Aula04-Teoria das Congruencias.pptx

Aritmética  Modular  

Matemá-ca  Discreta  2  

Rosen  (7th  ed.)  –  (Cap.  4)  

Rosen  -­‐  “Elementary  Number  Theory”  (Cap.  3)     Burton  -­‐  “Elementary  Number  Theory”  (Cap.  4)   André  Câmara  

Referencias  adicionais  

Teoria  das  congruências  

• Outra  aproximação  a  questões  de  divisibilidade  

• Também  conhecida  como  aritméCca  dos  restos  

• Desenvolvida  pelo  gênio  alemão  Carl  Frederic   Gauss  

• "MathemaCcs  is  the  Queen  of  the  Sciences,  

and  the  theory  of  numbers  is  the  Queen  of   MathemaCcs”  

Exemplo  

• As  vezes  estamos  mais  interessados  no  resto  de  uma  divisão  

• Um  exemplo  simples  do  uso  da  aritmé-ca  modular  é  o  seu  uso  no   relógio  de  12  horas  

• mod  12  

• 9:00+4h  =>  13  ≡  1  (mod  12)  

• 12:00+21  =>  33  ≡  9  (mod  12)  

Teoria  das  congruências  

Propriedades  básicas  

• Seja  n  um  inteiro  posi-vo.  Dois  inteiros  a  e  b  são   ditos  congruentes  módulo  n  simbolizado  por:  

 a  ≡  b  (mod  n)      Se  n  divide  a  diferença  a-­‐b    ⇒  n|(a-­‐b)    

 i.e.,  a-­‐b  =  k·∙n,  para  algum  inteiro  inteiro  k  

• a  ≡  b  (mod  n)  se  somente  se  a  mod  m  =  b  mod  m.    

• 7  ≡  2  (mod  5)  

Exemplo:  

• Considere  n=7    3  ≡  24  (mod  7)  3-­‐24  =  -­‐21            ∴  7|(-­‐21)    24  ≡  3  (mod  7)  24-­‐3  =  21              ∴  7|21    -­‐31  ≡  11  (mod  7)  -­‐31-­‐11  =  -­‐42    ∴  7|42      19  ≡  -­‐2  (mod  7)                              19-­‐(-­‐2)=21          ∴  7|21    

• Se  n∤(a-­‐b)  dizemos  que  a  e  b  são  incongruentes.  

• Ex.:  

Observações  

• Devemos  notar  que  dois  inteiros  quaisquer  são   congruentes  módulo  1  

• 1  divide  qualquer  inteiro  

• Por  esse  mo-vo,  é  prá-ca  comum  assumir     n  >  1  

• Dois  inteiros  são  congruentes  módulo  2  se   ambos  forem  ímpares  ou  pares  

• 42  ≡  4  (mod  2)    ⇒ 2|38   • 35  ≡  19  (mod  2)  ⇒  2|16  

Teorema  

• Para  inteiros  arbitrários  a  e  b,  a  ≡  b  (mod  n),  se   somente  se  a  e  b  deixam  o  mesmo  resto  não   nega-vo  quando  dividos  por  n.  

• Prova:  

• Por  definição  a-­‐b  =  nk  à  a  =  b  +  nk  

• A  divisão  de  b  por  n  deixa  um  certo  resto  r  pode   ser  escrita  como  

b  =  qn  +  r  

• Subs-tuindo,  temos:    

a  =  (qn  +  r)  +  nk  =  (q+k)n  +  r  

Portanto,  a  possui  o  mesmo  resto  que  b  

Cont.  

• Por  outro  lado,  se  considerarmos  a  =  q₁n  +  r  e    

b  =  q₂n  +  r  

• Com  mesmo  resto  0  ≤  r  <  n  

• Temos  que:  

• a  –  b  =  (q1n  +  r)  –  (q2n  +  r)  =  (q1  –  q2)n  =  kn  

• Isso  prova  que  n|(a-­‐b)  

• Ou,  na  linguagem  das  congruências,    

a  ≡  b  (mod  n)  

Relacionando  com  Teorema  da  

divisibilidade  dos  inteiros  

a  =  qn  +  r,  0  ≤  r  ≤  n    

 

