DE DARCY-WEISBACH
CARLOS ROGÉRIO DE MELLO
1DANIEL FURTADO FERREIRA
2JACINTO DE ASSUNÇÃO CARVALHO
3RESUMO - O objetivo deste trabalho é modelar equa-ções matemáticas que permitam o cálculo do fator de atrito da equação de Darcy-Weisbach, na forma explí-cita em f, devido ao fato de os modelos mais usados possuírem soluções matemáticas complexas, em razão da forma implícita de f nos mesmos. Para isto, traba-lhou-se com situações de fluxo turbulento de transição e liso, estimando-se modelos específicos para ambas situ-ações, limites de velocidade de 0,5 a 2,0 m/s, viscosida-des da água às temperaturas de 20oC a 30oC, diâmetros de 15 a 600 mm, rugosidades relativas de 0,000088 a 0,01. As diversas situações foram estudadas, respecti-vamente, com as equações de Colebrook-White e Von
Kármán, utilizando-se um programa computacional es-pecífico de matemática (MAPLE V Versão 3 para Windows) para obter soluções de f, uma vez que essas equações são tidas como as mais precisas. Para a de-terminação dos modelos, avaliaram-se diversas variá-veis, verificando a significância estatística e estimando seus respectivos parâmetros, através de regressão linear múltipla com o Sistema SAS para Windows, utilizan-do procedimentos de seleção de variáveis (Backward). Foi possível obter modelos cujas estimativas de parâ-metros estatísticos foram de alta qualidade, proporcio-nando soluções próximas aos valores exatos, caracteri-zando modelos de elevada precisão.
TERMOS PARA INDEXAÇÃO: Perda de carga, equações matemáticas, fator de atrito.
EXPLICIT EQUATIONS FOR THE DARCY-WEISBACH EQUATION
FRICTION COEFFICIENT
ABSTRACT - The purpose of this work is to fit explicit mathematic equations for calculating the friction coefficient from Darcy-Weisbach equation, in f explicit form, based on fact that the most used models contain complex mathematics solutions due to their implicit form. For these studies, it was used situations of smooth pipe and transition zone turbulent flow, with the objective to estimate specific models for both situations, considering flow velocity between 0.5 and 2.0 m/s, kinematic viscosity of water at the temperatures between 20 and 30oC, diameters between 15 and 600 mm and relative roughness between
0.000088 and 0.01. Different situations were studied using respectively the equations of Colebrook-White and Von Kármán with the software MAPLE V Release 3 for Windows, once these equations are considered most exact. Several variables were studied in order to determine the models, by estimating their respective parameter and verifying the statistical significance using the software SAS for Windows, with the procedure Backward for selection of variables. With these studies, it was possible to obtain models with high quality statistical parameters, providing solutions close to the exact values, which characterizes models of high precision.
INDEX TERMS: Charge loss, mathematic equations, friction coefficient. INTRODUÇÃO
O cálculo de perdas de carga em situações que envolvam fluxo de água em tubulações é fonte cons-tante de estudos, uma vez que esse fator refere-se à perda de energia provocada por atritos que ocorrem entre a água e as paredes das tubulações, como conseqüência da
intera-ção entre viscosidade e rugosidade, sendo refletida nos custos variáveis da instalação (Kamand, 1988).
Existem várias formulações desenvolvidas por alguns pesquisadores para o cálculo de perda de carga, destacando-se as equações de Flamant, Hazen-Willians e Darcy-Weisbach. Segundo Gomes (1997), a equação desenvolvida por este último é a mais utilizada no meio
1. Eng. Agrícola, Pós-Graduando em Irrigação e Drenagem, Departamento de Engenharia da UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS (UFLA). Enviar correspondência para D.F.F. (DEX-UFLA).
