Electrónica II. Filtros. Jorge Guilherme 2009 #1

Electrónica II

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #2

Bibliografia:

•

Gobind Daryanani, Principles of Active Network Synthesis

and Design, John Wiley & Sons, 1976.

•

T. Deliyannis, Yichuang Sun, J. K. Fidler, Continuous

Time Active Filter Design, CRC Press 1999.

•

Sedra/Smith, Microelectronic Circuits, Oxford University

Press, 1998.

•

Les Thede, Practical Analog and Digital Filter Design,

Artech House 2004.

•

Wai-Kai Chen, The Circuits and Filters Handbook, CRC

Press 2003.

•

Thomas H. Lee, The Design of CMOS Radio-Frequency

Electrónica II

Filtros

)

(

)

(

)

(

s

Vi

s

Vo

s

T

====

Função de transferência

) ( ) ( ) (

)

(

)

(

j

ω

ωω

ω

T

j

ω

ω

ωω

e

jφφφφ ωωωω

e

αααα ωωωω jφφφφ ωωωω

T

====

====

++++

Resposta de frequência

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

φφφφ

ω

ωω

ω

ττττ

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

∂∂∂∂

∂∂∂∂

−−−−

====

−−−−

====

====

)

(

)

(

)

(

log

20

)

(

)

(

log

20

)

(

10 10

j

T

A

j

T

G

Ganho

Atenuação

Atraso

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #4

Electrónica II

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #6

Electrónica II

Posição dos pólos e zeros num

filtro passa baixo

Posição dos pólos e zeros

num filtro passa banda

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #8

Electrónica II

Projecto de um filtro

Especificações

T(j

ω

)

Função de

Transferência

T(s)

Circuito

ou

Sistema

aproximação realização

)

(

)

(

)

(

)

2

)(

1

(

)

(

)

2

)(

1

(

)

(

s

D

s

N

pn

s

p

s

p

s

zm

s

z

s

z

s

k

s

T

====

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

====

L

L















++++

====

====

====

====

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 2 2 z

s

k

s

N

ks

s

N

ks

s

N

k

s

N

ω

ωω

ω

Funções de 2º ordem:

D(s) polinómio 2º grau

N(s) caso particular do polinómio

determina o tipo de resposta

Passa-baixo

Passa-banda

Passa-alto

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #10 2 2 2 2 2 2 2

)

(

)

(

1

)

(

P P P P P P P P P

s

Q

s

s

k

s

T

s

Q

s

s

k

s

T

s

Q

s

k

s

T

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

++++

++++

====

++++

++++

====

++++

++++

====

Filtros de segunda ordem

Posição dos pólos

Passa baixo

Passa alto

Passa banda

s1

s2

2 2 2 _     −−−− P O O Q ω ωω ω ω ωω ω 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 1 ) ( ) ( ) ( . ) ( 4 2 P P P P P P P P P P P P P P Q Q Q arctg Q j Q s ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ττττ ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω φφφφ ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ++++ −−−− ++++ ⋅⋅⋅⋅ ====       −−−− −−−− ====       −−−− ±±±± −−−− ====

Passa baixo

Electrónica II

Electrónica II

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #16

Aproximação de Butterworth

N P

j

T

2 2

1

1

)

(













++++

====

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

N – ordem do filtro

Electrónica II

para

1

10

1

log

20

max

max

1

1

)

(

10 max 2 10 2

−−−−

====

++++

====

⇒

⇒

⇒

⇒

++++

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

A P

A

A

j

T

εεεε

εεεε

εεεε

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

para

                        −−−− ==== ⇒ ⇒ ⇒ ⇒               ++++ ====                       ++++ −−−− ==== ==== 2 10 2 10 10 2 2 10 2 2 10 log 1 10 log 1 log 10 1 1 log 20 min min P S A N P S N P S s N A

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

N – ordem do filtro

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #18

Posição dos polos

Filtro de Butterworth

N P N N

p

s

p

s

p

s

k

s

T

1 0 2 1 0

1

)

(

)

)(

(

)

(













====

−−−−

−−−−

−−−−

====

εεεε

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

L

Electrónica II

Factores normalizados à frequência de 1rad/s.

