Natureza ondulatória da luz

Estrutura da Matéria

Prof. Fanny Nascimento Costa

(fanny.costa@ufabc.edu.br)

Aula 07

• Revisão da última aula • Orbitais

• Números quânticos

• Todas as ondas têm um comprimento de onda característico,

λ

, e uma

amplitude, A

• A frequência,

ν

, de uma onda é o número de ciclos que passam por um ponto em um segundo

• A velocidade de uma onda, v, é dada por sua frequência multiplicada pelo seu comprimento de onda

• Para a luz, velocidade = c

• A teoria atômica moderna surgiu a partir de estudos sobre a

interação da radiação com a matéria

• A radiação eletromagnética se movimenta através do vácuo com uma velocidade de 3,00 × 108 _m/s

• As ondas eletromagnéticas têm características ondulatórias semelhantes às ondas que se movem na água

• Por exemplo: a radiação visível tem comprimentos de onda entre 400 nm (violeta) e 750 nm (vermelho).

• Planck: a energia só pode ser liberada (ou absorvida) por átomos em certos pedaços de tamanhos mínimos, chamados quantum

• A relação entre a energia e a frequência é

E = hv

onde h é a constante de Planck (6,626 × 10-34 _{J s)}

• Para entender a quantização, considere a subida em uma rampa versus

a subida em uma escada:

• Para a rampa, há uma alteração constante na altura, enquanto na

O efeito fotoelétrico e fótons

• O efeito fotoelétrico fornece evidências para a natureza de partícula da luz - “quantização”

• Se a luz brilha na superfície de um metal, há um ponto no qual os

elétrons são expelidos dele

• Os elétrons somente serão expelidos se a frequência mínima é alcançada

• Abaixo da frequência mínima, nenhum elétron é expelido

• Acima da frequência mínima, o número de elétrons expelidos depende da intensidade da luz

O efeito fotoelétrico e os fótons

•

Einstein supôs que a luz trafega em pacotes de

energia denominados

fótons

•

A energia de um fóton:





h

E

O modelo de Bohr

• Rutherford supôs que os elétrons orbitavam o núcleo da mesma forma que os planetas orbitam em torno do sol

• Entretanto, uma partícula carregada movendo em uma trajetória circular deve perder energia

• Isso significa que o átomo deve ser instável de acordo com a teoria de Rutherford

• Bohr observou o espectro de linhas de determinados elementos e admitiu que os elétrons estavam confinados em estados específicos de energia. Esses foram denominados órbitas

O modelo de Bohr

• Já que os estados de energia são quantizados, a luz emitida por átomos excitados deve ser quantizada e aparecer como espectro de linhas

• Após muita matemática, Bohr mostrou que

onde n é o número quântico principal (por exemplo, n = 1, 2, 3, … e nada mais)

























2

18

_J

1

10

18

.

2

n

E

A primeira órbita no modelo de Bohr tem

n

=

1, é a mais próxima do núcleo e

convencionou-se que ela tem energia negativa

A órbita mais distante no modelo de Bohr tem

n

próximo ao infinito e corresponde à energia zero

Os elétrons no modelo de Bohr podem se mover apenas entre órbitas através da absorção e da emissão de energia em quantum (h

ν

)

Espectro de linhas e o modelo de Bohr

O modelo de Bohr

• Podemos mostrar que:

• Quando n_i > n_f, a energia é emitida

• Quando n_f > n_i, a energia é absorvida





_































 2 2

18

1

1

J

10

18

.

2

i f

n

n

hc

h

E





Limitações do modelo de Bohr

• Pode explicar adequadamente apenas o espectro de linhas do átomo de hidrogênio

• Os elétrons não são completamente descritos como partículas pequenas

Comportamento ondulatório da matéria

Após o desenvolvimento de Bohr para o átomo de hidrogênio, a natureza dual da energia radiante tornou-se um conceito familiar

Louis De Broglie (1892-1987)

Se a energia radiante pudesse se comportar, sob condições apropriadas, como um feixe de partículas, a matéria, sob condições apropriadas, poderia possivelmente se comportar como uma onda?

