Interpretação dos enunciados de problemas matemáticos : um estudo com alunos do sexto ano do ensino fundamental de uma escola pública do interior de Minas Gerais.

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Departamento de Educação Matemática – DEEMA Mestrado Profissional em Educação Matemática

INTERPRETAÇÃO DOS ENUNCIADOS DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS Um estudo com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do

interior de Minas Gerais.

Mestranda: Clarissa Alves de Oliveira Orientador: Plinio Cavalcanti Moreira

Ouro Preto 2018

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Um estudo com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do interior de Minas Gerais.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto, MG, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Educação Matemática.

Mestranda: Clarissa Alves de Oliveira Orientador: Plinio Cavalcanti Moreira

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Meu marido Icaro e meus filhos Gustavo e Felipe, por quem vivo.

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Agradeço a Deus, que está comigo em todos os momentos.

Agradeço ao meu marido Icaro pelo companheirismo e incentivo sempre.

Agradeço aos meus filhos Gustavo e Felipe, por todo amor, que me dá forças para seguir. Agradeço ao meu orientador Plinio, por todo apoio e ensinamentos.

Agradeço à minha mãe Esmênia e minha irmã Cristina e meu irmão Raul, por sempre me incentivarem.

Agradeço ao meu pai José Alves, que lá do céu, sei que está torcendo por mim.

Agradeço ao meu amigo Paulo, porque sem o seu imenso coração, esse trabalho não seria possível.

Agradeço aos amigos que fiz no mestrado e levarei para a vida: Vanessa, Pablo, Aline, Edmar e Bruno, por todos momentos vividos, apertos e risos.

Agradeço aos professores e colegas da UFOP, por compartilharem suas experiências. Agradeço aos professores da banca, Sarquis e Dilhermando, pelas valiosas colaborações. Agradeço à professora Amanda pelo imenso apoio.

Agradeço aos alunos participantes, professores e diretores da escola em que a pesquisa foi realizada, por toda colaboração.

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ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do interior de Minas Gerais

RESUMO

O presente trabalho vincula-se à linha de pesquisa Formação de Professores, Cultura e Ensino-Aprendizagem de Matemática do Mestrado Profissional em Educação Matemática da UFOP/MG. O objetivo da pesquisa é avaliar as contribuições que uma sequência de atividades relacionadas com a resolução de problemas pode oferecer para os processos de ensino e de aprendizagem da matemática na Educação Básica. As atividades foram elaboradas a partir do estudo de pesquisas científicas do campo da Educação Matemática sobre essa temática. Em termos dos procedimentos metodológicos, foram realizados testes de sondagem (no início e no final dos trabalhos) e, posteriormente, durante cerca de cinco semanas em sala de aula de sexto ano de uma escola pública de MG, trabalhamos um conjunto de atividades preparadas especialmente com o propósito de proporcionar o desenvolvimento da capacidade de leitura e interpretação de textos matemáticos, mais particularmente, de enunciados de problemas matemáticos. Como instrumentos de produção de dados foram utilizados: observação direta das aulas nas quais se desenvolveram as atividades propostas, diário de campo e gravação (em áudio e vídeo) das aulas realizadas durante o período de trabalho de campo, assim como registros das soluções dadas pelos alunos às questões propostas nas diferentes atividades durante o trabalho de campo, o qual se desenvolveu durante o período regular de aulas da escola. Os resultados mostram que, embora haja limitações de vários tipos e natureza, o conjunto de atividades proposto, considerando a prática escolar vigente atualmente no Brasil, pode contribuir de várias maneiras para o desenvolvimento da capacidade de interpretação dos enunciados de problemas matemáticos dos alunos do sexto ano do Ensino Fundamental, entre elas as seguintes: promover maior atenção na leitura dos enunciados, de modo a obter-se um entendimento matemático mais completo e preciso da situação-problema proposta; promover uma leitura mais crítica dos enunciados, de modo a ser capaz de avaliar a relevância ou irrelevância de cada um dos dados fornecidos; promover a consideração da possibilidade de que o problema dado tenha uma, nenhuma ou várias soluções; promover o reconhecimento e maior familiaridade com a linguagem própria da matemática escolar no que concerne a precisão das informações dadas nos enunciados de problemas matemáticos. A partir deste relato de pesquisa foi elaborado um Produto Educacional, visando divulgar, especialmente entre professores de matemática do segundo segmento do Ensino Fundamental, os resultados obtidos, assim como uma descrição e avaliação crítica da experiência desenvolvida nessa turma de sexto ano.

Palavras-chave: Educação Matemática, Resolução de Problemas; Linguagem Matemática; Interpretação de enunciados de problemas matemáticos.

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ABSTRACT

This research aims to evaluate what types of contributions a set of problem solving tasks may offer to the mathematics teaching and learning processes in school education. The proposed tasks were designed according to research findings we came across as the outcome of a review of the specialized literature in the field of Mathematics Education. As to the methodological procedures in applying the tasks, we worked for five weeks, in a real sixth grade school classroom, with 23 students, so as to expose them to situations that could help to develop the skills associated to adequately interpreting the texts usually met in school mathematics problem solving tasks. As the instruments of data production we used direct observation of the students in the classroom, a field diary, audio and video recordings, as well as the student’s written production along the work with the tasks. Results show that in spite of many constraints, the proposed set of tasks has contributed in various ways to the aims targeted by the project, such as: to promote greater attention in the reading of the problems texts, so as to get a better mathematics understanding of the situation described in the problem; to engender a critic reading of the problems so as to help the students consider the relevance or irrelevance of each one of the given data; to take into account the possibility that the given problem may have one, more than one or none solution; to foster familiarity with the school mathematical language as referred to the precision of the data given in the mathematics problems texts. We have also produced an “Educational Product” aiming to spread, among the schoolteachers, the results obtained in the investigation, as well as a description and a critic evaluation of the practice we have experienced as a sixth grade teacher along the work developed with the sixth grade students.

Key-words: Mathematics Education; Problem Solving; Mathematical Language; Interpreting school mathematics problems texts.

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Figura 1: Texto do exercício 1 do Bloco 1...23

Figura 2: Exercício 1 bloco 1, respostas dos itens a e b da aluna A7...25

Figura 3: Exercício 1 bloco 1, respostas a e b do aluno A9...25

Figura 4: Exercício 1 bloco 1, resposta de A8...26

Figura 5: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A9...26

Figura 13: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A7...30

Figura 14: Exercício 2 bloco 1, respostas da aluna A1...30

Figura 15: Exercício 2 bloco 1, respostas do aluno A17...31

Figura 16: Exercício 2 bloco 1, resposta das letras a e b do aluno A15...32

Figura 17: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A10...32

Figura 18: Trecho de “A casa sonolenta” (Napping House) de Audrey Wood...34

Figura 19: Exercício 4 bloco 1, resolução da aluna A18...34

Figura 21: Exercício 4 bloco 1, resolução do aluno A12...35

Figura 26: Exercício 5 bloco 1...37

Figura 31: Exercício 6 bloco 1, letra b...40

Figura 32: Exercício 6 bloco 1, letra b resolução de A6...40

Figura 33: Exercício 6 bloco 1, letra b, resolução de A13...40

Figura 34: Exercício 6 bloco 1, letra b, resolução de A17...41

Figura 35: Exercício 7 bloco 1, resolução de A12...42

Figura 36: Exercício 7 bloco 1, resolução de A5...43

Figura 40: Exercício 3 bloco 2, resolução da dupla A1 e A5...47

Figura 41: Exercício 3 bloco 2, resolução da dupla A20 e A21...48

Figura 43: Exercício 4 bloco 2, letra d, resolução da dupla A8 e A18...49

Figura 44: Instrução geral da atividade do bloco 3...50

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Figura 47: Construção do enunciado do Grupo 5 segundo Grupo 1...54

