1.4 Algumas Dicas para Resolver Problemas 15
1.4 Algumas Dicas para Resolver
Proble-mas
Nesta seção, damos algumas regras gerais que consideramos impor-tante ter em mente na hora de resolver um problema de Matemática. Aplicaremos estas regras a alguns problemas interessantes para ilus-trar a sua importância. Elas são:
R1) Ler bem o enunciado do problema e utilizar todas as informações disponíveis.
R2) Fazer casos particulares ou casos mais simples de problemas si-milares, para adquirir familiaridade com o problema.
R3) Mudar a representação do problema, transformando-o em um problema equivalente.
R4) Usar a imaginação pesquisando caminhos alternativos. Extra-polar os limites!
A seguir propomos vários problemas onde as regras anteriores são muito úteis. O leitor deve tentar resolvê-los; mas se não conseguir achar solução depois de muito tentar poderá então passar para a pró-xima seção onde os solucionamos.
Problema 1.7. Ao encontrar uma velha amiga (A), durante uma viagem de trem, um matemático (M) tem a seguinte conversa:
(M) Como vão os três lhos da senhora? (A) Vão bem, obrigada!
(M) Qual a idade deles mesmo?
(A) Vou lhe dar uma dica. O produto das idades deles é 36. (M) Só com essa dica é impossível!
(A) A soma das idades deles é igual ao número de janelas deste vagão.
(M) Ainda não sei!
(A) O mais velho toca piano! (M) Agora eu sei!
Você é capaz de descobrir as idades dos três lhos da senhora?
Problema 1.8. Numa cesta encontram-se 9 moedas idênticas, sendo que 8 delas têm o mesmo peso e uma moeda é mais leve que as demais. Usando duas vezes uma balança de dois pratos, encontrar a moeda mais leve.
Problema 1.9. Numa pequena ilha existem 5 pessoas de olhos azuis e 5 pessoas de olhos verdes. Existe um grande tabu nesta ilha que é o seguinte: se uma pessoa descobre que possui olhos azuis ela se suicida à meia-noite do dia em que descobriu, pulando do alto da prefeitura. Por conta disso, ninguém conversa sobre o assunto, olha para espelhos ou vê seu re exo na água. Todos se cruzam diariamente e conhecem os olhos de seus amigos. Numa manhã, um estrangeiro chegou à ilha e reuniu as 10 pessoas para o seguinte pronunciamento:
Nesta ilha, existe uma pessoa de olhos azuis. Pergunta-se:
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(a) O que aconteceu com os habitantes da ilha? (b) Que informação nova o estrangeiro trouxe?
Problema 1.10. Um viajante deseja se hospedar durante 31 dias num hotel. Entretanto, percebe que está sem dinheiro e que a única coisa que possui é uma corrente com 31 elos de ouro. Para pagar sua conta, ele acertou com o gerente pagar um elo por dia, sem atrasar ou a-diantar o pagamento, durante os 31 dias. O gerente pode dar troco em elos. Depois ele deseja recuperar a corrente e por isso ele quer pagar a conta cortando a corrente no menor número de pedaços. Quantos cortes você conseguiria dar e pagar a conta?
Problema 1.11. Sabendo que em cada jogada o movimento do cavalo consiste em se deslocar duas casas na horizontal e uma na vertical ou duas na vertical e uma na horizontal, decidir se é possível sair da con guração apresentada no tabuleiro (a) e chegar à con guração apresentada no tabuleiro (b) da Figura 1.2 sem que em algum momento existam dois cavalos na mesma casa.
(a) (b)
Problema 1.12. Mostre que podemos cobrir os 9 pontos no reticulado da Figura 1.3 traçando 4 segmentos de reta sem tirar o lápis do papel.
• • • • • • • • •
Figura 1.3: Reticulado de 9 pontos
Sugerimos seguir as dicas abaixo para obter sucesso na solução dos problemas:
• Para os problemas 1.7 e 1.8 use a primeira regra.
• Para os problemas 1.9 e 1.10 use a segunda regra. Por exemplo, no problema 1.9 fazer primeiro o caso: uma pessoa com olhos azuis e uma com olhos verdes e depois fazer o caso: duas pessoas de olhos azuis e duas de olhos verdes; generalize.
• Para os problema 1.11 use a terceira regra. • Para o problema 1.12 use a quarta regra.
1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4
A seguir apresentamos soluções para os problemas enunciados na seção anterior.
Solução do Problema 1.7. É muito importante neste problema tirar o máximo de informação das dicas da senhora. Vamos à primeira dica: o produto das idades é 36.
