Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense
Parte 5
Parte 5 Matemática Básica 1
Números
Parte 5 Matemática Básica 2
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.
[Do lat. numeru.]
S. m.
1.
A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.
2.
Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.
3.
Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]
4.
Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.)
e que
é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos
equivalentes a um conjunto dado.
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras). Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton). Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra considerada arbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin Constant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles). Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e por
qual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Se
a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado
é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma
medição e o resultado é um número real.
Parte 5 Matemática Básica 5
Números naturais
Parte 5 Matemática Básica 6
Números naturais
números
naturais
números
ordinais
números
cardinais
(substantivo) (adjetivo)interpretados como interpretados como
Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados números
naturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes
propriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.
(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.
(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1
∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento
de X ainda pertence a X , então X
= N.
Números naturais como números ordinais
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}.
2
é o sucessor de
1
3
é o sucessor de
2
4
é o sucessor de
3
..
.
..
.
..
.
Deve ficar claro que o conjunto
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} dos números
naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são
desprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)
possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outra
propriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)
e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é
sucessor).
[Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003]
Parte 5 Matemática Básica 9
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é
{n}
0
∅
1
{∅}
{0}
2
{{∅}}
{1}
3
{{{∅}}}
{2}
..
.
..
.
..
.
n
{n − 1}
Parte 5 Matemática Básica 10
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n
∪ {n}
0
∅
1
{∅}
0
∪ {0}
2
{∅, {∅}}
1
∪ {1}
3
{∅, {∅}, {∅, {∅}}}
2
∪ {2}
..
.
..
.
..
.
n
(n − 1) ∪ {n − 1}
Números naturais como números ordinais: símbolos
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Maia
Parte 5 Matemática Básica 13
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Chinesa
Parte 5 Matemática Básica 14
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Romana
1
2
3
4
5
10
50
100
500
1000
I
II
III
IV
V
X
L
C
D
M
Números naturais como números ordinais: símbolos
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Parte 5 Matemática Básica 17
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Braille
Parte 5 Matemática Básica 18
Números naturais como números cardinais
Apresentaremos os números naturais como números cardinais
O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números naturais. Se 1∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X , então X= N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma
“
∀n ∈ N, P(n)”
(estamos escrevendo P(n)
ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X
= {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}
.
Se mostramos que
(1)
(Passo básico) 1
∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,
que P(1) é verdadeira),
(2)
(Passo indutivo) k
∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfaz
o predicado P, então k
+ 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,
que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X
= N, isto é, todo número
natural n
∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença
“
∀n ∈ N, P(n)”
é verdadeira!
Parte 5 Matemática Básica 21
O Principio da Indução Finita
Moral:
O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentar
demonstrar que sentenças do tipo
“
∀n ∈ N, P(n)”
são
verdadeiras!
Parte 5 Matemática Básica 22
Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1)
Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual será
a estrutura da demonstração.
(2)
Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todo
n
∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3)
Passo básico:
mostre que P
(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfaz
o predicado P).
(4)
Passo indutivo:
mostre que se P
(k) é verdadeira (isto é, se k satisfaz
o predicado P), então P
(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfaz
o predicado P).
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · · + n =n(n + 1)
2 .
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n): 1 + 2 + · · · + n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso, isso significa mostrar que 1= (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar que
P(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira, então
1+ 2 + · · · + k =k(k + 1)
2 . (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2 . Mas, 1+ 2 + · · · + k + (k + 1) (∗) = k(k + 1) 2 + (k + 1) = k(k + 1) + 2 (k + 1) 2 = (k + 1)(k + 2) 2 = (k + 1)((k + 1) + 1)2 ,
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3− n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n): 3 é divisor de n3− n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 é divisor de(1)3− 1. Mas (1)3− 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira. Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k. Para mostrar que P(k +1) é verdadeira, devemos mostrar que 3 é divisor de(k + 1)3− (k + 1). Agora:
(k + 1)3− (k + 1) = k3+ 3 k2+ 3 k + 1 − (k + 1) = k3− k + 3 k2+ 3 k.
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3− k. Como 3 também é divisor de 3 k2+ 3 k, segue-se que 3 é divisor de k3− k + 3 k2+ 3 k = (k + 1)3− (k + 1).
Parte 5 Matemática Básica 25
Onde está o erro?
Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n): em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n= 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor. Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com k cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1) é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k+ 1 cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor. Considere então um conjunto com k+ 1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck, ck+1}. Pela hipótese de indução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor:{c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,
os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck, ck+1}. Logo todos os cavalos
em{c1, c2, . . . , ck, ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em{c1, c2, . . . , ck, ck+1} têm uma mesma cor a partir do fato de que todos os cavalos em A= {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck, ck+1} possuírem uma mesma cor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k= 2, então A = {c1},
B= {c2} e A ∩ B = ∅.
