2} = — Tr Sb(p)4(x)S„(p)4(x) (3.10)

O trago Tr que aparece nas expressoes anteriores, atua sobre as matrizes gamas e nos espagos internos. Neste sentido, a expressao para a agao efetiva em geral nao pode ser escrita na forma

>e// [ 6M, 4 ] = J d4xC (3-11)

3.1. AQAO EFETIVA ₂₂

pois os campos de calibre A^(x) sao variaveis dependentes das coordenadas, as quais nao comutam com fungoes explicitamente escritas nos espagos dos momentos. Dessa forma nao e trivial separar quantidades escritas em diferentes espagos de con-figuragoes, e em seguida efetuar integragoes independentes nos respectivos espagos formalmente indicados pelo trago. Para contornar esse problema, podemos usar a principal relagao do metodo de expansao derivativa [15, 16, 17, 18, 19, 20]:

A^S^p) = Sb(p-id)A^x)

= Sb(p)A^x) + Sb(phxSb(p)(dxAt1(x)) + --- (3.12)

e reecrever a agao efetiva (3.10) como:

—ze

SeffKAl] = — - T r Sb(PmSb(p-id)A,(x))4(x)

2

= J d'xU^idxA^A, (3.13)

Onde WPU e o tensor de polarizagao do vacuo no nivel de um-loop, dado por:

n**"

= j tt*[8&yfSteYtsteyf\.

(3.i4) Na Eq.(3.14) a abreviagao tr, significa que o trago atua apenas na matrizes

gamas.

CAPITULO 3. AQAO EFETIVA INDUZIDA EM UM LOOP ₂₃

3.2 Tensor de polarizagao do vacuo: fermions sem

massa m = 0

Nesta segao tratamos de uma teoria com fermions sem massa. 0 argumento principal dessa ideia foi que a teoria de Chern-Simons em (2+1) dimensoes pode ser originada do termo tipo Chern-Simons em (3+1) dimensoes por redugao dimensional. Isto tambem se estende para o setor fermionico que relaciona a QED estendida sem massa em (3+1) dimensoes com o setor femionico massivo em (2+1) dimensoes. A vantagem desse metodo e que o termo tipo Chern-Simons pode ser induzido atraves da QED sem massa com o coeficiente C definido e finito na QED em (2+1) dimensoes

[11. 21]. 0 propagador sem massa e escrito como:

Depois de algumas manipulates algebricas, o propagador acima pode ser repre-sentado como: s»(p) ro=0 (3.15) Sb(p) = WXPL + W2PR, (3.16) onde 1±75 2 (3.17) e forma: (3.19) Unidade Academica de Fisica-CCT

3.2. TENSOR DE POLARIZAQAO DO VACUO: FERMIONS SEM MASSA M = 0 com T^(p) = t ^ [ ^1P H 7 ^1P f l 7A^ l PJ R7I , + W1PR^W1PR<yxW2PLY + WiPtfWiPrfWiPR-f + wxpR^w2Paxw2pLlv + W2PL^W2PL1XW2PL1U + W2PLYW2PL1XWXPRY + W^L^W.PR^W^LY + WIPL^W^R^W^RY] • (3.20)

Usando as relagoes ( 75)2 = 1 e {7^, 75} = 7^75 - 757^ = 0, obtemos que:

PRxPRxPR = PR, PRxPRxPL = 0, PRxPLxPR = 0,

PRxPLxPL = 0 PL*PLXPL = P L , PL* PLX PR = 0,

PLXPRXPL = 0, PLxPRxPR = 0. (3.21)

Assim, a Eq. (3.20) se reduz a

T»Xu{p) = t r [ W17/W17Ai y1PH7 " + W2'ytiW2<yxW2PLY]

para simplificar a estrutura do numerador da expressao (3.19). Assim, podemos escrever uma simples expressao para o tensor de polarizagao do vacuo dada por:

^ t r [{p + b)Gtv[U> - P)Y(i> - P)l\i> - W7571 +

(p - bftx[{i> + P)Y0> + Ph\i> + «75 7 l ]

^ e x ^ [(p + b)\bp - pp) + (p - b)\bp + pp)], (3.22)

com A = (p2 - b2).

