INFLU ˆENCIA DOS ZEROS DE FASE N ˜AO-M´INIMA NO DESEMPENHO DE UM
CONTROLADOR POR POSICIONAMENTO DE POLOS E ESTRUTURA VARI ´AVEL
Francisco das Chagas da Silva J´unior∗, Josenalde Barbosa de Oliveira†, Aldayr Dantas
de Ara´ujo‡
∗Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Rio Grande do Norte
Campus Natal - Zona Norte Natal, RN, Brasil
†Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola Agr´ıcola de Jundia´ı Maca´ıba, RN, Brasil
‡Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Engenharia El´etrica
Natal, RN, Brasil
Emails: francisco.junior@ifrn.edu.br, josenalde@eaj.ufrn.br, aldayr@dca.ufrn.br
Abstract— Design limitations due to nonminimum phase plant zeros have been extensively studied for unity feedback systems. In this paper, it is presented a study of the effect of these zeros location on the response of second order nonminimum phase systems controlled by a recently proposed technique to deal with it, named Variable Structure Adaptive Pole Placement Control (VS-APPC). This strategy provides a fast transient and also it guarantees robustness to parameter uncertainties and disturbances, by using switching laws for the plant parameters, instead of the traditional integral ones. Some simulations results for several second order systems are shown and do suggest that the relative distance between the system unstable zeros and poles affects directly the closed loop system behavior.
Keywords— Nonminimum phase systems, Pole Placement, Variable Structure Systems
Resumo— Limita¸c˜oes em projetos devido a zeros de plantas de fase n˜ao m´ınima tˆem sido extensivamente estudados para sistemas com realimenta¸c˜ao unit´aria. Neste artigo, ´e apresentado um estudo do efeito da locali-za¸c˜ao destes zeros na resposta de sistemas de fase n˜ao m´ınima de segunda ordem controlados por uma t´ecnica proposta recentemente para tratar com os mesmos, denominada Controle Adaptativo por Posicionamento de Polos e Estrutura Vari´avel (VS-APPC). Esta estrat´egia provˆe um transit´orio r´apido e tamb´em garante robustez a incertezas param´etricas e perturba¸c˜oes, por usar leis adaptativas chaveadas para os parˆametros da planta, ao inv´es das leis integrais tradicionais. Alguns resultados de simula¸c˜oes para v´arios sistemas de segunda ordem s˜ao mostrados e sugerem que a distˆancia relativa entre os zeros e polos inst´aveis do sistema afeta diretamente o comportamento do sistema em malha fechada.
Palavras-chave— Sistemas de Fase N˜ao-M´ınima, Posicionamento de Polos, Sistemas com Estrutura Vari´avel
1 Introdu¸c˜ao
J´a ´e conhecido que a presen¸ca de zeros de fase
n˜ao m´ınima (NMP - nonminimum phase) limita
o desempenho de sistemas em malha fechada (Freudenberg and Looze, 1985) e, portanto, a ha-bilidade de sistemas realimentados em seguir
co-mandos e atenuar perturba¸c˜oes, tornando
mui-tas vezes o controle da planta dif´ıcil. V´arios
es-tudos sobre caracter´ısticas particulares de
plan-tas de fase n˜ao m´ınima j´a foram publicados, no
que se refere a limita¸c˜oes de desempenho (Qiu
and Davison, 1993), a presen¸ca de undershoot
ini-cial (Vidyasagar, 1986) e cruzamentos em zero (Rao, 1969).
Alguns esquemas de controle no caso de
pa-rˆametros conhecidos mudam os polos e n˜ao
envol-vem cancelamentos de zeros e polos, sendo ent˜ao
aplic´aveis a plantas lineares invariantes no tempo
(LTI - linear time invariant ) de fase m´ınima e
n˜ao m´ınima. Estes esquemas s˜ao referidos como
controle de posicionamento de polos (PPC - Pole
Placement Control ), que combinados com uma lei
adaptativa para estima¸c˜ao de parˆametros
desco-nhecidos levam ao esquema denominado controle adaptativo por posicionamento de polos (APPC -Adaptive Pole Placement Control ). Tais esquemas foram desenvolvidos baseados nas abordagens de controle adaptativo indireto, onde o sinal de con-trole ´e uma fun¸c˜ao das estimativas dos parˆametros da planta.