2. Eng. Agrônomo, Dr., Professor Adjunto do Departamento de Ciências Exatas/ UFLA, tel.: (035) 829-1369. 3. Eng. Agrícola, Dr., Professor Adjunto do Departamento de Engenharia/UFLA, tel.: (035) 829-1482.
científico, garantindo maior ajuste dos dados à realidade física. Esta equação, também conhecida como Fórmula Universal de Perda de Carga, possui a seguinte expressão:
hf f L D V == ×× ×× 2 2g
(1)
em que hf é a perda de carga (m), f é o fator de atrito (adimensional), L é o comprimento da tubulação (m), D é o diâmetro (m), V é a velocidade (m/s) e g é a constante gravitacional (m/s2).
O fator de atrito representa a principal dificulda-de ao cálculo da perda dificulda-de carga, pois as formulações propostas são do tipo implícitas, com f em ambos os membros da equação, sendo de difícil resolução, mesmo com o uso de calculadoras programáveis e programas de informática específicos de matemática. Bernardo (1989) propõe o uso de resolução gráfica através de um diagrama conhecido por Diagrama de Moody. Tal pro-cedimento é trabalhoso tanto quanto impreciso, não produzindo resultados satisfatórios.
De acordo com Azevedo Netto e Alvarez (1991), o fluxo de água em uma tubulação pode ser classificado em turbulento, laminar ou crítico (transitó-rio). Essa característica é determinada através do cál-culo de um parâmetro adimensional denominado Nú-mero de Reynolds (Re):
Re==V××D
νν
(2)
em que Re é o número de Reynolds (adimensional) , νν é a viscosidade cinemática (m2/s), V e D definidos na equação 1.
Conforme o valor encontrado, trabalha-se com formulações diferentes do fator de atrito, exceção feita ao regime transitório, que não possui formulação. Sen-do assim, para um Re menor que 2000, tem-se o regime laminar; entre 2000 e 4000, o transitório, e maior que 4000, o turbulento. A maioria dos escoamentos em tu-bulações de sistemas de irrigação pressurizados ocorre em regime turbulento (Gomes, 1997).
O fluxo turbulento pode ser classificado em três regimes diferentes, o que leva a equações diferentes do fator f (Yanagi Junior, 1995). Trabalha-se com os regi-mes: turbulento liso, misto e rugoso, o que pode ser ca-racterizado a partir do seguinte cálculo:
Re×× ×× f E D (3)
em que E é rugosidade absoluta (m), Re é o nú-mero de Reynolds (adimensional), f é o fator de atrito (adimensional) e D é o diâmetro (m).
Como a expressão (3) depende do valor de f, considera-se, inicialmente, a situação de fluxo turbu-lento de transição, trabalhando com a equação de Cole-brook - White. 1 2 3,7 2,51 10 f LOG E D f == −− ×× ×× ++ ×× Re (4)
Estimando-se f e observando se a relação 3 pro-porciona um valor entre 14 e 200, intervalo esse que define o regime turbulento de transição, o valor encon-trado de f por (4) estará correto (Yanagi Júnior, 1995). Para valores menores que 14, f deverá ser reestimado pela equação de Von Kármán, que constitui no regime de fluxo turbulento liso, no qual a rugosidade relativa não influencia significativamente na perda de carga, e apenas o Número de Reynolds é relevante (Azevedo Netto e Alvarez, 1991), significando que o fator E/D não tem importância física:
1 2 10 2,51 f == −− ××LOG ×× f Re (5)
Nos casos de valores acima de 200, regime de fluxo turbulento rugoso, utiliza-se a equação de Niku-radse (Azevedo Netto e Alvarez,1991), a qual é explí-cita em f: 1 2 3 7 10 f LOG E D == −− ×× ×× , (6)
Cossolosso e Satto (1996) citam algumas equa-ções explícitas para o fator f, destacando-se a equação de Chen Ning Hsing , que proporciona resultados satisfatórios somente dentro do fluxo turbulento de transição, não ge-rando precisão desejada para a turbulência lisa,
(( )) 1 2 37065 5 0452 1 28257 5 8506 10 10 11098 0 8981 f LOG E D LOG E D ==−− ×× ×× −− ×× ×× ++ , , Re , , Re , , (7)
em que os parâmetros f, E, D e Re estão definidos pelas expressões anteriores.
