Inicialmente traçamos um breve perfil de cada um dos alunos participantes e, em seguida, comparamos seus respectivos desempenhos nas sondagens inicial e final. Para facilitar a leitura e eventual retorno aos dados mais relevantes de qualquer dos participantes, decidimos apresentar um quadro para cada aluno(a), sintetizando a análise desenvolvida na comparação. Ao final desta seção, apresentamos um quadro geral com informações sobre o desempenho de todos os participantes e, logo em seguida, as conclusões a que chegamos nesta etapa da análise. Na seção seguinte, cotejamos os desempenhos dos participantes ao longo das atividades com o desempenho correspondente na sondagem final.
Os desempenhos nas sondagens foram avaliados a partir de um critério que foca especificamente a interpretação dos enunciados. Assim, mesmo quando um aluno não tenha conseguido chegar às soluções corretas de alguns problemas, mas os aspectos observados por nós evidenciaram a compreensão, parcial ou completa do que era pedido nos problemas (e.g., o tipo de operação armada pelo aluno, as respostas dadas etc.), o desempenho pode ter sido considerado bom. Desse modo, consideramos como corretas as questões que julgamos corretamente interpretadas, mas nem sempre com a resposta matematicamente esperada.
Embora a avaliação de desempenho nas sondagens tenha sido de caráter qualitativo, com o foco na interpretação dos enunciados, decidimos atribuir pontos a cada questão de cada uma das sondagens, a fim de assegurar maior precisão nos registros e facilitar a comparação. E estabelecemos o seguinte critério para nomear os desempenhos em cada sondagem: um desempenho correspondente a até 59% do total dos pontos de uma sondagem foi considerado fraco; de 60 a 79% foi considerado regular e de 80 a 100%, consideramos um forte desempenho. Insistimos em destacar que as avaliações foram essencialmente qualitativas e as pontuações serviram apenas para nos guiar nos fundamentos da comparação e evitar a necessidade de uma descrição alongada das avaliações para cada questão, permitindo-nos retornar eventualmente a cada uma delas e compará-las de modo rápido e eficiente. Enfim, a decisão pela pontuação adequada em cada questão exige muita reflexão, mas uma vez realizada, a pontuação ajuda a abreviar o prosseguimento do processo de comparação.
Cabe ainda ressaltar que houve um espaço de tempo de aproximadamente 3 meses entre as duas sondagens, que foi o período em que as diversas atividades foram trabalhadas. Por isso, não nos preocupou o fato de haver, nas duas sondagens, problemas semelhantes, pois a nosso ver, seria impossível relembrar a solução de cada um deles na sondagem final, sem havê-la compreendido bem, na sondagem inicial.
Abaixo, apresentamos um quadro comparativo com os enunciados dos problemas semelhantes das sondagens inicial e final, bem como a maneira como cada aluno interpretou e resolveu. Logo abaixo das soluções dadas pelos alunos, vêm nossos comentários. Alguns problemas foram omitidos, dependendo do aluno, mas todos foram analisados, segundo o critério mencionado acima. Aqui apresentamos apenas uma mostra do que consideramos mais interessante, em termos da análise desenvolvida.
Quadro 1 - Análise da comparação entre as sondagens inicial e final
A1: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondo suas resoluções e discutindo com os colegas.
Sondagem inicial Sondagem final
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operações sucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foi mandada pelos netos e as outras rosas pelos filhos. Quantas rosas os filhos mandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses, 11 foram resgatados nas ruas e os outros foram deixados em sua porta. Quantos cães a mais foram deixados em sua porta em relação à quantidade dos que foram resgatados?
Nesse caso, A1 realizou a divisão de 36 por 12, mostrando uma compreensão equivocada do que o problema pedia.
Aqui A1 interpreta e resolve corretamente o problema.
Os problemas j e i envolvem noção de proporção. João tem 13 carrinhos e Carlos tem
52. Quantas vezes mais carrinhos que João Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48. Quantas vezes mais dinheiro o irmão tem em relação a Kelly?
