Prefácio viii
Matrizes e Sistemas de Equações 1
1.1 Sistemas de Equações Lineares 11.3 Aritmética Matricial 26
1.4 Álgebra Matricial 42
1.5 Matrizes Elementares 55 1.6 Matrizes Particionadas 65 Exercícios MATLAB 74 Teste A do Capítulo 78 Teste B do Capítulo 78Determinantes 80
2.1 0 Determinante de uma Matriz 80 1.2 Forma Linha Degraus 11
2.2 Propriedades dos Determinantes 86
Exercícios MATLAB 100 Teste A do Capítulo 101 Teste B do Capítulo 101Espaços Vetoriais 103
3.1 Definição e Exemplos 103 3.3 Independência Linear 1182.3' Tópicos Adicionais e Aplicações 93
3.2 Subespaços 110 3.4 Base e Dimensão 129 3.5 Mudança de Bases 134 Exercícios MATLAB 151 Teste A do Capítulo 152 Teste B do Capítulo 153
Transformações Lineares 155
4.1 Definição e Exemplos 1554.2 Representação Matricial de Transformacões Lineares 163
Exercícios MATLAB 181 Teste A do Capítulo 183 Teste B do Capítulo 183
Ortogonalidade 184
5.1 0 Produto Escalar em R" 185 5.3 Probl-, 5.4 Esp aç 5.5 Conjn 5.6 0 Pro 5.7' Polin( Exerc Teste Teste6 Autovalor
6.1 Auto~ 6.2 Sisten 6.3 Diagc 6.4 Matri 65 ADet 6.6 Form. 6.7 Matri 6.8' Matri Exerc Teste . TesteÁlgebra
7.1 Núme 7.2 Elimií 7.3 Estrat 7.4 Norm 7.5 Transi 7.6 0 Pro 7.7 Problt Exerc Teste. TesteMétodo~
Formas
Apêndice: Bibliogr@ Respostas Índice 44!Seqões opcionais. Estas seções não
3.6 Espaço Linha e Espaço Coluna 144
4.3 Similaridade 176
vii
5.3 Problemas de Mínimos Quadrados 206 5.5 Conjuntos Ortonormais 224
5.6 0 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt 241
Exercícios MATLAB 257
Teste A do Capítulo 259 Teste B do Capítulo 260
Autovalores 262
6.1 Autovalores e Autovetores 263
5.4 Espaços de Produto Interno 215
5.7' Polinômios Ortogonais 250
6.2 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 275
6.4 Matrizes Hermitianas 301
6.5 A Decomposição em Valores Singulares 313
6.7 Matrizes Definidas Positivas 339
Exercícios MATLAB 351 Teste A do Capítulo 356 Teste B do Capítulo 356
35S
7.1 Números em Ponto Flutuante 359
7.3 Estratégias de Pivotamento 369 6.3 Diagonalização 285
6.6 Formas Quadráticas 326
6.8' Matrizes Não Negativas 345
7.2 Eliminação Gaussiana 362
7.4 Normas Matriciais e Condicionamento 374
7.5 Transformações Ortogonais 387
7.6 0 Problema dos Autovalores 397
Exercícios MATLAB 416
Teste A do Capítulo 421 Teste B do Capítulo 421
Métodos Iterativos %eb":
Apêndice: MATLAB 423
Bibliografia 435
Respostas a Problemas Selecionados 437
' Seções opcionais. Estas seções não são pré-requisitos a quaisquer outras no livro.
"' Web: Os capítulos suplementares S e 9 podem ser baixados da internet. Veja a se9ão do prefácio sobre Material Suplementar.
7.7 Problemas de Mínimos Quadrados 406
Formas Canônicas %eb"'
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Se o texto for usado no nível básico, o professor deve passar mais tempo nos capír '!-iniciais e omitir muitas das seções dos capítulos posteriores. Para cursos mais avançado-. uma rápida revisão dos tópicos dos dois primeiros capítulos e uma cobertura mais completa dos capítulos seguintes seriam apropriadas. As explicações no texto são dadas em detalhe suficiente para que estudantes principiantes tenham pouca dificuldade em ler e entender
o material. Para mais ajuda ao estudante, um grande número de exemplos foi resolvido integralmente. Adicionalmente, ao fim de cada capítulo exercícios computacionais dão aos estudantes a oportunidade de executar experiências numéricas e tentar generalizar os resul-tados. São apresentadas aplicações ao longo do livro que podem ser utilizadas para motivar novo material ou ilustrar o material já coberto.
0 texto contém todos os tópicos recomendados pelo Grupo de Estudos do Currículo
de Álgebra Linear (LACSG) da Fundação Nacional de Ciência (NSF) dos Estados
Unidos da América e muito mais. Embora haja mais material do que o que pode sercoberto em um semestre, pensamos que é mais fácil a um professor deixar de fora ou pular algum material do que suplementar um livro com material externo. Mesmo que
muitos tópicos sejam omitidos, o livro ainda fornecerá ao estudante um sentimento do objetivo geral da matéria. Além disso, muitos estudantes podem usar o livro posterior-mente como uma referência e em consequência aprender sozinhos muitos dos tópicos
omitidos.
Na próxima seção deste prefácio são oferecidas sugestões para cursos de um semestre tanto para o nível básico quanto para o mais avançado, não só com uma ênfase orientada para matrizes, mas também com uma ênfase ligeiramente mais teórica. Para maior ajuda ao professor na escolha de tópicos, três seções foram designadas como opcionais e marcadas com uma adaga (j ) no índice. Essas seções não são pré-requisitos para nenhuma das seções seguintes no livro, podendo ser omitidas sem qualquer perda de continuidade.
Idealmente, todo o livro pode ser coberto em dois semestres. Embora o LACSG
te-nha recomendado dois semestres de álgebra linear, isto ainda não é praticado em muitas universidades e faculdades. No presente, não há acordo geral em relacão ao níícleo de um segundo curso. De fato, se todos os tópicos que os professores gostariam de ver em um segundo curso fossem incluídos em um íínico volume, este seria um livro pesado. Foi feito um esforço neste texto para cobrir todos os tópicos básicos de álgebra linear necessários para aplicações modernas. Além disso, dois capítulos adicionais para um segundo curso estão disponíveis para ser baixados da internet. Consulte a página so-bre Material Suplementar após o prefácio para detalhes e veja a página da LTC Editora:
www. ltcedito ra. com. br.
Programas de Curso Sugeridos
Dois Semestres em Sequência: Em uma sequência de dois semestres é possível cobrir as 39 seções do livro. Uma flexibilidade adicional é possível pela omissão das três seções opcionais nos Capítulos 2, 5 e 6. Pode-se também incluir uma aula extra
demonstrando o uso do software MATLAB.
Curso Básico de Um Semestre
A. Um Curso Básico de Um Semestre
Capítulo 1 Seções 1-6 7 aulas m -" = - = := =scrita ã,.
='. : C" usada nas
Capítulo 2 Secões 1-2 2 aulas Capítulo 3 Seções 1-6 9 aulas Capítulo 4 Seções 1-3 4 aulas Capítulo 5 Seções 1-6 9 aulas Capítulo 6 Seções 1-3 4 aulas
Total 35 aulas
B. 0 Curso Orientado a Matrizes do LACSG: 0 curso base recomendado pelo Grupo de
eucli-ozlotupd tun tuo npnsn níos n180[ouoor nsso onb nopuatuoooi maulg nsqo8[y op 0[no+mg
op sopnrsg op odnlp p mvut[ nhqo5[n tuo ovknonpo v ovsuomtp nwou nitln Ioooulog o
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Matrizes e Sistemas de Equações
Provavelmente o problema mais importante na matemática é o da resolucâo de um sistema de equações lineares. Mais de 75% de todos os problemas matemáticos encontrados em aplicações científicas e industriais envolvem a resolucão de um sistema linear em algum estágio. Usando métodos modernos da matemática, é frequentemente possível reduzir um
problema sofisticado a um simples sistema de equações lineares. Os sistemas lineares
apa-recem em aplicações em áreas como negócios, economia, sociologia, ecologia,demogra-fia, genética, eletrônica, engenharia e física. Portanto, parece apropriado iniciar este livro com uma seção sobre sistemas lineares.
