Aproximação para sistemas de filas M/M/c com servidores heterogêneos

(1)

Aproximação para sistemas de las M/M/ om

servidores heterogêneos

Frederio Samartini Queiroz Alves

Dissertação de mestrado submetida ao Programa

dePós-GraduaçãoemEngenhariaElétriada

Uni-versidade Federalde MinasGerais, omorequisito

parial à obtenção do Título de Mestre em

Enge-nharia Elétria.

Orientador Prof. Dr. Hani CamilleYehia

Belo Horizonte

(2)

minhairmã,a todaa minhafamília

eatodosaquelesquemeapoiarame

inentivaramparaqueeualançasse

(3)

Gostariade expressarsinera gratidãoaoProf o

LuísAntnio CapanemaPedrosa,por

termeinentivado aoestudodaTeoriade Filaseportersido meuonselheiro,

ajudando-meemvárias etapas deste trabalho.

AomeuorientadoreProfessor,Dr o

HaniCamilleYehiaportermedadoaoportunidade

de seguir dentro daarreiraaadêmia e, também, pelos onselhos que,ao longodo meu

aminho, zerammudar o meu perurso.

Agradeimento espeial e arinhoso faço a meu pai e minha mãe que me deram

on-selhosúteis para aonstrução desta dissertação epelaompreensãoque tiveram durante

esse período, suportandoas ansiedades e asangústias.

Agradeço aos amigos que olaboraram om seus onselhos eque, também, souberam

ompreender minha ausênia quando preisaram. Em espeial a meu amigoRabino, que

aompanhou om mais interesse todo o proesso e ajudou-me em vários momentos a

busarsoluções.

Sou grato à minha namorada Luiana por ter me apoiado e ter me enorajado a

manter minhas metas, além de ter ontribuido diretamente na riação desta dissertação

meajudandoom as simulações.

Deixo meus agradeimentos, também, aos professores, olegas de urso de engenharia

elétriae doCEFALA que meajudaram narealização deste trabalho.

Agradeçoà Fundação de Amparoa Pesquisa doEstado de Minas Gerais -FAPEMIG

(4)

Este trabalhose aplia, espeiamente, ao aso de C servidores heterogêneos,

expo-nenialmentedistribuídosequeatendem aumalaúnia,om disiplinade atendimento

First-Come,First-Served, formadapor apenas uma lasse de liente. É apresentada uma

formulaçãomatemátiaparaseobterumlimitesuperiorparaasmedidasde desempenho.

Talformulaçãoéobtida,basiamente, através deuma expansãodoespaçode estados,

re-sultante daheterogeneidade dos servidores, e, emseguida,através de uma redução desse

espaço de estados. Essa redução é viável, pois apenas as possibilidades de maior

prob-abilidade foram onsideradas. Com isso, é possível enontrar o pior aso para o tempo

médiode espera nalaepara onúmeromédiode serviços nala, omo, também,para o

tempo médiono sistemae o númeromédio de pessoas nosistema.

Essa formulação se torna atraente por ser apaz de aproximaro omportamento real

desses sistemas de servidores heterogêneos om um erro, na maioria dos asos, menor

doque sefosse alulado utilizandoaaproximação existente para uma MM tradiional.

Resultados de simulações, feitas em GPSS (General Purpose Simulation System), são

apresentados om o intuito de validar a formulação riada e de omparar o erro relativo

dela om ode outrasaproximações.

O Índie de Gini é usado para failitar a omparação entre sistemas, pois, através

desse, é viável lassiá-los quanto à heterogeneidade e, então, avaliar qual é o efeito

resultante dessa sobre as medidas de desempenho de um sistema de las qualquer. É

apresentada, também, uma análise sobre a inuênia que alguns tipos de aloação têm

(5)

This work isspeially appliedtothe ase of Cheterogeneous servers, exponentially

distributed, whih assist a single FCFS line formed for just one type of ustomer lass.

A mathematialformulationis presented to obtain an upper bound for the performane

measures. Basially,suhformulationisobtainedthroughanexpansionofthe statespae

resultingfromtheheterogeneityofthe servers andafterwardsthrough aredution ofthat

state spae. That redution is feasible beause only the possibilitiesof larger probability

areonsidered. Withthat,itispossibletondtheworstasefortheaveragewaitingtime

in queue and for the average number of people in the queue, as well as for the average

waiting timein the system and the average number of people inthe system.

Inmostoftheasesthatformulationbeomesattrativeasitisapabletoapproximate

the real behavior of those systems of heterogeneous servers with an error that is smaller

thanif itwas alulated using the traditionalMM.

Results from simulations, whih were run in GPSS, are showed with the intention of

validatingthe reated formulationandtoompare therelativeerrorresulted fromitwith

theerrorfromotherapproahes. The Gini'sIndexisusedtomaketheomparisonamong

systems possible as it makes viable the lassiation of the systems aording to their

heterogeneity. Asaresult ofthat itis possibletoevaluatewhihisthe resultanteeton

the performane measures of those queueing systems. In addition,some analyses on the

(6)

Lista de Figuras vii

Lista de Tabelas ix

1 Introdução 1

1.1 Introdução . . . 1

1.2 Objetivo . . . 2

1.3 Motivação . . . 3

1.4 Revisão Bibliográa . . . 4

1.5 AbordagemProposta . . . 12

1.6 Apliações . . . 14

1.6.1 VoD - Video Sob Demanda. . . 14

1.6.2 Redes de Comuniações . . . 15

1.6.3 Telefonia . . . 17

1.6.4 Multiplexaçãode Paotes emSwithes . . . 17

1.6.5 Centralde Atendimento . . . 18

1.6.6 Modelos Finaneiros . . . 19

1.6.7 Outras Apliações . . . 20

1.7 Organização doTrabalho . . . 22

2 Proessos estoástios Markovianos 24 2.1 Cadeias de Markov . . . 24

2.1.1 Proessos Markovianos Disretosno Tempo . . . 25

2.1.2 Classiaçõespara as Cadeias Markovianas . . . 27

2.1.3 Probabilidades Limite . . . 30

(7)

2.2.3 Função taxa de Falha . . . 34

2.3 Distribuição de Poisson . . . 35

2.4 Proessos Markovianos Contínuos no Tempoe oProesso de Poisson . . . 37

2.4.1 Distribuição doTempoentre Chegadas. . . 40

2.4.2 Distribuição doTempo de Espera . . . 42

2.4.3 Distribuição Condiionaldos tempos de hegadas . . . 43

2.5 Proesso de Nasimentoe Morte . . . 44

2.6 Sumário . . . 47

3 Sistemas de Filas Markovianas 48 3.1 SoluçõesGerais: Equações de Equilíbrio . . . 48

3.2 Lei de Little . . . 51

3.3 Fila M/M/1 . . . 53

3.4 Fila M/M/ . . . 54

3.5 Fator

ρ

de Utilização . . . 56

4 Aproximação Proposta: M/M/

c

H

eterog

ˆ

eneos

58 4.1 Desenvolvimento . . . 58

4.1.1 Taxade Nasimentoe Taxa de Morte . . . 58

4.1.2 Denição de p

i

. . . 62

4.1.3 Denição de p

0

. . . 63

4.2 Medidas de Perfomane. . . 64

4.2.1 L

q

e W

q

. . . 64

4.2.2 L e W . . . 66

4.3 Comparação daAproximação Proposta om OutrosModelos . . . 67

4.4 Sumário . . . 69

5 Resultados Numérios, Capaidades e Limitações 70 5.1 Resultados Numérios . . . 70

5.2 Capaidades eLimitações . . . 79

6 Disussões 89 6.1 Identiação de Região Ótima . . . 89

(8)

A Simulação 95

(9)

1.1 Sistema om servidoresHeterogêneos atendidos por múltiplaslas paralelas. 5

1.2 Sistema om servidoresHeterogêneos atendidos poruma únia la. . . 6

1.3 SistemadelaúniaomservidoresHeterogêneos,modeloestudadoneste trabalho. . . 13

1.4 Modelo de rede de las para grupos de servidores naWeb. . . 16

1.5 Modelo Operaionalde um entro de atendimento. . . 19

1.6 Organização dos apítulosda dissertação . . . 23

2.1 DiagramadeVennparaompreensãodasrelaçõesentreosproessosaleatórios 27 2.2 Probabilidade de um eventonão ter aonteido. . . 41

3.1 Diagrama de transição de estados para um proesso BD. . . 49

3.2 Diagrama de transição de estados para um sistemade laM/M/1. . . 53

3.3 Diagrama de transição de estados para um sistemade laM/M/ . . . 54

4.1 Diagrama de transição de estados para o modelo proposto de Servidores Heterogêneos. . . 60

5.1 Sistemas om 2servidores para

ρ

= 0

.

