01) ) ) ) )NRA. Número de casos possíveis: = 6 Números de casos favoráveis à senha apresentar na susa formação o número 13:

(1)

PROVA OPCIONAL DE MATEMÁTICA

TURMAS DO 3

o

_{ANO DO ENSINO MÉDIO}

COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 2011.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E

ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

Questão 01.

Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 e 6 podem ser usados e um mesmo algarismo não pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

01) 312 02) 324 03) 336 04) 348 05)NRA

RESOLUÇÃO:

Número de casos possíveis: A6,4 =6×5×4×3=360.

Números de casos favoráveis à senha apresentar na susa formação o número 13:

UM C D U Casos possíveis 1 3 2,4,5 ou 6 4, 5 ou 6 4 × 3= 12 UM C D U Casos possíveis 2,4,5 ou 6 1 3 4, 5 ou 6 4 × 3= 12 UM C D U Casos possíveis 2,4,5 ou 6 4, 5 ou 6 1 3 4 × 3= 12 Maria pode escolher a sua senha de (360 – 36) = 324.

RESPOSTA: Alternativa 02. Questão 02.

Um salão de festas tem a forma de um hexágono regular de lado 12m. A área hachurada

representa uma pista de dança. Calcule a área desta pista sabendo que M, N, P e Q são pontos médios dos lados do hexágono.

(2)

RESOLUÇÃO:

O segmento AB é uma das diagonais maiores do hexágono regular, então sua medida é o dobro da medida do lado, 24m.

O segmento MN é a base média do trapézio isósceles ABCD, logo sua medida é igual à semisoma das bases, (12 + 24) : 2 = 18m.

No triângulo retângulo BEC, o cateto EB = BC × cos 60° = 6m. No mesmo triângulo, EC = BC × sen 60° = 6 3m

A medida do segmento GN é a metade da medida de EB, então 3m e a medida de CG é a metade de CE, ou seja 3 3m

Os lados do retângulo GHIJ medem:

GH = MN – 2x = 18 – 6 = 12m e GJ = 2y = 6 3m. A área do retângulo é S=12×6 3=72 3m2.

Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 , calcule quantos algarismos tem o número 1245 . 01) 46 02) 47 03) 48 04) 49 05) 50 RESOLUÇÃO:

(

)

(

0,602 0,477

)

45 1,079 48,555 45 x log 3 log 2 log 2 45 x log 12 log 45 x log 12 x 45 = × = + × = ⇒ + × = ⇒ × = ⇒ =

Como a característica do logaritmo de x é 48, então x tem 48 + 1 = 49 algarismos.

Numa PA de 6 termos, a soma dos termos de ordem par é igual a 39 e a soma dos termos de ordem ímpar é 24.

Calcule a razão dessa progressão.

(3)

RESOLUÇÃO:    = = ⇒    = + = + ⇒    = + + + + = + + + + + 5 r 15 r 3 24 r 6 a 3 39 r 9 a 3 24 r 4 a r 2 a a 39 r 5 a r 3 a r a RESPOSTA: Alternativa 02. Questão 05.

Quatro rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que os quatro rapazes fiquem juntos, um ao lado do outro, é igual a

01) 120 02) 144 03) 480 04) 576 05) 720 RESOLUÇÃO: R1 R2 R3 R4 M1 M2 M3 M1 R1 R2 R3 R4 M2 M3 M1 M2 R1 R2 R3 R4 M3 M1 M2 M3 R1 R2 R3 R4

Como os quatro rapazes devem sentar sempre juntos, resolve-se a questão, calculando 4! ×4! = 24 × 24 = 576.

Numa PG de 11 termos, o segundo termo é igual a 16 vezes o termo central. Calcule o quarto termo sabendo que a soma do segundo termo com o terceiro é igual a 12. 01) 2 02) 1/2 03) 8 04) 1/4 05) 1/8

RESOLUÇÃO:

Se a PG tem 11 termos, então o termo central é o de número 6

     = = = ⇒       = + = ⇒     = + = ⇒     = + = 2 aq 16 a 48 a 3 12 4 a 2 a 2 1 q 12 aq aq 1 q 16 12 aq aq aq 16 aq 3 2 4 2 5 RESPOSTA: Alternativa 01.

(4)

Questão 07.

Num determinado sorteio, o número n sorteado tinha três algarismos distintos e não nulos (x, y e w) . A pessoa que possuísse o número sorteado só poderia receber o prêmio, que era em dólar, se soubesse calcular o valor desse prêmio.

Sabendo que:

I. o valor do prêmio era igual à soma de todos os números de 3 algarismos que se obtém permutando-se os algarismos de n (x, y e w) ;

II. S = x + y + w (Soma dos algarismos de n).

Então, o valor do prêmio em função de S é igual a:

01) 111S 02) 222S 03) 333S 04) 666S 05) NRA

RESOLUÇÃO:

O total de números que podem ser formados é 3! =6

C D U x y w x w y y x w y w x w x y w y x

TOTAL 2×100(x+y+z) = 200S 2×10(x+y+z) = 20S 2 (x+y+z) = 2S Então o valor do prêmio é 222S

A reta r, definida pela equação, 2x + y – 16 = 0 passa nos pontos A = (2, m) e B = (m, n).

A reta t é perpendicular à reta r e passa no ponto médio M do segmento AB . Sendo C = (p, 0) o ponto de interseção da reta t com o eixo dos x, calcule p. 01) −1 02) 1 03) 3 04) 4 05) −2

RESOLUÇÃO:

x y 2x + y – 16 = 0

2 m 4+m – 16 = 0 ⇒ m = 12

m n 2m + n – 16 = 0 ⇒ 24 + n = 16 ⇒ n = – 8

Os pontos A e B são, respectivamente, determinados pelos pares ordenados (2, 12) e (12, –8).

