Comparação de três softvvares de geometria dinâmica usando um problema de homotetia

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Trabalho de Conclusão de Curso

COMPARAÇÃO

DE

TRÊS SOFTWARES

DE

GEOMETRIA

DINÂMICA USANDO

_{UM PROBLEMA DE}

_HOMOTETIA

PATRICIA CAMPOS

smarm:: CO o

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE

CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE

MATEMÁTICA

Trabalho

de

Conclusão

de Curso

COMPARAÇÃO DE TRÊS SOFTWARES DE GEOMETRIA

DINÂMICA USANDO UM PROBLEMA DE HOMOTETIA

PATRICIA CAMPOS

COMPARAÇÃO

DE

TRÊS

SOFTVVARES

DE GEOMETRIA

DINÂMICA

USANDO

UM PROBLEMA DE

HOMOTETIA

Monografia apresentada ao curso de

Matemática - Habilitação Licenciatura, como requisito para obtenção do grau de Licenciado em Matemática.

Esta monografia foi julgada adequada como Trabalho de

Conclusão

de Curso no curso de

matemática-Habilitação

Licenciatura,

e aprovada

em sua forma final pela Banca

Examinadora designada pela Portaria

n° 1 4/SCG/03.

Prof.

Nereu Estanislau

Burin

Professor da Disciplina

Banca Examinadora:

Gilson

Braviano,

Dr

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"Para chegarmos onde chegamos, no chegamos sozinhos. Com certeza em algum l770trJel7t0 de nossas vidas, houve quem ".guiasse - nossos passos... - Aos passos amigos, A05 passos

Aos passos de amor.

ÍNDICE

].INTRODUÇÃO ₀₁

1.1 Relevância ₀₆

1.2 Objetivo 08

2. GEOMETRIA DINÂMICA 09

2.1 Um breve histórico sobre Geometria Dinâmica 09

2.2 Softwares de Geometria Dinâmica mais utilizados ₁₀

2.2.1 Cabri-Géomètre 10

2.2.2 The Geometer's Sketchpad 11

2.2.3 Cinderella 12

3. USO DA HOMOTETIA NOS SOFTWARES 13

3.1 Homotetia 13

3.2 Exercício Proposto 13

3.3 Resolução do Exercício com o auxilio do Cabri-Géometre 14

3.4 Resolução do Exercício com o auxilio do Cinderella 24

3.5 Resolução do exercício com o auxilio do The Geometer's

Sketchpad 34

3.6 Comparação dos softwares: Cabri-Gémetre; Cinderella; The

Geometer's Sketchpad 44

3.6.1 Quanto as ações realizadas na execução do exercício no

Cabri-Géornètre 44

3.6.2 Quanto as ações realizadas na execução do exercício no

The Geometer's Sketchpad 45

Cinderella 47 3.6.4 Quanto a interatividade no Cabri-Géométre 49 3.6.5 Quanto a interatividade no The Geometer's Sketchpad 50 3.6.6 Quanto a interatividade no Cinderella ₅₁ 3.6.7 Quanto a verificação da área do triângulo homotético no

Cabri-Géornètre 52 3.6.8 Quanto a verificação da área do triângulo homotético no

The Geometer's Sketchpad ₅₃ 3.6.9 Quanto a verificação da área do triângulo homotetico no

Cinderella 54

4. CONCLUSÃO ₅₅

CAPÍTULO I — INTRODUÇÃO

Segundo Gravina Se Santarosa (1998), na história do desenvolvimento da matemática observa-se que a mesma possui duplo aspecto:

- o de ferramenta, onde as teorias matemáticas são usadas na

resolução de problemas práticos nas mais variadas áreas de conhecimento.

- o de geração de conceitos e teorias, sendo que algumas irão

constituir uma estrutura que objetiva a descoberta de regularidades e

de invariantes. Trata-se da investigação no plano puramente

matemático.

Ambos estes aspectos relacionam-se permanentemente, ou seja, a partir da busca de soluções de problemas em outras áreas do

conhecimento surge o desenvolvimento da matemática de caráter

puramente abstrato. Os desenvolvimentos puramente teóricos acabam apresentando-se como ferramentas para tratabilidade de problemas em outras areas do conhecimento. A história da evolução da Geometria nos mostra bem este duplo aspecto da matemática. Na antiguidade a Geometria surge como ciência pratica na solução de problemas de

medidas; com os gregos torna-se conhecimento de caráter abstrato, tomando como ponto de partida axiomas indiscutíveis sob o ponto de vista intuitivo; com as geometrias não-euclidianas, no século XIX,

tem-se o caráter abstrato ao extremo, já que os axiomas aceitos não se

destas geometrias no entendimento e explicação de fenômenos,

notadamente na área da física.

No processo educativo, estes dois aspectos da matemática devem ser

enfatizados igualmente. Um dos grandes desafios para os educadores

matemáticos é encontrar os caminhos que levem seus alunos a

apropriarem-se do conhecimento. Na aquisição do conhecimento, as ações concretas sobre objetos concretos respondem pela constituição

dos esquemas, e no último estágio, as ações abstratas (operações)

sobre objetos concretos respondem pela constituição dos conceitos.

Diz Fischbein (1994 apud Gravina 8z Santarosa, 1998): 'Axiomas, deEinições,

teorias e demonstrações devem ser incorporados como componentes ativos

do processo de pensar. Eles devem ser inventados ou _aprendidos,

organizados, testados e usados pelos alunos. Entendimento no sentido de

rigor do raciodnio dedutivo, o sentimento de coerência e consistência, a

capacidade de pensar proporcionalmente, no so aquisições espontâneas.