I. I Sistemas de Equat;ôes Lineares
é uma equação da forma b de b1 ct21xl + ct22x2 + ' ' ' + ct2 x = b2 - ==-= r«rio de b
:.— — "-,os publicados
— 2I- = ;=:rado brasileirox1 + 2x2 = 5 2x1+3x2 = 8 x1 — x2 + xs = 2 2x1 + x2 — xs = 4 x1+x2 =2 xt — x2 = l -~-- = . composto por 4 ctodo X1 é um sistema 3 X 2.
são todos números reais. Sistemas da forma (1) são chamados de sistemas incógnitas é portanto um sistema da forma
'p og>ag Bu aoaluoaB o?sr anb Jod soruaJag sapBprtrqrssod SBvlun sB ogs SBssg sao>n[os ap ollugur OJarunu iun no ogkntos mun alualuBIBxa no Jap asp ata 'alualsisuoo Jo) ag 'oBu smualsrs BJBd musaur B a ogDBnlis ~
soluod ap ollugul OJatunu run no oJaz
'Iun tualuoa og>ntos oluníuoa p 'Bquid musaiu B uJBIuasaJdaJ sao>Bnba SB SBqiuB no 'SBtat
oBs SBta 'oluod Urn rua UIBldaoJalui as SBquid sy :sapBpidiqlssod saJI Bq 'tBJa8 rug
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B UIBI
-uasaJdaJ (rrr) mualsrs ou sao>Bnba sBnp s~ orzm, a oghntos OIuntuoo nas a alualsisuooui
ap og>ntos oluntuoo mualsls op SBquld SBnp sy :--= UIU Jod '(8) -. b~nb OIUBIJod BpBUUO$ SIUBIJod 'saoA =- --'- -J '-x) aS ) =zx+ Ix p = Zx — IX (rrr)
smualsrs saJI so aJaprsuoo 'otduraxa
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Jod SBqult sBnp sg JaaualJad as aluatuos a as Brualsis op og&ntos Burn BJas ('x 'x) opBu -apJo JBd p 'ouBtd ou Bquq mun otuoa aluaiuBogBJ8 BpBIuasaJdaJ Jas apod og>Bnba BpBg
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tun ag og>ntos UlaI oBu muatsrs o 'sao>Bnba sB SBqtuB zBgsiIBS tBaJ OJarunu Urnquau anb Bí
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a<ap BpBuapJooa Bpunlas B anb sornas 'sao>Bnba sBJraiurJd sBnp sBu y = 'x as-opuBsít y Jas asp og>ntos JanbtBnb ap BpBuapJo BJialulJd B anb as-an8as og>Bnba BJiaoJaJ Btad
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s = (~) c + (~) z s = (~) z + (i) )
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anb Bt '(B) mualsrs op
ogkntos Biun a (Z 'y) opBuapJo JBd o 'otdruaxa Jod mua?sls op sao>Bnba SB SBpol zBgsllBS anb ("x '" 'x 'x) soJaurnu ap BpBuapJO Btdn-u mun a u X Ul muaIsrs UJn ap og>ntos y
Matrizes e Sistemas de Equações 3
-., r,...,x„)que . : ' é uma solução
quando estudarmos a forma linha degraus. Uma preocupação mais imediata é o problema
de encontrar todas as soluções de um problema dado. Para enfrentar esse problema,intro-3
sistemas equivalentes.
2xs = 4
é de fácil solução pois é claro das duas últimas equações que x, = 3 e x, = 2. Usando esses valores na primeira equação, obtemos
3x] +2 3 — 2= — 2 xt = — 2 parece mais difícil de resolver. Na
Para verificar isto, some as : --.o. 0 par
orde-~= — :-. duas linhas. Por
3x> + 2xz — xs = — 2 — 3x> — xz + xs = 5
3
deve satisfazer todas as equações do sistema.
duas primeiras equacões do sistema:Então, deve satisfazer qualquer nova equação formada pela adicão de duas de suas
equa-ções. Portanto, x, deve ser igual a 3. Similarmente (x„x,, x,) deve satisfazer a nova equação
3xt +2xz+ xs =
3x) + 2xz — xs = — 2 ponto, elas são
para---:=:t ~ solucão contém um,
2xs = 4
Portanto, qualquer solução do sistema (b) deve ser também uma solucão do sistema Por um argumento similar, pode ser mostrada que qualquer solucão de (a) é
tam-:e:-l. é facilmente
,ão deve ser 4.
x ~~=: :, ordenada deve
~mm~ ~. -= — -; ' ucão. Se um
formada subtraindo-se a primeira equacão da terceira:
e ~ r . :ão tem solucâo.
:= : sistema tem x ~= c = inconsistente, do : - .-tema consis-: .consis-: =consis-:=t-nte. devemos F: — :-ato ((-,0)) é o ~ -.~~e.=-. i ttão o sistema(ii) é
- -t:ma (iii)
represen-: sistema (ver Figura
—. Pode ser consistente ou -»~c.==-.-,: u um número infinito de
~tr :~:~ isto acontece na Seção 2,
Sistemas Equ~valertfes
Considerem-se os dois sistemas
3xi + 2xz — xs = — 2 3x) + 2x, — x, = — 2 — 3xi — xz+x> = 5
:a>ua[BAtnba muatsls
+ ~ Ir{I'DXI+ I'D)
wrlUD + + [X I /D
0 BA[osag g Qqggggg sao>Bnba sB sazgsttBS as a>ualuos a as
lD
urniD ~... y IXI!D
sao>Bnba
Iun Iatqo Bmd muatsts Iun Iua sBpBsn Ias Iuapod anb saooB~ado sast Bl[ 'olunsaI tug
sBnp SB BIBysltBS ("x ' 'x ox) B[dn-u B anbIod aaatuoaB 0>s[ [Butdtso oB atua[BAtnba
satua[BAlnba oBs 'An[os B otuBtJOJ
[ = sxy + 2x — Ixp— [ = Bxy + 2x — IXZ—
sBtuatsls so 0[dtuaxa usas Btuatsts oAou o 'OBDBnba Bz>no B opButos a OBDBnba Blun ap 0[dlt[ntu Iun ag
g = cx + 2X i Ix 9 = Exp y 2xp y Iras
Iod [But5IIO OB atua[BAtnba Bras muaists oAou o a 0B>n[os otuníuoa ou otlaya Bzat oBu 0>sl
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:sao>Bnba BslaaIat B a Bslatuud B as-tumuos 'OBgug c)=2X + Ixy
Matrizes e Sistema. d: E= =
:-=--A ordem em que duas equações quaisquer aparecem pode ser trocada.
Ambos os lados de uma equação podem ser multiplicados por um número real
diferente de zero.
Um múltiplo de uma equação pode ser somado a (ou subtraído de) outra.
o um sistema de equações, podemos usar essas operacões para obter um sistema que é
mais fácil solucão.
pelo restante desta seção. Vamos mostrar que se um
podem ser usadas
obter um "sistema estritamente triangular" equivalente.
se na k-ésima equação os
coefi-ntes das primeiras k — 1 variáveis são todos nulos e o coeficiente de x, é diferente de ...,n). 0 sistema 3xi+2xz+ xs = 1 xs=2 2xs =4 xz—
na forma triangular estrita, já que na segunda equacão os coeficientes são 0, 1, — 1, ectivamente, e na terceira equação os coeficientes são 0, 0, 2, respectivamente. Por
a da forma triangular estrita, o sistema é de fácil solução. Segue da terceira equação
xg 2=2 ou x,
do x, — 4, x, = 2 na primeira equação tem-se finalmente
3xi +2 4+ 2
x, = 2. Usando esse valor na segunda equação, obtém-se
xi
nto, a solução do sistema é ( — 3, 4, 2).
estritamente triangular pode ser resolvido da mesma forma
o último exemplo. Primeiro, a n-ésima equação é resolvida para obter o valor de x„. 1)ésima equação para obter x„,. Os valores de x„e
2)ésima equação para obter x„,' e assim por diante. Vamos nos
sabstitui-reversa. Resolva o sistema 2xi — xz + 3xs — 2' = 1 xz — 2xs + 3' = 2 4xs + 3' = 3 4x4 =4
'z — = 2x
c=rx 'y= <x
souralqo nssw,as oghnlllsqns v opuns~
0[ — = Bmalsls l?ppa p 2xg— Bmalsls 0 pA[osag g QgggggQ ([ 'p '[ — '[) a og>n[os n onlug — rx [ — = 2X p =Sx = j'x
as-malqo 'nssaAal ov&lnlllsqns opunsf[
GEGA[05 tuf[ o[nlldvg 9 021amIJd Q ê[ê 50 'asl?pua Ml?J amrrd np soluam
!
