Neste capítulo, apresenta-se uma breve descrição dos métodos numéricos usados na resolução da não linearidade do problema e a formulação em elemen-tos finielemen-tos do fluxo e dos acoplamenelemen-tos implementados.
4.1
Métodos numéricos
Os sistemas de equações a serem resolvidos são não simétricos e os problemas são, eventualmente, não lineares (Cunha, 2000 [77]). Para resolução destes sistemas, pode-se lançar mão dos métodos dos elementos finitos (Assan, 1999 [75]) e / ou diferenças finitas.
O método das diferenças finitas em sua forma elementar, que é o mais antigo dos métodos acima, tem a vantagem de ser conceitualmente simples e de fácil entendimento (Frind, 1995 [58]), mas não é aplicável quando a geometria do contorno é irregular. Já o método dos elementos finitos é altamente flexível e versátil na representação de domínios com geometria irregular ou meio anisotrópico e heterogêneo; é um pouco mais complicado que o das diferenças finitas, mas fornece uma ferramenta mais poderosa e versátil para ser usado quando os princípios básicos são dominados. Em termos de precisão global, estes métodos são essencialmente equivalentes. Qualquer um destes métodos pode ser aplicado para solução de fluxo e problemas de transporte, e qualquer um permite a incorporação de interações, por exemplo, químico-biológicas (Frind, 1995 [58]). O método dos elementos finitos consiste em, dado um domínio com uma geometria qualquer, dividi-lo em sub-domínios mais simples, chamados de elementos (Campos, 1999 [76]). O método permite que seja obtida a solução ou uma aproximação desta, para qualquer forma geométrica, utilizando a aproximação dos valores nodais no domínio do elemento. Esta aproximação é feita utilizando-se funções de interpolação no interior do elemento (Campos, 1999 [76]).
Sendo a análise numérica do transporte de contaminantes para casos reais, um problema de alto custo computacional, principalmente quando se quer sim-ular o transporte multicomponentes, pode ser necessário a paralelização do pro-blema, através da utilização de mais de uma máquina ou a mesma com mais de um processador, agilizando-se o processo de convergência do método.
4.1.1
Comportamento oscilatório
As soluções numéricas da equação de transporte exibem, muitas vezes, um comportamento oscilatório e/ou grande dispersão numérica na região relativa-mente próxima às frentes de concentração. Estes problemas podem ser especial-mente sérios para o transporte que tenham a advecção como processo dominante caracterizado por baixas dispersividades. Um modo para evitar as oscilações numéricas é usar os resíduos ponderados. Por outro lado, as oscilações podem, também, ser prevenidas selecionando uma apropriada combinação de discretiza-ção no espaço e no tempo. Dois números adimensionais podem ser usados para caracterizar as discretizações no espaço e no tempo (Daus et al., 1985 [17]). Um destes é o número de Peclet, P eei, que define o tipo predominante de transporte de soluto (notavelmente a taxa dos termos de transporte advectivo e dispersivo) em relação à baixa discretização da malha de elementos finitos (equação 4-1).
P eei = Bi∆xi Eii
(4-1) sendo:
∆xi - comprimento característico de um elemento finito; Bi- termo convectivo na equação de transporte (velocidade); Eii- termo dispersivo na equação de transporte (dispersividade).
Para obter resultados numéricos aceitáveis, a discretização espacial pode ser refinada para manter um baixo número de Peclet. A oscilação numérica pode ser, virtualmente, eliminada quando os números de Peclet não excedem 2. Entretanto, baixas oscilações são aceitáveis e podem ser obtidas com números de Peclet local tão grande quanto 10 (Huyakorn and Pinder, 1983 [14]).
Um segundo número adimensional que caracteriza a extensão relativa das oscilações numéricas é o número de Courant, Coei. O número de Courant é associado à discretização no tempo (equação 4-2).
Coei = Bi∆t
∆xi (4-2)
sendo:
∆t - incremento de tempo.