Usamos a seguinte relagao para o trago das matrizes gamas:

tr(7A7/ i7I /7P7s) = 4ieXliUp. (3.23)

d4p bp((p + 6)4 + (p - 6 )4) - j y ( ( p + bf-(p - b)*)

2tt)4 (p2 - fr2)4

(3.24) Agora a agao efetiva possui a forma

(3.25) Unidade Academica de Fisica-CCT

CAPITULO 3. AQAO EFETIVA INDUZIDA EM UM LOOP ₂₅

Onde o parametro kp pode ser expresso como:

. m=o _ 9 • 2 /

r(f-b*)bp-4(b.p)pp 4[(p2b2 + ( 6 - p )2) 6p- 2 62( 6 . p )P p]1

Note que por contagem de potencias, as integrals nos momentos na expressao (3.26) possuem termos finitos e termos com divergcmcia do tipo logaritmica. Calcu-laremos essas integrais usando dois metodos de regularizagao:

i) Metodo de regularizagao dimensional;

ii) Metodo de regularizagao at raves de um momento cut-off-A.

3.2.1 Aplicando o mStodo de regularizaQao dimensional

A essentia desse metodo e alterar o niimero de dimensoes para uma dimensao arbitraria D de modo que tenhamos,

Portanto, a Eq. (3.26) pode ser reescrita como segue:

km=o _ 2 - 2 f d°P

\tf-P)bP-4b.p)pp 4[(fb* + (b-P)*)bp-2b*(b.p)pPh f

Agora com auxilio das relagoes (A.2), (A.6), (A.8) e (A.9), que constam no apdndice, obtemos

o e2 2(D - 1)

r ( l +

6/2)

p (4ir)D/2 3 (62)e/2

3.2. TENSOR DE POLARIZAQAO DO VACUO: FERMIONS SEM MASSA

M = 0 26

3.2.2 Aplicando o metodo de regularizagao via cut-off-A

Para desenvolver os c&lculos pelo metodo de momento cut-off, consideramos a Eq. (3.26) e mudamos do espago-tempo de Minkowski (3+1) para o espago Euclidiano quadri-dimensional fazendo a seguinte rotagao de Wick: XQ —> —ixo, po —> ipo,

bo —• ibo, dAx —* —id4x e d4p —> id4p. Assim,

Por simplicidade, na Eq. (3.30) escolhemos somente a componente do tipo tempo do parametro que controla a violagao da simetria de Lorentz, tal que bp = (&o, 0),

onde bo e uma componente nao nula. Essa simplificagao nao deve afetar o coeficiente quadri-vetorial do termo do tipo Chern-Simons induzido. Isto facilita nossos cdlculos sem qualquer perda de generalidade.

De acordo com as consideragoes acima, podemos reescrever a Eq. (3.30) em fungao das coordenadas esfericas na forma:

As integrals sobre Po sao finitas e podem ser diretamente calculadas. Neste caso,

temos: (3.30) (3.31) ie2 b0 1 8 7 T2 ( ! _ ^ ) 7 / 2 ' (3.32) Unidade Academica de Fisica-CCT

CAPJTULO 3. AQAO EFETIVA INDUZIDA EM UM LOOP ₂₇

Portanto, tomando o limite A —• oo, encontramos o seguinte resultado em coorde-nadas euclidianas:

Este resultado coincide com o coeficiente da Eq. (3.29), previamente obtido com o procedimento de regularizagao dimensional.

3.3 Tensor de polarizagao do vacuo: fermions com

massa m ^ 0

Considerando um metodo pertubativo para o propagador exato fermionico, ex-pandimos Sb (p) na seguinte serie no parametro 6M:

b0. (3.33)

Sb(p) = S{p) + S(p){-ilbp)S(p) +..- (3.34)

onde usamos a seguinte expansao de operadores = \ + H — Assim,

temos que S(p) e o propagador fermionico, dado por:

Logo, o tensor de polarizagao na Eq. (3.14) adquire a nova estrutura:

s(p)YS(ph5f>s(phxs(p)Y + s(p)YS(phxs(ph5ps(p)Y]

2 J ( 2 7 r )4( p2- m2)4'

com o numerador dado por:

