Fractais
Fernando R. Secco, Tatiane T. Rocha
Trabalho da disciplina Teoria da Computação
Prof. Jorge M. Barreto
Curso Ciência da Computação - 2003.2
Universidade Federal de Santa Catarina
{secco, tatiane}@inf.ufsc.br
13 de abril de 2004
Resumo
Neste trabalho iremos apresentar um resumo da teoria dos fractais. Aqui procurar-se-á mostrar a definição de fractais, o que eles representam na natureza, seus os principais autores, pesquisas desenvolvidas, descobertas importantes e possíveis aplicações.
Palavras-chave: fractais, conjuntos de Julia, conjuntos de Mandelbrot, curva de Koch.
1 Introdução
Na geometria somos acostumados a descrever as coisas através de suas formas regulares retas, circunferências, cones etc. Mas será mesmo que uma nuvem formada por esferas, uma montanha formada por cones e conti-nentes por circunferências?
Existem alguns comportamentos na natureza que são tão irregulares, tão sem-forma que fo-gem completamente da geometria Euclidiana,
que é a geometria por nós conhecida. Essas formas na geometria chamadas de amorficas, na geometria euclidiana, foram estudadas e analisadas por vários pesquisadores e em 1960, Benoit B. Mandelbrot, apresentou uma posição concreta sobre o que seriam essas “não-formas”. Refazendo alguns estudos nessa área e conhecendo idéias de outros autores apresentou estudos sobre fractais criando assim a teoria dos fractais.
Fractais caracterizam-se por terem uma aparência confusa e bagunçada mas quando olhadas matematicamente sua análise denota figuras regulares e apresentam comportamen-tos curiosos como o de se assemelharem a elas mesmas quando observadas de diferentes es-calas de tamanho.
O objetivo desse estudo é mostrar o que são fractais, a matemática por traz deles, os prin-cipais autores e aplicações baseadas em frac-tais . Para apresentar a teoria de fracfrac-tais ire-mos inicialmente citar algumas teorias impor-tantes que aparecem inclusas na teoria dos
fractais como números complexos, teoria do caos, curva de Koch entre outros.
2 Números Complexos
Para que possamos entender a teoria de frac-tais e conjuntos de Mandlebort precisamos antes de mais nada entender de números com-plexos. Abaixo segue uma explicação sim-ples sobre o que são e como são representados números complexos.
2.1 O que são números
com-plexos?
Números complexos são números que pos-suem características especiais, um pouco diferente dos números que nos deparamos diariamente. Eles possuem uma parte real
e parte imaginária. A parte real é formada
por números comuns, como, por exemplo 1, 2, 50. A parte imaginária é um número comum multiplicando um número i, este chamado de imaginário. Assim um número complexo pode ser 2 + 3i por exemplo, parte real mais parte imaginária. A origem deste nome imaginário vem do fato de que nenhum número real multiplicado por ele mesmo pode resultar em um número negativo, ou seja, não é possível obter-se a raíz quadrada de um número imaginário expressa em números reais [MATH2] ou em outras palavras não é possível obter-se a raíz quadrada de um número negativo.
O número i é definido como sendo a raíz quadrada de -1, logo i = √−1. Assim é possível obter-se raízes de números negativos como segue: √−9 = √9∗ −1 = 3√−1 = 3i.
2.2 Representação de números
complexos no plano
Para representar os números reais precisamos de uma linha de uma dimensão chamada de “linha dos números reais”. Para separar os números reais em negativos e positivos us-amos a origem ( o zero ) como limitador. As-sim os números negativos ficam a esquerda da origem e os positivos a direita da origem.
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 positivos negativos
R
Figura 1: reta dos reais
Já para os números complexos precisamos ter duas dimensões: a que representa a reta dos reais e a que representa a reta dos imaginários.
5i 4i 3i 2i 1i −1i −2i −3i −4i −5i −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 R I
Figura 2: reta dos imaginarios (y) reta dos reais (x)
3 A teoria do Caos
O que é o caos? A definição de caos segundo o dicionário é turbulência, aleatoriedade não desejada, falta de ordem entre outros termos. Mas a teoria do Caos pode ser vista como um universo com sistemas extremamente sen-síveis as condições iniciais. Sistemas caóti-cos são indeterminísticaóti-cos e é muito difícil pr-ever seus resultados. Seu comportamento não é periódico portanto não se tem a expressão descrevendo o estado do sistema.