A1 fez uma interpretação aditiva da comparação entre o número de carrinhos de João e Carlos (quantos carrinhos a mais), quando o problema demandava uma interpretação multiplicativa (quantas vezes mais
A1 realiza a divisão, percebendo a diferença entre ‘quanto a mais’ e ‘ quantas vezes mais’, (ainda que tenha respondido “4 vezes a mais”).
carrinhos).
Os problemas abaixo k e g, são problemas que admitem mais de uma solução. Eu e você temos, juntos, 120 reais.
Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas, quantas figurinhas tem cada um?
Ao dividir 120 por 2, A1 supõe que cada amabas as pessoas têm a mesma quantidade, o que não é dado do problema. Parece pressupor que todo problema matemático tenha uma e somente uma solução.
No problema equivalente da sondagem final, A1 responde demonstrando senso crítico, observando que o problema “(...) não fala que eles têm a mesma quantidade”, admitindo, assim, a possibilidade de insuficiência de dados para determinar uma única solução
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e em seguida uma adição.
Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anos a menos que Maria. Se Margarida tem 7 anos a mais que Joana, quantos anos Margarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos a menos que Victor. Se João tem 8 anos a mais do que Igor, quantos anos João tem?
Esses são problemas que envolvem operações sucessivas. A1 realiza duas adições, sem perceber, talvez por falta de atenção ou por não ter o hábito da releitura, que a primeira deveria ser uma subtração.
No problema equivalente da sondagem final, A1 parece ter tido mais atenção na leitura do problema. Além disso, como podemos observar neste caso e em outros, A1 não apenas circula o número (como fez reiteradamente na sondagem inicial), mas enuncia de modo claro sua resposta, demonstrando maior objetividade e organização na comunicação de ideias. Os problemas abaixo envolvem três passos com raciocínio aditivo e multiplicativo. Júlia e sua prima Joana compraram
108 caixas de bombom (todas de mesmo preço) e pagaram R$ 216,00 no total. Deste valor, Joana pagou R$ 126,00 pelas suas caixas. Quantas caixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos de vídeo game (todos de mesmo preço) e pagaram o total de R$ 45,00. Desse valor, Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos. Quantos jogos são do Sandro?
Aqui A1 parece ter tido dificuldade na resolução. Há sinais de ter desmanchado algumas vezes o que tinha escrito. Além disso, a operação que origina 90 não aparece (seria a subtração 216 – 126). Porém consegue chegar no resultado correto.
No problema equivalente na sondagem final, A1 parece não ter percebido que a resposta que deu era para a quantidade de jogos de Diego. Apesar de uma maior organização na resolução, apresentou uma resposta incorreta, não tendo verificado se o número que encontrou respondia a pergunta do problema.
A2: Demonstrou certo interesse nas atividades em que participou, procurando tirar dúvidas e expor suas soluções. Apresentou grande dificuldade na matemática já trabalhada em anos anteriores e, além disso faltou frequentemente às aulas.
Sondagem inicial Sondagem final
O exercício abaixo é de resolução direta, aplicado para verificar o desempenho dos alunos em relação a conteúdos básicos, como as quatro operações fundamentais. Calcule quanto dá 144 dividido por
18.
Nesse exercício podemos verificar que A2 teve dificuldade com a divisão.
Aqui A2 consegue realizar o cálculo.
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operações sucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foi mandada pelos netos e as outras rosas pelos filhos. Quantas rosas os filhos mandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses, 11 foram resgatados nas ruas e os outros foram deixados em sua porta. Quantos cães a mais foram deixados em sua porta em relação à quantidade dos que foram resgatados?
Nesse problema A2 realiza apenas o primeiro passo. Podemos inferir que a dificuldade aqui está na interpretação, pois ela parece entender a pergunta como ‘quantas rosas foram enviadas pelos filhos?’
Aqui A2 também realiza apenas o primeiro passo. Analogamente ao problema equivalente da sondagem inicial, A2 interpreta equivocadamente a pergunta do problema. Talvez tenha feito leitura rápida, sem atenção. Parece não ter evoluído significativamente, neste sentido, ao longo das atividades.
Os problemas que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição e multiplicação.
Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo, ganhou 2 figurinhas de cada um de seus 6 colegas e, depois comprou mais 10 figurinhas. Com quantas figurinhas Beto ficou?
Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo, ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5 colegas e, depois comprou mais 6 figurinhas. Com quantas figurinhas Bruna ficou?
Aqui A2 troca o número 23 por 32, apesar de ter realizado mentalmente a multiplicação de 6 por 2. De novo, há indícios de uma leitura rápida, sem
Nesse problema equivalente, A2 organiza melhor os dados e consegue chegar à solução correta.
verificação se a resposta está correta.
Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.
Júlia e sua prima Joana compraram 108 caixas de bombom (todas de mesmo preço) e pagaram R$ 216,00 no total. Deste valor, Joana pagou R$ 126,00 pelas suas caixas. Quantas caixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos de vídeo game (todos de mesmo preço) e pagaram o total de R$ 45,00. Desse valor, Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos. Quantos jogos são do Sandro?
A2 soma 126 com 108, monstrando uma compreensão equivocada do enunciado do problema.
Aqui A2 realiza a subtração de 45 e 25, porém não percebe a necessidade de obter o preço de cada jogo para chegar à resposta correta.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração. Dona Márcia comprou 7 dúzias de
bananas. Distribuiu duas bananas para cada macaco do zoológico que visitou e levou 12 bananas para casa. Quantos macacos ela alimentou com as bananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foi ao mercado e comprou 4 dúzias de ovos para fazer bolos. No caminho de volta, quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paula consegue fazer com os ovos que sobraram?
Podemos inferir que A2 teve dificuldade para compreender o enunciado. Ela apenas divide 84 por 12.
Aqui A2 parece já ter realizado a operação 4x12 para saber quantos ovos Paula comprou. Parece também ter compreendido parte do enunciado, já que realizou a subtração dos ovos que se quebraram. Porém ela não conclui a resolução do problema.
João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52. Quantas vezes mais carrinhos que João Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48. Quantas vezes mais dinheiro o irmão tem em relação a Kelly?
A2 realiza a multiplicação de 52 por 13. Talvez por causa da palavra ‘vezes’ que aparece no enunciado. Porém fica claro que A2 não compreendeu o enunciado.
A2 realiza a subtração de 48 por 12, mostrando uma interpretação aditiva da comparação, em lugar de uma multiplicativa, como pede o problema. Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções.
Eu e você temos, juntos, 120 reais. Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas, quantas figurinhas tem cada um?
A2 resolve como a maioria da turma, demonstrando não perceber a existência das várias soluções.
A2 mantém seu raciocínio e resolve como na sondagem inicial.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e em seguida uma adição.
Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anos a menos que Maria. Se Margarida tem 7 anos a mais que Joana, quantos anos Margarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos a menos que Victor. Se João tem 8 anos a mais do que Igor, quantos anos João tem?
A2 simplesmente multiplica 18 por 7, demonstrando uma compreensão precária do enunciado.
Aqui A2 consegue organizar os dados e interpretar o problema corretamente, apesar de ter apagado desnecessariamente a primeira operação resolvida.
A3: Demonstrou interesse em algumas atividades de que participou, mas é um aluno que conversa muito durante as aulas.
Sondagem inicial Sondagem final
Exercícios de resolução direta.
Efetue a seguinte conta: 1326 – 548. Efetue a seguinte conta: 5231 – 389
Na sondagem inicial A3 consegue realizar a subtração.
Na sondagem final A3 teve dificuldade na subtração.
Os problemas abaixo envolvem noção de multiplicação. Se cada passagem de ônibus para o
centro da cidade custa 2,50 quanto se pagará por seis dessas passagens?
Se cada salgado da cantina da escola custa R$ 1,50, quanto se pagará por 5 salgados?
Aqui A3 parece ter desmanchado o resultado da conta e escrito 15,00 após ter olhado de algum colega, pois na resposta ele escreve 13,30.
Aqui A3 realiza a multiplicação sem maiores dificuldades.
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operações sucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foi mandada pelos netos e as outras rosas pelos filhos. Quantas rosas os filhos mandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses, 11 foram resgatados nas ruas e os outros foram deixados em sua porta. Quantos cães a mais foram deixados em sua porta em relação à quantidade dos que foram resgatados?
