Cap14 Sec4

(1)

Capítulo 14

(2)

Uma das ideias mais importantes em cálculo de funções com uma única variável é

À medida que damos zoom em torno de um ponto no gráfico de uma função diferenciável, esse

gráfico vai se tornando indistinguível de sua reta tangente.

Podemos aproximar a função por uma função linear.

(3)

Desenvolveremos ideias semelhantes em três dimensões.

À medida que damos zoom em torno de um ponto na superfície que é o gráfico de uma função

diferenciável de duas variáveis, essa superfície parece mais e mais com um plano (seu plano tangente).

Podemos aproximar a função, nas proximidades do ponto, por uma função linear de duas variáveis.

(4)

Estenderemos também a ideia de diferencial para as funções de duas ou mais variáveis.

(5)

14.4

Planos Tangentes e

Aproximações Lineares

Nesta seção, nós aprenderemos como:

Aproximar funções usando planos tangentes e funções lineares.

(6)

PLANOS TANGENTES

Suponha que a superfície S tenha equação

z = f(x, y), onde f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas.

(7)

Como na seção anterior, sejam C₁ e C₂

curvas obtidas pela intersecção de S com os planos verticais y = y₀ e x = x₀.

O ponto P pertence à intersecção de C₁ e C₂.

(8)

Sejam

T

₁

e T

₂ as retas tangentes às curvas

C

₁

e C

₂ no ponto P.

(9)

Então, o plano tangente à superfície S no

ponto P é definido como o plano que contém as duas retas tangentes T₁ e T₂.

(10)

Veremos na Seção 14.6 que, se C é outra curva qualquer que esteja contida na

superfície S e que passe pelo ponto P, então

sua reta tangente no ponto P também

pertence ao plano tangente.

(11)

Portanto, podemos pensar no plano tangente a S em P como o plano que contém todas as retas tangentes a curvas contidas em S que

passam pelo ponto P.

O plano tangente em P é o plano que melhor aproxima a superfície S perto do ponto P.

(12)

Sabemos da Equação 12.5.7 que qualquer plano passando pelo ponto P(x₀, y₀, z₀) tem equação da forma

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

(13)

Dividindo essa equação por C e tomando a = –A/C e b = –B/C, podemos escrevê-la como

z – z₀ = a(x – x₀) + b(y – y₀)

(14)

Se a Equação 1 representa o plano tangente em P, sua intersecção com o plano y = y₀

precisa ser a reta T₁.

(15)

Impondo y = y₀ na Equação 1, obtemos

z – z₀ = a(x – x₀)

y = y₀

que reconhecemos como a equação da reta (na forma de ponto, inclinação) com inclinação a.

(16)

Mas da Seção 14.3 sabemos que a inclinação de

T

₁

é

f

_x

(x

₀

, y

₀

).

Assim, a = f_x(x₀, y₀). PLANOS TANGENTES

(17)

Da mesma forma, tomando x = x₀ na Equação 1, obtemos:

z – z₀ = b(y – y₀)

que precisa representar a reta tangente T₂.

Portanto, b = f_y(x₀, y₀). PLANOS TANGENTES

(18)

Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas.

Uma equação do plano tangente à superfície z = f(x, y) no ponto P(x₀, y₀, z₀) é dada por:

z – z₀ = f_x(x₀, y₀)(x – x₀) + f_y(x₀, y₀)(y – y₀)

(19)

Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico

z

= 2x

2

+ y

2 no ponto

(1, 1, 3).

Seja f(x, y) = 2x2 _{+ y}2_. Então,

f_x(x, y) = 4x f_y(x, y) = 2y

f_x(1, 1) = 4 f_y(1, 1) = 2

(20)

Portanto, por (2), temos a equação do plano tangente em (1, 1, 3)

z – 3 = 4(x – 1) + 2(y – 1) ou

z = 4x + 2y – 3

(21)

A figura mostra o paraboloide elíptico e seu plano tangente em (1, 1, 3) que encontramos no Exemplo 1.

(22)

Na parte (b) e (c) fazemos um zoom em torno do ponto (1, 1, 3), diminuindo o domínio da função f(x, y) = 2x2 _{+ y}2_.

(23)

Observe que, quanto mais ampliamos a região próxima ao ponto,

mais plano parece o gráfico da superfície e mais se parece com o plano tangente.

