Equação de Schrödinger e Suas Aplicações

Equação de Schrödinger e

Suas Aplicações

André Luis Bonfim Bathista e Silva

Instituto de Física de São Carlos – Universidade de São Paulo

São Carlos – 2003

1 Introdução

Em 1926, o físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961) publicou quatro trabalhos nos Annales de Physique Leipzig (1) nos quais desenvolveu a sua famosa Mecânica Quântica Ondulatória, cujo resultado principal é a equação para as órbitas estacionárias dos elétrons atômicos, a igualmente famosa equação de Schrödinger:

( ) ₂

[

(, , )

]

( , , ) 0 2 , , 2_{Ψ + − Ψ =} ∇ _xyz E V_{xyz xyz} m h _[1]

Em relação ao trabalho de Bohr, o trabalho de Schrödinger foi bem mais completo. Uma vez que prevê também o seguinte:

• As autofunções são correspondentes a cada autovalor.

• Prevê o cálculo da probabilidade de um determinado estado.

• Prevê o cálculo da probabilidade de transição de um estado para outro. • Calcula os momentos angulares orbitais.

A equação de Schrödinger nada mais é que uma equação diferencial de segunda ordem,a qual podemos aplicar para um sistema como o átomo de 1H e calcularmos os seus níveis de energias correspondentes. Historicamente foi o primeiro sistema que Schrödinger tratou, onde os autovalores de energia são os mesmos que previstos por Bohr.

2 Construção da Equação de Schrödinger

Primeiramente temos que resolver um problema de dois corpos. Neste caso, podemos reduzir o sistema de dois corpos a um sistema de um corpo (2), considerando a massa reduzida do sistema: 2 1 2 1 m m m m + = µ [2]

Este é o termo que é introduzido na equação Schrödinger e podemos adquiri-lo através do cálculo do centro de massa e para acharmos o centro de massa temos que fazer a seguinte igualdade m1r1=m2r2 e se variarmos r logo teremos o centro de massa. Considerando m2>>m1

2 2 1 1r m r m = [3] 2 1 r r r = + [4] 2 1 r r r = − ; r₂ =r−r₁ [4.1] Substituindo [4.1] em [3] obtemos, r m m m r 1 2 2 1= ₊ e r m m m r 2 1 1 2 = ₊ [5]

Como o próton e o elétron estão translacionando e girando com velocidades próprias. Podemos obter a expressão da energia cinética total do sistema e a velocidade angular.

2 2 2 2 2 2 1 1v m v m E_K = + [6] 1 1 r v = ω e 2 2 r v = ω

(

2 2

)

2 2 2 2 1 1 2 1 ω ω m r r m E_K = + [7]

(

2

)

2 2 2 2 1 1 2 1 ω r m r m E_K = +

sendo

(

₁₁2 _{2 2}2

)

2 1 r m r m I = + [8] Substituindo [5] em [8] 2 2 1 2 1 2 1 r m m m m I _      + = [9] 2 1 2 1 m m m m + = µ [10] 2 2 2 1_{µr ω} EK = [11]

No átomo de 1H o núcleo é massivo e o elétron tem massa reduzida µ dada pela eq. [10] de tal maneira que gira em torno do núcleo estacionário.

Figura 1: representação do átomo de hidrogênio O potencial de interação (coulombiano) do elétron-próton é dado pela relação

( ) 2 2 2 1/2 0 2 , , ) ( 4 . z y x e Z V_xyz + + − = πε [12]

Onde e- = carga do elétron, Z = carga do núcleo ( para o 1H, Z = 1)

A eq. de Schroedinger dependente do tempo para este sistema é a seguinte relação, conforme mostrado abaixo:

t i V z y x t z y x t z y x z y x t z y x _∂ Ψ ∂ = Ψ + Ψ       ∂ + ∂ + ∂ − (, , ,) ) , , , ( ) , , ( ) , , , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 h h µ [13]

ou numa notação mais compacta: onde se consideramos o operador laplaciano

2 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ + ∂ + ∂ = ∇ [14]

Assim a eq. de Schroedinger pode ser reescrita assim:

2 2 2 t i V ∂ Ψ ∂ = Ψ + Ψ ∇ _h h µ [15]

Cuja solução é dada:

e-iEt/ z) y, (x, t) z, y, (x, =ϕ h Ψ [16]

Onde ψ(x,y,z) é a função onda independente do tempo dada pela resolução da eq. de Schroedinger

independente do tempo a seguir:

) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 2 2 ∇ Ψxyz +VxyzΨxyz =EΨxyz − µ h _[17] ou Ψ = Ψ + Ψ       _∂ + ∂ + ∂ − V E z y x 2 (x,y,z,) (x,y,z) (x,y,z,) 2 2 2 2 2 2 2µ h (x,y,z) [18]

Para resolvermos a equação acima é melhor escreve-la em coordenadas esféricas e usar o método de separação de variáveis

elétron φ θ Próton _y x z

Figura 2: representação da interação coulômbiana entre o próton e o elétron, aplicando as notações de coordenadas esféricas para resolver a equação de Schrödinger.

