Processamento de Sinal

Síntese de filtros de selectividade IIR

Processamento de Sinal

P. Felisberto

´

Area Departamental de Engenharia Electrot ´ecnica Escola Superior de Tecnologia

Conte ´udo

• Síntese de filtros IIR a partir de filtros analógicos

• Filtros analógicos comuns

• Transformações de frequência

• Discretização de filtros analógicos

S´ıntese de filtros IIR

• Métodos baseados em filtros analógicos

◦ Métodos bem estudados e com boas características como filtros de selectividade.

• Filtros Butterworth • Filtros Chebyshev • Filtros elípticos • Filtros Bessel

◦ Os métodos de projecto (directo) de filtros IIR são complicados.

S´ıntese de filtros IIR

• Etapas do projecto

1. Síntese de filtro passa baixo analógico

◦ normalmente normalizado ( freq. de corte Ωc = 1 rad/s) 2. Transformação em frequência (domínio s)

◦ passa-baixo para passa-baixo

◦ passa-baixo para passa-alto

◦ passa-baixo para passa-banda

◦ ...

3. Discretização do filtro analógico (conversão _{s → z})

◦ Resposta invariante

◦ Transformação bilinear

• A transformação em frequência pode ser realizada após discretização do filtro.

Especificac¸ ˜ao de filtros

Relação entre formas de especificar

Banda Banda passante rejeição Ripple δ1(δ_p) (δ2)δ_r Ganho (dB) Gp Gr 20 log10(1 − δp) 20 log10δr Atenuação (dB) Ap _{= −G}p Ar = −Gr Frequência Ωp Ωr corte (ωp) ωr

Filtro de Butterworth

Exemplo de síntese de filtro analógico

• Filtros só com pólos

• Resposta em frequência maximamente plana na banda passante

• Resposta em frequência de um filtro de ordem N

|Hc(jΩ)|2 =

1

1 + (jΩ/jΩ_c)2N

Filtro de Butterworth

• Os pólos sk são as soluções da equação

1 + (s/jΩc)2N = 0 ⇒ sk = jΩpej(π/2N +k2π/2N ), k = 0, . . . , N − 1

• A valor de N é dado por

N ≥ log10( 100,1Ar₋₁ ǫ2 ) 2 log₁₀(Ω_r/Ω_p) = log₁₀(1/δ_r2 _{− 1)} 2 log₁₀(Ω_r/Ω_p) onde ǫ = √100,1Ap − 1.

• A função de transferência é dada por

H(s) = N Q k=1(−s k) N Q k=1(s − s k)

Filtro de Butterworth

• Exemplo:

Determine a ordem e os pólos de um filtro Butterworth

passa-baixo em que a frequência de corte a -3 dB é 500Hz e a frequência de rejeição é 1000Hz, com uma atenuação mínima de 40 dB. Frequências: Ω_p = 1000πrad/s Ωr = 2000πrad/s Cálculo de N: ǫ = √100.1Ap − 1 = 0.997628 N ≥ log10( 100,1Ar −1 ǫ2 ) 2 log₁₀(Ωr/Ωp) ⇒ N ≥ 6.64 ⇒ N = 7 Pólos: sk = 1000πejπ/2ej(2πk+π)/14, k = 0, 1, . . . , 6.

Caracter´ısticas dos v ´arios filtros

filtro vantagem inconvenientes

Butterworth resposta em freq. plana na BP roll-off médio

fase prox. da linear na BP

Bessel não tem ripple na BP peq. roll-off

fase linear na BP

Chebyshev roll-off elevado ripple na BP

Transformac¸ ˜oes de frequ ˆencia no dom´ınio

s

Ωp frequência de corte (rad/s) do filtro PB inicial

Tipo Transformação

P. baixo _→ P. baixo _{s →} Ωp

Ω(f )p

s Ω(f )p freq. de corte do filtro final P. baixo _→ P. alto _{s →} ΩpΩ

(f ) p

s . . .

P. baixo _→ P. banda _{s → Ωp} s2+ΩlΩu

s(Ωu_−Ωl) Ωl freq. de corte inferior

Ωu freq. de corte superior P. baixo _→ Rejeita banda _{s → Ωp}s(Ωu_−Ωl)

s2_+Ω

lΩu . . .

Resposta impulsiva invariante

• A resposta impulsiva do filtro discreto h[n] resulta da amostragem da resposta impulsiva do filtro analógico hd(t). O período de

amostragem é T.

• A função de transferência c/ N pólos simples.

