MODELAGEM EVOLUTIVA GRANULAR FUZZY
Daniel F. Leite∗, Rosangela Ballini†, Pyramo Costa‡, Fernando Gomide∗
∗Faculdade de Engenharia El´etrica e Computa¸c˜ao - Universidade Estadual de Campinas
(UNICAMP), Campinas, SP, Brasil
†Instituto de Economia - Universidade Estadual de Campinas
(UNICAMP), Campinas, SP, Brasil
‡Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica
de Minas Gerais (PUC-MG), Belo Horizonte, MG, Brasil
Emails: danfl7@dca.fee.unicamp.br, ballini@eco.unicamp.br, pyramo@pucminas.br, gomide@dca.fee.unicamp.br
Abstract— Massive amounts of streaming data from complex systems motivate rethinking some aspects of the machine learning theory. Data stream mining is concerned with extracting structured knowledge from spatio-temporally correlated data. A profusion of systems and algorithms devoted to this end has been constructed under the conceptual framework of granular computing. This paper outlines a fuzzy set based granular evolving modeling - FBeM - approach for learning from imprecise data. Granulation arises because modeling uncertain data dispenses attention to details. The evolving aspect is fundamental to account for endless flows of nonsta-tionary data and structural adaptation of models. Experiments with Mackey-Glass benchmark data recommend that the FBeM approach outperforms alternative approaches.
Keywords— Granular Computing, Evolving Systems, Time Series.
Resumo— Modelagem on-line de grandes volumes de dados de sistemas complexos motiva a revis˜ao de di-versos aspectos da teoria de aprendizagem de m´aquina. A minera¸c˜ao de fluxo de dados lida com a extra¸c˜ao de conhecimento estruturado a partir de dados correlacionados no espa¸co e no tempo. Uma profus˜ao de sistemas e algoritmos devotos a este fim tem sido proposta sob a plataforma conceitual da computa¸c˜ao granular. Este artigo prop˜oe modelagem evolutiva granular baseada em conjuntos fuzzy - FBeM - para aprendizagem a partir de dados imprecisos. O aspecto granular surge porque dados incertos dispensam aten¸c˜ao a detalhes. O aspecto evolutivo considera fluxos intermin´aveis de dados n˜ao-estacion´arios. Experimentos com dados Mackey-Glass sugerem que a abordagem FBeM ´e superior `a abordagem alternativas.
Keywords— Computa¸c˜ao Granular, Sistemas Evolutivos, S´erie Temporal.
1 Introdu¸c˜ao
Processamento cont´ınuo de fluxo de dados tem se
tornado uma quest˜ao de importˆancia prim´aria
de-vido principalmente `a emergˆencia de redes de
sen-sores industriais e instrumentos de computa¸c˜ao
em pequena escala. Estes produzem quantidades enormes de dados a partir de seus ambientes. Em modo on-line, bases de dados ilimitadas fluem em alta freq¨uˆencia e trazem incerteza em suas instˆ an-cias. Fluxos de dados demandam algoritmos
re-cursivos r´apidos e de passo ´unico sobre os dados.
Pesquisa recente em sistemas granulares evo-lutivos (Angelov & Filev, 2004), (Bargiela & Pedrycz, 2003), (Leite et al., 2009), (Leite et al., 2010a), (Leite et al., 2010b), (Leite & Gomide,
2011), (Pedrycz, 2010) enfatiza vis˜oes granulares
de dados detalhados e computa¸c˜ao com grˆanulos
mais gerais e mais abstratos que os dados. O
obje-tivo ´e simplificar problemas complexos do mundo
real e prover solu¸c˜oes de baixo custo. Como
colo-cado por Zadeh (Zadeh, 1997) e Yao (Yao, 2005),
a computa¸c˜ao granular explora a tolerˆancia por
imprecis˜ao, incerteza e verdade parcial para
al-can¸car tratabilidade, robustez e melhor
conformi-dade com a realiconformi-dade. A flexibiliconformi-dade em lidar com
dinˆamicas sob plataforma granular nos permite
descrever grˆanulos em diferentes dom´ınios sem
co-nhecimento profundo sobre o problema. Restri-¸
c˜oes temporais e espaciais relativas a ambiente
on-line, t˜ao bem como requerimentos de
inteligi-bilidade, inspiram vis˜oes granuladas de dados e
computa¸c˜ao em granularidades menos criteriosas.