N»Xu = tr[(/? + m)>y5f>(j> + m)YU> + m)')X(j> + m)Y +

{-/) + 771)7" (^ + rn^pij) + m)^x(j) + 771)7" + (j) + 771)7"

0*

+ m)7A(/* + m ) 75^ +

m)Y\-(3.36)

(3.37) Unidade Academica de Fisica-CCT

3.3. TENSOR DE POLARIZAGAO DO VACUO: FERMIONS COM MASSA

M ^ O 28

Considerando as expressoes do tipo:

PaP(5Pu,VobMlQ7Pl0Y'flXlaYls] = -4ip2(2e^paPx

-2e^x<7P(T(b-p) + e^xpbpp2),

TOWpM^M^] = 4im2(fvXpbpp2 - 2?vXapa(b • p))e

mAbptx{Ylulxlpls] = -4im4efll,xpbp, (3.38)

obtemos a seguinte agao efetiva

dAxex^pkpFXpAu. (3.39)

Onde kp e dado por

dAp bp(p2 + 3m2) - 4Pp(b • p)

(2TT)4 (p2 - m2)3

(3.40) Semelhante ao caso sem massa, aqui tambem por contagem de potencia, a inte-gral nos moment os na Eq. (3.40) apresenta termos finitos e termos com divergSncia do tipo logaritmica. Entao, usamos tambem os metodos de regularizagao dimensio-nal e de regularizagao at raves de um momento cut-off-A.

3.3.1 Aplicando o metodo de regularizagao dimensional

De acordo com a relagao da Eq. (3.27), a Eq.(3.40) pode ser reescrita na forma Agora com auxilio das relagoes (A.3), (A.5) e (A.8), do apendice, obtemos que: (3.41)

,m#0 _ 4e2

r ( l

+ c/2)

(4ir)D/2 (m2)*/2

D=4 _(3.42)

CAPITULO 3. AQAO EFETIVA INDUZIDA EM UM LOOP ₂₉

3.3.2 Aplicando o mStodo de regularizagao via cut-off-A

A Eq. (3.40) reescrita no espago euclidiano possui a seguinte forma:

2ie2 KP ~ / +oo d3px oo J*°°j- [bp(p2 - 3m2) - 4Pp(b • p)

\P)j

(3.43) (p2 + m2)3

Considerando apenas a componente do tipo tempo de bp na Eq. (3.43), podemos

reescreve-la em fungao das coordenadas esfericas:

ie2b0 f+°° »m#0 _ / i0

/

dpp2 x 27T3 rf-3p2-3m21 dpo[-( p2+ p2 + m2)3J " (3.44) As integrais sobre po sao finitas e podem ser diretamente calculadas. Neste caso, temos: , m # 0 _ Ko - 4 3ie2&2 f+°° _ m ¥ 7T2 L *2 Jo dp (p2 + m2fl2 Sie2b2 4 " ie2 bo v=A/m dv v-(V2

+ l)

5

/2

(3.45) Tomando o limite A euclidianas: 4TT2

(i +

ffl£)5/2-oo, encontramos o seguinte resultado em coordenadas

L.m=0

KQ i^r2

bo. (3.46) Este resultado coincide com o coeficiente da Eq. (3.42), previamente obtido com o procedimento de regularizagao dimensional.

Capitulo 4

Agao efetiva induzida via divisao do

foton no vacuo

A QED usual admite que um foton se polarize no vacuo e se divida em mul-tifotons. Contudo, Schwinger atraves do metodo do tempo-proprio mostrou que esse processo apresenta uma amplitude identicamente nula [22]. Neste resultado, foi mantida a invariancia de Lorentz e de Calibre. Entretanto, do ponto de vista da extensao do modelo padrao, admite-se que a invariancia de Lorentz pode ser que-brada na escala de Planck. Entao, espera-se que efeitos antes suprimidos possam aparecer nesse regime de energia. Este e o argumento em que Kostelecky e Picke-ring retomaram o problema de divisao da fotons no vacuo no contexto da quebra da simetria de Lorentz, e encontraram amplitudes de probabilidade diferentes de zero [23]. Porem, pelo metodo adotado por estes autores, nao foi possivel isolar uma agao efetiva. Este foi o objeto de estudo do presente capitulo.