Na teoria piagetiana todas estas capacidades esto relacionadas com idade —

o estio das operações formais. Estas capacidades no s'a-o mais do que

potencialidades que somente um processo educativo é capaz de moldar e

transformar em realidades mentais ativas."

Piaget (1967 apud Gravina & Santarosa, 1998) confirma que a

aprendizagem é um processo construtivo, que depende de modo

fundamental das ações do sujeito e de suas reflexões sobre estas ações:

"Todo conhecimento é ligado A ação, e conhecer um objeto ou evento a

assimilá-lo A um esquema de ação... Isto é verdade do mais elementar

nível sensório-motor ao mais elevado nível de operações lógico-matemáticas".

Conforme Gravina e Santarosa (1998), no processo de ensino-aprendizagem, a transição na natureza dos objetos sobre os quais os alunos aplicam as ações é uma questão central. 0 mundo físico é rico em objetos concretos para inicio da aprendizagem em matemática, no geral de caráter espontâneo. Mas se o objetivo é a construção de

conceitos mais complexos e abstratos, estes não tem suporte

materializado, entrando em jogo a "concretização mental", que nem sempre é simples, mesmo para o matemático profissional. Este tipo de aprendizagem nem sempre tem caráter espontâneo e exige muitas vezes a construção de conceitos que são até mesmo, num primeiro

momento, pouco intuitivos, portanto dependendo de muita ação mental por parte do aluno.

Um exemplo ilustrativo, ao extremo, encontra-se na própria história do desenvolvimento da geometria: dois mil anos foram necessários para as mudanças de concepções que tornaram naturais as geometrias não-euclidianas. Este obstáculo explica-se pelo caráter pouco intuitivo dos axiomas que definiriam estas geometrias.

Obstáculos e sua superação permeiam a história do desenvolvimento da matemática, assim como o processo de ensino-aprendizagem.

Os ambientes informatizados apresentam-se como ferramentas de

grande potencial frente aos obstáculos inerentes ao processo de aprendizagem, possibilitando "mudar os limites entre o concreto e o formal", Papert (1988 apud Gravina & Santarosa, 1998).

Ou inci, segundo Hebenstreint (1987 apud Gravina (gz Santarosa, 1998), "o

computador permite criar um novo tipo de objeto - os objetos conc./et05

-cib5ti?to5. Concretos porque existem r te[ do computador e podem ser

manipulados; abstratos poi- se tratarem ce realizações feitas a partir de

construções mentais".

Quando existe a possibilidade de ações sobre objetos físicos, a

transposição destes objetos para ambientes informatizados apresenta

vantagens como a possibilidade de realizar grande variedade de experimentos em pouco tempo, diferentemente da manipulação

concreta. E a primazia de ação favorecendo o processo de investigação e

abstração, com a conseqüente construção de conceitos e relações.

Historicamente os sistemas de representação do conhecimento

matemático tem caráter estático, observando os livros ou assistindo

uma aula expositiva. Este caráter estático muitas vezes dificulta a

construção do conhecimento, fazendo com que o significante seja um

conjunto de simbolos e palavras ou figura a ser memorizada.

A instancia física de um sistema de representação afeta

substancialmente a construção de conceitos e teoremas. As novas

tecnologias oferecem instancias físicas em que a representação passa a

ter caráter dinâmico, e isto tem reflexos nos processos cognitivos,

particularmente no que diz respeito As concretizações mentais. (Gravina e Santarosa, 1998).

O dinamismo é obtido através de manipulação direta sobre as representações que se apresentam na tela do computador, permitindo ao aluno a variação do objeto.

Um aspecto importante do pensamento matemático é a abstração da invariância, e para o seu reconhecimento e entendimento nada é mais próprio que a variação.

0 dinamismo da representação destaca os invariantes.

Diz Kaput (1992 apud Gravina & Santarosa, 1998): "a transição continua entre estados intermediários é um recurso importante dos programas de representação dinâmicos, sob o ponto de vista cognitivo". Gravina (1996) exemplifica, mostrando concretização mental inadequada: após uma apresentação estática do conceito de altura de um triângulo os alunos registram que "a altura de um triângulo é da base até a parte mais alta do mesmo" ou "altura é a linha vertical que une a base do triângulo ao vértice oposto".

Para Gravina (1996) em um meio dinâmico, um triângulo com correspondente segmento de altura, pode ser manipulado mantendo-se um lado fixo do triângulo e fazendo-se o vértice oposto deslocar-se numa paralela a este lado. Obtém-se assim uma família de desenhos com triângulos e segmentos de alturas em diversas situações, o que favorece a concentração mental em harmonia com o conceito matemático de altura de um triângulo.

Gravina (1996) diz: Tanto no caso de formaça-o de conceitos, quanto de

cleduça-o de propriedades, podemos concluir que _{grande parte das}

dificuldades se originam no aspecto estatico do desenho. Se passamos para

um tratamento de "desenhos em movimento", as particularidades _cia

contingência de representa00 fisica mudam, e o que emerge so os

invariantes, ou seta as reais propriedades geométricas da configura0o. Um

dos aspectos importantes na investigaçaeo matematic.a é a abstraao cia

invarra'ncia, mas para reconhece-fa, para ver o que permanece igual,

devemos ter a variaça-o, o movimento.

Há algum tempo surgiu uma ferramenta capaz de proporcionar tal

movimento: a GEOMETRIA DINÂMICA.