Pela  definição  da  teoria  das  congruências,  temos:   a  ≡  r  (mod  n)  

 

Temos  então  n  escolhas  dis-ntas  de  r:  0,1,2,...  n-­‐1    Menores  resíduos  não-­‐nega-vos  módulo  n  

 

Note  que  a  ≡  0  (mod  n)  ,  SSE  n|a  à  resto  =  0    

Propriedades  

• Seja  n  >  1  fixo  e  a,b,c,d    inteiros  arbitrários,  então:  

a)  a  ≡  a  (mod  n)    (reflexiva)  

b)  Se  a  ≡  b  (mod  n)  então  b  ≡  a  (mod  n)  (simétrica)   c)  Se  a  ≡  b  (mod  n)  e  b  ≡  c  (mod  n),    

então  a  ≡  c  (mod  n)  (transiCva)  

d)  Se  a  ≡  b  (mod  n)  e  c  ≡  d  (mod  n)  então     a+c  ≡  b+d  (mod  n)  e  ac  ≡  bd  (mod  n)  

e)  Se  a  ≡  b  (mod  n),  então  a  +  c  ≡  b  +  c  (mod  n)  e  ac  ≡   bc  (mod  n).    

f)  Se  a  ≡  b  (mod  n),  então  ak  _{≡  b}k  _{(mod  n)  para}  

qualquer  inteiro  posi-vo  k.  

Provando  (a),  (b),  (c)  

a)  Para  um  inteiro  a,  temos  a-­‐a  =  0·∙n    então    

a  ≡  a  (mod  n)  

b)  Se  a  ≡  b  (mod  n),  então  a-­‐b  =  kn  

b-­‐a  =  (-­‐k)n  e  –k  também  é  um  inteiro,  temos     b  ≡  a  (mod  n)  

c)  Se  a  ≡  b  (mod  n)  e  b  ≡  c  (mod  n),  então  existem  h  e  k   sa-sfazendo:  

 

a-­‐b  =  h·∙n  e  b-­‐c  =  k·∙n  

 

Fazendo  a  –  c  =  (h·∙n  +  b)  –  (b  -­‐  k·∙n)  =  (h  +  k)n   Dessa  forma:  a  ≡  c  (mod  n)  

Provando  (d)  

• Se  a  ≡  b  (mod  n)  e  c  ≡  d  (mod  n)  então    

a+c  ≡  b+d  (mod  n)  e  ac  ≡  bd  (mod  n)  

• Se  a  ≡  b  (mod  n),  então  (a-­‐b)=k1n  e    

se  c  ≡  d  (mod  n),  então  (c-­‐d)=k2n   • Somando-­‐se  as  equações  temos:  

(a-­‐b)+(c-­‐d)=(a+c)-­‐(b+d)=(k1+k2)n   a+c  ≡  b+d  (mod  n)  

Provando  (d)  (cont.)  

• Se  a  ≡  b  (mod  n)  e  c  ≡  d  (mod  n)  então    

a+c  ≡  b+d  (mod  n)  e  ac  ≡  bd  (mod  n)   • Se  a  ≡  b  (mod  n),  então  (a-­‐b)=k1n  e    

se  c  ≡  d  (mod  n),  então  (c-­‐d)=k2n  

  ac  =  (k₁n+b)(k₂n+d)=bd+(bk₂+dk₁+k₁k₂n)n     ac  ≡  bd  (mod  n)   Inteiro  (k3)  

Provando  (e)  

• Se  a  ≡  b  (mod  n),  então  a  +  c  ≡  b  +  c  (mod  n)  e    

ac  ≡  bc  (mod  n).   • Já  vimos  que    

• Se  a  ≡  b  (mod  n)  e  c  ≡  d  (mod  n)  então    

a+c  ≡  b+d  (mod  n)  e  ac  ≡  bd  (mod  n)  

E  

• c  ≡  c  (mod  n)   • Portanto,      

• Se  a  ≡  b  (mod  n),  e  c  ≡  c  (mod  n),  então     a  +  c  ≡  b  +  c  (mod  n)  e  ac  ≡  bc  (mod  n)  

(d)   (a)  

Provando  (f)  

• Se  a  ≡  b  (mod  n),  então  ak  ≡  bk  (mod  n)  para   qualquer  inteiro  posi-vo  k.  