1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4 19
Suponhamos que as idades dos lhos sejam 0 6 x 6 y 6 z 6 36. Como xyz = 36, temos as seguintes possibilidades para os números x, y e z: x y z xyz 1 1 36 36 1 2 18 36 1 3 12 36 1 4 9 36 1 6 6 36 2 2 9 36 2 3 6 36 3 3 4 36
A segunda dica dada pela senhora é a soma das idades. Assim, vamos agora calcular todas as possíveis somas de acordo com as fato-rações de 36 dadas na tabela anterior:
x y z x + y + z 1 1 36 38 1 2 18 21 1 3 12 16 1 4 9 14 1 6 6 13 2 2 9 13 2 3 6 11 3 3 4 10
Sabemos que após a segunda dica, o matemático ainda não conse-guiu deduzir as idades das crianças.
Por que ele não conseguiu? Imagine que o número da casa fosse 14. Ora, de acordo com nossa tabela, só existe um terno de números cujo produto é 36 e a soma é 14, que é o terno (1,4,9). Assim, se o número da casa fosse 14 o matemático teria dado a resposta após a segunda dica. Como ele cou em dúvida, olhando a tabela 2, chegamos à conclusão de que o número da casa só pode ser igual a 13.
Lembremos a última dica: o mais velho toca piano. No início essa dica parecia inútil, mas agora ela é fundamental para resolvermos o problema. De fato, como o mais velho toca piano, isso signi ca que existe um mais velho, o que descarta o caso (1,6,6). Assim, as idades são 2, 2, e 9.
Solução do Problema 1.8. Este é o tipo de problema que a primeira vista pode parecer difícil, mas que quando usamos todas as informa-ções do seu enunciado se torna fácil. A ideia é dividir as moedas em três grupos de três moedas cada, que chamaremos grupos A, B e C. Colocaremos na balança os grupos A e B e deixaremos o grupo C fora. Podem acontecer duas coisas:
(a) Os pratos cam equilibrados. (b) Os pratos cam desequilibrados.
No caso (a), temos que os grupos A e B têm o mesmo peso. Logo, a moeda mais leve deve estar no grupo C. No caso (b), um dos grupos cou mais leve, o que signi ca que a moeda mais leve está neste grupo. Assim, utilizando a balança apenas uma vez conseguiremos descobrir qual é o grupo em que a moeda mais leve está. Digamos que este grupo seja o grupo A. Para achar a moeda mais leve, procedemos de modo semelhante ao que zemos anteriormente: separamos as três moedas
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do grupo A colocando uma em cada prato e deixando a terceira de fora. Podem acontecer duas coisas:
(a) Os pratos cam desequilibrados e assim a moeda mais leve está no prato mais leve.
(b) Os pratos cam equilibrados, logo a moeda mais leve foi a que cou fora.
No nal, usamos a balança exatamente duas vezes.
Solução do Problema 1.9. Como em muitos problemas de Mate-mática, abordar casos mais simples do problema pode ajudar bastante na solução. Assim, vamos imaginar o seguinte caso mais simples: na ilha existe somente uma pessoa de olhos azuis e a outra de olhos verdes. Pensando neste caso, a pessoa que tinha olhos azuis só via as que tinham olhos verdes. Quando o estrangeiro a rmou que existia uma pessoa de olhos azuis, ela descobriu que tinha olhos azuis, pois as outras pessoas tinham olhos verdes. Assim, à meia-noite ela subiu na prefeitura e pulou. Com isso, a pessoa que tinha olhos verdes descobriu que tinha olhos verdes, pois se ela tivesse olhos azuis sua companheira não se suicidaria no dia anterior.
Vamos agora dar um passo crucial na solução do nosso problema original, considerando o caso onde existem duas pessoas de olhos azuis e duas pessoas de olhos verdes na ilha. Vamos chamar as pessoas de olhos azuis de A e B e as pessoas de olhos verdes de C e D. No dia em que o estrangeiro fez o seu pronunciamento, nada aconteceu, pois as pessoas C e D viam as pessoas A e B com olhos azuis e a pessoa A via a pessoa B com olhos azuis e vice-versa. Já no segundo dia, a pessoa A teve o seguinte pensamento:
Se eu tivesse olhos verdes, a pessoa B teria descoberto que tinha olhos azuis ontem, pois ela veria três pessoas de olhos verdes. Como ela não se suicidou ontem, eu tenho olhos azuis.
Pensando da mesma forma, a pessoa B descobriu que também tinha olhos azuis. Por isso, à meia-noite do segundo dia, as pessoas A e B se suicidaram.