3.1 Instabilidade inicial de um
sis-tema
A teoria do caos foi, formalmente, descoberta primeiramente pelo metereologista Edward Lorenz em 1960. Lorenz, querendo rever uma de suas seqüências, usara 3 casas decimais de precisão ao invés de 6 casas decimais. O a evolução da série foi completamente diferente da original. Este efeito é conhecido também como efeito borboleta [IS].
Figura 3: Ao mudar a precisão em 1000 vezes Lorenz defronta-se com instabilidade numérica
Este fenômeno é comum na teoria do Caos
mostra o comportamento de um sistema que é sensível as condições iniciais. Uma simples alteração nestas condições pode levar o experi-mento a ter um resultado completamente difer-ente do esperado. Essas pequenas alterações podem ser causadas por ruídos no ambiente ou problemas com o equipamento e não podem ser evitadas.
3.2 Aspiral dupla e Replicação
Lorenz concluiu que não havia como afirmar as condições do tempo. Então começou a procurar um sistema simples que possuía sen-sibilidade as condições iniciais. A principio esse sistema era composto por doze equações e foram simplificadas até ter-se três equações. O resultado dessas equações parecem ser com-pletamente aleatórios, mas quando plotados criam uma espiral dupla.
Figura 4: Aspiral dupla encontrada quando coloca-se os pontos em um gráfico
encontrado na biologia na análise do cresci-mento populacional. Em teoria o resultado da equação sempre cresceria, mas os predadores causam instabilidade no sistema. A equação varia entre 0 e 1 onde 0 é extinção e 1 a população máximo, r é a taxa de crescimento,
pp é o crescimento populacional e pa é a
população atual. Assim temos: pp = r∗ pa(1 − pa)
O biologista Robert May fez experimentos com a equação de crescimento a fim de verificar o seu comportamento a medida em que a população crescia. Utilizando r = 2.7 o pp ficava em .6296. Na medida em que a r aumentava, o pp tenderia a aumentar também. Mas quando chegou ao valor 3 a linha de crescimento se partiu em duas, ou seja, a população se separaria em duas. Fazendo r = 4 a linha se partiu em 4 e assim quanto maior o grau de r mais rápido rápido a população se bifurcava até o caos aparecer.
Figura 5: Gráfico do crescimento popula-cional quando r ≥ 4
Mas o caos criado pelo crescimento quando
observado de maneira mais minuciosa apre-senta espaços em branco. Quando observa-se os espaços em branco é possível verificar que eles revelam pequenas janelas de ordem no gráfico. É possível ver as curvas crescendo novamente e bifurcando-se e então retornando ao caos. Este fato mostra que o gráfico possui pequenas cópias dele mesmo inseridas no seu interior.
4 Fractais
A palavra “fractal” vem da junção das palavras Latinas fractus que significa “irreg-ular”e frangere que significa ”quebrar” e a pronuncia correta é “frac’tal”.
Fractais são comumente conhecidos por serem geradores de figuras , aparentemente, irreg-ulares. Mas também possuem muitas outras aplicações científicas tais como compressão de dados, simulação de filmes, análise de pulsos elétricos no cérebro e dos batimentos cardíacos, estudos demográficos entre outros.
A geometria de fractais é relativamente nova, mas teorias de conjuntos de dimen-sões fractais e equações não-lineares diferen-ciais datam de mais de um século [MATH4] [MANDELBROT]. Os fractais foram real-mente reconhecidos quando Mandlebort con-seguiu juntar tanto os estudos nessa área quanto seus estudos provando que existia reg-ularidade por tráz das figuras , aparente-mente, amorficas. Um importante recurso utilizado por Mandelbrot foi o computador. Através dele foi possível fazer as simulações necessárias, algo que os matemáticos ante-riores a ele não possuíam. Vale lembrar que fractais são praticamente impossíveis de serem gerados sem recursos computacionais
devido a quantidade quase infinita de paços de iterações que estes necessitam.
Nesta seção ira-se montar os estudos mais importantes na área de fractais, seus descobri-dores e teorias existentes.