Para De Broglie

Elétron se comportava como uma onda estacionária

+

Comportamento ondulatório da matéria

+

-

• Sabendo-se que a luz tem uma natureza de partícula, parece razoável perguntar se a matéria tem natureza ondulatória

• Utilizando as equações de Einstein e de Planck, De Broglie mostrou:

• O momento,

mv

, é uma

propriedade de partícula, enquanto o

comprimento de onda,

λ

,

é uma propriedade ondulatória

• de Broglie resumiu os conceitos de ondas e partículas, com efeitos notáveis se os objetos são pequenos

h

h

mv

p

Comprimento de onda de de Broglie

ondas estacionárias preenchendo órbitas circulares

comprimento da circunferência deve ser

um número inteiro n de comprimentos de onda

e

E

hc

p

E

h

c

h

h

p

mv

















comprimento de onda de de Broglie

De Broglie postulou que, em virtude dos fótons terem características ondulatórias e corpusculares, talvez todas as formas de matéria tivessem propriedades ondulatórias e também corpusculares

E

h

Onda estacionária

Não se propagam ao longo da corda

Louis De Broglie (1892-1987)

Argumenta que, se o elétron realmente se comporta como uma onda estacionária, no átomo de hidrogênio, o comprimento de onda deve se ajustar exatamente à circunferência da órbita. Caso contrário, a própria onda se cancelaria parcialmente em cada órbita sucessiva (no final, a amplitude da onda seria reduzida a zero e a onda deixaria de existir)

+

-





r



n

2

r



n

, número inteiro (1,2,3,…)

+

- r 

mv

h





velocidade da partícula

massa da partícula

p

h





ou

Comportamento ondulatório da matéria

Louis De Broglie (1892-1987)

Estudo do comportamento e das leis do

movimento para partículas microscópicas

ANTECEDENTES:

•

Teoria da quantização da energia (Max Planck): E = h.



•

Dualidade onda-partícula (L.de Broglie):



= h / p = h / mv

•

Princípio de incerteza (Heisenberg):

•

Energia de Bohr:





.

4

h

Δx.Δp

Mecânica Quântica

2 2 2 0 0 2 18 0 0 1, 2,3, 4 2

Mecânica Quântica

A descoberta das propriedades ondulatórias da matéria levantou algumas questões novas e interessantes sobre a física clássica

Considerando uma bola descendo uma rampa. Usando a física clássica, podemos calcular sua posição, direção do movimento e velocidade a qualquer momento, com grande exatidão

A descoberta das propriedades ondulatórias da matéria levantou algumas questões novas e interessantes sobre a física clássica

Considerando uma bola descendo uma rampa. Usando a física clássica, podemos calcular sua posição, direção do movimento e velocidade a qualquer momento, com grande exatidão

Podemos fazer o mesmo para o elétron???

Não se pode definir a localização precisa de uma onda porque ela se estende no espaço

Princípio de Incerteza de Heisenberg

Quando experimentos são realizados, o experimentador sempre se depara com incertezas experimentais nas medidas

A Mecânica Clássica permite que sejam realizados experimentos com incertezas experimentais arbitrárias muito pequenas.

Por outro lado, a Mecânica Quântica prediz que a barreira para medidas com incertezas desprezíveis não existe

Em 1927, Heisenberg introduziu o Princípio da Incerteza:

Se uma medida da posição de uma partícula for realizada com precisão

Δx e uma medida simultânea do momento linear é feita com precisão Δp,

Matematicamente…

2

2

2































p

z

p

y

p

x

Quanto maior a vida média de um estado de energia, menor é a largura

de seu estado

2











E

t

Princípio da Complementaridade

As naturezas

ondulatória

e

corpuscular

do elétron não

Considerações / Mecânica Quântica

Como a Mecânica Quântica não é determinista a função de onda do sistema não pode especificar com exatidão a posição e o momento do sistema (princípio da incerteza)

Max Born, com uma interpretação estatística para a função de onda introduziu o quadrado da função de onda, e chamou de densidade de probabilidade |

Ψ

|2

Erwin Schrödinger (1887-1961)

Mecânica quântica

Para descrever um estado estacionário é necessário conhecer sua função de onda espacial