Parte 5 Matemática Básica 26
Ainda Sobre
O Princípio da Indução Finita
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentenças
do tipo
∀n ∈ N =
{ 1, 2, 3, . . .}
, P(n)
são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A =
{ 2, 3, 4, . . .}
, P(n)
∀n ∈ B =
{ 3, 4, 5, . . .}
, P(n)
∀n ∈ C =
{ 0, 1, 2, . . .}
, P(n)
∀n ∈ D =
{−1, 0, 1, . . .}
, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e D
são tão bons quanto o conjunto
N.
Exemplo
Mostre que ∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2− n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n): n2− n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que
32− 3 − 6 ≥ 0. Mas 32− 3 − 6 = 0, logo 32− 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k +1) também é verdadeira. Agora, se P(k) é verdadeira, então k2− k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que(k + 1)2− (k + 1) − 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2− (k + 1) − 6 = k2+ 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2− k − 6 + 2 k.
Pela hipótese de indução, k2− k − 6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2− k − 6 + 2 k = (k + 1)2− (k + 1) − 6 ≥ 0.
Parte 5 Matemática Básica 29
O Segundo Princípio da Indução Finita
Parte 5 Matemática Básica 30
O Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P
(n),
•
se P
(1) é verdadeira e
(Passo básico )
•
se
P
(k)
⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P
(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P
(n),
•
se P
(1) é verdadeira e
(Passo básico )
•
se
P
(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)
⇒ P(k + 1) é verdadeira,
(Passo indutivo)
então P
(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Exemplo
Mostre que todo número inteiro n≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se
o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo). Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n): n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2 pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1) também é verdadeira. Agora, se P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que k+ 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para se fazer: k+ 1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k + 1). Se k+ 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e
2≤ b ≤ k. Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo
k+ 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k= 24 = 4 · 6. Para mostrar que P(24) é verdadeira usando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do Primeiro Princípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Exemplo (sem pegar pela mão)
Mostre que todo número inteiro n≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-se o caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo. Suponha que todo número≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremos mostrar que k+ 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há para se fazer. Suponha então que k+ 1 não seja um número primo. Portanto, ele pode ser escrito na forma k+ 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k. Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logo k+ 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Parte 5 Matemática Básica 33
O Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )
• seP(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
• se P(1) é verdadeira e (Passo básico ) • seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstra
o outro.
Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode ser
convertida em uma demonstração usando o outro.
Parte 5 Matemática Básica 34
Demonstração do teorema
Dado um predicado P(n),•se P(1) é verdadeira e (Passo básico )
•seP(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
•se P(1) é verdadeira e (Passo básico )
•seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
(Primeiro Princípio⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo
n ∈ N. Defina P(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P(1) = P(1) é verdadeira. Se P(k) é
verdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. Logo
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ∧ P(k + 1) é verdadeira, isto é, P(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio da Indução (aplicado ao predicado P(n)), P(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Em particular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Demonstração do teorema
Dado um predicado P(n),•se P(1) é verdadeira e (Passo básico )
•seP(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),
•se P(1) é verdadeira e (Passo básico )
•seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k)⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo) então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
(Segundo Princípio⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal que P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamos que o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: se
P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também é verdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Outros nomes para o Segundo Princípio da Indução
O Segundo Princípio da Indução também é conhecido como
Princípio da Indução Completa
ou
Princípio da Indução Forte.
Parte 5 Matemática Básica 37
Outras Aplicações
Parte 5 Matemática Básica 38
Exemplo
Quais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0
1
2
3
4
5
· · ·
0
0
5
10
15
20
25
· · ·
1
3
8
13
18
23
28
· · ·
2
6
11
16
21
26
31
· · ·
3
9
14
19
24
29
34
· · ·
4
12
17
22
27
32
37
· · ·
5
15
20
25
30
35
40
· · ·
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
. ..
Exemplo
É possível produzir qualquer quantia n≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n): existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1), 9= 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponha que qualquer quantia em centavos l∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamos
mostrar que P(k +1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k +1 também pode ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k− 2 = 3 r + 5 s.
Então, k+ 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3r + 5 s, com r = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0. Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23= 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6). Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Exemplo
Para todo n≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n× 2ncom
a estátua de Bill em um quadrado central.
B B
Parte 5 Matemática Básica 41
Exemplo
Para todo n≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n× 2ncom
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n): existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n× 2ncom a estátua de Bill emqualquer
quadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B
, B
,
B , B .
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k× 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1× 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k× 2k.
O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótese de indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos três quadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos três quadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
B 2k
2k
2k 2k
2k+1
Parte 5 Matemática Básica 42
Exemplo: A Torre de Hanoi
Torre A Torre B Torre C
4 3 2 1
O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duas regras:
(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido. (2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.
Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz que existe uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro. Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz que o mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.
Torre de Hanoi com 1 Anel
Torre de Hanoi com 1 Anel
1
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 45
Torre de Hanoi com 1 Anel
1
OK
Parte 5 Matemática Básica 46
Torre de Hanoi com 2 Anéis
2
1
Torre de Hanoi com 2 Anéis
2
1
Torre de Hanoi com 2 Anéis
1
2
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 49
Torre de Hanoi com 2 Anéis
2
1
Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 50
Torre de Hanoi com 2 Anéis
2
1
OK
Torre de Hanoi com 3 Anéis
3
2
1
Torre de Hanoi com 3 Anéis
3
2
1
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 53
Torre de Hanoi com 3 Anéis
3
2
1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 54
Torre de Hanoi com 3 Anéis
3
2
1
Anel transferido da torre C para a torre B.
Torre de Hanoi com 3 Anéis
2
1
3
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
2
3
Anel transferido da torre B para a torre A.
Parte 5 Matemática Básica 57
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1
3
2
Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 58
Torre de Hanoi com 3 Anéis
3
2
1
Anel transferido da torre A para a torre C.
Torre de Hanoi com 3 Anéis
3
2
1
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4
3
2
1
Parte 5 Matemática Básica 61
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4
3
2
1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 62
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4
3
1
2
Anel transferido da torre A para a torre C.
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4
3
2
1
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4
3
2
1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 65
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4
1
3
2
Anel transferido da torre C para a torre A.
Parte 5 Matemática Básica 66
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4
1
3
2
Anel transferido da torre C para a torre B.
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4
3
2
1
Torre de Hanoi com 4 Anéis
3
2
1
4
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 69
Torre de Hanoi com 4 Anéis
3
2
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1
Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 70
Torre de Hanoi com 4 Anéis
2
3
4
1
Anel transferido da torre B para a torre A.
Torre de Hanoi com 4 Anéis
2
1
3
4
Torre de Hanoi com 4 Anéis
2
1
4
3
Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 73
Torre de Hanoi com 4 Anéis
2
1
4
3
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 74
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1
4
3
2
Anel transferido da torre A para a torre C.
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4
3
2
1
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4
3
2
1
OK
Parte 5 Matemática Básica 77
Exemplo: A Torre de Hanoi
A Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n∈ N de anéis. Mais ainda, se Tné o número
mínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn+ 1, com
T1= 1. Em particular, Tn= 2n− 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Se
n= 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferir
k anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k+1 anéis. Se os k +1 anéis
estão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o(k + 1)-ésimo anel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1≤ 2 Tn+ 1. Vamos agora mostrar que,
também, Tn+1 ≥ 2 Tn+ 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéis
superiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n+ 1 sem que os n anéis superiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixar uma torre vazia, uma vez que o(n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim, usamos pelo menos Tnmovimentos. Ao transferir o(n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferir
os n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tnmovimentos.
Logo, Tn+1≥ 2 Tn+ 1.
Temos assim que T1= 1 e Tn+1= 2 Tn+ 1. Escrevendo Un= Tn+ 1, então U1= T1+ 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1= 2 Tn+ 1 ⇔ Un+1− 1 = 2 (Un− 1) + 1 ⇔ Un+1= 2 Un.
Assim, Un= 2ne, portanto, Tn= 2n− 1.
Parte 5 Matemática Básica 78
Exemplo: A Torre de Hanoi
Para n= 64 anéis são então necessários
T64=264− 1 movimentos.
264− 1 = 18446744073709551615.
Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de
584 bilhões de anos
para eles transferirem todos os 64 anéis!
Exemplo: Permutações
Quantas e quais são as permutações da lista(a, b)? Resposta: são 2 permutações, a saber,
(a, b), (b, a).
Quantas e quais são as permutações da lista(a, b, c)? Resposta: são 6 permutações, a saber,
(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).
Exemplo: Permutações
O número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1· 2 · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um único elemento é igual a 1= 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos seja igual a k!. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1, a2, a3, . . . , ak, ak+1) com
k+ 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1, a2, a3, . . . , ak, ak+1) podem ser divididas em k+ 1 grupos: a1 , permutações de a2, a3, . . . , ak , ak+1 , a2 , permutações de a1, a3, . . . , ak , ak+1 , .. . ak , permutações de a1, a2, . . . , ak−1, ak+1 , ak+1, permutações de a1, a2, . . . , ak−1, ak .
Logo, o número total de permutações da lista(a1, a2, a3, . . . , ak, ak+1) é igual a
k! + k! + · · · + k! + k!
k+1 vezes
= (k + 1) k! = (k + 1)!.
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular permutações de listas.
