CNPc, Notas de Física MISTÉRIO DA CIÊICIA E TIM O IO 61» CBPF CENTRO BMSIlEinO 0E PEieilSAS FÍSICAS. F.M. de Oliveira Castro ISSN DG5

ISSN 0029-3DG5

•MISTÉRIO DA CIÊICIA E T I M O IO 61»

CNPc,

CBPF

CENTRO BMSIlEinO 0E PEieilSAS FÍSICAS

Notas de Física

CBPF-NF-037/87 SOBRE A COMPONENTE NUCLEONICA OA RADIAÇÃO CÓSMICA, NA ATMOSFERA

por

F.M. de Oliveira Castro

MIO ÜC 1987

IOTAS DB FlSICA é uaa pré-publicaçio de trabalho original eu Física

MOTAS DE FlSICA is a preprint of original worksún published in Physics

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ISSN 0029-3865

CBPF-NF-037/87

SOBRE A COHPONENTE NUCLEONICA DA

RADIAÇÃO CÓSMICA, NA ATMOSFERA

por •

F.M. de Oliveira Castro

Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas - CNPq/CBPF

Rua Dr. Xavier Sigaud, 150

CMPF-HMH?/»?

ABSTRACT

In this p«p«r we deduce the Shibata's solution of the diffusion equation as an complex integral. He give it's expression in the real dosfain by two different methods and proof a very useful theorem of reciprocity.

Key-words - Nucleonic cosmic rays diffusion. Reciprocity theorem.

CBPF-NF-037/87

O fluxo de nucleons produzidos na profundidade xfg/cm ) , por um único nucleon, de energia Eo, incidente no to

po da atmosfera foi calculado' ' com o seguinte resultado

r<x,B,B0) - e ~x / X «1E-EO) + f •"X/X J- | Ij

ea que Z « (^ In EQ/B)1 / 2f x ^ M é a conhecida função de

tessel e 4 a função de Dirac; F(x,E,E0)dB é o espectro ener

fético do nucleon, na profundidade atmosférica x(g/cm )t X i o livre percurso médio de interação com os nucleons da atmosfe ra, suposto constante.

A lei de distribuição da elasticidade f(n) adotada foi a seguinte:

£(n) - 1 para 0 í n á 1

£(n) « 0 para n > 1

B. Konishi, T. Shibata, B. Shibuya e N. Tateyama1 2 1 também se

ocuparam da mesma questão e indicaram a seguinte soluçãoi

F(x,B,E0> - I p (x/X)f (lo,l) (3)

n-0

Pn(x/A) é a distribuição de Poisson

asada para descrever a probabilidade de haver n interações do nocleon inicial com os núcleos do ar, durante o seu percurso , iesde o topo da atmosfera até a profundidade x(a7e* ) .

CWF-NF-037/87

2

-A função fn(E0,E), que representa a distribuição de energia, depois do nucleon colidir n vezes com os núcleos do ar, é dada pela integral

B)

" I 2il í

* &*

ao longo de uma paralela ao eixo dos imaginários, no plano da variável complexa s, em que

<n

> « [ n

f(n)dn (6)

'0

Substituindo (5) em (3), vem

(7)

No caso particular de f(n) dado por (2), se tem

• se introduziu A(s) pela relação

1 » l-<ns> . 1 _ 1 (8,

Apresentou-se,então, a questão de comparar as duas soluções. Neste trabalho, vamos demonstrar a identidade das du-as soluções. Para isso, calculemos os coeficientes fn(E^,E).

1) para n « 0, temos

CBPF-NF-037/87

-3-s

c+i- 6ln(B0/B)

(10)

Ma integral do 2© membro o integrando apresenta um polo de den n no ponto s « - 1 .

O cálculo dos resíduos nos dá imediatamente

fc+i«« sln(E0/E) ln(E0/B)

(n-1) I

(11) Então

8ubstituindo«se (9) e (12) em (3) e levando-se em conta (4) ,

ve».

r(x/X)AnE

/B)

Z - [4 J in E

/ B )

CBMP-NF-037/87

-4-T <?*

>

Depois de se introduzir na integral (7) a função X(s) por sua expressão (8), podemos considerá-la como a soma das se-fttintes parcelas:

termo correspondente a fQ(Ec,E), em (5), ^üe é

-x/A fc+i- Bo ..

A

' fill- J

i

0 *

d

» " •

xA

«<

E

-

E

o> <

17

>

•m (5), que é

»- fin* C l j , CT 'ir^ir'" 'r>'

d

» «»>

Já fite o 20 membro de (18) nio se altera substituindo-»» a inte gral sobre a paralela ao eixo dos imaginários por uma integral ao longo de um contorno fechado C e somando-se a ela a parcela,

-x/X Í E . *"

CBPF-RF-037/87 5 -podemos escrever: -x/A t us + -x/A r X que B -Irrsr- I e A * W | ds (20) o - in {A Ert * E (21) -x/A -"-'- ' U s + * Assim, temos

F(x,B,E

) - e~*'

«(B.-B

) + f ^ g - j e **"*' ds

Agora, falta-nos apenas, escolher o contorno C e ava liar a integral que figura em (22).

Antes disso, porém, faremos algumas mudanças de vari-ável em (22), para tornar mais simétrica a respectiva integral.

a) Pondo s+1 « s ' , vem x

£zíl í

b) Fazendo, agora, ^ r * ^r vem

p

•r finalmente, fazendo

CBPF-NF-037/87

-6-temos

2§-2ilJ

Para calcular a integral que figura em (25), note -nos que os únicos pontos singulares do integrando são Ç « 0 e Ç • ». A função é, por conseguinte,holomorfa no interior de ttm coroa circular fornada pelo exterior de um circulo de raio e > 0 e pelo interior de ura circulo de raio R > e, arbitrário, centrados na origem (Ç « 0) do plano complexo Ç.