9

. . . 73

ρ

= 0

.

75

. . . 74

ρ

= 0

.

6

. . . 75

ρ

= 0

.

9

. . . 78

ρ

= 0

.

75

. . . 79

ρ

= 0

.

6

. . . 80

ρ

= 0

.

9

. . . 82

ρ

= 0

.

75

. . . 83

ρ

= 0

.

6

. . . 84

(10)

ρ

= 0

.

6

. . . 87

6.1 Região ótima para 2servidores e

ρ

= 0

.

75

. . . 90

6.2 Região ótima para 6servidores e

ρ

= 0

.

75

. . . 91

(11)

2.1 Funções Geradorasde Momentos, Médias e Variânias . . . 33

5.1 Erro máximoenontrado nos resultados . . . 77

5.2 Erro Médio enontrado nos resultados . . . 81

5.3 Tempo médio de espera emla para M/M/ . . . 88

B.1 Resultados paraM/M/2heterogênea -

ρ

= 0

.

9

. . . 98

ρ

= 0

.

75

. . . 98

ρ

= 0

.

6

. . . 99

ρ

= 0

.

9

. . . 99

ρ

= 0

.

75

. . . 100

ρ

= 0

.

6

. . . 100

ρ

= 0

.

9

. . . 101

ρ

= 0

.

75

. . . 102

ρ

= 0

.

6

. . . 102

B.10Resultados paraM/M/12heterogênea -

ρ

= 0

.

9

. . . 103

B.11Resultados paraM/M/12heterogênea -

ρ

= 0

.

75

. . . 104

(12)

ANOVA Analysisof Variane

ATM Asynhronous Transfer Mode

BD Proesso de Nasimento e Morte (Birth-Deathproess)

B-ISDN BroadbandIntegrated Servies DigitalNetwork

BPI Bath Poisson Input

CDF FunçãoDistribuição Cumulativa

CPDEE Centro de Pesquisa eDesenvolvimentoem EngenhariaElétria

DSL DigitalSubsriberLine

EBIT EarningsBefore Interests and Tax

FCFS First-Come,First-Served

FSF Fastest Servers First

GAMS GeneralAlgebrai Modeling System

GPSS GeneralPurpose Simulation System

IP Internet Protool

MAC MediumAess Control

MCMS MultiClass MultiServer

M/M/ Chegadas Markovianas/Saídas Markovianas/ servidores -Notação de Kendall

MPLS MultiprotoolLabelSwithing

MSE Mean Squared Error

PB Proesso de Puro Nasimento(Pure-Birth)

PDF FunçãoDensidade de Probabilidade(Probability density funtion)

PP Proesso de Poisson

(13)

RP Proesso de Renovação (Renewalproess)

RW RandomWalk proess

SHE Servidores Heterogêneos exponeniais

SLA Servie-Level-Agreements

SMP Proesso Semi-Markoviano(Semi-Markov proess)

SQMS Single QueueMulti Server

UPC Usage Parameter Control

UT Unidade de Tempo

VA Variável Aleatória

VoD Video on Demand

VoIP Voie overIP

(14)

C

Número de servidoresno sistema

C

(

t

)

Conabilidadedo sistema

∆

(t) Intervalo de tempot

E

i

Estado i

F

(

x

)

Função de densidade de probabilidadeaumulada

f

(

x

)

Função densidade de probabilidade de x

f

i

Probabilidade de o sistemasempre voltar a

E

i

f

_i

(

n

)

Probabilidade de o sistemavoltar a

E

i

emntransições

Φ(

t

)

Função geradora de momento

γ

Período de reorrênia para uma adeia periódia de Markov

L

Número médio de pessoas no sistema

L

q

Número médio de pessoas na la

λ

Taxa onstante de hegada de lientes

λ

i

Taxa de Nasimentopara um proesso Markovianono estado i

m

c

Somatório das apaidades de proessamento dos servidores

M

i

Tempo médiode reorrênia

m

i

Somatório das apaidades de proessamento dos i primeirosservidores

µ

i

Taxa de Morte para um proesso Markoviano noestado i

µ

j

Taxa de proessamento doservidor i

N

(

t

)

Número de eventos no intervalot

p

0

Probabilidade de se ter 0 jobsno sistema

P

i

Distribuição estaionáriade probabilidadede se estar em

E

i

p

i

Probabilidade de se estar noestado iem um proesso Markoviano

ou aprobabilidadede seter ijobs emum sistemade las

(15)

π

i

Probabilidade limitede seestar em

E

i

π

n

i

Probabilidade de um sistema seenontrar em

E

i

na n-ésimatransição

ρ

Utilização dosistema, ouintensidade de tráfego

r

(

t

)

Função taxa de falha

S

(

i

)

Tempo de espera até oi-ésimo evento

V

(

f

)

Sistema qualquer em um estado futuro

V

(

n

)

Sistema qualquer em um ponton qualquer notempo

V

(

p

)

Sistema qualquer em um estado presente

W

Tempo total médioque ada job a nosistema

W

q

Tempo médioque ada job espera nala

y

q

Probabilidade ondiionalde seestar no estado

V

(16)

Introdução

1.1 Introdução

As las são fenmenos que aonteem a todo o momento em nossos dias. Pode-se

ver la em tudo o que fazemos e aonde vamos. Há las de arros, para omprar um

lanhe ou quando se vai pagar uma onta. Em diversas e variadas situações, podem-se

vê-las. Aslas queaonteemnonossodia-a-dianão são,apenas, asvisíveisdiretamente.

Existem las, por exemplo, nos aeroportos e nos portos, além de estarem presentes em

todo o proesso de produção e esoamento de produtos, fazendo om que os preços das

meradorias subam ou desçam onforme a eiênia na distribuição e na logístia. Em

telefonia,prinipalmenteomastenologiasdeomutaçãodepaotes,VideosobDemanda

eVozsobre IP,aslas também apareem. Desta forma,resolverde maneiraadequadaos

problemasde las pode ser um fatorde redução de ustosede maximizaçãodaeiênia

de um sistema.

As las aonteem a todo o momento em vários sistemas e elas poderão se tornar

instáveis quando a quantidade de trabalho demandada ao sistema é maior ou igual à

apaidadede proessaressa quantidadede serviço. Quando aoferta de proessamentoé

menorqueouxo de trabalhoquehega nesse sistema,aslas,inevitavelmente, surgirão

e poder-se-ão tornar um entrave intransponível. Em alguns asos, a solução é aumentar

a apaidade de atendimento, mas isso pode requerer vultosas despesas de apital. Em

outros asos, as las podem ser reduzidas através de uma aloação mais eiente dos

reursos existentes.

Ainvestigação de sistemasde las é,portanto,de extremaimportânia. Dentrodeste

(17)

têm as mesmas taxas de trabalho e, por isso, são hamadosde Servidores Heterogêneos.

A neessidade de estudaros sistemas atendidos poresses servidores vem do fato de que,

naprátia,o número de sistemas nos quaisos servidorestrabalham om taxas diferentes

vem resendo. Considerando, por exemplo, seres humanos omo servidores, sendo ada

um enarregado de realizar um serviço mesmo que esse serviço seja igual para todos,

ada um terminará o trabalho em um tempo diferente. Anal de ontas, seres humanos

são diferentes e têm apaidades diferentes. Ainda que os servidores sejam máquinas, é

provável queo mesmo oorra. No aso da Internet, é possível que o proessador de uma

máquinaouoroteadorsejamaisrápidoqueoutros. Prinipalmenteporqueossistemasde

omuniação enfrentam um proesso rápido e permanente de renovação de tenologia, o

quefaz equipamentosvelhos serem normalmentemais lentos. Considerando os proessos

industriais, é de se esperar que haja máquinas om diferentes preços e, portanto, om

diferentes taxas de produção, ou mesmo, serem de origens diferentes o que, também,

afetaas respetivas apaidades. Mais ainda, as máquinas podem, apenas, ser de idades

diferentes e,onsequentemente, trabalharemom apaidades díspares.

A Teoria de Filas é um ramo daProbabilidade Apliada om a Pesquisa operaional

queprouramodelar,matematiamente,esses sistemase,dessaforma,revelar anatureza

probabilístiaportrásdesses. Através dessesmodelos matemátios,proura-se, de forma

detalhada,obter respostas ótimaspara problemas de gereniamento de várias naturezas.