Segundo Gravina (i996), os programas construi-dos dentro dos princípios _da

Geometria Dina'mica so ferramentas de construça.o: desenhos de ob¡etos e

configurações geOtitat-iCas 50 reitOS a partir das propriedades que Os

definem. Através de deslocamentos aplicados aos elementos que compõem

o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que

caracterizam a situaça.o. Assim, para um dado ob(eto ou propriedade, temos

associada uma coieço de "desenhos em movimento", e os invariantes que

ai aparecem correspondem as propriedades geométricas intrinsicas ao

problema. E este é o recurso didatico importante oferecido: a variedade _de

desenhos estabelece harmonia entre os aspectos conceituais e figuras;

configurações geométricas cia-ssicas passam a ter multiplicidade de

representações; propriedades geométricas so descobertas a partir dos

invariantes no movimento.

.1 RELEVÂNCIA

Diante do exposto observa-se que a Geometria Dinâmica refere-se a

uma ferramenta de grande potencial frente aos obstáculos inerentes ao

processo de ensino-aprendizagem da Geometria. Desta forma o uso do

Existem hoje vários softwares que implementam a Geometria Dinâmica, podemos citar alguns:

s> Dr. Genius; Euklid; Géo Specif; Geometria Inventor; • Geometric Supposer; • Cinderella; Cabri-Géomètre;

• The Geometer's Sketchpad.

Por se tratarem de programas que têm em seus projetos de construção preocupações de caráter pedagógico, isto 6, são softwares projetados com propósitos educativos, no sentido de oferecerem recursos que auxiliem o aluno na construção de conhecimento e superação de dificuldades inerentes ao processo de aprendizagem da matemática, é

que escolheu-se três desses softwares listados acima, para um estudo mais aprofundado. Sao eles:

CINDERELLA; • CABRI-GÉOMÈTRE;

». THE GEOMETER 'S SKETCHPAD.

A escolha desses três softwares dá-se pelo fato dos mesmos serem os que mais se destacam na geometria dinâmica como programas que

seguem a linha construtivista, de acordo com Winroth (1999 apud

Abreu, 2002).

1.2 OBJETIVO

Este trabalho tem o intuito de conhecer, bem como comparar os

software s CINDERELLA, CABRI-GtOMÈTRE e THE GEOMETER'S

SKETCHPAD, realizando uma verificação das diferenças entre eles para

posterior auxilio numa tomada de decisão quanto a uma possível

adoção de um deles. Para isso utilizar-se-á um estudo da homotetia

CAPÍTULO II - GEOMETRIA DINÂMICA

2.1 UM BREVE HISTÓRICO SOBRE A GEOMETRIA DINÂMICA

Em meados da última década do século XX, mais precisamente, em 1985 na cidade de Grenoble (França), nasceu o Cabri-Geomètre e

simultaneamente surgiu também, nos Estados Unidos, o Visual Geometry Project (atualmente denominado de THE GEOMETER'S SKETCHPAD), que são ferramentas computacionais para realização de desenhos de maneira precisa usando régua e compasso eletrônicos,

possibilitando a abordagem da Geometria de modo efetivamente

dinâmico (Braviano & Rodrigues, 2002).

Sendo assim a Geometria dinâmica não é uma nova Geometria, pois não se baseia em outros axiomas ou proposições nem em novas relações de espaço-forma, mas sim um termo usado para designar um modo

dinâmico e interativo de trabalhar a Geometria e suas propriedades

usando editores gráficos construidos para esse fim.

0 termo "Dinamic Geometry" 6, na verdade, marca registrada da Key Curriculum Press, responsável pela comercialização do The Geometer's Sketchpad, um dos programas de Geometria Dinâmica existente no mercado (Braviano & Rodrigues, 2002), e alvo de pesquisa deste trabalho.

Posto que os programas Cabri-Geomètre, The Geometer's Sketchpad e

seguirem a linha do pensamento construtivista Winroth (1999 apud Abreu, 2002), descreveremos a seguir um pouco a respeito de cada um deles.

2.2 SOFTWARES DE GEOMETRIA DINÂMICA MAIS UTILIZADOS

2.2.1 CABRI-GtOMÈTRE

É um programa computacional educativo desenvolvido por Yves Baulac, Franck Bellemain e Jean Marie Laborde na Universidade Joseph Fourier em Grenoble, França, Laborde & Bellemain (1994 apud Abreu, 2002).

É uma ferramenta especialmente criada para gerar construções geométricas Dispõe de "régua e compasso eletrônicos", sendo a interface de menus de construção em linguagem clássica da geometria. Os desenhos de objetos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem. Através de deslocamentos aplicados aos elementos que compõe o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a situação. Assim, para um dado conceito ou teorema temos associada uma coleção de "desenhos em movimento", e as características invariantes que ai aparecem correspondem as propriedades em questão. Apresenta interface

Funcionando como um caderno de rascunho interativo (em francês:

Cahier de Brouillon Intéractif) é voltado para o uso em sala de aula.

(Braviano & Rodrigues, 2002).

0 Cabri-Geométre II, versão mais avançada do Cabri-Géomètre, é

dotado de novos recursos como construção de certos lugares

geométricos, de cônicas por cinco pontos, a associação de elementos de geometria analítica As construções, a ilustração de características

dinâmicas através de animações, entre outros, e parece ser o software

de geometria dinâmica mais utilizado no Brasil. (Braviano & Rodrigues,

2002)

Pode-se localizar material e informações referentes ao Cabri-Géometre

no site: http://www.cabri.com.br .