Por outro lado, a t´ecnica de controle por
es-trutura vari´avel (VSC - Variable Structure
Con-trol ) (Utkin, 1978), tem sua fundamenta¸c˜ao no
controle por rel´es, e consiste em utilizar uma lei
de controle chaveada como fun¸c˜ao das vari´aveis de estado do sistema, e, em sua forma mais comum,
restringir a dinˆamica do sistema a uma superf´ıcie
chamada superf´ıcie deslizante. Os sistemas com estrutura vari´avel tˆem como principais
caracter´ıs-ticas a rapidez no transit´orio e robustez a
varia-¸
c˜oes param´etricas e perturba¸c˜oes (dentro de uma faixa estipulada no projeto), embora necessitem
sis-tema, o que nem sempre ´e poss´ıvel e/ou desej´avel (Utkin, 1978).
Em um trabalho recente, foi apresentada uma
t´ecnica que agregava o VSC ao APPC,
denomi-nada controle adaptativo por posicionamento de
polos e estrutura vari´avel (VS-APPC -
Varia-ble Structure Adaptive Pole Placement Control )
(Silva Jr. and Ara´ujo, 2005). O objetivo deste
controlador ´e a aplicabilidade a plantas de fase
n˜ao m´ınima, rapidez no transit´orio e robustez a
incertezas param´etricas e perturba¸c˜oes. No
VS-APPC, assim como no VS-MRAC direto origi-nal (Variable Structure Model Reference Adaptive Control ) (Hsu et al., 1994) e no VS-MRAC
indi-reto (Oliveira and Ara´ujo, 2008), leis chaveadas
s˜ao utilizadas em substitui¸c˜ao `as leis adaptativas integrais (Ioannou and Sun, 1996) e somente a
en-trada e a sa´ıda s˜ao mensur´aveis. Em (Ribeiro and
Queiroz, 2009), foi apresentada uma an´alise
com-parativa entre o VS-APPC e o VS-MRAC, no que se refere a estrutura de projeto, propriedades de robustez e aplica¸c˜ao no controle de corrente de um motor de indu¸c˜ao.
Este artigo foca no estudo do uso do VS-APPC para o controle de plantas de segunda
or-dem cont´ınuas no tempo inst´aveis que tem zeros
NMP, ou seja, zeros com parte real positiva. Mui-tos sistemas importantes exibem comportamento de sistemas de segunda ordem, e, portanto o en-tendimento deste comportamento leva a entender como se comportam os sistemas de ordens mais
elevadas. Muitos sistemas mecˆanicos e circuitos
el´etricos podem ser modelados como sistemas de
segunda ordem. Atrav´es de simula¸c˜oes e gr´aficos,
estudamos como a mudan¸ca na posi¸c˜ao dos zeros
de uma planta de fase n˜ao m´ınima inst´avel pode
interferir na resposta de um sistema controlado
pelo VS-APPC. A importˆancia deste estudo est´a
no fato de procurar esclarecer dificuldades e res-tri¸c˜oes encontradas na an´alise de estabilidade do VS-APPC para o caso geral.
2 Considera¸c˜oes sobre a Planta
Consideremos a planta monovari´avel (SISO -
sin-gle input/sinsin-gle output ) e LTI
y = Z(s) R(s)u = bn−1sn−1+ · · · + b1s + b0 sn+ a n−1sn−1+ · · · + a1s + a0 u (1)
Podemos escrever todos os parˆametros em (1) no
vetor de parˆametros θ∗
[bn−1, . . . , b0, an−1, . . . , a0]T = [θ1∗, . . . , θ∗2n] T (2)
O objetivo de controle ´e escolher o sinal de
con-trole u de maneira que os polos de malha fechada
sejam as ra´ızes do polinˆomio mˆonico Hurwitz
A∗(s). O polinˆomio A∗(s), referido como o
po-linˆomio caracter´ıstico de malha fechada desejado,
´e escolhido baseado nos requisitos de desempenho
em malha fechada. Para conseguir o objetivo de
controle, fazemos as seguintes suposi¸c˜oes sobre a
planta:
(S1) R(s) ´e um polinˆomio mˆonico cujo grau
n ´e conhecido.
(S2) Z(s) e R(s) s˜ao coprimos e grau(Z) < n.