De acordo com a Figura 2, r é o raio vetor posição do elétron,

2 2

2 _{y z}

x

r = + + [19]

θ é o angulo polar, o qual cresce a partir do eixo z para o plano xy

2 2 2 _y x arccos z z + + = θ [20]

e φ é o ângulo azimutal, o qual cresce de x para y.

x y arctg = ϕ [21] onde temos      = = = θ φ θ φ θ rcos z sen rsen y cos sen r x

E o laplaciano em coordenadas esféricas é dado assim:

2 2 2 2 2 2 2 2 sen 1 ) (sen sen 1 ) ( 1 ϕ θ θ θ θ θ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ r r r r r r [22]

A equação de Schroedinger em coordenadas esféricas fica assim após aplicarmos o operador laplaciano esférico: eq. [18]

) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 sen 1 sen sen 1 1 2µ θ θ θ θ θ ϕ Vrθ ϕ rθ φ E rθφ r r r r r r _+ Ψ = Ψ     ∂ Ψ ∂ +       ∂ Ψ ∂ ∂ ∂ +       ∂ Ψ ∂ ∂ ∂ − h [23 ]

Nota importante: Podemos escrever a função de onda Ψ_(r,θ,φ) Como um produto de três funções (3) tal que

(

,φ,θ

)

= ( )Φ(φ)Θ(θ)

Ψ r R r

1. A primeira R(r) = dependência em r ( radial afastamento do elétron) 2. A segunda Θ(θ) = dependência em θ (mostra a posição polar do elétron) 3. A outra função Φ(ϕ) = mede a posição azimutal do elétron na sua trajetória

Podemos realizar esta representação porque há um campo de força central na equação. Aplicando agora a separação de variáveis. A equação [23] pode ser reescrita (veja notação da derivada e o que deriva parte constante fica fora da derivada)

ΘΦ = ΘΦ +       Θ Φ +       Θ Φ +       ΘΦ − ER sen 1 sen sen 1 1 2 2 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 R V d d r R d d d d r R dr dR r dr d r θ θ θ θ θ ϕ rθ ϕ µ h ΘΦ = ΘΦ +       Θ Φ +       Θ Φ +       ΘΦ − ( ) ER sen 1 sen sen 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R r V d d r R d d d d r R dr dR r dr d r θ θ θ θ θ ϕ µ h [24]

Substituindo o potencial V(r )=- e divindopor RΘΦ

4 ₀ 2 r e πε a equação [23] fica: 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ₁ 4 sen 2 sen sen sen m d d r e E r d d d d dr dR r dr d R =− Φ Φ − =       + +             Θ Θ +       ϕ πε θ µ θ θ θ θ θ h [25] ) (constante 1 2 2 2 m d d Φ ₌₋ Φ − ϕ

2 0 2 2 2 2 2 2 2 4 sen 2 sen sen sen m r e E r d d d d dr dR r dr d R _=−     + +             Θ Θ +       πε θ µ θ θ θ θ θ h [26]

Multiplicando por r2sen2 θ todos os membros fica

0 4 sen 2 1 sen sen 1 sen 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       + +       Φ Φ +       Θ Θ +       r e E r d d d d d d dr dR r dr d R θ πε µ ϕ θ θ θ θ θ h Ou 0 4 sen 2 sen sen sen sen sen sen 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       + +       Φ Φ +       Θ Θ +       r e E r d d r r d d d d r r dr dR r dr d r R r πε θ µ ϕ θ θ θ θ θ θ θ θ h Isolando os termos em ϕ (passando ao segundo membro)