2.2.2 THE GEOMETER'S SKETCHPAD

É um software criado por Nicholas Jakin nos Estados Unidos da América

e é comercializado pela Key Curriculum Press. Possui funcionalidades muito próximas as do Cabri, mas com menu de opções propositalmente

reduzido. Uma diferença entre este e o Cabri é que os elementos devem

ser escolhidos antes de selecionar a construção a ser realizada.

Na home page da Key Curriculum Press (http://www.keypress.com ) pode ser obtida uma versão demonstração gratuita do software.

2.2.3

CINDERELLA

Desenvolvido na Alemanha por jiirgen Richter Gebert e Ulrich

Kortenkamp, teve o inicio de sua comercialização em maio de 1999.

Richter Gebert e Ulrich Kortenkamp (1999 apud Schmidt, 2002).

Diferentemente dos softwares anteriormente citados, o Cinderella, como

destaca Burgiel (1999 apud Braviano & Rodrigues, 2002), foi

exclusivamente desenvolvido por e para pesquisadores matemáticos,

permitindo o trabalho com geometrias euclidiana, hiperbólica e elíptica.

•

•

=

•

•

•

CAPÍTULO Ill - USO DA HOMOTETIA NOS SOFTWARES

3.1 HOMOTETIA

Homotetia é a transformação de uma figura F em outra semelhante F'. Sejam um ponto H fixo no plano, um número real k * 0, e uma figura F, a homotetia é a transformação que associa cada ponto de F tal que :

Onde,

H: Centro de homotetia; K: Razão de homotetia.

A transformação por homotetia preserva: • Paralelismo;

• Ângulos; _{> Razão de seção;}

As figuras F e F' são ditas _{figuras homologas.}

3.2 EXERCÍCIO PROPOSTO

Visando realizar uma comparação dos softwares CINDERELLA, CABRI-

GEOMÈTRE e THE GEOMETER'S SKETCHPAD _{quanto as suas habilidades}

na resolução de problemas de homotetia, _{resolveu-se usar o seguinte}

exercício:

Exercício proposto: _{Dado um triângulo qualquer com urna determinada}

area, encontre um segundo triângulo, semelhante ao primeiro, que possua o quádruplo da area do triângulo inicial,

3.3 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO COM 0 AUXILIO DO CABRI-GEOMETRE

0 objetivo é construir um triângulo A'B'C' homotético _{ao triângulo ABC}

dado, de tal forma que S' = 4 x 5, onde Sé a área do triângulo ABC. A primeira etapa, e também primeira dificuldade, foi construir um triângulo qualquer.

Ao navegar pela barra de ferramentas do _{CABRI encontramos na Caixa}

de Ferramentas Reta a opção Triângulo. Clicando sobre esta e levando o

cursor até a janela de desenho construímos um triângulo qualquer, conforme desejado.

ca °1=!malm222!11, 1111.1.1m... ;J, -1.1( JAI jj 7.11 Cow. a.pow L11 ,a11 • ft I s•••■•ft I softie. Tellsgsla !down %vie,

As figuras 1 e 2 _{ilustram esses primeiros passos.}

POIMO

41y4,1 • W.111 IX ear samba.. _{• ia}

figura 1 _{figura 2}

Neste _{momento precisamos definir o centro de homotetia e a razão de}

homotetia (k).

Nossa maior dificuldade foi localizar a razão de homotetia, a qual o

CABRI denomina de fator de expansão, _{pois esta é uma "medida linear",}

ou seja, é proporcional a segmentos e não à área como desejamos.

Sabendo que a Area de um triangulo depende de sua altura e de sua

base, e sendo esta dada por:

s

2

são semelhantes e apresentam seus elementos lineares homólogos paralelos, pensou-se então em expandir a altura e a base do triângulo dado.

Mediante a propriedade de homotetia descrita no item 3.1, transcrevendo esta para nosso problema temos que:

H _•te — _ %. A B'

h

AC

h' A'

C'

Isolando fr. h=( AC )111

A'C'

Sendo que a area do triângulo procurado é

(1)

S' = 4xS

_,

substituições necessárias em (1), _{conforme a propriedade observada}

anteriormente temos: h' .A' C' h.AC _{AC .h' AC \ ■ , r} = 4 1111. _{hl .A 1 C' = 4. ,r.A'C'. A'C'=4,h7.AC. AC} A' A' I A A' C _{=4 (} A 11 0 617

t1

(741--"-)

o

(I

=

C

(T

(T

Logo, da propriedade de homotetia:

HA HB HC

que k=2 é a razão de homotetia.

E, portanto para obtermos o triângulo procurado teremos

1

edição numérica.

Resolvido este problema, ou seja encontrado o fator de expansão (razão de homotetia, k), vamos a construção do nosso triângulo homotético com o auxilio do Cabri.

Escolhendo, na caixa de ferramenta a _{opção homotetia, informando}

desta forma ao Cabri a ação que desejamos realizar, e com o cursor sobre o triângulo inicial o Cabri nos fornece a informação _{"dilatar este}

triângulo", _{interagindo assim com o usuário. Basta então clicar sobre}

triângulo, e o mesmo é selecionado.

Sendo que os elementos necessários para realização da homotetia são, o fator de expansão, o centro de homotetia e o objeto (figura) a ser

13

firyoEdtaQpçes i *de

-.1t1L1)21jEd

_AA,

Fator de Expansio: 2

Passando o cursor sobre o centro desejado o Cabri informa que sera

"com relação a este ponto", _{então nos resta clicar sobre ele, e o mesmo}

é selecionado. E por último, _{com o cursor sobre o fator de expansão o}

Cabri informa: "usando este fato?'. E ao clicar _{sobre ele é fornecido}

automaticamente o triângulo homotético.

