2aLista-FisicaIII-2017-1

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LISTA - FISICA III

Instituto de F´ısica - UFRJ - Prof. C. Farina - 2017-1

1. Considere um par de cargas, q e −q, com q > 0, localizadas nas posic¸˜oes r+ = d₂ˆz e

r₋ = −d₂ˆz, respectivamente, e um ponto genérico P , de vetor posição r, que se encontra

bem distante da origem, ou seja, d ≪ r, onde r = |r|, como ilustra a figura.

O Y X Z q

r

+ −q

r

−

P

r

(a) Mostre que o campo eletrostático no ponto P é dado pela expressão

E(r) = 1 4πϵ0 [ 3(p· ˆr)ˆr − p r3 ] , (d≪ r) , (1)

onde p = q(r+− r−) = q d ˆz ´e o momento de dipolo el´etrico do par de cargas.

Sugestão: calcule a expressão exata para o campo eletrostático em qualquer ponto do espaço onde ele esteja definido e, em seguida, faça as expanses apropriadas.

(b) A partir do resultado anterior, obtenha as respectivas expresses de E(P ) para P locali-zado no planoOX Y e no eixo OZ. Compare os resultados encontrados com os obtidos em c´alclos anteriores.

2. Considere uma distribuição estática de cargas constitu´ıda por N cargas puntiformes loca-lizadas em uma região limitada do espaço. Mostre que o momento de dipolo elétrico da distribuição relativo origem é dado por p = ∑_iqiri. Mostre ainda que, se a carga total da distribuição for nula, p não depende da origem escolhida.

3. Considere uma barra vertical de comprimento 2ℓ que tem sua metade superior carregada positivamente, com densidade linear de carga uniforme λ, e sua metade inferior carregada negativamente, com densidade linear de carga −λ. Escolha os eixos cartesianos de modo que a barra esteja ao longo do eixoOY e a origem coincida com o seu centro.

O

X

P

x

Y

ℓ

−λ

ℓ

λ

(a) Calcule o campo eletrostático em um ponto genérico P do semi-eixo positivoOX . (b) Obtenha uma expressão aproximada para o campo encontrado no item anterior no caso

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4. Considere um anel de raio R situado no planoOX Y e cujo centro coincida com a origem. A distribuição de carga ao longo do anel é a seguinte: nos pontos (x, y) do anel tais que

y =√R2− x2_{, com}−R ≤ x ≤ R, a densidade linear de carga do anel ´e positiva e uniforme, dada por λ, enquanto nos pontos (x, y) do anel tais que

y = −√R2− x2_{, com} −R < x < R, a densidade linear de carga do anel ´e negativa e uniforme, dada por−λ, como ilustra a figura.

Y X

R

λ

metade positiva

−→

−λ

metade negativa

−→

(a) Responda com palavras qual é a direção e o sentido do campo eletrostático na origem (caso voc ache que o campo é nulo na origem, afirme isso explicitamente). Justifique a sua resposta.

(b) Calcule o campo eletrost´atico em um ponto gen´erico P (0, 0, z) do eixoOZ.

(c) Obtenha uma expressão aproximada para o campo eletrostático criado pelo anel válida para pontos do semi-eixo positivo OZ bem distantes do anel (z2 _{≫ R}2_{). A partir} desse resultado, identifique o momento de dipolo elétrico desse anel. Explique seu procedimento.

5. Uma haste de seção reta desprez´ıvel e comprimento 2ℓ está localizada sobre o eixo OX com seu centro coincidindo com a origem dos eixos cartesianos em uso, como indica a figura. Essa haste está carregada com uma distribuição linear de carga dada por λ = α|x| (−ℓ ≤ x ≤ ℓ), onde α é uma constante positiva.

X Y

O

−ℓ

ℓ

P (0, y, 0)

(a) Calcule a carga el´etrica total da haste.

(b) Determine o campo eletrostático em um ponto genérico do semi-eixo positivoOY, isto é, em um ponto P (0, y, 0), com y > 0.

(c) Obtenha uma express˜ao aproximada para o campo encontrado no item anterior supondo que ℓ2 ≪ y2 _{e interprete o resultado.}

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6. Duas varetas de mesmo comprimento a, carregadas eletrica-mente com a mesma densidade linear uniforme λ, est˜ao dis-postas no plano OX Y, paralelamente e separadas por uma distˆancia 2b. Uma delas no eixo OX , de x = 0 a x = a, e a outra com extremidades nos pontos (0, 2b) e (a, 2b), con-forme indica a figura.

