Tamanho e forma ótimos de parcelas em delineamentos experimentais

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(1)TAMANHO E FORMA OTIMOS DE PARCELAS EM DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS. OLAF. ANDREAS. Engenheiro. BAKKE. Agrôno mo. Orientador: Prof. Dr. Humberto de Campos. Dissertação apresentada à Esca�a Superior de Agricultura "Lu iz de Queiroz", da Universidade de São Paulo, para obtenção do titulo de Mestre em Agronomia, Área de Concentração: Estatística e Experimentação Agronômica. p I R À. e I C A B. A. Estado de São Paulo - Brasil Maio - 1988.

(2) Bl67t. Bakke, Olaf Andreas Tamanho e forma Ótimos de parcelas em deline� mentos experimentais. Piracicaba, 1988. 142p. Diss.(Mestre) - ESALQ Bibliografia. l. Delineamento de experimento - Parcela r • � 1 a I. Esco 1 a Superior de 2. Estat1st1ca agrico Agricultura Luiz de Queiroz, Piracicaba CDD 630.219.

(3) TAMANHO E FORMA ÕTIMOS DE PARCELAS EM DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS. OLAF ANOREAS BAKKE. Aprovada em: Comissão. 10.06.1988. Julgadora:. Prof. Dr. Humberto de Campos. ESALQ/USP. Prof. Dr. Frederico Pimentel Gomes. ESALQ/USP. Prof� Dr� Clarice Garcia Borges Demétrio. ESALQ/USP. Prof. Dr. David Ariovaldo Banzat to. FMVAJ/UNESP. Prof. Dr. Sérgio do Nascimento Kronka. FMVAJ/UNESP. Prof. Dr. HUMBERTO DE CAMPOS Orientador.

(4) Aos meus pais, a minha esposa, e aos meus filhos,. DEDICO..

(5) :I. 1 l. •. AGRADECIMENTOS. Agradeço ao meu orientador, Prof. de Campos, a todos os professores e funcionários. Dr. Humberto do. Departa-. mento de Matemática e Estatística da ESALQ/USP, e aos meus co legas e amigos do curso de Mestrado e torado,. também do Curso de Dou-. pela colaboração ao longo do curso. Agradeço também ã Universidade Federal da e à CAPES,. raíba (UFPb). pelo salário e pela bolsa,. Pa-. respectiv~. mente.. Agradeço a meus. -. palS e a minha esposa peilio au-. xílio, que nao vem de hoje e nem hoje se encerrara,. impresci::;.. dível a todos que apresentam as virtudes e os defeitos da soa humana.. pe~.

(6) IV.. SUMÁRIO. página. RESUMO. VII. SUl\1MARY .............................................. 1.. INTRODUÇÃO. li. .... '". ". li'. ... ". ... ". 2. REVISÃO DE LITERATURA. ". ". •••. ". li. ". /I'. If. ........ li<. ". . . . . . . . . . . . . . . *11'. I:. -c.. _. ..... ". I:. ........ " ••. 4>. ... ... " ••••. *. 0/. li>. •. Xl. 1 4. 2.1. Método da Máxima Curvatura. 4. 2.1.1. Exemplo ilustrativo. 6. 2.2. Método Empirico de H. FAIRFIELD SMITH. . . • . . . . .. 11. 2.2.1. Metodo o r i g i n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. II. 2.2.2. Exemplo ilustrativo 1 - . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.2.3. Metodo modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.2.4. Exemplo ilustrativo 2 . . . . ... .•....••... 39. 2.3. Método da Máxima Curvatura Modificado ......... 49. 2.3.1. Exemplo ilustrativo. 2.4. Método de E.J.KOCH. & H.J.RIGNEY. 54 59. 2.4.1. Dados de experimentos em parcelas subdi vididas. ............................... 61. 2.4.2. Exemplo ilustrativo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 2.4.3. Dados de experimentos em reticu lado quadrado ... 75. 2.4.4. Exemplo ilustrativo 2 .. 0....... ........ 80. 2.5. Método de W. H. HATHEWAY ........................ 86. 2.5.1. Exemplo ilustrativo 1. 89. 2.5.2. Exemplo ilustrativo 2. 93.

(7) página. 2.6. Método de PIMENTEL GOMES ......... .. •. 11. .............. ... 91. 2.6.1. Tamanho ótimo de parcela, para o caso de parcelas sem bordadura . . . • . . . . . . . . . . . . •. 101. 2.6.2. Tamanho ótimo de parcela, para o caso de parcelas com meia bordadura. 102:. 2.6.2.1. Parcelas com meia bordadura e u 102:. ma linha de árvores úteis 2.6.2.2. Parcelas com meia bordadura. e. com duas linhas de árvores úteis. 104. 2.6.3. Tamanho ótimo de parcela, para o caso de parcelas com bordadura completa. 107. 2.6.3.1. Parcelas com bordadura completa e uma linha de árvores úteis. 107. 2.6.3.2. Parcelas com bordadura completa e duas linhas de árvores úteis.. 10B. 2.6.4. Exemplo ilustrativo 1 . . . . . . • . . . . . . . . . . .. 110. 2.6.5. Tamanho ótimo de parcela para o caso geral,. considerando genericamente o numero. de linhas e observações úteis por parcelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . "' ... ~. ~. 112. ••. 112. ................ 2.6.5.1. Parcelas com meia bordadura. o. 2.6.5.2. Parcelas com bordadura completa. 116. 2.6.6. Exemplo ilustrativo 2. 120. 2.6.7. O caso de p negativo •.•.•.•••...•••••.•. 122. 3 . RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................. 12: {,.

(8) página. 4. CONCLUSOES. .......................... 111'. ....................... '". .......................... ,... ... 13':'. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 136. APEND I CE. 1 4O. •.......•.••.•................•................

(9) VLl. ... I. TAMANHO E FORMA ÓTIMOS DE PARCELAS EM DELINEAMENTOS. EXPERIMENTAIS. Autor: OLAF ANDREAS BAKKE Orientador: Prof. Dr. Humberto de Campos. RESUMO. Há situações onde se constata que os artigos publicações sobre determinado assunto apresentam. e. embasamento. teórico tão resumido que não permite, à primeira vista,. uma. decisão segura a respeito dos seus méritos teóricos. No caso específico da bibliografia sobre métodos de determinação de tamanho e forma otimos de parcelas exp~ rimentais. este problema é bastante comum. Seis dentre os métodos ma~s usados foram abordados~. com o objetivo de esclarecer e tornar mais acessível a. teoria na qual se baseiam. A abordagem de cada método consistiu numa descriçao geral, ressaltando as vantagens e desvantagens. explicando os seus aspectos teóricos. seguida da resolução de exem pIo ilustrativo. finalizando com comentários adicionais a seu respeito e comparação com os demais métodos..

(10) metodo da máxima curvatura~ de origem. o remota~. mais. necessita de um ensa10 em branco, sendo indicado para. os casos em que a unidade básica do ensaio. e-. algo. não convencionada arbitrariamente (FEDERER, 1955),. natural, servindo. mais como auxiliar aos outros métodos.. o. metodo de SMITH (1938), o ma1S usado, se ba-. seLa na relação emplrica da variincia (V ) entre parcelas x tamanho. x. reduzida i. de. área unitária e o tamanho (x) de parc~. la, através da formula:. VI. V. x. x. b. -. V e V l x. ,. onde: para x. I. b. =. o. estimador original para b foi melhorado, sendo prete-. coeficiente de heterogeneidade do solo.. rido por aquele da metodologia proposta por HATREWAY e WILLIAMS (1958). Este metodo aproveita dados provenientes de e~ saias em branco ou em. e. re~iculado. o. de experimentos em parcelas. quadrado. subdivididas. (KOCH & RIGNEY, 1951). tamanho otimo de parcela é obtido atraves da. formula: b. x-. = ot1mo. , onde I. K e K se 2 1. tipo:. b. originam de uma função de custos do.

(11) LX.. o. método da máxima curvatura modificado se ba-. seia na função! a'. CV CV. =. x. coeficiente de variação relativo a. x. celas de tamanho. onde. b ' x. par-. x.. ai. e b. - constantes a serem determinadas sao. I. p~. lo método dos mínimos quadrados ponderado (pelos graus de liberdade associados a cada. CV). x. O ponto de. max~ma. -. .. La'. 2. -. curvatura dessa funçao e de-. terminado e dado por= x. .... r. .. cr~t~co. O x. .... ~. cr~t~co. b '. 2. t. (2b'. + l)/(b'. J1/(2b +2) + 2). assim obtido indica o tamanho. parcela que corresponde ã ma10r taxa de variaçao do coeficiente de variação,. de. direcional. servindo de informação. auxiliar. aos diversos outros métodos de determinação de tamanho e rorma ótimos de parce la s exper imen tai s . O método de HATHEWAY (1961). conjuga a. fórmula. de COCHRAN & COR (1957), de determinação do número de repetições, e a fórmula de SMITH (1938), fórmula,. de fácil uso,. resultando numa. terceira. relacionando tamanho de parcela, nume-. ro de repetições e precisão desejada.. permitindo a escolha da. combinação destes três fatores mais conveniente ã pesquisa. O método de PIMENTEL GOMES (1984) relaciona coeficiente de correlação intra-classe (p). e a variância da. Q. média.

(12) x. de cada. tratamento~. determinando a forma da parcela que a mi-. -. nimiza, em função do numero de linhas e observações por parc~ la. Fica claro que um método complementa o. outro,. que a informação de cada um deles se baseia ora em custos, ra na minimização da variância da média de tratamento. 0-. etc.. de modo que a aplicação simultânea de mais de um método,. se. couber, na determinação do tamanho ótimo da parcela experime~ tal,. é altamente recomendável, a fim de que o tamanho realmen. te adotado atenda, na medida do possível, sitos presentes nos métodos empregados.. aos diversos requi-.

(13) Xl.. OPTlMUM PLOT SIZE AND SHAPE IN EXPERIMENTAL. DESIGNS. Author: OLAF ANDREAS BAKKE Adviser: Prof. Dr. Humberto de Campos. SUMMARY. There are sítuations where one finds out the papers about a particular subject, fundamental principIes so briefly first. vie~. display. that their. that make impossible.. at. to take a precise decision about them. On the papers about the methods of determination. of. size and shape of plots this problem is usual. Six among the most used of those methods. are. discussed here. Each method approach consists of description, poínting out its advantages and exp la íning. a. general. disadvantages,. the theo ry th e method is b as ed on, fã llowed by. step-by-step resolution of one or more exercises,. a. finishing. with comments about it and comparisons with the others. The maximum curvature method needs. a. blank. experiment, and is advised to the cases where the basic units. J.