Note : do lado direito a equação depende só de ϕ e do lado esquerdo a dependência é em θ e r. Como temos uma igualdade a constante de separação (-m2) deve ser a mesma para ambas as equações. 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ₁ 4 sen 2 sen sen sen m d d r e E r d d d d dr dR r dr d R =− Φ Φ − =       + +             Θ Θ +       ϕ πε θ µ θ θ θ θ θ h ) (constante 1 2 2 2 m d d − = Φ Φ − ϕ 2 0 2 2 2 2 2 2 2 4 sen 2 sen sen sen m r e E r d d d d dr dR r dr d R _=−     + +             Θ Θ +       πε θ µ θ θ θ θ θ h [27] 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ₁ 4 sen 2 sen sen 1 sen

ϕ

πε

θ

µ

θ

θ

θ

θ

θ

d d r e E r d d d d dr dR r dr d R Φ Φ − =       + +             Θ Θ +       h

im raizes cujas 0 d ou 1 2 2 2 2 2 2 ± = = + Φ − = Φ Φ dϕ m dϕ m λ d logo a solução é Ne ) (ϕ = ±imϕ Φ [28]

que é a solução particular, sendo m número quântico magnético. Φ(ϕ) é a função onda átomo de

1_{H que contém toda a dependência em função do Potencial ϕ. Onde ϕ varia de 0 a 2π.}

Normalizando a função Φ(ϕ) 1 = Φ Φ

∫

= = Φ Φ π ϕ ϕ _ϕ 2 0 im - ₁ Ne *e d N im

∫

= = Φ Φ 2π ϕ ϕ ϕ 0 im -2 _{e e d 1} N im [29] ou π π 2 1 N 1 ] 2 [ 2 _{= ⇒ =} N

logo a função vale

ϕ π ϕ _eim 2 1 ) ( = Φ [30]

como únicaΦ(ϕ)=Φ(ϕ+2π)⇒ela é

m i m e e e eimϕ ₌ imϕ im2π _⇒1= 2πim _{⇒1=cos2π + sen2π} magnético) quântico número ( inteiro m 3... 2 1 0 m se satisfaz = ± ± ± = que veja escolhe a

solução λ = im (movimento de giro elétron sentido horário). Assim temos até o momento

) ( ) ( 2 1 ) , , ( ϕ π ϕ θ ₌ ϕ _Φ Ψ r eim R r _[31]

Tomando a equação [27] (5.15), 2 0 2 2 2 2 2 2 2 4 sen 2 sen sen sen m r e E r d d d d dr dR r dr d R _=−     + +             Θ Θ +       πε θ µ θ θ θ θ θ h Dividindo por _{sen fica} 2θ

sen 4 2 sen 1 1 2 2 0 2 2 2 2 θ πε µ θ θ θ m r e E r d d d d dr dR r dr d R _=−     + +             Θ Θ +       h [32]

Separando os termos da R(r ) da função Θ(θ) fica

sen 1 sen 4 2 1 2 2 0 2 2 2 2       Θ Θ − − =       + +       θ θ θ θ πε µ d d d d m r e E r dr dR r dr d R _h [33] mesma a é separação de constante a igualdade a devido ) 1 ( sen 1 sen 4 2 1 2 2 0 2 2 2 2 _{= +}      Θ Θ − − =       + +       _{l l} d d d d m r e E r dr dR r dr d R πε θ θ θ θ µ h [34] ) 1 ( 4 2 1 0 2 2 2 2 _{= +}       + +       l l r e E r dr dR r dr d R πε µ h [35] Ou ) 1 ( sen 1 sen2 2 + =       Θ Θ − − l l d d d d m θ θ θ θ [36]

0 ) 1 ( 4 2 1 ) 1 ( 4 2 1 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 =         + +       + +       + =       + +       R l l r e E dr dR r dr d r ou R l l R r e E dr dR r dr d r πε µ πε µ h h [37]

Esta é a equação Radial – cujas soluções são as funções de Laguerre. Apresentaremos a solução que é: Solução particular:

)

(

2

)

(

12 2 ₁1 2 / 3

ξ

ξ

ξ ₊ + −













−

=

l n l n

e

L

na

r

R

_[38] Sendo

∑

−−

[

]

= + + + _{− − − + +} + −       + − − = 1 0 2 1 2 / 1 3 1 2 ! )! 1 2 ( )! 1 ( )! ( ) 1 ( . ] )! [( 2 ! ) 1 ( ) ( n l p p p l l n p p l p l n l n l n n l n L ξ ξ Com na r 2 = ξ n = 1,2,3..., l = 0,1,2,3..., m = l,-l+1,...l-1,l Se n=1, l=0, _e r a a r R / 2 / 3 10 2 1 ) (  −      =