-.' n Bpnuolalpn a as 'oglug( = zmp'm B%ou Bssg
opunõês QU ~ê on op«1[OA =-. Olêlpn êg "s' = III ê5 = [ nyIunllP = UIn êluêUIsê[d O[UV~ 55$x sop saropw so ous soluama[a sofno soramnu ap g X g ofun1m mn muarsls ov mloossn somapod o[dmaxa omrl[n op sao>nnba ap vmalsrs o aluammou somnfa~
sx ——
Exp — 2xg—
:m[n8un111 aruamnllrlsa vmalsrs aluln8as o aluam[nug soma> 'onannba npun8as n
L
zang — — a onknnba nrlaozal vp muos n[ad npmlllsqns a mualsls assap ovknnba nllaasal v ag
[
z—
p[ — = Sxg — 2xg— =sx +2' +Ix
alua[Samba vmalsrs o somalqo 'saoonnba sulcou sessa
Sx +2XZ + lx
1od aluamnwllêadsas snpmllrsqns ovs vmalsrs ossou ap saoonnba nzlaaral v a npun8as v ag p — = Sx — 2X—
nla11non nrlaoIal np ur[ur[ nlramud v saza~ p opuln~lng
nlaIInon npun5as np nqur[ nrlamlrd n saza~ g opulnrlqng
GR&A]GQ
= CX i 2xg~rxp — Êxg 2X I x/
= sx i 2' g rx
( opin[os nalun mun vq onu anb Iua sosno sou
In[n8un111 aluamnllslsa muzoy n mualsls o IlznpaI [awlssod a ovu anb Or<1[ op og>as nmlxord
vu somara~) In[n8unul aluamvlrllsa a anb aluap~rnba mualsrs mn ~alqo mlual nrnd $$$ a $ sao&nrado sv as-mvsn 'snllu8ooul u v salnaul[ sao>nnba u ap mualsls mn opnp '[nla8 mg
Matrizes e Sistemas de Equaçõe 7
significa
sim-éUma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas — isto
é,sem=n.
Se adicionarmos a matriz de coeficientes uma coluna cujos elementos são os números no segundo membro do sistema, obtemos a nova matriz
eÍ 1 2 1 3 — 1 — 3 2' 3 1 3 — 1 4 '~--e as operações ~. i Veremos na
~:- — ente triangular r dessa forma, a matriz aumentada é denotada (AIB).
bii bl2 b22 b2, a» a12 a21 a22 al„ a2„ bl b2 b „
aml am2 ' ' ' amn
então b» bl„ ali a in (A IB) = b„l b, ami ' a
A cada sistema de equacões podemos associar uma matriz aumentada da forma al„bi
ali
wltrnzmi--- reswtctivamente por
„b
ami
0 sistema pode ser resolvido efetuando-se operações sobre a matriz aumentada. Os x, são Então, se
marcadores que podem ser omitidos até o fim da computacão. Correspondendo as três operações utilizadas para obter sistemas equivalentes, as seguintes operações sobre linhas
1 7
-: : t:iangular:
Voltando ao exemplo, verificamos que a primeira linha é usada para eliminar os
ele-pivô.
Para ênfase, os elementos da linha pivô são apresentados em negrito e a linha é sombreada. pivô. : =--=-: — .. Podemos associar ao dos x,: + — linha pivô 1 '' .:2
elementos a eliminar f 3 — 1 — 3
a„=3ea„=2f 2
podem ser aplicadas a matriz aumentada: ~ ~=rei a equacão e — — vez
mun[oê BJtêtulJd vp so[nu onu soluêtuê[ê stop so muttuh[ê @md sêzêA svnp vpvsn oghuê ê I[[ ogosJêdo y
I— 0 I 9 I I t' I — I — 0 [I (I = Irv oArd) 0AK[ uqUI[ — >
: [ vJês 0Atd oluêulê[ê o ê oAhd vquh[ v, vJês vquq nJtêtutJd nAOU ~ 'vpvtuêtunu ztJlmu vp suqut[ suJtêtutJd s@np sv, JmqtunêJêtut nmd [ on>nJ -êdo v sotuêJusn 'oAtd otuoo 0 optmsn sohuêtuê[ê Jênbsmnb Jvuttul[ê [êAtssod ê ovu ênb v['
t' I [ [ [ I I — [ — 0 9 0 : -- ~êg mun[ou ~êêêtmulJêd -:.u opljvc[êJ ê «I col Jv.uhtut[ê u
0AEd Pqut; ê vtuêlsts êlsê nJsd upvhuêtunv ztJlmu ~
08&A)0$ 0 opuêtuo CXZ — zx ~ Ixg cx y z' i IXZ = ~XZ ~ [ — = ~xp— 9 — tx ~cx yzx y lx BUlêhsts 0 JêA[osêg P Qgggg@Q
asJêAêJ ovhnhthsqns Jod vphiqo ê>uêtu[hov[ ê vulê>sts op o@An[os y 'put8IJO vtuêisls ov êtuê[vAhnbê ê ênb 'Ju[n8umJJ êhuêtuvttJtsê muêlsts o nJvd vpvluêtunv, ZIJtmu v. ê vssg
0 0 L — 0 I 2 I 0[— zr JIBIU L L—
v uloo sotuvzh[vuhg uqut[ uJtêoJê> vp optvJJqns ê ênb oAtd uqut[ up o[dhqnul o ê — =— êguêhoonb o ê L — ê oAtd o zêA visêg uun[oo upun5ês up otuêtuê[ê oulhqn o Juuttul[ê vJud [[I OHvJêdo u sotuvot[dv ê oAtd vqut[ oluoo vquq vpun8ês v sotuêq[oosê oluod êssê~
OAICI Bqul[ — +
ZIJ/vul 8 Illoo SotllvullllJêt 'o/lê/ ê o/SI 0 = >x ~ sx — zx
E
Opin/ 'vqut[ vJlêoJêi up vpmllqns ê p Jod vpuêt[dhqntu uquh[ vJhêtutJd v ê vquh[ vpun8ês up upmJ>qns y g Jod upuot[dlt[ntu uquh[ uJtêtulJd u 'I[[ suqut[ êJqos ov>uJêdo v opuvsg
ulg o[nhhdvg g -- =-.~ ttnbê muêl 0 ~ sptznpêJ ous Jluê OpttF[ ZlLId OIIIO. ~ ~ so[dlt[n[y EI— 9 I— I— I — 0 0 [ L— I L I
Matrizes e Sistemas de Equações 9
-~ — = é :ubtraída da m .x- =: —. i lha. Quando
Em seguida, a segunda linha é usada para eliminar os elementos na segunda coluna abaixo
1 1 1 1 0 — 1 — 1 1 2 0 0 — 3 — 3 6 I3 — 15
Finalmente, a terceira linha é usada como linha pivô para eliminar o último elemento da - = operacão III : o quociente : — :~amos com a 1 1 l 1 0 — 1 — 1 0 0 — 3 0 0 0 6 do elemento pivô — 1: 0 terceira coluna: 0 — 13 — 2
Esta matriz aumentada representa um sistema estritamente triangular. Resolvendo por
xmee~~ = = =.:uivalente ao
-=- =rsa.
pode ser restrito a forma estritamente triangular,
então terá uma única solução que pode ser obtida aplicando substituição reversa no sistema
1
passos. No primeiro passo, um elemento pivô é escolhido entre os elementos não nulos linha pivô.
Intercambiamos linhas (se necessário) de modo que a linha pivô é a nova primeira linha. 1 linhas restantes de modo a obter 0
No segundo passo, um elemento pivô é
esco-lhido entre os elementos não nulos da coluna 2 entre as linhas 2 e n da matriz. A linha
contendo o pivô é então intercambiada com a segunda linha da matriz e usada como nova
linhas restantes, de modo
a eliminar todos os elementos abaixo do pivô na segunda coluna. 0 mesmo procedimento
1. Note que no segundo passo a linha 1 e a coluna 1
permanecem inalteradas, no terceiro passo as duas primeiras linhas e as duas primeiras
colunas ficam inalteradas e assim por diante. A cada passo as dimensões totais do sistema são reduzidas de 1 (ver Figura 1.1.2).