Figura 50: Construção do enunciado do Grupo 3 segundo o Grupo 2...55

Figura 54: Construção do enunciado do Grupo 4, segundo o Grupo 5...58

Figura 58: Bloco 4, resolução do Grupo 1...61

Figura 59: Bloco 4, representação do Grupo 7...63

Figura 60: Bloco 4, resolução do problema do Grupo 5...64

Figura 61: Bloco 4, resolução do problema do Grupo 3...65

Figura 62: Bloco 5...65

Figura 63: Bloco 5 – Resolução de A12...66

Figura 64: Bloco 5 – Resolução A17...67

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Quadro 1 - Análise da comparação entre as sondagens inicial e final...73

Quadro 2 - Resultado por aluno da comparação entre as sondagens...119

Quadro 3 - Análise dos desempenhos dos alunos no exercício 1 do bloco 1...126

Quadro 13 - Análise dos desempenhos dos alunos nas atividades do bloco 3...164

Quadro 14 - Análise dos desempenhos dos alunos nas atividades do bloco 4...168

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INTRODUÇÃO...7

CAPÍTULO 1...11

REVISÃO DE LITERATURA...11

1.1 Resolução de Problemas...11

1.2 Dificuldades usuais na resolução de problemas matemáticos...13

1.3 O que dizem as pesquisas sobre o tema...15

CAPÍTULO 2...20

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS...20

CAPÍTULO 3...23

OS DADOS E ALGUMAS OBSERVAÇÕES PRELIMINARES...23

3.1 Bloco 1...23 3.2 Bloco 2...44 3.3 Bloco 3...50 3.4 Bloco 4...59 3.5 Bloco 5...65 CAPÍTULO 4...70 ANÁLISE E RESULTADOS...70

4.1 Comparando os desempenhos nas sondagens...72

4.2 Desempenho nas atividades e na sondagem final: há correlação?...124

CONSIDERAÇÕES FINAIS...184

REFERÊNCIAS...187

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INTRODUÇÃO

Desde que comecei a lecionar matemática (aulas particulares), antes mesmo de iniciar a graduação (Licenciatura em Matemática), notava certa dificuldade dos alunos com a resolução de problemas. Pude perceber, ao longo do tempo, que uma parte dessa dificuldade se relacionava com a interpretação dos enunciados dos problemas. Mesmo que parecessem conhecer a matemática específica dos tópicos envolvidos nos problemas, alguns alunos não conseguiam resolvê-los, em alguns casos porque não conseguiam construir estratégias adequadas, em outros porque trabalhavam com uma compreensão confusa dos enunciados. Sempre me interessei pela língua portuguesa, mas durante os cinco anos em que permaneci trabalhando com aulas particulares, em sua maioria de matemática, acabei me afeiçoando a esta disciplina e decidi que minha graduação seria em Matemática (Licenciatura).

Durante o curso de graduação, me encantei ainda mais com a Matemática, porém a questão da dificuldade dos alunos na interpretação de textos matemáticos e, mais precisamente, dos enunciados dos problemas, ainda me inquietava. Fiz o curso de Licenciatura em Matemática na Universidade Federal de São João del Rei – UFSJ, depois fiz uma Especialização em Matemática, também na UFSJ, onde me iniciei na pesquisa em Educação Matemática. Desde então, carreguei comigo o sentimento de que precisava encontrar uma maneira de associar a língua portuguesa, a Matemática e a Educação e foi no Mestrado Profissional em Educação Matemática na Universidade Federal de Ouro Preto que vim a ter essa oportunidade. Após uma revisão inicial da literatura especializada na Resolução de Problemas, pude perceber que existe uma grande diversidade de pesquisas sobre esse assunto, algumas delas relacionadas especificamente com a dificuldade de compreensão dos enunciados dos problemas, mas ainda assim decidi desenvolver minha pesquisa de mestrado com o foco neste tema.

Um bom desempenho no que concerne à “Resolução de Problemas” é considerado um dos objetivos principais do ensino da Matemática na Educação Básica. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) a resolução de problemas é o ponto de partida para a atividade matemática, sendo que, ainda segundo este documento, o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos são expostos a situações desafiadoras e trabalham no sentido de desenvolver estratégias de solução dos problemas que se apresentam a partir dessas situações.

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Pozo e Echeverria (1998) também destacam a necessidade e a importância da resolução de problemas como conteúdo curricular da Educação Básica. Segundo eles:

Orientar o currículo para a solução de problemas significa procurar e planejar situações suficientemente abertas para induzir nos alunos uma busca e apropriação de estratégias adequadas não somente para darem respostas a perguntas escolares, como também às da realidade cotidiana (POZO E ECHEVERRIA, 1998, p.14).

De acordo com os PCN, os problemas não têm desempenhado, com o devido vigor, seu papel no ensino escolar. Na maioria das vezes são utilizados apenas como forma de aplicação de conhecimentos trabalhados anteriormente com os alunos:

[...] o saber matemático não se tem apresentado ao aluno como um conjunto de conceitos inter-relacionados, que lhes permite resolver um conjunto de problemas, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato e incompreensível. Nesse caso, a concepção de ensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno aprende por reprodução/imitação (Brasil, 1998, p.40).

Na mesma direção, Oliveira (2012), em uma análise de materiais didáticos para a escola básica, conclui que atividades de reprodução ou repetição de algoritmos se apresentam em grande número, enquanto situações desafiadoras aparecem em quantidade bastante reduzida.

Outra questão fundamental referida na literatura é a constatação de uma grande dificuldade de interpretação dos problemas pelos alunos, tornando-se, assim, rara e esporádica a utilização da resolução de problemas como meio de estimular a aprendizagem matemática. Brito e Oliveira (2008) destacam essa dificuldade de interpretação dos enunciados e a relacionam com o pouco hábito de leitura dos brasileiros. Além disso, segundo esses autores, o aluno não consegue transportar para a sala de aula as mesmas estratégias que utiliza para interpretar questões do seu cotidiano. Lorensatti concorda com Brito e Oliveira e afirma que “as mesmas operações realizadas no dia-a-dia, quando propostas por professores ou organizadas nos livros didáticos, por meio dos códigos matemático e linguístico, costumam se tornar verdadeiros enigmas” (LORENSATTI, 2009, p.89). Assim, “em situações de ensino de matemática é fundamental a mediação da Língua Materna que funciona como degrau natural na aprendizagem da escrita” (MACHADO, 1994, p. 135). Castro (2003) também considera que a ferramenta de trabalho mais importante do professor em sala de aula é a linguagem e que esta participa da construção do conhecimento matemático.