Observamos que o Cabri interage com o usuário _{fornecendo alguma}

informação na janela de desenho.

A figura 3 nos mostra o _{triangulo homotético procurado.}

Ahici.111 A C4 al:11 0:1 Ceiba Griamatre II - IF... 141)Doomento1 -Microsoft W..] Cate-gambits II » 314 4E,

figura 3

Supomos que o triângulo _{obtido possui o quádruplo da área do}

triângulo inicial, _{porém gostaríamos de verificar se realmente o} triângulo homotético _{possui esta propriedade.}

0 CABRI _{nos oferece ainda em sua caixa de ferramenta "distância e}

homotitico, bem como a do triângulo inicial, verificando assim se o homotético possui o quádruplo da Area do inicial. Para isto, basta inicialmente indicar a ação que se deseja executar, selecionando na referida caixa, a opção "Area" e em seguida informar o objeto onde a ação deve ser realizada. Com o cursor sobre o objeto (triângulo) o CABRI interage: "este triângulo". Após a interação do CABRI é necessário apenas clicar sobre o triângulo. Obtem-se, desta forma, as areas dos triângulos inicial (dado) e do triângulo homotético (procurado), conforme ilustra a figura 4.

WilE=INCEMEI -1212.c

&Rive FAN (Ink. {wets Node _.1d121

_

13 JLi LIN JA H.

i

lithithahh.,

h

_J

'imam) # AC-awl Giceedire II tenant -Mrooloe Wied f Cdeigeornthe Aiisi 42, 1234

figura 4

Mas essa informação ainda não é suficiente para verificarmos se realmente o triângulo homotético é o triângulo procurado, ou seja, se

S'= 4xS

Tendo "em mãos" S e S', basta multiplicar S por 4 e comparar o

EiL

$n77"1

_111111r

2t1

JW2J;__J-1:12t1

Fator de &Tartan: 2

S = 23.69 cm'

CABRI, fornece ainda a ferramenta calculadora. As figuras Se 6 ilustram

a execução desta tarefa pelo CA SRI.

EaCM=MOZZIMEM1111.1111=1.1111.111. &oLivo Oar Opeass ,anela Aiulta

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figura 5

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1

A

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»

corowww . .3.1 4s r at a 1) ILcrLittj c.a.... 34 4a not

O resultado obtido confere com a Area S'do triângulo homotético, isto 6,

SP= 4xS

Todavia, sell que a propriedade S'=4xS é _{intrínseca ao triângulo}

homotético? Quer-se saber se independente de qualquer variação que ocorra no triângulo inicial a mesma continuará constante?

Realizando uma sucessão de modificações no triângulo inicial, pois o homotético é um objeto dependente ao inicial não sendo permitido assim movimentá-lo. E alterando também o centro homotético percebemos que realmente a Area 5' será sempre 4 vezes a Area do

triângulo inicial. As figuras 7, 8, 9, 10e 11 nos mostram este fato.

,11 -

•

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ARM EAh QP:F.• dde dide _.1e12.J6

1121 AlA Faun de Expanelia: 2 :J _ Fatima

SAY_i__16. A td1:21 111..2 itn°"""i fkiC Caedpkwairal '31.1 la 21 00

figura 11

Suponhamos que gostaríamos agora de encontrar um triângulo homotético com a área 9 vezes maior que a do triângulo inicial. Como deveríamos proceder para obter o triângulo desejado utilizando o CA BR!?

Bem, para que isso ocorra é preciso modificarmos a razão (k) de homotetia (fator de expansão).

Mediante ao cálculo já exposto anteriormente, sabemos que:

fic

.

AC

Portanto, nosso novo fator de expansão (k) sera: 3.

As figuras 72, 73, e 74 ilustram os passos realizados para obtenção do

Rótula Comenados EdIcSo Numerics .AL12,11-JIi

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Na figura 75 temos representada a comprovação de que realmente a

área do triângulo homotético é 9 vezes aquela do triângulo inicial.

S. =

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3.4 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO COM 0 AUXÍLIO DO CINDERELLA

0 Cinderella não dispõe da ferramenta homotetia, ou seja, não há um "botão" no qual ao clicarmos este fornecerá automaticamente o homotético. Assim, é necessário construirmos passo a passo nosso triângulo homotético procurado.

Para realizarmos a construção do triângulo inicial, precisamos inicialmente definir os pontos na janela de desenho (se estiver selecionado em propriedades o Rótulo de Elementos a cada ponto

"criado", o Cinderella rotula automaticamente seguindo a ordem alfabética). Em seguida é necessário selecionarmos o botão "definir um polígono" e sobre os tris pontos _Id desenhados, constrói-se o triângulo inicial. Estes passos diferem do Cabri, pois na caixa de ferramenta reta, há a opção triângulo, após ser selecionada (com um clique na janela de desenho) faz surgir o primeiro ponto do nosso triângulo. Ao movimentar o cursor para um local desejado da janela, e dando o segundo clique, estará criado automaticamente um dos lados do triângulo (repetindo estes movimentos obteremos o triângulo inicial). Nas figuras 16, 17 e 18 temos a interface do Cinderella ilustrando a

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figura 18

Neste momento passaremos a realizar a construção do nosso triângulo

homotético de forma explicita, isto 6, passo a passo.

Teremos 2 como razão de homotetia (já encontrada anteriormente ao

tentar solucionar o exercício utilizando Cabri-Geomètre).