(14) xii. of the b1ank experiment are. natural~. do. not. stipu1ate.d. Ln an arbitrary manner (FEDERER, 1955), serving more. as. an. auxi1iary tool for the other methods. SMITH's (1938) them,. method~. the most employed. of. LS based on the empírica1 1aw, between the variance(V l x. of yield per unit area for p10ts of. x. units of S1ze,. and. the SLze (x) of plot. expressed by the formula:. v. where:. x. = coefficient of soi1 heterogeneity.. b. The WAY. &. WILL IAMS 1. b. coefficient is estimated by the HATHE-. (1358) methodology. SMITH's (1938) method utilizes data from blank. experiments or data from split-plot or lattice designs &. (KOCH. RIGNEY, 1951). SMITH's (1938) optimum p10t size LS given by: b. x. opt. =. where: (1. K1 and K. 2. are cos t. fac tors o f the c os t function:. The modified maximum curvature method is based on the equation: aI. CV. x = 1)' , x. wherel: ".

(15) xiii. CV. x. =. eoeffieient of variability of plots of x. basic units of size. ar and b' are constants to be determined. by. the weighted least square method. The point of maximum curvature. ~s. given by:. xeritical = This criticaI point reveals the plot size that corresponds to the greatest directional change rate at. CV x ~. being useful as an auxiliary information to the other methods. HATHEWAY' s and COCHRAN & COXts (1957). (1961) method eomb ines SMITH's (1938) formulas, resulting in. a. third. one, associating plot size. number of replieation and desired preeision, allowing the ehoice of a combination of this three factors. proper for each case. PIMENTEL GOMES'. (1984) method assoei ates. intra-class correlation coefficient and the variance of the treatment means, determining the plot. v (m). the. [Vem)]. size and shape that ,lines. and. It's clear that one method complements. the. others, and the applieation of more than one of them,. if. minimize. ,. in terms of the number. of. ohservations per ploto. possible,. is recomendable,. so that the plot size actually used. attend the requirements of the various methods simultaneously..

(16) 1.. INTRODUÇÃO. Um problema de ordem prática que surge no pladeter-. nejamento de experimentos de um modo geral, reside na minação da unidade padrão de coleta de dados, sendo r~a. -. necessa-. a sua caracterização no que se refere ao tamanho, e. mu~-. tas vezes à sua forma. Em muitos casos a própria experiência e. capa-. cidade de discernimento do pesquisador levaria a decisões cor retas a este respeito, porém é inegável a contribuição. procedimentos. métodos objetivos, baseados em regras claras e teóricos aceitáveis, podem maximização da quantidade de. que. levar à minimização dos custos. e. informação de um experimento.. De uma mane~ra geral, a recomendação ma~s freqüente em relação ao tamanho e forma de parcelas tais. indica o uso de parcelas retangulares e pequenas,. detrimento das parcelas quadradas e grandes. ção pode ser confirmada ao se utilizarem. em. Esta recomenda-. os diversos métodos de. determinação de tamanho e forma ótimos deparcelas tais,. experimen-. exper~men-. quando se observa, geralmente, um menor coeficiente. de. variaçao ao se fazer uso de alguns tipos de parcelas retangulares..

(17) 2. forma. Para tornar a determinação do tamanho e. ótimos deparcelas experimentais algo ma~s acessível e assimilável, o que nem sempre ocorre nas publicações sobre este assunto,. tama-. foram abordados seis métodos de determinação de. nho e forma- ótimos de parcelas experimentais, dentre os. ma~s. u. sados ou de ma~or valor teórico. Esta abordagem é feita ao longo do Capitulo 2; consistindo, para cada método, de uma descrição geral, ressal tando as suas vantagens e desvantagens, explicando seus pectos teóricos, seguida da resolução de exemplo. as-. ilustrativo. acompanhado de comentários adicionais a seu respeito e comparaçoes com os demais métodos.. Os sel.S métodos apresentados neste trabalho sao: a) Método da b). Método. -.. max~ma. .... emp~rl.CO. ';,'. curvatura de H.Fairfield Smith. -. . curvatura modificado c) Método da maXl.ma d} Método de E.J. Koch e H.J. Rigney e) Método de W.H. Hatheway f). Método de Frederico Pimentel Gomes.. -. . outros métodos de determinação de taHá varl.OS. -. manho e forma ótimos deparcelas experimentais. porem os. sel.S. aqui abordados cobrem um amplo e diversificado conjunto. de. situaçoes práticas, que darão ao pesquisador. ou. responsável. pelo planejamento do experimento ferramentas suficientes para a resolução do problema em questao, ora focalizando. aspectos.

(18) 3• de custos, ora se preocupando com a minimização da. variância. da média e precisão desejada, dentre outros fatores. Vale ainda ressaltar que mesmo ao se fixar uma determinada espécie vegetal,. tem-se que o tamanho e forma óti. mos da parcela experimental podem variar de acordo com as. di. versas características coletadas, o local do ensaio, epoca de coleta. etc. tam~. Por exemplo, ao se pesquisar com milho, o. nho ótimo para a característica altura da planta possivelmente será diferente daquele obtido para a característica produ-. -. ~ao. - ou outra qualquer. de graos Neste trabalho, a determinação do tamanho e. fo~. -. . ma ótimos de parcela experimental, considera apenas uma unl.ca. -. . característica, um unl.CO. local, uma epoca de coleta etc.,. ex. trapolando-se a estimativa do tamanho ótimo obtido para vários locais e épocas..

(19) 4.. 2. REVISÃO DE LITERATURA. o presente capítulo inclui, além da reVlsao de talvez. literatura propriamente dita, alguns outros tópicos, nao muito comuns numa reVlsao usual. A configuração aqul adotada. aproveita as. taçoes bibliográficas do capítulo na descrição e mento teórico dos métodos,. Cl-. desenvolvi-. permitindo um encadeamento de idéias. natural e de maior entendimento. Ao estruturar cada método, e. apresenta~o. xemplo ilustrativo permitindo ao leitor um melhor. um e-. acompanha-. mento da sua metodologia.. 2.1.. M~todo. da Mixima Curvatura. A origem e autoria deste método sao cidas.. desconhe-. CHACIN LUGO (1977) chega a caracterizá-lo como o pri-. meiro método usado na obtenção de tamanho ótimo de. parcelas. experimentais. Explica que sua metodologia consiste em se tilizar de ensalOS em branco, calculando-se então os. u-. coefi-.

(20) 5•. cientes de variaçao. (CV) para cada tamanho. sem considerar a sua forma,. parcela,. (x) de. obtendo-se um conjunto de. pontos. de. do tipo (x, CV), que são relacionados num sistefla coordenados. Uma curva a mao livre e entao traçada. através. das coordenadas resultantes, e o seu ponto de máxima curvatura é localizado por inspeção visual, adotando-se como tamanho ótimo o valor correspondente ã abscissa do ponto de. máxima. curvatura (FEDERER, 1955).. FEDERER (1955) aponta dois pontos. restritivos. a este método: a) Não considera os custos envolvidos. b) O tamanho adotado. para a unidade básica do. ensa10 em. branco influencia no ponto de máxima curvatura.. o. mesmo autor parte em sua defesa para os. ca-. sos em que a escolha da unidade básica do ensa10 é algo natural, não convencionada arbitrariamente, como por exemplo. um. animal, uma árvore, uma leitura ou determinação de algum aparelho, etc., desaconselhando sua aplicação nos demais. casos,. pois o tamanho arbitrário da unidade básica influencia no po~ to. de máxima curvatura..

(21) 6. 2.1.1. Exemplo ilustrativo. GOMEZ & GOMEZ (1984) apresentam um ensaio branco com arroz~ originalmente com básicas de. 1 x 1. =. 18 x 36. =. unidades. 648. 1 metro quadrado de área, do qual aprú. a 10 x 10 = 100 unidades básicas de. 1 x 1. =. ei. reduzindo-o. tando apenas as dez primeiras linhas e colunas,. do~. em. 1 metro. tem-se um exemplo numérico válido para efeito. quadra-. ilustrati-. vo, apesar das unidades básicas não caracterizarem uma unidade natural, não convencionada arbitrariamente.. Os dados des-. te ensaio em branco estão reproduzidos na Tabela 1:. Tabela 1.. Produções de graos (gim"), de arroz,. variedade. IR-8, de um ensaio em branco. 842. 844. 808. 822. 979. 954. 965. 906. 898. 856. 803. 841. 870. 970. 943. 914. 916. 836. 858. 926. 773. 782. 860. 822. 932. 971. 765. 875. 853. 936. 912. 887. 815. 937. 844. 661. 841. 844. 809. 778. 874. 792. 803. 793. 818. 799. 767. 855. 792. 858. 908. 875. 899. 788. 867. 790. 831. 757. 751. 774. 875. 907. 921. 963. 875. 880. 898. 802. 874. 928. 891. 928. 871. 875. 865. 777. 738. 796. 855. 901. 823. 784. 754. 873. 764. 775. 752. 753. 820. 798. 785. 794. 764. 822. 714. 748. 721.. 717. 736. 724. Fon te: GOMEZ & GOMEZ (1984) ..

(22) 7•. Pode-se agrupar estas cem unidades básicas. de. quinze modos distintos: a) Agrupar as unidades básicas uma a uma, sultando em cem parcelas de tamanho 1 x 1, e então. re-. x = 1. u-. nidade básica = 1 ub. b) Dividir cada linha a cada duas colunas, for. =. mando cinqüenta parcelas de tamanho 1 x 2, e então x. 2 ub.. c) Dividir cada coluna a cada duas linhas, for mando cinqüenta parcelas de tamanho 2 x 1, e então x. =. 2 ub.. d) Vinte e cinco parcelas de tamanho 2 x 2, entao x. x. =. 4 ub. e) Vinte parcelas de tamanho 1 x 5,. e. entao. Vinte parcelas de tamanho 5 x 1 ,. e. entao. 5 ub. f). x. x. x. x. x. = 5. =. =. =. =. ub. g) Dez parcelas de tamanho 1 x 10,. e. entao. h) Dez parcelas de tamanho 10 x 1,. e. entao. i) Dez parcelas de tamanho 2 x 5,. e. entao. j ). e. entao. 10 uh.. 10 ub.. 10 ub. De z parcelas de tamanho 5 x 2,. 10 ub. 1) Cinco parcelas de tamanho 2 x 10,. x. =. e. e. 20 uh.. f. r'. então.