Modelagem evolutiva baseada em conjuntos
fuzzy - FBeM - emprega grˆanulos de informa¸c˜ao
tipo fuzzy para construir mapas granulares que
as-sociam dados granulares de entrada `a dados
gra-nulares de sa´ıda. Grˆanulos fuzzy garantem a
gene-ralidade da estrutura dos dados e provˆeem
algo-ritmos com matem´atica simples e regras
descre-vendo seu comportamento. Construir conjuntos
fuzzy para representar dados imprecisos ´e a
es-trat´egia de modelagem FBeM. Basicamente, um
sistema FBeM percebe os dados de um fluxo sob diferentes resolu¸c˜oes e decide entre adotar granu-laridades mais simples ou mais detalhadas. Em
particular, representa¸c˜oes estruturadas de fluxos
de dados via cole¸c˜ao de regras fuzzy que carregam
a essˆencia da informa¸c˜ao ´e uma contribui¸c˜ao rica. Sistemas FBeM se beneficiam de objetos
gra-nulares fuzzy para sumarizar informa¸c˜ao em
movi-mento e dar suporte a tomada de decis˜ao.
Mode-los em FBeM s˜ao criados e evolu´ıdos quando
re-quisitados pelo fluxo de dados. As poss´ıveis fontes
de dados incluem: sensores, trafego web, ´audio e
algoritmo de aprendizagem de FBeM cria e
ex-pande grˆanulos recursivamente. Eventualmente, a
estrutura granular quociente pode ser melhorada de acordo com rela¸c˜oes inter-granulares.
Estruturalmente, modelos FBeM combinam
sistemas fuzzy ling¨u´ısticos e funcionais para
prover aproxima¸c˜oes singulares e granulares de
fun¸c˜oes n˜ao-estacion´arias. Sistemas fuzzy
fun-cionais s˜ao geralmente mais precisos enquanto que
sistemas fuzzy ling¨u´ısticos s˜ao mais interpret´aveis.
Precis˜ao e interpretabilidade requerem
compro-missos: um usualmente prevalece sobre o outro. Atrav´es da combina¸c˜ao de sistemas ling¨u´ısticos e funcionais em uma plataforma de modelagem ´
unica, FBeM aproveita as vantagens de ambos os
sistemas simultaneamente. Em n´ıvel pr´atico,
es-pecialistas usualmente preferem que sistemas
on-line dˆeem resultados aproximados t˜ao bem quanto
limites de tolerˆancia nas aproxima¸c˜oes.
Este artigo aborda s´eries temporais. Um
exemplo de aplica¸c˜ao considera predi¸c˜ao da s´erie
Mackey-Glass e real¸ca a complementaridade das
partes ling¨u´ısticas e funcionais de FBeM. O
predi-tor FBeM n˜ao faz considera¸c˜oes espec´ıficas sobre as propriedades da fonte de dados, mas deixa o fluxo de dados guiar a aprendizagem livremente.
O restante deste artigo ´e organizado da
seguinte forma. A Se¸c˜ao 2 apresenta a plataforma
de modelagem fuzzy granular, a estrutura de
FBeM e suas caracter´ısticas. O algoritmo de
aprendizagem recursivo dirigido a fluxo de dados ´e detalhado na Se¸c˜ao 3. A Se¸c˜ao 4 apresenta
re-sultados de predi¸c˜ao usando FBeM e algoritmos
alternativos. A Se¸c˜ao 5 conclui o artigo e sugere
quest˜oes para investiga¸c˜ao futura.
