Novas Tecnologias no Ensino da Matema tica

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Novas Tecnologias no Ensino da Matem´

atica

Lista 11

Humberto Jos´e Bortolossi

ATIVIDADE 1

Para poupar esfor¸co de digita¸cão, você pode usar o tradicional sistema de copiar e colar (CTRL-C e CTRL-V) para aproveitar um comando digitado anteriormente em outro lugar. Já para copiar e colar o resultado de um comando, você deve proceder como se segue: suponha que você queira copiar o resultado do comando da linha 3 para uma determinada posi¸cão no campo de entrada da linha 5. Clique primeiro na posi¸cão desejada no campo de entrada da linha 5 e, então, clique no resultado (em azul) apresentado na linha 3. Pronto! Você também pode usar os números das linhas da Janela CAS do GeoGebra 5.x para poupar esfor¸co de digita¸cão. Vamos ver um exemplo: suponha que você digite o número 8712870/48506557 no campo de entrada da linha 1 e o número 505149/2812281 no campo de entrada da linha 2: 1 8712870/48506557 → 8712870 48506557 2 505149/2812281 → _2812281505149

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8712870/48506557_{− 505149/2812281:}

3

$2− $1

→ _{45471356208839}1841

Se você usar #1 e #2 ao invés de $1 e $2, o GeoGebra 5.x irá substituir #1 e #2 no campo de entrada da linha em questão pelos resultados calculados nas linhas 1 e 2, respectivamente. Por exemplo, se na linha 4 você digitar:

4

#2 − #1

e, ent˜ao, pressionar a tecla ENTER, a linha 4 ficar´a assim:

4

(168383 / 937427) _{− (8712870 / 48506557)}

→ 1841

45471356208839

A tabela seguinte descreve o sistema de referˆencia para comandos e resultados.

Sintaxe Descri¸c˜ao

Substitui¸cão no Campo de Entrada # referência para o resultado calculado na linha anterior sim #5 referência para o resultado calculado na linha 5 sim $ referência para o resultado calculado na linha anterior não $5 referência para o resultado calculado na linha 5 não

Uma outra maneira de se poupar esfor¸co de digita¸cão é utilizar variáveis para representar expressões. Por exemplo, se você vai usar muito a expressão

(a− 2) ∙ (a − 3),

é conveniente criar uma variável para representá-la. Isso é feito com o operador de atribui¸cão (:=):

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Após digitar esse comando, onde o s´ımbolo b aparecer, ele será substitu´ıdo pela expressão (a− 2) ∙ (a − 3). Vamos acompanhar um exemplo.

Primeiro, reinicie o GeoGebra 5.x: Menu Principal_{→Arquivo→Novo.}

Vamos fazer com que a variável b represente um sinônimo para a expressão (a - 2)(a - 3).

1

b := (a − 2) (a − 3) → a2− 5 a + 6

Vamos calcular

((a_{− 2) ∙ (a − 3))}2_{− (a − 2) ∙ (a − 3).}

Para isto, ao inv´es de digitar toda a express˜ao, basta digitar b^2 - b no lugar.

2

b∧2− b

→ a4− 10 a3+ 36 a2_{− 55 a + 30}

Vocˆe pode calcular o valor de (a_{− 2) ∙ (a − 3) em um determinado valor de a com o comando} Substituir[...]. Por exemplo, para calcular o valor de (a_{− 2) ∙ (a − 3) para a = 0, basta} digitar o comando

3

Substituir[b, a, 0] → 6

Para limpar o conteúdo da variável b (isto é, para que b volte ser apenas b) basta usar o comando Apagar[...].

4

Apagar[b] → true

CUIDADO! CUIDADO! CUIDADO!

1. Um outro erro muito frequente é o de se utilizar = no lugar de := para indicar atribui¸cões. Como veremos, o s´ımbolo = possui outro propósito no GeoGebra 5.x.