(23) 8.. m) Cinco parcelas de tamanho 10 x 2.. e. entao. 5~. e. entao. o) Duas parcelas de tamanho 5 x 10,. e. entao. p) Duas parcelas de tamanho 10 x 5,. e. entao. 20 ub.. x. n) quatro parcelas de tamanho 5 x x. =. 25 ub.. x = 50 ub.. x = 50 ub.. Ooserve-se que parce Las de dimensões L x,C. têm. mesmo tamanho que parcelas de dimensões C x L, pois as unidades básicas são quadradas.. Logo, apesar de se observar quin-. ze formas de parcelas, observa-se apenas oito tamanhos rentes, a saber. x. =. 1,. dife-. 2, 4, 5, 10, 20, 25 ou 50.. Apenas para ilustrar, seja o cálculo do coeficiente de variação referente as parcelas de dimensões 2 x 1 s. CV. 2x1. =. Y2xl. . 100. Y2xl 1645. 2. +. 1685 2 + •••. +. 1522 2 -. (1645 + 1685 + .•• + 1522) 2 1/2 50. 49·. 100. =. 1645 + 1685 +. o ••. +. 1522. 50 =. 6,5724%. Analogamente para as demais formas. aos resultados da Tabela 2. f. r'. e. ã Figura 1:. chega-se.

(24) 9. Tabela 2.. Dimens~es. (L x C). e tamanho (x) de parcelas de. ensaLo em branco com arroz, e respectivos tes de variaçio. (por dimensio~. CVLxC~. um. coeficie~. e por nGmero. de unidades básicas: CV 1). x NGmero de Dimens~es. CV unidades básicas. x. co. (%). L x C (x). 1 x 1. 1. 8,1942. 8,1942. 1 x 2. 2. 7,3192. 6,9458. 2 x 1. 2. 6,5724. 2 x 2. 4. 6,0975. 6,0975. 1 x 5. 5. 6,2676. 5,0855. 5 x 1. 5. 3,9035. 10. 5,4334. 10 x 1. 10. 2,0818. 2 x 5. 10. 5,6767. 5 x 2. 10. 3,6863. 2 x 10. 20. 5,4599. 10 x 2. 20. 1,6009. 5 x 5. 25. 3,4435. 3,4435. 5 x 10. 50. 2,8914. 2,4733. 50. 2,0552. 1 x 10. 10 x 5. 1. CV. LxC. 4,2196. 3,5304. O coeficiente de variaçio de parcelas de tamanho x ê considerado como a médiaaritmêtica de todos ~s ~VLxÇ para um determinado tamanho x, fa cilitando o desenho da curva a mao lLvre. Procedimento semelhante se encontra em SMITH (1938). r. I.

(25) 10.. 3 21. o. 12. 4 5. CV. Figura 1. Relação entre. x. 50 x (unidades básicas). 25. 20. 10 10.5. e. x. de um ensaLo em. branco. com arroz e determinação do tamanho ótimo de parcela através de método da máxima curvatura.. Por inspeçao visual determina-se o ponto de ma xLma curvatura,. que. pela. ao redor de 10,5 unidades de 10,5 metros quadrados.. Figura. 1 indica um valor de. básicas, ou seja parcelas em Quanto ã forma,. podemos. ra este tamanho.. j. LxC. torno. afirmar,. observando a Tabela 2, que parcelas de dimensões 10 x 1 5 x 2 são mais recomendadas, pois apresentam CV. x. ou. menores p~.

(26) 11.. 2.2. Método Empírico de H. FAIRFIELD SMITH. 2.2.1. Método original. SMITH (1938) apresenta a equaçao:. vx. (V ). x. manho. unidades básicas de tamanho e o. ta-. de parcela (VI ê a variância da produção por. a-. x. de parcelas de (x). unitária. area. para relacionar a variância da produção por. rea unitária de parcelas de. x. =. I. tama-. unidade básica de. nho) .. o ficiente. b. coe-. autor explica que, a princípio, o. pode ser considerado como uma medida. çao entre áreas adjacentes~. ~e. correlanas. porém acrescenta que erros. além. técnicas de semeadura, colheita, debulha, pesagem, etc,. da própria variabilidade genética das plantas, tenderão a aumentar o valor estimado de. b,. o que, em termos teóricos;. ê desejável, mas que na prática e até correto que sejam cluídos no valor de. b,. e assim o coeficiente. grau de heterogeneidade do solo e das plantas fatores). b. mede. (entre. -. naO ~n-. o. outros. de um determinado ensa10. Quanto. ma~or. for o valor de. b. maior a hetero-. geneidade do solo, onde se instalou o ensaio em hranco, e das plantas, das quais foram obtidos os dados de produção..

(27) 12. Uma vez que as variincias sio estimadas de nunume-. meros variáveis de parcelas, o que implica em diversos. ros de graus de liberdade para as diversas variincias. é aconselhável que ao se ajustar uma regressão. cada ponto seja ponderado pelo número de gnus de liberdade a ele associado (SMI1R, 1938).. o. mesmo autor lembra que os métodos estatístiinde-. cos de ajustamento de curvas se baseiam na hipótese de pendência entre as observações.. É visível que esta. condição. vx. nao é satisfeita nos ensaios em branco, pois as. sao. ob-. tidas a partir de um mesmo conjunto de dados, o que leva. a. -. dependência das mesmas, porém, explica o autor, tudo o que se quer é uma medida de uma relaçio empírica, e testes de s1gn1ficância sio de importincia secundária, descartando a sidade de um ajuste no método de estimação de. b. ;:>ela. necesnao. independência das observações. FEDERER (1955) apresenta a fórmula de çao de. b,. .... .. obtida pelo uso do método dos m1n1mos. estimaquadrados. ponderado [pelo número de graus de liberdade (w i ) associado a cada ponto], após a linearização da equação de SMITR (1938):. a). V x.. VI = --b-. x.. 1.. b). 1.. log V. X.. 1.. log V 1. b log x.. 1.. resultando no seguinte mo. -. dela de regressao: e .' 1..

(28) 13. ~. est~mativas. de onde se obtem as ~w.. 1... x.' 1. 1.. ~w.. y.' 1.. ~w.. x. f 1.. 1.. de. b. O. e. b. l. ~or:. dadas. y -' 1.. ~w. 1.. =. -b. Zw. X. t 2 1.. ~w. y.' 1. 1. ~w. 1.. 1.. -. b. ~w.. 1.. 1. x.' 1.. =. y'. ~w.. pond. -. b. 1. x' pond. 1.. HATHEWAY (1961)~ ao desenvolver o seu. próprio. método de determinação de tamanho ótimo de parcelas, tece al(1938),. guns comentários a respeito da lei empírica de SMITH. v. esclarecendo, entre outras coisas, como se calcular. da. x. fórmula de SMITH (1938). Seja. S2 a variância entre parcelas de x. dades básicas de tamanho.. Reduzindo-a a uma base. x. uni. unitária,. tem-se:. v x'. =. x. Reduzindo-a para area unitária,vem:. V. x. =. v x,. --. S2 =. x. S2. x. x. =. x. x. -2x. no que concordam diversos outros autores. (LESSMAN. & ATKINS,. 1963; AFONJA, 1967 e 1968). SILVA (1972) deduz o tamanho ótimo de deste método de uma manel.ra bem simp1es~. J. parcela.

(29) 14. Sabe-se que:. vx Considerando por exemplo, parcelas com dois manhos distintos e. (Xl e xZ). t~. com as respectivas variâncias. Z SxZ'. os numeros de repetições rentes aos tamanhos. de modo que façam ocupar,. dois conjuntos de parcelas, a mesma area,. k. onde. e uma constante. refenos. tal que:. (área).. Logo: k. k. e. As variâncias das produções totais nas duas a-. .. .. reas l.gual.s sao:. e. Mas:. vx. e :. V. x. =. 2 SXl => V = -2b Xl x Xl S2 x. e. V. x2.

(30) 15.. entao:. e. pas igualdades anteriores, obtém-se: 2. e. SX2. =. 2-b. V1 x 2. Logo, as variâncias das produções totais,. em. -. areas iguais, sao: 2 r 1 Sifl =. k xl. 2 r 2Sx2. k. =. 2-b 1 2. V x x. 2. As invariâncias I. (informação). 1 e. l-b kVlxl. l-b kV x l 2. =. respectivas, são:. b-i x2. Mas os custos por parcela de tamanho. x. sao. dados por (SMITH, 1938): onde KI. =. custo da unidade experimental,. independe~. te do numero de indivíduos na unidade experimental, ou. seja. custos fixos por parcela (DAGNELIE, 1981). K 2. = custo de um ítem adicional na parcela ex-. perimental, independente do custo das unidades experimentais, ou seja custos variáveis por parcela (DAGNELIE, 1981),.

(31) 16. repetições~. e em. resulta:. k rI (K l + KZx I ) = r. (K xl. +. I. KZx). -1. K x ) = k (K l x 2 Z (K I .+ Z 2. o. ~. + K ). Z. =. -1. k (Klx l C. +. KZ). =. e xl. xZ. custo por unidade de informação. ex I. obtido. dividindo o custo total pela invariincia. x. (infor-. mação):. e Xl I. kZV. =. 2 k V. I. [Klx - b + K x l-b] 2 I l. xl. CX2 I. =. x. 1. ~K x -b l 2. + K x l-b]. 2 2. 2. donde se conclui que o custo por unidade de informação, em gual. ârea~. com parcelas de. 1-. unidades bâsicas, ê proporcio-. x. nal a: Y. =. KI x. -b. + K2 x. l-b. Derivando em relação a. x. rivada:. ay. ax. KI. (-b) x. -b-l. + K. 2. K. 2. (1 - b) x (1. -. -b. =. b). x =. O. e anulando esta de-.

(32) 17. Logo, o x anteriormente obtido é considerado co informação. mo o tamanho ótimo, pois maXlmlza a quantidade de p o r 'u n i da d e d e cus to, e e n t ao :. (1 -. b). K. = x-otlmo . 2. Segundo SMITH (1938), esta fórmula estima o ta manho de parcela mais eficiente em termos de custos por. unid~. de de informação, para qualquer experimento, nao sendo afetado pelo numero de repetições.. Este aspecto deve ser determi-. nado em função da área disponível ou precisão desejada. Procedimentos semelhantes sao utilizados. para. se determinar o tamanho ótimo de parcelas ao se considerar os custos de bordadura, resultando numa função de custos do. ti-. po:. e num. X-. .. otlIUO. dado por: b. x-. = otl.mo. =. K. g. onde: (1. custo por unidade de area para. manusea~. a. bordadura. terial de prova. A. =. área de bordadura. B. =. razao entre o material de bordadura e o ma. -. (irea ~til). Na prática, por~m, tem sido considerado ". difí-.