(24)

Aqui reforçamos essa impressão dando

zoom em torno de (1, 1) no mapa de contorno da função f(x, y) = 2x2 _{+ y}2_.

(25)

Observe que, quanto mais ampliamos, mais as curvas de nível parecem retas igualmente espaçadas, o que caracteriza uma região

plana.

(26)

APROXIMAÇÃO LINEAR

No Exemplo 1 achamos que a equação do plano tangente ao gráfico da função

f(x, y) = 2x2 _{+ y}2 _{no ponto} _{(1, 1, 3) é:} z = 4x + 2y – 3

(27)

Portanto, em vista da evidência visual nas duas figuras anteriores, a função linear de duas variáveis

L(x, y) = 4x + 2y – 3

é uma boa aproximação de f (x, y) quando (x, y) está próximo de (1, 1).

(28)

APROXIMAÇÃO LINEAR & LINEARIZAÇÃO

A função L é chamada linearização de f em (1, 1).

A aproximação

f(x, y) ≈ 4x + 2y – 3

é denominada aproximação linear ou

aproximação pelo plano tangente de f em (1, 1).

(29)

Por exemplo, no ponto (1,1, 0,95), a aproximação linear fornece

f(1,1, 0,95)

≈ 4(1,1) + 2(0,95) – 3 = 3,3

que está bastante próximo do valor verdadeiro de

f (1,1, 0,95) = 2(1,1)² + (0,95)² = 3,3225.

(30)

Se, entretanto, tomarmos um ponto longe de (1, 1), como (2, 3), não teremos mais uma

boa aproximação.

De fato, L(2, 3) = 11, ao passo que f (2, 3) = 17.

(31)

Em geral, sabemos de (2) que uma equação do plano tangente ao gráfico de uma função f

de duas variáveis que tem derivadas parciais contínuas em um ponto (a, b, f (a, b)) é

z = f(a, b) + f_x(a, b)(x – a) + f_y(a, b)(y – b)

(32)

LINEARIZAÇÃO Equação 3

A função linear cujo gráfico é esse plano tangente, a saber,

L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x – a)

+ f_y(a, b)(y – b)

(33)

A aproximação

f(x, y) ≈ f(a, b) + f_x(a, b)(x – a)

+ f_y(a, b)(y – b)

é chamada aproximação linear ou

aproximação pelo plano tangente de f em (a, b).

(34)

Definimos o plano tangente para as

superfícies z = f(x, y), onde f tem derivadas

parciais de primeira ordem contínuas.

O que acontece se f_x e f_y não são contínuas?

(35)

A figura

apresenta uma tal função.

Sua equação é:

(36)

Podemos verificar (veja o Exercício 46) que suas derivadas parciais existem na origem e são f_x(0, 0) = 0 e f_y(0, 0) = 0.

Mas, f_x e f_y não são contínuas.

(37)

A aproximação linear seria

f(x, y) ≈

0.

Porém, f(x, y) = ½ para todos os pontos da reta y = x.

(38)

Portanto, uma função de duas variáveis pode se comportar muito mal, mesmo se suas derivadas parciais existirem.

Para evitar esse comportamento, introduzimos a ideia de função diferenciável de duas variáveis.

(39)

Lembremo-nos de que para uma função de uma variável, y = f(x), se x varia de a para

a + ∆x, definimos o incremento de y como ∆y = f(a + ∆x) – f(a)

(40)

No Capítulo 3, no Volume I, mostramos que, se f é diferenciável em a, então

∆y = f’(a)∆x + ε∆x

onde ε → 0 quando ∆x → 0

(41)

Considere agora uma função de duas variáveis, z = f(x, y).

Suponha que x varie de a para a + ∆x e

y varie de b para b + ∆x.

Então, o incremento correspondente de z é

∆z =

f(a + ∆x, b +

∆y) –

f(a, b)

(42)

Portanto, o incremento ∆z representa a

variação de valor de f quando (x, y) varia de (a, b) para (a + ∆x, b + ∆y).

Por analogia a (5), definimos a diferenciabilidade de uma função de duas variáveis como segue.