As suposi¸c˜oes (S1) e (S2) permitem que Z(s)
e R(s) n˜ao sejam Hurwitz em contraste ao que
acontece no caso do Controle por Modelo de
Re-ferˆencia (MRC - Model Reference Control ) onde
Z(s) ´e requerido ser Hurwitz.
N´os podemos estender o objetivo do PPC
incluindo rastreamento, onde y ´e requerido
se-guir uma certa classe de sinais de referˆencia r,
usando o princ´ıpio do modelo interno (Ioannou
and Sun, 1996). O sinal de referˆencia
uniforme-mente limitado ´e assumido satisfazer
Qm(s)r = 0 (3)
onde Qm(s), o modelo interno de r, ´e um polinˆ
o-mio mˆonico conhecido de grau q com ra´ızes n˜ao
repetidas no eixo jω e satisfaz
(S3) Qm(s) e Z(s) s˜ao coprimos.
3 PPC - M´etodo Polinomial
Vamos considerar a lei de controle
Qm(s)Lc(s)u = −Pc(s)y + Mc(s)r (4)
onde Pc(s), Lc(s) e Mc(s) s˜ao polinˆomios (com
Lc(s) mˆonico) de graus q + n − 1, n − 1 e q + n −
1, respectivamente, a serem encontrados e Qm(s) satisfaz (3) e a suposi¸c˜ao (S3). Aplicando (4) `a
planta (1), n´os obtemos a equa¸c˜ao do sistema em
malha fechada
y = Z(s)Mc(s)
QmLc(s)R(s) + Pc(s)Z(s)r (5)
cuja equa¸c˜ao caracter´ıstica
Qm(s)Lc(s)R(s) + Pc(s)Z(s) = 0 (6)
tem ordem 2n + q − 1. O objetivo agora ´e escolher
Pc(s) e Lc(s) de maneira que
Qm(s)Lc(s)R(s) + Pc(s)Z(s) = A∗(s) (7)
´e satisfeita por um polinˆomio mˆonico Hurwitz
A∗(s) de grau 2n + q − 1. Devido `as suposi¸c˜oes (S2) e (S3) garantirem que Qm(s), R(s) e Z(s) s˜ao coprimos, segue que a solu¸c˜ao para (7), Lc(s) e Pc(s), existe e ´e ´unica.
Em (Ioannou and Sun, 1996) ´e sugerida a
es-colha de Mc(s) = Pc(s). Portanto, os objetivos de
posicionamento de polos e rastreamento s˜ao
con-seguidos usando a lei de controle
QmLcu = Pc(r − y) (8)
que ´e implementada usando n + q − 1 integradores
para realizarC(s) = Pc(s)
Qm(s)Lc(s)
Devido Lc(s) n˜ao ser necessariamente
Hurwitz, a realiza¸c˜ao de (8) com n + q − 1
integradores pode ter uma fun¸c˜ao de transferˆ
en-cia, nomeada C(s), com polos fora do C−. Uma
realiza¸c˜ao alternativa de (8) ´e obtida reescrevendo (8) como
u = F − LcQm
F u −
Pc
F(y − r) (9)
onde F ´e um polinˆomio mˆonico Hurwitz qualquer
de grau n + q − 1 (Ioannou and Sun, 1996).
4 C´alculo dos Parˆametros do VS-APPC
Conforme mostrado na Se¸c˜ao 3, a lei de controle
em (9) pode ser usada para se conseguir o obje-tivo de controle. A solu¸c˜ao para os coeficientes de Lc(s) e Pc(s) da equa¸c˜ao (7) pode ser obtida pela resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao alg´ebrica
Slβl= α∗l (10)
onde Sl ´e a matriz de Sylvester de QmR e Z de
dimens˜ao 2(n + q) × 2(n + q) e βl= [0, . . . , 0 | {z } q , 1, ln−2, . . . , l0, pn+q−1, . . . , p0]T α∗l = [0, . . . , 0 | {z } q , 1, α∗2n+q−2, . . . , α∗0]T
Considerando que temos os parˆametros da
planta desconhecidos, o VS-APPC utiliza o m´
e-todo polinomial do PPC (Se¸c˜ao 3), mas com
esti-mativas destes parˆametros para o c´alculo dos
pa-rˆametros do controlador. Ou seja, o VS-APPC
utiliza a lei de controle em (9), mas com os po-linˆomios ˆPc(s) e ˆLc(s), ao inv´es de Pc e Lc. As
estimativas dos parˆametros da planta s˜ao geradas
pelas seguintes leis chaveadas:
θi= ¯θisgn(ε0φi) + θi,nom (11)
onde |θi∗− θi,nom| < ¯θi < θi,nom (Silva Jr. and
Ara´ujo, 2005). Os resultados de (11) s˜ao usados
para o c´alculo de ˆPc(s) e ˆLc(s).