(33) 18. ci1 avaliar devidamente esses custos, o que prejudica o dest~. uso. método (PIMENTEL GOMES, 1984). Dificuldades ã parte, o importante ê que aclmique a função de custos seja da forma apresentada. tindo. por. SMITH (1938), o que e razoável supor. tem-se que os dois valo res de. x. ótimos que ele determina serão tanto mais precisos. quanto mais precisa for essa função de custos.. MARANI (1963) alerta para o uso indevido dos tores. na medida em que sao expressos em porcenta-. gem do custo total, pois então a relação sao porcentagens do custo. A estímàtiva de. 1. e. e a área da unidade bá-. x- . ot1.mo. ê incorreto.. dada por:. L:w.x.' L:w.y.' 1. 1. 1. 1.. L:w.x.' y.' 1. 1. 1. -b. b,. KI. na verda-. A. sica, e o seu uso na obtenção de. =. onde. total. de é proporcional a. b. f~. Lw.1.. = t. LW. x. 1. 1.. 2. -. deve ser corrigida para o que SMITH (1938) chamou de valente,. em f~nção da área finita do ensaio em branco.. correçao leva em conta a relação entre a área de uma. b. equ~. Esta unidade. básica e a área total do ensaio (x/n).. A mane1.ra mais fácil de se proceder a essa cor reçao e através da Tabela 3, adaptada de SMITH (1938)..

(34) .... 0,01 <. {O,OOI <. Fonte: SMITH (1938).. equivalente. b. - b. b. ~n < 0,1. ~ < 0,01 1,0. 1,0. 1,0. 0,822. 0,804. 0,800. 0,738. 0,710. 0,700. 0,656. 0,617. 0,600. 0,578. 0,528. 0,500. 0,504. 0,443. 0,400. 0,469. 0,403. 0,350. 0,434. 0,364. 0,300. 0,402. 0,326. 0,250. 0,371. 0,291. 0,200. 1.0. t-". 0,343. 0,257. 0,150. e seus respectivos valores equivalentes, considerando a relação entre a área de uma. dade básica e a área total de ensaio (x/n) .. Tabela 3. Valores estimados de. 0,312. 0,226. 0,100. uni-.

(35) 20. Por ~. b. mos:. . equ1V.. =. exemplo~. 0,804,. do na fórmula do. para. e este valor. e. -. te. x-. : ot1mo. (K. b. ou (1. = 0,002~. o que deve ser utiliza. b = x- . ot1mo. x n. e. b). x-. = ot1mo. (1 -. b). 1. +. KgA). (KZ + KgB). 2.2.2. Exemplo ilustrativo 1. Seja entao o exemplo anterior, apresentado. em. 2.1.1... Apenas para ilustrar, seja a variância da produção por area unitária de parcelas de tamanho ma. L x C = 2 x 1,. x. = 2,. e for. dada por:. o ••. +. 1522 2 -. (83.883)2 50. 2. = =. 49. s2x1. 7. =. ---------------------------------------------------= 4. 3.039,476. Procedendo de mane1ra análoga para os diversos outros tamanhos e formas,. obtemos a Tabela 4:.

(36) 21. Tabe la 4. Tamanho (x) de parce 1 a, em te rmos de unidades básicas, variincia da produç~o por are a (V ) x. de parcela de tamanho. x~. de liberdade (w) associados as. numero V. x. unitária de graus. e transforma-. çio 10gar{tmica de x e V , de dados _p~ovenien x. te,~'. de um ensaio em branco com arroz,. adaptado. de GOMEZ e GOMEZ (1984). x. w. x' = 10g x. y'=log V e x. 4.724,526. 99. 0,000000. 8,460523. 2. 3.769,435. 49. 0,693147. 8,234681. 2 x 1. 2. 3.039,476. 49. 0,693147. 8,019441. 2 x 2. 4. 2.616,118. 24. 1,386295. 7,869446. 1 x 5. 5. 2.764,102. 19. 1,609438. 7,924470. 5 x 1. 5. 1.072,157. 19. 1,609438. 6,977427. 10. 2.077,245. 9. 2,302585. 7,638797. 10 x 1. 10. 304,936. 9. 2,302585. 5,720102. 2 x 5. 10. 2.267,429. 9. 2,302585. 7,726401. 5 x 2. 10. 956,136. 9. 2,302585. 6,862900. 2 x 10. 20. 2.097,581. 4. 2,995732. 7,648539. 10 x 2. 20. 180,332. 4. 2,995732. 5,194799. 5 x 5. 25. 834,373. 3. 3,218875. 6,726681. 5 x 10. 50. 588,245. 1. 3,912023. 6,377144. 50. 297,192. 1. 3,912023. 5,694377. L x. C. 1 x. 1. 1. 1 x 2. 1 x 10. 10 x 5. V. x. f. ". e.

(37) 22. Da Tabela 4 obtemos: 1:w. x . ' y. I 1. 1. 1. L:w. X. f 1. 1.. = 286,697717. 1:W. y . t 1. 1.. =. L:W.. X.' 1.. 1:w.. =. 1.. 1.. b. =. 1.. 2.441,205218. 2. 515,993863. 308 1:w. x .' L:w. y .' 1. 1. 1. 1.. 1:w.x.' y.f 1.. 2.114,833027. =. 1.. L:w.. 1.. -b 1 L:w. x.' 1. 1.. = 0,6323. 2 1:w.. 1.. Aplicando a. correção para população finita,. traves da Tabela 3, temos,. por interpolação linear. a-. simples,. segundo GOMEZ & GOMEZ (1984): (0,0323) b. . equ1.v.. = 0,617. (0,710 - 0,617) 0,647. +. 0,1 Usando uma relação de custos Kl/K2 igual a. 4,. e substituindo em:. x-ot1.mo .. vem: 1. -. b. 0,647 = x-ot1.mo .. . 4 = 7,33 unidades básicas 1 -. 0,647. Assim, o tamanho de parcela que minimiza. os. custos por unidade de informação, ou em outras palavras, o ta manho de parcela que maximiza a quantidade de informa~ão. por.

(38) 23. unidade de custo. ~. x. =. 7~33. ter-. unidades bisicas, o que em. mos de irea equivale a parcelas de 7,33 m2 . De acordo com as Tabelas 2 e 4, percebe-se que ~. desejivel usar a maior dimensio da parcela no sentido. colunas do ensaio em branco (L> C), pOl.S para e. CV. x. a. V. x. um. das. dado tamanho, o. sao menores quando a parcela apresenta maior di. mensao no sentido das colunas do ensal.o. Note-se que o método deSMITH (1938) nao determina a forma ótima de parcela, porém o artifício lembrado no p~ pesquis~. rigrafo anterior é totalmente vilido, e deste mQdo o dor deveri tender a escolher parcelas de dimensões. 7,0 m. 1,0 m', 6,0 m x 1,2 m; 5,0 m x 1,5 m; 4,0 m x 1,8 m ou lhantes, segundo as. x. seme-. conveniências priticas da pesquisa.. Hi casos em que a estimativa de perior a unidade, o que nio é o esperado.. o. b. resulta su. uso dessa estima. tiva para a obtençio do tamanho ótimo da parcela, através fórmula de X~t' o l.mo , leva a valores negativos. firma que essa possibilidade (estimativa de. AFONJA b. da. (1968). ~. -. super1.or a U7. nidade) é freq~entemente considerada inadmissrvel~ poi~ impl! ca em correlação negativa entre as unidades bisicas, embora o m~todo de obtenção da estimativa de. b. de. e do coeficiente. correlaçio (r) admita valor superior a unidade e negativo, pectivamente, -1. ~. r. ~. finalizando que, teoricamente,. o. < b < +00. res. e. +1.. FEDERER (1955) comenta que o coeficiente. b. as.

(39) 24.. °e. sume valores entre. 1, a menos que ocorra. competição. en-. tre as parcelas, e que fora este caso, em trabalhos de campo, existe provavelmente correlação entre parcelas adjacentes, sultando em estimativas de. b. re. menores do que a unidade.. BRIM & MASON (1959). afirmam que quando. b. o tamanho otimo de parcela independe dos custos, e nos. =. 1,. casos. em que o solo for extremamente heterogêneo, o tamanho da parcela é determinado apenas pelo número de repetições por trat~ menta que se pode e que se deseja colocar na área. disponível. para o experimento. Os mesmos autores acrescentam que para. b. =. 0,. a area de ensaio é completamente uniforme em termos de fertilidade, e para. b. = 1,. a área de ensaio apresenta um. padrão. de fertilidade do solo totalmente aleatorio (manchas de ferti lidade). ou de extrema heterogeneidade (acentuado gradiente de. fertilidade). 2.2.3. Método modificado. HATHEWAY & WILLIAMS cerem que,. (1958), apesar de reconhe-. talvez, a ma1S útil medida da heterogeneidade. do. solo já desenvolvida seja aquela devida a SMITH (1938), consi deram insuficiente, tiva de (w). para a obtenção da sua estimativa (estima. b), a ponderação pelo. numero de graus de. associado a cada V • por ele proposta. x. liberdade.

(40) 25. Mostram uma ponderação que leva a uma estimati va nao tendenciosa e de variância mínima assintótica para sendo aplicável tanto a dados oriundos de ensaios em como. log. a. &. (1951), e que se baseia nos elementos da matriz de va-. riâncias e covariâncias das =. branco,. dados experimentais comuns, como sugerido por KocH. a. RIGNEY. b,. V. x.. n. observações. do. y.'. tipo. 1.. (V a > O e a # 1).. 1.. ROSSETTI por HATHEWAY & WILLIAMS te e objetiva.. (1979) estuda. o estimador. proposto. (1951) de uma maneira bastante. elega~. Segundo esse autor, ressaltando os resultados. das suas deduções,. temos:. "Linearizando a equaçao de SMITH (1938) resu1ta: 10g V x.. 1.. = log VI - b log x.1.. log V. Seja. X.. y.'. =. 1.. 1.. log -b. 1. ==. X.. =. x.' 1.. e. B,. temos o seguinte modelo de regressao linear: y.'. 1.. onde os. .. .. s1.gua1.s.. y .f. 1.. = a. + Bx.' 1.. + e.. 1.. sao correlacionados e apresentam variâncias de-.

(41) 2h.. Assim,para os. n. forma. valores observados, a. ma t-r i c i a 1 s e r a : XB +. y=. €. onde: =' XB. E (Y). j.. COV(y. V(Y1' ). t. l'. y') n. COV(y 2' • Y1' ) V(Y). COV(y'. COV(Y3', Y ' ) 1. ~OV(Yn':' w. 3'. COV(y. Y' ). 1. n. f.. Y , ). W. 11. w. 2n. = W =. w. W. n1. onde. W. onde. C •.. 1.J. f. n'. Y. I. 3. V(y. ). =. matriz de. te distribuido,. ). dispersão dos. w•• 1.J. =. e uma constante associada ao elemento. Assim,. ). y.' 1.. nn. e simétrica e positiva definida, e. é a variância da parcela. l. n. I. n. ln. W. 21. V(Y). COV(y. 2. Y. base. C •• O. 2. on. 1.J. w •. , 1J. e. 0. 2. (unidade básica).. supondo que o valor. Y. seja normalmen-. tem-se:. Y. 'V. N (XB • W). Para minimizar a soma dos quadrados dos erros, no sistema linear. Y. =. XB +. €. através do método dos. míni-.