Se o processo de eliminação pode ser efetuado como descrito, chegaremos a um
sis-1 passos. Entretanto, o procedimento
::. ~ pis ô. usaremos a ope-— =-curada. A nova primeira
X X X X X X X X X X X X X X 0 x x x 0 x x x 0 x x x Passo 1 a ptvô 0 x x x 0 0 x x 0 0 x x Passo 2
=:- :- ::is elementos não nulos da t
0 0 0 x x 0 0 0 x Passo 3 x 0 0. x x
'satlmtsuoo ovs Tq a 'q 'TTT "m apuo 9 — zxg Txt [ — zx + Txg ç = 'XZ — 'x (<)
:smualsrs satutn8as sop run spso velos'
zq = zx y Ixzrrr— Tq — Zr g TXIITT—
C
I
muloI sp mualsrs run ops([
9 ç—
ssslaTTal saohlurtsqns ssnp oplmtnoara srodap a ç x g npntuaurnu zlrtntu mun lua os>sunur[a n opussn
I [ E — t' (v) z- t (a) 6 = cx[T p zxg p Tx Ex + zxç + IXZ I = SXZ — zrZ y Ir Z — = cxtT + zxg + Ir cx + zxç + IxZ = TXZ — zrZ+ Ix
[ ()
g= zr'~ Ix— [ = zx + Ixnpn1uatunn zrllvur vp nqull upun8as vp otualua[a ollalulld o opusulrurla 'atuarusaustlnur
-rs ssluatsrs so soqlun swlosag sotlaltp sopu[ sal -uala)rp smu 'saluarogaoo ap zglvru musalu s rual
9 — = zxZ + Ixt— C = 'x — 'XZ (a) z = Zx — Ix ç = zxg + Ir[z y= zx +- IxZ = zr'+ Ir[T [ — = zx + TxZ spruatsls srop sQ 9 = I'xg + cr + zxg + 'XZ I [ = Zx — Ir 9=>XZ+cx +zx y Tx g = ~x[z — exp+ Ixg + x— I + Ix
+'-', (>)
— cx< yzxZ I ZI = cr- + zrZ C [ — =EXZ yzx z [ — = CXZ + zx — IxZ = I'xy I — = I'XZ+ cx— Z =Rr — zx +TXZ— p =cx pzrZ~Txy Q) = TxZ — cx + zxg cxç y zxç y Ix9 cxç + zr' + Tr[z (a) Ix— crg + zrZ + g = zxt, + Ir-,' ra + xtT (o) Txz (v) [=cx — zxZ+I ' I OV53S VG SVN31803d
u g ru apuo 'u >< ul smualsts tua svpnsn
p = ~x + sx + zx
(a)
cx +. zr
ntaqtunl ovas sn[g 'onoas mtttxold mt snpupnlsa anis snu18ap ap smnlog sussg upnosa no snulBap.ap smulog sn[lao u mualsts o ltznpal a uwllmtlal[u v 'aoaluoou olst opunnQ 'p n stun81 ovs oTCtd oluatlla[a nlud sut[[oosa stawlssod sn sapo[ 'ossud lanbpnb Iua 'as vlm[[uI
()g
sr?Tualsts sTop so vTC[osag 'g
soaqtuatu sopun8as sou atuapuodsalloo
sun[oo npvo vmd sslw,al onhnrttsqns v, atnoaxa a n apuodsalloo anb saoonnba ap mualsts o malosg .ç:sspstualunv sazrllvru saturn8as svp mun spso
'g Blua[qold op snluatsls
sop lun npso umd spvluatunv zrltmu mun nwalosg
[z = Zrt — IXZ— (u)
saoln[os ap olarunu o atuaumolltalu
-oa8 auruualap a sm[ur[ sup oognl8 o aovlt 'vuralsrs
vpso smd onu[d ou vqur[ mun oruoo oyhsnba npso
. [ mua[qold op svuralsrs z= sxz p = sxy — I'x [ = <XZ — >x + cx[T [ = sx + I'XZ — cx + zxZ (p) 6= xg ç = cr p zxZ 9 = zxZ
:sao>suba ap smualsts satuln8as sop
ataldlatur 'svuralsts saturn8as sop run npso Tug
sop Iun vpvo vmd saluarogaoo ap ztllvtu n nwalosg 'Z
Z — zxg rx
11
Mostre que o sistema terá uma única solução
se m1 4 m2.
Mostre que se m, = m, o sistema só será con-b, = con-b,.
(c) Dê uma interpretação geométrica das partes
(a) e (b). Considere um sistema da forma
onde a», a», a„e a» são constantes. Explique
por que um sistema dessa forma deve ser
consis-tente.
Dê uma interpretação geométrica de uma equação linear a três incógnitas. Dê a descrição geométrica dos possíveis conjuntos solução para um sistema
linear 3 X 3,
~ ~< . o pivô são tguats ,x ~ :.:~as de degraus ou
Elas serão também
a»xt + a12x2 = 0 <21xl + a22x2 = 0 x3 — I x3=3 — — X2. X2 + — 2x2 + 3x3 — — 7
l.2 Forma Linha Degrau
a formaestri-tamente triangular. Entretanto, este método falhará se, em qualquer etapa do processo de
EXENPLG l Considere o sistema representado pela matriz aumentada
+- linha pivô 1 1 1 0 0 I 0 0 3 1 I 3 2 2 4
Se a operação III for usada para eliminar os elementos não nulos das quatro últimas linhas
1 1 1 1 1 2 0 0 2 2 0 0 I I 3 0 0 1 1 3 ~ linha pivô x = — I
Nessa etapa, a redução a forma estritamente triangular se interrompe. Todas as quatro pos-redução, todas as possíveis escolhas para o elemento pivô em uma coluna dada forem 0.
da primeira coluna, a matriz resultante será
síveis escolhas para o elemento pivô na segunda coluna são 0. Como proceder a partir daí? Já que nossa meta é simplificar o sistema tanto quanto possível, parece natural passar ã
1 I 1 1 0 0 1 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
=3-rsa para cada coluna
é-.= ~1==- — do: membros.
O'XL~ =~=
x1+ 2x2 — 2x3 = 9 2x; + >x2+ x3 = 9
.r1+ 3x2+ 4x3 — — — 2 Na quarta coluna todas as escolhas para o elemento pivô são 0; assim, nos movemos nova-terceira coluna e eliminar os três últimos elementos:
mente a coluná seguinte. Se usarmos a terceira linha como linha pivô, os dois últimos
- =. — er..uma matriz aumentada 3 X 5 duas substituições reversas.
forma
b, b,
—. - eb- são constantes, entes. mas
diferen-.- — ms os sistemas si-~c»2 primeiro elemento
: = mentada
1
— 2 — 2
elementos na quinta coluna são eliminados e terminamos com a matriz — 1 0 0 1 1 — I 1 — I I 2 1 I 1 0 3 — 4 — 3
'V,IUQtSIS
o nmd onkn[os vtun y (g 'p 'tt 'p 'y) otuntIod ~ 'y = 'x o g = 'x 'g = 'x ovtuo 'p
= ~x — 'x as 'o[dluaxa Iog 'og>n[os volun vtun vlaAnq 'x a 'x v soplnqpm scxopA ap
md vpvo vmd 'og[uq 'x o 'x 'x snttu8oout seu m[n8untxt otuvluwttItsv y (Z) vtuvtsls p
g=sr
tx- = sxp ~ Ex
~x — zx — [ = <x + <x + lx
muatsts o soluotqo '([) Iuo OIqluvtu opun8as o nmd SOEI[
Sl?tip Ogs
'onknpsI op ossoaold ou snpnttAo snun[oa sn sotuopuodsosloo 'sotungsaI spAvtmA s~ st@d
-loutId sloAvlmA sn ogs 'x a 'x 'x 'ogtug .stDduuud stawvuDA vp svpvluvqo optas vptznpvI
zutmu vp vqut[ npno tua so[nu onu sotuotuop SOItoluud sou satuapuodsolloo swAvtmA sy
g=sx
p = ~xp + I'x + sx
[ = cr y i x g cx y zx y tx
'soo>nuble
svlptutld S~It sn tuszugstms anb sv[dn-ç sv svpot ~p otun[uoo o nlas ogkn[os otun[uoo o 'ontug n[dn-ç nnb[vnb Iod svtpgstms onns nptznpvl vlUIog np soo>nnbo snlutt[n s@np s~
0
nvI8op nuuog vu npvtuvtunn ztImtu n nlvooulog on>np' op ossaooId o o@tua
IUOO SollImtolul Qs O[dlIlQXQ 2od '0$UQ/SISUOO BUldtsls Uln I~iqo n opolu
op 'o[dulsxo otutl[n op vtu~tsls op olqtuotu opun8os o sotuspntu onb elos soluvquodng
vtuvtstsuoout y muotsls o 'soo>nnba svsso Iunhngsltns onb sn[dn-ç vq ogu oluog g — = exp + lxp + Exp + zxp + lxp
y — = sxg p I'xp p sxp p zxp p txp
ogs sequt[ smult[n snnp svpd snpntucsv~daI sco&vnba sy
' [ @nb Iomtu Ias opod nnI8op tun @ind [ntuoztloq
vm8m[ n sum '[ y nnI8vp Iun nmd pottlvA vpvnb n anb oto~ vpvosv vtun vp vmtrutso n
tunolput satuotogooo op ztItmu n nmd o[unsm ou smottloA o stntuozlloq sotuvtu8@s so '.m[ -n8umIt atuatuvtlItso mulog nu ntsv orou solunulluxot pnb v uloo saguatogvoo op ztxmtu ~
tu+ O[nlldBQ 0 E 0 [ t' [— t' 0 0 0 0 [ 0 0 [ [—
13
forma IIM,a degrau
Se o P™iro elemento não nulo em cada linha não nula é 1
Se a linha k não consiste inteiramente de zeros, o número de zeros iniciais na linha k + I é maior que o número de zeros iniciais da linha k.