• Prova  por  indução   • k=1  à  a  ≡  b  (mod  n)  

• Para  um  k  fixo  à  ak  _{≡  b}k  _{(mod  n)}   • Usando  (d),  temos  que    

a  ≡  b  (mod  n)  e  ak  _{≡  b}k  _{(mod  n)    à  aa}k  _{≡  bb}k  _{(mod  n)}    

   ak+1  _{≡  b}k+1  _{(mod  n)}  

Que  é  igual  ao  passo  da  indução  k+1  

Classes  de  congruência  

• Observe  que  a  relação  de  congruência  é  uma  

relação  de  equivalência  

• De  modo  que  o  conjunto  dos  inteiros  é  dividido   em  m  diferentes  conjuntos,  chamados  de  classes   de  congruência  módulo  m  

• Exemplo:  modulo  4  

Exemplo  

• Um  exemplo  de  como  as  congruências  podem   ser  úteis  em  certos  -pos  de  computação:  

Encontrar  o  resto  da  divisão  de  (1!+2!+3!+...+   100!)  por  12  

Exemplo    

• Encontrar  o  resto  da  divisão  de  (1!+2!+3!+...+  100!)  por  12    

• Observe  que  4!  =  24  ≡  0  (mod  12)   • 24  é  divisível  por  12,  i.e.  o  resto  é  zero  

Com  isso,  podemos  dizer  que  (k>4):   k!  =  4!·∙5·∙6·∙7·∙...  ·∙k  ≡  0·∙5·∙6·∙7·∙...  ·∙k  ≡  0  (mod  12)       k!  ≡  0  (mod  12)  para  k  ≥  4   1!+2!+3!+4!+...+100!     ≡  1!+2!+3!+0+0+...+0  ≡9  (mod  12)   c   c  

Múl-plos  de  24,  resto  0  

Exemplo  

• Provar  que  41|(220_-­‐1)  

• Iniciar  procurando  a  relação  de  41  com  alguma   potência  de  2.  Exemplo:  

• 32≡25_{≡-­‐9  (mod  41)}  

• Então  (25₎4_≡(-­‐9)4  _{(mod  41)  (Teorema  (f))}  

• 220  _{≡  81Ÿ81  (mod  41)}  

• Mas,  81≡-­‐1  (mod  41),  então  812_≡(-­‐1)2  _{(mod  41)}  

• Usando  (c)  do  Teorema,  temos:  

• 220  _{≡  81Ÿ81  (mod  41)  e  81}2_{≡1  (mod  41)  à  2}20  _{≡  1  (mod  41)}  

• Usando  (e):  

• 220  _{-­‐1≡  1-­‐1  (mod  41)  à  2}20  _{-­‐1≡  0  (mod  41)  à  é  múl&plo!}  

Atenção  

• Vimos  que  se  a  ≡  b  (mod  n),  então    

ac  ≡  bc  (mod  n)  para  um  inteiro  c  qualquer   • No  entanto,  o  inverso  não  é  verdadeiro:  

• Ex.:  2·∙4  ≡  2·∙1  (mod  6)  mas  4  ≢  1  (mod  6)    

• Algumas  vezes  o  cancelamento  é  possível,  como   veremos  a  seguir  

Teorema  

• Se  ca  ≡  bc  (mod  n)  ⇒ a ≡  b  (mod  n/d),  onde    

d  =  GCD  (c,n)  

• Lei  de  cancelamento  

• Prova:  

• ca  ≡  bc  (mod  n)    

• (ca-­‐cb)=kn  

• GCD(c,n)=d  à  c=dr  e  n=ds,  r  e  s  inteiros  e  

rela-vamente  primos  

• dra-­‐drb=kds  à  r(a-­‐b)=ks  então  s|r(a-­‐b)  

Cont.  

•

 

Lembrando:  

• Lemma  de  Euclides:  Se  a  |  bc,  com  gcd(a,b)=1,  

então  a  |  c.  