Para o fluxo turbulento liso, destaca-se a equa-ção de Blasius, que é matematicamente simples. Entre-tanto, há o inconveniente de que essa equação é especí-fica para cada tipo de material, necessitando-se estimar os parâmetros a e b da mesma.
f a
b
== ×× 1
Re (8)
Re e f estão definidos nas equações anteriores; a e b são constantes a serem determinadas.
Segundo Von Bernuth (1990), a equação de Bla-sius é altamente precisa para tubos de plástico lisos com pequenos diâmetros e em situações em que o Número de Reynolds for menor que 100.000, o que, em projetos de irrigação, correspondem a um diâmetro máximo de 80mm, gerando, portanto, dificuldade técnica em certos dimensionamentos.
Devido às dificuldades matemáticas geradas pelas equações implícitas que exprimem o fator f, este trabalho propõe o desenvolvimento de modelos mate-máticos explícitos desse fator, tendo-se como base as equações de Von Kármán e Colebrook-White.
MATERIAL E MÉTODOS
Para a realização deste trabalho, foram utiliza-dos dautiliza-dos de diâmetro, rugosidade relativa, velocidade, viscosidade cinemática e Número de Reynolds, com valores próximos da realidade prática dos projetos de irrigação pressurizada e sistematizados em pequenos intervalos de variação. Com isto, trabalhou-se com diâmetros de 15 a 600 mm, viscosidades referentes às temperaturas de 20oC a 30oC (Von Bernuth, 1990), ve-locidades de 0,5 a 2,0 m/s (valores econômicos para dimensionamentos, segundo Bernardo,1989), proporci-onando número de Reynolds maiores que 4000, sempre caracterizando fluxo turbulento, e rugosidades relativas (E/D) de 8,8x10-5 a 10-2.
Foram consideradas as situações de fluxo turbu-lento misto e liso, uma vez que as equações implícitas em f (equações 4 e 5) são as que governam essas situa-ções.
A fim de obter bons ajustes para os modelos, procurou-se trabalhar em cada situação de diâmetro, velocidade e temperatura, com um intervalo de rugosi-dades relativas que abrangesse os extremos do fluxo turbulento de transição. Assim, foi investigado, em cada situação, os valores de E/D e de f que proporcio-nassem resultados da equação 3 igual a 200 e igual a 14, gerando também, alguns dados intermediários, co-brindo, portanto, todas as possibilidades de fluxo tur-bulento de transição.
Essas investigações foram realizadas com a equação de Colebrook - White, que é tida por vários pesquisadores como sendo a mais precisa dentre vários modelos, sendo aceita universalmente (Gomes, 1997). Ela foi solucionada com o Sistema MAPLE V, Versão 3 para Windows, gerando soluções com várias casas de-cimais, tendo-se adotado, neste caso, 5 casas decimais. Do total de valores combinados dentro dos limites esta-belecidos, foram gerados 593 valores para f, os quais foram encontrados com alta precisão.
A equação de Von Kármán foi solucionada por meio do referido programa computacional, para a
ção de fluxo turbulento liso, para cada diâmetro, situa-ções de velocidades entre 0,5 e 2,0m/s e viscosidades às temperaturas de 20oC a 30oC, gerando, assim, 418 situ-ações.
Após essa etapa, estudou-se o modelo mais ade-quado para cada situação, utilizando-se o Sistema SAS para Windows (System Analysis Statistical, 1985), tendo as equações de Colebrook-White e Von Kármán como base para determinação do modelo. Tra-balhou-se também com regressão linear múltipla dos dados obtidos, através do procedimento Proc Reg, utili-zando-se o método Backward para seleção de variáveis. Foram testadas a significância do modelo e dos respec-tivos parâmetros da regressão (Ho: bi=0), ou seja, o teste em que a variável em questão não trouxe contri-buição significativa para a variação do fator de atrito, para a situação de fluxo turbulento de transição e para o fluxo turbulento liso.