Para isso, a Teoria de Filas aparee omo ferramenta para a obtenção de parâmetros de

desempenho,omo,porexemplo,tempode esperamédioenúmeromédiodepessoastanto

nalaquantonosistema. Comariaçãodeformulaçõesfehadasépossíveltomardeisões

de formamaisrápida eonável,já quenão émais preiso utilizarapenas simulações, as

quaispodem ser impreisas e muitas vezes demoradas.

1.2 Objetivo

Oobjetivodestadissertaçãoédesenvolverumaformulaçãomatemátiaquerepresente,

de forma aproximada, os sistemas de las orrespondentes aos asos em que existam

servidores heterogêneos exponenialmente distribuídos, alimentados por uma la únia.

Tal latem disiplinade atendimentoFCFS (First-ComeFirst-Served) e é formada por

jobs de uma só lasse, ujas hegadas ao sistema aonteem de aordo om um proesso

de Poisson. Pretende-se, om essa formulação, obter as medidas de desempenho, tempo

(18)

númeromédio de jobs no sistema enúmero médio de jobs nala.

Espeiamente, pretende-seavaliar,atravésdaformulaçãodesenvolvida, a inuênia

daheterogeneidadedosservidoresdentrodosistema. OÍndie deGiniserá utilizadopara

mensuraressa heterogeneidadeentre taissistemase,então, tornarpossívelalassiação

ea omparaçãodesses.

Com base emtais medições, pode-se, então, determinar omo o sistema se omporta

quando se varia o número de servidores. Deseja-se om isso avaliar o quanto os

resulta-dos obtidos om a formulação proposta são afetados om o aumento da quantidade de

servidores. Para essa avaliação,são omparados valores obtidos om valores simulados.

Emseguida, pretende-se denir limites superiores e inferiores para ada onguração

de servidores. Isto é feito, através de omparações do erro resultante em relação às

variaçõesqueoorremnaformulaçãopropostaquandosãoutilizadasasseguintespolítias

dealoaçãodeservidores: (i)esolhendoosservidoresmaislentosprimeiro;(ii)esolhendo

osservidores de formaaleatória;e (iii)esolhendo os servidoresmais rápidos primeiro.

Finalmente, pretende-se analisar o erro aarretado nos resultados alulados om a

formulação proposta quando se varia o oeiente

ρ

de utilização do sistema. Espera-se

que o erro seja menor quando o

ρ

tende à unidade, pois, a inuênia das polítias de

aloaçãonas medidas de performane para esse aso é menor.

A análise realizada permite a identiação de apliações prátias nas quais a

formu-lação proposta possa ser utilizada. Dessa forma, este estudo torna-se útil para o

geren-iamento de quaisquer proessos de las que oorrem no dia-a-dia, se esses puderem ser

representados pelomodelo aqui proposto.

1.3 Motivação

Amotivaçãoparaestetrabalhovemdaimportâniadesedesenvolverumaferramenta

quepossibiliteuma melhora nas avaliações feitassobre vários proessos de las e, assim,

melhorar o gereniamento dos mesmos. Como onseqüênia de uma melhor gestão dos

proessos,tem-se: melhor qualidadedos serviços, maior apaidade de trabalhoe

eono-miananeira através de redução de ustos.

Sãoenontrados,naliteratura,muitosmodelosqueseutilizamdaTeoriadeFilaspara

desrevermatematiamentearealidade. Entretanto,quasetodos,quandoéoasodemais

deumservidor,onsideramosservidoresomosendohomogêneos. Esta éapenasumadas

(19)

proura-sedarumpassoamaisemdireçãoaumamelhorrepresentaçãodoqueaonteena

realidade. A possibilidadede riaçãode uma formulaçãorelativamentesimplesequeseja

sensívelàheterogeneidadedos servidoresquandoesses são exponenialmentedistribuídos

representaumaontribuiçãosuientementesigniativaparajustiararealizaçãodeste

trabalho.

A gama de sistemas om natureza distinta em que a formulação proposta poderá

ser apliada é mais um estímulo à investigação da mesma. Esta gama estende-se desde

sistemas de teleomuniações, nas quais agrupam-se tenologias de video sob demanda

e voz sobre Ip,passando por redes de omputadores em geral, e indo até sistemas de

manufatura, logístiae análise naneira.

1.4 Revisão Bibliográa

Com aampla utilidadeenontrada para aTeoria de Filas emvárias áreas, observa-se

que, nos últimos anos, vários autores vêm estudando extensivamente o assunto. Devido,

portanto, àquantidade de trabalhos publiados neste ampo,um leitor interessado pode

se perder entre tantos aminhos possíveis. Neste trabalho os esforços são divididos de

maneira a evitar esse erro. Para isso os seguintes passos são seguidos: (i) estudo sobre

teoria de las desrita em Gross e Harris (1985), Kleinrok (1976a), Kleinrok (1976b),

Ross (1993),El-Taha e Stidham(1999),Wol (1989), Saaty (1961), Feller (1957), Feller

(1966),Cooper(1981)eAllen(1990)ondeforamenontradososfundamentosneessários

para desenvolver este estudo; (ii)pesquisa e onseqüente estudo sobre trabalhos que

de-senvolvema teoriasobre servidores heterogêneos neessária para este; e(iii) investigação

sobre possíveis apliações.

Existemais de um tipode sistemasom servidores heterogêneos, e esses são tratados

de formasdiferentes. Oprimeirotipode sistema onsisteemservidoresindividuais,onde

ada um deles "enxerga" à sua frente uma la únia à qual só ele atende. Esse sistema

está representado na Figura 1.1. O segundo tipo de sistema, mostrado na Figura 1.2,

é o aso em que os servidores atendem à mesma la, ou seja, existe somente uma la

"alimentando"os servidoresquando esses am vazios.

O primeiro tipo de tratamento, na verdade, onsidera múltiplas las paralelas. Esse

tipodesistemaéaraterizado,portanto,porváriosservidoresquetrabalhamemparalelo

ondeadaumtemumalaprópriaomosefosseumsistemadeapenasumservidor. Nesse

(20)

Figura 1.1: Sistema om servidores Heterogêneos atendidos por múltiplaslas paralelas.

quando um job sai de sua la e vai para uma mais urta. Para se alular as medidas

de performane dos sistemas om múltiplas las onsidera-se ada la individualmente

e depois tira-se a média ponderada de ada uma dessas las. Essa ponderação é feita

através de pesos probabilístiosde roteamento(The Routing Probabilities).

Muitos pesquisadores vêm estudando esses tiposde sistemasde las paralelas eesses

onsideram ou não a heterogeneidade dos servidores. Alguns artigos sobre essas las e

que de alguma formaontribuem omo base para o modelo desenvolvido neste trabalho,

são: Levine eFinkel(1990),BanawaneZahorjan(1989),Haight(1958),Kingman(1961),

Borst(1990), Koenigsberg (1966),Lee (1994),Whitt (1980), Whitt (1992),Wein(1991),

Disney eMithell (1971),Elsyed e Bastani(1985), Blan(1987),Blan(1992),Shwartz

(1974),Zhao e Grasmann (1990),Grassmann e Zhao (2004),Zhao e Grasmann (1990).

O segundo tipo de sistema om servidores heterogêneos é o que é tratado neste

tra-balho. Nesse aso existe apenas uma la onde os jobs aguardam para serem atendidos

poralgum servidor queque livre, o queaontee quando esse termina oproessamento

dotrabalhoque estava realizando. Essa é uma la FCFS (First-Come,First-Served), na

qual o primeiro job que hega ao sistema é o primeiro a ser atendido. Obviamente, o

fatodo primeirojob que hegar ser atendido primeironão resulta nofato de que esse irá

tambémsairprimeirodosistema,umavezque,ataxade proessamentode adaservidor

é diferente. Outra razão para que isso oorra vem da onsideração de que o tempo de

(21)

No sistemade uma laompartilhadapor diversos servidores, não épossívelalular

as medidas de performane fazendo as ponderações omo feito para os sistemas om

las paralelas. Assim sendo, a omplexidade analítia para os álulos de medidas de

desempenho desse tipo de sistema faz om que hoje na literatura ainda existam menos

trabalhos publiados, que para os asos de las paralelas e de servidores homogêneos.

Como muitas apliações neessitam da formulação de las omo forma de obtenção de

onheimento sobre os sistemas, simpliações são empregadas para que se ontorne a

diuldade analítia. Uma forma simpliada de se tratar esses sistemas é onsiderar

todos os servidores homogêneos reduzindo o sistema auma laG/G/C. Outra formade

simpliaçãoé onsiderar as hegadas omo sendo de aordo om o proesso de Poisson

eotempodeserviço omo sendoexponenialmentedistribuído,oquereduziriaosistema

auma la 1

M/M/.