5 Sistemas de Fase M´ınima e N˜ao
M´ınima
O VS-APPC tem sido aplicado com sucesso em
plantas de fase m´ınima e n˜ao m´ınima est´aveis.
Temos nas Figuras 1, 2 e 3 o comportamento das seguintes plantas quando controladas pelo
VS-APPC, utilizando um polinˆomio A∗(s) = (s + 3)4
com sinal de referˆencia r = 1:
G1(s) = s + 2 (s + 1)(s + 3) = s + 2 s2+ 4s + 3 (12) G3(s) = s + 2 (s − 1)(s − 3) = s + 2 s2− 4s + 3 (13) G2(s) = s − 2 (s + 1)(s + 3) = s − 2 s2+ 4s + 3 (14)
Figura 1: VS-APPC aplicado a uma planta de fase m´ınima est´avel.
Figura 2: VS-APPC aplicado a uma planta de fase m´ınima inst´avel.
Figura 3: VS-APPC aplicado a uma planta de fase n˜ao m´ınima est´avel.
6 Sistemas de Fase N˜ao M´ınima Inst´aveis
6.1 Erro de Modelagem
Come¸camos a verificar as dificuldades em se
con-trolar determinadas plantas de fase n˜ao m´ınima
inst´aveis com a implementa¸c˜ao do PPC com a
abordagem do m´etodo polinomial, cujo
desenvol-vimento foi mostrado na Se¸c˜ao 3. As simula¸c˜oes a
seguir consistem em comparar a aplica¸c˜ao do PPC
a plantas com parˆametros nominais e a plantas
(in-certezas) em torno dos parˆametros nominais, a fim de mostrar o quanto estas ´ultimas s˜ao sens´ıveis `as
incertezas param´etricas. Contudo, ´e importante
destacar que sistemas com tais incertezas s˜ao o
foco de aplica¸c˜oes do controle adaptativo. Na primeira simula¸c˜ao, a planta simulada ´e a seguinte:
G(s) = s − 2
(s − 1)(s − 3)=
s − 2
s2− 4s + 3 (15)
O controlador PPC para a planta (15) tem como fun¸c˜ao de transferˆencia
C(s) = 330, 5s
2− 546, 5s − 40, 5 s2− 314, 5s
A simula¸c˜ao do uso do PPC para a planta (15),
com o polinˆomio caracter´ıstico A∗(s) = (s + 3)4,
´e mostrada na Figura 4.
O passo seguinte ´e verificar como pequenos
erros de modelagem na planta (15) podem alterar
o resultado da aplica¸c˜ao do controlador PPC. O
controlador ser´a aplicado `a seguinte planta
G(s) = 0, 94s − 2, 06
s2− 4, 06s + 2, 94
como se ela fosse a planta (15), ou seja, temos um
erro de modelagem de −0, 06 em cada parˆametro.
A Figura 5 mostra o comportamento do sistema, que se torna inst´avel.
O mesmo procedimento feito com a planta
(15) ser´a feito agora com a seguinte planta:
G(s) = s − 6
(s − 4)(s − 5) =
s − 6
s2− 9s + 20 (16)
Assim como a planta (15), temos uma planta de fase n˜ao m´ınima inst´avel, com o zero bem pr´oximo aos polos. A Figura 6 mostra o comportamento
desta planta com a aplica¸c˜ao do PPC, utilizando
um polinˆomio caracter´ıstico A∗(s) = (s + 3)4.
Figura 4: PPC para uma planta de fase n˜ao
m´ı-nima com parˆametros conhecidos exatamente.
Figura 5: PPC para uma planta de fase n˜ao
m´ı-nima com erros de modelagem.
Figura 6: PPC para uma planta de fase n˜ao
m´ı-nima com parˆametros conhecidos exatamente.