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Por outro lado, há que se considerar que a linguagem matemática não é “natural”, como é a língua materna em sua versão usual no interior dos diferentes grupamentos sociais. Esta última é aprendida num contexto social e familiar, intensiva e extensivamente, enquanto a linguagem matemática só é trabalhada em contextos particulares e específicos, normalmente tendo como base uma compreensão anterior da língua portuguesa “culta”. Além disso, embora tenham estruturas e elementos de precisão e de rigor bastante diferenciados, essas três categorias de linguagem (matemática, linguagem oral cotidiana dos alunos e língua portuguesa culta) são constituídas de muitas palavras em comum, em termos da pronúncia ou da escrita, mas que possuem distintos significados em cada uma delas. Assim, é muito possível que um professor, em sua fala em determinados momentos de suas aulas de matemática, esteja utilizando palavras e expressões com significados próprios da linguagem matemática e o aluno esteja tentando entender essa fala a partir dos significados usuais que essas mesmas palavras e expressões possuem na linguagem que utiliza no cotidiano ou mesmo na língua portuguesa culta. Isso pode ser um forte complicador no processo de ensino e aprendizagem matemática, especialmente no Ensino Fundamental. Parece importante, então, desenvolver uma atenção específica, na sala de aula de matemática, ao trânsito frequente entre linguagens, de modo que esse trânsito se incorpore ao processo de ensino. Além disso, é importante notar que os estudantes costumam ter dificuldade com a própria língua portuguesa culta, fazendo com que a construção, leitura e interpretação de textos não matemáticos no processo geral de escolarização também não sejam tarefas simples para muitos deles.

De acordo com Smole e Diniz (2001), o cuidado na elaboração dos problemas e o trabalho específico com a proposição de tarefas de interpretação de texto podem levar os alunos a ler os enunciados dos problemas matemáticos com mais autonomia e compreensão. Entretanto, é bom ter em mente que esses cuidados com a linguagem não implicam, na realidade atual da escola brasileira, uma subordinação, simplista e mecânica, da linguagem matemática e do português culto à linguagem oral cotidiana dos alunos. Acreditamos que isso não seria produtivo no processo de desenvolvimento da educação escolar nas condições vigentes nem seria de implementação viável como inciativa individual de alguns professores de matemática da escola básica. O que nos parece viável, neste momento histórico, é desenvolver um esforço didático-pedagógico no sentido de tornar acessível ao aluno a possibilidade de reconhecer o contexto

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adequado, dentro do processo de aprendizagem matemática escolar, em que devem ser interpretados os textos dos enunciados dos problemas matemáticos com os quais precisa lidar nesse processo. Assim, nossa pesquisa buscou avaliar as limitações e as potencialidades didáticas e pedagógicas de um conjunto de atividades em sala de aula (elaboradas a partir de nossa experiência profissional e de indicações feitas em estudos científicos já desenvolvidos sobre o tema). Avaliamos o trabalho didático com essas atividades em termos de seu potencial de promover avanços significativos no processo de compreensão, por parte de alunos do sexto ano da Educação Básica, dos enunciados dos problemas matemáticos escolares e, a partir daí, na construção de estratégias adequadas de resolução.

O presente relato está organizado em quatro capítulos, além desta Introdução, das Considerações Finais, das Referências e dos apêndices. No primeiro capítulo fazemos uma revisão da literatura que nos pareceu pertinente, comentando, abreviadamente, os trabalhos que auxiliaram no embasamento da pesquisa. No segundo capítulo, apresentamos os procedimentos metodológicos utilizados na estruturação e aplicação das atividades. No terceiro, descrevemos os dados da pesquisa obtidos a partir da realização das atividades em sala de aula e no quarto fazemos a análise desses dados, apresentando nossa resposta para a questão de pesquisa. Encerramos o texto com as Considerações Finais, em que situamos nossos resultados em relação à literatura específica sobre a temática trabalhada e apresentamos as conclusões que o trabalho permitiu extrair.

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CAPÍTULO 1

REVISÃO DE LITERATURA

Neste capítulo, tratamos da temática Resolução de Problemas no ensino da matemática, destacando as diferentes concepções que encontramos na literatura. Em seguida são abordadas algumas dificuldades identificadas no trabalho escolar com o tema. Finalmente mencionamos algumas questões referentes às relações entre a linguagem matemática, a linguagem oral cotidiana e o português culto, tendo como pano de fundo a interpretação de textos matemáticos. Apresentamos também os resultados de um levantamento das pesquisas sobre a temática geral de Resolução de Problema no ensino escolar feito a partir do Portal de teses e dissertações da CAPES.

1.1 Resolução de Problemas

Resolver problemas é uma prática intrínseca ao ser humano ao longo de sua existência. “A História da Matemática mostra que ela é proveniente de diferentes origens e contextos, motivada por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos) e por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia) ” (BRASIL, 1998, p.40). Segundo Kilpatrick e Stanic (1989), os problemas compõem os currículos de matemática desde a antiguidade, estando registrados em documentos milenares, como os papiros egípcios. Contudo, de acordo com esses autores, somente no início do século XX surge a preocupação com o uso da resolução de problemas como ferramenta de ensino de matemática. A abordagem da Resolução de Problemas começa a se destacar nos currículos escolares em meados do século XX, depois da publicação da obra A arte de Resolver Problemas, de G. Polya, em 1945. Machado (1987) vê a Resolução de Problemas como uma forte tendência dentro da Educação Matemática hoje, na medida em que expressa uma postura de educadores e professores engajados em rever suas metodologias de ensino da matemática na escola. Onuchic (2003) destaca que a Resolução de Problemas, como metodologia de ensino, pode contribuir para substituir a postura passiva, tradicionalmente imposta aos alunos, por uma atitude mais ativa e interessada frente ao aprendizado. Assim, a Resolução de Problemas tem sido trabalhada também como uma metodologia em que o problema é visto como um ponto de partida para a atividade matemática escolar.

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Através da resolução de problemas, o aluno pode desenvolver um tipo de habilidade que lhe proporciona autonomia para a aprendizagem. Supõe-se que, se tiver oportunidades, durante sua vida escolar, de matematizar diferentes situações-problema, poderá desenvolver experiência e capacidade específica para enfrentar e resolver problemas sociais mais gerais, eventualmente relevantes em seu dia a dia, e que sejam passíveis de uma abordagem matemática. Além disso, desenvolverá, evidentemente, sua capacidade de resolução de problemas matemáticos escolares. Enfim, teria adquirido condições de apreciar melhor a força e o sentido da matemática escolar, tanto na escola como fora dela.

Segundo os PCN (1997), um problema matemático demanda a realização de uma sequência de ações ou operações mentais para obter uma resposta ou resultado. Uma compreensão profunda da situação de onde emerge o problema permite ao aluno construir uma solução que, em princípio, não se encontra disponível. Resolver um problema pressupõe, portanto, que o aluno elabore uma ou várias estratégias de resolução, execute os procedimentos correspondentes, realizando simulações, tentativas, criticando e avaliando essas tentativas, formulando novas hipóteses, se for o caso. Posteriormente, é importante comparar seus próprios resultados com os de outros alunos engajados na resolução do mesmo problema, a fim de “validar” seus procedimentos. Dessa maneira,

[...] o aluno precisa ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, evidenciando uma concepção de ensino e de aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos (BRASIL, 1997, p.33).

Para Pozo (1998), um problema é uma situação nova onde não cabem procedimentos automáticos que permitem a solução de forma imediata, mas que exige um processo de reflexão e construção de uma sequência de passos a serem adequadamente realizados. Se a questão exige apenas a utilização de habilidades ou técnicas já aprendidas, o aluno está só exercitando uma técnica, realizando tarefas já conhecidas, não está efetivamente resolvendo um problema.