• r  e  s  são  rela-vamente  primos,  então  

GCD(r,s)=1  

• Se  s|r(a-­‐b)  e  GCD(r,s)=1  =>  s|(a-­‐b)  (lemma  de  Euclides)   • Então  ⇒  a  ≡  b  (mod  s)  ou  seja:  

 ⇒  a  ≡  b  (mod  n/d)  

Lei  de  cancelamento  

• Corolário  1:  

• Se  ca  ≡  cb  (mod  n)  e  GCD  (c,n)  =  1,  então   a  ≡  b  (mod  n)  

• Corolário  2:  

• Se  ca  ≡  cb  (mod  p)  onde  p  é  primo  e  p∤c,  então     a  ≡  b  (mod  p)  

• Prova:  a  condição  p  é  primo  e  p∤c  implicam  que   GCD(c,p)=1  

Exemplo  1  

• Considere  a  congruência  

33  ≡  15  (mod  9)   Ou,  se  preferir   3·∙11  ≡  3·∙5  (mod  9)  

• Visto  que  GCD(3,9)  =  3,  então  podemos  dizer   11  ≡  5  (mod  9/3)  ⇒ 11  ≡  5  (mod  3)    

Exemplo  2  

• Considere  a  congruência  

-­‐35  ≡  45  (mod  8)   O  mesmo  que:   5·∙(-­‐7)  ≡  5  ·∙9  (mod  8)  

 

• Note  que  os  inteiros  5  e  8  são  rela-vamente   primos,  i.e.,  GCD(5,8)  =  1  

• Portanto,  pelo  corolário  1:   -­‐7  ≡  9  (mod  8)  

Exercício  

• Prove:  

a. Se  a  ≡  b  (mod  n)  e  m|n,  então  a  ≡  b  (mod  m)   b. Se  a  ≡  b  (mod  n)  e  c>0,  então  ca  ≡  cb  (mod  

cn)  

c.  Se  a  ≡  b  (mod  n)  e  os  inteiros  a,  b  e  n  são   todos  divisíveis  por  d>0,  então  a/d  ≡  b/d   (mod  n/d)  

Testes  especiais  de  divisibilidade  

• Dado  um  inteiro  b  >  1,  qualquer  inteiro  posi-vo  N  

pode  ser  escrito  unicamente  em  termos  de  potências   de  b,  ou  seja:  

    Onde,  0  ≤  a_k  ≤  b-­‐1               0 1 1 2 2 1 1b ... ab ab a a b a N m m m m + + + + + = − −

Testes  especiais  de  divisibilidade  

Pelo  algoritmo  da  divisão:  

 

N  =  q1b  +  a0,  0  ≤  a0  ≤  b    (1)    

Se  q1  ≥  b,  então  podemos  dividí-­‐lo  mais  de  uma  vez:  

  q1=  q2b  +  a1,  0  ≤  a1  ≤  b    (2)     Subs-tuindo  (2)  em  (1):   N  =  (q2b  +  a1)b  +  a0      =  q2b2  +  a1b  +  a0      =  q3b3  +  q2b2  +  a1b  +  a0          =  ...   m m1 2 1 Enquanto  q2≥b   podemos  con-nuar  

Notação  lugar-­‐valor  de  N    

na  base  b  

• Note  que  N    

Pode  ser  representado  simplesmente  pelo  vetor   de  coeficientes:  

   

 Obs:  Não  é  um  produto,  mas  uma  sequência  de  coeficientes    

Valores  de  base  b  pequenos    trazem  representações  mais  longas  dos   números,  com  a  vantagem  de  trazer  menos  opções  para  os  

0 1 1 2 2 1 1b ... ab ab a a b a N m m m m + + + + + = − − b m ma aaa a N=( −1... 21 0)

Exemplo  

• Caso  mais  simples:  base  b  =  2  

• Sistema  de  numeração  binário  

• Apenas  0  e  1  podem  aparecer  como  coeficientes  

• Todo  inteiro  posi-vo  pode  assim  ser  expresso   como  uma  soma  de  potências  de  2  

•   Ex.:  105  =  1·∙26_+1·∙25_+0·∙24_+1·∙23_+0·∙22_+0·∙21₊₁   =  26₊₂5₊₂3₊₁  

 

• Na  forma  abreviada:  105  =  (1101001)2  

Teorema    

• Seja                                                        uma  função  polinomial  de  x  com   coeficientes  ck.  Se  a  ≡  b  (mod  n)  então    

