TRANSFORMAÇÕES POR EQUIVALÊNCIA SOB O
OLHAR DAS SIMETRIAS RÍGIDAS
Roberto Alcarria do Nascimento
FAAC-Unesp, Departamento de Artes e Representação Gráfica alcarria@faac.unesp.br
Maria Antonia Benutti
FAAC-Unesp , Departamento de Artes e Representação Gráfica mariabenutti@faac.unesp.br
Aniceh Farah Neves
FAAC-Unesp, Departamento de Artes e Representação Gráfica aniceh@faac.unesp.br
Resumo
O que equivalência de área tem a ver com simetria? Não é muito comum a associação entre esses dois temas. O texto busca, exatamente, olhar a transformação por equivalência, que modifica a forma mantendo sua área, com as simetrias rígidas, que tem por propriedade fundamental a manutenção da forma e de suas dimensões. A partir de uma visão geral sobre as transformações geométricas e a conceituação de equivalência de área, o foco é perceber a presença das simetrias rígidas nesse processo de modificação da forma e manutenção da área, culminando com uma breve alusão à uma das aplicações mais significativas dessas operações, que é a pavimentação do plano.
Palavras-chave: forma, transformações geométricas, simetrias rígidas, equivalência de área.
Abstract / resumen
It isn´t very common the association between area equivalency and symmetry. The text search looking equivalence transformation which modifies the shape keeping your area, with the rigid symmetries, which has the fundamental property maintenance of way and their dimensions. From an overview of the concepts of geometric transformations and area equivalence, the focus is to realize the presence of rigid symmetries in the process of change in shape and maintain the area, culminating in a brief
allusion to tessellation, one of the most significant applications of these operations.
Keywords: shape, geometric transformations, rigid symmetries, area equivalency.
1
Introdução
As transformações por equivalência não costumam ser analisadas a partir das simetrias rígidas que, de modo geral, estão mais relacionadas com a estética e os princípios de organização da forma. Entretanto, “transformar” sempre implica numa reorganização e, assim, é possível apontar os entrelaçamentos que ocorrem entre equivalência de área e as isometrias.
Ainda que não seja algo totalmente inusitado, não são muito comuns as reflexões em torno dessa temática. Não se trata aqui de fazer uma discussão a partir do rigor da matemática, com definições ou deduções, mas sim, um olhar a partir da forma, buscando estimular a observação e a experimentação.
Cabe ressaltar a importância desse olhar não só para os cursos de formação de profissionais que trabalham com a forma, mas também para aqueles voltados diretamente para o processo educativo. Professores de Artes e de Matemática podem dialogar num processo interdisciplinar, uma vez que esta abordagem pode se constituir numa ponte interessante entre os princípios algébricos e geométricos da matemática e a experimentação estética das artes.
2
Transformações geométricas
As transformações geométricas são consideradas como modificações na forma mediante relações métrico-espaciais. Tais modificações se caracterizam por simples mudança de posição no espaço, alteração de tamanho conservando a forma, ou ainda, transformação numa nova forma.
Quando se fala em transformações geométricas, normalmente o termo acaba sendo associado a “simetrias” sendo que este tipo de transformação se caracteriza numa das mais conhecidas e exploradas no estudo da forma.
Rohde define simetria como “... uma operação que mantém uma forma invariante” (1997, p. 9). Assim, as simetrias são um tipo de transformação que, do ponto de vista
geométrico, são entendidas como transformações isomorfas (iso-igual; morfo-forma). Dentro das isomorfas, dois grupos de simetrias são possíveis: as isométricas (LEDERGERBER-RUOFF. 1982; BARBOSA, 1993) e as homeomórficas (ROHDE, 1982).
Lira (2011), define as simetrias isométricas da seguinte forma:
Transformações isométricas quando aplicadas a uma figura geométrica, mantêm a distância entre seus pontos, ou seja, os segmentos da figura transformada são geometricamente iguais aos da figura original. As transformações isométricas são denominadas de movimentos no plano por modificar apenas a posição da figura inicial. As isometrias simples são Reflexão, Translação e Rotação. (LIRA, 2011, p.8).