Podemos, então, escolher para o caminho C de inte -fração da integral (25); o indicado na figura abaixo.

Então, temost

-

Â

l (

*

zcose

4 [*

zcose

Ma» ft segunda integral é igual a zero, como se verifica,

CBPF-NF-037/87 7

-r2« a , fir 2 c o s0 0 "

" H j *

e 2 c

°

s e c

°

s e d e

• *

em que I^(Z) é a conhecida função de Bessel* Assim sendo, vem, finalmente

F(x,B,B0) - e ~x / X 6(E-B0) + e ~x / X jf- § Ij(Z) (28)

em que

E

- 2 V ^

- \/^ tn(B

/B)

(29)

como se queria provar.

Caso Geral

Demonstrada a equivalência de (1) e (7), para o caso particular em que a função P(n) é dada por (2), consideremos o caso geral em que o espectro diferencial das partículas pri-márias (principalmente protons) no topo da atmosfera é dado pe Ia expressão G(E)dE, em que a função G(E) é suposta não negatjl va, contínua e limitada no intervalo 0 < a S E < •.

A existincia da integral

[ 6(E)dE para E i a , 'B

deve ser suposta porque representa o espectro integral das par-tículas primárias, no topo da atmosfera. Usando o método das aproximações sucessivas, o autor mostrou, em trabalho anteri-or* ' que a expressão do espectro diferencial F(x,E)dE, na pro fandidade atmosférica x(<j/cm ) , 'pode ser obtida como solução ia equação de difusão da componente nucleÔnica dos raios cósmi,

(ÊBWMtF-037/87

F(x,|)f ( n ) ^ (30)

com a condição inicial F(0,E) « G(E).

O resultado é o seguinte

... — - — dn,...dri (31)

para uma distribuição de elasticidade f(n)dn, não especifica

-da. Por outro lado, o mesmo problema pode ser resolvido

inte-grando-se a equação (30) por meio da transformação ML de

Mellin-Laplace. Desta forma, se obtém para F(x,e) a integral

(s)

P(x,E) - -^r= I MG(s) 2 - ds , (32)

em que M^s) é a transformada de Mellin da função 6(E)

1

ITiT

Í

~V>

e <n*> • f n* f(n)dn . (33)

Agora, para demonstrar a equivalência de (31) e (32)

basta aplicar a transformada de Mellin a ambos os membros da equação (31).

Isto feito, temos

Mr(s) - M6(s) • "X / X ( 8 ) , (34)

donde

fc+i- -x/M»)

CBPF-KF-037/87

-5-Relaçáo de Reciprocidade

Da formula (34) resulta uma relação de reciprocidade entre as transformadas de Mellin de F(x,E) e G(E), isto i.

MG(s)

x/X 1st (36)

que se transmite às respectivas transformadas inversas que são

i fO+i* Am i fC*i« -x/X(s)

• im U . ^ c ) *f - jhM U .

G<-> ^ i — «•

(37)

c + i* ex/X(s)

então

"Conhecida a expressão matemática de F(x/E)dE do espectro dife rencial da componente nucleônica, na profundidade x (g/cm ) , para se obter o espectro diferencial 6(E)dE das partículas primárias (principalmente protons) no topo da atmosfera, bas-ta substituir, na expressão F(x,E)dE x por (-x) e Mç por Mp."

e o mesmo acontece com as respectivas expressões explícitas no campo real.

Desta reciprocidade, resulta imediatamente, a partir da fórmula (31) de F(x,B) a seguinte expressão de G(E)s

>o Vl in in

C(B)

..*'«

I \'^-t I ...I

,

v«0

f(n,)

* — j f ~ ... n v . d nr. . d n (38)

cuja equivalência com a segunda equação (37) se verifica fácil «ente. Basta calcular a transformada H6(s) de G(B) que nos dá

1 0

-| p e ê a segunda das fórmulas (36) da qual resulta a expressão de G(E) dada em (37).

pfaservação. As formulas (31) e (38) generalizam» para o caso d* se levar em conta a distribuição de elasticidade, as s o l u -Ç$«s correspondentes de um problema mais simples considerado pe Io autor* , e que foram obtidas com método inteiramente d i f e -rente.

Agradecimentos. 0 autor deseja manifestar seu agradecimento ao Prof.N.Arata

pelas comunicações privadas de que teve a oportunidade de tonar

conheci-mento e pelas discussões relativas ao presente trabalho. Da mesma forma f i ea e autor muito agradecido aos colegas Neusa Amato e Hélio Portella pela leitura de presente artigo» bem como à Sra. Helena de Souza Ferreira pelo

CBPF-NF-037/87

-11-Referências

(1) N. Arata e F.N.O. Castro, submetido i Rev. Bras. Física (agosto, 1987).

(2) B. Konishi, T. Shibata, E. Shibuya • N. Tateyana, Prog, of Theoretical Phys. - vol. 56, December 1976.

{3] F.M. de Oliveira Castro, Motas de Física, Centro Brasilei-ro de Pesquisas Físicas - CBPF-NF-064/85 (1985) - Rio de Janeiro - Brasil.

14) F.N. de Oliveira Castro, Notas de Física, CBPF-NF-027/83 , (1983).