CAPITULO 4. AQAO EFETIVA INDUZIDA VIA DIVISAO DO FOTON NO

VACUO 31

4.1 Agao efetiva modificada

Nesta segao estamos interessados na possibilidade de induzir radiativamente um termo do tipo Chern-Simons modificado, escrito pela seguinte combinagao:

& / / M * ] = j^xk^\dpA^Av f(A2(x)) (4.1)

com,

k\ = C b\, f(A2(x)) = \AQAQ (4.2)

Onde C e a constante de proporcionalidade, que deveremos determinar nesse estudo. A agao efetiva (4.1) est& associado um processo no qual um foton se polariza no vacuo e, em um loop, se divide em tres fotons. Considerando o termo da serie da Eq. (3.8) para n = 4, podemos escrever a contribuigao em um loop para a referida divisao de fotons:

Sef/[b, AJ] = ~Tr [5f t(p)4(x)56(p)4(x)5f t(p)4(x)56(p)4(x)]. (4.3)

Agora, podemos apiicar a principal relagao do metodo de expansao derivativa da Eq. (3.12), e assim, reescrever a agao efetiva (4.3) na forma

& / / M J ] = -•^Tt[sb(p)r(S„(p){p-id)All)Yx

(Sb(p)(p - id)A„)^(Sb{p)(p - id)A0)A]. (4.4)

ou ainda,

VP4 f

Se/f[b,Al] = ~ - J tfxidpA,) x

J-0j4tr [sb(ph"Sb(p)Ysb(p)4Sb(p)4sb(p)4] • (4.5)

Para obtermos a estrutura da Eq. (4.5), usamos a propriedade ciclica do trago do produto de matrizes, em que o simbolo tr corresponde ao trago do produto das matrizes gam as.

4.2. TENSOR DE POLARIZAQAO DO VACUO: FERMIONS COM MASSA

M ^ O 32

4.2 Tensor de polarizagao do vacuo: fermions com

massa m ^ 0

Para calcular o tensor de polarizagao associado a agao efetiva (4.5), consideramos primeiro o propagador exato dos fermions na sua versao pertubativa (3.34) ate a primeira ordem no parametro bp. Neste caso, a agao efetiva pode ser dada na forma:

[s(p)(-hif>)S(ph"S{p)YS(P)4S(p)4S(p) +

s{p)YS(p){-h5p)S(p)YS(jp)4S{p)4S(j>) +

S(ph"S(p)YSiP)(-i'y5p)S(p)4S{p)4S(p) +

S(p)YS(p)YS(p)4S(p)(-iK{,)S(p)4S(p) +

S(p)7"S(p)

7

"S(p)4S(p)45(p)(-i75«5(p)4]. (4.6)

Depois de calcularmos o trago sobre as matrizes gamas, isolamos a agao efetiva, ou seja:

Se/flb, A]] = 3 J a*x[Wapvaf>+ Yl»™*+ UT*+ U ^ p p A ^ A ^ (4.7)

onde WXva0, ufUQ0, U^Xl,a0 and Y[fva0 sao os tensores de polarizagao dados por:

l la - bze bxe J ( 2 ? r ) 4 ^ _ m 2 ) 4

116 - lie 0\6 J ( 2 7 r ) 4 ^ _ m 2 ) 5

l lc - lie 0\€ J ( 2 ? r ) 4 ^ _ m 2 ) 5

Por contagem de pot£ncias no momento de integragao, notamos que todas as integrais acima sao convergentes. Entretanto, para manter a invariancia de calibre

Unidade Acad£mica de Fisica-CCT

CAPITULO 4. AQAO EFETIVA INDUZIDA VIA DIVISAO DO FOTON NO

VACUO 33

da teoria, podemos calcular tais integrais atraves das formulas de regularizagao dimensional contidas no Apendice (A). Os resultados sao escritos por:

Portanto, a agao efetiva da Eq. (4.7) adquire a forma:

S.„[b, K\ = \j d'xk^id^AJiA^x)) (4.10)

onde

2 2

k> = i r i b * e fM*)) = —^aAa. ( 4 . i i )