O critério (equação 4-3) pode ser utilizado para estabilização da solução, este foi desenvolvido por Perrochet e Berot, 1993 [49].
P eei · Coe
i ≤ ωs = 2 (4-3)
sendo:
ωs- índice de performance.
O método de Petrov-Galerkin foi desenvolvido para se tentar obter soluções que não apresentem oscilações para números de Peclet acima do limite. Este é um método de resíduos ponderados, onde as funções de ponderação são diferentes das funções de interpolação. Estas funções de ponderação utilizadas no método de Petrov-Galerkin são resultantes da tentativa de se estabilizar a solução da equação de transporte ao se introduzir um termo adicional, que tem como objetivo melhorar as propriedades de estabilidade do sistema de equações gerado pelo método (Campos, 1999 [76]).
Alguns métodos da família de Petrov-Galerkin são listados a seguir: 1. SUPG (“Stream Upwind Petrov-Galerkin”) - propõe uma função de
pon-deração com a qual se obtém a solução exata nodal para o problema unidi-mensional a regime permanente (Brooks e Hughes, 1982 [12]).
2. SUPG / DG (“Stream Upwind Petrov-Galerkin with Discontinuity-Capturing”) - propõe uma melhoria no método SUPG, incorporando um termo para captura de descontinuidade (Hughes et al., 1986 [21]).
3. GLS (“Galerkin Least-Square”) - propõe uma melhoria no método SUPG, introduzindo no termo de estabilização uma componente disper-siva (Hughes et al., 1989 [30]).
4. STGLS (“Space-Time Galerkin Least-Square”) - propõe a estabilização da solução de transporte, introduzindo uma função que representa tanto a dis-cretização espacial quanto a temporal. Neste método há uma expansão do número de variáveis do problema, já que é necessário calcular, simultanea-mente, as concentrações e a variação destas no tempo (Shakib e Hughes, 1991 [22]).
5. CAU (“Consistent Approximation Upwind”) - propõe uma forma consis-tente da determinação da direção de upwind (Galeão e Dutra do Carmo, 1988 [27]). Este método adiciona, de forma consistente, uma perturbação não linear que introduz um controle da derivada na direção de aproxi-mação dos gradientes, evitando oscilações. Almeida e Galeão (1996) [61]
apresentam a generalização do método CAU e sua utilização combinada com os métodos de refinamento de malha, obtendo melhores resultados em regiões de gradientes elevados.
6. GGLS (“Galerkin Gradient Least-Square”) - propõe a adição, ao método de Galerkin, de um termo dependente da malha, obtido através dos mín-imos quadrados dos gradientes da equação que descreve o problema (Franca e Dutra do Carmo, 1989 [31]).
4.2
Métodos iterativos
Por causa da não linearidade nas equações diferenciais parciais que de-screvem o fluxo parcialmente saturado, tem-se um sistema de equações algébri-cas proveniente das aproximações numérialgébri-cas não lineares. Conseqüentemente, é necessário utilizar métodos iterativos para obter a solução. Paniconi et al. (1991) [42] apresenta uma discussão sobre a eficiência dos métodos iterativos. A seguir, nas seções 4.2.1 e 4.2.2 apresentam-se a descrição geral de dois métodos it-erativos que são comumente aplicados a problemas não lineares. Os métodos chamam uma estimativa inicial como solução inicial, em cada método usa-se um algoritmo diferente para obter uma nova solução, até que se tenha a convergência da solução.
4.2.1
Método de Picard
O método de Picard pode ser usado para resolver a não linearidade das equações diferenciais discretizadas em elementos finitos e diferenças finitas. Es-tas equações representam problemas de fluxo não confinado de água subterrânea, intrusão salina e fluxo de gás, dentre outros (Huyakorn e Pinder, 1983 [14]).
O algoritmo geral para iteração de Picard pode ser descrito como a seguir. Considera-se uma família de equações não lineares escritas na forma (equação 4-4):
f1(x1, x2, . . . , xn) = 0, I = 1, 2, . . . , n. (4-4) Sendo:
x1, x2, . . . , xn- váriaveis desconhecidas.
