Amostragem Aleatória Simples. Exercício Resolvido 4

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Instituto Superior Técnico

Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura

Mestrado Integrado em Engenharia Civil / Licenciatura em Engenharia do Território Disciplina de Transportes – 3ºAno/2ºSemestre

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Amostragem Aleatória Simples Exercício Resolvido 4

Para dimensionar o pavimento de uma infra-estrutura rodoviária é necessário ter em conta para além de outros factores, o tráfego médio diário anual (TMDA) de veículos pesados que circulará nessa via durante o período de dimensionamento, 20 anos.

A estrada que se pretende construir será uma variante a uma estrada nacional importante, mas antiga, cujas características são já desadequadas à sua função, principalmente na circulação de veículos pesados. Espera-se que seja reencaminhado para a nova estrada aproximadamente 80% do tráfego pesado que circulava na EN antiga. Segundo um estudo realizado há 2 anos, aquando da primeira fase do projecto, a EN apresentava um TMDA de 15.500 veíc./dia e segundo os especialistas valores de 1500 veíc./dia acima da média são relativamente frequentes. A percentagem de veículos pesados ronda 12% do volume total.

a) Qual o número de dias de observação necessários para estimar o TMDA de veículos pesados, da nova variante, com um erro inferior a 90 veículos pesados por dia? Tenha em atenção que o valor estimado do TMDA de veículos pesados tem grande influência no correcto dimensionamento de um pavimento rodoviário.

b) Apesar da elevada importância do custo do pavimento no custo total da infra-estrutura rodoviária, o TMDA de veículos pesados utilizado no dimensionamento dos pavimentos não é apenas o TMDA do ano de abertura, mas o valor acumulado durante o primeiro período de 20 anos após entrada em funcionamento. Sabendo que este tráfego acumulado nos 20 anos é calculado com base em taxas de crescimento estimadas e com o conhecimento que tem sobre os diferentes custos associados ao dimensionamento de amostras, discuta a importância dos mesmos neste caso concreto.

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2 Resolução:

a1) (variação do enunciado – afastamentos da média de 1500veículos/dia)  Fórmulas relevantes: n t x 2    _ (1) 2 x 2

t

n



















_ (2)  Dados:

- TMDA (Estrada Nacional) 15.500 veículos/dia - TMDApesados (Estrada Nacional) 12% 1.860 veíc. pes./dia - TMDApesados (Variante) 80% 1.488 veíc. pes./dia - Estimativa do desvio padrão:

 É frequente 1500 veículos/dia na Estrada Nacional

 É frequente 144 veículos pesados/dia na Variante (1500*12%*80%) - Erro máximo admitido: 90 veíc. pes./dia

 Definição do grau de confiança:

O grau de confiança corresponde à probabilidade de o verdadeiro valor da média se situar dentro do intervalo de confiança que vai ser calculado. Devido à grande influência do TMDA de veículos pesados no correcto dimensionamento do pavimento da infra-estrutura rodoviária, o grau de confiança deve ser elevado. Será adoptado 95%.

 Estimativa do desvio padrão

Neste problema não é fornecida directamente uma estimativa do desvio padrão. É indicado que são observadas frequentemente oscilações de 1500 veículos por dia na EN, o que corresponderá a 144 veículos pesados por dia na Variante.

Admitamos que relativamente frequente corresponde a uma percentagem de 40%. Consideremos uma distribuição normal:

Estimativa do desvio padrão:

842 ,

0 K

8 ,

0 )

K

Z

(

P









K  = 144





₀

144 _,

₈₄₂



171 veículos

/

dia

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3  Dimensionamento da amostra:

Como o valor de t/2 (abcissa correspondente ao grau de confiança pretendido na lei de t-student) depende do número de graus de liberdade (n-1), a fórmula (2) tem de ser resolvida por um processo iterativo.

Sendo a distribuição t-Student simétrica em relação à média, a um grau de confiança de 95% correspondem duas caudas de 2,5% cada, pelo que a abcissa do lado do erro positivo deve ser procurada no percentil 97,5. Algumas tabelas têm como entrada o valor 2,5%.