Para obtemos a função T(s) è necessário desnormalizar: P N_s S

s

D

s

T

ω ωω ω εεεε 1

)

(

1

)

(

====

====

D(s)

D(s)

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #20

Filtro com ordem par

Filtro com ordem impar

Aproximação de Chebyshev

[[[[

]]]]

[[[[

cosh

(

)

]]]]

para

1

cosh

)

(

1

para

)

(

cos

cos

)

(

)

(

1

1

)

(

1 1 2 2

>>>>

====

≤≤≤≤

====

++++

====

−−−− −−−−

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

n

C

n

C

C

j

T

n n n

Pólos situados em cima de uma elipse

no plano complexo. O numero de pinos

na banda passante é de N-1

1 1

)

(

)

)(

(

2

)

(

2 1 1 N N N P

p

s

p

s

p

s

k

s

T

−−−−

−−−−

−−−−

====

₋₋₋₋

L

εεεε

ω

ωω

ω

Electrónica II

2 P 1 2 2 1 2 2 1 1 ) ( cosh cosh 1 1 ) ( cos cos 1 1 ) (

εεεε

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ωω

ω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ωω

ω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

++++ ==== ⇒ ⇒⇒ ⇒ ==== ≥≥≥≥               ++++ ==== ≤≤≤≤               ++++ ==== −−−− −−−− j T para para N j T para N j T P P P P                       ++++ ==== −−−− P S S N A

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

2 2 1 10 1 cosh cosh log 10 ) (

)

(

)

)(

(

2

)

(

2 1 1 N N N P

p

s

p

s

p

s

k

s

T

−−−−

−−−−

−−−−

====

₋₋₋₋

L

εεεε

ωω

ω

ω

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #22

((((

))))

1

10

1

log

10

max

10 max 2 10

−−−−

====

++++

====

A

A

εεεε

εεεε

N é numero inteiro (ordem do filtro)

















−−−−

++++

































−−−−

















−−−−

≥≥≥≥

1

ln

1

10

1

10

4

ln

2 2 10 max 10 min P S P S A A

N

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

Ω

Ω

Ω

Ω

−−−−

Ω

Ω

Ω

Ω

−−−−

Ω

Ω

Ω

Ω

====

Ω

Ω

Ω

Ω

++++

Ω

Ω

Ω

Ω

−−−−

Ω

Ω

Ω

Ω

====

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

−−−−

Ω

Ω

Ω

Ω

====

Ω

Ω

Ω

Ω

−−−−

Ω

Ω

Ω

Ω

====

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

====

Ω

Ω

Ω

Ω

====

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

−−−−

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

====

Ω

Ω

Ω

Ω

₋₋₋₋ ++++

5

20

16

)

(

1

8

8

)

(

3

4

)

(

1

2

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

2

)

(

3 5 5 2 4 4 3 3 2 2 1 0 1 1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

_{n n n}

Polinóminos de Chebyshev

[[[[

]]]]

[[[[

]]]]

P S S S n S S n P

A

C

A

A

C

A

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

====

Ω

Ω

Ω

Ω

≥≥≥≥

Ω

Ω

Ω

Ω

++++

====

Ω

Ω

Ω

Ω

⇒

⇒

⇒

⇒

====

====

++++

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

min 2 2 max 2 2

)

(

1

log

10

)

(

)

1

(

1

log

10

)

1

(

P s S

S

H

s

T

ω ωω ω ====

====

)

(

1

)

(

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #24

Aproximação inversa de Chebyshev

Aproximação Eliptica (Cauer)

)

(

1

1

)

(

2 2

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

n

R

j

T

++++

====













++++













====

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

εεεε

ω

ωω

ω

1

1

1

)

(

2 2 2 2 n n

C

C

j

T

Rn – função racional de Chebyshev

1 10 10 max −−−− ==== A εεεε

[[[[

1 ( )

]]]]

log 10 min ₁₀ 2R_n2 _S A ==== ++++εεεε ωωωω

Electrónica II

P S

s

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

====

Ω

Ω

Ω

Ω

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #26

Aproximação Bessel Thomson

)

(

)