Figura 1.2: Sistema om servidores Heterogêneosatendidos por uma únia la.

Nesses sistemas, pode-se onsiderar os jobs omo pertenendo a mais de uma lasse

diferente. Esse éoasodossistemasommúltiplosservidoresheterogêneosommúltiplas

lasses de jobs. Neste trabalho, partiularmente, os jobs são onsiderados omo sendo

pertenentes aumasólasse,ouseja,todosserão atendidospelomesmotipode servidor.

Até o momento não é do onheimento do autor nenhum trabalho que trate do

as-suntode servidoresheterogêneosom ageneralidadepropostaaquidentrodomesmofoo

1

Entrada esaídamarkovianasomservidores- notaçãodemodelosdelasdeKendall(Kleinrok,

(22)

tratado. Porém, para que se tenha uma visão geral das pesquisas já realizadas sobre o

temasão desritos a seguir trabalhos queserviram de base para esta dissertação.

•

ShimkineMandelbaum(2004)onsideramoasoemquelientes (porimpaiênia)

abandonam a la e deixam o sistema. Os lientes são onsiderados heterogêneos

quando analisados pelo ponto de vista de seus parâmetros de utilização, poisesses

variam dentroda população. A la é assumidaomo sendo invisívelpara o liente

em espera, pois este não obtém nenhuma informação sobre o sistema. Esse tipo

de la aontee em entros de telefonia ou em qualquer tipo de serviço remoto.

Elesmodelam osistema através de uma laatendida pormúltiplos servidores om

lientes impaientes. E, então, denem pontos de equilíbrio para o sistema, nos

quais este é mantido estável e o liente não abandona a la. As hegadas são de

Poisson e o tempo de serviço é exponenialmentedistribuído. Entretanto, eles não

onsideramosservidores heterogêneos. Medidas de performane tambémsão feitas

para esse modelo.

•

ChaoeLuh(2004)mostramqueemum sistemaomlaM/M/C/N,ouseja,omC

servidoreseom apaidadelimitadaemN(éonsideradoum buerom Nlugares

paraosjobs inluindoosque estãoemserviço),aprobabilidadede sebarrarosjobs

éonvexapara

(

λ, µ

)

,onde

λ

éataxadehegadanosistemae

µ

éataxade serviço.

Eleslevam em onta então, um sistema de la om servidores heterogêneos om o

tempo entre hegadas e os tempos de proessamento de serviços não-estaionários.

Astaxasde hegadaedeserviçoalternamentredoisníveis

(

λ

1 , µ

1 )

e

(

λ

2 , µ

2 )

eam nosníveisi(i=1,2)porumtempoexponenialmentedistribuídoomum taxa(

α

)

i

.

Mostra-se que o número de jobs barrados dentro de um tempo t é deresente em

em uma ordem estoástia onvexa para qualquer t

≥

0. Esse trabalho é uma extensãodo trabalhoFond e Ross (1978) onde éestudado o aso de C=N=1.

•

GrassmanneZhao(2004)analisamum sistemadelasomservidoresheterogêneos

omentradasgeneralizadas. Mostra-seomoobter asprobabilidadesde estado

(23)

tempo em que oorrem hegadas, determinam-se as probabilidades para todos os

estados emque o liente não enontra la, e depois determinam as probabilidades

para quando já havia lientes esperando na hora de uma hegada. As

probabili-dadesnos temposde hegada permitemahar aprobabilidadede não ter espera no

sistema,adistribuiçãodotempode esperaeadistribuiçãodonúmerodepessoasno

sistemaempontosaleatóriosdotempo. Através de argumentosheurístios e

álu-losnumérios,mostra-sequeaimportâniadaaloaçãoéinversamenteproporional

à intensidade de trafego no sistema, à variânia entre os intervalos entre hegadas

e diretamente proporional ao número de servidores. Eles também denem regras

paraa deisão de aloação quando hámais de um servidor livre.

•

HarteneSlepthenko (2003)desenvolvemum estudosobresistemasde las MCMS

(Multi-ClassMulti-server). Considera-se, então, um sistema de la M/M/k om k

lasseseservidoresexponenialmentedistribuídos,mas,omtaxasdeproessamento

diferentes. Desenvolve-se um proedimento para a onstrução de soluções exatas

paraasequaçõesde estadoestaionário. Nesseproedimentofaz-seuma reduçãode

partedo problema para uma equação diferenialde segunda ordem. Mostra-se que

a solução exata pode ser ahada através de deomposição dos autovalores dessas.

Com as soluções exatas para as equações de estado, omputam-se as medidas de

performane para o sistemapara depoisompará-las om aproximações heurístias

enontradas na literatura. Em seguida, ilustram-se os métodos desenvolvidos no

artigo om resultados numérios e demonstram-se algumas apliações úteis para

esses.

•

Boxma, Deng, e Zwart (2002) estudam uma la heterogênea M/M/2 e denem o

tempo de serviço do primeiro servidor omo sendo exponenialmente distribuído,

enquanto que, no segundo servidor o tempo de serviço é representado por uma

distribuiçãogenéria B(.). Os autores apresentam uma análise matemátia preisa

para o tamanho da la e para a distribuição do tempo de espera para os asos em

que B(.) tenha a transformada de Laplae-Stieltjes. Mostra-se que a distribuição

(24)

•

Gall (1998b) generaliza o método de fatorização riado por ele mesmo em (Gall,

1998a) para as las G/G/s, só que agora onsiderando os servidores omo sendo

heterogêneos. Apresentam-se três propriedades simples, as quais permitem a

on-struçãode ummétodonumérioparaosálulos. Comparam-seosresultados

aha-dos om os determinados através de métodos Markovianos lássios para o aso

de um sistema de la M/G/s simétria. Compara tambémo atraso médio em la

enontrado naanálise om resultados simulados.

•

Singh (1971) em seu trabalho onsidera um sistema de la M/M

i

/

3

, onde os três

servidores são heterogêneos. Enontram-se as seqüênias de melhores taxas de

serviço, através de investigações numérias que minimizam as medidas de

perfor-mane dos sistemas. Singh mostra que para

ρ

=

λ

µ

1 +

µ

2 +

µ

3

existe uma ombinação

de

µ

i

que otimizao sistema.

•

Singh (1970) desenvolve um sistema Markoviano om dois servidores heterogêneos

que atendem a uma únia la. Os jobs são todos de um só tipo e no modelo

é permitido que se deidam se os jobs vão ou não se juntar ao sistema. A la

onsiderada no artigo é do tipo M/

M

[

j

]

_/

₂

_/

₍

_β

₎

, onde

β

é a probabilidade de um

job se juntar ao sistema se no momento da hegada os dois servidores estiverem

oupados. Se os dois servidores estiverem vazios, há duas possibilidades: i) o job é

aloadoparaoservidormaisrápido;eii)ojobtemumaprobabilidadedeseraloado

para qualquer um dos servidores. Como o espaço de estados para um sistema de

dois servidores é tratável analitiamente, o autor desenvolve uma formulação para

o tempo médio de espera e o ompara om o tempo médio de espera obtido para

um sitemaM/M/2/(

β

)

om servidores homogêneos.

•

Gumbel(1960)araterizaumsistemadelaM/M/omservidoresheterogêneos

queatendem auma únia lasse de jobs. Ele assumeque paramais de um servidor

vazio, o que irá ser aloado para servir um liente que hega será aleatoriamente

(25)

heterogêneos quando este é omparado om um sistema de servidores homogêneos.

Considerando o sistema em regime permanente, uma expressão para as

probabil-idades de estado é apresentada em uma formulação fehada e, a partir dessa, é

desenvolvida a formulaçãopara o tamanhoesperado dala.

Dentro da área de teoria de las surgiu a neessidade de se ontrolar os sistemas de

aloaçãoedeentradadejobs. Ateoriadelasontroláveisfoiamplamenteestudadaomo

intuitodeseahar umpontode ontroleótimoparaaadmissão,oagendamento,oserviço

e o roteamento de jobs em las ou em redes de las ((Rykov, 1975), (Stidham, 1985) e

(Stidham e Weber, 1993)). "O prinipal objetivo da teoria desses proessos é provar a

propriedadeMarkoviana de se ter uma estratégia ótima, a qual permita a onstrução de

um polítia ótimausando métodos numérios"

(Rykov, 2001). Algumas publiações nessa área serviram de embasamento para este

trabalhoe são apresentadas a seguir:

•

Marmony (2005) propõe um regra de roteamento para um sistema de larga esala

om múltiplosservidores heterogêneos e apenas uma lasse. A regra proposta édo

tipo FSF (Fast Server First), ou seja, aloa o servidor mais rápido livre primeiro.

