ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL

Angela Nieckele – PUC-Rio

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ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL

Nos escoamentos incompressíveis, p e V são as duas variáveis principais de interesse, e por isto são necessárias duas equações de conservação: continuidade e quantidade de movimento linear.

Escoamento compressível implica em grandes variações da massa específica num campo de escoamento. Os efeitos de compressibilidade surgem devido a grandes variações de velocidade, que por sua vez

originam grandes variações de pressão, levando a grandes variações da massa específica e da temperatura.

grandes  V  grandes  p  grandes  r e grandes  T

Uma vez que duas variáveis adicionais aparecem (r e T), duas equações adicionais são necessárias: equação de conservação de energia (1a. _{lei da termodinâmica) e uma equação de estado.}

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ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL

quantidade de movimento linear energia

equação de estado

No presente curso vamos utilizar as seguintes aproximações:

•

•

e utilizaremos a análise integral

T

p

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REVISÃO DE TERMODINÂMICA

Pressão, densidade e temperatura de uma substância pura, podem ser relacionados através de uma equação de estado.

A maioria dos gases de interesse, a pressões e temperaturas moderadas, se comportam como gases ideais.

gás ideal :

R = constante do gás

 = constante universal = 8314 Nm/(kgmol K) = 1544 lbf ft / (lbmol R) M_m = massa molecular ar  R_ar = = 287 Nm/(kg K) = 153,3 lbf ft / (lbm R) m u M R m T R p T R m p        ; r ; r ;

4 Outras propriedades:

 energia interna i  a energia interna pode ser expressa por i=i(v, T)

r   1 logo dv v i dT T i i d T c v v               

 cv = calor específico a volume constante

 entalpia h  h=h(p, T) h = i + p / r p d p h T d T h h d T c p p               

 cp = calor específico a pressão constante

 entropia   T Q S   desigualdade de Clausius m d S d s d   entropia específica processo reversível  m d Q s d T  

5 Para gás ideal  i = i(T) ; p  r RT

como r p i h    h i RT ; então h=h(T) di = cv d T dh = cp dT T R i h    dh = di + R dT  cp – cv = R

razão de calor específico

v p c c k   1   k R k c_p ; 1   k R c_v

variação de energia interna e entalpia devem ser avaliados por        1 1 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 T Tref v T T v T T cv T d T c T d T c T d T i i ref        1 1 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 T Tref p T T p T T cp T d T c T d T c T d T h h ref

Para faixas razoáveis de temperatura, podemos considerar o calor específico como constante, ) ( _{2 1} 1 2 i c T T i   _v  ; h₂  h₁  c_p(T₂  T₁)

6 RELAÇÕES TERMODINÂMICAS v d p i d s d T    d v T p T i d s d   ou usando a definição h i  p  i p v r p d v h d s d T    d P T v T h d s d   gás ideal ( p  r RT )  v v d R T T d c s d  v   1 2 1 2 1 2 ln ln v v R T T c s s   _v  p p d R T T d c s d  p   1 2 1 2 1 2 ln ln p p R T T c s s   _p 

7 Em processos isoentrópicos: d s = 0 v d p i d s d T    0  c_v d T  p d v p d v h d s d T    0  c_p d T  v d p

igualando dT nas duas equações acima

0 0          v v d k p p d v v d c c p p d c v d p c p d v T d v p v p

para k = constante e integrando

C v p C v p C v k p  ln  ln  ln  ln k  ln  k  ln C p k 

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Velocidade do som  c

 velocidade de propagação de uma onda de pressão de intensidade infinitesimal

 Determinação da velocidade do som:

continuidade:         . . . . 0 C S C V dA n V d t   r r

para regime permanente

m A d A V d c d A c (r  r) (  ) (  )   r A V d d A dV A c d A c A c r r r r r      r r d c V d  (I)

quantidade de movimento linear :      

   . . . .C SC V ext V d V V n dA t F r   r           . . . . SC x C V x c s V d V V n dA t F F x x   r r

9 hipóteses: (1)regime permanente, (2) força de corpo na direção x nula (3) atrito

desprezível (_s A_s  0 pois A_s  0) (4) troca de calor desprezível





igualando (I) e (II)

c p d d c r r r   d r p d c2  Se p =p ( r, s) então d s s p d p p d s r r r _          

Se não há atrito e troca de calor,, o processo é isoentrópico (ds = 0)

s p d p d       r r s p c _      r

10 Definição: M = número de Mach

c V M   M





M



0,9  M  1,1  escoamento transônico gás ideal  p 

r

r

r

r

r

r

r

11  Para líquidos: definindo-se Ks = coeficiente de compressibilidade adiabática

s s p v v K _          1  s K c r 1 

utiliza-se também o “bulk modulus” K

s v p v _           _ r   c

 Para sólidos: definindo-se E = módulo de elasticidade de Young

r

E c 

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ESCOAMENTO UNI-DIMENSIONAL DE GÁS

IDEAL EM TUBULAÇÕES

escoamento isoentrópico de área variável

escoamento com atrito em área constante

escoamento com transferência de calor em área constante

choques normais

Vamos derivar as equações de

conservação válidas para todos estes casos.

