Compacidade de conjuntos e operadores lineares

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Compacidade de conjuntos e operadores lineares

Roberto Imbuzeiro Oliveira

∗

13 de Janeiro de 2010

No que segue, F = R ou C e (X, k · kX), (Y, k · kY) s˜ao Banach sobre F.

Recordamos que um operador linear T : X → Y é compacto se para toda seqüência limitada {xn}n∈N ⊂ X há uma subseqüência {xn}n∈S tal que existe o limite limn∈ST xn∈ Y .

Exerc´ıcio 1 Prove que todo operador linear compacto ´e limitado.

Exerc´ıcio 2 Prove que um operador linear limitado T : X → Y é compacto se e somente se o fecho de T (BX(0, 1)) é compacto, onde BX(0, 1) é a bola unitária ao redor de 0 de X.

1 _{Conjuntos e operadores compactos em C(K, F)}

Para caracterizar operadores compactos, precisamos entender quais s˜ao os subconjuntos compactos de Y . Vamos considerar alguns exemplos a seguir.

Seja (K, d) um espa¸co m´_{etrico compacto. Seja C = C(K, F) o espa¸co de todas as} fun¸c˜_{oes cont´ınuas de K em F, com as opera¸c˜oes usuais de espa¸co vetorial. Defina a norma:}

kf k∞≡ sup x∈K

|f (x)|.

Exerc´ıcio 3 Prove que k · k∞ ´e de fato norma sobre C e que (C, k · k∞) ´e Banach.

Dizemos que G ⊂ C é pré-compacto se toda seqüência em G tem subseqüência conver-gente.

Exerc´ıcio 4 Prove que G é pré-compacto sse G é compacto.

Provaremos na última se¸cão uma das dire¸cões do seguinte teorema.

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Teorema 1 (Arzelà-Ascoli) G ⊂ C é pré-compacto se e somente se as condi¸cões a seguir são satisfeitas. 1. M ≡ sup_g∈G,x∈K|g(x)| < +∞. 2. Defina δG() ≡ sup x,y∈K, d(x,y)< sup g∈G |g(x) − g(y)| ∈ [0, +∞]. Então lim&0δG() = 0.

Exerc´ıcio 5 Dados c1, c2, α > 0, considere:

Ac1,c2,α ≡ {f ∈ C([0, 1]) : |f (0)| ≤ c1 e ∀x, y ∈ [0, 1], |f (x) − f (y)| ≤ c2|x − y|

α_}.

Mostre que Ac1,c2,α ´e compacto.

1.1 Exemplo de aplica¸

c˜

ao

Aqui temos uma medida finita µ definida sobre os Borelianos de (K, d). Exerc´ıcio 6 Seja κ ∈ C(K2). Prove que para toda f ∈ C(K),

Tκ(f )(·) ≡ Z K κ(·, t) f (t) dµ(t) satisfaz kTκ(f )k∞ < µ(K) kκk∞kf k∞ e |Tκ(f )(x) − Tκ(f )(y)| ≤ µ(K) kf k∞ sup t∈K |K(x, t) − K(y, t)|. Deduza que Tκ : C → C ´e compacto e que kTκkC→C ≤ µ(K) kκk∞.

2 Compacidade em L

p

(K, K, µ)

Como acima, (K, d) é espa¸co métrico compacto, K é a sigma-álgebra de Borel (aquela gerada pelos abertos) sobre K e µ é uma medida não-negativa e finita sobre (K, B). Lp ≡ Lp_{(K, K, µ) (p ≥ 1) ´}_{e o espa¸co L}p _{correspondente.}

Exerc´ıcio 7 Seja {fn}n∈N ⊂ C convergente a f ∈ C na norma k · k∞. Prove que kfn−

f kLp → 0. Como corolário, deduza que se G ⊂ C é pré-compacto no espa¸co (C, k · k_∞),

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Exerc´ıcio 8 Sejam p, q ≥ 1 expoentes duais, isto ´e 1/p + 1/q = 1. κ : K2 _{→ F uma fun¸c˜ao}

mensur´avel tal que

∀x ∈ K, kκ(x, ·)kLq < +∞

e tal que

δκ() ≡ sup x,y∈K, d(x,y)<

kκ(x, ·) − κ(y, ·)kLq

satisfaz lim&0δκ() = 0.

1. Prove que “x 7→ kκ(x, ·)kLq”´e cont´ınua e deduza que sup_x∈Kkκ(x, ·)k_Lq < +∞.

2. Prove que para toda f ∈ Lp,

Tκ(f )(·) ≡ Z K κ(·, t) f (t), dµ(t) satisfaz kTκ(f )k∞ ≤ sup x∈K kκ(x, ·)kLq kf kLp;

3. Prove que para toda f ∈ Lp _{e todos x, y ∈ K com d(x, y) < ,}

|Tκ(f )(x) − Tκ(f )(y)| ≤ kf kLpδ_κ().

4. Deduza que {Tκ(f ) : f ∈ BLp(0, 1)} é pré-compacto, logo T_κ é compacto. Mostre

ainda que kTκkLp_→Lp ≤ µ(K)1/p(sup_x∈Kkκ(x, ·)k_Lq).

