DEMONSTRAÇÕES DAS FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO

DEMONSTRAÇÕES DAS FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO

Os teoremas do tópico 1 desta aula foram estabelecidos numa ordem apropriada, a fim de atender de forma mais eficaz as aplicações das fórmulas de derivação. Suas demonstrações serão feitas na ordem a seguir.

Teorema 2. Sejam f e g funções deriváveis num valor x, então a derivada: (a) Da soma de f com g é dada por

[[[[

f(x) g(x)

]]]]

D f(x) D g(x); D_x ±±±± ==== _x ±±±± _x

(b) Do produto de f por g é dada por

[[[[

]]]]

x x x

D f (x)g(x) ====f (x)D g(x) g(x)D f (x);++++ (c) Do quociente de f por g é dada por

[[[[

]]]]

2 x x x ) x ( g ) x ( g D ) x ( f ) x ( f D ) x ( g ) x ( g ) x ( f D ==== −−−−     se g(x)≠ 0.

Demonstração do teorema 2. Para demonstrar 2(a), seja h(x)=f(x)±g(x), então (pela definição de derivada)

[

]

t 0

t 0

t 0 t 0 (pois f e g são deriváveis)

f (x t) g(x t) f (x) g(x) h (x) lim t f (x t) f (x) g(x t) g(x) lim t t f (x t) f (x) g(x t) g(x) lim lim t t f (x) g (x). → → → → + ± + − ± ′ = + − + −   = _ ± _   + − + − = ± ′ ′ = ±

Para demonstrar 2(b), seja h x( )=f x g x( ) ( ), então (pela definição de derivada)

[

]

[

]

t 0 t 0 t 0 t 0 f (x t)g(x t) f (x)g(x) h '(x) lim t

(somando e subtraindo donumerador f (x t)g(x) )

f (x t)g(x t) f (x)g(x) f (x t)g(x) f (x t)g(x) lim t f (x t) g(x t) g(x) g(x) f (x t) f (x) lim t g(x t) g(x) f (x lim f (x t) g(x) t → → → → + + − = + + + − + + − + = + + − + + − = + − = + + t) f (x) . t  + −       

Como f é derivável, logo contínua, pelo teorema 2 do tópico 3 da aula 03, tem-se lim ( ) ( );

t→0f x+ =t f x além disso, lim ( )t→0g x =g x( ) pois g x( ) independe de t. Portanto,

t 0 t 0 t 0 t 0

g(x t) g(x) f (x t) f (x)

h '(x) lim f (x t) lim lim g(x) lim

t t ' f (x)g '(x) g(x)f (x). → → → → + − + − = + + = +

Para demonstrar 2(c), seja h(x) f(x)

[

g(x)

]

1. ) x ( g ) x ( f ₌ − = Aplicando 2(b), tem-se

[

g(x)

]

[

g(x)

]

D f(x); D ) x ( f ) x ( ' h = _x −1 + −1 _x mas

[

]

[

]

[

]

1 x _{t 0 t 0 2} 1 1 g(x t) g(x) g(x t) g(x) 1 g (x) D g(x) lim lim , t t g(x t)g(x) _g(x) − → → − − + − ′ + − = = = + logo substituindo

[

]

[ ]2 ) x ( g ) x ( ' g 1 x g(x) D − = − e D_xf(x)=f'(x), tem-se

[

]

[

g(x)

]

. ) x ( ' g ) x ( f ) x ( ' f ) x ( g ) x ( g ) x ( ' f ) x ( g ) x ( ' g ) x ( f ) x ( ' h 2 2 − = + − =

O que conclui a demonstração.

Teorema 3. Sejam f e g funções deriváveis e definidas por y= ( ) e f u u =g(x), então fog é derivável, além disso

(

)

= '

(fog)'(x) f g(x) g'(x) ou D y_x ==== D y D u_{u x} .

Demonstração do teorema 3. Seja x um valor arbitrário onde g é derivável e que _o f seja derivável em u_o =g x

( )

_o , então a demonstração estará concluída se for provado que (fog) '(x )_o =f g(x ) g '(x ).'

(

_o

)

_o Se o domínio de g é um intervalo e x é um valor _o extremo do intervalo, na fórmula, as derivadas são substituídas pelas derivadas laterais correspondentes. Seja p a função definida por

( )

o '

( )(

o o

)

(

o

)

f (u)=f u +f u u−u +p(u) u−u para u∈ ( ) com D f u≠u ,_o então

o o

o o o

u u u u _{o o}

'

f (u) f (u ) f (u )(u u )

lim p(u) lim 0

u u u u → → − −   = _ − _= − −  

pois f é derivável em u . Logo, fazendo _o p u

( )

_o = a função p estará definida em 0, todo u∈ ( ) e será contínua em D f u . Agora, fazendo u_o = ( ) e g x u_o =g x

( )

_o na expressão de p, tem-se

(

)

(

o

)

'

(

o

)(

o

)

(

)(

o

)

f g(x) =f g(x ) +f g(x ) g(x)−g(x ) +p g(x) g(x)−g(x ) ,

que dividindo por x−x_o após a passagem de f g(x ) para o primeiro membro,

(

_o

)

resulta em

(

)