4.3 Tensor de polarizagao do vacuo: fermions sem

massa m = 0

Para o caso sem massa, temos que a Mgebra se simplifica no calculo da agao efetiva, revelando o c&rater quiral da teoria. A vantagem disto e que a agao tipo Chern-Simons pode ser induzida na QED estendida nao-massiva, com coeficiente bem definido e finito (referencia). O propagador exato dos fermions e facilmente racionalizado e expresso na forma:

m ' * ^ . (4.i2)

Ou, apos algumas manipulagoes algebricas:

Sb(p) = WXPL + W2PR. (4.13)

Aqui novamente temos:

(4.14) Unidade Academica de Fisica-CCT

4.3. TENSOR DE POLARIZAQAO DO VACUO: FERMIONS SEM MASSA

M = 0 34

Substituindo na Eq. (4.5) e usando as identidades: PR x PL = PL x PR = 0,

PLxPLxPLxPLx PLx = PLe PRxPRx P R X P R X PR X = PR,

ficamos com:

Seff[b7A4] = -^fjd4x(dpAp)x

W2(p)4W2(pUW2(p)41^ (4.16)

Aqui inicialmente calculamos o trago das matrizes gama e depois passamos a expressao para a agao efetiva do espago de Minkowiski em (3+1) dimensoes para o espago euclidiano, realizando uma rotagao de Wick x0 —» —ix0, Po —> ipo, b0 —• ibo,

d4x —> —id4XE, b —> ibs and d4p —• id4p. Entao isolamos a agao efetiva (4.16) na

forma: = J d'xEbxe^^idpA^A^A^bEl (4.17) onde: {{p% + 2(&E • PE) + 6|)4 + - 2(bE • pE) + b%)*) -3b%(bE • pE)((p2E + 2(bE • PE) + 6|)4 -(p%-2{bB-pE)+b2E)4)] (4.18)

Neste caso, o produto escalar e euclidiano e as integrais na Eq. (4.18) sao finitas, por contagem de pot&ncias e dependentes do esquema de regularizagao. Entretanto, calculamos essa integrais via momento de cut-off. Em coordenadas esfericas, a Eq.

CAPITULO 4. AQAO EFETIVA INDUZIDA VIA DIVISAO DO FOTON NO

VACUO 35

(4.18) fica:

Ci(bE) =

2bE \pE\ c o s 0 + 6|)4 + (|pE|2 - 2&E |pE| cos0 + b%)4) - 3bE \pE\ cos0 x

((|Pe|2 + 2bE \pE\cos0 + b2E)4 - (\pE\2 - 2bE \pE\ cos0 + b%)4)

((u2 + 2ucos0 + l )4 + (u2 - 2ucos6 + l )4)

-3ucosO((u2 + 2wcos0 + l )4 - ( u2 - 2ucos0 + l )4) ] . (4.19)

Integrando primeiro no angulo 0 e depois no momento \pE\, encontramos

16 x 1406| j r2[

2 + A2 + 4Aj - 245Ag + 14QAg + 105A*°

(1 - A f )7

]• (4.20) Com At, = ^f. No limite para A —• oo, ficamos com:

& / / M j ] = J d'xhe^dpAJAJiA^E) (4.21) em que:

h = ^ and f(A(x)) = ^AaAa. (4.22)

Capitulo 5

Consideragoes finais e Perspectivas

Nesta dissertagao, abordamos essencialmente a consistencia da geragao do mo-delo CFJ como agao efetiva da QED estendida. Nos regimes da QED estendida com ou sem massa, mostramos que o coeficiente do modelo CFJ e finito e determinado na estrutura de dois esquemas de regularizagao conhecidos na literatura: i) a regu-larizagao dimensional, ii) reguregu-larizagao por um cut-off de momento.

Analises similares sobre a determinagao do modelo CFJ na QED sem massa sao encontrados nas referencias [11, 24], porem com argumentos distintos entre elas.

Optamos por desenvolver nossa analise pelo argumento da referenda [11], no qual se pode relacionar uma QED estendida sem massa em (3+1) dimensoes com uma QED massiva em (2+1) dimensoes que oferece um termo do tipo Chern-Simons finito e determinado.