4.1 Similaridade-própria ou
Auto-similaridade
No espaço euclidiano uma dada escala r ,onde r > 0, determina a transformação que é chamada similaridade. Essa transforma o ponto x = (x1, ...xn) no ponto r(x) = (rx1, ...rxn)e o conjunto S em r(S). Abaixo segue uma explicação simplificada do que seriam conjuntos auto-similar. A definição de auto-similaridade e outros conceitos rela-cionados é encontrada em [HUTCHINSON]. Um conjunto é dito auto-similar se:
• Dado um conjunto limitado S, com es-cala r e um inteiro N, S é a união de N sem sobreposição e congruente (idênti-cos exceto pelo deslocamento e rotação), r(S), r ∈ R | S > 0, SiSSj ∧
SiTSj 6= 0.
• Dado um conjunto limitado S, com um vetor de escalas r1, r2....rn, S é a união
de N sem sobreposição e congruente rn(S), r ∈ R |S > 0, S
iSSj ∧
SiTSj 6= 0.
• Dado um conjunto ilimitado s, com es-cala r, r(S) é congruente a S, r(S)SS.
4.2 Conjuntos de Cantor
Matemático alemão da Universidade de Halle, onde desenvolveu a Teoria dos Conjuntos. A Teoria dos Conjuntos é uma das mais notáveis
inovações matemáticas dos últimos séculos. Ao distinguir números algébricos e transcen-dentais (número irracional), Cantor encontrou a maneira de comparar os tamanhos de con-juntos infinitos, mostrando que o conjunto de todos os números é maior do que o conjunto dos números algébricos. Encarar totalidades, e não objetos individuais ( números, pontos ou funções ), foi uma das inovações de Cantor, revelando-se que as totalidades possuem pro-priedades que não são partilhadas pelos obje-tos dessas totalidades. Em 1873, ele provou que os números racionais podem ser colo-cados em correspondência biunívoca com os números naturais. Em 1874, Cantor demon-stra que a classe de todos os números al-gébricos é enumerável; em 1878 apresenta re-gra para construir classe não enumerável de números reais. Entre as conseqüências dos estudos de Cantor está a de que existem to-talidades que não são eqüipotentes, podendo um conjunto infinito ser colocado em corre-spondência com uma de suas partes próprias. E Peitgen ([PETGEN1] , p79) exalta a im-portância de Cantor dizendo: “It is probably fair to say that in the zôo of mathematical monsters ? or early fractals ? the Cantor set is by far the most important.” Pois através do seu modelo é que foram derivados os modelos posteriores, como por exemplo o de Julia.
Figura 6: Sucessivas divisões de um segmento de reta formando um conjunto de Cantor
4.3 Função de Weierstrass
A função de Weierstrass é a soma da série: f (x) =P∞k=1sin(ΠkΠk22x)
que é uma função contínua em R mas não é de-rivável em nenhum ponto de R , [MANDEL-BROT].
A figura gerada pela plotagem do gráfico é uma função que possui similaridade-prórpia, e na medida que nos aproximamos dela isso se torna mais nítido.
Figura 7: Função diferenciável e não derivável em nenhum ponto
4.4 Triângulo de Pascal
Blaise Pascal (1623 - 1662) - matemático e cientista francês. O qual em 1654 divul-gou o Triângulo de Pascal. Triângulo de Pascal - É um quadro de forma triangular onde são dispostos, sucessivamente e de cima para baixo, os coeficientes das expansões de :
n! r!(n−r)! ≡ n r aonde n r é um coeficiente binomial também conhecido como combi-nação com visto em [MATH4]. O resultado
é um quadro triangular que cresce indefinida-mente para baixo e cujas cinco primeiras lin-has são mostradas na figura abaixo:
1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70
Figura 8: Triângulo de pascal no quadro trian-gular
4.5 Triângulo de Sierpinski
Waclaw Sierpinski (1882 - 1969) - matemático polonês, que foi professor em Lvov e Warsaw. Em 1915 descreveu o Triângulo de Sierpinski. Este triângulo é obtido como limite de um pro-cesso recursivo. Para começar o propro-cesso par-timos de um triângulo equilátero. Em seguida unem-se os pontos médios de cada lado do triângulo, formando 4 triângulos cujos lados estão ligados. Retira-se agora o triângulo cen-tral. A recursão consiste em repetir indefinida-mente o procedimento anterior em relação a cada um dos triângulos obtidos. O Triân-gulo de Sierpinski tem várias propriedades cu-riosas como a de ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, ser auto-semelhante (isto é, uma pe-quena porção do triângulo é idêntica ao triân-gulo todo a menos de uma escala adequada) e não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado..
4.6 Curva de Koch
Helge von Koch (1870 - 1924) - matemático suíço. Em 1904 introduziu a Curva de Koch.