(a) Calcule o campo el´etrico E no ponto P de coorde-nadas (0, b).

(b) Determine o campo el´etrico E no ponto P′ de coor-denadas (a/2, b) e no ponto P′′de coordenadas (a, b).

O X Y

a

P b b

7. Considere uma carga puntiforme q localizada na origem dos eixos cartesianos e um disco de raio a, centrado em (0, 0, h) e cujo plano est´a paralelo ao planoOX Y. Utilize como unit´ario normal superf´ıcie ˆn = ˆz. Y X Z

h

a

ˆ n = ˆz q Ω

(a) Calcule o ângulo sólido Ω subentendido pelo disco a partir da origem dividindo a área da calota esférica centrada na origem e com a mesma borda que o disco pelo raio ao quadrado da calota.

(b) Calcule o fluxo do campo elétrico da carga q através do disco efetuando explicita-mente a integral de superf´ıcie sobre o disco. Confira o resultado utilizando a fórmula Φ = (q/4πϵ0)Ω e a expressão obtida no item anterior.

8. Um dipolo puntiforme p, de magnitude p, está localizado na origem dos eixos cartesianos e orientado de forma que p = p ˆz. Calcule o fluxo de seu campo elétrico através de uma

superf´ıcie circular de raio a, centrada em (0, 0, h), orientada paralelamente ao planoOX Y e cujo vetor normal ´e escolhido como ˆn = ˆz (veja a figura).

Y Z

h

a

ˆ n = ˆz p

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9. O objetivo deste problema é reobter o resultado do problema anterior mas utilizando, agora, um método baseado no conceito de ângulo sólido e no fato de que um dipolo puntiforme pode ser pensado como um limite apropriado de duas cargas opostas cuja distância tende a zero. Com esse objetivo, considere a carga negativa −q na origem e a carga positiva q na posição (0, 0, d). Denote por Ω+o ângulo sólido subentendido pela superf´ıcie relativo carga

q e por Ω₋ o ˆangulo s´olido subentendido pela superf´ıcie relativo carga −q, como ilustra a figura. Y X Z

h

a

ˆ n = ˆz q Ω+ −q Ω₋ d

(a) Escreva uma express˜ao para o fluxo Φ do campo eletrost´atico criado pelo par de cargas

q e−q em termos de dos ˆangulos s´olidos Ω+e Ω−.

(b) Utilizando a express˜ao para Ω(h, a) obtida no item (a) do problema 2 na express˜ao encontrada no item anterior e tomando os limites apropriados para obter o fluxo do campo do dipolo puntiforme, reobtenha o resultado do problema anterior.

10. Considere uma carga puntiforme q e a superf´ıcie de um cubo orientada de modo que o vetor unitário normal superf´ıcie seja de dentro para fora, como de costume. Calcule o fluxo do campo eletrostático da carga através de cada uma das faces do cubo supondo que:

(a) a carga esteja no centro do cubo; (b) a carga esteja num dos v´ertices do cubo

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11. As figuras desenhadas abaixo mostram superf´ıcies fechadas formadas pela união de duas superf´ıcies abertas, designadas por S1 e S2 e uma carga puntiforme q localizada em seu interior. Por exemplo, a figura (a) mostra um plano, Σ, separando uma superf´ıcie esférica em duas calotas esféricas desiguais (sendo S1a calota menor e S2 a calota maior), e a carga

q situada num ponto do plano Σ no interior da superf´ıcie esf´erica.

1

Sejam Φ1 e Φ2 os fluxos do campo eletrost´atico da carga q atrav´es das superf´ıcies (abertas)

S1 e S2, respectivamente. Usando os s´ımbolos de ordem, >, < e =, compare os fluxos Φ1 e Φ2 nas trs situac¸˜oes.

12. (Desafio 1) Considere uma carga puntiforme positiva q1 e uma outra, negativa, q2, e seja

r a reta que passa por elas. A figura mostra uma linha de campo, associada ao campo

eletrostático total gerado pelas duas cargas, cuja direção de sa´ıda da carga q1 forma um ângulo θ1 com a reta r.

Reta r

q

1

θ

1

q

2

θ

2

Conhecidos os valores de q1, q2 e θ1, determine o ˆangulo entre essa linha de campo e a reta

r na chegada carga q2, isto ´e, determine o ˆangulo θ2 indicado no figura.