Com o auxilio do compasso transferimos esta medida sobre os raios

homólogos de homotetia. As figuras 19 e 20 nos mostram as

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Selecionar elementos clIcando neles (.shtit para reter a seleigo)

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Compasso eletrônico

figura 19

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Como já foi observado anteriormente, para construir um polígono

utilizando o Cinderella, é necessário desenhar inicialmente os pontos

que o definirão. No caso do nosso triângulo homotético terá seus

pontos localizados na intersecção das circunferências com os raios

homólogos. As figuras 21, 22e 23 ilustram os passos desta construção.

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Clicar nos pantos para definir um polkono

31 Inicia _44 " RESO. J cc2 je; Cabfi G...I jcidefe.,lii H Cabrivéomittre II » 114 _0 c) 1559

figura 23

Aparentemente obtemos o nosso triângulo homotético procurado. Para termos certeza de que se trata realmente do triângulo procurado, devemos verificar sua área, bem como a do triângulo inicial

certificando-nos de que 5' 4x5.

0 Cinderella possui um botão que nos fornece a área dos triângulos,

porem este software não contém a ferramenta "calculadora" como o

Cabri-Géomètre.

Caberá então a nós realizarmos, após obtermos a área de cada triângulo

fornecida pelo Cinderella, os cálculos necessários para verificarmos se

S'= 4 x 5.

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Cinderella DEMO — cinderelle de

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Selecionar elementos cliCando neles (shift para rater 0 sele*)

Attic/NI !!;;J tcc2 4Cabli 6...1 ,cabk,6.40. II -7.3t Ig 16:20

figura 24

Efetuando a multiplicação da área do triângulo inicial por 4, obtemos o seguinte resultado 34,4, o qual confere com a área do triângulo homotético fornecida pelo Cinderella. Logo, este é realmente o triângulo procurado.

Porém se realizarmos algumas modificações em nosso triângulo inicial, o triângulo homotético permanecerá com sua área quatro vezes maior que a do inicial? Observando as figuras 25 e 26, nas quais foram

realizadas modificações no centro de homotetia, bem como no triângulo inicial, percebemos que a área do triângulo homotético será

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Selecionar elementos clIcando neles (.,shlft pare rater a seleigo)

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figura 25

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7) .111C

Sabemos da propriedade de homotetia que os triângulos inicial e o

homotético são semelhantes e que além disto seus lados

correspondentes são paralelos. Observando, por exemplo a figura 26,

vemos que os lados dos triângulos aparentemente são paralelos, mas sera que não se trata de uma ilusão de ótica, isto 6, serão eles realmente paralelos? Como poderíamos verificar esta propriedade, com o auxilio do Cinderella?

0 Cinderella não dispõe de uma ferramenta que nos forneça esta

informação, ou seja não é possível fazer uma checagem automática.

Uma alternativa, para verificar esta propriedade, é definir uma reta qualquer passando pelos pontos que definem um lado do triângulo

inicial e por um dos pontos do triângulo homotetico, ou vice-versa. Portanto é necessário antes fazer passar pelos lados dos triângulos uma reta ("definir linha de conexão de pontos" que definem um lado do

tridngulo) visto que o Cinderella não traça reta paralela a partir de

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Mover elementos livres arrestando o mouse

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Na figura 28, podemos verificar que os segmentos e as retas são coincidentes, garantindo assim que são realmente paralelos. Portanto, a propriedade é verificada e o triângulo encontrado é realmente o

procurado.

ai I Aridity° agar Propriedades Geometria Vistas Modos Formatar Nude

3.5 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO COM 0 AUXÍLIO DO GEOMETER'S SKETCHPAD

Este software assemelha-se ao Cabri no que refere-se a sua interface.

Ele também possui a ferramenta homotetia (Dilate). Porém, o usuário

deverá saber, ou deduzir, que para obter o homotético de um objeto, é

preciso selecionar o objeto a ser "dilatado".

Selecionando o 'botão" onde contém figuras de segmento e setas, e

posicionando o cursor na janela de desenho, dando um clique seguido de um movimento com o mouse para onde se deseja, teremos um dos lados do triângulo, repetindo este movimento até o encontro do primeiro ponto, construiremos o nosso triângulo inicial. As figuras 29 e

30 ilustram a construção do triângulo inicial.

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figura 30

Precisamos agora "desenhar" e definir nosso centro de homotetia. Feito

isto, partiremos para obtenção do triângulo homotético procurado. Para

isto, é necessário selecionarmos todos os objetos constituintes da figura a ser dilatada, isto 6, os pontos e os lados do triângulo inicial, bem como o centro de homotetia. A seleção se cld da seguinte forma: antes é preciso estar com o "botão" que contém uma seta, que se encontra no "topo" da barra de ferramenta vertical, acionado. Mantendo-se a tecla "shift" pressionada e corn o auxilio do mouse, clicaremos sobre os pontos e segmentos do triângulo inicial. E por último seleciona-se o centro de homotetia no menu Transform, onde teremos a opção: marcar centro "D", e ao clicar sobre eia o centro é automaticamente selecionado, abrindo em seguida uma caixa de mensagem na qual

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Obtendo assim o triângulo homotético.

As figura 31, 32 e 33 representam estes passos. Na figura 34, temos o

triângulo homotético.

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figura 33

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Resta saber se o triângulo fornecido pelo Sketchpad é o nosso triângulo

procurado. Para termos certeza devemos encontrar as areas de ambos

os triângulos, a fim de verificarmos se 5' = 4 x S.