Nesse problema A3 realiza apenas o primeiro passo. Como no caso de outros colegas, parece entender a pergunta como ‘quantas rosas foram enviadas pelos filhos?’
Aqui A3 também realiza apenas o primeiro passo. Analogamente ao problema equivalente, A3 interpreta erroneamente a pergunta do problema, mostrando não ter evoluído, neste sentido, ao longo das atividades.
Os problema que seguem envolvem operações sucessivas, incluindo adição e multiplicação.
Beto tinha 23 figurinhas. Num jogo, ganhou 2 figurinhas de cada um de seus 6 colegas e, depois comprou mais 10 figurinhas. Com quantas figurinhas Beto ficou?
Bruna tinha 28 figurinhas. Num jogo, ganhou 3 figurinhas de cada um de seus 5 colegas e, depois comprou mais 6 figurinhas. Com quantas figurinhas Bruna ficou?
Aqui A3 soma todos os valores, sem perceber que 6 é o número de colegas e dois é o número de figurinhas por colega.
Aqui A3 organiza melhor os dados e realiza a multiplicação e as adições corretamente, mostrando uma boa compreensão da situação descrita no problema.
Os problemas abaixo envolvem três passos, nesse caso divisão e subtração.
Júlia e sua prima Joana compraram 108 caixas de bombom (todas de mesmo preço) e pagaram R$ 216,00 no total. Deste valor, Joana pagou R$ 126,00 pelas suas caixas. Quantas caixas são da Júlia?
Sandro e Diego compraram 15 jogos de vídeo game (todos de mesmo preço) e pagaram o total de R$ 45,00. Desse valor, Diego pagou R$ 21,00 pelos seus jogos. Quantos jogos são do Sandro?
A3 demonstra ter feito uma correta interpretação do problema, construindo adequadamente a resolução, embora não tenha deixado claro de que modo surge o número 90 e também não tenha apresentado a resposta final de modo explícito.
Já na sondagem final, A3 demonstra ter compreendido o problema também, porém se confunde na pergunta final, respondendo o número de jogos de Diego e não de Sandro. Falha de atenção na leitura da pergunta do problema.
Os problemas abaixo envolvem multiplicação, divisão e subtração. Dona Márcia comprou 7 dúzias de
bananas. Distribuiu duas bananas para cada macaco do zoológico que visitou e levou 12 bananas para casa. Quantos macacos ela alimentou com as bananas?
Paula gasta 3 ovos para fazer 1 bolo. Ela foi ao mercado e comprou 4 dúzias de ovos para fazer bolos. No caminho de volta, quebraram-se 3 ovos. Quantos bolos Paula consegue fazer com o restante dos ovos que sobraram?
A3 parece ter compreendido seu enunciado, consegue organizar os dados, porém responde quantas bananas dona Márcia utilizou para alimentar os macacos e não quantos macacos foram alimentados. De novo, constata-se uma desatenção na leitura do enunciado, o que é crucial na produção de uma resposta incorreta.
No problema correspondente da sondagem final, A3 interpreta corretamente o enunciado e resolve corretamente.
Os problemas j e i envolvem noção de proporção. João tem 13 carrinhos e Carlos tem 52.
Quantas vezes mais carrinhos que João Carlos tem?
Kelly tem 12 reais e seu irmão tem 48. Quantas vezes mais dinheiro o irmão tem em relação a Kelly?
Aqui A3 interpretou como ‘a mais’, tendo em vista que realizou a subtração e sua resposta foi 39. No entanto, aparece a divisão, que pode ter sido copiada de algum colega.
A3 interpreta corretamente o enunciado na forma de comparação multiplicativa (e não aditiva), mas parece ter se confundido com os dados do problema.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções. Eu e você temos, juntos, 120 reais.
Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas, quantas figurinhas tem cada um?
Como a maioria dos colegas, A3 divide por 2, sem perceber que não há dados que justifiquem a suposição de que ambos possuem a mesma quantidade de dinheiro.
A3 mantém o raciocínio da divisão por 2.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e em seguida uma adição.
Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anos a menos que Maria. Se Margarida tem 7 anos a mais que Joana, quantos anos Margarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos a menos que Victor. Se João tem 8 anos a mais do que Igor, quantos anos João tem?
A3 realiza duas subtrações. Podemos pensar mais numa falta de atenção com a leitura do que dificuldade de interpretação.
Na sondagem final A3 parece ter realizado a leitura com mais atenção e consegue resolver corretamente o problema.
A4: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondo suas resoluções e discutindo com os colegas.
Sondagem inicial Sondagem final
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operações sucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foi mandada pelos netos e as outras rosas pelos filhos. Quantas rosas os filhos mandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses, 11 foram resgatados nas ruas e os outros foram deixados em sua porta. Quantos cães a mais foram deixados em sua porta em relação à quantidade dos que foram resgatados?
Nesse caso, A4 resolve apenas a primeira parte do problema, tendo, talvez, interpretado a pergunta como ‘quantas rosas foram mandadas pelos filhos?’
Na sondagem final A4 organiza melhor os dados e resolve os dois passos do problema, demonstrando ter interpretado corretamente o que se pedia.
Os problemas abaixo envolvem 2 passos, nesse caso primeiro uma subtração e em seguida uma adição.
Maria tem 18 anos e Joana tem 5 anos a menos que Maria. Se Margarida tem 7 anos a mais que Joana, quantos anos Margarida tem?
Victor tem 25 anos e Igor tem 6 anos a menos que Victor. Se João tem 8 anos a mais do que Igor, quantos anos João tem?
A4 parece ter entendido ‘ a menos’ e não ‘a mais’. Nessa caso podemos pensar em uma leitura rápida e sem atenção.
Na sondagem final, A4 organiza melhor os dados e demonstra ter compreendido o que se pedia no problema, resolvendo-o corretamente.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções. Eu e você temos, juntos, 120 reais.
Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas, quantas figurinhas tem cada um?
Como a maioria da turma, A4 realiza a divisão por 2, sem perceber as várias soluções do problema.
Porém, A4 demonstra senso crítico, na sondagem final, em relação aos dados do problema, produzindo uma resposta consistente.
A5: Demonstrou interesse nas atividades realizadas, sempre questionando, expondo suas resoluções e discutindo com os colegas. Apresentamos neste quadro, apenas os problemas em que A5 teve dificuldade na interpretação/resolução. Os outros problemas foram todos resolvidos corretamente. A5 conseguiu interpretar bem os enunciados e organizar o uso dos dados na resolução.
Sondagem inicial Sondagem final
Os problemas que seguem envolvem dois passos, nesse caso duas operações sucessivas de subtração.
Vovó recebeu 36 rosas. Uma dúzia foi mandada pelos netos e as outras rosas pelos filhos. Quantas rosas os filhos mandaram a mais que os netos?
Marina tem um canil com 46 cães. Desses, 11 foram resgatados nas ruas e os outros foram deixados em sua porta. Quantos cães a mais foram deixados em sua porta em relação à quantidade dos que foram resgatados?
Nesse caso, A5 realizou simplesmente a divisão de 36 por 12, mostrando uma interpretação equivocada do problema.
Aqui A5 demonstra ter conseguido interpretar corretamente a situação-problema e apresentou uma resolução consistente, embora não tenha deixado a resposta explicitada.
Os problemas abaixo k e g, são problemas com várias soluções. Eu e você temos, juntos, 120 reais.
Quanto dinheiro tem cada um de nós?
Carlos e Pedro têm juntos 280 figurinhas, quantas figurinhas tem cada um?
Como a maioria da turma, A5 realiza a divisão por 2, assumindo a hipótese de que as duas pessoas tivessem a mesma quantidade de dinheiro.
Aqui A5 realiza a divisão por 2, porém escreve “o anunciado não fala que eles tem a mesma quantidade”, demonstrando ter desenvolvido certo senso crítico em relação a esse tipo de questão.
A6: Demonstrou interesse nas atividades realizadas questionando, expondo suas resoluções e discutindo com os colegas. Os problemas não referidos abaixo foram corretamente resolvidos em ambas as sondagens.
Sondagem inicial Sondagem final
Os problemas abaixo envolvem noção de multiplicação.