A literatura especializada costuma referir-se à temática que temos em foco sob dois aspectos complementares: a heurística da resolução de problemas e o ensino de matemática através da resolução de problemas. Sob o primeiro aspecto, destacam-se quatro passos fundamentais, indicados no clássico livro de Polya (1977): 1) a

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compreensão do enunciado do problema; 2) a concepção de um plano de resolução; 3) a execução do plano; 4) o exame retrospectivo da solução alcançada. Sob o segundo aspecto, o processo é trabalhado como uma metodologia de ensino em que o problema constitui um ponto inicial. Nesse caso, é importante que os problemas propostos estejam atrelados ao cotidiano do aluno e que possibilitem o seu desenvolvimento matemático, num exercício de reflexão a respeito da realidade que o cerca.

Dante (1988) identifica seis tipos de problemas matemáticos:

1. Exercícios de reconhecimento: têm o objetivo de testar se determinados conceitos ou propriedades foram aprendidos;

2. Exercícios de algoritmos: resolver operações diretamente solicitadas;

3. Problemas-padrão: o aluno precisa “traduzir” para a linguagem matemática para, então, produzir a solução;

4. Problemas-processo ou heurísticos: a resolução não pode ser encontrada utilizando apenas os dados fornecidos no enunciado, necessitando mobilizar conhecimentos específicos da situação-problema;

5. Problemas de aplicação: exigem o uso de conceitos, técnicas, procedimentos, domínio da linguagem, abstrações etc. para matematizar situações reais; 6. Problemas de quebra-cabeça: desafios que dependem, quase sempre, de um

ou mais “truques”.

Em nossa pesquisa, trataremos prioritariamente dos problemas-padrão, já que nosso principal interesse não é exercitar a resolução de problemas como metodologia de ensino de tópicos ou conceitos matemáticos específicos, e sim realizar um trabalho com a linguagem e interpretação de textos matemáticos, visando favorecer o desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas no sexto ano do Ensino Fundamental. Para uma maior efetividade no ensino e aprendizagem da matemática em geral, é importante que o aluno tenha uma adequada familiaridade com o texto matemático. Conforme comentado anteriormente, dificuldades com a linguagem matemática podem levar a interpretações errôneas e, consequentemente, a complicações na compreensão dos textos matemáticos ao longo da vida escolar. É nessa direção de desenvolvimento intelectual do aluno da escola que o nosso estudo pretende contribuir.

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Dentre as dificuldades encontradas diante de enunciados de problemas matemáticos, Freitas (2015) destaca o vocabulário limitado dos alunos. Tais dificuldades são mais ou menos naturais porque os alunos da escola, em geral, são ainda crianças ou adolescentes, e, portanto, estão, naturalmente, por desenvolver uma maior riqueza de vocabulário em função do correspondente desenvolvimento de sua experiência de vida em geral. Mas também, observa-se que, muitas vezes, as palavras utilizadas nesses enunciados não fazem parte do cotidiano de comunicação de ideias no seio das comunidades a que pertence uma grande parcela do alunado escolar. É importante destacar ainda que, além do pouco hábito de leitura dos brasileiros em geral, há também que se considerar a questão do pertencimento a classes sociais com maior ou menor acesso à “linguagem culta”, linguagem esta que é parte do capital simbólico e cultural normalmente implícito nos valores subjacentes ao processo de escolarização básica (Bourdieu, 2003). Entretanto, estudos indicam que tais limitações de acesso à linguagem culta podem ser, se não superadas, pelo menos amenizadas, com a utilização de estratégias de trabalho docente escolar que se concentrem especificamente na valorização da compreensão dos enunciados dos problemas matemáticos, a partir de suas particularidades discursivas. Tais pesquisas indicam que a compreensão bem-sucedida dos enunciados dos problemas depende da familiaridade com o gênero discursivo específico (enunciados de problemas matemáticos) e dos termos e expressões que neles se encontram, além da retenção das informações contidas nos problemas e da mobilização de conhecimentos prévios.

Para Wittgenstein “Ensinar uma linguagem [...] não é explicar, mas antes é adestrar” (WITTGENSTEIN, 2005, p.39). Normalmente, o indivíduo é inserido num ambiente em que se usam determinadas palavras, de modo que passa a entender o sentido dessas palavras através do uso. Ainda de acordo com Wittgenstein, não existe uma linguagem, mas sim linguagens, ou ainda, jogos de linguagem, com uma variedade de usos em diferentes situações. Na atividade matemática, recorremos aos jogos de linguagem, entre outras situações, na substituição de valores específicos numa fórmula, na execução de um algoritmo, na interpretação de gráficos, na interpretação dos enunciados dos problemas etc. Assim, na resolução de problemas, entendemos que não seria o trabalho com uma linguagem artificialmente “mais simples” que levaria necessariamente à superação, a médio prazo, das dificuldades de compreensão dos enunciados. Acreditamos que a produção de familiaridade com o texto padrão a partir

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de seu uso, tal como se apresenta no contexto escolar, poderia contribuir de modo mais efetivo, uma vez que, desta forma, o aluno adequar-se-ia, gradativamente, ao sistema padrão de comunicação das ideias matemáticas, bem como a um processo de reconhecimento do contexto em que os textos matemáticos são produzidos. Smole e Diniz (2001), por exemplo, afirmam que há necessidade de um trabalho pedagógico específico com o texto de problemas nas aulas de matemática. Fonseca e Cardoso (2005) também destacam a importância de um trabalho com os gêneros textuais. Segundo as autoras [...] é necessário conhecer as diferentes formas em que o conteúdo do texto pode ser escrito. Essas diferentes formas também constituem especificidades dos gêneros textuais próprios da matemática, cujo reconhecimento é fundamental para a atividade de leitura (FONSECA e CARDOSO, 2005, p.65).

1.3 O que dizem as pesquisas sobre o tema

Realizamos um levantamento de pesquisas feitas nos programas de pós-graduação brasileiros, considerando, prioritariamente, aspectos ligados à interpretação de textos e enunciados de problemas matemáticos. Nesse sentido, recorremos ao banco de teses e dissertações da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e à Biblioteca Digital de Teses e Dissertações do Instituto Brasileiro de Informação em Ciência e Tecnologia (IBICT), utilizando os seguintes conjuntos de palavras-chave: problemas matemáticos interpretação dificuldade, linguagem matemática interpretação dificuldade, problemas matemáticos linguagem, resolução de problemas interpretação, problemas matemáticos compreensão enunciados, problemas matemáticos enunciados. Foram localizadas 355 pesquisas e a partir das informações contidas nos resumos, foram selecionadas trinta produções que seriam de nosso interesse direto. Inicialmente, a seleção teve como critério: (a) que a pesquisa tivesse como objeto principal de estudo a dificuldade de interpretação dos enunciados de problemas matemáticos, (b) relações entre problemas matemáticos e linguagem e (c) utilização de problemas matemáticos no ensino escolar.

Das 30 pesquisas selecionadas, 03 são teses de doutorado e 27 dissertações de mestrado. Podemos agrupá-las em três categorias: 14 tratam da importância do trabalho com resolução de problemas para os processos de ensino e de aprendizagem da matemática, 5 versam sobre as estratégias cognitivas utilizadas pelos alunos durante a

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resolução dos problemas e 11 investigam a dificuldade de resolução dos problemas matemáticos, alguns focando diretamente a interpretação dos textos matemáticos, enquanto outros se ligam na compreensão do problema e na articulação dos dados com estratégias de solução.