1ªIteração 2ªIteração 3ªIteração

Ensaio com dimensão  Ensaio com dimensão 14 Ensaio com dimensão 17

t2,5%,  1,960 t2,5%,13 2,160 t2,5%,16 2,120 Dimensão da amostra (n) 13,8  14 Dimensão da amostra (n) 16,8  17 Dimensão da amostra (n) 16,2  17

a2) (valores de 1500 veículos/dia acima da média)  Fórmulas relevantes: n t x 2    _ (1) 2 x 2

t

n



















_ (2)  Dados:

- TMDA (Estrada Nacional) 15.500 veículos/dia - TMDApesados (Estrada Nacional) 12% 1.860 veíc. pes./dia - TMDApesados (Variante) 80% 1.488 veíc. pes./dia - Estimativa do desvio padrão:

 É frequente 1500 veículos/dia na Estrada Nacional

 É frequente 144 veículos pesados/dia na Variante (1500*12%*80%) - Erro máximo admitido: 90 veíc. pes./dia

90 9 , 87 17 171 120 , 2 120 , 2 t, 17 n 2            _ _ 

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4  Definição do grau de confiança:

O grau de confiança corresponde à probabilidade de o verdadeiro valor da média se situar dentro do intervalo de confiança que vai ser calculado. Devido à grande influência do TMDA de veículos pesados no correcto dimensionamento do pavimento da infra-estrutura rodoviária, o grau de confiança deve ser elevado. Será adoptado 95%.

 Estimativa do desvio padrão

Neste problema não é fornecida directamente uma estimativa do desvio padrão. É indicado que são observadas frequentemente oscilações de 1500 veículos por dia na EN, o que corresponderá a 144 veículos pesados por dia na Variante.

Para  podemos escrever a seguinte igualdade:

P



X







144





"

relativame

nte

frequente

"

Graficamente teremos a seguinte situação:

A questão que se coloca é: que valor em termos probabilísticos corresponderá a uma situação “relativamente frequente”? Primeira resposta: Inferior a 50%! Mas quanto? 15%? 20%? 25%? 30%? Cada indivíduo poderá ter uma interpretação diferente.

144 X







“relativamente frequente”

144

(5)

5

Admitamos o valor de 25%. Para este valor teremos:

P



X







144





0 ,

25

Ou seja,

P



X







144





0 ,

75

Dividindo pelo desvio padrão para termos a distribuição normal standard (Z) com =0 e =1 temos:



Z k



0,75 P 75 , 0 144 X P               (onde  144 k )

Assim, recorrendo à tabela da distribuição normal standard temos:



Z

k



0 ,

75 k

0 ,

674 P









Se  144 k , então

213

674 ,

0

144

1







segundos  Dimensionamento da amostra:

Como o valor de t/2 (abcissa correspondente ao grau de confiança pretendido na lei de t-student) depende do número de graus de liberdade (n-1), a fórmula (2) tem de ser resolvida por um processo iterativo.

Sendo a distribuição t-Student simétrica em relação à média, a um grau de confiança de 95% correspondem duas caudas de 2,5% cada, pelo que a abcissa do lado do erro positivo deve ser procurada no percentil 97,5. Algumas tabelas têm como entrada o valor 2,5%.

25%

75%

(6)

6

1ªIteração 2ªIteração

Ensaio com dimensão  Ensaio com dimensão 22

t2,5%,  1,960 t2,5%,21 2,080

Dimensão da amostra (n) 21,5  22 Dimensão da amostra (n) 24,2  25

3ªIteração 4ªIteração

Ensaio com dimensão 25 Ensaio com dimensão 24

t2,5%,24 2,064 t2,5%,23 2,069

Dimensão da amostra (n) 23,8  24 Dimensão da amostra (n) 23,9  24

b)

Definir os dois tipos de custo que entram na fórmula do custo total: C1 – custo de ignorância ou custo e falta de informação

C2 – custo de aquisição de informação

Quanto maior for o erro absoluto admitido, maior será a parcela do custo de falta de informação no custo total.

Quanto maior o número de inquéritos ou contagens, consoante o tipo de aquisição de informação, maior será a parcela do custo de aquisição de informação no custo total.

A questão que deve ser discutida será “qual a vantagem de adquirir maior informação para obter uma melhor estimativa do tráfego no ano de abertura, quando o tráfego utilizado no dimensionamento será o tráfego dos 20 anos seguintes, obtidos através de projecções de tráfego que têm subjacentes alguns erros, devido à variabilidade do comportamento do tráfego?”

90 96 , 89 24 213 069 , 2 069 , 2 t, 24 n 2            _ _ 