Veja que se n=2, l=1 temos dois l=o e l=1, Nota ₂

2 mq a= h a r l a r _e a r a r R e e a r a r R /2 2 / 3 2 2 / 2 / 3 20 3 2 1 ) ( ) 2 ( 2 1 ) ( −  −      = −       = A outra equação:

(

)

0 sen 1 sen sen 1 2 2 = Θ       − + +       Θ θ θ θ θ θ me l l d d d d

As soluções desta equação são as funções associadas de Legendre. Os harmônicos esféricos – são soluções das equações diferenciais: Φ(ϕ Θ). (θ)representadas por

[

]

θ ξ ξ ξ ξ θ ξ θ θ θ π ϕ θ ϕ cos ) 1 ( ! 2 1 ) ( ) (cos ) ( sen ) ( ) ( )! ( 4 )! ( 1 2 ) , ( 2 2 / 1 = − = =         + − + = onde d d l P d P d P onde e P m l m l l Y l l l l l m l m m m l im m l lm

A solução geral para o átomo de Hidrogênio é : Ψ_nlm(r,θ,ϕ)=R_n(r)Y_lm(θ,ϕ)e-(i/h)Et

Que pode ser escrita assim:

Com na r 2 = ξ

n =1,2,3... número quântico principal

l =0,1,2,3... número quântico de momento angular

m = l,-l+1,...l-1,l número quântico magnético

[

]

i E_nt lm l n p p p l l n l nlm Y e p p l p l n l n l n n l n L e na r ( / ) 1 0 2 1 2 / 1 1 2 2 1 2 / 3 _{. ( , )} ! )! 1 2 ( )! 1 ( )! ( ) 1 ( . ! ] [ 2 ! ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) , , ( −− − h = + + + −

∑

− _{− − −}+ _{+ +}       + − − − = Ψ θ ϕ ξξ ξ ξ θ ϕ

3 Números Quânticos

Cada conjunto de n, l, m define uma função de onda – que é um estado eletrônico do átomo. n = 1 camada k n = 2 camada l n = 3 camada m n = 4 camada n n = 5 camada o

As funções de onda de cada camada são chamadas de orbitais. a) para cada valor de n, há n-1 valor de l

n = 1 l = 0

n = 2 l = 1

n = 3 l = 2

n define o estado de energia

b) para cada valor de l há (2l+1) valor de m. -l< m < l

l = 0 m = 0 l = 1      = = − = 1 0 1 m m m

l = 2 -l<m<l         = = = − = − = 2 1 0 1 2 m m m m m l = 1 -l<m<l      = = − = 1 0 1 m m m l = 0 m = 0

Concluindo, quando resolvemos a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio, obtemos as energias para os níveis energéticos (En) e os orbitais atômicos (Ψn,l,m). Temos então

um diagrama de níveis energéticos no interior do átomo, i. e., dizemos que um átomo se constitui de um sistema energético quantizado.

Foi no Annales 80, que Schrödinger estudou o efeito Stark através de sua Mecânica Quântica Ondulatória (1).

4 Função de Onda na Concepção de Max Born

Born (1928) deu um passo a esta dificuldade propondo uma interpretação estatística das funções de ondas do elétron, à qual, devido às inúmeras vantagens apresentadas, tem sido amplamente aceita. Born supôs que as ondas não têm existência real, e assim, as define como ondas de probabilidade.

O produto Ψ*Ψ ou Ψ em um ponto representa a densidade de probabilidade de 2 encontrar o elétron, ou um outro corpúsculo qualquer, em um ponto x, y, z, num dado instante t e igualdade dv dxdydz 2 2 Ψ = Ψ

Representando a densidade de probabilidade de encontrar o mesmo elétron em um elemento de volume dv, e também o número de elétrons dentro do mesmo volume. Esta interpretação teve um pleno acordo com as condições de Schrödinger (5).

Em processos vibratórios o conhecimento da amplitude é importante como o conhecimento da freqüência própria; analogamente, é de se esperar que, em mecânica ondulatória, esteja ligado um importante significado físico à função de onda Ψ ou antes, ao quadrado do seu módulo, visto ser evidente que o valor instantâneo da própria função oscilatória não pode desempenhar qualquer papel em virtude da sua alta freqüência. O motivo por que se toma o quadrado do módulo é que a própria função de onda (devido ao coeficiente imaginário da derivada em ordem ao tempo da equação diferencial) é uma quantidade complexa, enquanto as grandezas suscetíveis de interpretação física devem evidentemente ser reais (6).