Já a simetria homeomórfica, segundo Rohde (1997, p.17), chamada de “dilatação”,
...constitui operação estrutural e simples. As dimensões – nesta simetria – são semelhantes e variam segundo lei de dilatação determinada. A dilatação amplia a forma, estendendo-a ou contraindo-a sem modificar suas proporções e relações angulares, não se caracterizando como transformação linear: modifica as distâncias em consideração.
Aqui só serão abordadas as transformações rígidas (aquelas que mantêm invariantes as dimensões), uma vez que o trabalho é focado, justamente, na presença dessas simetrias na transformação por equivalência de área.
3
Figuras Equivalentes
Na geometria plana, um outro tipo de transformação que pode ocorrer é a chamada “equivalência de área”.
Rohde (1982) alude a um tipo de simetria, caracterizada como “simetria de equivalência”. Mas, neste caso, o termo “simetria” remete à estética e está ligado à noção de equilíbrio que ocorre entre as formas, algo muito presente nas artes.
Nas artes, frequentemente se define uma simetria de equivalência que, mais corretamente, deveria ser denominada de “equilíbrio de equivalência”. Este tipo de disposição tem seus melhores exemplos nas fachadas de construções antigas: de um lado era colocada uma estátua de um deus ou figura mitológica e, de outro lado, uma outra figura. (p. 30)
Para Rohde (1982), assim como para outros autores, simetria é entendida como “uma operação que mantém uma forma invariante” (p. 13). Se a forma é invariante, já
se pode admitir que as transformações por equivalência não são entendidas como “simetria”.
Matematicamente, duas figuras planas são ditas equivalentes quando apresentam uma mesma área, independentemente de suas formas. Para Beato e Marmol “Dos figuras se llaman equivalentes cuando tienen igual extensión, independentemente de sus formas.” (1961, p. 434)
Na figura 1 pode-se observar que todos os polígonos, embora tenham formatos diferentes, possuem a mesma área de dezesseis unidades quadradas. Portanto, são figuras equivalentes.
Figura 1: Figuras equivalentes.
Isso significa que uma figura plana pode ser transformada numa outra, com contornos totalmente diferentes, mas mantendo a mesma área.
4
A equivalência de área e as transformações isométricas (simetrias
rígidas)
Como se pode perceber, nas transformações por equivalência de área, as medidas das figuras podem ser alteradas em função da variação dos contornos, já que suas formas são modificadas. Entretanto, é importante verificar que, de modo geral, a modificação das formas pelo princípio da equivalência de área, quase sempre se dá a partir das simetrias rígidas ou isométricas.
4.1 Translação
Uma das transformações rígidas mais comuns aplicadas na equivalência de área é a simetria de translação, que “...constitui operação simples de simetria e corresponde à repetição periódica de um motivo que se desloca em uma direção.” (ROHDE, 1997, p.10)
A figura 2 ilustra um dos exemplos clássicos da translação aplicada à equivalência. Evidentemente, a periodicidade de repetição no exemplo abaixo é “1”.
Porém, uma vez que o triângulo retirado (à esquerda) é congruente ao triângulo acrescentado (à direita), o retângulo inicial e a figura final permanecem com a mesma área, ainda que apresentem contornos distintos.
Figura 2: Translação aplicada à equivalência
Mesmo que a simetria de translação possa se constituir num exemplo clássico de aplicação de isometria na equivalência de área, ela não pode ser aplicada a qualquer figura. Um polígono que não tenha lados paralelos, como o triângulo, não permite a aplicação da translação (Figura 3), a não ser que esteja associada à um outro tipo de transformação.
Figura 3: Translação em figura com lados não paralelos
4.2 Rotação
Uma outra transformação que está muito presente na equivalência de área é a simetria de rotação que “... corresponde à transformada de um elemento quando rotacionado em torno de um ponto, segundo um ângulo definido.” (BENUTTI, NASCIMENTO e NEVES, 2010, p. 18)
A figura 4 apresenta um exemplo dessa transformação em que um detalhe da forma original foi rotacionado em 180º, sobre um mesmo lado do polígono, caracterizando a simetria comumente denominada de inversão.
A simetria de rotação, por sua vez, pode ser aplicada em qualquer figura poligonal, quer diretamente sobre um único lado, quer em lados consecutivos ou não consecutivos como exemplificado na figura 5.