Primeiramente, constrói-se a família de funções auxiliares g1(x1, x2, . . . , xn) tal que:
EIJxJ = gI (4-5)
A solução da equação 4-5 pode ser expressa na seguinte forma (equação 4-6):
xrr+1J = (EIJrr)−1grrI (4-6) Sendo:
rr - contador de iteração com valor inicial igual a 1. (Err
IJ) −1
- elementos da matriz inversa [Err]−1
Figura 4.1: Ilustração gráfica do método iterativo de Picard em uma variável (Huyakorn e Pinder,1983[14]).
Da figura 4.1 tem-se duas séries. Série de equações não lineares.
y = x1, E11 = 1 (4-7)
Série de funções auxiliares.
y = g1(x1) (4-8)
Critério de convergência
Como critério de convergência para ao método pode-se usar a seguinte expressão (equação 4-9).
maxj|xrr+1j − xrrj | maxj|xrr+1j |
≥ ε (4-9)
Sendo:
ε - tolerância prescrita para valores de x.
4.2.2
Método Newton-Raphson
Para alguns problemas altamente não lineares, a taxa de convergência de 1a ordem obtida pelo método de Picard pode não ser muito eficiente. Neste caso, é necessário empregar o método de Newton-Raphson, que normalmente converge mais rapidamente.
Para descrever este método considera-se, novamente, o sistema de equações lineares representado pela equação 4-4. Assumindo que as funções f1 são contínuas, pode-se fazer a expansão em série de Taylor em torno do ponto inicial (xrr1 , xrr2 , . . . , xrrn). Truncando os termos de segunda ordem e ordem su-perior, obtém-se a equação 4-10.
fIrr+1 = fI xrr+11 , x rr+1 2 , . . . , x rr−1 n fI x rr 1 + ∆x rr+1 1 , . . . , x rr n + ∆x rr+1 n ' fIrr+ ∂fI ∂xJ ∆xrr+1J (4-10) Sendo:
∆xrr+1J - vetor deslocamento, definido como ∆xrr+1J = xrr+1J − xrr J
Para o caso simples de uma variável desconhecida, as operações de ambas as versões do método de Newton-Raphson (com e sem atualização da derivada a cada passo de tempo) podem ser representadas graficamente, conforme mostra a figura 4.2.
Pela figura 4.2 pode-se notar que, quando o método de Newton-Raphson usa atualização da derivada a cada passo de tempo (inclinação variável), converge mais rápido que para o mesmo método que não utiliza a atualização da derivada a cada passo de tempo (inclinação constante).
Figura 4.2: Ilustração gráfica do método iterativo de Newton-Raphson (Huyakorn e Pinder,1983[14]).
4.3
Modelagem em elementos finitos e diferenças finitas
4.3.1
Modelagem do fluxo monofásico
O método de elementos finitos de Galerkin com funções lineares é usado para obter uma solução da equação de fluxo (equação 2-1), submetido à im-posição das condições iniciais e de contorno.
Discretização espacial
A variável dependente, função carga de pressão h(x, z, t), é aproximada por uma função h0(x, z, t) como segue (equação 4-11).
h0(x, z, t) = N umP N X n=1 φn(x, z)hn(t) (4-11) Sendo:
φn- funções lineares básicas que satisfazem a condição φn(xm, zm) = δmn; hn - coeficientes desconhecidos representando a solução da equação 2-1 nos pontos nodais;
N umP N - número total de pontos nodais.
O método de Galerkin postula que o operador diferencial associado à equação de Richards (equação 2-1) é ortogonal para cada função na base N , isto é: Z Ω ∂θ ∂t − ∂ ∂xi K KijA+ KizA∂h ∂xj + S φndΩ = 0 (4-12)
Aplicando a primeira identidade de Green à equação 4-12, e trocando h por h0, tem-se a equação 4-13.