Figura 9: Triângulo de Sierpinski após de n iterações
A Curva de Koch é uma forma fractal clás-sica simples de ser entendida. Partindo de um triângulo equilátero divide-se cada lado em três segmentos. Os segmentos intermediários são então substituídos por dois segmentos semelhantes que vêm a formar os lados de um triângulo equilátero menor. Isto resulta numa figura na forma de uma estrela com 12 lados (6 pontas). Realizando o mesmo processo em cada um dos 12 lados e assim sucessivamente obtém-se uma figura em evolução constante que lembra um floco de neve. O comprimento total do contorno da figura - a soma de todos os lados - cresce à medida que se realizam su-cessivas divisões. Após infinitas divisões, seu comprimento será também infinito. No en-tanto a sua área será sempre menor do que a área de um círculo em torno do triângulo orig-inal. No limite, trata-se de uma linha infinita-mente longa que delimita uma área finita.
4.7 Conjuntos de Julia
Pierre Fatou (1878-1929) e Gaston Julia (1893-1978) utilizaram métodos iterativos é possível fazer o estudo de fractais. Dadas as
Figura 10: Curva de Koch, da esquerda para a direita, quatro iterações e abaixo infinitas iter-ações
funções x → f(x) = z2− µ | µ = λ, 4 − λ, w
e z → f(x) = z2 − µ | z = x + iy ∧ z, i ∈
I a técnica consiste na geração do gráfico para um dado λ ∈ R e então escreve-se este passo numa árvore e o processo é repetido in-definidamente. Enquanto Fatou utiliza µ ∈ R, Julia utiliza um µ ∈ R | {µ > 0 < µ} e en-tão um µ ∈ I. O método iterativo consiste nos seguintes passos, dado um µ a cada iteração mantém-se o µ fixo e modifica o valor de Z como explicado em [MATH3] e [MANDEL-BROT] página 183.
Assim um conjunto de Julia é um conjunto de pontos, gerados por cada nova iteração, que se aproximam infinitamente mas nunca se to-cam.
Ao plotarmos o gráfico com um conjunto de Julia temos:
4.8 Conjuntos de Mandelbrot
Bertold B. Mandelbrot reolvera refazer todos os estudos de Julia pois este não havia gostado dos estudos que Julia havia feito. Quando Mandelbrot terminou sua pesquisa chegou
Figura 11: uma surpresa quando a amostra de milhões de pontos é plotada
a mesma conclusão que Gaston Julia havia chegado. Por ser um modelo mais simples que o de Julia e por possuir recursos com-putacionais, Mandelbrot conseguiu fazer de seu trabalho o berço da teoria dos fractais e também foi possível encontrar relação do trabalho de outros pesquisadores ( Koch, Julia, Cantor, entre outros ), com o seu.
Conjuntos de Mandelbrot é o domínio de convergência da série dos números complexos obtidos através da equação Zn+1 = Zn2 + C.
Onde a variável C permanece constante en-tretanto Z vai variando durante o processo. Na medida em que interagimos com Z, duas coisas podem ocorrer: ou Z ≤ 2 para qual-quer valor dado ou Z > 2. Caso Z supere o valor 2 o número C não faz parte do conjunto de Mandlebort. Em outras palavras, se esse ponto permanecer próximo à origem ( Z < 2 ) ele pertence ao conjunto de Mandelbort, se sair das proximidades da origem e tender ao infinito ele não pertence ao conjunto.
É possível saber se uma dado número C pertence ou não a esse conjunto verificando sua magnitude, a sua distância até origem. Para obter-se a magnitude de um dado ponto aplicando-se o teorema de Pitágoras: D2 =
A2 + B2 logo, D = √A2+ B2, onde D é a magnitude. A B D I R
Figura 12: reta dos imaginários em y, reta dos reais em x, e D é a magnitude
Em [MANDELBROT] Mandelbrot define seu conjunto da seguinte maneira: “Conjun-tos de Mandelbrot marcam os pon“Conjun-tos no plano complexo para os quais o conjunto de Julia é conexo (pode ser separado em dois subconjun-tos que possuam ao menos um elemento), e não computável .”
Ao plotar uma amostra de milhões de pon-tos de um número do conjunto de Mandlebort obtemos:
21 Figura 13: uma surpresa quando a amostra de milhões de pontos é plotada
Para os valores fora das proximidades da origem, onde Z > 2 pode-se aplicar uma cor. Essa cor serve para dizer o quão longe da origem esse ponto se encontra. Quanto mais
rápido a série convergir para o infinito maior é sua velocidade de escape e mais quente é a cor aplicada a este ponto ao contrário das cores mais próximas ao centro que recebem cores mais frias.