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2. Uma vez que você atribuiu um determinado valor a uma variável (por exemplo, com o comando b := (a - 2)(a - 3)), em todo e qualquer lugar que b aparecer, a partir deste ponto, ele será substitu´ıdo por (a - 2)(a - 3). Se você quiser “limpar” o conteúdo de b, emita o comando Apagar[b]. Para “limpar” o conteúdo de todas as variáveis simultaneamente, basta iniciar uma nova constru¸cão (Menu Principal_{→Arquivo→Novo)}

3. O nome de uma variável pode ter mais de uma letra (incluindo letras acentua-das). Você pode usar números mas nunca no come¸co do nome. Também é poss´ıvel criar variáveis indexadas: a_{1} := 3 faz com que a variável a1 assuma o valor 3.

Espa¸cos em branco n˜ao s˜ao permitidos.

4. O GeoGebra 5.x faz distin¸cão entre letras maiúsculas e minúsculas. Assim, a variável b é diferente da variável B.

5. Na nota¸cão matemática do ensino médio, é costume se usar parêntesis, colchetes e chaves para modificar a ordem de avalia¸cão de uma expressão:

{a + 5 ∙ [(a − 1) ∙ (a − 3) + 8]}/10. No GeoGebra 5.x vocˆe sempre deve usar parˆentesis:

(a + 5 ((a - 1)(a - 3) + 8))/10.

Os colchetes e as chaves s˜ao usados com um outro prop´osito, como veremos mais adiante.

O comando b := (a - 2)(a - 3) não define uma fun¸cão. Com esse comando estamos apenas dizendo que b é um “sinônimo” para (a - 2)(a - 3). O exemplo a seguir mostra como podemos definir fun¸cões no GeoGebra 5.x e usar a nota¸cão funcional a que estamos acostumados.

Vamos definir a fun¸c˜ao f (a) = (a− 2) ∙ (a − 3) que depende da vari´avel a.

5

f(a) := (a − 2) (a − 3) → a2− 5 a + 6

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em se definir fun¸cões com o comando := é que podemos usar a mesma nota¸cão que usamos quando escrevemos textos em matemática.

6

f(0) → 6

Uma vez que f é uma fun¸cão, podemos facilmente efetuar composi¸cões. Por exemplo, vamos calcular f (u + v).

7

f(u + v)

→ u2_{+ v}2 _{+ 2 u v}_{− 5 u − 5 v + 6}

IMPORTANTE! IMPORTANTE! IMPORTANTE!

Se você definir uma fun¸cão, então ela será registrada na Janela de Álgebra e o seu gráfico será exibido na Janela de Visualiza¸cão do GeoGebra 5.x. O mesmo vale para variáveis que recebem valores numéricos. Por exemplo, se você digitar a := 1/3, o número a será criado na Janela de Álgebra. Note contudo que, ao contrário da Janela CAS, o valor de a na Janela de Álgebra é aproximado (como em uma calculadora usual). Para configurar o número de casas decimais no GeoGebra 5.x, acesse: Menu Principal_{→Op¸cões→Arredondamento.}

(a) Qual ´e a diferen¸ca (se ´e que existe) entre

(x− 2) ∙ (x − 3)/(x − 4) ∙ (x − 5) e (x− 2) ∙ (x − 3)/((x − 4) ∙ (x − 5))? (b) No GeoGebra 5.x, defina f(x) := 3 x - 6 e g(x) := x/3 + 2. Calcule as express˜oes

f(g(x)) e g(f(x)). Conclua que f e g s˜ao fun¸c˜oes inversas uma da outra!

(c) No GeoGebra 5.x, defina f(x) := sqrt(x) (raiz quadrada de x) e g(x) := x^2. Cal-cule as expressões f(g(x)) e g(f(x)). As fun¸cões f e g são fun¸cões inversas uma da outra? Justifique sua resposta!