2 Modelagem Fuzzy Evolutiva
FBeM ´e uma abordagem de modelagem evolutiva
que produz grˆanulos de informa¸c˜ao em n´ıveis mais altos a partir de dados detalhados e um algoritmo de aprendizagem. Sua resposta global sucede da
uni˜ao de respostas locais mais espec´ıficas. O
al-goritmo incremental de FBeM molda sua estru-tura de regras para aceitar novos conceitos, lidar
com incerteza e prover aproxima¸c˜oes singulares
e granulares de fun¸c˜oes n˜ao-lineares. FBeM
en-dere¸ca o problema de bases de dados ilimitadas
e a quest˜ao da escalabilidade. Ele lida com
pro-blemas computacionalmente dif´ıceis envolvendo a solu¸c˜ao (Leite & Gomide, 2011).
Modelos FBeM consistem de regras fuzzy
ex-tra´ıdas dos dados. Seu conjunto de regras ´e uma
representa¸c˜ao de um sistema complexo. A
apren-dizagem em FBeM n˜ao requer pr´e-concep¸c˜ao de
regras, i.e., regras s˜ao criadas e adaptadas
di-namicamente, consoante com o comportamento da
fun¸c˜ao do processo ao longo do tempo. Sempre
que instˆancias de dados s˜ao disponibilizadas, um
mecanismo de decis˜ao opta por acrescentar novas
regras `a estrutura FBeM ou adaptar parˆametros
de regras existentes.
Em geral, regras e grˆanulos de informa¸c˜ao se desenvolvem gradualmente. Especialistas podem
desejar prover uma descri¸c˜ao verbal sobre o
pro-cesso a partir da intui¸c˜ao e experiˆencia. A
mo-delagem fuzzy evolutiva, Fig. 1, suporta ambos, aprendizagem a partir de fluxo de dados e
apren-dizagem a partir da experiˆencia.
Figura 1: Modelagem fuzzy evolutiva
Em modelos FBeM, regras Ri governando
grˆanulos de informa¸c˜ao γi s˜ao do tipo
SE (x1 ´e Ai1) E ... E (xj e A´ ij) E ... E (xn ´e Ain) ENT˜AO (y1´e Bi1) E y¯1= pi1(xj∀j) E ... (yk ´e Bki) E y¯k = pik(xj∀j) E ... (ym´e Bmi ) | {z }
ling¨u´ıstico
E y¯m= pim(xj∀j)
| {z }
funcional ,
onde xj e yk s˜ao vari´aveis do fluxo de dados
(x, y)[h], h = 1, ...; Aij e Bki s˜ao fun¸c˜oes de
per-tinˆencia constru´ıdas a partir dos dados
disponibi-lizados; e pik s˜ao polinˆomios de aproxima¸c˜ao. A cole¸c˜ao de regras Ri, i = 1, ..., c, forma a base
de regras. Regras s˜ao criadas sob demanda
sem-pre que a estrutura dos dados demanda melhorias nos modelos atuais. Note que uma regra FBeM
combina conseq¨uentes ling¨u´ıstico e funcional. O
conseq¨uente ling¨u´ıstico envolve fun¸c˜oes e provˆe
interpretabilidade aos resultados. O conseq¨uente
funcional oferece aproxima¸c˜ao singular e precis˜ao. Com esta estrutura, FBeM toma vantagem de
am-bos, sistemas ling¨u´ısticos e funcionais, em uma
plataforma de modelagem ´unica.
A granula¸c˜ao das caracter´ısticas Aj, j =
1, ..., n, e Bk, k = 1, ..., m, ´e baseada em parti¸c˜oes fuzzy espalhadas. Particionamento via espalha-mento usa conjuntos fuzzy Aij e Bki, refinamentos
de Aj e Bk, que podem ser estendidos para
hiper-retˆangulos fuzzy em um espa¸co produto via
α-cortes. O mecanismo de particionamento agrupa
dados em grˆanulos γiquando apropriado e
consid-era a coexistˆencia de diferentes granularidades nos
dados. Grˆanulos s˜ao posicionados arbitrariamente
no espa¸co produto. Um aspecto a ser levado em
conta em granula¸c˜ao tipo espalhamento refere-se
a busca por uma quantidade fact´ıvel de parti¸c˜oes, posi¸c˜oes e tamanhos de grˆanulos.