Suponhamos que no estado caracterizado pela função de onda Ψ1 se efetua uma medição

que conduz com certeza a um determinado resultado, e que o mesmo fazendo o estado no estado Ψ2, conduz ao resultado 2. Admite-se então a combinação linear de Ψ1 e Ψ2, o que significa que

toda função de forma CΨ1 + CΨ2 (C1 e C2 , constantes) representa um estado em que a mesma

medição pode dar um resultado 1 ou o resultado 2. Podendo afirmar, que se conhecemos a dependência dos estados com respeito ao tempo, dependência a qual é dada pela função Ψ1 (x,t)

e em outro, por Ψ2 (x,t), pode-se notar que qualquer combinação linear destas dá também a

possível dependência de um estado do tempo. Estas afirmações constituem o conteúdo do princípio de superposição dos estados – um princípio positivo fundamental de mecânica quântica (7).

5 Valor Esperado da Função de Onda

Consideramos uma partícula e onda associada, a função Ψ(r,t) e se essa função não se

anula num intervalo entre r e r + dr, na medida de sua posição há uma probabilidade finita dessa partícula ser encontrada. Não podemos, atribuir a coordenada um valor bem definido, no entanto, é possível especificarmos uma posição média da partícula.

Imaginemos a medida da posição da partícula no instante t, a probabilidade de encontrá-la entre r e r + dr é dada peencontrá-la equação.

) , ( ) , ( ) , (rt rt rt P =ψ∗ ψ (16)

onde P(r,t) é a probabilidade de encontramos a partícula. Repetindo essa experiência a uma certa

freqüência no mesmo instante e registrando os valores de P(r,t), podemos usar a média dos valores

observados para caracterizar a posição da partícula no instante t.

Este valor é representado por <r>, valor esperado da coordenada r. Veja abaixo como podemos demonstrar matematicamente este cálculo.

∫

+∞ ∞ − >= <r rP_{(r ),t} dr (17) como: P_(r,t) =ψ∗(r,t)ψ_(r,t),

substituímos (16) em (17) temos que:

∫

+∞ ∞ − ∗ >= <r rψ (r,t)ψ(r,t)dr (18)

6 Aplicação da Equação de Schrödinger

Tabela 1: Exemplos do operador Hamiltoniano para o movimento de uma partícula de massa m em diferentes campos de força definidos pela função (operador) potencial V.

Operador

(a) Partícula livre _V=0

x 2 2 2 2 ˆ dx d m H =−h (b) barreira de potencial V=V0 x 0 a 2 2 2 2 ˆ dx d m H =−h (x<0; x>0) 0 2 2 2 2 ˆ _V dx d m H = h− + (0<x<a) (c) Oscilador harmônico V=(1/2)Kx2 x K 2 2 2 2 2 1 2 ˆ _Kx dx d m H = h− +

Tabela 3: Exemplos do operador para átomos e moléculas.[4.A]

Operador H (a) Átomos de um elétron r Ze m H 2 2 2 2 ˆ _{= h− ∇ −} (b) Átomos de muitos elétrons

∑

=

∑

=

∑∑

> + − ∇ − = i j i ij n j j n i r e r Ze m H 2 1 2 1 2 2 2 ˆ h (c) moléculas

∑∑

∑ ∑

∑

∑∑

∑

> > = = + + − ∇ − ∇ − = i j i ij n i i i i n i r e Z Z r e r e Z m m H α β α αβ α α β α α α α 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ˆ h h

6.1 Poço de Potencial não relativístico

Considerando um potencial degrau unidimensional definido por

( )

x = x0 <, 0 V

( )

x =V₀,x>0 V

Ψ

_Ι

Ψ

_ΙΙ

V

₀

x

₍₀₎

= 0

x

Supor que uma energia incidente da esquerda para a direita tem energia E = 4V0. Neste exemplo

podemos calcular a probabilidade de que a onda será refletida (coeficiente de reflexão). Analisando o contorno do problema, para V( =x) 0 quando x<0, o potencial na região I é nulo e consideramos a partícula livre. A equação de Schrödinger se reduz à.