Percebe-se que o Sketchpad não fornece a area de um objeto sem que este esteja com seu interior "hachurado''. Para "preenchermos" o interior de nossos triângulos precisamos selecionar os pontos que os definem e

no menu Construção, seleciona-se "Polígono interior". Tem-se nas figuras 35e 36 estes passos exemplificados.

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figura 36

Pode-se agora obter as áreas do triângulo inicial e do homotético, para posterior comparação e verificação da propriedade. A figura 37 mostra os passos para obtermos as áreas dos referidos triângulos.

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Na figura 38 temos as areas já fornecidas pelo Sketchpad.

figura 38

O Skechtpad oferece ainda, calculadora como ferramenta para efetuar

automaticamente os cálculos necessários a fim de verificar se 5' = 4 x 5,

S'

ou seja, se : —=4 .

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Temos na figura 47 a confirmação de que 5' = 4 x S.

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Fe Ed* 12itoloy Qonseuct 'rainstorm Measure Eraph Wok Hein

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Inicsa. 4 ti.;,-1:-.1.:4J " GCabri G...I RESO... I TCC-P... I n--CD --he...

figura 47

Cabrivornètre II " _1&19

Realizando algumas modificações no triângulo inicial, bem como no

centro de homotetia, observa-se que a area do triângulo homotético

sera sempre S' = 4 x S, garantindo assim que o triângulo homotético

fornecido pelo Sketchpad é o nosso triângulo homotético procurado.

[21 Ede Meanie 5.1aPh Wcdk Help Area C'A'13 = 41,52 cm 2 Area ABC = 10,38 cm 2 (Area C'A'B') (Area ABC) —4,00 °D Area CA'B' = 31.29 cm 2 Area ABC = 7,82 cm 2 (Area CAS') — 4.00 (Area ABC) or,

4!". The Goometees Sketchpad— ISketchtli'—

"Iniciail " (14Cabc..1 CRES...1 Calui-g6ortAre II ') NE A...2a. 17: 57

figura

tieothetet's Sketchpad ISketehOl gspl _Li

„Len Ai

fia Edit 004Y gondnot pane= Measure GOO Wrxk

Select &Translate

Alnieiar 2) " Mcebt.1 Ect-L-1

figura 43

3.6 COMPARAÇÃO DOS SOFTVVARES: CABRI-GÉOMETRE, CINDERELLA E

THE GEOMETER'S SKETCHPAD

3.6.1 QUANTO AS AÇÕES REALIZADAS NO CABRI PARA A EXECUÇÃO DO EXERCÍCIO

4,01 tabu Géomabe II - IFiguta *21

61cluIuo•E '44

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concentradas na barra de

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1 0 . Desenhar o triângulo;

2 0 . Desenhar o centro de homotetia (caso o centro não seja um dos vértices do triângulo, logo esta ação é opcional);

J cabigionaire 3•1 234;cas 14,00

411 Iniciar

I

.=_111_11

As

na barra de

ferramenta

na barra de menu.

Para finalizar deve-se selecionar os elementos envolvidos na construção (triângulo, centro de homotetia e fator de expansão). A seleção ocorre utilizando somente o mouse, o uso do teclado se faz necessário para digitar o fator de expansão.

Terminada a seleção dos objetos o Cabri fornece automaticamente o

triângulo homotético.

Logo, é necessário realizar quatro ações para a construção do triângulo homotético.

3.6.2 QUANTO AS AÇÕES REALIZADAS NO SKETCHPAD PARA A

1'. Desenhar o triângulo,

2'. _{Desenhar o centro de homotetia (caso o centro não seja um} dos vértices do triângulo, logo esta ação é opcional);

3°. Marcar o centro de homotetia;

4'. _{Dilatar o triângulo, informando o fator de escala, na caixa} que aparecerá automaticamente na tela ao escolher a opção dilatar na caixa de ferramenta transformação.

É necessário selecionar os objetos antes de informar a ação a ser executada. Sendo que é preciso selecionar todos os elementos que compõem o triângulo: vértices e segmentos, pois se deixarmos de selecionar algum elemento do triângulo este não sera dilatado.

Para selecionar mais de um objeto simultaneamente é preciso utilizar além do mouse a tecla Shift, o que não é intuitivo sem um conhecimento prévio do software, pois este não informa o usuário sobre isto.

Realizado os passos acima é fornecido automaticamente o triângulo homotético.

Obs..- _{0 ponto que desejarmos ser o centro de homotetia deverá ser o}

último ponto selecionado, pois o último ponto selecionado sera o qual ficará registrado como centro na caixa de ferramenta transformação.

Este fato não é muito intuitivo, para perceber que isto ocorria foi necessário realizar a construção algumas vezes.

Na figura 44 _{deixamos de selecionar um dos segmentos do triângulo e}

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A1111211 ...10.12jt

a

» 34 j CthnSIIQThe Categkwaell 1-21-1-4ili figura 44

3.6.3 QUANTO AS AÇÕES REALIZADAS NO CINDERELLA PARA A EXECUÇÃO DO EXERCÍCIO

(7 Cinderella

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Arquivo Ease Propriedades Geornalrle Vida* Modes figaig. Aiuda

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ABC 3v,

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Todas as

ações

estão

disponíveis

nas barras

de ferramentas.

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Adicionando um ponto único com o mouse

O Cinderella não possui a ferramenta homotetia automática, é preciso

construir passo a passo o triângulo homotético

1°. Criar pontos;

2°. Desenhar sobre os pontos o triângulo;

3°. Definir retas passando pelo centro e os vértices do

triângulo;

4°. Marcar sobre as retas, com o auxilio do compasso, o raio

de homotetia (razão de homotetia);

5°. Marcar os pontos de intersecção entre as circunferências e

as retas;

6°. Desenhar sobre os pontos de intersecção o triângulo

homólogo.