ψ(

x,y,z

) e sua energia

E

O quadrado do módulo da função de onda

[

ψ(

x,y,z,t

)]

2

_dV

_{de uma}

partícula se deslocando em três dimensões representa a probabilidade de encontrar a partícula num tempo

t

dentro de um volume

dV

em torno do ponto (

x,y,z

) considerado

[

ψ(

x,y,z,t

)]

2 _{é normalmente chamada de função de distribuição (ou}

densidade) de probabilidade, pois descreve como a probabilidade de encontrar a partícula em diferentes locais está distribuída

• Schrödinger propôs uma equação que contém os termos onda e partícula

• A resolução da equação leva às funções de onda

• A função de onda fornece o contorno do orbital eletrônico

• O quadrado da função de onda fornece a probabilidade de se encontrar o elétron, isto é, dá a densidade eletrônica para o átomo

Postulados da Mecânica Quântica

Erwin Schrödinger, em 1927, propõe uma equação diferencial, conhecida atualmente como equação de onda de Schrödinger, que incorpora tanto o comportamento ondulatório como o de partícula do elétron, e que permite, em princípio, encontrar a função de onda de qualquer estado físico

• A energia do átomo está quantizada. Só alguns estados energéticos são permitidos (descritos por números quânticos)

• Mudança entre estados: E = h.

• Aproximação estatística à posição do e-_{: Orbital}

• Descrição de estado e movimento do e- _{mediante uma função de onda:}



_n,l,m

₌



₍

x,y,z

)

A mecânica quântica possui caráter estatístico

equação fundamental da quântica

operador Hamiltoniano

autovalores

i i i

2 2 2 2 2 2 2

8.

.

.(

).

0

(1 dimensão)

8

m

E V

h

h

d

V

E

m dx





















   

Leva em consideração o comportamento corpuscular, em

termos de massa (m) e o comportamento ondulatório, em

termo da função de onda (



)



_{Não tem significado físico}



2

_{Densidade de probabilidade de encontrar um}

elétron, chamada de

densidade de probabilidade

2 2 2 2 2 2 2

8.

.

.(

).

0

(1 dimensão)

8

m

E V

h

h

d

V

E

m dx





















   

Equação de Schrödinger

2 2 2

2

2 2 2

Operador Laplaciano

f

f

f

f

x

y

z





















Resolver a equação de Schrödinger é encontrar os autovalores e

autofunções do operador hamiltoniano do sistema (exemplo: H = T + V = energia cinética + energia potencial)

Os autovalores de um dado operador representam as grandezas físicas observáveis permitidas

Equação de Schrödinger

 

2

,

2

p

E

V x t

m





Podemos reescrever a equação de Schrödinger de uma forma um pouco diferente:

Note que, como esta equação deve ser válida para qualquer solução

ψ

(

x,t

), ela é equivalente à operação entre operadores diferenciais:

Podemos comparar esta relação com a relação clássica:

 

,

2 2₂

   

,

,

2

i

x t

V x t

x t

t

m x











_{ }

_{ }

_

_







_



_









 

2 2 2

,

2

i

V x t

t

m x





 







Operadores quânticos para momento e energia

p

i

,

E

i

x

t









A Equação de Schrödinger descreve a evolução de um

estado quântico. A partir da Equação de Schrödinger

não é possível determinar a trajetória do elétron em

torno do núcleo, mas, a uma dada energia do sistema,

obtém-se a região mais provável de encontrá-lo.

Equação de Schrödinger

Erwin Schrödinger desenvolveu um formalismo que se

propunha a descrever a característica ondulatória da

matéria, ele procurou estabelecer uma equação

diferencial que expressasse o comportamento das ondas

de matéria; e que se sabe que na Mecânica Quântica

partículas podem ter aspectos ondulatórios e

Modelo quântico

Números quânticos

Da resolução da equação de Schrödinger para o elétron num

átomo, obtemos os chamados

números quânticos

A partir das soluções que satisfazem as condições de contorno

das funções de onda obtém-se os níveis de energias permitidos

E

_n

A caracterização de cada elétron no átomo é feita por meio de 4

números quânticos:

principal

,

azimutal

,

magnético

e

magnético

de spin

A solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio produz um conjunto de

funções de onda

e

energias correspondentes

Essas

funções de onda

são chamadas

orbitais

O modelo da mecânica quântica não se refere a órbitas porque o movimento do elétron em um átomo não pode ser medido ou localizado com precisão (princípio da incerteza de Heisenberg)