Dentre as pesquisas que enfatizam a importância da Resolução de Problemas como metodologia de ensino, podemos citar Poffo (2011), Dantas (2011), Morais (2010), Comério (2012), Hoffman (2012), Alves (2006), Redling (2011), Oliveira (2012), Lima, (2012), Luna (2011), Müller (2015), Obst (2015), Lavigne (2015) e Feitosa (2015). Todos os autores acima mencionados concordam com Onuchic e Alevato a respeito da ideia geral de que ensinar matemática através da resolução de problemas desenvolve a capacidade do aluno de pensar matematicamente e de utilizar diferentes estratégias em diferentes problemas, melhora sua autoestima e confiança, reforçando ou construindo uma crença de que a matemática faz sentido. Poffo, por exemplo, constatou que

[...] os alunos utilizaram seus conhecimentos matemáticos como recursos para interpretar, analisar e resolver problemas em diversos contextos. [...] desenvolveram e aprimoraram sua capacidade de investigação e perseverança na busca de resultados para a solução das situações-problema trabalhadas... (POFFO, 2011, p.101).

Os estudos de Santiago (2011), Silva (2012), Lima (2007), Leite (2014) e Lima (2014) indicam, como já comentado, que há uma forte interação entre a linguagem matemática e a língua portuguesa quando se foca a compreensão dos enunciados dos problemas. Dentre outros aspectos, Lima (2014) comparou o uso de expressão oral e escrita, na descrição das resoluções de problemas por parte dos sujeitos de sua pesquisa, constatando que o registro oral é, em geral, mais rico do que o escrito e que a mediação do professor durante a atividade é fundamental para que o aluno avance.

Nas investigações sobre as dificuldades no aprendizado matemático, encontramos estudos voltados para a metodologia de ensino, para a linguagem matemática em geral e para os processos de resolução de problemas (Weber, 2012; Lorensatti, 2011; Moura, 2007; Ligeski, 2013; Rabelo, 1995; Albuquerque, 2007; Yamasaki, 2014; Araújo, 2015; Freitas, 2015; Loureiro, 2013; Pereira, 2015).

Pacheco (2000, apud Moura 2007) identificou em sua pesquisa alguns fatores que podem dificultar o trabalho docente com a resolução de problemas: a postura impaciente do professor, diante das dificuldades apresentadas pelos alunos; vocabulário

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utilizado nos enunciados dos problemas, inadequados à faixa de idade dos alunos; insegurança do professor, que leva muitas vezes a uma espécie de algoritmização da resolução através de passos a serem seguidos. Para Moura (2007), é preciso que o aluno consiga ativar esquemas, evocar conceitos e criar representações mentais a fim de que possa produzir soluções para um problema. Além disso, ainda segundo a autora, a verbalização deve ser trabalhada, já que algumas crianças podem não ter familiaridade com o conhecimento linguístico e conceitual necessário para entender a situação-problema apresentada. Brito et.al (1994) concordam que a leitura interpretativa é muito importante para se chegar à compreensão e resolução de um problema. Nesher e Teubal (1975, apud Moura, 2007) evidenciaram dificuldades de alguns estudantes em traduzir a formulação verbal dos problemas para a linguagem matemática correspondente. Os autores constataram que alguns alunos têm dificuldade em compreender o problema proposto, devido ao entendimento inadequado das palavras utilizadas no enunciado e do não reconhecimento das relações matemáticas associadas à situação descrita.

Para tentar minimizar as dificuldades de interpretação dos enunciados, Hoffman (2012) e Dantas (2011) utilizaram, em aulas de matemática, diversas técnicas de leitura de textos em diferentes gêneros discursivos, conseguindo perceber avanços na compreensão dos enunciados dos problemas matemáticos. Duarte et al. (2013) consideram a atividade com a linguagem matemática peça primordial para a compreensão dessa importante área do conhecimento. Os autores ainda destacam a relevância do papel do educador no sentido de facilitar a compreensão e, consequentemente, a aprendizagem dos alunos.

Podemos inferir que existe um consenso, na literatura científica especializada, em torno da ideia de se trabalhar a leitura e a escrita em matemática, ainda que não se consiga, tão frequentemente como seria desejável, colocar essa ideia em prática nas salas de aula da escola. Segundo Cagliari (2010), há uma tendência, entre os professores de matemática, de pensar que ler e compreender um texto é um problema que cabe ao professor de língua portuguesa resolver. Existe ainda uma crença amplamente acatada, embora muitas vezes não explicitada, de que a língua portuguesa e a matemática são disciplinas opostas. Smole e Diniz (2001) ressaltam que as habilidades de ler e escrever, por um lado, e resolver problemas, por outro, têm sido tratadas separadamente no ensino e que atribuir exclusivamente às aulas de língua portuguesa a responsabilidade de tornar os alunos competentes leitores e escritores distancia ainda mais a matemática do mundo

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real, pois ela passa a ser vista apenas reduzida ao trabalho com números e, muitas vezes, sem significado.

A importância da prática de leitura nas aulas de matemática, de acordo com Carrasco (2001), está centrada nas possibilidades que ela oferece para o aluno, através da imersão nos meandros de um texto, a oportunidade de extrair significados daquilo que se lê. Outro recurso importante, segundo Smole e Diniz (2001), é a oralidade, que deve ser utilizada para favorecer a aprendizagem da matemática na escola:

Estimulando esse falar, estamos permitindo que os alunos modifiquem conhecimentos prévios e construam novos significados para as ideias matemáticas. Dessa forma, simultaneamente, os alunos refletem sobre os conceitos e os procedimentos envolvidos na atividade proposta, apropriam-se deles, revisam o que não entenderam, ampliam o que compreenderam, e, ainda, explicitam suas dúvidas e dificuldades. (DINIZ; SMOLE, 2001, p.17)

A formulação de problemas, também é considerada importante atividade no desenvolvimento do ensino da matemática na escola. Para Medeiros e Santos,

[...] na Matemática, a atividade de formulação de problemas matemáticos é tão importante quanto a resolução de problemas. Ao passarmos à sala de aula, aquela atividade passa a ter, ainda, uma importância primordial para os alunos, uma vez que está associada à sua criatividade. Sob este ponto de vista, a formulação de problemas matemáticos constitui um rico potencial didático ...(MEDEIROS; SANTOS, 2007, p.88). Pozo (1998) aponta também algumas técnicas que, se exercitadas, ajudariam a avançar na compreensão dos enunciados de problemas matemáticos. Por exemplo: expressar o problema com suas próprias palavras; explicar aos colegas em que consiste o problema; representar o problema em diagramas, figuras etc.; indicar qual é a meta do problema; apontar onde reside a dificuldade da tarefa; separar os dados relevantes dos não relevantes; indicar os dados com os quais contamos para resolver a tarefa; indicar quais os dados que não estão presentes no enunciado, mas que são necessários para resolver a tarefa; procurar um problema semelhante e que já tenha sido resolvido; analisar inicialmente alguns exemplos concretos, quando o problema é muito geral; procurar diferentes situações (cenários, contextos, tarefas etc.) nas quais esse problema possa fazer sentido.

Machado (2009) propõe o desenvolvimento da capacidade de imaginação, como complemento à capacidade de contextualização. Segundo esse autor, precisamos saber lidar com problemas de nossa realidade, mas as abstrações matemáticas residem

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também no polo das extrapolações e da imaginação. E, nesse sentido, haveria uma relação natural entre a matemática e os contos de fadas, como também entre a matemática e a teatralização, esta última diretamente relacionada à imaginação vivida pelos atores na representação de personagens em histórias fictícias.