Figura 5: Transformação com equivalência de área por rotação
4.3 Reflexão
Entre as transformações rígidas, temos a simetria de reflexão, também conhecida como “simetria bilateral” que se obtém “... colocando-se um objeto diante de um espelho e considerando-se a forma e sua imagem” (ROHDE, 1982, p. 20). Dentre os tipos de simetria, é o mais conhecido.
Entretanto, neste caso temos um problema. Na figura 6 é possível observar que, se forem retiradas as áreas do triângulo refletido em função do eixo de reflexão, a área da forma final não é igual à do quadrado original, implicando que as formas não são equivalentes. Nos exemplos anteriores, a área do detalhe que sofreu a transformação por translação ou rotação, não é retirada da forma final, ocorrendo apenas uma mudança de lugar, o que não acontece na operação de reflexão, como pode ser observado nas figuras 6a e 6b.
Figura 6: Reflexão sem equivalência de área.
Isso implica que a simetria de reflexão até pode ser utilizada na obtenção de formas equivalentes. Entretanto, isso somente acontecerá se estiver associada a uma simetria por rotação o que, dependendo da análise, praticamente dispensa a reflexão.
Figura 7: Reflexão e Rotação
a b 180 o 120 o 60 o
Elemento rotacionado Reflexão dos elementos
após rotação
5
Voltando para a o conceito de equivalência de área
Uma maneira de transformar figuras por equivalência é utilizar-se da propriedade matemática da área do triângulo, ou do trapézio.
Algebricamente, a área de um triângulo se define pelo semi-produto da base (um lado) pela altura (relativa a esse lado). Como apenas um lado e uma altura não definem a forma de um triângulo, é possível admitir infinitos triângulos, diferentes entre si, de mesma base e mesma altura, isto é, equivalentes entre si (Figura 8).
Figura 5:
Figura 8: Triângulos de mesma área
Tal propriedade permite “ajustar” a forma de um triângulo de um tipo para outro, por exemplo, de escaleno para isósceles, ou de escaleno para retângulo, sem alterar a área.
O mesmo princípio também vale para o trapézio, em que sua área é definida pelo produto da altura pela semi-soma das bases. Mais uma vez, somente as duas bases e a altura não definem a forma do trapézio, podendo-se alterar sua forma, mantendo-se essas medidas constantes (Figura 9).
Figura 9: Trapézios de mesma área
Mas é interessante observar que, nos dois casos (transformação do triângulo ou do trapézio) também ocorre uma operação de translação: no primeiro caso é o ponto (vértice do triângulo) que se desloca numa operação de translação e, no segundo
h b
A
B
C
A
A
h b b Bcaso, é o segmento (base do trapézio) que é transladado. . Salvi et all (2012) afirmam que “Qualquer translação, rotação ou reflexão (numa linha ou num ponto) são isometrias do plano.” (SALVI et all, 2012, p. 2851).
Também não se pode deixar de considerar que, numa concepção mais ampla, pontos e segmentos são constituintes da forma pois, como diz Wong (1998, p. 45) “... ponto, linha ou plano, quando visíveis, se tornam forma”. Esse mesmo autor ainda afirma que “Uma forma é reconhecida como um ponto quando é pequena” e que “Uma forma é reconhecida como uma linha por duas razões: (a) sua largura é extremamente estreita e (b) seu comprimento é bem evidente” (Ibidem, p. 45).
Ou seja, ainda que não ocorra, propriamente, uma forma que se mantenha invariante, como nos exemplos anteriores (já que ponto e segmento, em princípio, não tem área), a transformação do triângulo ou do trapézio acontece em função de uma isometria, no caso, a translação. Uma simetria rígida provoca uma transformação não rígida
A partir dessa mesma propriedade dos triângulos equivalentes, também é possível reduzir o número de lados de uma figura de “n” lados para “n -1” lados, mantendo a mesma área, ou mesmo aumentar o número de lados (Figura 10).
Figura 10: Redução de um polígono de n lados em n-1 lados
6
Formas equivalentes na pavimentação do plano e as simetrias rígidas.