O que aconteceu depois? As pessoas C e D ainda tinham a dúvida da cor de seus olhos. Para chegar à conclusão de que seus olhos são verdes, no terceiro dia, a pessoa C pensou assim:
Bem, se eu tivesse olhos azuis, as pessoas A e B veriam cada uma duas pessoas com olho azul. Logo, elas não te-riam se suicidado no segundo dia, pois não conseguite-riam deduzir a cor de seus olhos. Logo, tenho olhos verdes. Ufa!
Do mesmo modo, a pessoa D conseguiu descobrir a cor de seus olhos. Analisando de modo semelhante, conseguiremos deduzir que no problema original as cinco pessoas de olhos azuis descobrirão que pos-suem olhos azuis e juntas se suicidarão no quinto dia após o pronun-ciamento do estrangeiro.
Agora vamos descobrir a resposta da segunda pergunta do enun-ciado: que informação nova o estrangeiro trouxe? Aparentemente nada de novo foi acrescentado pela frase do estrangeiro, pois cada pessoa estava vendo alguma pessoa com olhos azuis. Mas isso não é verdade.
Para ver isso e descobrir qual é a nova informação que o estrangeiro trouxe, vamos voltar ao caso de somente duas pessoas na ilha, uma
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de olhos azuis e outra de olhos verdes. Neste caso, a pessoa de olhos azuis somente vê uma pessoa de olhos verdes. Com a informação de que existe uma pessoa de olhos azuis ela pode descobrir a cor de seus olhos. Note que a pessoa de olhos verdes já sabia que existia pelo menos uma pessoa de olhos azuis. Mas ela não sabia que a pessoa de olhos azuis tinha conhecimento de que na ilha existia alguém com olhos azuis. Essa é a nova informação que o estrangeiro trouxe. Solução do Problema 1.10. Uma primeira solução é cortar a cor-rente 30 vezes, separando todos os elos. Porém, essa não é a melhor so-lução, como veremos a seguir. Vamos iniciar nossa análise observando que para pagar o primeiro dia precisamos dar um corte na corrente. Assim, o gerente receberá um elo. O pulo do gato do problema vem agora: para pagar o 2◦ dia, vamos cortar a corrente de modo a separar
dois elos de uma vez. Assim, daremos dois elos ao gerente e ele de-volverá um elo de troco. Com este elo pagaremos o terceiro dia. Note que pagamos três dias fazendo dois cortes na corrente, como mostra a tabela:
Gerente Viajante Elos 1, 2 28
Note que o número 2 denota o pedaço que contém 2 elos. Para pagar o 4◦ dia, cortaremos a corrente de modo a obter um pedaço
com quatro elos. Entregamos ao gerente este pedaço e recebemos de troco um elo solto e um pedaço com dois elos. Com o elo solto, pagamos o 5◦ dia. Assim, no 5◦ dia teremos os seguintes grupos de
elos:
Gerente Viajante Elos 1, 4 2, 24
Assim, pagamos o 6◦ dia com o pedaço que contém dois elos e
receberemos o elo solto de troco. Finalmente pagaremos o 7◦ dia com
o elo solto. Note que foi possível pagar 7 dias com apenas três cortes na corrente. A continuação do procedimento está quase revelada. Para pagar o 8◦ dia, cortaremos um pedaço com oito elos. Daremos este
pedaço e receberemos de troco 7 elos, sendo um elo solto, um pedaço com 4 e um pedaço com dois elos. Repetindo o procedimento anterior, pagaremos os 7 dias seguintes, pagando até o 15◦ dia sem precisar de
cortes adicionais. Ou seja, para pagar os 15 primeiros dias, precisamos de 4 cortes na corrente. Neste momento, a corrente está distribuída do seguinte modo:
Gerente Viajante Elos 1, 2, 4, 8 16
Para pagar o 16◦ dia, entregaremos ao gerente o pedaço com os 16
elos restantes, recebendo 15 elos divididos em pedaços de 1, 2, 4 e 8 elos. Se repetirmos o processo, pagaremos o hotel até o 31◦ dia sem
precisar de novos cortes. Assim, o mínimo número de cortes é 4. Solução do Problema 1.11. Para resolver este problema vamos usar a estratégia de mudar a representação. O que signi ca isso? Vamos reescrever o problema com outros ingredientes, porém sem alterar em nada sua essência. Primeiramente, enumere as casas do tabuleiro com os números 1, 2, . . . , 9, como na Figura 1.4.