Acomodar dados em grˆanulos
adapta¸c˜ao recursiva e liberdade na escolha da
re-presenta¸c˜ao interna dos grˆanulos. Ambiente
on-line clama pela cria¸c˜ao e rearranjo oportuno de
objetos fuzzy. Essencialmente, FBeM emprega
fun¸c˜oes de pertinˆencia Gaussianas como objetos
granulares formais para envolver a incerteza dos
dados. Gaussianas s˜ao facilmente convertidas `a
hiper-retˆangulos via conjuntos n´ıvel α.
Um conjunto fuzzy Gaussiano Ai
j= G(µij, σji)
´e caracterizado pelo valor modal µi
j e
espalha-mento σji. Caracter´ısticas que fazem esta
repre-senta¸c˜ao apropriada incluem: (i ) facilidade de
aquisi¸c˜ao dos parˆametros. O valor modal e de
es-palhamento s˜ao capturados diretamente a partir
do fluxo de dados; (ii ) suporte infinito n˜ao ignora
dados. Visto que o dom´ınio dos dados ´e
desconhe-cido anteriormente ao aprendizado, o suporte de Gaussianas estende-se ao longo de todo o dom´ınio; (iii ) suavidade e superf´ıcie continuamente
diferen-ci´avel. Kreinovich (Kreinovich et al., 1992) sob
certas considera¸c˜oes prova que fun¸c˜oes Gaussianas
s˜ao mais adequadas para representar incerteza.
O conseq¨uente de regras FBeM admite
fun¸c˜oes locais afins do tipo:
pik= ai0k+ n X
j=1
aijkxj. (1)
Em geral, fun¸c˜oes pikpodem ser de tipos diferentes
e n˜ao requerem linearidade. O algoritmo M´ınimos
Quadrados Recursivo (RLS) ´e usado para
deter-minar os coeficientes locais ai jk.
A representa¸c˜ao Gaussiana permite
so-breposi¸c˜ao de grˆanulos. Conseq¨uentemente, cada
regra FBeM contribui `a sa´ıda do sistema. A sa´ıda
singular de FBeM ´e determinada como um valor
m´edio ponderado sobre todas as regras,
pk = c P i=1 min(Ai 1, ..., Ain)pik c P i=1 min(Ai 1, ..., Ain) . (2)
Isto assegura transi¸c˜ao suave entre fun¸c˜oes de per-tinˆencia sobrepostas.
De forma similar a abordagem para agrupar
dados em conjuntos antecedentes Ai
j, conjuntos conseq¨uentes Bikbeneficiam-se de granula¸c˜ao tipo
espalhamento e hiper-retˆangulos fuzzy.
Consid-eramos fun¸c˜oes Gaussianas Bik = G(µik, σik) para
construir objetos granulares no espa¸co de sa´ıda
pelas mesmas motiva¸c˜oes descritas anteriormente
para Ai
j. A sa´ıda granular Bikenriquece a tomada
de decis˜ao e `as vezes provˆe informa¸c˜ao mais
impor-tante que a sa´ıda num´erica pk. Arriscamos estar
incorretos quando somos muito espec´ıficos a
par-tir de pk. Atrav´es de Bi
k, nos tornamos seguros
a certo grau de estarmos corretos. O sacrif´ıcio da precis˜ao paga o pre¸co da garantia de estar correto.
Grˆanulos refletem a essˆencia da estrutura dos
da-dos e real¸cam a interpretabilidade do resultado.
3 Aprendizagem Recursiva On-line
FBeM aprende a partir de um fluxo (x, y)[h],
h = 1, ..., onde y[h] ´e conhecido dado x[h] ou se
tornar´a conhecido alguns passos adiante. Cada
par (x, y) ´e uma observa¸c˜ao da fun¸c˜ao f . Quando
f muda com o tempo, dizemos que a fun¸c˜ao ´e
n˜ao-estacion´aria. Fluxo de dados requer a escolha
de uma plataforma de modelagem e projeto de algoritmo recursivo para decidir quando e como proceder adapta¸c˜ao param´etrica e estrutural.
O procedimento de aprendizagem para evoluir
modelos FBeM ´e sumarizado como segue:
In´ıcio Fa¸ca
1: Ler uma nova instˆancia (x, y)[h], h = 1, ...