Parte 5 Matemática Básica 81
Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito
Quantos e quais são os subconjuntos de{a, b}?
Resposta: são 4 subconjuntos, a saber, ∅, {a}, {b}, {a, b}.
Quantos e quais são os subconjuntos de {a, b, c}?
Resposta: são 8 subconjuntos, a saber, ∅, {a}, {b}, {a, b},
∅∪ {c}, {a}∪ {c}, {b}∪ {c}, {a, b}∪ {c}.
E o caso geral?
Parte 5 Matemática Básica 82
Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito
O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.
Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio∅ (com n = 0 elementos) é igual a 1= 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementos seja igual a 2k. Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto{a
1, . . . , ak, ak+1} com k+ 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de{a
1, . . . , ak, ak+1} podem ser divididos em
2 grupos: os subconjuntos de{a1, . . . , ak, ak+1} dos quais ak+1não éum elemento e os subconjuntos
de{a1, . . . , ak, ak+1} dos quais ak+1éum elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igual
ao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1de um subconjunto do segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeiro grupo são subconjuntos do conjunto{a1, . . . , ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,
segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dos
grupos, concluímos que existem 2k+ 2k= 2 · 2k= 2k+1subconjuntos do conjunto{a
1, . . . , ak, ak+1}. Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos de um conjunto finito.
Números naturais como números cardinais
X
Y
Parte 5 Matemática Básica 85
Números naturais como números cardinais
X
Y
Parte 5 Matemática Básica 86
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemático que torna possível o processo de contagem.
Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f
: X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem
n elementos quando se
pode
estabelecer
uma
função
bijetiva
f
: I
n→ X,
onde n
∈ N e
I
n= {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n
∈ N, não existe função bijetiva f : I
n→ X.
Definições
Números naturais como números cardinais
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
Parte 5 Matemática Básica 89
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
Parte 5 Matemática Básica 90
Números naturais como números cardinais
O Hotel Infinito de Hilbert
Um pequeno comentário gramatical
Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, as
palavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.
Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, dois
meses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,
isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” não
são substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas
(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numeral
e que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,
resolveram chamar numeral apenas.
Este comentário visa salientar a
diferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto
N, e
o seu emprego como números cardinais.
Semelhança dos nomes dos números
Sânscrito Grego
Antigo Latim Alemão Inglês Francês Russo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 eka dva tri catur panca sas sapta asta nava daca cata sehastre en duo tri tetra pente hex hepta octo ennea deca ecaton xilia unus duo tres quatuor quinque sex septem octo novem decem centum mille eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn hundert tausend one two three four five six seven eight nine ten hundred thousand un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix cent mille odyn dva tri chetyre piat shest sem vosem deviat desiat sto tysiaca
Parte 5 Matemática Básica 93
Giuseppe Peano
Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)
Parte 5 Matemática Básica 94
David Hilbert
Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)
Existem “infinitos” diferentes!
Os conjuntos
N = {1, 2, 3, . . .}
e
(0, 1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são
infinitos
, mas
não possuem o mesmo número cardinal
.
Em um certo sentido, o intervalo
(0, 1) é “mais infinito” do que o
conjunto
N dos números naturais!
Parte 5 Matemática Básica 97
O argumento da diagonal de Cantor
N e (0, 1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1)
Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre
N e (0, 1).
(2)
Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f
: N → (0, 1).
(3)
Assim, para cada n
∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f
(n) = r.
(4)
Para cada n, vamos representar o número real f
(n) através de sua expansão
decimal.
No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0
.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0
.5 escolhemos 0.49).
(5)
Temos então:
f
(1) = 0.
d
1,1d
1,2d
1,3d
1,4. . . ,
f
(2) = 0.d
2,1d
2,2d
2,3d
2,4. . . ,
f
(3) = 0.d
3,1d
3,2d
3,3d
3,4. . . ,
f
(4) = 0.d
4,1d
4,2d
4,3d
4,4. . . ,
..
.
Parte 5 Matemática Básica 98
O argumento da diagonal de Cantor
(5)
Temos então:
f
(1) = 0.
d
1,1d
1,2d
1,3d
1,4. . . ,
f
(2) = 0.d
2,1d
2,2d
2,3d
2,4. . . ,
f
(3) = 0.d
3,1d
3,2d
3,3d
3,4. . . ,
f
(4) = 0.d
4,1d
4,2d
4,3d
4,4. . . ,
..
.
(6)
Vamos construir um número real x
= 0.p
1p
2p
3p
4. . . da seguinte maneira:
Sed1,1= 5, então p1= 4. Caso contrário, p1= 5. Sed2,2= 5, então p2= 4. Caso contrário, p2= 5.
Sed3,3= 5, então p3= 4. Caso contrário, p3= 5. E assim por diante.