ESPECIALIZAÇÃO DE SERVIDORES EM UM SISTEMA DE FILAS M/G/c

A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN

ESPECIALIZAÇÃO DE SERVIDORES EM UM SISTEMA DE FILAS

M/G/c

Roberto Quirino do Nascimento

Departamento de Estatística – UFPB

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Luciano da Costa Silva

Departamento de Estatística - UFPB

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RESUMO

Tratamos aqui do problema de distribuir tarefas entre c servidores de fila idênticos. O problema é apresentado na seção 1: supomos que há N tipos de clientes, chegando, cada um, segundo um processo de Poisson de parâmetro λj a uma central de triagem. O tempo de serviço de cada tipo de cliente tem uma distribuição do tipo geral. Na seção 2, usando a fórmula de Pollaczeck-Khintchine, modelamos este processo como um problema de programação não-linear com variáveis inteiras que minimiza o tamanho médio da maior fila. Um método de solução é então apresentado na seção 3. Um resultado numérico é apresentado na seção 4.

Palavras-chave: Filas M/G/c, programação geométrica, programação não-linear, programação inteira.

ABSTRACT

We consider the problem of distribution of jobs for c identical queue servers. The problem is presented in section 1: we suppose that there are N types of clients, whose times of arrival follow a Poisson process with rate λj. The service time of each kind of client follows a distribution of generic type. In section 2 we model this process using the Pollaczeck-Khintchine formula to find the minimum mean size of the largest queue. A solution method is then presented in section 3 and a

numerical result is presented in section 4.

Keywords: M/G/c queues, mathematical programming, nonlinear programming, integer programming.

1. Introdução

Consideramos o problema de atribuir tarefas a c servidores idênticos, rotulados por i=1,...,c. Há

N tipos de clientes, rotulados j=1,...,N e cada um deles chega a uma triagem segundo um

processo de Poisson de parâmetro λj, de modo que a taxa de chegada de clientes na triagem é:

∑

= N

λ

Na triagem, os clientes de cada tipo são encaminhados aos servidores correspondentes. O servidor i deverá atender os clientes do conjunto { ₁,..., }

i n

i j j

J = de modo que cada tipo de

cliente é atendido por um e apenas um servidor. O tempo de serviço depende do tipo de cliente e tem uma distribuição de tipo geral, não necessariamente exponencial, com média mj e variância

2

j

σ

. Portanto, segundo a conhecida fórmula de Pollaczek-Khintchine, o número médio, no longo prazo, de clientes na fila do servidor i - incluindo o que estiver sendo atendido - será dado por: ) 1 ( 2 2 2 2 2 i i i i i i i i i

M

S

M

M

L

Λ

−

Λ

+

Λ

+

Λ

=

(2) onde

∑

∈ = Λ i J j j i

λ

(3)

é a taxa de chegada de clientes ao servidor i e

∑

∈

=

i J j j i j i

m

q

p

M

(4)

é o tempo médio de serviço no servidor i. Aqui, pj é a probabilidade do cliente que chega na triagem ser do tipo j, ou seja:

λ

λ

_j

j

p

= (5)

e qi é a probabilidade de um cliente que chega na triagem ser enviado para o servidor i, ou seja:

∑

∈ = i J j j i p q (6)

Por último,

S

_i2 é a variância do tempo de serviço no servidor i. Pode-se mostrar que esta variância é a média das variâncias mais a variância das médias:

2 2 2 2 i J j j i j J j j i j i

m

M

q

p

q

p

S

i i

−

+

=

∑

∑

∈ ∈

σ

(7)

Podemos agora colocar o problema: nosso objetivo é encontrar a partição J ={J₁,...,J_c}que minimiza o tamanho esperado da maior fila. Ou seja, queremos encontrar _i

i

J

max

L

min

.

1. Modelo Matemático

Das equações (2)-(7), temos:

)

1

(

2

_i i i i i

q

L

π

γ

λ

π

−

+

=

(8) onde:

∑

∈ = i J j j j i

λ

p m

π

(9) e:

∑

∈ + = i J j j j j i

λ

p (

σ

2 m2)

γ

(10)

As variáveis πi têm uma interpretação conhecida em Teoria das Filas: proporção de tempo em que o servidor i estará ocupado, no longo prazo. Assim, 1-πi é a proporção de tempo ocioso do

servidor i e, portanto, devemos ter πi < 1. Caso contrário, a fila deixa de ser recorrente positiva e aumenta indefinidamente de tamanho (Li = ∞).

Introduzindo as variáveis    ∈ = contrário caso , 0 se , 1 _i ij J j

δ

(11) o problema torna-se: onde hj = λpjmj e uj =

λ

pj(

σ

2j +m2j).

2. Solução por Programação Geométrica

Para resolver o problema (12)-(18), precisamos colocá-lo em uma forma conveniente. Usando a transformação de variáveis

x

_ij

=

exp(

δ

_ij

),

π

~

_i

=

exp(

π

_i

),

γ

~

_i

=

exp(

γ

_i

)

e a aproximação

ln

≈

1

(

ε

−

1

)

ε

x

x

, para ε suficientemente pequeno, (19) o problema (12)-(18) torna-se:

)

18

(

.

,...,

1

,

,...,

1

},

1

,

0

{

)

17

(

.

,...,

1

,

0

,

1

0

)

16

(

.

,...,

1

,

1

)

15

(

.

,...,

1

,

)

14

(

.