(43)

Se z = f(x, y), então f é diferenciável em

(a, b) se ∆z ser expresso na forma ∆z = f_x(a, b) ∆x + f_y(a, b) ∆y

+ ε₁∆x + ε₂∆y

onde ε₁e ε₂ → 0 quando (∆x, ∆y) → (0, 0).

(44)

A Definição 7 diz que uma função

diferenciável é aquela para a qual a aproximação linear (4) é uma boa

aproximação quando (x, y) está próximo de (a, b).

Em outras palavras, o plano tangente aproxima bem o gráfico de f perto do ponto de tangência.

(45)

Algumas vezes é difícil usar a Definição 7 diretamente para verificar a

diferenciabilidade da função, mas o próximo teorema nos dá uma condição

suficientemente conveniente para a diferenciabilidade.

(46)

Se as derivadas parciais

f

_x

e f

_y existirem perto do ponto (a, b) e forem contínuas em (a, b), então f é diferenciável em (a, b).

(47)

Mostre que f(x, y) = xexy _é _{diferenciável} _em (1, 0) e determine sua linearização ali.

Em seguida, use a linearização para aproximar f(1,1, –0,1).

(48)

As derivadas parciais são

f_x(x, y) = exy _{+ xye}xy _f

y(x, y) = x2exy

f_x(1, 0) = 1 f_y(1, 0) = 1

Ambas f_x e f_y são funções contínuas.

Portanto, pelo Teorema 8, f é diferenciável.

(49)

A linearização é dada por:

L(x, y) = f(1, 0) + f_x(1, 0)(x – 1) + f_y(1, 0)(y – 0) = 1 + 1(x – 1) + 1 . y

= x + y

(50)

A aproximação linear correspondente é

xexy _≈ _x _{+ y} Portanto,

f(1,1, – 0,1) ≈ 1,1 – 0,1 = 1

Compare esse valor com o valor real de

f (1,1, 0,1) = 1,1e–0,11 _≈ _0,98542

(51)

No início da Seção 14.3 discutimos o humidex (temperatura aparente) I como uma função

da temperatura real T da umidade relativa H

(52)

Fornecemos a seguinte tabela de valores:

(53)

Determine uma aproximação linear para o humidex I = f(T, H) quando T está próximo

de 30 ºC e H está próximo de 60%.

Use essa estimativa do humidex quando a temperatura estiver a 31 ºC e a umidade

relativa for 62%.

(54)

Lemos na tabela que f (30, 60) = 38.

Na Seção 14.3 usamos os valores tabelados para estimar f_T(30, 60) ≈ 1,75 e f_H(30, 60) ≈ 0,3.

(55)

Assim, a aproximação linear é:

f(T, H) ≈ f(30, 60) + f_T(30, 60)(T – 30) + f_H(30, 60)(H – 60)

≈ 38 + 1,75(T – 30) + 0,3(H – 60)

(56)

(57)

DIFERENCIAIS Equação 9

Para uma função de uma única variável,

y = f (x), definimos a diferencial dx como

uma variável independente; ou seja, dx pode valer qualquer número real.

A diferencial de y é definida como

dy = f’(x) dx Veja a Seção 3.10, no Volume I.

(58)

(59)

∆y representa a variação de altura da curva

y = f(x).

dy representa a

variação de altura da reta tangente quando

x varia da quantidade

dx = ∆x.

(60)

Para uma função de duas variáveis,

z = f(x, y), definimos as diferenciais dx e dy como variáveis independentes;

Ou seja, podem ter qualquer valor.

(61)

DIFERENCIAL TOTAL Equação 10

Então, a diferencial dz, também chamada

diferencial total, é definida por

Compare com a Equação 9.

Algumas vezes a notação df é usada no lugar de

dz.

( , )

x y

z

dz

f x y dx

f x y dy

dx

dy

x

y

∂

=

+

=

+

∂

(62)

Se tomamos dx = ∆x = x – a e dy = ∆y = y – b

na Equação 10, então a diferencial de z é

dz = f_x(a, b)(x – a) + f_y(a, b)(y – b) E assim, com a notação de diferencial, a

aproximação linear (4) pode ser escrita como

f(x, y) ≈ f(a, b) + dz

(63)

Essa figura é a versão tridimensional da figura anterior.

(64)

Ela mostra a interpretação geométrica da diferencial dz e do incremento

∆z.