(

s

D

k

s

T

====

Electrónica II

Comparações de respostas

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #28

Electrónica II

Transformações de frequência

Filtros passa-alto HP obtêm-se a a partir de passa-baixo efectuando uma transformação de frequências

HP

LP

TLP(S)

THP(s)

ω

p --- Amax

ω

s --- Amin

1

_ω

_p/

_ω

_{s --- Amin}

--- Amax

s

S ====ωωωωP

Filtros passa banda

Amax Amin ω ωω ωs1 ωωωωp1 ωωωωp2 ωωωωs2 0 1 2 1 2 1 2 2 0 2

)

(

)

(

S S P P P P Bs s s LP BP

B

s

T

s

T

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω ωω ω

====

====

−−−−

====

====

₌₌₌₌ ++++ Simetria geométrica 2 1 2 0

ω

ωω

ω

P

ωω

ω

ω

P

ω

ωω

ω

====

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #30

Electrónica II

Realization of various second-order filter functions using the LCR resonator of Fig. 12.17(b): (a) general structure, (b) LP, (c) HP, (d) BP, (e) notch at ω₀, (f) general notch, (g) LPN (ω_n≥ω₀), (h) LPN as s→ ∞, (i) HPN (ω_n<ω₀).

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #32

LC

RC

s

s

LC

R

sC

sL

sL

s

T

Z

Z

Z

s

T

1

1

1

1

1

)

(

2

1

2

)

(

2

++++

++++

====

++++

++++

====

++++

====

RC

Q

RC

Q

LC

0 0 2 0

1

1

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

====

====

====

Electrónica II

2 integradores em malha TIL

Q k Q R R R Rf RC 1 2 1 2 2 3 1 1 1 0 −−−− ==== −−−− ==== ==== ==== ω ωω ω 2 2

)

(

P P P LP

s

Q

s

k

s

T

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

₊₊₊₊

++++

====

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #34

Electrónica II

Simulador de bobina

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #36

Y2 Y3 Y4 Y5

Y6 Y1

GIC – Generalized Immitance Converter

5

3

6

4

2

1

Y

Y

Y

Y

Y

Y

====

G2 G3 G4 C5 G6 Y1

5

3

6

4

2

1

sC

G

G

G

G

Y

====

Simulação de bobine de Antoniou

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #38 Vin Vo K Y1 Y4 Y5 Y3 Y2 Y6 R R(K-1)

Secções com um ampop

Secção de Rauch

K = -∞

Secção de Sallen & Key

((((

1 2 3 4

)))) ((((

[[[[

5

))))

3 6

]]]]

3

((((

3 4

))))

3 1

1

K

Y

Y

Y

Y

KY

Y

Y

Y

Y

Y

Y

KY

V

V

i O

++++

−−−−

++++

++++

−−−−

++++

++++

++++

====

Electrónica II

Sallen e Key

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #40 Vin Y1 Vo Y4 Y5 Y3 Y2

Secção de Rauch

Secção de Rauch

K = -∞ e Y

6

= 0

((((

1 2 3 4

))))

5 3 4 3 1

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

V

V

i O

++++

++++

++++

++++

−−−−

====

Passa-banda

1/R1

sC4

sC3

1/R2

1/R1

Passa-alto

1/R1

sC4

sC3

1/R2

sC1

Passa-baixo

sC5

1/R1

1/R1

sC2

1/R1

Tipo de Filtro

Y5

Y4

Y3

Y2

Y1

Electrónica II

Vin Vo Y1 Y4 Y6 Y3 Y2

Secção de Sallen & Key

Ganho finito K, (K > 0) e Y

₅

=0

((((

1 2 3 4

))))

6

((((

1 2

))))

3

((((

))))

3 4 3 1

1

K

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

KY

V

V

i O

−−−−

++++

++++

++++

++++

++++

++++

====

Passa-banda

1/R6

1/R4

sC3

sC2

1/R1

Passa-alto

1/R6

1/R4

sC3

0

sC1

Passa-baixo

sC6

sC4

1/R3

0

1/R1

Tipo de Filtro

Y6

Y4

Y3

Y2

Y1

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #42

Transformação complementar

•Trocar o nó de saída com o nó de massa da rede. Nós do ampop que liguem à massa devem ligar à saída. •Trocar os terminais de entrada do ampop