Como parâmetros estatísticos para averiguação da qualidade do modelo, foram considerados: o coefici-ente de determinação ajustado (R2), o coeficiente de varia-ção (CV), significância ao nível de 0,01 de probabilidade para as estimativas dos parâmetros e a média dos desvios em relação aos dados originais. Estes desvios foram calcu-lados seguindo metodologia de Kamand (1988):
(( ))
∆∆f f f
f
E
% == −− ××100 (8)
sendo fE estimados pelos modelos e f oriundos das
equações de Colebrook-White e Von Kármán.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
As estimativas dos parâmetros para o modelo relativo ao fluxo turbulento de transição estão apresen-tados na Tabela 1, com suas respectivas variáveis e si-gnificância ao nível de 0,01 de probabilidade. Observa-se que todas as variáveis testadas foram altamente si-gnificativas, demonstrando a sua importância na des-crição do modelo. Foram obtidos, coeficiente de deter-minação ajustado (R2) de 99,85%, coeficiente de varia-ção (CV) de 1,298% e média dos desvios entre os res estimados e os originais de 0,955%, sendo os valo-res máximo e mínimo observados, valo-respectivamente, de 6,53% e 0,00059%.
Como foram consideradas 5 casas decimais, a maioria dos erros ocorreu na quarta ou quinta casa de-cimal, e como todos os parâmetros estatísticos são de alta qualidade matemática, o modelo descrito abaixo é capaz de prever, com alto grau de confiabilidade, o fa-tor de atrito, desde que todas as variáveis estejam den-tro dos intervalos especificados na metodologia. O mo-delo estimado está apresentado a seguir.
f V LOG E D LOG E D LOG E D E D V == −− ×× −− ×× ×× ×× ++ ++ ×× ++ −− ×× ×× ++ ++ ×× ×× −− 0 011096 0 000108 4 39543 10 1 0 004001 1 0 157153 3 7 46 161642 0 032358 10 10 1 1098 10 1 1098 2 10 , , , Re Re , Re , , , Re , , , + 0,178996
TABELA 1 - Estimativas dos parâmetros e sua significância segundo as variáveis do modelo para situação de fluxo turbulento de transição.
Variável Estimativas Prob > |t| para Ho:bi=0
Intercepto 0,011096 0,0003
V -0,000108 0,0010
Re -4,39543x10-10 0,0001
-2xLOG10[(E/D)1,1098+1/Re] -0,089498 0,0001
{LOG10[(E/D)1,1098 + 1/Re]}2 0,004001 0,0001
-LOG10[E/(3,7xD)] 0,157153 0,0001
1/Re 46,161642 0,0001
(E/D)xV 0,032358 0,0001
Analisando-se a Fig. 1, que caracteriza as situa-ções de diâmetros pequeno, médio e grande, para uma velocidade em torno de 1,5m/s, nota-se uma pequena variação entre os valores de f estimados a partir do mo-delo desenvolvido para fluxo turbulento de transição e a equação de Colebrook-White, o que confirma o espera-do, devido ao alto valor de R2 encontrado.
Cossolosso e Satto (1996) citam vários mode-los explícitos para essa situação, os quais possuem desvios superiores aos obtidos neste trabalho, como as equações de Barr e Swamee e Jain, que obtiveram desvios, respectivamente, de 1% e 6,22%. A equação de Chen Ning Hsing (equação 7) apresentou um des-vio médio de 0,30%, inferior ao obtido com o modelo.
Contudo, as diferenças em relação à equação de Cole-brook-White ocorreram, em ambas, apenas na quarta e/ou quinta casa decimal, mostrando que, na prática, ambos os modelos proporcionam resultados equivalen-tes.
Para os casos de fluxo turbulento liso, a Tabela 2 apresenta os parâmetros estimados com suas respectivas significâncias, tendo-se obtido um R2 de 99,98%, um CV de 0,473% e média dos desvios de 0,347%, com valores máximo e mínimo, respectivamente, de 3,14% e 0,0016%, mostrando que o modelo foi satisfatório quanto à sua qualidade em predizer os valores de f, em relação aos valores exatos. O modelo estimado está apresentado a seguir: (( )) (( )) f V LOG LOG V == −− ×× ++ ×× ×× −− ×× ×× −− ×× ++ ×× ×× −− −− 0 059737 0 000124 3 9783 10 1 03909 10 0 008767 0 000287 50 646040 9 15 2 10 10 , , , Re , Re , Re , Re , Re +
FIGURA 1 - Comparação da regressão obtida com a equação de Colebrook-White para os diâmetros de 20, 300 e 600 mm, a 20o C e praticamente à mesma velocidade.