,...,

1

,

)

13

(

,...,

1

,

0

2

:

a

sujeito

)

12

(

Min

1 1 1 2

N

j

c

i

c

i

N

j

c

i

u

c

i

h

c

i

q

ij i i c i ij i N j ij j N j i j ij i i i i i

=

=

∈

=

≥

<

<

=

=

=

=

=

=

=

≤

−

−

+

+

∑

∑

∑

= = =

δ

γ

π

δ

γ

δ

π

δ

θ

π

θπ

γ

λ

π

θ

)

23

(

.

,...,

1

,

)

22

(

.

,...,

1

,

1

1

)

21

(

.

,...,

1

1

1

1

1

2

:

a

sujeito

)

20

(

N 1 1 N 1 2 2 2 N 1 N 1 2 / ) ( N 1 2

c

i

e

x

N

j

x

e

c

i

x

x

x

x

Min

j j h ij c i ij j j h ij j j h ij j j u p h ij j j h ij j j

=

<

=

=

=

≤













₊

−

−

−

+

∏

∏

∏

∏

∏

∏

= = = = = + + =

θ

ε

ε

ε

ε

θ

ε

ε

θ

ε ε λ ε ε

Além disto, passamos a considerar os xij como variáveis contínuas.

O problema (20)-(24) é um Problema de Programação Geométrica Signomial (PPGS). Para garantir que a solução deste problema seja uma aproximação aceitável da solução de (12)-(18), devemos impor uma penalidade sobre as variáveis contínuas xij. Usaremos a função

) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) ( 2 2  −      − − − − = x e e M x M x p_M ε ε

ε

ε

, x∈[1,e], (25)

que tem as seguintes propriedades:

(i) pM(x) > 0, ∀ x ∈ (1,e).

(ii) pM(1) = pM(e) = 0.

(iii)

lim

p

_M

(

x

)

,

x

(

1

,

e

).

M→∞

=

∞

∀

∈

(iv) pM(x) é uma função signomial.

Assim, o problema de otimização considerado passa a ser:

(24) -(21) restrições às sujeito ) ( Min 1 1

∑∑

= = + c i N j ij M x p

θ

(26)

3.1 O problema primal de programação geométrica signomial

O problema primal de programação geométrica signomial pode ser escrito na seguinte forma:

Minimize g₀(t) sujeito a (27) g_k(t)≤1, k = 1,...p. onde ∑ ∏ ∈ = = ] [ 1 ) ( k J i m j a j i i k t c t ij g σ , (28) com J[k]=

{

m_k,m_k +1,m_k +2,...,n_k

}

, k= 1,...,p, m0 = 1, m1 = n0+1,...,np= n. As constantes cij são positivas, os aij são números reais e σi =±1. Quando

σ

i =1, para todo i, dizemos que trata-se de um problema de programação geométrica posinomial.

3.2 Condensação em programação geométrica signomial

A abordagem mais comum para resolver este problema é a condensação, que consiste em aproximar termos com vários posinômios, isto é, termos da forma _{∑ ∏}

∈J[k] =1 i m j a j i ic t ij σ , por um

único termo da forma ∏

= m j a j i t ij c 1

. Para tanto, faz-se uso da seguinte desigualdade:

i ij ij K J i i m j a j i k J i m j a j i t c t c ω ω ∏             ∏ ≥ ∑ ∏ ∈ =

Passo 2 Resolva o problema de Prog. Geom. Posinomial encontrado no passo1, sendo tk _{sua solução.}

Passo 3 faça t0 = tk

k = k+1 Fim de enquanto

Se

δ

é a solução obtida pelo algoritmo faça

δ

= log(

δ

) e calcule os valores de π e γ 4. Resultados Numéricos

Implementamos esta metodologia em MATLAB e aplicamos ao seguinte exemplo fictício: um sistema com c servidores idênticos, processo de chegada de clientes com distribuição de Poisson de parâmetro λ = 0.2, divididos em N = 7 tipos diferentes, segundo os dados abaixo:

j pj mj σj 1 0,2167 0,2 1,4115 2 0,0527 8,2 3,2527 3 0,1384 4,4 0,0394 4 0,1109 6,2 0,5556 5 0,2033 7,9 0,8111 6 0,1738 9,2 0,7949 7 0,1041 7,4 2,4152 Os resultados encontrados foram:

          = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0

δ

O vetor de cargas de dedicação foi:

T ) 568956 , 0 0 580522 , 0 ( =

π

E o tamanho médio de cada fila no longo prazo é, respectivamente:

L1 = 1,63; L2 = 0; L3 = 1,886966. 5.Conclusão

O problema de especialização de servidores é um problema de programação não linear inteira, neste trabalho optou-se por uma abordadgem de penalidade inédita, a qual resolveu satisfatoriamente o problema, esperamos que ao resolver problemas maiores esta técnica também apresente a mesma performance apresentada aqui.

6. BIBLIOGRAFIA

[1] Beightler, C.S. and Phillips, D.T., (1976), ``Applied Geometric Programming'', John Wiley \& Sons, New York.

[2] Dembo, R.S., (1976), ``A Set of Geometric Programming test problems and their Solutions'', Mathematical Programming, 10, 192--213.

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[8] Nascimento, R. Q., Oliveira P.R. '' A globally convergente Infeasible Interior Point Method for Linearly Constrained convex programming '' Interior Points On Line 2000

http://www.mcs.anl.gov/otc/InteriorPoint.

[9 ] Nascimento, R. Q., Filho M. G.A. “Otimização de Um Sistema Hidrotérmico via Programação Geométrica” Anais do XXXIII SBPO Campos do Jordão pág 530-537

[10]Yang, H. S, Bricker D. L. ''Investigation of Path-Following algorithms for Signomial Geometric Programming Problems '' European Journal of Operations Research 103 pag 230-241.