(42) 27. mos quadrados generalizados, procedendo da por Rao. (1973)*, ROSSETTI. dade do vetor. s.. mane~ra. indicada. (1979) demonstra a não tendendiosia e. caracterizando. se-. da maneira a. b. guir: ~ V. a = log. l. I:I:wijy., (x. ,. =. b. = -. -B. .. .. ~. J. 1]. I:l:w~Jx.' (x. I ~J. ~. J. -. ~I. ). -. ~I. ). -li. = T. onde: w dispersão. ij. =. sao os elementos da. (W) das observações. dadeiros pesos populacionais, HATHEWAY & WILLIAMS dessa. .. -. aprox~maçao. pesos continua. ruID. (1958). y.', ~. ~nversa. da matriz de. sao estimativas das ver-. e por isto mesmo. aproximados.. consideram desprezíveis os. e que a estimativa de. b. obtida com. erros esses. tendenciosa e de variância mínima (assintó-. t ica). y'. média ponderada das observações y.' 1.. =. I:l:w1. J y .' . . 1. 1.J. I:L:w. ij. 1]. ~,. = média. ponderada da variável independente. x. I:I:wijx.' ij J ij L:I:w ij. *. RAO, C.R Linear Statistical Inference and its applications. 2. ed, New York, John Wiley. 1973~ 625 p. (Wiley series in probability and mathematical statistics)..

(43) 28. HATHEWAY & WILLIAMS (1958) propoem desconsiderar a correçao para população finita, da estimativa de b, pois nas. estimativas de variância que esta correçao ma~s afeta sao. aqu~. las menos acuradamente estimadãs ....... (1979) determina a variância do vetor. ROSSETTI. S,. demonstra que é mLnima. (assintótica) dentre todos os esti. 6,. madores lineares não tendenciosos para timativa da variância de. b,. explicitando a es. dada por: 1. V. (b). 1. =. = (x. - X"). .1. J. T. Freqüentemente, existem ma~s de dois (n > 2). pontos. dos quais se estima a regressão linear, e neste caso. o desvio da regressão ~ode ser testado de uma maneira bem s~m ples.. -. Numa análise de variância para esta regressao, a Soma de Quadrados Total da a sao. b. (SQTotal). a Soma de Quadrados devi. (SQReg) e a Soma de Quadrados dos Desvios da. -. (SQDR) sao dados,. respectivamente,. segundo. (1979), por: SQTotal = L:L:wijy.1. ... (y.I. ~. J. ~J. com. n. -. 1. - y' ). = V, ,. graus de liberdade, ijy ., [L:L:w .. ~ SQReg. ~J. L:L:w. ... ~J. ij. x. I ~. (x .'. - Xl )J2. (x .'. - X'. J. J. U2 =. f ). T. RegresROSSETTI.

(44) 29. com 1 grau de liberdade, e. SQDR = SQTotal -. SQReg. =. V T. ROSSETTI (1979) demonstra que a SQDR aSS1m caracterizada, apresenta. distribuição de qui-quadrado, com. n -. 2. graus de liberdade, ou seja: SQDR. '\s. 2 X lr2. '. e desta forma o desvio da regressao pode ser testado. É possível. subdividir um ensaio em branco. de. modo a simular um experimento no delineamento em parcelas sub divididas ou em Lattice. (reticulado quadrado), o qual poderia. ser analisado da seguinte maneira. FONTE DE VARIAÇÃO. (KOCH & RIGNEY, 1951):. GL. E [QM]. QM. Repetições. d - 1. V. S + aP + abB + abcR. Blocos dentro de repetições. d (c - 1). V 2. S + aP + abB. Parcelas dentro de blocos. cd (b - 1). V 3. S + aP. Subparcelas dentro de parcelas. bcd (a - 1). V 4. S. 1. Nas condições do quadro de análise anterior, te mos quatro tamanhos de parcelas: a) Parcelas do tamanho das repetições b) Parcelas do tamanho dos blocos.

(45) 30. c) Tamanho das parcelas comuns d) Parcelas do tamanho das subparcelas. A variância da produção entre parcelas dos diversos tamanhos deve ser estimada, de modo a reduzi-las ã base unitária. Relacionando os Quadrados Médios da análise de variância (Vi' V , V 2. e V ) com as variâncias da produção, re 4. 3. duzidas a uma base unitária, de acordo com 2.2.1., e considerando a subparcela como a unidade básica, a) V~=abc. =. temos:. VI' PQis cada repetição tem. abc. subparcelas (d -l)V ± d(c - i)V. SQ entre blocos b). v'x=ab =. = cd -. (d - 1) [8 + ap + abB + abcRJ + d (c - 1). [8. i. 1. (d-l)+d(c-i). + aP + abS]. = cd - i V~=ab. =. -S + aP- + abB-. -. (d - 1) + - - - - abcR. cd - 1. SQ entre parcelas c). V'. x=a. bcd. -. 1. (d - 1) VI + d (c - 1) V2 + cd (b - 1) V3. = --------------------~~------------~ (d - 1) + d(c - 1) + cd(b - 1). (d-l)[S+aP+abB+abcR]+d(c-1)[S+ap+abB]+ dc(b -1)[S+aP] bcd - I. -. =S. .... (cd - l)abB + aP +. (d - 1) +. bcd - 1. abcR. bcd - I. e. 2.

(46) 31. SQ entre subparce1as d) V'. = ---------- =. x=1. (d - l)V. l. + d(c - 1)V. 2. abcd - 1 + cd(b - 1)V. 3. + bcd(a - 1)V. 4. =. (d - 1) + d(c - 1) + cd(b - 1) +bcd(a-1) (d - 1). [S + ap + abÊ + aocRJ. + d(c - 1). [5 + aP + abB]. + cd(b -1). [S + aP]+bcd(a -l)S. =. abcd - 1. -. ~. (bcd - l)aP = S +. (d - l)abcR. (cd - l)abB +. +. abcd - 1. abcd - 1. abcd - 1 A partir das. V'. obtêm-se as variâncias. da. produção por área unitária, e entao:. a). V. b) V. =. x=abc. abc. =. x=ab. V' x=abc. Vi x=ab. ab V'. c) V. x=a. d) V. x=l. x=a ---. =. e. a. =. V'. x=l procedimentos. Apenas para esclarecimento dos. anteriores, seja o exemplo ilustrativo a seguir, a nível rep~tiç~es. e. de. blocos: Repetição 2. Repetição 1 Bloco 1. 2. 3. 4. 9. Bloco 3. 4. 6. 4. 14. Bloco 2. 2. 5. 3. 10. Bloco 4. 4. 3. 5. 12. 19. 26.

(47) 32.. FONTE DE VARIAÇÃO. GL 2. Repetições. -. SQ. 1 = 1. Blocos dentro 2(2. -. 1). -. 1. =. =. de repetições Blocos. 4. 2. QM. 4,0833 .... 4,0833 .•.. 0,833 ..•. 0,4166 .... =. VI V 2. 4,9166 . ... 3. 45 2 SQRepetições. -. -- =. 4,0833 =. 12 e. V'. x=abc. =. VI. =. 4,0833 .•.. 2 2 1 19 1 26 2 SQBlocos dentro de repetições = _[92 + 102J ---+_[14 + 122] - - 363 6. 0,333 .. . 0,833 •.. => V 2 =. =. 0,4166 .... 2. 1 S QB1 o c o s = -. ~2. °. + 1 2 + 1 4 2 + 12 2J -. 3 =. 45 2 = 4, 9 166 . . .. 12. SQRepetições + SQB1ocos dentro de repetições.. VIx=ab. =. Variância estimada S-Q Bloco. = --------------- =. entre blocos, reduzida a uma base unitária. (2-1)V +2(2-1)V 2 1. (2 - 1) + 2 (2 - 1). 3. 4,9166 •... =. = 1,6-383 ... 3. Da teoria matricial, envolvendo as formas quadráticas. VI' V2 , V e V 3 4. mesmas são independentes.. f ". do quadro de análise, temos que as.

(48) 33,... f. SQ e QM. Sejam. o numero de graus de liber-. dade, soma de quadrados e quadrado. m~dio~. respectivament~. tal. que: SQ QM = f. obtidos de uma análise de variância de dados balanceados, onde os erros têm distribuição normal de m~dia zero e variância 0. 2,. todos os outros. i. fatores aleatórios do modelo. têm distribuição normal de m~dia zero e variância. o.2 , 1.. tamb~m e. to-. dos os fatores aleatórios são independentes entre si. Da caracterização acima, resulta, SEARLE (1971): SQ. fQM ou. E(QM). E(QM). Logo: - l)Vl. (d. a). 2 Xd - l. '\,. E(V ) l d(c b). -. 1)V 2. '\,. E(V 2 ) cd (b -. l)V. c). 3. X2 d(c-l). X2 cd(b-l). '\,. E(V ) 3 bcd(a -. 1)V. d) E(V ) 4. 4. '\,. X2 bcd(a-l). segundo.

(49) 34. Mas a variância de uma variável aleatória. X. é (SEARLE, 1971):. com distribuição de. v (X). = 2. f. •. ,. assim: a). V [( d - 1) V lJ. = 2 (d - 1). E(V ) l. (d -. [. 1) 2. E(V ). ] 2 V (V 1). =. 2 ed - 1). l. =--. d - 1 Analogamente para. V2 '. V. d - 1 e V~ , 'lo. 3. obtêm-se:. 2V. 2 [E (V 2) ] 2. b) V(V ) 2. =. d(c -. c) V(V ) = 3. 1. cd(b -. =. => VeV 2 ) =. 1). dec 2. ~. => V(V ) = 3. 1). bcd(a-l). (1971). ~. V (V .). 2[Ee v 3 )J2. 2[E(V 4 )J2. d) V(V ) 4. SEARLE. 1). 2 2. =>. -V(V. 2V' 3 cd(b. 2V 4. ). =. -. 1). 2 4 1). bcd(a -. comenta que os estimadores:. 2V~1 fi. não apresentam propriedades desejadas conhecidas, nao sendo nem ao não tendenciosos, ou seja:. E[V(V i )]. J. :f:. V(V ).. i. menos.