Se há linhas cujos elementos são todos nulos, elas estão abaixo das linhas con-tendo elementos não nulos.
EXENPILQ 2 As seguintes matrizes estão na forma linha degrau.
- — c.— — =isiente.
1 3 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0
'ltimo exemplo, de
EXEHPLQ 3 As seguintes matrizes não estão na forma linha degrau.
0 1 0 ' 1 0
A primeira matriz não satisfaz ã condição (i). A segunda matriz falha em satisfazer a con-dição (iii) e a terceira matriz falha em satisfazer a concon-dição (ii). R
au
Definigão 0 processo de usar as operações sobre linhas I, II e III para transformar um sistema
elimina-qão gaussiana.
Note que a operaqão sobre linhas II é necessária de modo a normalizar as linhas de
modo que os coeficientes iniciais sejam todos 1. Se a forma linha degrau da matriz
aumen-tada contém uma linha da forma - ~=~ : .- ;u:r S-upla. Então,
-:=-=~ as três primeiras
o sistema é inconsistente. Senão, o sistema será consistente. Se o sistema é consistente e
as linhas não nulas na forma linha degrau formam um sistema estritamente triangular, o
=, cada linha da matriz
ão as variáveis princi-= -~ princi-=o processo de redução,
:t=rirmos as variaveis
se há mais equações que incógnitas. Sistemas
(2) EXEHPLQ 4 Resolva cada um dos seguintes sistemas sobredeterminados.
ente
triangu-sistema terá uma única solução.
(mas não sempre) inconsistentes. i~ m =:c,icicntes indicam
~ ne~:- = l. mas a largura
lK' $ I@i 4
'4" ú.
'='- - . :- = :.=. Então, para cada par . Por exemplo, se x, = x, =
— ". " . 3 i é uma solução para o
ia) xi + x2 — — 1 xi — x2 = 3 — xl + 2x2 = — 2 1 4 2 1 2 3 0 1 3, 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 4 6 0 3 5 0 0 4 xi + 2x2 + xs = 1 2xi — x2 + xs = 2 4xi + 3x2 + 3xs = 4 2xi — x2 + 3xs = 5 xi 2xi 4xi 3xi +2x2+ xs=i x2+ xs =2 + 3x2 + 3xs = 4 + x2+2xs=3
zx9 0 — I = x — xZ— xZ'0 = zx 0 0 0 0 0 0 :(o) muaysíg UIn
íuutuIog spíznpaI zugmu vp svInu ovu svquq sv, anbIod uoíun y ov9UIos y (g'I 'í'0 — 'I'0) oyknIOS mun o>uoum>nIío um~ (q) I.un>sís o onb soíuuoguv~ 'vsIowoI OI.DIn>1>sqns opuusg
:(q) mus>síg
I I
'(I'Z I SIU81g Ioc) sI,'quII sgI1 sn soluooua>Iad
soguodnq ouu'ou>ug o>uodassoIodvssud ovuuquIIsIIOOIoíI. 'oyuu>aI>ug (I — 'p) o>uod ou Iuu>daoIatuí os svquII suIIoIUIId sunp s~ ouvId ou suquII IuvIuvsaIdoI (1.) víuaísís ou
soo>vnbo sexo s~ 'o>uo~sísuoouí o muo>sís o onb I.píznpoI zII>mu sp vquII muíqn up vs-on8og
0 0
0 :(u) muogsíg
JQAQIoso SOUIQpod 'Og)ug 'SmuQ/SIS
svssvp UIn npso op ov>np@I su soímípoIUIo>UI sossI.d so Iíuíuo soumssod anb @md og>uu -Iíuíp op ossoooId o Iuoo opuzímIIIIuug cluaíua>uvíogns m>sv vwop IogoI o I.'IníIu e>so Iff
GPSAJG$ tuII oIUIIdag 0 z 0 0 0 0 0 I 2 I 0 0 0 I 0 0 0 I
15
Segue-Se que O OOri)unlO SOlucãO é O OOll)uni dê 1OdOS OS (êmOS OrAêlladOs 6ã (nrmâ
(1 — 0,6n, — 0,2n, n) onde n é um número real. Este sistema é consistente e tem um número infinito de soluções por causa da variável x,. 8
::wesso de elimi--~ .== cada um desses SuMetetmina6os 1 1 — 1 1
se tiver menos
equa-Embora seja possível a um sistema subdeterminado ser
inconsis-tente, eles são em geral consistentes com um número infinito de soluções. ¹o é possível a um sistema subdeterminado ter uma única solução. A razão para isto é que qualquer forma linha variáveis
m ) 0. Se o sistema for consistente,
pode-mos atribuir valores arbitrários ãs variáveis livres e resolver para as variáveis principais. Então, um sistema subdeterminado consistente terá um número infinito de soluções.
= :~..n=-istente. As três equações — ::-= linhas se interceptam no
iam- ~~i= ~oto. Então, não há pontos
EXENPLG 5 Resolva os seguintes sistemas subdeterminados
0 0 0 xi + 2xz + xq = 1 2xi + 4xz + 2xq = 3 xi + xz + xq + x4 + xs = 2 x) + xz + xq + 2x4 + 2xs = 3 xi + xz + xq + 2x4 + 3xs = 2 ~= e~atamente uma solução
iiru == niatriz reduzida formam
Evidentemente, o sistema (a) é inconsistente. Podemos considerar as duas equacões no
1
sistema (a) como representando planos no espaço tridimensional. Em geral, dois planos se
0 0 0
0 ~j 0
1 1 1 1 1 I 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 — 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 2 3 2 Sistema (b) :0 sistema (b) é consistente e, já que há duas variáveis livres, o sistema terá um número infinito de solucões. Em casos como este é conveniente continuar o processo de elimina-ção e simplificar ainda mais a forma da matriz reduzida. Continuamos eliminando até que todos os elementos acima de cada primeiro l sejam eliminados. Então, para o sistema (b)
continuaremos e eliminaremos os dois primeiros elementos da quinta coluna e o primeiro
elemento da quarta coluna, como se segue: .
1 1 1 1 0 0 0 1
6
Se pusermos as variáveis livres no segundo membro, segue-se que
xt : 1 xz xq
xs = — 1
interceptam em uma reta, mas neste caso os planos são paralelos.
'mun>sis op soo>nlos ous (v 'v 'v — 'v) uuuoy np snldn-t sn
sapos'ogyug v ='xale — ='x'v = 'xov>ua'v lsazoxomnusonbp.nbspm8i'xsom~ozgag
0 0 0 0 I— QP&AJGQ 0 = >x — <xZ — ~x — <xZ 0 = >x — <x — zx p Ix[ 0= ~xg~ sx — zx~ ~x—
muaysls o ~ocioso~ nmd uvp~og — ssneg op os5npoz v os[l
ap opmunqo y vplznpvz nvs8op vqull rumor' nu z[umu
mun muuoysuvxt smd ssqull ozqos somtuomop soo5nsodo vp oekezill>n op ossaoosd g
vplznpcs nm8ap nqull muzog vu ovgsv svzls~mu sayuln8vs s~
sglp y vyrmqnsoz vplznpoz
zás>mu y sopa>uv oldmaxa op (q) mus>sis ou omoo 'opnulunlo op[s aqui> I ozuurpd npvo op mulov soguomap so sopop onb gav, ouonulunp op ossooo~d o mnuiyuoo y ogspud opuser
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vldn-g v 'g o u smaz sorveu xonbsivnb smd 'ov>ug
gl 1?plznp93 I — I — I nu>8op Bqull 81ILlog nvz8op Qquq BUUOI 0 0 0 0 C I 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 I — 0 0 8 I 0 + I I— t — I 0 8 f' — f'....:9 I — I I— 0 0 0 0 0 0 0 0 2 I 0 I I 0 0 0 I 0 0 8 t — t 0 I — I I I 0 0 0 I 0 0 0
Matrizes e Sistemas de Equaçõe 17
Na região central de certa cidade, dois conjuntos de ruas de mão única se interceptam como mostrado na Figura 1.2.2. 0 volume horário de tráfego entrando e saindo dessa região durante a hora de pique é dado no diagrama. Determine o volume de tráfego entre cada
SQIUQRQ
Em cada interseção, o número de automóveis entrando deve ser o mesmo que o número uma das quatro interseções.
saindo. Por exemplo, na intersecão A, o número de automóveis entrando é x, + 450 e o
xi + 450 = xz + 610 (interseção A)
Similarmente
B)
x3 + 390 = xa + 600 (interseção C)
D)
e:ento não nulo em sua
A matriz aumentada para o sistema é
~~e ~a- para transformar uma
número saindo é x, + 610. Então
-e Gauss — Jondan.