Hipóteses:

regime permanente

uma entrada e uma saída

propriedades uniformes nas seções força gravitacional desprezível

(tubulação na horizontal) gás ideal

13 (1) Continuidade:         . . . . 0 C S C V dA n V d t   r r  m A V A V_{1 1}  _{2 2 2}   1 r r

(2) Quantidade de movimento linear:

         . . . .C SC V c s V d V V n dA t F F  r  r      . .C S x s V V n dA F _x r    R_x  p₁A₁  p₂A₂  m ( V₂  V₁)

(3) Energia (1a. lei da Termodinâmica):e  i  V  gz

2 2 ; gz V h p e     2 2 r dA n V p e d e t W W W Q SC VC outros e       _                _{ } r r r 

hipóteses adicionais: (i) trabalho de eixo nulo (ii) trabalho outros nulo

(iii) volume de controle perpendicular a fluxo de massa e coincidente com paredes

                             2 2 2 1 1 2 2 2 V h V h m Q 

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(4) 2a. lei da Termodinâmica:  

T Q S 

 desigualdade de Clausius para sistemas

para volumes de controle: dA

T A Q dA n V s d s t _VC   _SC   _SC   _{r r}     /

a igualdade é válida se o processo for reversível a desigualdade é válida se o processo for irreversível

para indicar a direção do processo: dA T A Q s s m SC    ) / ( _{2 1}    para quantificar: 1 2 1 2 1 2 ln ln p p R T T c s s   _p  (5) equação de estado: p  r RT  2 2 2 1 1 1 T p T p r r  (6) h₂  h₁  c_p (T₂  T₁)

Se o processo for isoentrópico acrescentar mais uma equação, a do processo:

k k p p 2 2 1 1 r r 

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•Para resolver um problema de escoamento compressível,

precisaremos resolver o sistema apresentado. Vamos

agora introduzir a definição de propriedades de referência

que auxiliam na solução dos problemas.

PROPRIEDADES DE REFERÊNCIA

•Propriedade de Estagnação Isoentrópica (

r

, T

, p

,

etc): são as propriedades obtidas quando um fluido é

desacelerado

até

o

repouso

por

um

processo

isoentrópico, isto é, sem atrito e sem troca de calor.

•Propriedades Críticas (

r

, T*, p*, etc): são as

16  para obter estas propriedades, vamos integrar as equações de conservação de um

escoamento isoentrópico de uma condição dada até o repouso.

 continuidade: r V A  (r  dr) (V  dV) (A  dA)  m  quantidade de movimento linear:

dV A V V dV V m A p dA A dp p pA  (  ) (  )  _{m s} cos    [(  )  ]  r dA A_s cos   2 dp p p_m   dV A V dA dp p dA A dp p pA   r           2 ) ( ) (  dV A V A dp  r  dividindo por r A  0 2 2   d V dp r equação de Euler pmAS    As dA pmAs

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 para obter estas propriedades, vamos integrar as equações de conservação de um escoamento isoentrópico de uma condição dada até o repouso.

 continuidade: r V A  (r  dr) (V  dV) (A  dA)  m

 quantidade de movimento linear:

dV A V V dV V m A p dA A dp p pA  (  ) (  )  _{m s} cos    [(  )  ]  r dA A_s cos   2 dp p p_m   dV A V dA dp p dA A dp p pA   r           2 ) ( ) (  dV A V A dp  r  dividindo por r A  0 2 2   d V dp r equação de Euler pmAS    A_s dA p_mA_s

Para processo isoentrópico p C

k 

r





r

substituindo na equação de Euler 0

2 2 / 1 / 1 _ d V _ p dp C k k

18

Integrando de uma posição onde a pressão é p e a velocidade é V até o repouso onde a pressão é po e a velocidade é nula

0 2 0 2 / 1 / 1 _{  }  V p p k k d V p dp C o  0 2 1 1 2 1 1 1 1 1 _{ }     V k p p C k k k o / / / /

arruamando a equação obtida, temos, sabendo que

M=V/c ; c  kRT ; p/r = R T e C1/ k  p1 / k / r









19

Propriedades de Estagnação Isoentrópica

)

/(

1

2

2

1

1

















k

k

o

k

_M

p

p

2

1

1









_





















k

_M

p

p

r

r

r

r



































2

1

2

1

1

k

M

T

T

p

p

p

p

T

T

_o

k

k

_o

o

o

o

/

)

(

r

r

agora podemos facilmente encontrar as outras propriedades

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Note que as propriedades de estagnação não oferecem uma referência para a velocidade, usamos então as propriedades críticas (M=1). O mesmo é verdade para a área. ) 1 /( * * 2 1 1      _   k k o k p p = 1,893 para (k=1,4) ) 1 /( 1 * * 2 1 1      _   k o k r r = 1,577 para (k=1,4)     _   2 1 1 * * _k T T_o = 1,200 para (k=1,4) continuidade: r V A  r* V* A*  m ; V*  c*  kRT*

21 Escoamento Compressível ____________________________________________________________ 113      o o o o T T T T M T T M c M c V V A A / / 1 1 * * * * * * * * * r r r r r r r r r r

Porém em um processo isoentrópico, ao desaceleramos um escoamento até o repouso, chegamos sempre aos mesmos valores das propriedade de estagnação isoentrópicas, então

o o T

T*  e r_o*  r_o , substituindo as relações obtidas temos

) 1 ( 2 1 2 * _{( 1) / 2} 2 ) 1 ( 1 1                   k k k M k M A A

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Exemplo: Ar escoa em regime permanente através de um bocal

convergente-divergente. Na entrada a pressão absoluta é P₁ =350 kPa, temperatura T ₁ =60 o _C

e a velocidade igual a V ₁ =183 m/s. Na saída, o número de Mach é M ₂ =1,3 e as condições locais de estagnação são conhecidas, P _o2= 384 kPa (abs), T _o2= 350 K. Determine as propriedades de estagnação isentrópica na entrada e pressão

estática e temperatura na saída.