(50) 35.. o. tendencioso. autor apresenta um estimador de. -. [V*(V.)],. 2V~ ~. =. ~. nao. ~. dado por:. ~. -V*(V.). -. v (V. ). f.. 2. +. ~. (1958) nao. porém HATHEWAY & WILLIAMS. consideram este est imador.. preferindo aquele dado por:. V(V.) ~. =. 2V~ ~. f.. ~. -. V(V.) e V*(V.) ~ 1.. Os erros médios quadráticos de não são comentados por SEARLE. (1971),. a respeito da escolha de HATHEWAY. WILLIAMS (1958) pelo estimador V (V i)'. &. de modo que uma decisão. e sua influência na determinação da matriz dos pesos a usados na estimação de. serem. carece de ma1.ores estudos.. b,. &. Retomando, porem, o racioc{nio de HATHEWAY WILLIAMS. (1958), tem-se: Como as. V. 3. e V , 4. VI. são funções lineares de. VI'. V2 ,. e estas são independentes, fica fácil determinar as. variâncias e covariâncias das. a. ). b). -. V (V'. x=abc. V(V~=ab). ). V':. = d -. [(d -. = V. 1)V. 1. 1 + d(c -. cd 2. =. 1)2 [(d (cd -. l)V 2j. 1. l)V~. + d(c -. l)V;].

(51) 36. c). -. V(v· ) x=a. ==. 2 =. [(d - 1)vi + d(c - l)V; + cd(b(bcd - 1)2. d). -V(V~=1). 1)V~. =. Mas: E(V'x=a b) c. e Vf x=abc. -. E (V' ) x=abc. (d 2). VI. x=ab. 1)V. =. 1. cd -. (d - 1). E (V ~ '" ab ). == cd -. 1. = V. 1 -. + d(c. -. =. E(V 1 ),. e. E (V ). 1. 1)V. 2. 1 d (c - 1). e. E (V 1) + - - - - E (V 2 ) cd - 1. Assim:. ~. (d - 1) d(c-1) COV(V' b' V~=ab) = EV 1· - E (V 1) . .: ~ 1 - E (V 1)] + x=a c cd - 1 cd - 1. }f. d (c. d - 1 V (V 1) +. = cd - 1. -/1) ". cd - 1. COV (V l ' V 2). f. 2 - E (V2 ~. ~.

(52) 37. Mas. VI e. sao independentes, logo. V2. o.. COV(V , V ) = I 2 Assim:. -. d f ) COV(V'x=a bc ' Vx=ab. I. =. V(V 1) cd - I. Daqui obtém-se:. ----. -. d. COV(V~=abc' V'x=ab ) =. 1. V(V 1) cd - 1. -. d. 2V. 1. =. 2 1. 2V =. 1. cd - 1. d - 1. cd - 1. 2. Procedendo de maneira análoga, pode~se determi nar as demais covariâncias, e a matriz de variâncias. e cova . . .. riâncias das VI. segundo. fica determinada e caracterizada,. HATHEWAY & WILLIAMS (1958), por: o (d. -. V (V'). -. C ... (<;Id -. o. -. -. o. 8 + C ... o. (cd - 1)(abcd. o. 8 .. C. -. -. (cd - 1)(abcd - 1). 1). 8 .. C ... (bed _ 1)2. 1)(bcd - 1). (bed -. 1). = 2bcd(a. -. 1)V. c = 2d(c - I)V 2 2. 2 4. o. (bcd - l)(abcd -. .. o. A .. B .. C ... 1)(abed -. 1). (abcd - 1)2. onde:. A. 1). c .. o. 1)(b e d. (cd -. -. (d - l)(abcd. 1). c .. o. C .. 1). o. l)(bcd. o C ... (d -l)(bcd - 1). l)(abcd. (d -. 1). (ed - 1)2. l)(ed - 1). o. (d -. -. (d - 1)(ed. o (d -. o. o 1)2. B. =. 2 cd (b. D. =. 2(d - I)V. 2. 1. o. 1).

(53) 38. Se g li n d o li AT HE WA Y & WI L L IA ~'1 S ~. dos pesos. ( 195 8 ). matriz. a. obtida a partir da inVersa da matriz V(V'),. multiplicando-se cada linha e cada coluna desta inversa pelas correspondentes (Apêndice).. VI. Verifica-se que a inversa de. V(V'). -e. dada. por:. (d - 1). 2[1-z. +. :J. -(d - l)(cd -. 1). o. -(d - 1) (cd - 1) (cd - 1)2 [ :. C. [i,,·,]-'. "l. +. :J. -(cd - l)(bcd - 1). o B. 1) (bcd - 1). -(cd -. ----_.. o. o. C. o. -(bcd - l)(abcd. o. -(bcd - l)(abcd -. :J. (bcd - 1)2 [ : +. B -. w. ij. ,. v (V I. -1. ). J. A. determina-se a matriz dos pesos. segundo HATHEWAY & WILLIAMS. (1958):. o. o c. o. :<""aDc. 3. r1. -;. 1 i n'. 21. (bcd - 1) . - + ._, (,. B. BJ. LA. ). 2 A. X"'a. o A. A. HATHEWAY & WILLIAMS (1958) estendem o uso. des. ta metodologia, de obtenção da estimativa ponderada do coeficiente. b,. a dados experimentais com efeitos de tratamentos,. & RIGNEY (1951).. A extensao. dessa metodologia seri, entao, abordada quando da. descrição. aperfeiçoando a proposta de KOCH. I. !. (abcd - 1)2 _._-_.-. 1). A. De. 1). A.

(54) 39. do método de determinação do tamanho ótimo de parcela de KOCH. & RIGNEY. (1951)~. maLS adiante.. 2.2.4. Exemplo ilustrativo 2. Se j a o exemp lo apresentado em 2.1.1.,. subdividido. a semelhança do proposto por KOCH & RIGNEY (1951) e. HATHEWAY. & WILLIAMS (1958), para o caso em que: d. =. 2,. c. = 5,. b. =. e. 2. a. = 5,. e caracterizado a seguir:. Totais de. TGt.ai. õe. Tot:ai. de. parcelas. ,areel.a. 'loeoa. 8-loco. 842. 844. 808. 822. 979. 4195. 954 .. 965. 906. 898. 856. 4579. . .14. 803. 841. 870. 970. 943. 4427. 914. 916. 836. 8S8. 926. 4450. 8817. 773. 782. 860. 822. 932. 4169. 911. 165. 875. 353. 936. 4400. 8569. HZ. 887. 815. 937. 844. 419S. 661. 841. 844. 809. 778. lU1. 8U8. 874. 192. 803. 793. 818. 4080. 799. 761. 855. 792. 858. 4071. 8151. TOTAL DI! REPETIÇÃO 1 , 42199. 6. 908. 875. 899. 788. 861. 4311. 790. 815. 907. 921. 963. 8H. 4541. 880. 865. 4410. 831 898. 157 802. 751 874. 774. 190'. 8240. 928. 4382. I9U. nu. 891. 928. 871. 875. 777. 138. 196. 855. 901. 4067. 9. 823. 184.. 154. 873. 764. 3998. 775. 752. 753. 820. 798. 389.. 7119.. 10. 185. 194. 164. 822. 714. 1879. 748. 124. 117. 736. 724. 3649. 152.. TOTAl. 08 REPETIÇÃO 2,41084 TOTAl. GERAI.. 1 ". Sua análise de variância e a seguinte:. • •'.

(55) 40.. GL. FONTE DE VARIAÇÃO. SQ. Repetições. 2 -. 1 " 1. Blocos dentro de repetições. 2. (5. Parcelas dentro de blocos. 2. 5. (2 - 1) .. 10. Sub parcelas dentro de parcelas. 2. 5. 2. ~5. -. 1). Subparcelas. 2. 5. 2. 5. -. 1. -. 1). .. 8. . ... QM. 29.412.25. 29.412,25 .. VI. 157.539.76. 19.692.47 .. V 2. 75.637.70. 7.563.77 .. V 3 2.564.23 .. V 4. 80. 205.138.40. 99. 467.728.11. A partir da análise de variância, obtem-se:. v. I. x=abc. VI x=ab. VI. x=a. = VI. 29.412,250000. (d - l)V. =. Vt x=lO. = V'. x=5. VI = x=l. VI =. x=50. =. =. l. + d{c -. cd -. 1)V. 2. = 20.772,445556. 1. {d - 1)V 1 + d(c - 1)V + cd(b - 1)V 2 2 =13.820,511053 bcd - 1. (d - l)V l + d{c - 1)V 2 + cd(b - 1)V + bcd(a - 1)V 3 4 = 4.724,526364 abcd - 1. e ainda,. VI x=50 _. 558,245000 = 50. -o. V x=). VI x=10 = V = 2. 077,244556 x=10 10 VI x=5 = V = 2.764,102211 x=5 5. V. x=l. =. VI x=l. 4. 724,526364 Antes de calcular, diretamente, a matri~. nesos, e preciso obter:. dos.

(56) 4l. A. =. B =. -. 2cd(b. -. C = 2d(c D =. -. 2 bcd (a. 2(d. -. 1)V l}v. l)v. 1)V. 2 1. 2 4. 2 3. 1.052.044.078,864. =. 1.144.212.332,258. 2 = 6.204.693.995,2144 2. =. 1.730.160.900,125. -. a. Assim, pela seçao 2.2.3 •• onde se observa. esta inversa é determinada numérica. forma algébrica de mente por: 0,639424. -0,886213. o. o. -o ,886213. 36,178974. -42,904413. o. -42,904413. 125,805251. -116,744265. -116,744265. 207,947817. o o. o Note-se que. seja:. Ew. ij. ij. =. =. 1/2 (abcd - 1),. ou. e igual à metade do total dos números de graus. de. Ew. 49,5. liberdade das somas de quadrados das quais as V sao x. estima-. -. . das, pois, explicam HATHEWAY & WILLIAMS (1958), se as varl.ancias nao são afetadas pelo tamanho da parcela, então todas as somas de quadrados servem para estimar a variância básica(V ). l As diferentes estimativas do logaritmo natural das variâncias obtidas das diferentes linhas da análise de variância são independentes e tem variância assintótica. igual a duaz vezes a. recíproca dos correspondentes números de graus de liberdade. Consequentemente, a informação de cada uma delas e. a. metade. do seu número de graus de liberdade e, portanto, a informação.

(57) 42. (de todas as estimativas do logaritmo natural das variâncias) e a metade do total dos números de graus de liberdade envolvidos. Na verdade, tâ implícito que. quando. Ew. ij. =. 1/2(abcd - 1),. es. a transformação logarítmica aplicada aos da-. dos foi de logaritmo natural. -1. matri~. e ao se calcular a. qui, embora o varox" de. Ao se usar logaritmos decimais. -. b. W. da maneira que se procede. continue com a mesma. a-. caracteriza-. çao, ou seja:. -. b. =. -u T. temos que a sua variância passa a ser: V(b). =. 1. =. 0,1886 T. -1. ,. 5,302 T. - os bem como também os verdadeiros pesos serao. w. ij. !Ilultipli-. cados por 5,302, uma vez que:. v! log. e. v!. ~. log. e. J. V! = J. (loglO e). 2. Considere agora a Tabela 5, que auxiliará nQ cálculo da estimativa 6.. no.

