Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias. Resistência dos Materiais II Estruturas III. Capítulo 2 Torção

Capítulo 2

Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal.

Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.

• Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo.

• A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada,

considerando um eixo formado por tiras axiais separadas.

• As tiras deslizam umas em relação as

outras quando torques iguais e opostos são aplicados às extremidades do eixo.

• A experiência mostra que o ângulo de torção da barra é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra.

L T    

• Quando submetido à torção, cada seção transversal de um eixo circular permanece plana e indeformada.

• Seções transversais para barras circulares cheias ou vazadas permanecem planas e indeformadas, porque a barra circular é axissimétrica.

• Seções transversais de barras não circulares são distorcidos quando submetidas à torção.

I_p: momento polar de inércia da área da seção.





_max  e



 p p Tr T I I

ρ: distância radial da linha central do eixo

T: torque interno resultante que age na seção τ: tensão de cisalhamento (máxima na

Ângulo de torção:

p

TL

I G





G : módulo de elasticidade ao cisalhamento L: comprimento do eixo

Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do

comprimento, o ângulo de rotação é

encontrado como a soma de rotações de cada segmento. i i i pi i T L I G  



Convenção de sinais

O eixo de seção circular BC é vazado com diâmetros interno e externo de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os eixos de seção circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d. Para o carregamento mostrado na figura, determine: (a) as tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa.

-Cortar seções ao longo das barras AB e BC e realizar análise de equilíbrio estático para encontrar cargas de torque.

-



CD AB AB x T T T M         m kN 6 m kN 6 0



 



m kN 20 m kN 14 m kN 6 0          BC BC x T T M

-(a)Aplicar fórmulas de torção elástica para encontrar tensões mínima e máxima na barra BC.



4 4



 4





4 2 1 6 4 0,060 0,045 2 2 13,92 10 m p I  r r        _  _      2 max 2 6 4 20 kN m 0,060m 86.2MPa 13,92 10 m BC p T r I      _      1 min 1 6 4 min 20 kN m 0,045m 13,92 10 m 64,7MPa BC p T r I           max min 86,2MPa 64,7MPa    

(b)Dada a tensão de cisalhamento admissível e torque aplicado, inverte-se a fórmula de torção elástica e

encontra-se o diâmetro necessário.

max 4 3 2 2 3 6kN m 65 38,9 10 m p Tr Tr _MPa I r r r          

2

77,8mm

d



r



Dadas as dimensões da barra e do torque aplicado (solicitação), gostaríamos de encontrar as reações de torque em A e B. A partir de uma análise de

corpo livre da barra,

estaticamente indeterminado

(1)

A B

T



T



T

EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE:

Dividindo o eixo em dois componentes que devem ter deslocamentos rotacionais compatíveis,





















0

(2)

A AC B CB AB AC CB p p AC B A CB

T L

T L

I G

I G

L

T

T

L

Teremos um sistema: A B AC B A CB

T

T

T

L

T

T

L

          CB A AC B

L

T

T

Ll

L

T

T

Ll

 

1)O eixo maciço de aço mostrado abaixo tem diâmetro de 20mm. Se for submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B. Respostas: T_A=-345Nm e T_B=645Nm

2)Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. I_p é constante. Resposta: 16,3MPa

3) O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 0,5in e CB, com diâmetro de 1in. Se estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 500lb.ft, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo. G_aço=10,8(103_{)ksi. Resposta: τ}

max=29,3ksi

O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço unido a um núcleo de latão. Se um torque de T=250Nm for aplicado em sua

extremidade, como se distribuem as tensões de cisalhamento ao longo da linha radial de sua área de seção transversal?

G_AÇO=80GPa G_LAT=36GPa

2.3- Estruturas heterogêneas quanto

aos materiais

250

(1)

Aço LAT

T



T



Nm

A reação na parede é representada pelas quantidades desconhecidas de torque às quais resistem o aço e o latão. O equilíbrio exige:

Compatibilidade:

Exige-se que o ângulo de torção na

extremidade A sejam o mesmo para o aço e para o latão, visto que eles estão unidos.