A proposta da nossa pesquisa é entender as possibilidades didáticas (e as limitações) de uma sequência de atividades de sala de aula, construída a partir das conclusões e indicações da literatura especializada, revisada acima de forma abreviada, e envolvendo leitura, escrita, formulação de problemas, narração de histórias, representação através de teatros/mímicas, uso de diagramas e desenhos para a construção de interpretações de enunciados e resolução de problemas matemáticos. Assim, a nossa questão de investigação pode ser formulada da seguinte maneira:

Como uma sequência de atividades, elaboradas a partir dos resultados de estudos e pesquisas sobre Resolução de Problemas, no campo da Educação Matemática, pode contribuir para o desenvolvimento da capacidade de interpretação dos enunciados de problemas matemáticos de alunos do sexto ano do Ensino Fundamental?

A decisão de desenvolver a pesquisa com alunos do sexto ano do Ensino Fundamental se deve ao fato de que, nessa etapa, os alunos estão em uma fase de transição do Ensino Fundamental I para o Fundamental II, em que se desenvolve ainda um processo de adaptação ao trabalho com professores específicos para cada disciplina e a um novo tipo de ambiente escolar. Acreditamos que um trabalho com a linguagem matemática possa ser de extrema importância nessa transição. Além disso, alunos do sexto ano podem estar um pouco mais familiarizados com certas expressões e jogos de linguagem do que em anos escolares anteriores, o que facilitaria, em princípio, a aceitação, o reconhecimento e o eventual domínio de um vocabulário diferenciado, pertencente especificamente à linguagem matemática.

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CAPÍTULO 2

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Construímos, em função das questões identificadas a partir da revisão de literatura, um conjunto de atividades didáticas para uso em sala de aula, envolvendo interpretação de enunciados: oralidade, formulação de problemas, descrições, encenações e mímicas. Trabalhamos essas atividades numa turma do 6° ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do interior de Minas Gerais. A turma era composta por 23 alunos, porém apenas 22 foram considerados participantes, já que um deles foi faltoso à maioria dos encontros. Para preservarmos a identidade dos alunos, os denominamos como A1, A2, A3, ..., A22. Na produção dos dados utilizamos o diário de campo com as observações da pesquisadora e os registros das atividades realizadas pelos alunos. Recorremos também ao auxílio de gravação (em áudio e vídeo) das aulas durante o período de campo.

As atividades foram desenvolvidas pela pesquisadora durante as aulas da professora de matemática regular da turma, que também auxiliou nos procedimentos de sala de aula. A realização das atividades foi feita em 18 encontros, perfazendo o total de 4,5 semanas, distribuídas em 3 meses, de março a junho de 2017. As atividades foram planejadas para cada grupo de encontros, sendo que no primeiro realizamos uma sondagem inicial, com o objetivo de situar as possíveis dificuldades dos alunos em relação à interpretação e resolução de problemas, bem como o de comparar com o desempenho desses alunos na sondagem final, após a realização das atividades planejadas.

A sondagem inicial constou de problemas variados envolvendo as quatro operações com os números naturais. Os problemas tinham características diferentes: alguns exigiam mais de um “passo” para sua resolução, outros demandavam alguma familiaridade com o raciocínio combinatório, havia problemas que exigiam o uso de operações sucessivas com números, problemas com mais de uma solução e também exercícios simples de resolução “direta”, a fim de permitir reconhecer o que os alunos já sabiam a respeito de certos elementos relacionados com as operações e seus algoritmos.

No segundo encontro, realizamos a discussão dos exercícios constantes da sondagem inicial. A discussão foi um procedimento realizado sempre depois de cada bloco de atividades e tinha a finalidade de permitir aos alunos avaliar a correção ou

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incorreção de suas estratégias, bem como as possíveis limitações, além de oferecer-lhes a possibilidade de expor e discutir as suas resoluções, proporcionando-nos um melhor entendimento das dificuldades enfrentadas por eles no desenvolvimento das atividades.

No terceiro encontro iniciamos o primeiro bloco de atividades. Elas abordavam a leitura e a escrita, bem como interpretação, descrição e formulação de problemas. Tais tarefas foram realizadas individualmente. Smole e Diniz (2001), Carrasco (2001), Fonseca e Cardoso (2005) dentre outros, afirmam que esses tipos de tarefa abrem possibilidades didáticas de superação de dificuldades relativas à compreensão do enunciado de problemas matemáticos. A formulação de problemas, para Dante (2009) e Medeiros e Santos (2007), caracteriza uma metodologia útil no sentido de exercitar a criatividade e de favorecer as percepções dos alunos a respeito da estrutura dos problemas matemáticos. No quarto encontro prosseguimos com as atividades do Bloco 1 e no encontro seguinte, fizemos a discussão.

O sexto e sétimo encontros foram utilizados para as atividades do Bloco 2, que envolviam leitura e interpretação de texto, problemas com “excesso” de dados (alguns dados irrelevantes), problemas com várias soluções e problemas sem solução. De acordo com Mandel (1994), os problemas sem solução permitem que os alunos relativizem criticamente suas limitações no entendimento do problema, a partir da percepção de que, em alguns casos, os dados fornecidos não permitem produzir uma solução válida, o que reforça a compreensão estrutural do problema (verificação das relações entre os dados e a pergunta). Além disso, o erro passa a ser visto, por muitos alunos, como uma possibilidade que transcende o simples conhecimento matemático e pode se localizar, de alguma forma, na própria formulação do problema (MANDEL, 1994). Esta atividade foi realizada em dupla. No oitavo encontro realizamos a discussão das tarefas constantes desse bloco.

O nono, décimo e décimo primeiro encontros foram utilizados no desenvolvimento das atividades do Bloco 3, que tratava de questões envolvendo a teatralização de situações-problema, encenações, mímicas e desenhos. Machado (2009), propõe as atividades de teatralização e mímica visando o desenvolvimento de diferentes formas de linguagem na comunicação de ideias, além de servir como exercícios concretos de aprofundamento, tanto da compreensão como da contextualização das ideias envolvidas nos enunciados. Os desenhos e diagramas são enfaticamente sugeridos por vários autores (e.g., Pozo, 1998), pois ajudam na compreensão e síntese dos textos

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dos enunciados. A atividade foi realizada em grupos de 4 pessoas e a discussão das tarefas desse bloco aconteceu simultaneamente com a execução da atividade.

No décimo segundo e décimo terceiro encontros realizamos as atividades do Bloco 4, que envolviam identificação de dados relevantes e irrelevantes em problemas matemáticos, baseadas nas técnicas propostas por Pozo (1998). A atividade foi realizada em duplas e a discussão, assim como no bloco anterior, foi realizada à medida em que as questões eram finalizadas pelos alunos.

Do décimo quarto ao décimo sexto encontro, trabalhamos o Bloco 5 que envolvia problemas com dois ou mais passos. Desenvolvemos nesse bloco novas atividades com formulação de problemas, de acordo com as sugestões de Dante (2009) e Medeiros e Santos (2007). No décimo sétimo encontro realizamos a discussão das tarefas do Bloco 5. Todas as tarefas envolviam, propositadamente, o trabalho com a oralidade, conforme indicam Smole e Diniz (2001).

O décimo oitavo e último encontro foi destinado à sondagem final, com atividades similares às da sondagem inicial, a fim de possibilitar algum tipo de comparação.

O conjunto de questões compondo cada uma das atividades está mostrado nos APÊNDICES, ao final deste texto.

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CAPÍTULO 3

OS DADOS E ALGUMAS OBSERVAÇÕES PRELIMINARES

Apresentamos os dados juntamente com a descrição da realização das atividades, separadas por blocos, comentando, no mesmo movimento, os registros e a participação dos alunos.