(58) 43. Tabela 5.. Tamanho de parcela e. var~anc~a. por área unitária (x e V),res x -. pectivos logaritmos e número de graus de liberdade associados (w) •. 1o g. V. x. x. 10. log. x = x'. V = y' 10 x. w. 1. 4.724,526364. O,. 3,674358. 99. 5. 2.764,102211. 0,698970. 3,441554. 19. 10. 2.077,244556. 1,000000. 3,317488. 9. 50. 588,245000. 1.,698970. 2,769558. 1. Pela tabela anterior, obtêm-se: a). L:w. x.' y. 1.. b. 1.. Usando ponderação pelos. z.:w. x.'. ,. 1.. 1.. L:w. = L:w • x 1.. .1. associados:. z.:w.y.'. 1.. 1.. GL. ~. ~. 1.. 0,374228. [L:W i xi' ] 2. 2. 1.. L:w.. 1.. L:w. x.' 1.. SQReg =. 2. ( z.:w. x.' ) 2 ~. 1.. 1.. l:w.. 2,335542 _ = ________. ( L:w. y.' ) 2. 2,424893. ______J -________________~~~--~. SQTotal. "L.w. y. , 2 1. 1. 1.. 1.. =. 0,963153. z.:w.. 1.. b) WILLIAMS. Usando a. ponderação proposta por HATHEWAY &. (1958), e seguindo a sua marcha de cálculo: b.l)X. J. 1. T'.

(59) 44.. =. X. 1. 0,639424(1,698970) + (-0,886213)(1,000000) 0,200149 (-0,886213) 0,698970) + 36,178974. X. (1,000000) +. 2 + (-42,904413)(0,699970). X. =. 4,684427. = (-42,904413)(1,000000) + (125,805251)(0,698970). 3 = 45-,029683. x. = (-116~744265) . 0,698970 = -81,600739. 4. L Xj. =-31,686480. b.2) Y. J. (0,639424)(2,769558) + (-0,886213)(3,317488) -1,169079 Y. (-0,886213)(2,769558) + 36,178974 .0,317488). 2. + (-42,904413)(3,441554) = Y. =. 3. (-42,904413)(3,317488) + (125,805251)(3,441554) + (-116,744265) 0,674358). Y =(...,.116,744265) 4. = EY. b. 3). 4. J. -30,088960. ==. 0,441554) +. = -138,329534 207,947817. 0,674358). 362,293033 192,705460. T. 0,200149 0,698970) + + 45,029683. =. 16,215377. 4,684427 _ (1,000000) + (-31 ,686480) 2 (0,698970) - - - - - - 49,5.

(60) 45. -. b. 4) U. =. Xl). í:X.Ey. =. EX.y. ~. ~. I. ~. ij Eí:w. ~. EX.í:Y. ~. ~. í:í:w ij. ~J. ~. ~. = '[.Y. x. I -. ij. Usando a última igualdade, vem: U = (-1,169079)(1,698970) + (-30,088960) (1,000000) + + (-138,329534) (0,698970) (~31,6a6480)(192,705460). 49,5 -5,496663. -u. ~. =. b.5) b =. 0,333424. T. ~. b. 6). s(b). =. t' 1886J T. 1/2. =. 0,107847. b.7) O desvio da regressão é testado da mane~ra a. segu~r:. 5,302. onde:. v. (2:Y. ) 2 ~ 2:Y. y.I .. i ~ ~ 2:2:w~J. 1 ,881118. ~J. Ass im: 2 _ U ) T. = 0,078384. •. 2. Xcalcu1ado- 2GL.

(61) 46. 2 o com Comparando o Xcalculado- 2GL 2 ..,. = O, 05 (Xtabelado 2 = Xtabelado- 2GL' ao n~vel (l. =. 5,99)~. conclui-se que os dados se ajus-. tam bem ã re lação linear. e, po r. ext ensão,. à lei empírica de SMITH (1938).. S,302(U2!T). SQReg. h.8) R2. 0,959710 .. =. =. S,302(V). SQTotal. Adotando a mesma relação de custos K /K2 1. =. 4,. de 2.2.2., vem: b = x-ot~mo .. =. 2 ,. b. 1. 2 e assim, o tamanho otimo de parcela, para este caso, é de 2 m . Comparando os. R2. obtidos com as duas ponder~. ções, observa-se que aquele obtido com a ponderação dos. GL. através. associados a cada ponto. é levemente superior àquele. obtido pela ponderação proposta por HATHEWAY & WILLIAMS(l958~ porém as propriedades deste último. -. (b = -U/T). -. sao. superio-. res, principalmente na variância mínima assintotica. Comparando a estimativa de. b. obtida pela me-. todologia de HATHEWAY & WILLIAMS (1958) com aquela obtida pe-. - = 0,33366. la metodologia de SMITH (1938), que resultaram em b e. S. =. 0,6323, calculadas. em. 2.2.4. e 2.2.2.,. respectivamente,. nota-se uma grande diferença entre elas, em razão dos diferen tes números de pontos. (4 e 15 pontos, respectivamente). que.

(62) 47. serviram de base para os cálculos das estimativas de. b,. po-. rêm a metodologia de HATHEWAY & WILLIAMS (1958) pode ser. ape~. pontos. feiçoada, de modo a conservar a maior quantidade de possíveis e nao prejudicar a estimativa de. b. resultante. da. sua aplicação. Outra razao para a diferença entre as estimati vas de. b. seria a. forma. das parcelas utilizadas nas. duas. metodologias: enquanto na metodologia de SMITH (1938) as formas variam de quadradas a. retangulares~. umas com a ma10r. di-. mensão no sentido das colunas e outras com a maior. dimensão. no sentido das linhas, na metodologia de HATHEWAY &. WILLIAMS. (1958), no exemplo em questao, as quatro formas de. parcelas. -. sao em sua ma10r1a retangulares (1 x 1, 1 x 5, 1 x 10, 5 x. 10~. com a maior dimensão no sentido das linhas, uniformizando, p~ ra mais, os valores dos mente a estimativa de. CV. b.. x. e V , x. diminuindo. consideravel-. Uma solução seria subdividir o en-. saio em branco em parcelas de formas variadas, observando. as. limitações da disposição das unidades básicas do ensaio. em. branco e do delineamento simulado. Observa-se que os quatro pontos da Tabela 5, tilizados na obtenção de estimativa de de HATHEWAY & WILLIAMS. (1958)~. b. pela. ~. metodologia. fazem parte, como nao. deixar de ser, do conjunto maior dos quinze pontos da. poderia Tabela. 4. Ao se usar apenas esses quatro pontos e a metodologia SMITH (1938), obt~m-se uma astimativa de b igual a:. de.

(63) 48. b = 0,3742 bem semelhante àquela obtida pela metodologia de. &. HATHEWAY. WILLIAMS (1958), e igual a: b = 0,3334 Vale ressaltar que a metodologia de HATHEWAY & WILLIAMS (1958) tende a diminuir o valor da estimativa de. b,. em relação à metodologia de SMITH (1938), porém não é verdade que ao se utilizar dessa metodologia obtenha-se, mente, estimativas de. b. necessaria-. menores que a unidade, como levam a. crer os autores, pois BRIM & MASON (1959) aplicaram essa metodologia e obtiveram estimativas de. b. superLores a unidade.. Há casos em que o desvio da regressao e significativo.. Nestes casos, explicam HATHEWAY & WILLIAMS (1958),. uma vez que dados relativos aos custos estejam disponíveis, o tamanho ótimo de parcela pode ser estimado com razoável preci sao. Para tanto, manho. dado por: C. onde. seja o custo de uma parcela de ta-. =. Kl + K2 x. sao os fatores de custos já definidos anterior. mente. seja. l/V. x. zarem parcelas de tamanho x,. a informação fornecida ao se utili então,. por unidade de informação é dado por:. r. I. o custo por parcela. e.

(64) 49.. c F(x). 1. vx A partir dos dados experimentais, ser determinada para alguns valores de mo e facilmente observável. respeito em 2.4.2.. M~todo. 2.3.. da. x,. e. pode. F(x). daí o. -. . Há um exemplo numer1.CO. seu. míni-. a. este. adiante.. M~xima. Curvatura Modificado. Com o intuito de livrar a determinação do pon-. -. . curvatura da dependência da escala dos e1.xos coor to de maX1.ma denados,. LESSMAN & ATKINS. (1963) propoem uma modificação. metodo da máxima curvatura,. baseados no metodo empirico. SMITH (1938), mais especificamente na equaçao geral. no de. daquele. metodo.. Com as constantes apropriadas, a equaçao. ge-. ral: a y x. b. define a relação entre a variância da produção por area unitã ria e tamanho de parcela em termos de unidades básicas 1938), ou seja:. Vx. =. (SMIT~.

(65) 50. Esta mesma equaçao geral define, também, a relação entre o coeficiente de variação e o tamanho de parcela, a'. quando as constantes apropriadas, digamos nhecidas.. e. b',. co-. sao. Isto é explicável, porque os coeficientes de varia. ção computados nos ensaios em branco sao dados por: (8 2 )1/2. cv x = onde 8. 2 x. __ x _ _ • 100 x. já foi definido em 2.2.1., e: x. = média da produção das parcelas de. uni-. x. dades básicas de tamanho, o que nao deixa de ser uma. medida. do tamanho da parcela, em termos de produção. As fórmulas de obtenção de. V. x. e CV. x. sao. da-. das por:. ,. vx mas. x. e uma medida do. nidades básicas, e. x. cv. x. tamanho. 100. 100. x. da parcela, em termos de u-. também é uma medida do tamanho da par-. cela, em termos de produção, o que leva a uma forte entre. x e x,. e entre. V. x. e CV , x. ção geral, dada anteriormente,. relação. justificando o uso da. para relacionar o. equ~. coeficiente. de variação e o tamanho da parcela, ou seja: aI CV. x. =. b' x. Estimados quadrados ponderados. a'. e b!. pelo método dos. (GL associados) determina-se a. .... .. m~n~mos. derivada.