Órbita ou camada (modelo de Bohr) Orbital (modelo da mecânica

quântica)

=

Órbita ou camada

(modelo de Bohr) Introduz um único número quântico (n)

O modelo da mecânica quântica usa 4 números quânticos, n, l, m_l, m_s,

para descrever um orbital

Número quântico principal (n): valores positivos e inteiros. À medida

que n aumenta, o orbital torna-se maior, e o elétron passa mais tempo

distante do núcleo

Número quântico azimutal (l): pode ter valores inteiros de 0 a n-1 para

cada valor de n. Esse número quântico define o formato do orbital

Valores de l: 0 (s) 1 (p) 2 (d) 3 (f)

Número quântico magnético (m_l): pode ter valores inteiros entre l e –l,

inclusive zero. Esse número quântico descreve a orientação do orbital no espaço

Número quântico magnético de spin (m_s): os elétrons se comportam

como um imã em função da sua rotação no sentido horário ou anti-horário

Número quântico principal (

n

): indica o nível de energia do elétron

n = 1, 2, 3, ...

À medida que

n

aumenta, o orbital torna-se maior, e o elétron passa mais tempo distante do núcleo

Número quântico azimutal (

l

): está relacionado com o subnível de energia do elétron. Esse número quântico define o formato do orbital

As soluções que satisfazem as condições de contorno na equação de Schrödinger também apresentam valores quantizados para o momento angular orbital

Número quântico azimutal ou orbital (

l

)



₁



_{(módulo do momento angular orbital)}

(

0,1, 2,3,

,

1)

L

l l

l

n









Subnível s p d f

Número quântico magnético (

m

_l): indica a orientação do orbital no espaço

O momento magnético é determinado pelo valor de m_l que aparece devido aos componentes do vetor momento angular orbital do elétron

O número quântico magnético assume valores inteiros entre

-l

e

+l

Existem

2l + 1

valores de

m

_l

Número quântico magnético (

m

ou

m

_l

)

(componente z do momento angular orbital)

(

0, 1, 2,

,

)

. :

1

-1, 0, 1

z l l l l

L

m

m

l

m

l

Ex

l

m





  



Número quântico magnético de spin (

m

_s): Os elétrons se comportam como um imã em função da sua rotação no sentido horário ou anti-horário

Para descrever completamente um estado eletrônico é necessário introduzir mais dois números quânticos relativos ao spin eletrônico

Estes números são

s

e

m

_s

Número quântico magnético de spin (

m

_s

)

s

Orbitais e números quânticos

Números quânticos para os elétron no átomo

Nome Símbolo Valores Especifica Indica

Principal n 1, 2, . . . Camada Tamanho Azimutal ou Orbital l 0, 1, . . ., n-1

Subcamada

l= 0, 1, 2, 3, 4, . . . s, p, d, f, g, . . .

Forma

Magnético m_l l, l-1, . . ., -l Orbitais da

subcamada Orientação

Magnético de spin m_s +1

2 , − 1

Orbitais e números quânticos

n l m Função Orbital

1 0 0 _1,0,0 1s

2

0 0 _2,0,0 2s

1 -1 0 +1 _2,1,-1 _2,1,0 _2,1,1 2p (2p_x, 2p_y, 2p_z)

3

0 0 _3,0,0 3s

1 -1 0 +1 _3,1,-1 _3,1,0 _3,1,1 3p (3p_x, 3p_y, 3p_z)

2 -2 -1 0 +1 +2 _3,2,-2 _3,2,-1 _3,2,0 _3,2,1 _3,2,2 3d

(3d, 3d_xy, 3d_yz, 3d_xz, 3d)

Soluções para o átomo de hidrogênio

, ,

( )

( , )

( )

parte radial;

( , )

parte angular

n l m

R r Y

R r

Y

 

 







Átomo de H no estado fundamental

Quantos conjuntos de números quânticos são possíveis para o átomo de hidrogênio no seu estado fundamental?