Mostra-sequeessa regra minimizaassintotiamente, para osistema emestado

per-manente, o tamanho da la e o tempo virtual de espera. Considera-se um regime

om muitos servidores que atendem a um alto tráfego de jobs, o qual é hamado

regime QED (Quality and Eieny Driven). O sistema proposto atinge um alto

nível de qualidade de serviço e de eiênia fazendo-se um balaneamento entre os

dois. A análise feita mostra que o modelo om servidores heterogêneos funiona

melhordoque o modelo om servidoreshomogêneos.

•

Rykove Efrosinin(2004)desenvolvemuma desrição numériaqueprova apolítia

de aloação ótima que minimiza o usto operaional do sistema. A esolha do

servidor mais rápido é feita omo polítia de aloação, e os autores mostram que

esta polítia reduz o tamanho da la. Considera-se um sistema de uma únia la

(26)

•

Rykov (2001) desenvolve um modelo de la ontrolável para múltiplos servidores

heterogêneos. Oautor expande aspropriedades desenvolvidas para dois servidores,

generalizando o trabalho de Lin e Kumar (1984). Considera-se o sistema de las

M/M/K/N-K(K

≤

N

≤ ∞

)quetemumbueromapenasN-Klugares. Ahegada segueomodelode umproesso dePoissonomtaxa

λ

eosistematemKservidores

heterogêneos exponenialmente distribuídos. Considera-se um usto por unidade

de tempo em que ada job utiliza o serviço e também um usto para o tempo em

que o job a parado esperando na la. No sistema onsiderado por eles há um

ontrolador que deide semanda ou não um job para um servidor que está livre, e

lientes são rejeitadosno sistemase o buer estiver heio.

•

Nobel e Tijms (2000) analisam um modelo de las om hegadas de Poisson em

bandoBPI(BathPoisson Input) emum sistema om dois servidoresexponeniais

heterogêneos. Oservidor maisrápidoestá sempreemserviço eomaislentoéusado

sóquando a la atinge um tamanholimite, pois, esse inorre emustos xos para

ser ativado. Desenvolve-se um algoritmopara ahar a melhorregra para gerar um

nívelótimo para a deisãode ativarounão o servidor lento.

•

Righter (2000) estuda um sistema om la M/M/2, onde os servidores são

het-erogêneos. No sistema há múltiplas lasses de lientes e é assoiado aos lientes

de ada lasse uma taxa de reompensa (reward rate) e um usto por ar no

sis-tema. Determinam-se prioridades e os lientes om a prioridade mais alta podem

tomaro lugar (preempt) dos lientes de lasse mais baixa quejá estão sendo

servi-dos. Denem-sedois modelos onde a polítia de aloação ótimae a distribuiçãode

prioridadesótima maximizamo luro através de uma estrutura de limiarque é

de-pendentedonúmerode lientes de ada lassequeexiste nosistema. Eles mostram

queolimiarótimonãodependedovalornumérioespeiodataxaderemuneração

enem dovalorde ada um deles.

(27)

servi-minimiza o atraso médio do sistema para o aso em que o número de servidores

tende ao innito. Analisando os servidores apenas om duas taxas diferentes de

proessamento eles mostramaonvergênia para o pontoótimo quando usadaessa

polítia. Eles propõem tambémpolítiaspara sistemas que têm uma grande

quan-tidade,porém nita, de servidores om uma distribuição genéria para as taxasde

proessamento.

•

LineKumar(1984)mostraramqueparadois servidoresheterogêneos apolítiaque

minimizaonúmerodejobs nosistematemumapropriedadede limiar(vejatambém

Koole (1995) e Walrand (1984)) e essa usa o servidor mais rápido se neessário.

Usando argumentos de programação estoástia dinâmia (veja Bellman (1954) e

Bellman(1957))elesprovamquearegradeontroleótimoédotipolimiar,oqueera

um resultado intuitivamenteobvio. O ontrole riado por eles onsidera neessário

a utilização do servidor mais lento só depois que a la atinge um tamanho que

ultrapasse ertovalorde limiar.

Ahamos pertinente itar aqui outros trabalhos analisados e que também lidam de

algumaformaom sistema SQMS (single-queue, multi-server) eque não foram

omenta-dos aima. São eles: (Neuts e Takahashi, 1981), (Foss e Kovalevskii, 1999), (Viniotis e

Ephremides, 1988). Ressaltamos aqui que nenhum desses autores desenvolveu uma

for-mulação fehada relaionadas às medidasde desempenho de formatão genéria ou para

o aso de sistemas om presença de mais de três servidores heterogêneos, mostrando o

quãoeste trabalho generaliza o estudo de las para o aso de servidores heterogêneos e,

portanto, garantindo oineditismodeste.

1.5 Abordagem Proposta

Neste trabalho, pretende-se desenvolver uma formulação para o aso de um sistema

om múltiplosservidores. Esses servidores não são tratadosde forma homogêneaomo é

o aso da M/M/. O modelo abordado neste trabalho orresponde ao aprensentado na

Figura1.3. Osjobs hegam ao sistema de aordo om uma distribuição de Poisson om

taxa

λ

. No modelo dessa dissertação é onsiderada apenas uma lasse simples de job,

(28)

= 1, 2, . . .,

∞

. O tempo que ada job passa em ada servidor é exponenialmente distribuído e ada servidor no sistema tem uma apaidade de proessamento espeía

que é representada pela taxa

µ

de trabalho. Por motivos de álulos, os servidores são

ordenados em uma ordem resente de aordo om a taxa de proessamento, ou seja, o

servidor um será aquele om menor apaidade de trabalho o dois a segunda menor e

assimpordiante. Temos portanto:

λ

Taxa de hegadade lientes nosistema

µ

j

Taxa de proessamento do servidor j, para j = 1, 2, ..., . Sendo que,

µ

1

6 µ

2

6 µ

3

. . .

6 µ

c

.

Cadajob hegaindividualmenteaosistema,ouseja,não sãoonsideradasashegadas

embando(bulkarrivings)etambémnãoéonsideradonenhumtipode prioridade. Além

disso, o sistema tem apaidade innita, ouseja, não há rejeição de jobs que hegam ao

sistema. Finalmente, não éonsiderada a perda de jobs por nenhum tipode desistênia,

troaouimpaiênia por partedeles.

Figura 1.3: Sistema de la únia om servidores Heterogêneos, modelo estudado neste

trabalho.

Como ala édo tipoFCFS (First-Come,First-Served), os jobs que hegam primeiro

ao sistema são atendidos primeiro. No modelo, não é permitido que um servidor que

oioso(livre)quandohátrabalhoaserrealizadoouseja,quandohouverla. Assimsendo,

oprimeirojob nalaserá atendidoassim quealgumdos servidoresterminarde proessar

otrabalhoque estiver realizando.

Como os servidores são heterogêneos, o tipo de aloação utilizada inueniará nas

medidasdedesempenhodessesistemaeonsequentementenomodelo. Estuda-seaquitrês

tipos de aloação: (i) aloação rápida, em que os servidores mais rápidos são aloados

(29)

(iii) aloação lenta, na qual os servidores mais lentos que estiverem livres são aloados

primeiro. Aúltimaaloaçãoonsiderada(lenta),aindaquenãosejamuitorealistaquando

omparada om apliaçõesreais, é muito útil, pois, omo será mostrado aqui, esta serve

de aproximaçãopara as outras.

1.6 Apliações

Nestaseção,proura-sejuntarasosemquesepossaempregaromodelopropostoaqui.

Para isso, busam-se asos apliáveisexistentes naliteratura, além de situaçõesprátias.

Émuitoamplaaquantidadedepossibilidadesexistentesnas quaissepode relaionarom

o trabalho. Servidores heterogêneos podem ser usados para representar vários tipos de

sistemase,àsvezes, om naturezasompletamentediferentes. Abaixosão exempliados

algunsmodelos obtidos através de trabalhos já publiados.

1.6.1 VoD - Video Sob Demanda

Ossistemasde videosob demanda (VoD) são usadospara seiniiar aexempliação.