2: Acomodar poss´ıveis novas informa¸c˜oes
2.1: Criar um novo grˆanulo e uma regra
2.2: Adaptar grˆanulos e regras existentes
3: Descartar a instˆancia (x, y)[h]
4: Otimizar a estrutura granular quociente Fim
Os passos 1 e 3 do procedimento enfatizam a es-sˆencia de algoritmos dirigidos a fluxos, i.e., instˆ
an-cias s˜ao lidas e descartadas uma por vez. Dados
hist´oricos s˜ao dispens´aveis e a evolu¸c˜ao ´e sempre
ativa. Modelos granulares evoluem sempre que
novas informa¸c˜oes aparecem nos dados, passo 2.
Quando uma nova instˆancia n˜ao condiz com o
co-nhecimento atual, o procedimento cria um grˆanulo
e uma regra para gerenci´a-lo, passo 2.1. Ao
con-tr´ario, se uma nova instˆancia ajusta-se ao
conhe-cimento atual, o procedimento adapta grˆanulos e
regras existentes, passo 2.2. Eventualmente, a es-trutura quociente pode ser otimizada de acordo com rela¸c˜oes inter-granulares, passo 4. As pr´
oxi-mas se¸c˜oes detalham o procedimento.
3.1 Cria¸c˜ao de Regras
Em FBeM, regras n˜ao existem de antem˜ao, mas
s˜ao criadas e evoluem a medida que os dados s˜ao
disponibilizados. Um novo grˆanulo γc+1 e a regra
Rc+1 que o governa s˜ao criados quando as regras
existentes n˜ao s˜ao suficientemente ativadas para
uma instˆancia x[h]. FBeM assume que a instˆancia
traz uma nova informa¸c˜ao sobre o processo.
Formalmente, seja ρ ∈ [0, 1] um limiar que determina quando criar ou adaptar regras. Se
min(Ai1, ..., Ain) ≤ ρ ∀i, (3)
ent˜ao a estrutura FBeM ´e expandida. Note que
se ρ ´e 0, ent˜ao o sistema ´e estruturalmente
es-t´avel e incapaz de capturar eventuais mudan¸cas
de conceito. Ao contr´ario, se ρ ´e 1, FBeM cria
uma regra para cada nova instˆancia - o que n˜ao
´e pr´atico. Adaptabilidade cont´ınua ´e alcan¸cada
mantendo uma condi¸c˜ao entre as condi¸c˜oes
O papel de ρ ´e fundamental na determina¸c˜ao da granularidade de modelos FBeM. Escolhas de ρ
impactam na precis˜ao e transparˆencia de modelos,
e.g., resultando em diferentes vis˜oes granuladas do
mesmo processo em diferentes n´ıveis de detalhe.
Um novo grˆanulo γc+1 ´e inicialmente
repre-sentado por fun¸c˜oes de pertinˆencia, Ac+1j e Bkc+1,
com parˆametros
µc+1j = x[h]j , µc+1k = y[h]k e
σc+1j = σc+1k = 1/2π, (4)
i.e., a abordagem de Stigler para fun¸c˜oes
Gaus-sianas padr˜oes (Stiegler, 1982). Os coeficientes de
polinˆomios locais pc+1k s˜ao ac+10k = yk[h]
ac+1jk = 0, j 6= 0. (5)
Com esta parametriza¸c˜ao inicial, preferˆencia ´e
dada ao projeto de grˆanulos balanceados ao longo
de suas dimens˜oes ao inv´es de grˆanulos com
geometria desbalanceada. Conseq¨uentemente,
FBeM implementa o princ´ıpio da granularidade
balanceada da informa¸c˜ao (Bargiela & Pedrycz,
2003) e tende a desenvolver regras mais espec´ıfi-cas no sentido de Yager (Yager, 2008).
3.2 Adapta¸c˜ao de Regras
Adapta¸c˜ao de regras consiste em (i ) expandir ou
contrair objetos Ai
je Bki para acomodar novos
da-dos; (ii ) mover grˆanulos γina dire¸c˜ao de regi˜oes de dados mais densas; e simultaneamente (iii ) ajus-tar os coeficientes de fun¸c˜oes locais pi
k.