Função de onda =

ψ

_1,0,0

n

= 1 ,

logo

l

= 0 ,

m

_l

= 0,

m

_s

= +1/2

ou

-1/2

Resposta: O átomo de hidrogênio no estado fundamental tem 2 conjuntos de

números quânticos de mesma energia

(dizemos que este o nível fundamental do átomo de hidrogênio é duplamente degenerado)

0

0

3 2

1,0,0 (1 )

• Todos os orbitais s são esféricos

• À medida que n aumenta, os orbitais s ficam maiores

• À medida que n aumenta, aumenta o número de nós

• Um nó é uma região no espaço onde a probabilidade de se encontrar um elétron é zero

• Em um nó,

ψ

2 _{= 0}

• Para um orbital s, o número de nós é

n

- 1

Representações dos orbitais

Orbitais s

Representações dos orbitais

• Existem três orbitais

p

,

p

_x

,

p

_y

,

e

p

_z

• Os três orbitais

p

localizam-se ao longo dos eixos

x

,

y

e

z

de um sistema cartesiano

• As letras correspondem aos valores permitidos de

m

_l

, -1, 0, e +1.

• Os orbitais têm a forma de halteres

• À medida que

n

aumenta, os orbitais

p

ficam maiores

• Todos os orbitais

p

têm um nó no núcleo

Representações dos orbitais

Orbitais

p

Orbitais p

• Existem cinco orbitais

d

e sete orbitais

f

• Três dos orbitais

d

encontram-se em um plano bissecante aos eixos

x

,

y

e

z

• Dois dos orbitais

d

se encontram em um plano alinhado ao longo dos eixos

x

,

y

e

z

• Quatro dos orbitais

d

têm quatro lóbulos cada

• Um orbital

d

tem dois lóbulos e um anel

Representações dos orbitais

Orbitais d

Orbitais f

Exercícios

(fortemente)

Recomendados

1. Explique o conceito de orbital atômico e faça um esboço representando os orbitais s e p.

2. Identifique os valores do número quântico principal e do número quântico angular para os seguintes subníveis: (a) 2p; (b) 5f; (c) 3s; (d) 4d.

3. Quantos orbitais há no nível n = 5 ?

4. O raio de uma órbita de Bohr é descrita pela equação 𝑟 = 𝑛2

𝑍 𝑎0. Calcule os raios

5. Um sistema quântico pode existir em uma combinação de múltiplos estados, cada um com características físicas bem definidas (simultaneamente), a chamada superposição de estados. Para ressaltar o que significaria a superposição de estados para objetos macroscópicos e o absurdo a que isso mal interpretado levaria, Schrödinger em 1935 formulou o seu famoso paradoxo. O paradoxo do gato de Schrödinger. Pesquise, descreva e explique quais as consequências desse paradoxo.

RESPOSTAS:

2. 25

3. a) n = 2; l = 1 b) n = 5; l = 3 c) n = 3; l = 0 b) n = 4; l = 2

4. 0,529 . 10-10 _{m, 2,12 . 10}-10 _{m, 2,76 . 10}-10 _m.

Leituras Sugeridas

1. Mahan & Myers, Química um curso universitário, p. 279-290.

 O Princípio da Incerteza;

 A formulação da mecânica quântica;  A equação de Schröndinger;

 A partícula na caixa;  O átomo de Hidrogênio.

2. James Brady & Gerard Humiston, 2ª ed., p. 87-95 e p. 102-104.

 Mecânica ondulatória;

Bibliografia

- Young e Freedman, Física IV : Ótica e Física Moderna, Editora Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2009.

- Brown, T., Química a Ciência Central, Pearson Education, 9ª Edição, 2005.

- Atkins P., Jones L., Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente, 3a. Ed., 2006, Bookman.

- Eisberg, R., Resnick, R., Física Quântica, Editora Campus, 1ª Edição, 1979.

- Halliday, D., Resnick, R., Walker, J., Fundamentos de Física IV, LTC Livros Técnicos e Científicos, 8ª. ed., 2009.

-Tipler, P.A., Física Moderna, Guanabara Dois, 1981.