0 sistema é consistente e, já que há uma variável livre, há muitas soluções possíveis. 0 diagrama de fluxo do tráfego não fornece informação suficiente para determinar x,, x,, x, e
610 A 640 620 xs B 600 Então, todas a. — :- =-= livres, o procedi-: -mentos acima de
~i itr; ===- : anterior. A matriz
0 1 C 0 0 1 3 0 0 0 0 3 : :0 8 ':, .0 5 , '0 0 0 9 f) — 1 0 forma linha 1 0 degrau 1 — 1 0 reduzida 1 — 1 0 0 0 1 — 1 0 0 0 1 — 1 — 1 0 0 1
A forma linha degrau reduzida para esta matriz é 1 0 0 — 1 0 1 0 — 1 0 0 1 — 1 0 0 0 0 160 — 40 210 — 330 330 170 210 0
«:Og ZLttvtu "."Uili&SIICPIII3Q 'EM2 í :Iv,LYLII 2 ons — Z .Iiot 0/5 OJQ L : =: SSUI21SIS U' I 0+ SBIII3$SIQ Jotsisíu uti I ii IPU2 yIot JQ Z g l ewl15lg stjQA O ZLJ17lII VISQ stuqo Q k ~~id 2P2J g Vpun82s VI2d OIt = OIr+ 'x = 'x g= =- =-OU12InOPg 2s21d21 I 2puo OLE = OLI y x = z OCS = OCC y vx = tx .—, mp2nb sy tu+ 01ntT(kg g$ =. UIIILI212Pqns is/ sn?noto 2P ' : 02tt28iOHIoq g Ill 02U
( I g) „stnu y stttstu mun op o8uot os saosuat sa sspot op souqy8ts sinos y„:otuoo atuotusa~duns spmounua y u[ spun8as v, sotttytq vnmttuo5uq op smtsiotq stst,
, onsu21 2p snp2nb sn snpot 2p Uopq28p Utuos u pn8t 12s 2wop ousu21 2p soquu8 so sopot 2p uotsq28p ntuos U 'Upmp2g UqIUIU 12nbpnb 2p o8uoI oy 'p
:sn1821 s21utn82s sn snpnsn ous 's21U21102 sv IUUIIU1212p UIUd
U12s Up v Usas,ut ou&21tp U tu21 otun1 2ss2u 21U2110o U 2nb Uogtu8ts otst 'Uwttn82U Iog 'I 'oIdtu21t2 1od 's21U21100 snp Utun 'otuntu2 ou '2g 's21U21100 sup on&21tp U umotput sn12s sis s212dutn tu2 snptp2tu ous s21U2110o s~ sou so 211U2 s21U2110o sv ulntu2s21d21 I so 2 sou umtu2s21d21 sn112I sy' 'stuqo tu2 suptp2tu ous sntou21stsa1 sIz v8uoI sptu palt12< Uquq UI2d opntu2s21d21 2 2nb UI12pq Up punu121 op Ittmd U tng 21U211oo y 21U2tloo mun znpoId 2 U81no v. Utu2IUIIv. 2nb (stIO< tu2 Uptp2tu onsu21 U tuoo) mt2tnq mun @128 UI2 2 onsu21 2p 21uog y
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tu2 otuUI Upno tu2 2tu2110o 2p 2pnptsu21ut 0 IUUIIU1212p I2<tssod 2 'Uot112I2 2p21 mun tug
x 2 'x 'x mInopo sotu2pod 10pit 21s2 opunsII 'OOp = 'x 082gn11 2p pto1
o 2s 'oIdtu21ta rod opUInopo 21U2IUItong 12s m12pod s21unts21 sm1211U snu 082gytt o 's2o>2s oplo2quoo 2ssoy 082yu11 Op OtunIO~ o 2$ Uoowtun nuuog 2p 'x
Matrizes e Sistemas de Equações 19 " ~= =.Mquer par de
inter-=-'.. Por exemplo, se o
i-~ ~ — - ::a em média, então E =iR
lt — lp + ls = 0 — li + iz — is = 0
(nó A) B) Pela segunda lei
em cada ramo em
ut=: — -'pico é mostrado na
4it + 2iz = 8 (malha superior)
2iz + Sis = 9 (malha inferior)
1 — 1 — 1 1 4 2 0 2 1 — 1 0 5 0 0 8 9 — 1 1 0 0 1 0 4 3 1 0 0 0 0
- r-rc.e ~ode fluir
das correntes saindo.
.= == 'odos os ganhos de tensão
"A soma algébrica. de todas . - ~::- em volts) que alimenta a
~te6a que é representado " - =: -=w=-. As letras representam
=~== ~a- z adidas em amperes. As for
ersa a da seta.
de Ohm,
a resistência em ohms.
Calculemos as correntes na rede da Figura 1.2.3. Da primeira lei temos
A rede pode ser representada pela matriz aumentada
Esta matriz é facilmente reduzida a forma linha degrau
1, i, = 2 e i, = l.
se as constantes no segundo
mem-bro são todas zero. Os sistemas homogêneos são sempre consistentes. Achar uma
solu-ção é trivial; é só fazer todas as variáveis iguais a zero. Então, se um sistema
homogê-tem uma única solução, ela deve ser a solucão trivial (0, 0, ..., 0). 0 sishomogê-tema4 incógnitas. No caso
) m haverá sempre variáveis livres e, em consequência, soluções não triviais
adi-cionais. Este resultado foi essencialmente provado em nossa discussão sobre sistemas subdeterminados, mas por causa de sua importância, nós o enunciaremos como umteorema.
de equações lineares tem uma solução não trivial
sen > m.
Um sistema homogêneo é sempre consistente. A forma linha degrau da
matriz pode ter no máximo m linhas não nulas. Então, há no máximo m variáveis
prin-) m, deve haver algumas variáveis livres.~~s. ba r. Somar :optznpo Jd p = I'xp[— Q — OX9 Exp I x + lxp () = >x9 :='UQDQ r!MQtsts oo m0 3 opl?I — "=-ptp™ V ~ ~ on3rnq<Jlsrp
P =-nIoo vpun8os
oo 8 JrQmrJd p 9pzl~9glx / Epsx ~ pzgzx / EpglxuríI olntrclsg I)p puvzsg sopd
~a"=.Inuvm seq SOJrOPUQZBg
' ~[rznpoJd svd
~'pIznpo JcI suoq
~~ op JopL?ttu98 :.'trova oIopom =ãif~IqoJd Q ~~ vp r!mQlsls 0 :@roo y or.tsonb " soivJd so anb :npqul
alutn8vs uu optmnsoJ y opvlInsoJ p 'somsom sep o sol,solJS so OJlua oluomIvn8t apl.'iam UJtno v ap@,tp o SOJropuazug som sudnoJ sup apuram U v8aJluo sndnoJ oputznpoJd odnJ8 u ODJal mn opuv8vJluc 'sodnJ8 soJJ so @Jlu~ ~lu~mIvn8r suoq so m~pt~rp
sonsotJU sp .(g) SOJpJntsoo scopo~l sor. OJJenb mn o ~) sonsalJU sou olnpoJd op otJnnb
mn mu8aJlua a olnpold nos op vpvlam mvpJvn8 (y) SOJtopuazr.g so anb uotpur UJU8tg ~ l.orlvJd r.u r.uotoung nlnmJvd vp vmalsrs o omoo uotput I p I vJn8rg vu opr,luctJO ogvJ8 o anb vtIuodns ~ 'vtuomv~ttoadseJ 'g
~ py g Jod sodnJ8 soJl so mlouop somr~ sopvlnmJvd mvívs sohwJvs v seq so sopol anb a r,malsrs r.rIual o@u oqgl I, cluvmImorur vnb vs-vttuodng .Svluomrtsow op vJnlsoo o
m~8r.'poial o 'sotItsuoln o svluoml.'xny ~p v Jnluynuum 'm Jr,'no@d o r,'JnlInorJ8l. ': Sooor.dnoo so Jt
ma maquadma as oqgl @mn op SOJquum so mtttmrJd opnporoos mun mo onb as-urIuodng
9P«g9g / zP9 + — Pzg9+ zPg9
vmJog e muol on>r.nb' e a 9 = 'x = 'x = x outua 'I = 'x somJazg as 'JvInotlJsd mg
I x9 — Êx = Ex — tx
a aJwtI pal,'IJr,'~ vmn a 'x anb sotuuogtJa~ 'pnsn umJog uu muolsts o somJ~~IOSOJ
og 'sowtlv8ou onu SOJplut meus saJopw soíno ( x 'x 'x 'x) soo&nIOS Jl.'Jtuoauo somr.sro
-oJd 'ovounba u moouvpq vmd stulwrJt orou soo>nIOS met emalsrs o I Z I mu~Jo~d. Opd
oouo8omorI mautI umalsts o os-mylqo 'svokunba sq Jl sr.p SOJqmam so Jromr Jd so I.J[d snprxom unJog sp~nrm~ sn supor og
@nb ostoaJd y 'otuq8OJpttI o maouupq uJud 'aluomIuug v
onb ostoaJd p 'oruo8txo o moouupq UJr.d 'atuomJvItmtg
vnb ostoaJd y ouoqmo ~p somolu IX9~ cx' = zxy lxp
so Jv~our.I@q I.JUd 'sns mytuoo osootI8 l. o omoln mn myluoo ouoqJr.o op optpcotp o ~nb r,í ou>cnbb up SOJqmam stop sou somsvm so muíos otug8tlco o otuy8OJprtI 'ouoqmo ap somolu
ap SOJamnu so anb opom ap 'x o "x 'x "x JatIIooso somvsro~Jd 'onknnb~ v mooul.pq rad
muJog vp y on>vaJ vp vvrmmb
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QQ)pgíI3$
r.molsrs o vmd ou&nIOS I,'mn utI svJwrI srowyrJUw
Matrizes e Sistemas de Equações 21
~ ~ : .cão de valores ãs
R
~: 5- para converter dió---. :-ê o (0,). A equação
A primeira coluna da tabela indica a distribuição dos bens produzidos pelos fazendeiros, a segunda coluna indica a distribuição dos bens manufaturados e a terceira coluna indica a distribuição das roupas.