(66) 51. de primeira ordem da função, (M). inclinação. e dela calcula-se a. da reta tangente para cada valor de. x.. o ângulo de intersecção entre duas retas gentes aos pontos tg. Xl e x 2. e. 11 =. 2. - 1'1. tan-. pode ser determinado através de: 1. 1 + H M l 2 As duas retas. tangentes com o maior ângulo. de. intersecção devem indicar a região de uma curva onde a taxa di recional de mudança na função é maior em relação a. x.. tos de. Esta região é determinada através de cálculos se-. qüenciais, onde os incrementos de. x. pecIfico do artigo de LESSMAN & ATKINS de. x. incremen-. são fixos. e, no caso e~. (1963), os incrementos. foram de um décimo de unidade básica. Com este ponto de máxima curvatura, LESSMAN. ATKINS. (1963) determinam o numero ótimo de unidades. &. básicas. (z), através de: z = (ponto de máxima curvatura). Kl. K 2 onde. Kl e K2. sao os fatores de custos dQ método de. SHITH. (1938) . Os autores afirmam que ao se proceder desta ma neira, chegar-se-ia a resultados comparáveis àqueles pelo método de SMITH (1938). obtidos. explicando que:. a) Os coeficientes de variação e as variâncias entre parcelas foram calculadas de um mesmo grupo de dados,.

(67) 52. b) A relação entre coeficiente de var1açao tamanho de parcela ~ similar" i. e. relação entre variincia da pr~. dução por área unitária e tamanho de parcela. Então, o ponto de máxima curvatura, em de. x,. termos. -. da expressa0: a. cv x =. t. l)T ,. x. -. nao deve ser independente do coeficiente de regressao. da. b. -. expressa0: a. vx. =1). x. Supondo que esta relação seja "direta e razoavelmente precisa", a melhor estimativa da região curvatura, em termos de. x,. da relação. cv x. = a'. de. Ix b'. -. . maX1ma deve. variar igualmente a: b (O < b. 1 -. < 1). b. nao dando, porem, maiores explicações. Segundo os autores,-se a relação for consisten te,. tal procedimento pode ser usado para detectar a. cia de erros no cálculo de. b. ocorren-. confirmató-. e como uma medida. ria do tamanho ótimo de parcela. A respeito. de~te fu~t6ddi. MEIRR. &. LESSMAN. (1971) escrevem que ao se determinar a regiao de máxima curva tura através de cálculos seqüenciais, com incrementos. fixos.

(68) 53. na variável. estar-se-ia cometendo um erro, p01s,a 1ncre-. x,. correspondem comprimentos. x. mentos fixos e sucessivos de. riáveis da curva, ou seja, LESSMAN & ATKINS. v~. (1963) ao determi. narem a região de máxima curvatura através da fórmula:. tg. e. =. x,. e incrementos fixos de. nao consideraram que a. curvatura. também é função do comprimento do arco considerado. MEIER & LESSMAN (1971). aconselh~m. tomar 1ncre-. mentos iguais ao longo da curva, e a curvatura em qualquer pan to da linha é, então, determinada por: y'. I. K. onde: K = curvatura da linha sao a. e y". y'. primeira e segunda derivadas da. função que define a linha. A'curvatura e maxima onde a derivada primeira de K em relação a. x. for igual a zero. Para a função:. a'. cv x. =. b ' x. o ponto de máxima curvatura,. x. c. =. x. c. ,. -. e dado por: -,1/(2b'+2). + 2)J.

(69) 54. MEIER & LESSHAN (1971). apos obterem t. uma f6rmula para. .. ot1.mo. -_. (xc. .. A. sao os fatores de custos propostos por. onde (1938),. dada por:. X6timo'. x.!.. xc' propoem. e. A. e a área da unidade básica.. Porém, a argument~. ção apresentada para justificar esta f6rmula de aparentemente,. SMITH. x.!.. •. otl.mo. foi,. insuficiente para sustentá-la, de modo que não. lhe será dada maior atenção.. 2.3.1. Exemplo ilustrativo. Do exemplo das Tabelas I la 6.. e 2, obt~m-se a Tabe-.

(70) 55. rabela 6. Tamanho (x) de parcelas e coeficientes de. (CV), e respectiVos logaritmos e liberdade associados,. de. um. ensa~o. ioz, adaptado de GOMEZ & GOMEZ x. CV. log. x. 10. x. =. n~mero. .. -. var~açao. de graus de. em branco com ar. (~984).. w. Xl. 1. 8,1942. 0,000000. 0,913507. 99. 2. 7,3192. 0,301030. 0,864464. !~. 2. 6,5724. 0,301030. 0,817724. 49. 4. 6,0975. 0,602060. 0,785152. 24. 5. 6,2676. 0,698970. 0,797102. 19. 5. 3,9035. 0,698970. 0,591454. 19. 10. 5,. 1~334. 1,000000. 0,735072. 9. 10. 2,0818. 1,00000 0. 0,318439. 9. 10. 5,6767. 1,00000 0. 0,754096. 9. 10. 3,6863. 1,00000 0. 0,566591. 9. 20. 5,4599. 1,30103 0. 0,737185. 4. 20. 1,6009. 1,301030. 0,204364. 4. 25. 3,4435. 1,39794 0. 0,537000. 3. 50. 2,8914. 1,698970. 0,461108. 1. 50. 2,0552. 1,69897. 0,312854. 1. °. Da Tabela 6, obtém-se: L:w.. =. L:w.. X. I. ~. ~. ~. 308. = 124,511240=>. x. pond. =. 0,404257. 9.

(71) 56. 'I~W. "'. 1.. X. 1.. ,2 =. 97,322466. = 8Lr,433432. L:w.1. x.' Yi ' ].. '\"'. L.W • 1.. Y1.. ' = 245,6 09557 => Ypond. = O, 7 9 7434. L:w . X.' L: w . y .' 1.. L:w.x.' y.' 1.. 1.. 1.. 1.. =. -b. 1. = 1.. 1.. 1.. =. 0,316167. (L:w.x.' )2. 2. L:W. X. I. 1.. Ew.1. ~. b'. 1.. ].. L:w.. 1.. ~. Y. -. pond. b. X. l. pOl1d. =. 0,925247. ~. b O => â'. =. 8 , 4 1 8 738. As s im:. 8,418738 CV. =. X. d CV. X. 0,316167 8,4187 38 .. X. dX. X. (-0,316167) =. 1,316167. -2,661727 =. X1 ,316167. Tabela 7. Detcrminacão do ponto de máxima curvatura da função CV x = 8,418738 . x- O ,316167, através de cálculos seqüenciais (LESSMAN & ATKINS, 1963).. X. M. 1 + M M 1 2. M2. -. M 1. to<:>. e. =. M 2. -. M 1. 1 + M M. 1 2. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5. -2,661727 -2,347925 -2,093864 -1, 884Lf 9 7 --1,709366 -1,560983. 7,2495 35 5,916236 4,9458 80 4,221295 3,668291. 0,313802 0,254061 0,209367 0,175131 0,148383. 0,043286 0,042943 0,042332 0,0 /-1-1488 J,040450.

(72) 57. Pela Tabela 7 percebe-se que a regiio de xl.ma curvatura" está situada entre. "mâ-. 1,0 < x < 1,1.. Apenas para fixar um valor,. tomando-se x "" 1,1. -. . curvatura e como ponto de maXlma. obtêm-se. -. . curvatura) z = (ponto de maXl.ma. =. 4,4 ,. ou seja, o tamanho ótimo de parcela, por este metodo, fica em torno de 4,4 m2 • Em 2.2.2.,. b. . equl.V. =. tem-se que:. 0,647. e entao: li. .. ___ e""C"q_~~ = 1,83 , 1 - b . equJ. v e comparando este valor com o ponto de máxima curvatura. =. (x "". 1,1), temos que a aproximação entre o ponto de máxima cur-. vatura e. b/(1-b). nao e tão boa quanto admitem LESSHAN & ATKINS. (1963) . Analisando melhor a relação. b < 1, nito,. b/(l-b),. onde. O <. verifica-se que a mesma assume valores entre O e infi enquanto que o ponto de máxima curvatura varia entre. unidade e o mal.or tamanho de- parcela possível de se obter. a no. ensaio em branco. Pelo metodo de MEIER & LESSMAN. x. .... crl.tl.CO. e o. I. x- . otl.mo. (1971). sao obtidos da maneira a seguir:. o.

(73) 58.. x. ... .. crl.tl.Co. [a' 2°b' 2 (2b'. =. + l)jCb. l. + 2 )]. 1 j (2b' +2)_=. ;;; 1',84.. ~'c. ,. x-otl.mo .. assumindo. K 1. =. 4. e. •. 2,71. ~ A A. 2 1m •. K2 Seja a Tabela 8, a dos três Qetodos. Tabela 8.. já abordados. segul.r,. resultados. com os. ate o momento.. -. . Resultados dos metodos da maXlma curvatura, de SMITH e máxima curvatura modificado. SMITH. Náxima curvatura. x. Original. Hodificado. ~áxima curvatura. modificado LESSM..AJ.'i. l''lEIER &. & ATKINS. LESSViAN. 1,10. 1,84. 4,40. 2,71. ..... crl.tl.CO. X-. .. otl.mo 15 pontos. 10,5 O. 7,33. b 15 pontos. 0,6323. b. -. . equl.V 15 pontos. 0,6470. b. 4 pontos. 0,3742.. bequiv (interp). 0,3336. 0,4224. 4 pontos. x-otl.mo . 4 pontos. 2,93. 2,00.

(74) 59. Pela Tabela 8 observa-se que, ao se utilizar pontos, o. x-. otlmo. varia de- 2,7lm. 2. .. 2. 15. -. a 10,5 m , nao havendo, a-. parentemente, uma equival~ncia entre os m~todos a este respe! m~todo. to, mesmo comparando o. de SMITH (l9J8) com o de LESSHAN. & ATKINS (1963), que, segundo estes autores, deveria. servir. resultados do m~todo de. de elemento confirmat6rio dos. SMITH. (1938) . Por~m, m~todo. fica a. informação do ponto crítico. de MEIER & LESSMAN (1971),. x. c. =. 1,84. do bási-. unidades. cas, que representa o ponto da curva a. t. cv x onde a. taxa de diminuição do Observa-se,. por HATHEWAY & WILLIAMS. CV. também,. (1958). tem malor desaceleração. que a metodologia proposta. reduziu o n~mero de pontos. 15 para 4, alterando substancialmente a estimativa de valor do. Xõtimo'. 2.4. Método de. b. de e. o. já comentado em 2.2.4 ... E.J.KOCH. & H.J.RIGNEY. KOCH & RIGNEY (1951) percebem. que as espera.!:.. ças matemáticas dos quadrados m~dios da análise de de alguns experimentos comuns. variância. (com efeitos de tratamentos). p~. dero ser relacionadas com as esperanças matemáticas da análise de variância de dados provenientes de um ensalO em branco, pe~.