3 Crit´

erios para espa¸

cos de Hilbert

Exerc´ıcio 9 Dado S ⊂ H, prove que S é pré-comapcto (isto é, S é compacto) se e somente se para todo r > 0, existe Fr finito tal que S ⊂ ∪f ∈FrB(f, r). [Isto vale para espa¸cos

m´etricos em geral.]

Exerc´ıcio 10 Seja {An}n∈N ⊂ L(H) uma seq¨uˆencia convergente (na norma k · kH→H de

operadores compectos. Escreva A ≡ limnAn. Siga os seguintes passos para mostrar que A

´

e compacto:

1. Fixe r > 0. Mostre que existem n ∈ N e F ⊂ H finito tais que kA − AnkH→H < r/2

e An(B(0, 1)) ⊂ ∪f ∈FB(f, r/2).

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3. Prove a partir dos primeiros itens que A(B(0, 1)) pode ser coberto por um n´umero finito de bolas de raio r, para qualquer r > 0. Deduza que A ´e compacto.

Exerc´ıcio 11 Agora mostraremos que A ∈ L(H) ´e compacto se e somente se kAn−Ak → 0

onde cada An∈ L(H) tem posto finito.

1. Suponha que kAn− Ak → 0 onde cada An tem posto finito. Prove que cada An ´e

compacto. Deduza que A ´e compacto do exerc´ıcio anterior.

2. Recoprocamente, suponha que A ´e compacto. Dado n > 0, mostre que existe Fn ⊂ H

finito tal que A(B[0, 1]) ⊂ ∪f ∈FnB(f, 1/n).

3. Defina Yn ≡ span(Fn). Mostre que Fn ´e fechado e que para todo h ∈ H existe um

y ∈ Yn com ky − Ahk ≤ 1/n.

4. Deduza que kA − ΠYnAk ≤ 1/n e termine a prova observando que ΠYnA tem posto

finito para todo n.

Exerc´ıcio 12 Use o que foi provado acima para mostrar que A ∈ L(H) ´e compacto se e somente se A∗ ´e compacto. [Dica: (ΠYnA)

∗

= A∗ΠYn; este segundo operador tamb´em tem

posto finito.]

Exerc´ıcio 13 Seja P ∈ L(H) auto-adjunto com P2 _{= P . Mostre que P ´}_{e compacto se e}

somente se tem posto finito.

Exerc´ıcio 14 Mostre que K ≡ {A ∈ L(H) : A compacto} é um ideal fechado e invariante por transposi¸cão de L(H); isto é, K é subespa¸co vetorial fechado de L(H) e para todos K ∈ K, T ∈ L(H), KT, T K, K∗ ∈ K.

Exerc´ıcio 15 Seja κ ∈ L2_{([0, 1]}2_{). Mostre que o operador integral T}

κ associado a κ ´e

limitado e compacto.

4 Prova do Teorema de Arzel`

a-Ascoli

O roteiro de demonstra¸c˜ao da parte “se”do Theorem 1 ´e dado pelos exerc´ıcios a seguir. Exerc´ıcio 16 (Truque diagonal) Suponha que {a(k)n }n,k∈N ⊂ C satisfaz

∀k ∈ N, sup

n∈N

|a(k)

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Mostre que existe S ⊂ N infinito tal que

∀k ∈ N, ∃a(k)_{≡ lim} n∈Sa

(k) n .

[Dica: Defina N0 = N. Usando Bolzano-Weistrass em C, prove indutivamente que para

cada i ∈ N, podemos achar um conjunto infinito Ni ⊂ Ni−1 tal que a(i) ≡ limn∈Nia

(i) n existe

e inf Ni > inf Ni−1. Depois tome:

S ≡ {inf Ni : i ∈ N},

note que S é infinito e que para cada k, apenas um número finito dos elementos de S está fora de Nk, logo limn∈Sa

(k)

n = limn∈Nka

(k)

n = a(k).]

Exerc´ıcio 17 Recorde que K tem um subconjunto denso enumerável U ⊂ K. Mostre que, dada uma seqüência {gn}n∈N⊂ G, onde G é como no teorema, existe {gn}n∈S ⊂ G tal que

∀u ∈ U, ∃˜g(u) ≡ lim

n∈Sgn(u).

[Dica: a(k)n ≡ gn(uk), onde {uk}k ´e enumera¸c˜ao de U .]

Exerc´ıcio 18 Prove que |˜g(u) − ˜g(u0)| ≤ δ() para todos u, u0 ∈ U e > d(u, u0_{). Deduza}

que:

g(x) ≡ lim

u→x,u∈Ug(u) (x ∈ K)˜

´

e bem-definido e define uma extens˜ao cont´ınua de ˜g a todo K; isto ´e, g ∈ C. Mostre ainda que:

sup

x,y∈K, d(x,y)<

|g(x) − g(y)| ≤ δG().

Exerc´ıcio 19 Fixe > 0. Mostre que h´a F ⊂ U finito tal que todo x ∈ K pertence a

B(u, ) para algum u ∈ F. Mostre que:

∀n ∈ S, kgn− gk∞ ≤ 2δG() + sup u∈F

|gn(u) − g(u)|.

Usando o fato que gn(u) → ˜g(u) = g(u) para todo u ∈ U , e ainda que F ´e finito, mostre

que:

lim sup

n∈S

kgn− gk∞≤ 2δG().