(

o

)

₍

₎

o

₍

₎

o o o o o f g(x) f g(x ) g(x) g(x ) g(x) g(x ) ' f g(x ) p g(x) . x x x x x x − − − = + − − − Portanto, obtém-se

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

o o o o _{x x} o o o o x x _{o o} f g(x) f g(x ) (fog) ' x lim x x g(x) g(x ) g(x) g(x ) ' lim f g(x ) p g(x) ; x x x x → → − = −  − −    = +  − −    mas

(

)

(

)

o o o x x ' ' lim f g(x ) f g(x ) , → = o

( )

o o x x _o g(x) g(x ) ' lim g x x x → − = − pois g é derivável em o x e

(

)

( )

o o

xlim p g(x)→x =ulim p u→u =0, portanto

( )

o '

(

o

) ( )

' o (fog) ' x =f g(x ) g x . O que conclui a demonstração.

Teorema 1. Se a e b são constantes, r é racional e f (x)=axr + é derivável, então b

(

r

)

r-1.

x

D ax + b = arx

Demonstração do teorema 1. Inicialmente, seja g(x)=xr. Suponha que x ≠ 0. Se r inteiro positivo, então

r r t 0 r r 1 r 2 2 r 1 r r t 0 r 1 r 2 r 2 r 1 t 0 r 1 (x t) x _r g '(x) lim (desenvolvendo (x + t) ) t r(r 1) x rx t x t rxt t x 2! lim t r(r 1) lim rx x t rxt t 2! rx . → − − − → − − − − → − + − = −  _{+ + + + +} ₋     = −   = _ + + + + _   =

Se r é inteiro negativo, então −r é inteiro positivo, assim (aplicando o teorema 2(c) e o início da demonstração)

( )

rx rx . x x ) r ( 0 x x D 1 D x x 1 D x D ) x ( ' g ( r 1) ( 2r) r 1 r 2 1 r 2 r r x x r r x r x ₋ − − −− − − − − − − − = = − − = − = = = Se r = 0, então g x( )=x0 =1 logo , . x 0 0 0 lim t 1 1 lim t ) x ( g ) t x ( g lim ) x ( ' g 0 1 0 t 0 t 0 t − → → → = = = − = − + = Se 1 q

r= onde q é inteiro positivo, então

1 1 q q q 1 q 2 q 1 1 1 1 q q q q q q q 1 q 2 1 q 1 q q q q q 1 q 2 1 q 1 q q q q q 1 q t 0 t 0 t 0 (x t) x

g (x) lim (racionalizando o numerador)

t (x t) x (x t) (x t) x x lim t (x t) (x t) x x t lim t (x t) (x t) x x 1 x − − − − − − − − − − → → → + − ′ =    _{+ −}  _{+ + + + +}         =   + + + + +     =   + + + + +     = +


q 2 ₁ q 1 1 q q q q 1 1 q 1 q 1 1 x . qx x x x − − − − = = +
+

Finalmente, seja r um número racional não nulo, isto é, p q

r= onde p é inteiro não nulo e q é inteiro positivo, então

assim fazendo y=up e u₌xq 1

, aplicando a regra da cadeia, obtém-se

D x_x r ₌D u D x_u p _x q 1

;

, x q 1 x D e pu u D_u p p 1 _x q 1 1 q 1 ₋ − ₌ = logo . x r x x q p x q 1 pu x D_x r p 1 1 q 1 r 1 1 q 1 p q 1 − − − − _{= =} = −

Suponha agora que x = 0, então r deve ser positivo para que g( )0 exista. Sendo r positivo, o limite

1 r 0 x r r 0 x x lim 0 x 0 x lim ) 0 ( ' g − → → − = − =

está definido, mas não existe se 0< <r 1 e

. 1 r se 0 r 0 1 r se 1 1 lim x lim ) 0 ( ' g 1 r 0 x 0 0 x     > = = = = = − → →

Sendo f (x)=axr +b, aplicando inicialmente 2(a) e 2(b), tem-se

r r 1

x x

f (x)′ =aD x +D b=arx −

pois (da parte inicial da demonstração) D_xxr =rxr−1 e (da definição de derivada)

b b 0

x _{t t}

t 0 x 0 x 0

D b lim − lim lim 0 0.

→ → →

= = = = O que conclui a demonstração.

Teorema 4. Sejam r um número racional, f e g deriváveis tal que g(x)=

[

f (x) ,

]

r então

[[[[

]]]]

[[[[

]]]]

D f x_x ( ) r ====r f x( ) r−−−−1D f x_x ( ).

Demonstração do teorema 4. Considere y=g(u)=ur e u =f(x), então

[

]

r (gof )(x)= f (x) , logo aplicando a regra da cadeia, tem-se

[

f(x)

]

D g(u)D f(x);

D_x r = _{u x}

mas (do teorema 1) D_ug(u)=rur−1 =r

[

f(x)

]

r−1, portanto substituindo D_ug(u), obtém-se a demonstração do teorema.