Uma regra Ri ´e adaptada sempre que ´e
su-ficientemente ativada por uma instˆancia x[h] de
acordo com
min(Ai1, ..., Ain) > ρ. (6)
Geometricamente, a instˆancia pertence a uma
regi˜ao altamente influenciada pelo grˆanulo γi.
Para incluir x[h], FBeM atualiza o valor modal
e o espalhamento das fun¸c˜oes de pertinˆencia Ai
j correspondentes como segue:
µij(novo) = ($ − 1)µ i j(velho) + xj $i (7) σji(novo) = ($i− 1) $i σ i j(velho) + + 1 ($i− 1)(xj− µ i j(novo))2 (8)
onde $i refere-se ao n´umero de vezes que γi foi
ativado pelo fluxo de dados. Note que os valores s˜ao calculados recursivamente e, portanto, n˜ao
de-mandam acumula¸c˜ao de dados. Apenas a regra
mais ativa para x[h]´e escolhida para adapta¸c˜ao. A adapta¸c˜ao de conjuntos fuzzy conseq¨uentes Bki usa dados de sa´ıda y[h]k . Coeficientes
polinomi-ais aijk s˜ao atualizados usando o algoritmo RLS e
a nova instˆancia que ativa o grˆanulo γi.
3.3 Ajuste da Granularidade
O limiar de granularidade ρ assume valores no in-tervalo unit´ario de acordo com erros de predi¸c˜ao.
N´ıveis de ativa¸c˜ao de regras para uma dada
en-trada x[h] s˜ao comparados com o valor de ρ[h]
e definem mudan¸ca param´etrica ou estrutural de
modelos FBeM. Valores de ρ influenciam a gra-nularidade e inteligibilidade de modelos. No caso
mais geral, FBeM come¸ca a aprender a partir de
uma base de regras vazia, ignorante sobre a
pro-priedades dos dados. Conseq¨uentemente, ´e justo
iniciar ρ em uma condi¸c˜ao intermedi´aria para per-mitir estabilidade e plasticidade estrutural
igual-mente. Usamos ρ[0]= 0.5 como valor padr˜ao.
Seja E o erro quadrado m´aximo entre
predi¸c˜oes pk(x[h]) e valores reais y [h] k , ent˜ao ek = (y [h] k − pk(x [h]))2, k = 1, ..., m, (9) e
E = max(e1, ..., ek, ..., em). (10)
Admita ED como o erro de predi¸c˜ao desejado. ρ
aprende valores para si mesmo a partir de
ρ(novo) = ρ(velho) + α(ED− E), (11)
onde α ´e a taxa de aprendizagem. Especialistas
tˆem autoridade sobre o valor de ED e podem
de-sejar que ele seja zero. Valores muito pequenos de
EDconduzem ρ `a 0 e levam a sobre-ajuste de
mo-delos. A pr´atica sugere abrir m˜ao de certa precis˜ao para alcan¸car um erro de aproxima¸c˜ao aceit´avel, abstra¸c˜oes granulares proveitosas e compacta¸c˜ao
da base de dados em regras interpret´aveis. A
adapta¸c˜ao recursiva da granularidade alivia
esco-lhas arbitr´arias do qu˜ao r´apido e qu˜ao freq¨uente a estrutura dos dados muda.
3.4 Compacta¸c˜ao da Estrutura Quociente
Relacionamentos entre pares de grˆanulos podem
ser fortes o suficiente para justificar a forma¸c˜ao
de um grˆanulo maior e mais abstrato que herda
a essˆencia e natureza de grˆanulos menores e mais
detalhados. An´alise quantitativa de rela¸c˜oes
inter-granulares requer uma m´etrica para medir a
dis-tˆancia entre objetos incertos.
A distˆancia esperada entre instˆancias incertas pertencendo a dois grˆanulos quaisquer, γi1 e γi2,
pode ser calculada da seguinte forma:
D(γi1, γi2) = 1 n n X j=1 ||µi1 j − µ i2 j || 2+ σi1 j + + σi2 j − 2 q σi1 j σ i2 j . (12) Esta medida tem demonstrado ser mais precisa
que e.g. distˆancia entre m´edias em espa¸cos Lp
(Xiao & Hung, 2007). Ela considera dados incer-tos e a especificidade da informa¸c˜ao que, por vez,
´e inversamente proporcional ao espalhamento.