Embora a QED estendida e massiva se mostre ambigua na determinagao do mo-delo CFJ, nesta dissertagao foi mostrado que, pelo menos para a componente tem-poral do quadri-vetor constante b^, nao existe ambiguidade. Isso pode ser justificado pelo fato de que pelo menos uma componente desse parametro seja consistentemente determinada via redugao dimensional.

CAPITULO 5. CONSIDERAQOES FINAIS E PERSPECTIVAS 37

Mostramos tambem que e possivel gerar uma agao efetiva via processo de divisao de um foton em tres na QED estendida. Embora mantemos a invariancia de calibre da teoria, a violagao da simetria de Lorentz se encarregou de nos fornecer esse efeito. Nas referencias [2, 25, 26] encontramos analogos de atividades oticas efetivas no v&cuo que sao provocadas pela violagao da invariancia de Lorentz.

Seguem alguns comentarios sobre as perspectivas desta dissertagao:

i) O problema da decomposigao de um foton no v&cuo em multi-fotons pode ser retomado para a QED estendida nao-abeliana [27] para mostrar se e possivel deter-minar uma agao efetiva nao-nula nesse contexto;

ii) Uma outra investigagao seria a de se induzir, via corregoes radiativas, termos efetivos que compoem o setor de Higgs na extensao do modelo padrao [2].

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[27] GOMES,M., NASCIMENTO, J. R., PASSOS, E., PETROV, A. Y. e DA SILVA, A. J., Induction of the four-dimensional Lorentz-breaking non-Abelian

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[28] T'HOOFT,G. e VELTMAN, M . J. G., Regularization and renormalization of

gauge fields, Nuclear Physics 44 189-213 (1972).

Apendice A

Formulas da regularizagao

dimensional das integrais de

Feynman

Neste apendice foram apresentadas algumas relagoes das integrais de Feynman desenvolvidas no esquema de regularizagao dimensional [28). No espago de Min-kowski, tais integrais sao escritas na forma

• para n = 2: para n = 3: J0(n,£>) dDp (2TT)D (p2 - A )n (-l)ni T(n-D/2) 1 (47r)*V2 r(n) &ri-D/2 i r(c/2) (4TT)d/2 A*/2 /o(3, D) = -i

r ( i

+ c/2) I (4TT)D/2 2 A1 + £/2 (A.1) (A.2) (A.3) 43

44 ri f d P P h ^ D ) = J J2^W^W (-l)n-HDY(n- D/2- 1 ) 1 (4n)D/2 2 T(n) &n-D/2-l para n = 3: para n = 4: / 2

^

D ) =

y

^ ( y ^ ( - 1 ) ^ 7 7 ^ ^ 7 1 - ^ / 2 - 1 ) 1 (4n)D/2 2 r(n) /^n-D/2-1 para n = 3: para n = 4: dDp p4 ( - l)ni D ( D + 2 ) T(TI - D / 2 - 2 ) 1 (4TT)D/2 4 T(n) An~D/2~2 para n = 5: (A.4) / , ( 3 ' D ) = ( 4 ^ 5 T " A ^ " ( A , 5 ) (A.7) h { 3 ' D ) - ( 4 ^ T ~ A ^ ( A'8 ) M4" ° ) - (4 7 r )D / 2 1 2 A ' + ' / 2 (A-9 ) (A.10)

/ (

5 D

) - g ( g +

2 )

r ( l +

6 / 2 )

Unidade Academica de Fisica - CCT

APENDICE A. FORMULAS DA REGULARIZAGAO DIMENSIONAL DAS

INTEGRAIS DE FEYNMAN . f5

h(n,D) - J (2?r)D ( ^ 2 _ A ) n

( - l )ni fayifcg + Vli0riv0 + TitfTjrf) T(n-D/2-2)

= (47r)D/2 4 r(n) 1 x An - D / 2 - 2 ' para n = 5: (A.12) - i fa^g + fyi/?^ + r ( l + c/2) (A 13) /4(5,I>)= (4 7 r) D / 2

96

A1 + e/2 V

Em todas as expressoes acima, consideramos e = D - 4.