A medida que o tamanho da tribo aumenta, o sistema de permuta fica muito
desajei-tado e, em consequência, a tribo decide instituir um sistema monetário de troca. Para este sistema econômico simples, supomos que não haverá acumulação de capital ou dívidas e que os precos dos três tipos de bens reflete os valores do sistema de permuta existente. A questão é como atribuir valores aos três tipos de bens para representar de forma equilibrada o sistema de permuta corrente.
0 problema pode ser transformado em um sistema de equacões lineares usando um modelo econômico que foi originalmente desenvolvido pelo economista Wassily Leontief, ganhador do Prêmio Nobel. Para este modelo vamos considerar xy 0 valor monetário dos
bens produzidos pelos fazendeiros, x, o valor dos bens manufaturados e x, o valor das rou-pas produzidas. De acordo com a primeira linha da tabela, o valor dos bens recebidos pelos
fazendeiros equivale a metade dos bens por eles produzidos, mais um terço do valor dos bens manufaturados e metade do valor das roupas. Então, o valor total dos bens produzidos
1 1 1
pelos fazendeiros é — x + — x + — x . Se o sistema é equilibrado, o valor total dos bens 2' 3' 2'
produzidos pelos fazendeiros deve ser igual a x„o valor total dos bens produzidos. Então temos a equação linear
- = :, ~ :.:~c que os números de . > ;: n:=- membros da equação.
=-cr= — ==is. para balancear os
-- :-- u.ês equações, obtém-se
1 1 1
— xt + -xz+ -xs = xt
2 3 2-— ' ~-. :=-== balancear a equação,
pre-inteiros não negativos. Se ~ —. = ~a variável livre e
= — ; :. equacão toma a forma
— : H-0
=:= áe uma tribo se empenhem em entas e utensilios, e tecelagem
=- = ~ c ~ não tenha sistema monetário
M e
. =- ~,=-ura 1.2.4 indica como o sistema
:ie:-=e de seu produto e entregam um
:=-==iões costureiros (C). Os artesãos =::e.-ando um terço a cada grupo. 0 aos fazendeiros e divide a outra
9 E I 0 0 (q) t r 0 I 0 (8) I 0 0 [ 0 0 0 0 I 0 0 [ 0 (p)
c E I 0
0 0 0 0 u) 0 (>) 9 t' I I I I 0 0 0 0 0 (o) 0 C I 0 0 (P) 0 0 0 0 (q) I E I I 0 0 () ()z-oJruooua 'og>n[os sotun mun Jo~rr vrrlorsls o og oruorsrsuoo y aruapuodsaJJoo Jsorrl[ sruarsrs o os onbrpur 'osso spso rug neJ8ap vquq ntuJog nu onrso Jrn8os v svpvtuotuns sozurmu sy
Z'I OV03S VCI SVW31803d
'9 o[nrtdl?g pp g op.SQQ
vu 'opm) stmu oqptop JomLu tua sopnpn)sa ogJos gotrupaq ap so[apptu sp sapunJ8 prrntu
sotuour[ smuotsts v tuaznpuoo o smJisnpur op samq[ttu tuo~[o~ua snuJopotu soo¬[dn s~
sportuoupoo smuo>sts sop onsuooJdtuoo v med srnruoumpung pgs garrupaq op sp[apotu sp
'ggottuoag ap vpms — spvJtua ap ppuqoog o[apoLu op o[dtucxa tun y so[dtuts vtuorsrs otsg
IT1 Lun . p
t-0
0 o sopmqrJlv,
Jos tuawop 'x a 'x 'x stcwvtmtt sn anb os-on8og '(g 'g 'g) ap so[dtqnru so sopot tuo otstsuoo
[nJo8 ouon[os u o (y 'g 'g) pron[os n sotuo[qp 'g = 'x opuozng 'x oJ~r[ p~nrm~ mun v[[
0
0
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0 0
P y ntuoists urso nJnd npnructunn zr JtvLu vp nptznpoJ nu Jap vqut[ ntuJpg y
— 2x — +T y 2x-'— 2 + 2x — + [x t' I [x2 I 0 0 0 0 C — [
0= <xv
I gx 2 r 0 0 0 I 0 0 0 [oouo8otuoq muotsrs tun oLuoo snrtJosooJ Jos tuoppd sookvnbo sess'
sx = sx- + 2x — + rx-t' 5 t' [ [ [
'Sgr' :
: = =op opin[os olun:,=„-,--~'zllpBJ nBJoop HL~ ==~usurnr. sczrJrsrrl =- . x cr +. 2x — + tx-[ tx-[ 0 0 t' 0 0 0 I — I
p&subo vpun8os v sptuorqo 'spvsorJv.
sopd spptqaooJ a soptznpoJd suoq so ppuvcounpq o npqnr np vqut[ npun8os n opunsg
rrr~ o[nrldvg I 0 0 0 t I 0 0 I [ 0 0 I — I 0 Z Z — I 0 0 0 0 I 0 0 t' 'Z — I j,P.PIZ
-npoJ nuJ8op squl[ muJog vu ogtso slsnQ r' ns Jap vquq muJog su ou[sc sozrrtvur sotutn8os ssp srs'
1 — 1 3 0 1 2 0 0 1 0 0 0 x( — xq + 2xs — — 4 2x> + 3xz — xq — 1 7x( + 3xz + 4xs — — 7 7 2 0 xt + xz + xs + 2x( + 3xz — xs— 3X(+ 2xz+ xs + 3xt + 6xz — xs— x4=0 x4=2 x4 =5 x4 — — 4 I 0 0 0 I 0 0 0 1 — 2 5 3 x( — 2xz = 3 2x(+ xq= 1 — 5xt+ 8xz =4 1 4 0 2 0 0 1 3 0 0 0 1 1 — 3 0 0 0 1 0 0 0 2 — 2 0 0 0 1 3 4 1 5 — 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 6 0 0 0 1 0 2 0 0 1 — 1 0 0 0 0 xt — 3xz + xs — — 1 2xt + xz — xs — 2 x( + 4xz 2X3 — 1 5xt — 8xz + 2xs = 5 x( j xz= — I 4x( — 3' — — 3 (c) x( + xz + xs = 0 x( xz xs — 0 (b) 2x( — 3xz = 5 — 4X(+ 6xz = 8 xz — — 9 x(+ xe=0 x(+3xz=0 x( — 2xz — — 0 x( + 2xz — xs = xt — 2xz + 2xs = I xt + 2xz + xs — — 14 t + 3xz+ xs —— 1 ( j xz + xs = 3 t + 4xz + 2x; = 4
matrizes aumentadas a seguir estão na forma
degrau reduzida. Em cada caso, encontre o
nto solução dos sistemas lineares
correspon-s.
cada um dos sistemas do Problema 3, faça lista das variáveis principais e uma segunda
das variáveis livres.
cada um dos sistemas de equações seguintes, eliminação gaussiana para obter um sistema alente cuja matriz de coeticientes está na a linha degrau. Indique se o sistema é
con-te. Se o sistema é consistente e não envolve
veis livres, use substituicão reversa para obter ução única. Se o sistema é consistente e há veis livres, transforme-o para a forma linha
u reduzida e obtenha todas as soluções.