0,003 0,004 0,005 0,006 0,0075 0,009 0,01
Rugosidade relativa (E/D) 0,03 0,0315 0,033 0,0345 0,036 0,0375 0,039 0,0405 Fator de atrito (f) Colebrook-White
Modelo Estimado D=20mm; V=1,4m/s; 20oC
0,00014 0,00025 0,0005 0,00075 0,001 Rugosidade Relativa (E/D)
0,012 0,0135 0,015 0,0165 0,018 0,0195 0,021 0,0225 0,024 Fator de atrito (f) Colebrook-White
Modelo Estimado D=600mm; V=1,45m/s; 20oC
0,0005 0,00075 0,0009 0,001 0,002 0,00267
Rugosidade Relativa (E/D) 0,015 0,0165 0,018 0,0195 0,021 0,0225 0,024 0,0255 0,027 Fator de atrito (f) Colebrook-White
Na Fig. 2 estão apresentados os valores estimados pelo modelo proposto e os valores originais de Von Kár-mán. Verificou-se, novamente, que o modelo de regressão obtido foi altamente satisfatório para predizer o valor de f.
Com relação ao uso dos modelos, deve-se verifi-car a importância do parâmetro E/D, considerando flu-xo turbulento de transição. Com o valor de f calculado,
determina-se a sua característica através da equação 3. Se ficar caracterizado fluxo turbulento liso, utiliza-se o modelo correspondente; ficando caracterizado fluxo turbulento de transição, o valor encontrado estará cor-reto; caracterizando fluxo turbulento rugoso, trabalha-se com a equação de Nikuradtrabalha-se (equação 6), que não apresenta dificuldades para sua solução.
TABELA 2 - Estimativas dos parâmetros e sua significância para as variáveis do modelo para situação de fluxo turbulento liso.
Variável Estimativas Prob > |t| para Ho:bi=0
Intercepto 0,059737 0,0001 V -0,000124 0,0002 Re 3,9783x10-9 0,0001 Re2 -1,03909x10-15 0,0001 -LOG10(Re) 0,008767 0,0001 -LOG10(VxRe) -0,000287 0,0003 1/Re 50,646040 0,0001
FIGURA 2 - Comparação do modelo de regressão ajustada com a equação de Von Kármán.
23347 122525 267327 429703 583168 898515 Número de Reynolds 0,01 0,0115 0,013 0,0145 0,016 0,0175 0,019 0,0205 0,022 0,0235 0,025 0,0265 Fator f Equação de Von-Kármán Modelo estimado V=1,5m/s; 20oC
Os modelos desenvolvidos não apresentam os inconvenientes de serem específicos para um tipo de tubo (material) podem ser usados para número de Reynolds bem acima de 100.000, não mostrando a mag-nitude dos desvios apresentados por algumas equações ci-tadas; e o fator f é explícito, não havendo grandes compli-cadores, principalmente em termos de desenvolvimento de programas de computador para dimensionamentos hidráu-licos. Deve-se ressaltar que poderá haver ligeiras diferenças em relação aos dados originais para alguns casos, mas em termos de cálculos hidráulicos em projetos de irrigação, tais diferenças não são significativas.
CONCLUSÕES
Com base nas soluções obtidas para os valores de f, conclui-se que os modelos desenvolvidos são apro-priados para estimar o fator de atrito, desde que sejam usados dentro dos limites estabelecidos. Deve-se res-saltar, também, que esses modelos além de auxiliar o desenvolvimento de programas de computador para cálculos hidráulicos, podem ser usados utilizando-se uma simples calculadora científica, agilizando cálculos do fator f e conseqüentemente de perda de carga, sem perder precisão significativa.
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