VoD é um serviço pago de distribuição de vídeoeletrnio para usuários diversos. Esses

sistemas permitem que os usuários seleionem e assistam determinados programas ou

eventos em vídeo. Esses podem ser ahados em um anal de televisão interativa ou

em paginas da Web e onsistem em envios de onteúdos em formato de vídeo, karaokê,

jogos,et. Para isso, pode-se fazer um "download"(quando todo ovídeo é enviadoantes

da exibição) ou por "streaming" (quando o vídeo é enviado onstantemente durante a

exibição). Essa é uma solução enontrada para as transmissões que utilizam tenologia

ADSLououtra tenologia BandaLarga 2

.

Para que todos os usuários sejam atendidos simultaneamente devem ser adotados

múltiplos servidores heterogêneos. A heterogeneidade desses servidores se justia por

vários motivos, omo, por exemplo, se um novo servidor for adiionado para expandir o

sistemaVoDouseumservidorforsubstituídoporoutroquetenhafalhado,éde seesperar

que o novo servidor tenha mais rapidez e uma maior apaidade de armazenagem. A

formulaçãoriadaaquiserveomoferramentaparaariaçãode modelosquerepresentem

esses sistemas.

2

Banda largaéonomeusadoparadenirqualqueronexãoaimadaveloidadepadrãodosmodens

(30)

•

LeungeHou(2005)investigamomo direionarlmesparaservidoresheterogêneos

paraque aprobabilidade de bloqueiodiminua. Oartigo trata das seguintes formas

delidaromoproblema: (i)Problemrelaxation-édeterminadaumaargaidealom

queada servidordevalidar e (ii)Goal programming -Através de iterações aarga

édireionadaeredireionadaparaadaservidoratéseaproximardeumvalorideal.

Desenvolve-se um modelo de laque onsidera que os pedidos de vídeohegam de

aordoomum proesso de Poissone queada servidoratendeaváriosusuáriosao

mesmotempodependendodaapaidadedesse. Amedidadeperformaneanalisada

foia probabilidadede bloqueiodosistema.

1.6.2 Redes de Comuniações

Um segundo exemplo para a apliação do modelo é enontrado nas tenologias para

protoolos de Internet, noaso, atenologia de vozsobre IP (VoIP). VoIP torna possível

estabeleeronversações telefniasemuma rede IP, tornandoa transmissãode vozmais

um dos serviços suportados pelas redes de dados. Essa é uma tenologia que rese

rapidamente e hama atenção não só pela habilidade do IP de arregar tráfego de voz

mas,também, porserapaz dearregar aomesmotempotráfegosde fax eoutrossobrea

redede dados. Issotem impliaçõesomo atomadapelaInternetde espaçosdo merado

daPSTN (Publi Swithed Telephone Network).

•

Liu,Squillante, e Wolf (2001) apresentam uma metodologiapara maximizar luros

em ambientes de e-ommere. O modelo é baseado nas reeitas que são geradas

quando são garantidos níveis de QoS. Os ritérios para QoS são derivados de

aor-dos para níveis de serviço (SLAs) entre provedores e lientes. Usa-se um modelo

de las para ahar medidas de performane, no aso: throughput e atraso médio.

Modela-se a rede através de grupos de servidores da Web (Web server farm) que

onsistem emum sistema de omputadores distribuídos que orrespondem a

servi-doresheterogêneosqueexeutamlassesdepedidosontínuosdedados(Figura1.4).

OsWSF's são modeladospor las úniasom múltiplas lasses de lientes quesão

atendidos porgruposde servidores.

(31)

Figura 1.4: Modelode rede delas para grupos de servidores na Web.

Figurareproduzidade(Liuet al.,2001).

representam buers),naredetemsobreospaotes. Comadeniçãodoatrasototal

médio, usam-se métodos heurístios para denir o "atraso" que deve ser dado na

horade sereorganizar os paotesna últimaestação.

•

Qian, Tipper, e Medhi (1996) apresentam análises omparativas para esquemas de

ontroles de largura de banda sob a ondição de trafego não-estaionário em redes

B-ISDN. Utilizam-se métodos numérios para resolver as equações de

Chapman-Kolmogorov assoiadas e para determinar o omportamento não-estaionário. São

apresentados resultados para várias medidas de desempenho do sistema e, para

isso,faz-se uso de modelos de laspropostos emEik,Massey, eWhitt (1990)e em

Eik,Massey,eWhitt(1993). Relata-sequeoproessode hegadas depedidospara

onexãoparaotráfegodevozpodesermodeladoomoumProessode Poisson

não-estaionário eom essa onsideraçãoobtém-se aproximaçõesde las. Considera-se

esse omosendo um sistema de laM

t

/G/

∞

ondeas hegadas são dependentes no tempo eom apenas uma lasse.

Outros autores estudam a utilização de buer em vários pontos da rede. Através

de formulações de las Trajkovit e Haln (1994) alulam possíveis tamanhos de buer

(32)

se tenha um taxa mínima de perda de paotes em redes ATM sem o. Considera-se um

sistemaqueonsisteemum protooloMAC(MediumAess Control) paraouplink e um

UPC(UsageParameter Control) para suporte aservidores heterogêneos naestaçãobase.

O reseqüeniamento de paotes desrito em Gogate e Panwar (1999) é também uma

fontede estudo emais uma área onde o modelo desenvolvidoaqui pode ser apliado.

Finalmente,FultoneLi(1998),entreoutros,estudam oomportamentodoJitter 3

em

nós darede sob diferentes ondiçõesde tráfego.

Este brevelevantamentobibliográoilustra aimportâniadouso de ténias de las

para aanálise daperformane de redes de paotes.

1.6.3 Telefonia

•

Daigle(2005) mostra um modelo de lapara ser apliadoem sistemasde telefonia

móvel. Para issoutiliza asseguintes premissas: a)um sistema de omuniação tem

832 freqüênias e b) há apenas duas operadoras que forneem os serviços. Com

isso,háapenas416 freqüêniasparaada operadorasendo que21delas têmqueser

separadas para sinalização. Os anaissão agrupados emgrupos de 56,os quaissão

hamados de élulas. Para saberomo direionaressas élulas, éinteressante quea

operadoraestime a probabilidade de bloqueio e, para isso, é interessante estudar o

tráfego emhora de pio e, dessa maneira, tem-se que:

λ

é a taxade ligaçõesfeitas

por liente durante o horário de pio e que

1 µ

é o tempo médio que ada liente

gasta por ligação durante a hora de pio. Sendo os tempos entre hegadas são

representados poruma exponenial i.i.d., obtém-se a probabilidadede bloqueioe o

tamanho médio dala querepresenta o tantoque o anal é utilizado(o quantodo

espetro de freqüênia éaproveitado).

1.6.4 Multiplexação de Paotes em Swithes

OsdadosnaInternetpassampormultiplexadoresemroteadoresesãomandados para

aslinhasde omuniação dedadosm-a-medepoisdepassarnovamenteemroteadores,

passam por demultiplexadores. Filas são formadas em vários pontos nesse proesso e a

riaçãode modelospara a melhor ompreensãodesses é muito bemvinda.

3

(33)

•

Daigle (2005) exemplia uma apliaçãopara um modelo que é usado para

repre-sentar a la que surge em roteadores durante a multiplexaçãode paotes. Foa-se

apenasnaslas formadasnasportas desaídasdesses roteadores. Normalmente, um

roteador tem N portas de entrada e N de saída e, quando os paotes hegam a um

proessador de um roteador, eles são partiionadosembloos de dados de tamanho

xoe,emseguida,esses bloos são omutados (swithed). Daigle,estudaa

inuên-iadas N portas e dos tipos de distribuição de hegadas no tamanho da la, para

umdeterminadotráfego. Faz-se asuposição dequeosistemaédividido emslots de

tempo,sendoque adaum desses slots éotempopara queum paoteentre ousaia

do roteador. Portanto, N paotes podem hegar nesse swith por slot de tempo e

omosóum paotepode sairporslot, háumalaque seformaeéarmazenada em

buer.

Com o modelo riado aqui, pode-se aresentar no estudo feito por Daigle(2005) a

het-erogeneidade relativa aesse proesso.

1.6.5 Central de Atendimento (Call Center)

Desde 1878,quandoaempresade telefoniaBell(BellTelephone Company)omeçoua

usaroperadoresparaonetarasligações,ousodeentrosdeatendimentoaumentoupara

vários ns, o que aarretou em um inrível resimento de sua importâniana eonomia

emgeral. Dadosmostramque,nos EstadosUnidos, trêsporentodapopulaçãotrabalha

em entros de atendimento, o que signia que tem mais gente trabalhando nessa área

do que na agriultura por exemplo (Texto tirado de Pinedo, Seshadri, e Shanthikumar

(2003)).