X e Z Ωe ∂θ ∂tφn+ KK A ij ∂h0 ∂xj ∂φn ∂xi dΩ = X e Z Γe K KijA∂h 0 ∂xj + KizA niφndΓ + X e Z Ωe −KKA iz ∂φn ∂xi − Sφn dΩ (4-13) Sendo:
Ωe- domínio ocupado pelo elemento e; Γe- segmento do contorno do elemento e.
As condições de contorno tipo fluxo natural (Neumann) e gradiente podem ser incorporadas, imediatamente, ao esquema numérico pela especificação da integral de linha na equação 4-13.
Após a integração sobre os elementos, o procedimento leva a um sistema dependente do tempo de equações diferenciais ordinárias com coeficientes não lineares. Na forma de matriz, as equações são dadas pela equação 4-21.
[F ]d{θ} dt + [A]{h} + [G]T = {Q} − {B} − {D} (4-14) Anm = X e (KlKij + Dh) Z Ωe φl ∂φn ∂xi ∂φm ∂xj dΩ = X e k 4Ae ¯ KKxxAbmbn+ KxzA (cmbn+ bmcn) + KzzAcncm + X e k 4Ae ¯ K D¯h K (bmbn+ cmcn) (4-15)
Gnm = X e (DT v + DT a) Z Ωe φl ∂φn ∂xi ∂φm ∂xj dΩ = X e k 4Ae (DT v + DT a) (cmbn+ bmcn) (4-16) Bn = X e (KlKiz) Z Ωe φl ∂φn ∂xi dΩ = X e k 2 ¯ K KxzAbn + KzzAcn (4-17) Dn= X e Sl Z Ωe φlφndΩ = X e k 12Ae 3 ¯S + Sn (4-18) Fnm = δnm X e Z Ωe φndΩ = δnm X e k 3Ae (4-19) Qn = −X e σ1l Z Λe φlφndΛ = −X e σ1nλn (4-20) Discretização no tempo
A integração da equação 4-21 no tempo é alcançada pela discretização no domínio do tempo numa sequência de intervalos finitos e substituindo as derivadas no tempo por diferenças finitas. Um esquema implícito (em atraso) de diferenças finitas é usado tanto para condições saturadas quanto para não saturadas. [F ]{θ}j+1− {θ}j ∆tj + [A]j+1{h}j+1+ [G]j+1{T }j+1 = {Q}j+1− {B}j+1− {D}j+1 (4-21) Sendo:
j + 1 - nível de tempo corrente em que a solução está sendo considerada; j - nível de tempo anterior;
∆tj = tj+1− tj - variação do tempo.
A equação 4-21 representa a série final de equações algébricas a serem resolvidas. Os coeficientes θ, A, B, D, e Q (para condições de contorno tipo
gradiente) são funções da variável dependente h. A família destas equações é, geralmente, de equações não lineares.
Estratégia de solução numérica
Por causa da natureza não linear da equação 4-21, um processo iterativo pode ser usado para obter soluções da equação da matriz global a cada novo passo de tempo. Para cada iteração um sistema de equações algébricas linearizadas é, primeiramente, derivado da equação 4-21 que, após incorporação das condições de contorno, é resolvido usando-se a eliminação de Gauss. O processo de elimi-nação de Gauss tem a vantagem das matrizes dos coeficientes terem caracterís-ticas de banda e simétricas na equação 4-21. Depois, os coeficientes na equação 4-21 são reavaliados usando a solução inicial, e as novas equações são resolvidas novamente. O processo iterativo continua até que um grau de convergência satis-fatório seja obtido, isto é, até que, em todos os nós da região não saturada (região saturada), a variação absoluta no teor de umidade (carga de pressão) entre duas iterações sucessivas torne-se menor que os pequenos valores determinados pela tolerância do teor de umidade absoluto imposto (carga de pressão).