(65)

dz representa a variação na altura do plano tangente.

(66)

∆z representa a variação da altura da

superfície z = f(x, y) quando (x, y) varia de (a, b) para (a + ∆x, b + ∆y).

(67)

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. a. Se z = f(x, y) = x2 _{+ 3xy} _– _y2_{, determine} a diferencial dz. b. Se x varia de 2 a 2,05 e y varia de 3 a 2,96, compare os valores de Δz e dz. DIFERENCIAIS EXEMPLO 4

(68)

(2

3 )

(3

2 )

z

dz

dx

dy

x

y

x

y dx

x

y dy

∂

=

+

∂

=

+

−

DIFERENCIAIS EXEMPLO 4 a

(69)

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Tomando x = 2, dx = ∆x = 0,05, y = 3, dy = ∆y = –0,04, obtemos dz = [2(2) + 3(3)]0,05 + [3(2) – 2(3)](–0,04) = 0,65 DIFERENCIAIS EXEMPLO 4 b

(70)

Observe que ∆z ≈ dz, mas dz é mais simples de calcular.

(71)

No Exemplo 4, dz está próximo de Δz porque o plano tangente é uma boa

aproximação da superfície z = x2 _{+ 3xy} _– _y2

perto do ponto (2, 3, 13).

(72)

Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com

possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm.

Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone.

(73)

O volume V do cone com raio da base r e altura h é V =

π

r2 _{h / 3.} Logo, a diferencial de V é 2

2

3

3 π

π

∂

=

+

=

+

∂

V

rh

r

dV

dr

dh

dr

dh

r

h

DIFERENCIAIS EXEMPLO 5

(74)

Como cada erro é de, no máximo, 0,1 cm, temos

|∆r| ≤

0,1

|∆h| ≤

0,1

(75)

Para achar o erro máximo no volume, tomamos o maior erro nas medidas de r e de h.

Portanto, tomamos dr = 0,1 e dh = 0,1 para r = 10, h = 25.

Isso dá

Assim, o erro máximo cometido no cálculo do volume é de cerca de 20π cm³ ≈ 63 cm³.

(76)

FUNÇÕES DE TRÊS OU MAIS VARIÁVEIS

Aproximações lineares, diferenciabilidade e diferenciais podem ser definidas de maneira análoga para as funções de mais que duas variáveis.

(77)

Uma função diferenciável é definida por uma expressão semelhante àquela da Definição 7.

Para essas funções a aproximação linear é

f(x, y, z) ≈ f(a, b, c) + f_x(a, b, c)(x – a)

+ f_y(a, b, c)(y – b) + f_z(a, b, c)(z – c) A linearização L(x, y, z) é o lado direito dessa

expressão.

(78)

Se w

= f(x, y, z),

então o incremento de w é

∆w

= f(x

+ ∆x, y

+ ∆y, z

+ ∆z) –

f(x, y, z)

A diferencial dw é definida em termos das diferenciais dx, dy e dz das variáveis

independentes por

w

dw

dx

dy

dz

x

y

z

∂

=

+

∂

(79)

FUNÇÕES DE VARIÁVEIS MÚLTIPLAS EXEMPLO 6

As dimensões de uma caixa retangular são medidas como 75 cm, 60 cm e 40 cm, e cada medida foi feita com precisão de 0,2 cm.

Use diferenciais para estimar o maior erro possível quando calculamos o volume da caixa usando essas medidas.

(80)

Se as dimensões da caixa são x, y e z, seu

volume é V = xyz e

∂

=

+

∂

=

+

V

dV

dx

dy

dz

x

y

z

yz dx

xz dy

xy dz

(81)

Foi-nos dado que

|∆x| ≤ 0,2, |∆y| ≤ 0,2, |∆z| ≤ 0,2

Para determinar o maior erro no volume, usamos

dx = 0,2, dy = 0,2, dz = 0,2 em conjunto com

x = 75, y = 60, z = 40

(82)

(83)

Portanto, um erro de apenas 0,2 cm nas

medidas de cada dimensão pode nos levar a um erro da ordem de 1.980 cm³ no cálculo

do volume!

Isso pode parecer um erro muito grande, mas, na verdade, é um erro de apenas cerca de 1% do volume da caixa.