Simulando novamente pequenos erros de
mo-delagem, o controlador ser´a aplicado `a seguinte
planta, como se ela fosse a planta (16):
G(s) = 0, 97s − 6, 03
s2− 9, 03s + 19, 97
Como podemos observar no resultado da simula-¸
c˜ao, mostrado na Figura 7, esta planta ´e ainda
mais sens´ıvel a incertezas do que a planta anterior,
j´a que se instabiliza com um erro de modelagem
de apenas −0, 03 em cada parˆametro.
6.2 Aplica¸c˜ao do VS-APPC
Agora, vejamos a aplica¸c˜ao do controlador
VS-APPC sendo aplicado `as plantas (15) e (16).
Na simula¸c˜ao com a planta (15), s˜ao
uti-lizadas as seguintes constantes: θ1,nom = 0, 9,
θ2,nom = −2, 1, θ3,nom = −4, 1, θ4,nom = 2, 9, ¯
θ1 = 0, 2, ¯θ2 = 0, 2, ¯θ3 = 0, 2 e ¯θ4 = 0, 2. Com
estas constantes, h´a um chaveamento entre quatro
controladores:
C1(s) = 1109, 2s
2− 1153, 3s − 42.6
Figura 7: PPC para uma planta de fase n˜ao m´ı-nima com erros de modelagem.
C2(s) = 208, 9s2− 351, 6s − 35.2 s2− 213, 5s C3(s) = 286, 1s 2− 414, 5s − 35, 2 s2− 298, 8s C4(s) = 493, 2s 2− 609, 2s − 42, 6 s2− 328, 9s
Como podemos perceber nas express˜oes
an-teriores, todos os controladores encontrados pela equa¸c˜ao Diofantina s˜ao inst´aveis. Ao aplicar o VS-APPC nesta planta, o sistema em malha fechada se instabiliza. A Figura 8 mostra o lugar das ra´ızes do sistema com cada controlador VS-APPC.
O controlador VS-APPC aplicado `a planta
(16) tamb´em torna o sistema em malha fechada
inst´avel.
A terceira planta simulada foi
G(s) = s − 6
(s − 1)(s − 2)=
s − 6
s2− 3s + 2 (17)
cujas constantes utilizadas foram: θ1,nom = 0, 9,
θ2,nom = −6, 1, θ3,nom = −3, 1, θ4,nom = 1, 9,
Figura 8: Lugar das ra´ızes dos controladores VS-APPC.
Figura 9: VS-APPC aplicado a uma planta de fase n˜ao m´ınima inst´avel.
¯
θ1 = 0, 2, ¯θ2 = 0, 2, ¯θ3 = 0, 2 e ¯θ4 = 0, 2. Com estas constantes, observamos que durante a
simu-la¸c˜ao h´a um chaveamento entre quatro
controla-dores est´aveis:
C5(s) = −26, 5s 2− 10, 2s − 13, 7 s2+ 33, 4s C6(s) = −38, 4s 2− 0, 1s − 12, 8 s2+ 57, 5s C7(s) = −32, 7s 2− 5, 6s − 12, 8 s2+ 50, 8s C8(s) = −29, 8s 2− 7, 0s − 13, 7 s2+ 36, 2s
Nesta simula¸c˜ao o sistema em malha fechada
se estabiliza, conforme ´e mostrado na Figura 9.
Podemos observar que o zero da planta est´a `a
di-reita dos polos, assim como em (16), mas com uma
distˆancia relativa maior desta vez. A Figura 10
mostra o lugar das ra´ızes do sistema com cada controlador VS-APPC. Na Figura 8, apesar do
lugar das ra´ızes com o controlador C2 ser
simi-lar aos mostrados da Figura 10, o chaveamento
entre os demais controladores leva o sistema `a
ins-tabiliza¸c˜ao. Na Figura 10, a penetra¸c˜ao do lugar das ra´ızes dos quatro controladores no semi-plano
esquerdo leva o sistema em malha fechada `a
esta-biliza¸c˜ao.