H(s) = N X k=1 A_k s − pk ⇒ hd (t) = N X k=1 A_kepktu(t) ⇒ h[n] = T hd(nT ) = N X k=1 T A_kepknT u[n] ⇒ H(z) = N X k=1 T A_kz z − epkT , |z| > e pkT

• Problema na escolha de T por causa do aliasing.

Resposta impulsiva invariante

Dado o sistema analógico com função de transferência

H(s) = 1

s2₊√_2s+1 (filtro passa baixo normalizado), encontre H(z) pelo método da resposta impulsiva invariante (T=0.01s).

H(s) = C s − a + C∗ s − a∗ ⇒ H(z) = T Cz z − eaT + T C∗_z z − ea∗T H(z) = T 2Re(C)z 2 _{− 2|C|e}Re_(a)T cos(Im(a)T − ∠C)z

z2 _{− 2e}Re_{(a)T cos(Im(a)T )z + e2Re(a)T}

10−2 10−1 100 101 102 103 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 Ganho Ω (rad/s) contínuo discreto 10−2 10−1 100 101 102 103 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 ∠ (rad) Ω (rad/s)

Transformac¸ ˜ao bilinear

• Ultrapassar o problema de aliasing de outros métodos

• Mapeamento do plano s no plano z

◦ transformação não linear

◦ necessidade de fazer o ajuste das frequências (warping)

• Transformação bilinear (T é o período de amostragem)

s = 2 T 1 − z−1 1 + z−1 = 2 T z − 1 z + 1 H(z) = Hc  2 T 1 − z−1 1 + z−1 

• O semiplano esquerdo s é mapeado no interior do circulo unitário do plano z

z = 1 + (T /2)s

1 − (T/2)s =

1 + σT /2 + jΩT /2

1 − σT/2 − jΩT/2, s = σ+jΩ, se σ < 0 ⇒ |z| < 1

Transformac¸ ˜ao bilinear

• Resposta em frequência s = 2 T 1 − z−1 1 + z−1, jΩ = 2 T 1 − e−jω 1 + e−jω • A relação entre Ω e ω jΩ = 2 T 2e−jω/2_{j sin(ω/2)} 2e−jω/2 cos(ω/2) = 2j T tan(ω/2) é assim Ω = 2 T tan(ω/2) e ω = arctan( ΩT 2 )

Transformac¸ ˜ao bilinear

Transformac¸ ˜ao bilinear

A partir do filtro normalizado passa-baixo H(s) = _1+s1 encontre a

função de transferência do filtro discreto passa-alto com as seguintes especificações: frequência de corte ( a -3dB) 750 Hz e frequência de amostragem 2000Hz.

A frequência de corte ω_p = 3π/4(rad)

A frequência de desenho do filtro analógico é

Ω_p = 2f_s tan(ω_p/2) = 9656.9 rad/s (_{6= 2π750 = 4712.4 rad/s})

Aplicar a transformação de freq.

H(s) = 1

1 + Ωp/s

= s

s + Ωp

Aplicar a transformação bilinear

H(z) = 2 T z−1z+1 2 T z−1z+1 + Ωp = z − 1 (α + 1)z + (α − 1) ondeα = ΩpT /2

Filtros FIR vs IIR

• Pontos chave

◦ Os filtros FIR podem ser desenhados com fase linear

◦ Para uma determinada resposta em frequência (ganho) os filtros IIR são normalmente computacionalemente mais eficientes (menor número de coeficientes)

• Outros pontos

◦ Os filtros FIR implementados através de estruturas não recursivas são sempre estáveis.

◦ Os filtros FIR implementados através de estruturas não recursivas têm menor propagação de erros.

◦ Ruído de quantificação inerente a implementações com

aritmética finita pode ser reduzido com implementações não recursivas.

Outras aplicac¸ ˜oes

As técnicas descritas podem ser utilizadas para:

• Simular sistemas contínuos por meio de sistemas discretos.

• Processar sinais contínuos por meio de sistemas discretos.

• Projectar sistemas discretos utilizando técnicas conhecidas de projecto de sistemas a tempo discreto.

• Modelar sistemas contínuos prácticos usando sinais discretos obtidos experimentalmente.

Refer ˆencias

• Oppenheim, Shafer, and Buck, ”Discrete-Time Signal Processing”, Prentice Hall Inc, 1999.

• Manuel Ortigueira, ”Processamento Digital de Sinais”, Fundac¸ ˜ao Calouste Gulbenkian”,2005

• John Proakis and Dimitris Manolakis, ”Digital Signal Processing - Principles, Algorithms, and Applications”, Prentice Hall Inc, 1996.