Obtêm-se uma função de transferência que tem os mesmos polos mas característica complementar à inicial. Ex:Transformação passa-baixo passa-alto

Electrónica II

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #44 r1 r2 Vin R1 R2 C2 C1 r1 r2 Vin R1 R2 C2 C1 r1 r2 Vin R1 R2 C2 C1

Transformação complementar Transformação RC:CR

2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 ) ( 2 C C R R C R k C R C R s s C C R R k s T ++++       _{++++ ++++} −−−− ++++ ==== 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 ) ( 2 C C R R C R k C R C R s s C R k s s T ++++       _{++++ ++++} −−−− ++++ −−−− ==== 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 ) ( 2 2 C C R R C R k C R C R s s ks s T ++++       _{++++ ++++} −−−− ++++ ====

Passa-baixo

Sallen e Key

Passa-banda

Passa-alto

Sallen e Key

Electrónica II

r1/(1-c)

r2

C1

(1-b)C2

R1/(1-a)

R1/a

Vin

R2

bC2

r1/c

Criação de zeros com frequência finita

≠≠≠≠

0

Secção de Sedra

2 2 2 ) ( P P P s Q s C Bs As s T

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

₊₊₊₊ ++++ ++++ ++++ ====

((((

))))

((((

))))

_      −−−− ++++ ==== ====       ++++ −−−−       ++++ ==== −−−− ++++ ==== 1 2 2 1 2 1 1 2 // 1 12 2 12 1 2 2 1 1 2 1 12 1 1 2 1 1 2 r r c a a C C R R C R R R C R C R r r c C R b r r B c b r r b A

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #46

Associação em cadeia de secções biquadráticas (SB)

Biq1 Biq2 Biq3 Biqn

Vin Vo 2 2 2 2

)

(

Pi Pi Pi Zi Zi Zi i

s

Q

s

s

Q

s

s

B

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

++++

++++

++++

++++

====

((((

))))

((((

))))

∏

∏

∏

∏

∏

∏

∏

∏

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

==== ==== ==== ====

−−−−

−−−−

====

====

====

_N i Pi M i Zi N M N i i i M i i i

s

s

s

s

s

s

s

D

s

N

s

T

0 0 0 0

)

(

)

(

)

(

ββββ

αααα

ββββ

αααα

• Factoriza-se a função de transferência em Secções Biquadraticas

• Realiza-se cada SB com circuito activo-RC

• Cada SB deve ter impedância de saída nula

Electrónica II

Electrónica II

Electrónica II

Sencibilidade dos filtros

Sencibilidade relativa:

∑

∑

∑

∑

==== → → → → ∆∆∆∆

∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

∆∆∆∆

∆∆∆∆

====

N i i i T x x y x

x

T

T

x

S

x

y

y

x

x

x

y

y

S

i 1 0

lim

∑

∑

∑

∑

====

∆∆∆∆

====

∆∆∆∆

N i i i y x

x

x

S

y

y

i 1

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #50

Circuitos com condensadores comutados. Utilização em microelectronica

Tck V C Tck Q Q t Q i C Q V C Q 1 . 1 2 1 0 0 . 1 2 1 . 1 1 ==== −−−− ==== ∆∆∆∆ ∆∆∆∆ ==== ==== ==== ==== 1 2 2 . Re 1 1 Re C C Tck C q C Tck i V q ==== ==== ==== ====

ττττ

Electrónica II

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #52

Electrónica II

Resposta de frequência de um amplificador sintonizado

RC B Q RC B LC o o o

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ω

==== ==== ==== ==== 1 1 B – largura de banda a –3dB

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #54

Resposta síncrona

1 2 1 −−−− ==== o N Q B ωωωω

N – numero de andares em cascata

        −−−− ++++ ++++         −−−− −−−− ++++ ==== 2 2 4 1 1 2 4 1 1 2 1 ) ( Q j Q s Q j Q s s a s T o o o o ωωωω ωωωω ωωωω ω ωω ω

Electrónica II

Resposta escalonada

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© Jorge Guilherme 2009 #56

Electrónica II

Programa de síntese de filtros

Electrónica II

© Jorge Guilherme 2009 #58

Realização passiva

Electrónica II