13. Considere um fio retil´ıneo e extremamente longo (fio infinito, como se costuma dizer) uni-formemente carregado com densidade linear de carga λ. Embora não exista um fio infinito, em diversas situações fios muito extensos poderão ser aproximados como tal.

(a) Calcule, por integração direta, o campo eletrostático do fio em um ponto P qual-quer que não coincida com os pontos do fio. Sem perda de generalidade, escolha os eixos cartesianos de modo que o ponto P esteja no planoOX Y e utilize coordenadas cil´ındricas.

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14. Considere um plano infinito uniformemente carregado com densidade superficial de carga

σ. Embora não se trate de uma situação realista, muitas distribuições superficiais de carga

podem ser consideradas, com boa aproximac¸˜ao, como planos infinitos uniformemente car-regados.

(a) Imagine que o plano seja formado por fios infinitos de espessura infinitesimal colocados lado a lado. Obtenha o campo eletrost´atico criado pelo plano num ponto qualquer do espac¸o (fora do plano) integrando sobre todos os fios que compem o plano.

(b) Reobtenha o resultado anterior mas, agora, utilizando apropriadamente a Lei de Gauss. 15. Considere uma casca esf´erica de raio a uniformemente carregada com densidade superficial de carga σ. Escolha os eixos cartesianos de forma que a origem coincida com o centro da casca.

(a) Calcule, por integração direta, o campo eletrostático da casca esférica num ponto genérico P que não pertença casca. Sem perda de generalidade, escolha o ponto

P sobre o eixo OZ e n˜ao se esquec¸a de calcular o campo tanto dentro quanto fora da

casca esf´erica.

(b) Reobtenha o resultado anteiror mas, agora, utilizando apropriadamente a Lei de Gauss 16. Considere uma esfera de raio R uniformemente carregada com densidade volumar de carga

ρ. Calcule o campo eletrost´atico criado por essa esfera utilizando os seguintes

procedimen-tos:

(a) imagine que a esfera seja constitu´ıda pela superposição de cascas esféricas concntricas de espessura infinitesimal e, utilizando o resultado obtido no problema anterior, some (integre) as contribuições de todas as cascas;

(b) a partir da Lei de Gauss.

17. Considere uma lˆamina infinita de espessura L, carregada com uma densidade volumar de carga ρ constante. Escolha os eixos cartesianos como indica a figura.

ρ = const

̸= 0

ρ = 0

L/2

X

Z

Utilize a lei de Gauss apropriadamente e calcule o campo eletrostático criado pela lâmina em qualquer ponto do espaço, ou seja, tanto na região|z| < L/2, quanto na região |z| > L/2..

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18. Considere uma esfera de raio R carregada com uma densidade volumar de carga dada por

ρ(r) = ρ0r/R, onde ρ0 é uma constante positiva e r é a distância de um ponto genérico da esfera ao centro da mesma.

(a) Determine a dimens˜ao da constante ρ0. Calcule a carga total da esfera.

(b) Utilizando a Lei de Gauss, calcule o campo eletrostático em um ponto genérico do espaço, ponto P , mas localizado fora da esfera.

(c) Utilizando novamente a Lei de Gauss, calcule o campo eletrostático em um ponto genérico do espaço, mas agora pertencente esfera. Esboce o gráfico de |E(P )|

ver-sus r, onde r ´e a distˆancia do ponto P origem.

19. Uma casca esférica de espessura finita, cujo raio interno é a e o externo é b, está carregada eletricamente com uma distribuição volumar de cargas não uniforme, mas esfericamente simétrica, dada por ρ(r) = αr, com a < r < b, sendo α uma constante. Escolha a origem no centro da casca.

ρ(r) = α r

a

b

(a) Calcule a carga total da casca esf´erica.

(b) Utilizando apropriadamente a Lei de Gauss, calcule o campo eletrost´atico em um ponto qualquer do espac¸o. Justifique com palavras cada etapa de seu racioc´ınio.

20. (Desafio 2) Considere uma esfera de raio a uniformemente carregada com densidade volumar de carga ρ. Calcule a força que o hemisfério sul exerce sobre o hemisfério norte.

21. Retira-se de uma esfera uniformemente carregada com densidade volumar ρ uma outra, de raio menor, de modo que, agora, a esfera original possui em seu interior uma cavidade esf´erica. Seja d o vetor que vai do centro da esfera original ao centro da cavidade e suponha que a cavidade esf´erica esteja totalmente contida na esfera maior, como indica a figura.