I I _E x m ∂ = Ψ Ψ ∂ − 2 2 ₂ 2 h I I m_E x = Ψ ∂ Ψ ∂ − 2 ₂ 2₂ h 0 2 2 2 2 = Ψ + ∂ Ψ ∂ I I m_E x _h sendo 12 ₂ 2 h mE k = 0 2 1 2 2 = Ψ + ∂ Ψ ∂ I I _{k E} x As raízes da equação:

0 2 1 2 _{+ k =} λ , 2 1 2 _=−k λ , λ=±ik₁ x ik x ik I = Ae 1 + Be − 1 Ψ sendo     → → − _{onda refletida} Be incidente onda Ae x ik x ik 1 1 Solução geral h / iEt I I =Ψ e− Ψ

(

_{1 1}

)

iEt/h I x ik x ik I = Ae +Be− Ψ e− Ψ (k₁x Et/h) ii(k₁x Et/h) i I = Ae − +Be− + Ψ

Na região II há um potencial V(x), sendo assim a partícula sofre uma ação do potencial.

II II II V E m∇ Ψ + Ψ = Ψ − 2 2 ₀ 2 h

[

]

II II E V m∇ Ψ = − Ψ − 2 2 ₀ 2 h

[

]

0 2 0 2 2_{Ψ + − Ψ =} ∇ _II m E V _II h Considerando k_II2 =2m₂

[

E−V₀

]

h 0 2 2_{Ψ + Ψ =} ∇ _II k_{II II}

Achando as raízes da equação

0 2 2 2 _{+ k =} λ , λ2 =−k22, λ=±ik2

(

ik x ik x

)

II = Ce 2 +De− 2 Ψ A solução aceitável é x ik II =Ce 2 Ψ

Solução geral h / iEt II II =Ψ e Ψ h / 2x iEt ik II =Ce e Ψ (k₂x Et/h) i II =Ce − Ψ

logo temos as duas funções para as duas regiões I e II

x ik x ik I = Ae 1 + Be − 1 Ψ para x≤0 x ik II =Ce 2 Ψ para x≥0

Analisando as condições de contorno

a) Ψ_I |_x=0=Ψ_II |_{x=0 Ae}ik₁x _+Be−ik₁x _=Ceik₂x

A+B=C deve ser contínua no ponto x=0 b) A sua derivada também

0 0 | | _{= =} ∂ Ψ ∂ = ∂ Ψ ∂ x II x I x x x ik x ik x ik _{ik Be ik Ce} Ae ik 2 2 1 1 1 1 − − =

(

A B

)

ik C ik₁ − = ₂

(

)

C k k B A 1 2 = − Montando o sistema

Achando B Achando C      = − = + + C k k B A C B A 1 2 C C k k A= + 1 2 2       + = 1 2 1 2 k k C A      − ⋅ = − = + + ) 1 ( 1 2 _C k k B A C B A       − = 1 2 1 2 k k C B       − = 1 2 1 2 k k k C B C B k k k C _{+ =}       + 1 2 1 2 0 2 1 1 2 1 ₌       + + k k k C B       + − = 1 2 1 2 k k k B C Substituindo os valores de A, B e C em Ψ e _I Ψ _II ( h) (1 /h) 1 2 1 / 1 1 2 1 2 2 Et x k i Et x k i I e k k k C e k k k C − − −       − +       + = Ψ x<0 ( ) ( )               − +       + = Ψ − h − ₁ − /h 1 2 1 / 1 1 2 1 2 Et x k i Et x k i I e k k k e k k k C x<0 ( ₂ /h) 1 2 1 2 ik x Et II e k k k B _ −      − − = Ψ

Obedecendo ao princípio da complementaridade temos a combinação linear do dois estados da função de onda II I Total =Ψ +Ψ Ψ ( h) ( h) ( ₂ /h) 1 2 1 / 1 1 2 1 / 1 1 2 1 ₂ 2 Et x k i Et x k i Et x k i Total e k k k B e k k k e k k k C − − − −       − −             − +       + = Ψ

BIBLIOGRAFIA:

(1) Bassalo, J. M. F. Nascimentos da Física (1901-1950), Belém: EDUFPA, 2000. 503 p (2) Peixoto, E.M.A. Química Nova, (1978)

(3) Eisberg, R. Resnick, R. Física Quântica, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979. 15ª Edição. (4) Bathista, A.L.B.S., Nogueira, J. S. Uma Breve Discussão da Mecânica Quântica IX Encontro

de Iniciação Científica, Cuiabá, UFMT. 2001.

(5) Rey, A.B. Mecânica Quântica e Ondulatória, In: Fisica/Química Modernas. V. 3, SP, Ed. Fortaleza, 1970.

(6) Born, M., Física Atômica, 1962, 4ª Edição. Ed: Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa. (7) Landau, L. Lifshitz, E. Mecânica Quântica, Teoria não relativista, 1985. Mir, Moscou. Vol.1.