Em muitos problemas pr´aticos, onde os
pa-rˆametros da planta representam grandezas f´ısicas,
podemos ter conhecimento de onde estes parˆ
ame-tros se localizam e consequentemente onde se
lo-calizar˜ao os parˆametros do controlador, dado um
mapeamento entre esses parˆametros. Portanto,
utilizar proje¸c˜ao de parˆametros facilita ainda mais
o controle adaptativo de plantas, j´a que se conhece
a regi˜ao onde os parˆametros se encontram.
Para verificar como se comporta um sistema
com proje¸c˜ao de parˆametros, vamos considerar a
Figura 10: Lugar das ra´ızes do controlador PPC.
Figura 11: VS-APPC com proje¸c˜ao de parˆ
ame-tros.
os parˆametros reais da planta, ter´ıamos os
se-guintes parˆametros do controlador: l0= −314, 5,
p2 = 330, 5, p1 = −546 e p0 = −40, 5.
Consi-deremos ent˜ao as seguintes regi˜oes em torno dos
parˆametros do controlador, para a utiliza¸c˜ao do
VS-APPC: l0 de −330 a −300, p2 de 315 a 345,
p1de −550 a −520 e p0de −55 a −25. O
compor-tamento para esta proje¸c˜ao com as mesmas
cons-tantes utilizadas na se¸c˜ao anterior ´e mostrado na
Figura 11, onde apesar da convergˆencia do sinal
de sa´ıda, temos uma alta magnitude do sinal de controle.
O mesmo procedimento foi feito ent˜ao para a
planta (16). No caso do PPC, temos os seguintes
parˆametros do controlador para esta planta: l0=
540, 7, p2 = −519, 8, p1 = 1782, 2 e p0 = −13, 5.
Vamos considerar as seguintes regi˜oes em torno
dos parˆametros do controlador, para a utiliza¸c˜ao
do VS-APPC: l0de 530 a 550, p2de −530 a −510,
p1 de 1770 a 1790 e p0 de −23 a −3. Mesmo
tornando estas regi˜oes ainda menores que no caso
anterior, n˜ao ´e poss´ıvel estabilizar o sistema em
malha fechada em quest˜ao.
7 Conclus˜oes
Este artigo apresentou um estudo, atrav´es de
si-mula¸c˜oes, de como a posi¸c˜ao de zeros de fase n˜ao m´ınima pode interferir no desempenho de um sis-tema em malha fechada, cujo controlador
apre-senta estrutura vari´avel, denominado VS-APPC.
A sequˆencia deste trabalho se dar´a com a an´
a-lise de estabilidade e verifica¸c˜ao da aplica¸c˜ao do
controlador a certas plantas de fase n˜ao m´ınima
inst´aveis, com ou sem restri¸c˜oes.
Referˆencias
Freudenberg, J. S. and Looze, D. P. (1985). Right Half Plane Poles and Zeros and
Design Tradeoffs in Feedback Systems,
IEEE Transactions on Automatic Control AC-23(6): 555–565.
Hsu, L., Araujo, A. D. and Costa, R. R. (1994). Analysis and Design of I/O Based Variable Structure Adaptive Control, IEEE Transac-tions on Automatic Control 39: 4–21.
Ioannou, P. A. and Sun, J. (1996). Robust
Adaptive Control, Prentice Hall, New Jersey.
Oliveira, J. B. and Ara´ujo, A. D. (2008). Design
and Stability Analysis of an Indirect
Variable Structure Model Reference
Adaptive Control, International Journal of Control 81(12): 1870–1877.
Qiu, L. and Davison, E. (1993). Performance
Limitations of Nonminimum Phase Systems in the Servomechanism Problem, Automatica 29(2): 337–349.
Rao, S. N. (1969). On The Step Response
of Nonminimum Phase Transfer Functions, IEEE Transactions on Education 12: 80. Ribeiro, R. L. A. and Queiroz, K. I. P. M. (2009).
H ybrid S chemes for Adaptive C ontrol
S trategies, Adaptive C ontrol, Kwanho You edn, InTech.
Silva Jr., F. C. and Ara´ujo, A. D. (2005). Variable
Structure Adaptive Pole Placement Control, Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control pp. 2859–2864. Utkin, V. I. (1978). S liding M odes and T heir
Applications in V ariable S tructure S ystems, Mir Publishers, Moscow.
Vidyasagar, M. (1986). On Undershoot and
Nonminimum Phase Zeros, IEEE Transac-tions on Automatic Control AC-31(5): 440.