Figura 14: as cores mais quentes representam pontos mais afastados da origem, enquanto as cores mais frias pontos mais próximos
4.9 Aplicações
Fractais tem sido usados para descrever muitos aspectos da natureza . Biólogos uti-lizam fractais para investigar a influência da superfície irregular de proteínas nas iterações moleculares, matemáticos montam modelos de crescimento demográficos, modeladores gráficos os utilizam para a geração de terrenos e atmosferas. Fractais também podem ser usa-dos na composição de músicas, compactação de imagens [ZHANG], Conjuntos de Man-dlebort são utilizados em aplicações paralelas como benchmarks, criptografia, codificação e decodificação de audio e vídeo [Moha], entre muitas outras aplicações. Dimensões fractais tem sido utilizadas em geo-tecnologias para a classificação de imagens e estudo de paisagens
[HOTT], estudo do comportamento da World Wide Web (WWW).
Por exemplo, o princípio básico da cod-ificação baseada em fractais é aplicar algu-mas transformações em alguns segmentos ( grandes ) da imagem. Algumas dessas trans-formações utilizam redundância na imagem em escalas diferentes. Utilizando-se do fato de que partes diferentes da imagem em es-calas diferentes são semelhantes. Pode-se en-tão reconstruir a imagem ( com perda ) uti-lizando somente os parâmetros da transfor-mação [ZHANG].
5 Conclusão
Fractais são uma outra visão da geometria do mundo, uma nova maneira de ver e organizar velhas coisas. Como sempre, as criações do homem acabam refletindo em alguma coisa já existente na natureza, nesse caso, os fractais. Os fractais da natureza não são tão perfeitos como os fractais gerados pelo homem, e por isso que por muitos séculos achava-se que es-sas formas naturais eram não pussuiam formas geométricas.
Muitas teorias foram criadas em cima dessas formas mas nunca consegui-se organizar as idéias a ponto de criar uma definição formal para o que viria se tornar a teoria dos frac-tais. Mandelbrot foi o matemático que con-seguiu unir todos os fragmentos de idéias e criar uma grande idéia, e esta deu origem à teoria de fractais. Um dos pontos importante de Mandelbrot foi o uso de computadores para fazer seus os cálculos e simulações algo muito poderoso e que pode-se dizer que tenha tido uma grande chave em todos os seus estudos. Como fractais necessitam de muitas passos de iterações para serem gerados isso é
pratica-mente impossível de ser feito de forma man-ual, e com a ajuda do computador isso torna-se mais viável e o tempo de pesquisa é re-duzido em muito. Fractais podem ser usa-dos de tanto para geração de imagens colori-das quanto para desenhar terrenos complexos. Também é muito utilizado em várias áreas de pesquisa como medicina e física, por exemplo, para explicar muitos fenômenos.
Referências
[HOTT] Hott, Marcos C. et al. Apli-cação da Relação Fractal Com-primento / Área em uma mi-crobacia hidrográfica.
[ZHANG] Ying Zhang, Lai-Man Po .Frac-tal Color Image Compression Using Vector Distortion Mea-sure. Proceedings ICIP-95. [MOHA] Mohammad
Gharavi-Alkhansari, Thomas S. Huang. Video Coding : The Second Generation Approach.
[MANDELBROT] Mandelbrot B.B, The Fac-tal Geomety of Nature. Up-dated Version. 1983. ISBN 0-7167-1186-9
[PEITGEN1] PEITGEN, Heinz-Otto; JÜR-GENS, Hartmut; SAUPE, Di-etmar. Fractals for the class-room. Springer-Verlag, New York, 1992.
[PEITGEN2] PEITGEN, Heinz-Otto; RICHTER, Peter H.. The
beauty of fractals. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1986.
[HUTCHINSON] HUTCHINSON,J.E; Frac-tals and the Self-similarity, In-diana university Mathematics, p. 16, 1981 [MATH1] http://www.emayzine.com/infoage/math/ math4.htm [MATH2] http://www.olympus.net/personal/dewey/ mandelbrot.html [MATH3] http://www.geocities.com/CapeCanaveral/ 2854/mandelbrot.html [MATH4] http://mathworld.wolfram.com/