3.1 Bloco 1

Foram realizadas, em 3 encontros, as atividades do bloco 1, que abordam leitura, escrita, interpretação, descrição e formulação de problemas, desenvolvidas individualmente. Os dois primeiros encontros foram destinados à realização das atividades pelos alunos e no terceiro foi feita a discussão geral.

No primeiro dia trabalhamos leitura, escrita, interpretação e descrição. Pedi aos alunos que lessem com atenção o texto “Tão visível e vivenciada quanto despercebida” para depois responderem algumas questões relacionadas ao texto lido.

Figura 1: Texto do exercício 1 do Bloco 1

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Ao final do texto, seguiam-se cinco perguntas:

a) Você gostou do texto? Por quê?

b) Podemos afirmar que esse texto é um poema? Por quê?

c) Você acha que a matemática está presente na sua vida? De que forma? d) “Nos sólidos geométricos,

Das rochas a beira mar,”

Por que o autor classificou as rochas como sólidos geométricos?

e) Associe alguns elementos citados no texto a figuras geométricas que você conhece.

Comentários da pesquisadora: A7, uma aluna que costuma conversar e brincar muito durante as aulas e geralmente participa pouco das atividades, perguntou: professora, o que é “ambrolhos”? (Referia à palavra “abrolhos”, do texto). Em outro momento a mesma A7 pergunta, em voz alta: “professora, porque esse texto é um poema?” (talvez querendo obter a resposta para a pergunta da letra b) e A17 responde: “porque ele rima”.

Comparando o registro na folha de respostas com o que foi dito em sala durante as atividades, pode-se conjecturar que A7 não fez uma leitura atenta do texto. Perguntar o significado de “ambrolhos”, quando está escrito abrolhos no texto é uma indicação dessa possível desatenção na leitura, num sentido estrito (a grafia da palavra). Por outro lado, nas respostas apresentadas na figura 2 abaixo, quando perguntada se gostou do texto, A7 responde simplesmente “As rimas” e explica: “Porque combina”. Essa é outra indicação de desatenção na leitura, agora no sentido semântico, ou seja, a resposta não parece ter sido construída para a pergunta efetivamente formulada. Talvez pudesse constituir uma resposta adequada para uma pergunta do tipo “O que você gostou no texto?”. Destacamos esse ponto por sua importância crucial na interpretação de textos matemáticos, como referido recorrentemente na literatura que trata dessa temática, especialmente na resolução de problemas. Um problema matemático, na escola, quase sempre termina com uma pergunta, cuja resposta deve ser construída a partir do que foi dado no enunciado. Assim, fica muito difícil, se não impossível, produzir estratégias adequadas para a resolução do problema, se a pergunta não é muito bem compreendida.

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Figura 2: Exercício 1 bloco 1, respostas dos itens a e b da aluna A7

Fonte: Dados da pesquisa.

As respostas para a pergunta da letra a) indicam que a maioria dos alunos gostou do texto e soube expressar a razão que os levou a gostar. Eis algumas das razões apresentadas: “Sim, porque a mensagem é boa”, “Sim, porque é muito criativo”, “Sim, porque fala da importância da geometria”, “Sim, porque gosto de poemas”. Embora as frases sejam curtas e pouco elaboradas em termos das ideias expressas no texto, estão bem construídas, objetivas e adequadas, como respostas possíveis à pergunta formulada. Durante a atividade em sala, perguntei aos alunos se haviam gostado do texto. A9 respondeu que não. Em seu registro, fica confirmada essa negativa:

Figura 3: Exercício 1 bloco 1, respostas a e b do aluno A9

A9 afirma que o texto é um poema “porque ele tem muitos parágrafos”. Como diz não gostar de poemas na letra a), pode-se inferir que este aluno não gosta de textos com muitos parágrafos. Vários alunos responderam da mesma forma, embora, ao contrário de A9, tenham gostado do texto. Outros citaram a existência das rimas, dica dada em voz alta por A17. A8 diz que é “porque ele tem as frases bem curtas”.

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Figura 4: Exercício 1 bloco 1, resposta de A8 Na letra c) perguntava-se:

c) Você acha que a matemática está presente na sua vida? De que forma? Fonte: Dados da pesquisa.

A8 cita como exemplo o café da manhã, quando utiliza meia xícara de leite e “a outra de café”, referindo-se provavelmente à outra metade, de modo a associar a situação com o uso das frações.

Muitos alunos deram exemplos do cotidiano, como a expressão numérica da quantidade de roupas, frutas, sapatos e também “pela soma de dinheiro que nós vamos dar para comprar um pão na padaria”, conforme registro de A18. Alguns mencionaram as formas geométricas, como quadros e cadernos retangulares etc.

A9 também cita a utilização do dinheiro no cotidiano:

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Podemos perceber uma dificuldade com a escrita e a expressão das ideias. As palavras “condo”, “vomo”, “pissaria”, “lachonete”, “soma” (no lugar de somar) compõem uma frase que, além das falhas gramaticais, não se finaliza adequadamente, remetendo o leitor a não mais que uma conjectura do que se pretendia dizer. Esse tipo de dificuldade na expressão de ideias por escrito pode facilmente se reverter para a leitura, comprometendo a compreensão de um texto em que a precisão do significado das sentenças tem um sentido fundamental, como nos enunciados de problemas matemáticos.

A3 responde a pergunta da letra c) conforme figura abaixo.

Figura 6: Exercício 1 bloco 1, resposta do aluno A3

Neste caso também, não se pode saber exatamente a que A3 se refere. Pode ser que esteja associando a matemática à resolução de problemas da “vida real”, mas poderia estar se referindo a seus próprios problemas com a matemática, na escola.

Nas respostas à pergunta da letra d), temos diferentes registros parecidos com o de A1, mostrado na figura abaixo.

Como destacamos acima, alguns alunos responderam como A1, procurando justificar a classificação do autor com argumentos de ‘figuras planas e não-planas’. No

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caso de A1, se trocarmos a expressão figura geométrica por sólidos geométricos a resposta fica bastante razoável (desconsiderando a gramática, no que tange à concordância). Outras respostas semelhantes registradas foram: “Porque a rocha tem um formato parecido com várias figuras geométricas”, “Porque cada uma delas tem seu tamanho e formato”, “Porque eles tem o mesmo formato”.

Também há registros parecidos com o de A6, em que fica claro o entendimento de que um sólido tem 3 dimensões.

Outros, como A17 e A11, justificaram a classificação do autor pelo formato das rochas serem o de sólidos curvilíneos, como se pode ver nas figuras abaixo.

De um modo geral, os alunos parecem ter entendido a pergunta, ainda que nem todas as respostas tenham sido matematicamente corretas.

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Na letra e), pedia-se para associar elementos do texto com figuras geométricas que eles conheciam. A maioria dos alunos, como A12, desenhou figuras espaciais ou planas, colocando os respectivos nomes, mas não fizeram a associação solicitada com os elementos do texto, o que sugere que podem não saber o significado da palavra associar ou que não viram necessidade de explicitar os elementos do texto associados às figuras desenhadas. Ou, ainda, que fizeram uma leitura rápida, passando a responder a pergunta sem uma releitura do texto e/ou da própria pergunta que procuravam responder. No entanto, como foi explicado o significado de ‘associar’, quando da apresentação da atividade aos alunos, talvez seja razoável concluir que a dificuldade esteja na execução efetiva da associação pedida e menos no significado da palavra. Por outro lado, observamos que não foi pedido que explicitassem os elementos do texto associados às figuras geométricas, o que pode dar margem a um entendimento de que era necessário listar apenas as figuras geométricas que o aluno conhece, supondo-se uma referência implícita a certos elementos do texto, como no caso da resposta de A12, mostrada abaixo.