Uma importante propriedade das figuras equivalentes é a possibilidade de pavimentar o plano, sem deixar espaços em branco, utilizando-se de formas com contornos variados. O quadrado, o triângulo equilátero e o hexágono são as únicas formas regulares que permitem a pavimentação do plano, entendida aqui como a justaposição de formas sem que haja sobreposição ou espaços vazios. Ainda que no caso do triângulo e do quadrado, seja possível pavimentar o plano a partir de deslizamentos (sem que os vértices coincidam), definido por Barbosa (1993) como “pavimentação não lado-lado” (Figura 11), de certa maneira, as possibilidades de resultados são limitadas. Entretanto, a partir das transformações isométricas aplicadas na equivalência de área, é possível transformar qualquer uma das três formas básicas (triângulo equilátero, quadrado e hexágono) numa infinidade de outras formas que podem ser utilizadas na pavimentação do plano.
Figura 11: Pavimentação não lado-lado, caracterizada como padrão não regular Fonte: BARBOSA, 1993, p. 21
A figura 12 apresenta uma sequência de transformações por equivalência a partir do quadrado, gerando um mosaico de módulo equivalente ao quadrado inicial, mas com forma não regular.
Figura 12: Transformação por equivalência
O artista holandês Maurits Cornelis Escher foi um grande estudioso nessa área e criou inúmeros mosaicos baseados no conceito de transformação da forma por equivalência. Ainda que não fosse um matemático, no estrito sentido do termo, Escher explorou de forma muito brilhante a conjugação entre simetrias e equivalência de área. No processo de criação dos módulos, trabalha com as diferentes possibilidades de combinação das simetrias rígidas, gerando padrões de repetição que se constituem em magníficos exemplos da união entre a beleza da arte e o rigor da matemática (Figuras 13 e 14).
Figura 13: Estudos de Escher para a divisão regular do plano no sistema quadrado. Fonte: The Magic of M. C. Escher. Thames & Hudson – London, 2006 (p. 59)
Figura 14: Divisão regular do plano. Desenhos 14 e 16.
Fonte: The Magic of M. C. Escher. Thames & Hudson – London, 2006 (p. 74)
7
Considerações finais
A idéia não é esgotar o assunto, pois trata-se de uma análise introdutória que procurou destacar a presença das simetrias rígidas - em que o princípio é a não alteração da forma -, nas transformações por equivalência - onde, exatamente, a sua transformação é o seu fundamento -, o que parece uma contradição. Mesmo o tema pavimentação, uma das mais comuns aplicações dessa natureza, é bastante amplo e permite vários olhares e desdobramentos.
A intenção da pesquisa, como registrada na Introdução, é propiciar, além da produção de conhecimento, o desenvolvimento da percepção, observação, experimentação estética dos profissionais da forma e docentes nas áreas de Artes e Matemática.
Referências
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993.
BEATO, M. P.; MARMOL, L. S. Geometria métrica, proyectiva y sistemas de representación. 3ed. Madrid: Saeta, 1961.
BENUTTI, M. A.; NASCIMENTO, R. A. do; NEVES, A. F. Computação gráfica e geometria como instrumento de criação artística. In: NICOLA, R.; SALZEDAS, N. (orgs). Série Poéticas visuais: arte e tecnologia. Bauru: FAAC/UNESP, 2010 LEDERGERBER-RUOFF, Erika Brigitta. Isometrias e ornamentos no plano euclidiano. São Paulo: Atual, 1982.
LIRA, Ana Cláudia de Brito. A matemática dos espelhos: proposta para o ensino-aprendizagem de matrizes utilizando transformações geométricas. Monografia (Especialização em Educação Matemática para Professores do Ensino Médio). Campina Grande: UEPB, 2011. Disponível em:
http://dspace.bc.uepb.edu.br:8080/xmlui/bitstream/handle/123456789/730/PDF%20-%20Ana%20Cl%C3%A1udia%20de%20Brito%20Lira%201.pdf?sequence=1. Acesso
em 30/01/2013.
ROHDE, Geraldo Mario. Simetria. São Paulo: Hemus, 1982.
______ . Simetria: rigor e imaginação. Porto alegre: EDIPUCRS, 1997
SALVI, Anelize Zomkowski et all. Grupos, simetrias e a enumeração de configurações não isomorfas para robôs metamórficos planares. In: Mecânica Computacional v. XXXI. Salta: Asociación Argentina de Mecánica Computacional, 2012. p.2849-2873. Disponível em: www.cimec.org.ar/ojs/index.php/mc/article/view/4225/4151. Acesso em 30/01/2013.