FBeM combina grˆanulos usando a menor entrada
de D(.) para qualquer par de grˆanulos da cole¸c˜ao atual e um crit´erio de decis˜ao. A decis˜ao pode ser baseada em valor limiar ∆ ou julgamento especi-alista a respeito da conveniˆencia da combina¸c˜ao.
Um novo grˆanulo γi, combina¸c˜ao de γi1 e
γi2, ´e constru´ıdo por fun¸c˜oes de pertinˆencia
Gaus-sianas com valor modal
µij= σi1j σi2j µ i1 j + σji2 σji1µ i2 j σji1 σji2 + σji2 σji1 , j = 1, ..., n, (13) e espalhamento σij= σi1 j + σ i2 j , j = 1, ..., n. (14)
Estas s˜ao rela¸c˜oes heur´ısticas que basicamente
levam em conta a propor¸c˜ao de incerteza em cada
grˆanulo para determinar a localiza¸c˜ao e tamanho
do novo grˆanulo. As mesmas rela¸c˜oes de
combi-na¸c˜ao valem para vari´aveis de sa´ıda k. Os coefi-cientes dos novos polinˆomios locais s˜ao
aijk= 1 2(a i1 jk+ a i2 jk), j = 0, ..., n. (15)
Naturalmente, combina¸c˜ao de grˆanulos reduz o
n´umero de regras em FBeM e redundˆancia.
3.5 Remo¸c˜ao de Grˆanulos
Um grˆanulo deve ser removido da estrutura de
FBeM se ele parece ser inconsistente com o
con-ceito atual. Estrat´egias comuns de remo¸c˜ao
con-sideram (i ) apagar grˆanulos velhos por idade, (ii )
excluir grˆanulos mais fracos baseados em valores
de erro ou (iii ) apagar os grˆanulos mais inativos.
Em FBeM, optamos pela estrat´egia de remover
os grˆanulos mais inativos. Grˆanulos velhos ainda
podem ser ´uteis no ambiente atual enquanto que
grˆanulos fracos podem ser revigorados atrav´es do
procedimento de adapta¸c˜ao de parˆametros.
Grˆanulos FBeM s˜ao exclu´ıdos quando se
tor-nam inativos durante um n´umero de passos, hr.
Se a aplica¸c˜ao requer memoriza¸c˜ao de eventos
raros ou se sazonalidades s˜ao esperadas, ent˜ao
pode ser o caso de n˜ao excluir grˆanulos. Remover
os grˆanulos inativos periodicamente ajuda a
man-ter a base de regras atualizada.
4 Exemplo de Aplica¸c˜ao A equa¸c˜ao Mackey-Glass: dx dt = Ax[t−τ ] 1 + (x[t−τ ])C − Bx [t], A, B, C > 0, (16)
´e uma equa¸c˜ao diferencial com atraso de tempo
que se comporta caoticamente ou periodicamente
dependendo dos valores de seus parˆametros e do
atraso de tempo τ . A equa¸c˜ao pode representar
um sistema de controle retroalimentado.
A tarefa de FBeM ´e construir uma fun¸c˜ao:
x[t+ξ]= p(x[t], x[t−∆], ..., x[t−D∆]). (17)
Similar a v´arios estudos nesta s´erie, admitimos
ξ = 85, ∆ = 6, D = 3; e A = 0.2, B = 0.1,
C = 10, τ = 17 para os parˆametros da equa¸c˜ao
Mackey-Glass, para gerar um vetor de estados.
Dados s˜ao apresentados seq¨uencialmente ao
sis-tema FBeM um por vez. O sistema come¸ca a
aprender sem regras e/ou pr´e-treinamento.