Os entros de atendimento têm fundamental importânia para algumas indústrias,

omo:

1-indústria de teleomuniações;

2-indústrias daAviação; e

3-indústria para vendas produtos e serviços emgeral.

Os entros de atendimento, (Figura 1.5), têm diferentes propósitos dentro de uma

ompanhia, os quais dependem de vários fatores. Esses podem ser usados, por exemplo,

para informação, fazer reservas, fazer ompras, pedir onselhos (médios, por exemplo)

(34)

Váriosautoresvêmestudando modelosdelas quepossamrepresentaressessistemas.

Reentemente, pesquisadores têm foado seus esforços em modelos om proessos de

hegadas não-estaionárias. Entretanto, para que possamos usar o modelo desenvolvido

aquipreisaríamos onsiderar intervalosde tempo que são estaionários. Uma boa

refer-eniaparaesse tipode sistemapode ser ahadaem(Melnik,Pinedo,Nayyar,eSeshardi,

1999).

Figura 1.5: ModeloOperaional de um entrode atendimento.

Figuratiradade(KooleeMandelbaum,2001)

Normalmente os usuários estão interessados em medidas do tipo: probabilidade de

atraso,quantidade de perda de lientes, tamanhoda lade espera e oatraso

experimen-tado porlientes.

•

GreeneKolesar(1991)onsideraumsistemaemqueotempodeserviçodoslientesé

independenteeidentiamentedistribuídode aordoomuma distribuição

exponen-ialomtaxamédiadeserviçoiguala

µ

. Onúmerode servidoreséonstanteeigual

a S. O proesso de hegadas é assumido omo sendo um Proesso não-homogêneo

de Poisson om taxa de hegada

λ

(t) notempot.

GreeneKolesar(1991)onsideramqueosservidoressãohomogêneos,oquenaprátia

é muito difíil de aonteer. O modelo desenvolvido aqui permite riar modelos mais

realistaspara taissistemas.

1.6.6 Modelos Finaneiros

(35)

asso-Entre as apliações de las enontradas para modelos naneiros a apresentada aqui

é a que utiliza las para se alular risos de rédito. O Riso de Crédito está

assoi-ado às possíveis perdas que o redor tenha aso o devedor (ontraparte) não honre om

os seus ompromissos. Toda empresa naneira deve, portanto, fazerum gereniamento

rigoroso de seus réditos de riso. Para isso, mensuram-se a probabilidade de

inadim-plênia,taxade reuperação, exposição emaso de inadimplênia eperda inesperada. A

partir de então, são riados modelos para que se estimem os risos. Com o passar do

tempo,as metodologiasde modelagemde risode réditomelhorarame osbanos foram

inorporandomodelosaosproessosde gradaçãode riso,preiação,gereniamentosde

arteiraetomadasde deisão. Comarelevâniadopapeldosmodelosde risoderédito,

tornou-se importanteompreender as diferentes opções de mensuração dos omponentes

individuaisdo riso de rédito e dorelaionamentodeles entre si. Obtém-se, assim, uma

medidaompleta do riso de rédito.

•

ShellhorneCossin(2004)riarammodelosde risode réditobaseadosemmodelos

representados por redesde las. Preia-seo débitode três rmas onde arma A

empresta para a rma B que empresta para a C, a qual, por sua vez, feha o ilo

emprestando para a rma A. Mostra-se que esse ilo ontém efeitos omplexos.

O modelo riado por eles é equivalente a uma rede Jakson de várias las do tipo

M/M/

∞

. Cadalarepresentauma rma eodinheiroé avariávelde uxo, o queé representado pelas reeitas de ada rma. A saídas que oorrem nas rmas são as

despesas (naneiras ou não). Os servidores são no aso de três tipos: Aionistas,

pessoas om dinheironarma, e gastos operaionais.

Apesar de terem identiado naturezas diferentes entre os servidores, no modelo

matemátioriado porShellhorne Cossin (2004),não foi feitaa onsideraçãodos

servi-dores omosendo heterogêneos.

1.6.7 Outras Apliações

É impossível pensar e ainda mais identiar todos os asos onde é possível apliar o

modelo de la aqui proposto. Entre as diversas áreas de prováveis apliações e que não

(36)

•

Logístia-existe desdeos tempos mais antigos. Na preparação das guerras, líderes

militares desde os tempos bíblios já se utilizavam de meios logístios para

al-ançarem seus objetivos. Podemos dizer que a logístiatrata do planejamento,

or-ganização,ontrolee realizaçãode outras tarefas assoiadas aarmazenagem,

trans-porte edistribuição de bens e serviços. Os modelos de las são muito rios quando

usados para representar sistemas que se enquadram nessa área, pois, esses muitas

vezes representam bem toda a natureza existente. Abaixo estão alguns exemplos

simples, para mero efeito de ilustração, da utilização do modelo de las proposto

aquipara osseguintes objetivos:

1. Armazenagem - Uma empresa petroquímia brasileira produz resinas

termo-plástias, omo o polietileno, o polipropileno e o PVC. O nafta, que é um

derivado do petróleo, é a prinipal matéria-prima da adeia produtiva dessa

empresa. Em 2006 o preço do barril do petróleo hegou a quase 80 dólares,

mas em janeiro de 2007 o preço aiu para 50 dólares o barril. De uma forma

simpliada vamos onsiderar que a empresa passou a omprar a nafta om

maior freqüênia. As omprasoorriamdependendo da utuação do preçodo

barrildepetróleoerepresentamashegadasnosistema. Considerando-sequea

empresa onsigatrabalhartodaamatéria-primarapidamente, pode-seassumir

que os servidores serão os lientes dessa empresa. Como esses fazem pedidos

que variam emquantidadee emtipo de produto, podemos dizer queesses são

heterogêneos. Consequentemente, alaseráoestoqueeessanãopoderápassar

os limitespermitidosde armazenagem.

2. Transporte - Frutas e alimentos são transportados de áreas rurais para áreas

urbanas. Pode-se modelar esse sistema da seguinte forma: para uma mesma

fazenda, há pedidos feitos por omeriantes loalizadosem diferentes idades.

Neste exemplo ashegadas são representadas pelos pedidos. Osservidoressão

osaminhões, sendo queataxade serviço de adaum variade aminhão para

aminhão e de estrada para estrada.

3. Distribuição de bens e serviços - (i) Um supermerado pode ser um exemplo

para a distribuição de serviços, onde os aixas são os servidores e a la pode

ser únia ounão. Esse tipo de sistema pode ser omparado om os aixas em

(37)

pontos de venda, porém mantém uma entral onde é feita a estoagem de

produtos que saem para entrega em domiílio. Pode-se onsiderar os pedidos

feitos pelos lientes omo sendo as hegadas e as formas de transporte para

a entrega os servidores. Com o modelo é possível prever qual a diferença no

tamanho da lapara o aso dos entregadores saírem daentral e para o aso

deles saírem de pontosdistribuídos pelaidade.

•

Gereniamentode pessoas-Emum salãode ortede abelo, osbarbeiros são

servi-doresheterogêneos. Ataxade lientes quehegamétalquesemprehálanosalão.

Vale ou não a pena o dono do salão ontratar mais um funionário? Às vezes, ao

ontratar outrofunionário,osalão passaráa ter funionáriosoiosos,fazendo om

que,talvez, amargem de luro diminua. Umasolução éusar o modelo para prever

otamanho médioda lae a probabilidadede óio nosistema para os asos i) om

ofunionárioextra eii) sem o funionárioextra.

Há mais exemplos a serem dados, prinipalmente nos sistemas de manufatura e nas

linhasdeproduçãoemindústrias. Ointeressanteéqueomomodelodelasdesenvolvido

pode-seaproximardeformamaiseazessessistemasomservidoresheterogêneoseobter

asmedidasde desempenho desses,para quesepossagereniar, tomardeisõese

otimizá-los.

1.7 Organização do Trabalho

A organização dotrabalhopode ser vista naFigura 1.6que está expliadaa seguir:

A teoria básia, neessária para a ompreensão desta dissertação, enontra-se nos

apítulos2 e3. No Capítulo2, espeiamente, éapresentada ateoria paraompreender

os proessos estoástios Markovianos, que são a base para o modelo proposto. Já no

Capítulo3,émostrado de formamuitoresumida osmodelosde las elementaresquesão,

naverdade, governadas pelos proessos Markovianos, desritos noCapítulo 2.