Aplicando a relação carga-deslocamento, temos:

AÇO LAT

 







/

_p

TL I G





AÇO _LAT pAÇO AÇO pLAT LAT

T L

_{T L}

I

G



I

G



_/2



₂₀  4 ₁₀ 4 _{80 10}3 _/ 2



_{/2 10}



 4 _{36 10}3 _/ 2 AÇO _LAT T _T mm N mm mm mm N mm   _  _    

33,33 (2) AÇO LAT

T  T

Resolvendo o sistema:

Pela fórmula da torção:

Observe a descontinuidade da tensão de cisalhamento na interface latão-aço. Isso era de se esperar, já que os materiais têm módulos de rigidez diferentes. 242,72 7,28 AÇO LAT T Nm T Nm  





_

 

3

_

_{ }4 7,28 10 10 4,63 /2 10 LAT máx Nmm mm MPa mm    

 

_

_

_

 

3 _{ }4 _4 242,72 10 20 20,6 /2 20 10 AÇO máx Nmm mm MPa mm mm         

 

_

_

_

 

3 _{ }4 _4 242,72 10 10 10,3 /2 20 10 AÇO mín Nmm mm MPa mm mm          max p Tr I





4)O eixo é feito de um tubo de aço com núcleo de latão. Se estiver preso a um dos apoio rígido, determine o ângulo de torção que ocorre em sua extremidade. G_AÇO=75GPa e G_LAT=37GPa

Respostas:

Exercício de fixação

0,00617rad

5)Uma barra de aço sólida de diâmetro 1,2in está circundada por um tubo de diâmetro externo igual a 1,8in e diâmetro interno igual a 1,4in. Tanto a barra como o tubo estão fixados rigidamente na extremidade A e unidos de forma bem segura na extremidade B. A barra composta, que tem 20in de comprimento, é torcida por um torque T=4400lb.in agindo na placa da extremidade. Determine as tensões de cisalhamento máximas na barra e no tubo e o ângulo de torção em graus da placa, assumindo que o módulo de elasticidade do aço é G=11,6x106_{psi. Respostas:}

Exercício de fixação

0,507

  

3,08 4,62

barra ksi tubo ksi

A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular são:

A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal retangular são:

a/b c₁ c₂ 1,0 0,208 0,1406 1,2 0,219 0,1661 1,5 0,231 0,1958 2,0 0,246 0,229 2,5 0,258 0,249 3,0 0,267 0,263 4,0 0,282 0,281 5,0 0,291 0,291 10,0 0,312 0,312 max 2 1 3 2

T

c ab

TL

c ab G









a→maior lado b→menor lado a b

O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τ_adm = 56 MPa e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φ_adm = 0,02 rad.

G_al = 26 GPa.

2-O torque interno resultante em qualquer seção transversal ao longo da linha central do eixo também é T.





 

 

adm 3 2 3 3 3 adm 4 4 4 3 al 2 20 20 ; 56 179200 Nmm=179,2Nm 40 46 1,2 10 46 ; 0,02rad 24120 24,12 40 26 10 24,12 Nm T N T T a mm mm T mm TL T Nmm Nm N a G _mm mm T                  

6)O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção transversal elíptica. Se for submetido ao carregamento de torção mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC.

Respostas:

Exercício de fixação

7)Determinar o maior torque T que pode ser aplicado a cada uma das duas barras de alumínio mostradas, e o correspondente ângulo de torção em B, sabendo-se que G=26GPa e .

Respostas:

Exercício de fixação

) 2,25 =0,816° ) 1,77 =0,901° a T kNm b T kNm     adm 50MPa  

A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é

Para o ângulo de torção,

m

tA T

2 méd 

 τméd = tensão de cisalhamento média

T = torque interno resultante na seção transversal

t = espessura do tubo

A_m = área média contida no contorno da

linha central



 t ds G A TL m 2 4 

2.5 – Tubos de parede fina com

seções transversais fechadas

Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm. Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento. Considere G_al = 26 GPa.

3-O torque interno no ponto A é T = 85 Nm.

 









3 méd 2 méd 85 10 2 2 10 2.500 1,7 m Nmm T tA mm mm MPa     

Para tensão de cisalhamento média:

2 2 mm 500 . 2 50   m A A área sombreada é .

 

 

 







 





 





_{ }    ds ds t ds G A TL m 1 4 3 2 3 3 2 0,19610 mm 10 10 26 500 . 2 4 10 5 , 1 10 85 4 

Para ângulo de torção,

A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno do tubo. Assim,







_{ }







4 3 0,196 10 4 50 3,92 10 rad      

8)O tubo da figura é construído em bronze e tem a seção transversal na forma e dimensões indicadas. Se está sujeito aos dois torques como mostrado, determine o valor da tensão tangencial nos pontos A e B, e o ângulo de torção do extremo C em relação ao suporte fixo E. Considerar G=38GPa. Respostas:

Exercício de fixação

A 1,75MPa, B 2,92MPa e =0,00626rad

9)Um torque de 1,2kNm é aplicado a uma barra vazada de alumínio, que tem a seção mostrada na figura. Determinar a tensão de cisalhamento da barra. Respostas:

Exercício de fixação

44,4MPa

10)O tubo é feito de plástico, tem 5mm de espessura e as dimensões médias são mostradas na figura. Determine a tensão de cisalhamento média nos pontos A e B se o tubo for submetido a um torque de T=500Nm. Respostas:

Exercício de fixação

9,6MPa