4.3.2
Modelagem do fluxo bifásico
O fluxo bifásico pode ser representado por uma formulação matricial (equações 4-22 e 4-23), conforme demonstrado por Borges (2002) [81]. Duas mudanças foram feitas nesta formulação em relação a de Borges (2002) [81], acrescentou-se a influência da temperatura no fluxo bifásico e a dissolução de NAPLs foi desprezada. Logo, esta equação será aplicada a fluxo com transporte sem dissolução de NAPLs e a problemas de fluxo com uma fase gasosa e outra líquida não isotérmico.
− [Hw]pt+∆tw − [M Sw] ∂Sw ∂t = [Hw] {ρw· g · z} + [T emp] {Tt} − {qw} (4-22) − [Hn+ Rs· Hw]pt+∆tw − [M Sn] ∂Sw ∂t = [Hn+ Rs· Hw]pn/w+ ρn· g · z + [T emp] {Tt} − {qn} (4-23)
Sendo: pt+∆t
w - vetor nodal da pressão da fase molhante no passo atual; St+∆t
w - vetor nodal do grau de saturação da fase molhante no passo atual;
{St
w} - vetor nodal do grau de saturação da fase molhante no passo anterior; {Tt} - vetor nodal de tempetraturas determinado pela solução da equação de calor;
{qw} - vetor nodal da vazão prescrita da fase molhante; {qn} - vetor nodal da vazão prescrita da fase não molhante; α - fator de ponderação no tempo (α ∈ [0, 1]).
– método das diferenças finitas em avanço (explícito) → α = 0.0; – método das diferenças finitas em atraso (implícito) → α = 1.0; – método de Crank-Nicolson → α = 0.5;
Para cada elemento definem-se as matrizes [Hw] (equação 4-24), [Hn] (equação 4-25), [T emp] (equação 4-26), [M Sw] (equação 4-27) e [M Sn] (equa-ção 4-28). [Hw]elem = krw µwBl Z Ω [B]T[K][B] dΩ (4-24) [Hn]elem = krn µnBg Z Ω [B]T[K][B] dΩ (4-25) [T emp]elem= Z Ω [B]T[DT ][B]dΩ (4-26) [M Sw]elem = 1 Bl [M S]elem (4-27) [M Sn]elem= 1 Bg − Rs Bl [M S]elem (4-28) Sendo: [M S]elem= n · Z Ω [N ][N ]T dΩ (4-29) Sendo:
[B] - matriz de derivadas das funções de interpolação;
[K] - tensor de permeabilidades absolutas com influência dos coeficientes térmicos (Dh, DT V e DT a);
[N ] - matriz das funções de interpolação;
[DT ] - matriz de difusividades térmicas no ar e no vapor.
Os elementos do vetor dos graus de saturação são dados pela equação 4-30.
Swt+α·∆t = (1 − α) · Swt + α · Swt+∆t (4-30) Implementaram-se os modelos de Brooks e Corey (1964) [5] (citado por Borges, 2002 [81]) e de van Genuchten (1980) [11] (citado por Borges, 2002 [81]) para o cálculo da pressão capilar. Este valor será corrigido em função da tensão interfacial, utilizando a equação de Leverett (1941) [3] (citado por Demond e Roberts, 1991 [43]).
O método das diferenças finitas possibilita a resolução das equações no tempo. Com isso a variação do grau de saturação foi aproximada conforme equação 4-31. ∂Sw ∂t ≡ St+∆t w − Swt ∆t (4-31)
Com isso, a cada iteração recalculam-se os parâmetros que dependem dos graus de saturação e / ou das pressões. Os valores dos parâmetros encontrados no passo anterior e no atual são usados para calcular os coeficientes das matrizes e dos vetores do problema em questão, conforme a equação 4-32.
X = (1 − α) · Xt+ α · Xt+∆t (4-32) Sendo:
X - parâmetro qualquer
Logo, as equações 4-22 e 4-23 podem ser reescritas, resultando nas equações 4-33 e 4-34.