No Capítulo4, é desenvolvida, analitiamente, uma formulaçãopara se obter

aproxi-madamente asmedidas de performane para sistemas de la úniaFCFS om servidores

heterogêneos exponeniais. Para o desenvolvimento dessa formulação, é onsiderado o

(38)

tempos de serviço são modeladospeladistribuição exponenial. Tantoa distribuição

ex-ponenial, quanto os proessos de Poisson e de Nasimento e Morte, foram desritos no

Capítulo2.

Figura 1.6: Organização dos apítulos da dissertação

No Capítulo 5, avalia-se, através de resultados obtidos om simulações, o

ompor-tamento da formulação desenvolvida. A partir das observações feitas e das onlusões

tiradas,asfórmulaspropostasnoCapítulo4sãoomparadasomasfórmulasjáexistentes

naliteratura,quesãoasdesenvolvidasparaosmodelosqueonsideramosservidoresomo

homogêneos, no aso as las M/M/, já desritas no Capítulo 3. O intuito dessa

om-paraçãoévalidar aformulaçãoriadae ompararo erro obtidoentre aaproximação om

o obtido om as fórmulas para as las M/M/. Ainda neste apítulo, são disutidas as

apaidadese limitaçõesdo modelo desenvolvidono trabalho.

Finalmente,noCapítulo6,sãoapresentadasasespeulaçõesparaapliaçõesepesquisas

(39)

Proessos estoástios Markovianos

2.1 Cadeias de Markov

Para se denir uma adeia de Markov, preisa-se, primeiramente, denir eventos

in-dependentes. Esses podem ser desritos daseguinte maneira:

Denição1. SeXeYsãodoiseventosesupondoqueaprobabilidadeP(X) é>0. Então

o evento Y é onsiderado independente de X se:

P

(

Y

|

X

) =

P

(

Y

)

.

(2.1)

Deformageral,pode-se denirtambémaindependênia deneventos, maspara issoé

preisogarantirque aprobabilidadede osneventosaonteerem sejaválidapara aforma

produto.

Denição 2. Os eventos X

1

, X

2

, ..., X

n

são onsiderados independentes se:

P

(

X

i

1 X

i

2 ...X

ik

) =

P

(

X

i

1 )

P

(

X

i

2 )

...P

(

X

ik

)

.

(2.2)

para todo k =2,3, ... n e todo

{

i

1 , i

2 , ..., i

k

} ⊂ {

1 ,

2 , ..., n

}

tal que

i

1 < i

2 < ... < i

k

.

Na teoria das Cadeias de Markov de primeira ordem 1

um novo evento depende

so-mente do evento anterior e não mais de todos os eventos anteriores, omo o mostrado

aima. Portanto, se tivermos um evento

X

k

esse será assoiado om a probabilidade

p

ik

1

Ao longodeste texto, aexpressão "adeia de Markov"será usadapara abreviar"adeia de Markov

(40)

do par de eventos (

X

i

, X

k

). Logo, dado que um evento

X

i

oorreu, a probabilidade de

um evento

X

k

oorrer será

p

ik

vezes a probabilidade

a

i

de oorrênia do evento

X

i

na

primeirarodada. Tem-se:

P

(

X

i

, X

k

) =

a

i

p

ik

P

{

(

X

i

, X

k

, X

r

)

}

=

a

i

p

ik

p

kr

P

{

(

X

i

, X

k

, X

r

, X

s

)

}

=

a

i

p

ik

p

kr

p

rs

P

{

(

X

i

0 , X

i

1 , ..., X

i

n

)

}

=

a

i

0 p

i

0 i

1 p

i

1 i

2 ...p

i

n−

2 i

n−

1 p

i

n−

1 i

n.

(2.3)

Denição3. Umaseqüêniaondeoseventossão

X

1 , X

2

,...,éhamadaCadeiadeMarkov 2

seas probabilidadesdaseqüêniaamostradasão denidaspelaEquação 2.3 emtermosda

distribuição de probabilidade

a

k

sendo

E

k

o evento oorrido no estado iniial e a

proba-bilidade ondiional é

p

ik

dado que

E

i

oorreu em seguida ao evento iniial.

As probabilidades

p

ik

são hamadas de Probabilidades de Transição e essas serão

arranjadasemuma matrix P de probabilidades de transição:







p

11 p

12 p

13 ...

p

21 p

22 p

23 ...

p

31 p

32 p

33 ...

.

...

.

...

.

...







,

(2.4)

Ondeaslinhas são refereniadaspeloprimeirosubsrito easolunaspelosegundo. A

matriz P aima é quadrada positiva e a soma das probabilidades em ada uma de suas

linhasé um.

2.1.1 Proessos Markovianos Disretos no Tempo

Emapliações, oloam-se asadeiasde Markov emfunção de VariáveisAleatórias,e

daísurgeo proessode Markov. Otermo "Proesso de Markov" é referente auma lasse

2

(41)

grandee importantedentre as muitas lasses Estoástias, as quaispodem ser, disretas

ouontínuas. Nosproessos de Markov onsideramosonúmerode eventosoorridos,que

érepresentado pelo inteiro k. O estado do sistema emum ponto n qualquer da linha de

tempoérepresentado pelaVariávelAleatória

V

(

n

)

queassumiráoma probabilidade

a

(

n

)

k

o valor k. A distribuição onjunta de

V

(

n

)

om

V

(

n

+1)

é dada por

P

{

V

(

n

)

₌

_{i, V}

(

n

+1)

₌

k

}

=

a

(

_i

n

)

p

ik

, e adistribuição onjuntade

(

V

(0)

_{, ..., V}

(

n

)

₎

é dadapelaEquação (2.3).

NosproessosMarkovianos opresentedeterminaaprobabilidadedofuturo,ouseja,o

últimoeventoé uma onseqüênia doque foi feito nopresente. Entretanto, observe que,

opassadoquefoioresponsávelpelosistemaestaremum estado

V

(

p

)

,ondeprepresentao

tempopresente, não tem nenhuma inuenia sobre ofuturo. Conseqüentemente, pode-se

armar apenas que se o sistema hegou a um estado futuro

V

(

f

)

qualquer, este tem que

terpassadopeloestadopresenteonseutivamenteantes

V

(

p

)

enadamaispoderáser dito

sobre osoutros estados.

Denição 4. Uma seqüênia de variáveis aleatórias disretas pode ser hamada de

pro-esso de Markov se: Para um grupo nito de números inteiros

n

1 < n

2 < ... < n

r

< n

a distribuiçãoonjuntadosestados

(

V

(

n

1 )

_{, V}

(

n

2 )

_{, ..., V}

(

n

r

)

_{, V}

(

n

)

₎

édenidadetal formaquea

probabilidadeondiionaldeseestarnoestado

V

(

n

)

₌

_y

dadoque

V

(

n

1 )

₌

_y

1 , ..., V

(

n

r

)

=

y

r

é igual à probabilidade ondiional de se estar no estado

V

(

n

)

₌

_y

dado apenas que

V

(

n

r

)

₌

_y

r

. Sendo que

y

1 , ..., y

r

são valores arbitrários.

É neessário lembrar que a Cadeia de Markov referida aqui é apenas uma lasse das

Cadeiasgenérias de Markov, eé obviamenteum proesso Markoviano. Essa adeia tem

umapartiularidade, queéofato de suas Probabilidadesde Transição

p

ik

=

P

{

V

(

m

+1)

₌

k

|

V

(

m

)

₌

_i

_}

seremindependentesdem. Umaequaçãomaisgeralparaessasprobabilidades

édada por:

p

(

_ik

n

−

m

)

=

P

{

V

(

n

)

=

k

|

V

(

m

)

=

i

}

(

m < n

)

.

(2.5)

Observa-se que estas dependem somente dadiferença n - m. Por issoessas

probabili-dadesde transição são hamadas de estaionárias (homogêneasno tempo).

Pode ser visto pela Equação 2.5 que o lado direito depende de m e n. E, por isso,

(42)

p

ik

(

m, n

) =

X

v

p

iv

(

m, r

)

p

vk

(

r, n

)

,

(2.6)

para todom< r <n. A Equação 2.6aima éhamada de Chapman-Kolmogorov.

A gura 2.1 mostra um diagrama de Venn para ajudar na visualização das relações

entre os proessos Semi-Markovianos, Markovianos e suas respetivas lasses espeiais

que estão ontidas dentro deles. Nesta dissertação não há detalhes para ada um dos

proessosapresentadosnodiagrama,pois,nãoéofoodotrabalho. Essalimita-seapenas

ao proesso Markoviano ontínuo, e aos proessos de Nasimento e Morte (BD), Puro

Nasimento(PB) e de Poisson (PP).

Figura 2.1: Diagrama de Venn para maior ompreensão das relações entre os proessos