P(a)  ≡  P(b)  (mod  n)  

• Dizemos  que  a  é  uma  solução  da  congruência    

P(x)  ≡  0  (mod  n)  se  P(a)  ≡  0  (mod  n)     • Corolário:  

• Se  a  é  uma  solução  de  P(x)  ≡  0  (mod  n)  e    

a  ≡  b  (mod  n)  então  b  também  é  solução  

∑

= = m k k kx c x P 0 ) (

Exemplo  

• Para  calcular  5110  _{(mod  131)}  

• Expoente  110  pode  ser  escrito  em  binário  como  

• 110=64+32+8+4+2=(110110)2  

• 5110₌₅64+32+8+4+2₌₅64  _{*  5}32  _{*  5}8  _{*  5}4  _{*  5}2  

• Calculamos  as  congruencias  correspondentes  aos  1’s  na   representação  binária  

• 564  _{*  5}32  _{*  5}8  _{*  5}4  _{*  5}2_{≡105*74*114*101*25≡60  (mod  131)}  

Exemplo  de  utilização  

• A  aritmé-ca  modular  é  comumente  u-lizada  no  cálculo  de  

dígitos  verificadores  (ex.:  CPF,  contas  bancárias,  cheques,   passaportes,  etc)  

• O  que  se  faz  habitualmente  é  calcular  a  soma  do  produto   entre  os  dígitos  do  número  a  ser  verificado  por  

determinados  “pesos”  módulo  10  

• Ex.:  

• a9  ≡  7a1+3a2+9a3+7a4+3a5+9a6+7a7+3a8  (mod  10)  

• Para  o  número  81504216  teremos:  

• a9  ≡  7·∙8+3·∙1+9·∙5+7·∙0+3·∙4+9·∙2+7·∙1+3·∙6  (mod  10)  

159  ≡  9  (mod  10)  

Teste  de  primalidade  

• U-lizar  teste  de  primalidade  de  Fermat  

• Dados:  

• n:  o  número  a  ser  testado  

• k:  o  número  de  vezes  que  deve  ser  testado  (grau  de  

certeza)  

• O  algoritmo:  

repita k vezes:

Escolha um número a aleatoriamente no intervalo [1, n−1]

Se an−1 _{mod n ≠ 1 então retorne composto}

Senão retorne provavelmente primo

36  

Teste  de  primalidade  

Exemplo  

• O  algoritmo:  

repita k vezes:

Escolha um número a aleatoriamente no intervalo [1, n−1]

Se an−1 _{mod n ≠ 1 então retorne composto}

Senão retorne provavelmente primo

• Seja  n  =  105  

• Iteração  1:  a  =  92:  92104  _{mod  105  =  1}   • Iteração  2:  a  =  84:  84104  _{mod  105  =  21}  

Exemplo  

• O  algoritmo:  

repita k vezes:

Escolha um número a aleatoriamente no intervalo [1, n−1]

Se an−1 _{mod n ≠ 1 então retorne composto}

Senão retorne provavelmente primo • Seja  n  =  101  

• Iteração  1:  a  =  55:  55100  _{mod  101  =  1}  

• Iteração  2:  a  =  60:  60100  _{mod  101  =  1}  

• Iteração  3:  a  =  14:  14100  _{mod  101  =  1}  

• Iteração  4:  a  =  73:  73100  _{mod  101  =  1}  

• Neste  ponto,  101  tem  (½)4  _{=  1/16  de  chances  ainda    de}  

ser  composto  

Fermat  

• A  cada  iteração  a  probabilidade  de  que  o  número  seja   composto  cai  pela  metade  

• Probabilidade  =  (½)k  

• Se  k  =  100,  a  probabilidade  de  ser  um  composto  é  de    (½)100  _{=  1  em  1.2}  

×  1030  

• Portanto,  k  =  100  é  uma  boa  escolha   • Entretanto,  ainda  não  é  uma  certeza!  

• Existem  números  conhecidamente  compostos  mas  que  são  apontados   como  primos  neste  teste  

• Fonte:  hwp://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_primality_test  

Campanha  de  recrutamento  do  

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