Foi preciso realizar duas ações a mais do que no Cabri e no Sketchpad,

fato previsível, visto que o Cinderella não possui a ferramenta de

skfriciwIJ TheGscm...1 11133.4comps..1 • addle&

I

3.6.4 QUANTO A INTERATIVIDADE NO CABRI

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Vfii ttig"vo Etta 2976es limeb 441

_LILU 1211

O Cabri interage com o usuário fornecendo informações através do cursor. Ao passar o cursor sobre um determinado objeto, surge na tela

alguma informação a respeito deste. A informação fornecida pelo cursor

é concisa e clara e está vinculada a ação selecionada. A mensagem que é fornecida na barra de ferramenta inferior restringe-se somente a informar ao usuário a ação que está selecionada no momento.

3.6.5 QUANTO A INTERATIVIDADE NO SKETCHPAD

j.,J " Aiggdemoi ,,FiEquati . I 41rEPSD... F193.4 co . The Cabfiviomète II " 0. 14 17

A interação do Sketchpad (versão demo) com o usuário ocorre através da barra de ferramenta inferior, a qual pode ser deslocada para janela de desenho, porém as informações nela contidas limitam-se a dizer somente a função de cada caixa de ferramenta, não sendo suficiente para o _{usuário decidir que ação tomar para realizar sua construção.}

Quando a barra de ferramenta de menu está ativa, as informações na barra inferior deixam de aparecer.

As informações são fornecidas em inglês, o que pode não ser muito útil para um usuário que não domina esta lingua.

Arquivo Editai Propriedades Geometria Vlstas Modos Formate( Ajuda - --4 ' Aft: O t *(Ç-4 ) • (1•1 ABC (

=.0

51

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Intera0o

Euc Hyp Ell

Seleclonar slementos clicanao neles (*shill para reter a seleçeo)

11111i —

arlrfalr

3.6.6 QUANTO A INTERATIVIDADE NO CINDERELLA

A interação se dá através do cursor e da barra de ferramenta inferior. Com cursor parado aproximadamente dois segundos sobre um determinado "botão" surge uma "caixinha" informando o que este realiza. Ao acioná-lo, clicando sobre ele, na barra de ferramenta inferior ficarão disponíveis ao usuário as instruções que ele deverá seguir para realizar sua construção. Visto que a interação concentra-se na barra de ferramenta inferior, com informações intuitivas, sendo mais instrutivas que as fornecidas pelo Sketchpad.

2.1 Ponteiro

311 !.:41 :A —14 " . 14:44

4

3.6.7 QUANTO A VERIFICAÇÃO DA AREA DO TRIÂNGULO HOMOTETICO NO CABRI

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26.26 cm"

6.57 cm'

Acionado a ação área e com o cursor sobre os triângulos dando um clique no mouse, conforme ilustram as figuras acima, a área é fornecida

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Cinderella DEI/110 cinderelta

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medir área

Selecionar elementos clicando miles (4.8hHt para rater a aeleçao)

19 ¡racial J _44» CREs0...

I

I

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3.6.8 QUANTO A VERIFICAÇÃO DA AREA DO TRIÂNGULO HOMOTETICO NO CINDERELLA

No Cinderella basta acionar o "botão" medir área e selecionar o

triângulo, a área é fornecida automaticamente, veja a figura acima.

Verificamos que o triângulo homotético encontrado é o triângulo procurado, com S' = 4 x S.

C‘4•• 0AS,, •etacm,•oneor•

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3.6.9 _{QUANTO A VERIFICAÇÃO DA AREA DO TRIÂNGULO HOMOTETICO}

NO SKETCHPAD

'

* C4:13 4 jtas VIESO - TAL:_,C, 4 348

Já no Sketchpad não foi tão fácil realizar esta tarefa. Foi preciso imaginar que a Area é uma medida relacionada com o interior de um objeto. Observando nosso triângulo percebemos que era uma figura

"vazada" seu interior não estava 'preenchido". Então percebemos que

selecionando os vértices do triângulo, ficava disponível no menu

construção a opção "polígono interior", que ao clicar sobre nosso

triângulo era automaticamente "preenchido". Agora com o triângulo

preenchido e selecionado, no menu "measure" (de medidas), fica

disponível a opção Area, que ao clicar sobre ela o Sketchpad fornece-a automaticamente.

4. CONCLUSÃO

Este trabalho de conclusão de curso não teve a pretensão de se tornar um manual, mas sim de auxiliar o usuário num primeiro contato com os três softwares: Cabri géornêtre, Cinderella e The Geometer's Sketchpad, resaltando inclusive, aspectos pouco intuitivo para usuários principiantes.

Utilizou-se uma grande quantidade de figuras para familiarizar o leitor com as interfaces dos softwares estudados.

De modo geral, cada software tem suas vantagens e desvantagens mas pareceu-me, através da comparação realizada, que o The Geometer's Sketchpad é menos intuitivo, o que pode atrapalhar um usuário principiante.

0 Cinderella, por sua vez, não apresenta possibilidade de construção automática de figuras homotéticas, o que exige mais ações por parte do usuário. Contudo é ainda mais intuito que o Sketchpad.

Dos três softwares analisados, o Cabri é o mais intuitivo, interage mais com o usuário.

Assim, o Cabri me pareceu mais fácil de ser usado por um usuário principiante.