Vamos agora associar ao tabuleiro, um conjunto de nove pontos também enumerados com os números 1, 2, . . . , 9. Se for possível sair de uma casa i e chegar à casa j com apenas uma jogada do cavalo, colocaremos um segmento ligando os pontos i e j. Por exemplo, é
1.5 Soluções dos Problemas da Seção 1.4 25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figura 1.4: Tabuleiro de 9 casas
possível, saindo da casa 1 chegar à casa 6 e a casa 8. Desse modo, o ponto com número 1 está ligado com o ponto com número 8. Se analisarmos todas as possíveis ligações entre os pontos obteremos um esquema com o mostrado na Figura 1.5
• 5 • • 1 8 6 3 4 9 2 7 • • • • • •
Figura 1.5: Conexões das casas
• 5 • • 1 8 6 3 4 9 2 7 • • • • • •
Figura 1.6: Tabuleiro (a)
Assim, se colocarmos os cavalos como no tabuleiro (a), teremos a situação descrita na Figura 1.6. Deste modo, ca evidente que não podemos trocar a posição dos cavalos branco e preto sem que em algum momento eles ocupem a mesma casa.
1.6 Exercícios
1. Uma sacola contém meias cujas cores são branca, preta, amarela e azul. Sem olhar para a sacola, qual é a quantidade mínima de meias que precisamos retirar da mesma para garantir pelo menos um par de meias da mesma cor?
2. O pai do padre é lho único de meu pai. O que eu sou do padre? 3. Numa mesa há 5 cartas:
Q T 3 4 6
Cada carta tem de um lado um número natural e do outro lado uma letra. João a rma: Qualquer carta que tenha uma vogal tem um número par do outro lado. Pedro provou que João mente virando somente uma das cartas. Qual das 5 cartas foi a que Pedro virou?
4. A polícia prende 4 homens, um dos quais é culpado de um furto. Eles fazem as seguintes declarações:
• Arnaldo: Bernaldo é o culpável. • Bernaldo: Cernaldo é o culpável. • Dernaldo: eu não sou culpável.
• Cernaldo: Bernaldo mente ao dizer que eu sou culpável. Se se sabe que só uma destas declarações é a verdadeira, quem é culpável pelo furto?
1.6 Exercícios 27
5. Numa cidade existe uma pessoa X que sempre mente terças, quintas e sábados e é completamente sincera o resto dos dias da semana. Felipe chega um certo dia na cidade e mantém o seguinte diálogo com a pessoa X:
Felipe: Que dia é hoje? X: Sábado.
Felipe: Que dia será amanhã? X: Quarta-feira.
Em qual dia da semana foi mantido este diálogo?
6. Divida o relógio de parede abaixo em 6 partes iguais de forma tal que a soma das horas que cam em cada parte seja a mesma.n
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 •
7. João adora Gabriela, que é uma aluna excelente em Matemática. João armou um plano para dar um beijo nela, e descobriu que poderá fazer isso apenas dizendo uma frase. Que frase é essa? 8. No plano se colocam 187 rodas dentadas do mesmo diâmetro,
enumeradas de 1 até 187. A roda 1 é acoplada com a roda 2, a 2 com a 3, . . . , a 186 com a 187 e esta última com a roda 1. Pode tal sistema girar?
9. Um canal, em forma quadrada, de 4 metros de largura rodeia um castelo. A ponte do castelo está fechada e um intruso quer entrar no castelo usando duas pranchas de 3,5 metros de comprimento. Será que o intruso consegue?
10. Os números 1, 2, 3, . . . , 99 são escritos no quadro-negro e é permi-tido realizar a seguinte operação: apagar dois deles e substituí-los pela diferença do maior com o menor. Fazemos esta operação sucessivamente até restar apenas um último número no quadro. Pode o último número que restou ser o zero?
11. Alguém elege dois números, não necessariamente distintos, no conjunto de números naturais 2, . . . , 20. O valor da soma destes números é dado somente a Adriano (A) e o valor do produto dos números é dado unicamente a Karla (K).
Pelo telefone A diz a K: Não é possível que descubras minha soma.
Uma hora mais tarde, K lhe diz a A: Ah! sabendo disso, já sei quanto vale tua soma!
Mais tarde A chama outra vez a K e lhe informa: Poxa, agora eu também conheço teu produto!
Quais números foram eleitos?
12. É possível cobrir um tabuleiro de xadrez com 31 dominós onde removemos as casas dos vértices superior esquerdo e inferior di-reito?
1.6 Exercícios 29
É possível separar duas moedas de pesos diferentes com 7 pesa-gens?
14. Quantas vezes precisamos dobrar um papel de 1mm de espessura para que a altura da pilha chegue da Terra à Lua?
15. Descubra o erro da prova da a rmação abaixo:
A rmação: Três é igual a dois.
Seja x um número diferente de zero. Temos que:
3x− 3x = 2x − 2x.
Colocando x − x em evidência, temos que: 3(x− x) = 2(x − x).