− [Hw]pt+∆tw − [M Sw]Swt+∆t = [Hw] {ρw· g · z}
− [M Sw]Swt + [T emp] {Tt} − {qw} (4-33)
− [Hn+ Rs· Hw]pt+∆tw − [M Sn]Swt+∆t =
[Hn]pn/w+ ρn· g · z − [M Sn]Swt + [T emp] {Tt} − {qn} (4-34) O sistema formado pelas equações 4-33 e 4-34 pode ser resolvido por meio de dois métodos, o método de solução simultânea (SS) e o de pressão implícita - saturação explícita (IMPES) (Borges, 2002 [81]). Conforme verificado por Borges (2002) [81], o método SS é mais eficaz, por isso foi implementado, somente, este método neste trabalho. Além disso escolheu-se, também, a pressão
e o grau de saturação da fase molhante como variáveis independentes, conforme pode ser visto nas equações 4-33 e 4-34.
No método SS, as equações de pw e Sw são resolvidas simultaneamente, resolvendo o sistema de equações 4-35. As pressões e os graus de saturação nodais foram implementados, alternadamente, no vetor de incógnitas, da maneira sugerida por Borges (2002) [81], com o objetivo de obter uma menor largura de banda da matriz de coeficientes.
" −[Hw] −[M Sw] −[Hn] + Rs[Hw] [M Sn] # ( {pt+∆t w } {St+∆t w } ) = ( [Hw] {ρwgz} − [M Sw]{Swt} + [T emp] {Tt} [Hw] {pn/w+ ρngz}[M Sn]{Swt} + [T emp] {Tt} ) − ( {qw} {qn} ) (4-35)
A velocidade de fluxo de cada fase em cada elemento e calculada pela lei de Darcy, dada pela equacao 4-36.
{vt+∆t
w } = −[HDw]{φt+∆tw } (4-36) Sendo que o vetor de velocidades no passo atual é dado por:
{vwt+∆t} = ( vw(i)t+∆t vw(j)t+∆t ) (4-37) sendo i e j duas direcoes perpendiculares;
[HDw]elem = krw µw Z Ω [K][B]dΩ (4-38) 4.3.3
Modelagem dos acoplamentos
O método de elementos finitos de Galerkin é usado para resolver as equações de transporte de soluto e de O2 e transferência de calor submetidas às condições de contorno e iniciais. As equações de transporte de soluto, O2 e transferência de calor têm a mesma forma (em sua formulação linear), por isso a solução numérica será dada somente uma vez para a seguinte equação de dispersão-convecção (equação 4-39): −A∂c ∂t − Bi ∂c ∂xi + ∂ ∂xi Eij ∂c ∂xj + F c + G = 0 (4-39) Sendo que c representa as três variáveis desconhecidas c, cae T .
– transporte de solutos A = θ Bi = qi Eij = θDij F = S G = −ρ∂¯c ∂t − ρ ∂ˆc ∂t (4-40) – transferência de calor A = C(θ) Bi = Cwqi Eij = λij F = 0 G = 0 (4-41) – transporte de oxigênio A = θa+ θKc Bi = qiKc Eij = θaDaij + θD w ijKc F = ∂θ ∂t G = P (4-42) Acoplamento térmico
Os acoplamentos são realizados como ilustra o fluxograma do programa de análise (figura 5.2 do capítulo 5 e seção 5.2). Estes acoplamentos, menos o termo-hidráulico, são feitos de forma seqüencial sem iteração no mesmo passo de tempo com a equação de fluxo. Já o acoplamento termo-hidráulico tem iteração no mesmo passo de tempo até a convergência, como ilustrado na figura 4.3. Este acoplamento é chamado de “Staggered”.
A seguir descreve-se a ordem de operação mostrada na figura 4.3:
(a) a equação de fluxo bifásico é resolvida, até convergir, no passo de tempo; (b) os valores de pressão são utilizados na solução do calor;
(c) a equação de calor é resolvida, até convergir, no passo de tempo;
Figura 4.3: Ilustração do acoplamento termo-hidráulico.
(d) o valor de temperatura é usado para resolver a equação do fluxo bifásico
novamente.