A avalia¸c˜ao do desempenho de modelos ´e
baseada na raiz do erro quadrado m´edio:
RM SE = v u u t 1 H H X h=1 (y[h]− p[h])2 (18)
e no ´ındice de erro n˜ao-dimensional:
N DEI = RM SE
std(y[h]∀h). (19)
Para avaliar o efeito de diferentes
parametriza¸c˜oes, conduzimos dois
experimen-tos. Primeiro, FBeM-1 prioriza uma estrutura
compacta e adota α = .05, ED = .06, ∆ = .2 e
hr = 2000. Segundo, FBeM-2 foca precis˜ao ao
pre¸co de uma estrutura maior e emprega α = .1,
ED = .01, ∆ = .1 e hr = 8000. Recorremos `a
abordagem de teste antes do treino desde h = 105
at´e h = 11898. A Tabela 1 mostra o desempenho
dos modelos FBeM e de outros modelos on-line para o problema Mackey-Glass.
Tabela 1: Mackey-Glass: performance de predi¸c˜ao
Modelo Referˆencia Regras RM SE N DEI EFuNN (Kasabov, 1998) 193 0.0822 0.4010
RAN (Platt, 1991) 113 0.0802 0.3730
eTS (Angelov et al., 2006) 9 0.0799 0.3720 IBeM (Leite et al., 2009) 5 0.0769 0.3577 xTS (Angelov et al., 2006) 10 0.0711 0.3310
FBeM-1 – 5 0.0642 0.2987
DENFIS (Kasabov et al., 2002) 58 0.0593 0.2760 Neural Gas (Fritzke, 2005) 1000 0.0133 0.0620 IBeM (Leite et al., 2009) 98 0.0126 0.0586
FBeM-2 – 33 0.0122 0.0568
A Tabela 1 mostra que FBeM-1 ap´oia-se em
uma estrutura relativamente compacta, 3.23±0.56
regras, m´aximo de 5 regras, similar aos modelos
eTS, IBeM e xTS, para dar resultados compe-titivos em termos dos ´ındices RM SE e N DEI. A Fig. 2 detalha os resultados do experimento.
A figura ilustra a predi¸c˜ao singular p da s´erie
Mackey-Glass provida por FBeM-1 e a evolu¸c˜ao
do n´umero de regras e ´ındices de erro. FBeM-2
faz uso de 27.87 ± 4.11 regras, m´aximo de 33
re-gras, para patrocinar o menor erro de predi¸c˜ao e
superar o desempenho das demais abordagens. Caso a equa¸c˜ao (16) represente a produ¸c˜ao de
c´elulas brancas do sangue para defender o corpo
humano contra pat´ogenos, como em (Mackey &
Glass, 1977), a predi¸c˜ao granular FBeM pode
re-presentar a faixa de atividade normal de c´
elulas-tronco hematopoi´eticas. A efetividade da
abor-dagem FBeM em predi¸c˜ao de s´eries temporais
ca´oticas sem conhecimento anterior sobre os
Figura 2: Predi¸c˜ao singular FBeM, evolu¸c˜ao de
regras e ´ındices de erro para a s´erie Mackey-Glass
5 Conclus˜ao
Este trabalho prop˜oe modelagem evolutiva
baseada em conjuntos fuzzy como uma plataforma para aprendizagem a partir de fluxo de dados. O algoritmo FBeM granula dados recursivamente
para prover aproxima¸c˜oes singulares e granulares
de fun¸c˜oes n˜ao-estacion´arias. O sistema combina
boa precis˜ao de modelos fuzzy funcionais com
a vantagem de melhor interpreta¸c˜ao semˆantica
de modelos ling¨u´ısticos. A utilidade da
abor-dagem FBeM em predi¸c˜ao foi verificada usando
dados reais da s´erie Mackey-Glass. Compara¸c˜oes
com abordagens alternativas tˆem mostrado a
efetividade da abordagem de modelagem FBeM.
Trabalhos futuros discutir˜ao formas de
mani-festa¸c˜ao de grˆanulos de informa¸c˜ao em fluxo de
dados e o papel de FBeM para capturar a essˆencia
da informa¸c˜ao contida nos dados.
Agradecimento
O primeiro autor agradece `a CAPES pelo apoio
financeiro. O terceiro autor agradece `a CEMIG
pelo suporte P&D178. O ´ultimo autor ´e grato ao CNPq, processo 304596/2009-4.
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