Na tarefa de número 2, houve dúvida geral sobre o que deveriam fazer. O enunciado era:

2) Em cada caso desenhe a figura geométrica pedida e escreva uma frase (ou mais de uma) que descreva suas características essenciais.

a) Desenhe um retângulo Descrição

b) Desenhe um triângulo Descrição

c) Desenhe um quadrado Descrição

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A3 perguntou o que poderia escrever na descrição, talvez por não saber atribuir um significado a ‘características essenciais’.

A maioria dos alunos demonstra confundir figuras planas com espaciais. A3 desenha um retângulo e diz que tem 6 lados. Talvez esteja contando com as “faces” do retângulo (frente e verso), por exemplo.

Devido ao grande número de dúvidas nessa questão, expliquei que as características essenciais precisam identificar a figura, frente a outras. Que explicassem o que faz o triângulo ser triângulo e o que faz o quadrado ser quadrado, o que os diferencia das outras figuras.

A7 escreveu “uma caixa de sapato”, e desenhou uma figura espacial que é formada de faces retangulares.

Figura 13: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A7

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Figura 14: Exercício 2 bloco 1, respostas da aluna A1

A1 desenhou duas figuras e descreveu que é plano, mas “...se você juntar as formas se forma não plano...” Na letra b, ela descreve o triângulo como “formado por 3 faces”. A1 parece estar confundindo faces com lados, além de mostrar certa confusão na distinção entre figuras planas e espaciais. São várias as indicações de uso de uma linguagem pouco precisa nas respostas a essas questões. Isso pode complicar bastante o entendimento de enunciados de problemas matemáticos, não apenas pela linguagem imprecisa, mas também pela falta de clareza nos conceitos.

A17 descreve e exemplifica, talvez pensando ainda na associação da tarefa anterior.

Figura 15: Exercício 2 bloco 1, respostas do aluno A17

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A15, quando diz que “seus lados não são idênticos”, parece estar tentando diferenciar o retângulo do quadrado. No entanto, percebe-se que não concebe a figura numa posição em que os lados maiores estejam na vertical. Como este aluno pensaria um retângulo com os lados maiores transversalmente colocados em relação à vertical? Será que conseguiria aceitar que um quadrado é um retângulo? Num determinado problema, isso pode ser importante. Entretanto, essas classificações encaixantes (todo quadrado é um retângulo, todo retângulo é um paralelogramo etc.) podem ser bastante artificiais, considerando-se que, na linguagem natural, não se pensa um quadrado como um retângulo, por exemplo. Quadrado é quadrado e retângulo é retângulo. A lógica de uma classificação encaixante precisa ser fortemente trabalhada. Ver figura 16 abaixo.

Figura 16: Exercício 2 bloco 1, resposta das letras a e b do aluno A15

A10 apresentou uma descrição de círculo que poderia se aplicar igualmente à esfera. Além disso, não parece fazer sentido para qualquer figura plana. Nenhuma figura plana “pararia em pé”, exatamente por ser plana e não possuir uma dimensão que lhe permitiria parar em “pé” (o apoio teria que ter três dimensões). Ver figura 17, abaixo.

Figura 17: Exercício 2 bloco 1, resposta da aluna A10

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É muito importante, em termos da pesquisa, observar as dúvidas e eventuais incorreções manifestadas pelos alunos, as quais se referem não apenas ao conhecimento matemático em si, mas muitas vezes, e de modo fundamental, às interpretações das perguntas e, consequentemente, ao encaminhamento da construção das respostas. Limitações no vocabulário, tanto para se expressar como para entender o que se pede, ficam claras nas respostas a esta questão. Por outro lado, a percepção dessas limitações só se torna possível com a análise das respostas às questões da atividade. É claro que em algum momento é preciso que o aluno da escola entenda o que significa a expressão “propriedades que caracterizam” certa figura geométrica, mas parece que não basta que o professor explique. É preciso vivenciar situações em que o significado dessa expressão tenha um papel importante, como, por exemplo, nessa questão 2. Além disso, pode-se notar ainda quão crucial para o desenvolvimento matemático dos alunos é o professor não se restringir à matemática em si, na discussão das respostas apresentadas. Mais do que conhecer ou vir a conhecer o que caracteriza matematicamente um retângulo, por exemplo, talvez seja o aluno desenvolver uma reflexão e um eventual entendimento do que significa, dentro do seu processo de aprender a matemática escolar, características de uma figura. Entender que não se trata de apenas dizer propriedades que uma determinada figura possui, mas perceber as propriedades que, em seu conjunto, a distinguem de qualquer outra. É claro que isso envolve muita matemática, em si, mas é importante notar que na discussão, em uma sala de sexto ano, daquilo que caracteriza uma dada figura geométrica, correm inseparáveis as ideias estritamente matemáticas e a busca de uma precisão no uso e na interpretação da linguagem, adequando-se esses dois aspectos, ao estágio de escolaridade dos alunos. Por exemplo: as respostas de A3 e A7 à tarefa 2 do bloco 1 que foram descritas acima nas figuras 12 e 13 respectivamente, mostram que ambos têm noção do que seja um retângulo. Porém, muitas vezes é preciso ir além de uma noção vaga, embora isso não signifique necessariamente tentar alcançar precocemente (isto é, sem um contato suficientemente familiar com o objeto) as definições formais que podem ser em certos casos até impossíveis de serem trabalhadas em determinado estágio do processo de escolarização. Achar o ponto de equilíbrio, em cada caso, precisa ser uma preocupação constante do professor. É bem provável que não haja regras gerais, quanto a este ponto.

No encontro seguinte, prosseguimos com a realização das atividades do bloco 1, que envolviam interpretação de texto e formulação de problemas.

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No primeiro exercício, foi exposto um cartaz cujo texto os alunos foram solicitados a reproduzir, depois de visualizá-lo por 5 minutos. Foi pedido que deixassem as folhas das atividades viradas para baixo. Colei o cartaz no quadro e eles começaram a ler imediatamente.

O cartaz ficou exposto durante o tempo pré-determinado, quando, então, foi retirado. Pedi que virassem a folha de atividades e disse que deveriam recontar o texto com suas próprias palavras. Mais precisamente, o pedido era assim: 4) Reconte, com suas palavras, o trecho do texto que lhes foi apresentado. Eles pediram diversas vezes, reclamando muito, para que eu retornasse com o cartaz. Respondi que não seria possível e pedi novamente que escrevessem com suas palavras o que lembravam do texto. A intenção da atividade era exercitar a memória de leitura deles (sentido e enredo do texto do cartaz), além de perceber como estaria seu vocabulário na reprodução do que haviam apreendido.

Figura 18: Trecho de “A casa sonolenta” (Napping House) de Audrey Wood

Fonte: Fábulas e Contos (2013)

Um aluno disse que se lembrava do cachorro apenas. Outro aluno disse: o cachorro estava dormindo! Alguns disseram: na barriga da avó! E assim foram desenvolvendo suas atividades. Nos registros das atividades, encontramos três categorias de reproduções do texto. Sete alunos reproduziram com mais detalhes, conforme registro de A18 abaixo.