(d) Uma fun¸cão afim é uma fun¸cão do tipo f (x) = a_{∙ x + b, com a e b constantes reais.} Encontre todas as fun¸cões afins que satisfazem a propriedade

f (f (x)) = x

para todo x _{∈ R, isto é, encontre todas as fun¸cões afins cuja inversa é a própria fun¸cão!} Dica: defina f(x) := a x + b e, em seguida, compare f(f(x)) com x.

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Envie as perguntas e as respostas de todos os itens ((a), (b), (c) e (d)) em uma mensa-gem para o e-mail novas.tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto “AE-01 da Lista 11: Express˜oes Alg´ebricas”. Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018.

ATIVIDADE 2 Certamente você já deve ter visto as expansões

(u + v)2 = u2+ 2 uv + v2 e (u + v)3 = u3+ 3 u2v + 3 uv2+ v3.

Use o GeoGebra 5.x para ver as expans˜oes de (u + v)4_{, (u + v)}5 _{e (u + v)}20 _{(para fazer}

isto, digite na Janela CAS, por exemplo, Expandir[(u + v)^4] e, ent˜ao pressione a tecla ENTER.).

Na Janela CAS do GeoGebra 5.x, coloque o apontador do mouse sobre a resposta dada pelo GeoGebra 5.x para (u + v)27_{. Clique com o bot˜ao direito do mouse e, ent˜ao, escolha}

a op¸c˜ao “Copiar como LA_{TEX”. Cole a resposta em uma mensagem para o e-mail novas.}

tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto “AE-02 da Lista 11: Binˆomio de New-ton”. Prazo de entrega dessa atividade: 07/11/2018.

ATIVIDADE 3

Diga como escrever cada uma das expressões abaixo usando os comandos (a sintaxe) do Ge-oGebra 5.x. Por exemplo, para calcular a expressão matemática

xy 2 a + 3 c d+ 4 b

no GeoGebra 5.x, ´e preciso digitar os comandos: x^y/(2/a + 3/(c d) + 4/b) (note o espa¸co em branco entre c e d). (a) a− b c− d, (b) a b c, (c) a b+c_, _{(d) a}b − c d, (e) a b c_{− d} e , ( f ) a b + c/d, (g) a b/c_, _(h) q a +√b,

Envie as respostas de todos os itens (de (a) a (h)) em uma mensagem para o e-mail novas. tecnologias.no.ensino@gmail.com com o assunto “AE-03 da Lista 11: Nota¸c˜ao Ma-tem´atica Unidimensional”. Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018.

ATIVIDADE 4 Defina, no GeoGebra 5.x, a seguinte fun¸c˜ao:

f (x) = (x− 1)(x − 3)(x − 5)(x − 7) (x_{− 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8)}.

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Na Janela CAS do GeoGebra 5.x, coloque o apontador do mouse sobre a resposta dada pelo GeoGebra 5.x para f (x). Clique com o botão direito do mouse e, então, escolha a op¸cão “Copiar como LA_{TEX”. Cole então sua resposta em uma mensagem para o e-mail novas.}

tecnologias.no.ensino@gmail.comcom o assunto “AE-04 da Lista 11: Fun¸c˜ao Racional”. Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018.

ATIVIDADE 5 Um aluno quer estudar a fun¸c˜ao

f (x) = x

2_{− 4}

x_{− 2}

na Janela CAS do GeoGebra 5.x. Para isto, em uma c´elula, ele digitou f(x) := (x∧2 − 4)/(x − 2)

e, ent˜ao, ele pressionou a tecla ENTER. O GeoGebra 5.x deu ent˜ao como resposta: f(x) = x + 2.

A fun¸cão definida pelo GeoGebra 5.x é igual a fun¸cão que o aluno que estudar? Justifique sua resposta! Registre sua resposta em uma mensagem para o e-mail novas.tecnologias.no. ensino@gmail.com com o assunto “AE-05 da Lista 11: Simplifica¸cão Automática”. Prazo de entrega dessa atividade: 03/11/2018.