ρ

d

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22. Considere um disco de raio a uniformemente carregado com densidade superficial de carga

σ. Uma barra de comprimento a, uniformemente carregada e de densidade linear de carga λ, ´e colocada sobre o disco, perpendicularmente a ele e com uma de suas extremidades no

centro do disco, como mostra a figura.

λ

0

σ

a

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RESPOSTAS DOS PROBLEMAS 1. (a) Demonstração (b) E(0, 0, z) = _2πϵp 0 1 |z|3 ; E(x, y, 0) =− p 4πϵ₀ 1 ρ3 ; (ρ = √ x2_{+ y}2₎ 2. Demonstrações. 3. (a) E(P ) =− λ 2πϵ0

[

1 x

−

1 √ x2+ℓ2

]

ˆ y (b) E(P ) ≈ − λℓ 2 4πϵ0 ˆ y

x3. Trata-se do campo de um dipolo p = Qℓ ˆy localizado na origem.

Como a carga total da barra é nula, o termo dominante para grandes distâncias é o termo de dipolo. De fato, se utilizarmos a definição de momento de dipolo elétrico de uma distribuição cont´ınua de carga, encontraremos precisamente p = Qℓ ˆy.

4. (a) Direc¸˜ao e sentido de−ˆy (b) E(0, 0, z) = − λR 2_ˆ_y πϵ0(z2+R2)3/2 . (c) E(0, 0, z)≈ − λR 2_ˆ_y πϵ0|z|3; p = 4

π QRˆy, sendo Q = λπR a carga do semic´ırculo positivo. 5. (a) Q = αℓ2 (b) E(0, y, 0) = α 2πϵ₀

[

1 −

√

y y2+ℓ2

]

ˆ y (c) E(0, y, 0)≈ Q ˆy 4πϵ₀y2 6. (a) E(0, b) = − λ 2πϵ0

{

1 b

−

1 √ b2+a2

}

ˆ x (b) E(a/2, b) = 0; E(a, b) = λ 2πϵ0

{

1 b

−

1 √ b2+a2

}

ˆ x 7. (a) Ω = 2π ( 1−√ h a2+h2 ) (b) Φ = q 2ϵ0 ( 1− √ h a2+h2 ) 8. Φ = p a 2 2ϵ0

(

a2+h2

)

3/2 9. (a) _4πϵq 0(Ω+− Ω−) (b) Demonstrac¸˜ao 10. (a) Φ = q 6ϵ0 (b) Φ = q

(10)

11. (a) Φ1 = Φ2 (b) ϕ1 > ϕ2 (c) Φ1 = Φ2 12. Desafio 1 13. (a) E(P ) = λ 2πϵ₀ ˆ ρ ρ (b) Demonstração 14. (a) E(P ) = σ 2ϵ0 z ˆz |z| , paraz ̸= 0 (b) Demonstração 15. (a) E(P ) = _4πϵQ 0 ˆr

r2, para r > a, onde Q = σ4πa

2 E(P ) = 0, para 0≤ r < a (b) Demonstrac¸˜ao 16. (a) E(P ) = ρ r 3ϵ₀ = Q 4πϵ₀R2 r

R , se P for um ponto da esfera (0≤ r ≤ R),

e E(P ) = Q r

4πϵ0r3 , se P estiver fora da esfera (r > R), onde

r =|r| e Q = ρ(4/3)πR3. (b) Demonstrac¸˜ao 17. E(x, y, z) = ρz ϵ0 ˆz; para |z| ≤ L 2 e E(x, y, z) = ρL 2ϵ0 ˆz z |z|; para |z| > L2.

18. (a) ρ0 tem dimens˜ao de carga el´etrica por comprimento ao cubo. Q = ρoπR3. (b) E(P ) = _4πϵQ 0 ˆr r2 (r > R), onde Q = ρ0πR 3_. (c) E(P ) = ρor 2 4ϵ₀Rˆr (0≤ r ≤ R) 19. (a) Q = πα(b4− a4).

(b) E(P ) = 0, para 0 ≤ r < a; E(P ) = α

4ϵ₀ ( r2₋ a4 r2 ) ˆr, para a ≤ r ≤ b; E(P ) = _4πϵQ 0 ˆr r2 (r > b), onde Q = πα(b 4_{− a}4_). 20. Desafio 2 21. E(P ) = ρ d_3ϵ 0 22. Fbarra = (2−√2) QdQb 2πϵ0a2 ˆz , onde Qd= σπa 2 _{e Qb} _{= λa.}