O processo iterativo continua até que os valores de pressão / saturação de ar e água e a temperatura alcancem um grau de convergência satisfatório, dado pela tolerância.
Aplicando o método de Galerkin juntamente ao teorema de Green com funções de aproximação semelhantes às apresentadas no fluxo.
Após a integração sobre os elementos, o procedimento leva a um sistema dependente do tempo de equações diferenciais ordinárias com coeficientes não lineares. Na forma de matriz, as equações são dadas pela equação 4-43.
[FT]d{T } dt + [A T]{T } + [G1T]{p v} + [G2T]{pg} = −{QT} (4-43) G1Tnm=X e (LDatmνvτvθg) Z Ωe φl ∂φn ∂xi ∂φm ∂xj dΩ = X e k 4Ae [LDatmνvτvθg(bmbn+ cmcn)] G2Tnm =X e (ρvKgL) Z Ωe φl ∂φn ∂xi ∂φm ∂xj dΩ = X e k 4Ae [ρvKgL (bmbn+ cmcn)] FnmT = δnm X e −HT Z Ωe φndΩ = −δnm X e kAe 12 3 ¯HT + HT δnm (4-44)
QTn = −X e σ1l Z Γe φlφndΓ = − X e σ1nλn (4-45)
A seguir, apresentam-se a formulação para as três formas de acoplamento químico, iterativo, seqüencial e misto.
Acoplamento químico iterativo
As equações 4-46, 4-47 e 4-48 apresentam a formulação para este tipo de acoplamento. – Passo 1 (Cint k − Ckn) ∆t = L(Ck) n+1/2+ 1 2R equil k δ t + ∆t 2 k = 1, · · · , Nc (4-46) – Passo2 (Ckn+1− Cint k )δ t + ∆t 2 = 1 2R equil k δ t + ∆t 2 k = 1, · · · , Nc (4-47) – Integrando (Passo 1 + Passo 2)
(Cks+1− Cks) = LL(Ck)s+1/2 ∆t + R equil
k k = 1, · · · , Nc (4-48) sendo:
s e s + 1 - níveis de tempo anterior e atual, respectivamente; Nc - número de componentes presentes em cada fase; Cint
k - valor intermediário de concentração; ∆t - incremento de tempo;
LL - operador diferencial espacial;
Requilk - massa relativa (M/M ) gerada ou consumida instantaneamente no equilíbrio do sistema no tempo t + ∆tequil;
δ t +∆t2 - função delta de Dirac (1/T ).
Acoplamentos químico seqüencial
O acoplamento seqüencial é realizado em dois passos distintos, um físico (equação 4-49) e outro químico (equação 4-50).
– Passo 1 (Físico) (Ckphys− Cs k) ∆t = LL(Ck) s+1/2 k = 1, · · · , N c (4-49) – Passo 2 (Químico) (Cks+1− Ckphys)δ (t + ∆t) = Requilk δ (t + ∆t) k = 1, · · · , Nc (4-50) sendo:
Ckphys- concentração no final do passo físico.
Acoplamento químico misto
O acoplamento misto é uma combinação do iterativo com o seqüencial. O que se faz neste tipo de acoplamento é transportar, separadamente, alguns el-ementos químicos cujos parâmetros de transporte não devem ser considerados como parâmetros médios (por exemplo, o oxigênio) e os demais são transporta-dos como uma massa de contaminantes.