A equação reta AB na forma reduzida é y = −2x + 16 ⇒ que o coeficiente angular da reta t é

2 1 '

a = . Esta reta passa por M =

(

7,2

)

2 8 12 , 2 12 2 =       + −

(5)

Então a equação da reta t é:

(

x 7

)

2y 4 x 7 2y x 3 0 2

1 2

y− = − ⇒ − = − ⇒ − + = .

A interseção da reta t com o eixo dos x é o ponto C = (p, 0), assim: 0 – p + 3 = 0 ⇒ p = 3

Analise as afirmações, classificando-as em verdadeiras ou falsas:

I) O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios iguais para 8 pessoas, de modo que cada pessoa premiada receba no máximo um prêmio é 56.

II) O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios iguais para 8 pessoas, de modo que 4, e apenas 4, sejam premiadas é 280.

III) O número de maneiras que podemos distribuir 5 prêmios, sendo 2 carros iguais e 3 motos iguais, para 8 pessoas, de modo que cada pessoa premiada receba no máximo um prêmio é 560.

Você conclui que:

01) apenas a afirmativa I é falsa. 02) apenas a afirmativa _II é falsa. 03) apenas a afirmativa III é falsa. 04) apenas uma afirmativa é verdadeira. 05) todas as afirmativas são verdadeiras.

RESOLUÇÃO: I) VERDADEIRA. 56 2 3 6 7 8 C C n ₈_,₅ ₈_,₃ = × × × = = = II) VERDADEIRA. 280 70 4 1 2 3 4 5 6 7 8 4 C 4 n 8,4 = × = × × × × × × × = × = III) VERDADEIRA. 560 20 28 1 2 3 4 5 6 1 2 7 8 C C n ₈_,₂ ₆_,₃ = × = × × × × × × × = × = . RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 10.

O triângulo A₁B₁C₁é o transformado do triângulo de vértices A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (0, 4) por uma translação de vetor v = (3, 0).

O triângulo A₂B₂C₂ é o transformado do triângulo A₁B₁C₁por uma simetria de eixo Oy. O triângulo A₃B₃C₃ é o transformado do triângulo A₂B₂C₂por uma simetria de eixo y = −1.

Pode-se afirmar que o triângulo A₃B₃C₃ está contido no:

01) 1o quadrante 02) 2o quadrante 03) 3o quadrante

(6)

RESOLUÇÃO: Analiticamente: A1 = (0+3, 0+0) = (3 , 0); B1 = (2 + 3, 0) = (5, 0) e C1 = (0+3, 4+0) = (3, 4). 2c – x A2 = (2.0 – 3;2.0 – 0) = (– 3; 0). B2 = (2.0 – 5; 2.0 – 0) = (– 5; 0) . C2 = (2. 0 – 3; 2. 4 – 4) = (–3, 4) A3 = (2.( –3) – (– 3); 2.( –1) – 0) = (–3; –2) B3 = (2. (–5) –(–5); 2. (–1) – 0) = (–5, –2) C3 = (2.( –3) – (–3); 2. (–1) – 4) = (–3; –6) RESPOSTA: Alternativa 03. Graficamente: Questão 11.

Um banco contratou 9 funcionários novos para três de suas agências, sendo que cada uma delas vai receber três destes funcionários. Entre os novos funcionários contratados estão os irmãos José e João e o banco não deseja que eles fiquem na mesma agência. Levando isto em consideração, de quantas formas esta distribuição pode ser feita? 01) 1260 02) 1440 03) 1560 04) 1680 05) NRA

RESOLUÇÃO:

Número de casos possíveis: 1 84 20 1680 1 2 3 4 5 6 1 2 3 7 8 9 C C C n 9,3 6,3 3,3 × = × = × × × × × × × × × = × × =

Casos favoráveis a João e José trabalharem na mesma agência:

José e João juntos na primeira agência: 1 7 20 140 1 2 3 4 5 6 7 C C C m ₇_,₁ ₆_,₃ ₃_,₃ × = × = × × × × × = × × = .

José e João juntos na segunda agência: 1 7 20 140 1 2 3 4 5 6 7 C C C p ₇_,₁ ₆_,₃ ₃_,₃ × = × = × × × × × = × × = .

José e João juntos na terceira agência: 1 7 20 140 1 2 3 4 5 6 7 C C C q ₇_,₁ ₆_,₃ ₃_,₃ × = × = × × × × × = × × = . Total: 3× 140 = 420.

Existem (1680 – 420) = 1260 formas de João e José não trabalharem na mesma agência.

(7)

Questão 12.

Qual o conjunto imagem da função f: [ – 1 ; 7 ] → R definida pela lei f(x) = – x2 + 10x + 16 ?

01) [ 5 ; 37 ] 02) ] – ∞ ; 37 ] 03) [ 5 ; 41 ] 04) ] – ∞ ; 41 ] 05) NRA

RESOLUÇÃO:

Sendo o coeficiente de x² menor que zero, a concavidade da parábola está voltada para baixo e y assume valor màximo no vértice dessa parábola.

xv = 5 2 10 = − − e yv = 41 4 ) 64 100 ( = − + − . f(−1) = −1 − 10 + 16 = 5 e f(7) = −49 + 70 + 16 = 37.

O conjunto imagem da função é o intervalo [5; 41].