Discretização espacial
A aplicação do método de Galerkin padrão leva a seguinte série de N equações (4-51): Z Ω −A∂c ∂t − Bi ∂c ∂xi + ∂ ∂xi Eij ∂c ∂xj + F c + G φndΩ = 0 (4-51)
Aplicando-se o teorema de Green à derivada segunda da equação 4-51 e substituindo c por c0, resulta no seguinte sistema de equações diferenciais dependentes do tempo (equação 4-52):
X e Z Ω −A∂c 0 ∂t − Bi ∂c0 ∂xi + F c0+ G φn− Eij ∂c0 ∂xj ∂φn ∂xi dΩ +X e Z Γe Eij ∂c0 ∂xj niφndΓ = 0 (4-52)
Na forma matricial, tem-se (4-53):
[Q]d{c}
dt + [S]{c} + {f } = −{Q
D} (4-53)
Discretização no tempo
O método de Galerkin é, somente, usado para a aproximação das derivadas espaciais, enquanto as derivadas no tempo são discretizadas pelo princípio das diferenças finitas. A aproximação de primeira ordem das derivadas no tempo leva à seguinte série de equações algébricas (equação 4-54):
[Q]j+
{c}j+1− {c}j
∆t + α[S]j+1{c}j+1+ (1 − α)[S]j{c}j+
α{f }j+1+ (1 − α){f }j = 0 (4-54) Sendo que a matriz de coeficientes [Q]j+é avaliada usando-se as médias ponderadas dos valores nodais de A anterior e corrente. A equação 4-54 pode ser reescrita na seguinte forma (equação 4-55):
[G]{c}j+1 = {g} (4-55)
Estratégia de solução numérica
O processo de solução em cada passo de tempo é feito da seguinte maneira: primeiro, um procedimento iterativo é usado para obter a solução da equação de Richards (equação 2-1) (veja a seção 4.3.1). Após alcançar a convergência, as soluções das equações de transporte (4-55) são seqüencialmente implementadas, primeiro para temperatura, para O2 e finalmente para transporte multicompo-nente de soluto. Isto é feito pela determinação de valores nodais de fluxo de fluido e de carga de pressão através da aplicação da lei de Darcy. Os valores nodais do teor de umidade e do fluxo de fluido no nível de tempo anterior já são conhecidos da solução no passo de tempo anterior. Valores para o teor de umidade e fluxo de fluido são, subseqüentemente, usados como entrada para a
equação de transferência de calor, levando ao sistema de equações algébricas li-neares dado por (4-55). A estrutura da série de equações finais depende do valor do fator de ponderação temporal, α. Os esquemas explícito (α = 0) e o total-mente implícito (α = 1) requerem que a matriz global [G] e o vetor {g} sejam avaliados em, somente, um nível de tempo (nível de tempo corrente ou anterior). Todos os outros esquemas requerem a avaliação em ambos os níveis de tempo. Assim, todos os esquemas exceto para a formulação explícita (α = 0) levam a uma matriz [G] em banda assimétrica. A série de equações algébricas associ-adas é resolvida usando-se um resolvedor de equações matriciais assimétricas padrão (Neuman, 1972 [6], citado por Simunek e Suarez, 1993 [47]). Pelo con-trário, o esquema explícito leva à matriz diagonal [G] que é muito mais fácil de ser resolvida (mas, geralmente requer pequenos passos de tempo). Visto que a equação de transferência de calor (equação 3-32) é linear, um procedimento ite-rativo não é necessário para determinação do fluxo de calor. Os valores de teor de umidade, velocidade e temperatura, obtidos da solução das equações de fluxo de água e transferência de calor, são usados para avaliar os coeficientes da equação de transporte de oxigênio (O2) discretizada. Finalmente, o transporte multicom-ponente de soluto é resolvido baseado no conhecimento do teor de umidade, ve-locidades, temperaturas e concentrações de O2 da solução anterior. A solução do sistema químico multicomponente e seu acoplamento com o transporte de soluto se dá através de um programa de especiação química (Phreeqc) que é respon-sável pela determinação do pH, índice de saturação da solução, concentrações das espécies e elementos, dentre outros. Visto que o fluxo de água é conside-rado invariante com respeito à temperatura, o transporte de O2 e de soluto, e similarmente a transferência de calor é considerada invariante com respeito ao transporte de O2 e de soluto, e finalmente o transporte de O2 é assumido como independente do transporte multicomponente e soluto, não é necessário resolver todas as equações simultaneamente, é possível resolvê-las seqüencialmente.