Matrtzes e Ststemas de Equaçoes 23
x, + 2xz — x, = 2 — 2x(+2xz+ xs = 4 3X(+2xg+2xs = 5 — 3X( + 8' + 5xs = 17 x( + 2xz — 3x; + x4 —— 1 x( xz j4xs x4=6 — 2x( — 4xz + 7xs x4 — 1 x( +3xp jxs j x4=3 2x( — 2xz + xs + 2x4 = 8 xt — 5xz + x4=5
Use a reducão Gauss — Jordan para resolver cada
um dos seguintes sistemas
x(+3xz+ xs j x4= 3 2xt — 2xz + xs + 2x4 = 8 3x( + xz + 2xs — x4 = — 1 x( + xz + xs j x4 = 0 2x( j xz — xs j 3X4 = 0 x( — 2xz + xs + x4 = 0
uma interpretação geométrica de por que um sistema linear homogêneo com duas equações a três incógnitas deve ter um número infinito de soluções. Quais os possíveis números de solucôes Dê
uma explicação geométrica para sua resposta.
8. Considere um sistema linear cuja matriz
Ix«v p — Zrírv ~ Ixllv sv j ~xg + IXZ + tx zxg + IXZ+ IXZ + ír lxz Ix— (q) lxz p= rx— (e) B[oqv1 21urn8os íx + <XZ+ íx 'lr ~~alap '[? DBDBoqdy BN Dptop = (el v) :?awssaoau DBs DIU28pxo (snonu
op Ovlpvd opvptun vurn i
odUJDo sop lun vpBo ap
Oouttu 28221 ípN 0 Q=tr/+ rxg [[ = zxg y lxg (q) Ozi OLi' Opi ozi' tu() 0[nttdBO DIU280J1IU ap Oplxotp ~I moa BpBurquroo 2 mu oru =- :N) Díuo8011)U 'OBDB2J
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Z X Z muo[sts op OB>n[os v ('2 '2) Bíog
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sozoA svnp vsloAol ovhntrtsqns v opuBtnooxo 2 (p)y) vpBtuournB zutBIU mun op Bprznpol nBJ8op BI[In[ Bnu' v opuBtndruoo svtuatsts so soqum vA[osol
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-un8os so oprmlodloour sBIUatsts so soqluB BA[osol
somoug smuotsts so sopBg j 21U21
(q)
Zsaokn[os ap ottugut ololunu
2 Bp
py
Zsookn[os op o1rugut anbt[dxg
Bllllog vp 2 Bp
-viuaurnB zr Jtmu Bfno Jvoug muoisrs tun olaprsuop
BJBd (B)
(q) (I?)
I. ovon[
16 vo1ts 2 ohms 2 ohms (c) g volts 4 ohms 5 ohms
Mostre que, para qualquer número real n, o par ordenado (Rcy Acp) também é uma solução. Na Aplicacão 3, a solução (6, 6, 6, 1) foi obtida
fazendo a variável livre x, = 1.
(a) Determine a solução correspondente a x4 = 0. Que informação, se alguma existe, dá esta solução a respeito da reação química? A expressão "solução trivial" se aplica a este
caso?
(b) Escolha outros valores para x4, tais como 2, 4
ou 5 e determine as soluções corresponden-tes. Como se relacionam estas soluções não
triviais?
19. 0 benzeno líquido queima na atmosfera. Se um objeto frio é colocado diretamente sobre o benze-no, haverá condensação de água no objeto e tam-bém se formará um depósito de fuligem (carbono) sobre o objeto. A reação química para esta reação
é da forma
xtCsHs + xzOz ~ x;C + x4HzO
Determine valores de x„xz, x, e x~ para balancear a equação.
3). 0 ácido nítrico é preparado comercialmente por uma série de três reações químicas. Na primeira reação, nitrogênio (N,) é combinado com hidrogê-nio (H,) para formar amônia (NH,). Depois, a amô-nia é combinada com oxigênio (Oz) para formar e água. Finalmente,
reage com parte da água para formar ácido quantidade
de cada um dos componentes é medida em mols fuma unidade padrão de medida para reações quí-micas). Quantas mols de nitrogênio, hidrogênio e oxigênio são necessárias para produzir 8 mols de
ácido nítrico?
1. Na Aplicação 4, determine os valores relativos de x] xg e x, se a distribuição dos bens é descrita na seguinte tabela
Matrizes e Sistemas de Equações 25
para
[)
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29 — — = ::zespondentes sao A+0 = 0+A =A A+ ( — 1)A = 0 = ( — 1)A+ A plicacão de cada — A=( — 1)A j) é na,, (2)
~i.~i: :-=e seus elementos Ax= b
é amatrizm X
3xi + 2xq + Sxs = 4
Se fizermos
xl
A= 3 2 5 e x=
9 = -:t ~ subtraindo-se cada ele- e definirmos o produto Ax por
l
b
')
3
Se 0 representa a matriz, com as mesmas dimensões de A, cujos elementos são todos 0,
Ela age como identidade aditiva no conjunto de
então
tem uma inversa aditiva. É claro
E costume denotar a inversa aditiva de A como — A. Então,
Temos ainda de definir a operação mais importante: a multiplicacão de duas matrizes. Boa
que
parte da motivação por trás da definicão deriva das aplicações a sistemas lineares de equa-ções. Se temos um sistema de uma equação linear a uma incógnita, ele pode ser escrito na
como escalares; entretanto, eles poderiam ser
tratados como matrizes 1 X 1. Nosso objetivo agora é generalizar a equação (2) de por uma simples equação matricial da
forma
é um vetor de incógnitas em Zl' " e b está em R"'. Consideramos
Caso 1. Uma Equação em Várias Incógnitas
Inicialmente examinamos o caso de uma equacão a várias variáveis. Considere-se, por
xi
forma
primeiramente o caso de uma equação em várias incógnitas.
exemplo, a equação
Ax= 3 2 5 xz =3xi+2xz+Sxs
Então, a equacão 3x, + 2x, + Sx, = 4 pode ser escrita como a equação matricial
Ax=4
a (g) sao>nnba ap lnaul[ nmalsls o oglua
[X[ulu
(s)
"Xuzu ~ .. ~ 2X«u ~ [X[2V
ux"Iv i ~ zxz[v y Ixrlv
omoo xy olnpold o somllugap a
2 MV [ ZUV ux
2.22 V 22 [V
somlazlg as 'HIlsszr[ 'Bmarsrs 0P OrlallP 0PB[ 0 PruasalcIal
anb [ >< m zlllmu smn a q a 'smludoaur [ >< u zrlrmu nmn a x 'oplaaquoa a ("v) = y pnb nu
[Blarllnm
ov9nnba mun omoa 'a o1sr — (Z) s m[rmrs smlog mun ma (g) nmarsrs o lawalasa Iaws[asap g Ml[ 22X™V + . + ZXZMV + [X[MV
Cq — uxuzv ~... ~ zxzzv ~ Ix[zv q — UXurV g... ~ ZXZ[V ~ [X[[V
u >< m lsaur[ mualsrs mn 1,108@ as-alaplsuog
sn1[u5oaug ~ e saobnnb-ZI ~ 'Z org ap opmu
-nqa sazaw sslrnm a og>nol[drl[nm ap odrl arsa 'aluamaluanbasuog lnposa mn a slrallp s nun[oa lolaw mn lod nplanbsa s nqul[ lolaw run ap os>nar[dhr[nm np oper[Usai o anb as-arog
ol?Iua
t 6 — I 2 =y
as 0[clHIaxa Jozl
"x"v+ + zxzv+ [x[u = xy
lod xy olnpold o somlrugap a
zv soUllazlg as UIQ O[llhldBQ Qf Ullss+ "=. pn81 a anb Ia oHIlsa-I 0 olnpold p (g) smn npng zq [q zx Ix zzv 12v 2[v I lu
Matrizes e Sistemas de Equações 31
a uma matriz m X n e um vetor x em R", é possível computar um produto Ax por produto Ax será uma matriz m x 1, que é um vetor em R". A regra para determinar
<in<n x. Ax= x
A= 5 3, x=
4xt + 2x2 + xs 5xt + Sx2 + 7xs — 3 2+14 2 2+5 4 4.2+2 4screva o seguinte sistema de equações como uma equação matricial da forma Ax = b: Sxt + 2x2+ xs = 5 xt — 2x2 + 5xs = — 2 2xt + x2 — Sxs = 1 S 2 1 1 — 2 5 2 1 — 3 atx a2x X1 X2 xs X1 X2 xs — 2 24 16 5 mo elemento de Ax é Ax= — 2 1
t+ 6+
ou>uo g o[dhuoxg ou y = x a g = x p : x sohuhah[[oosv sou ag y gqggggg
uohox rod zphmu ap oyknoh[dkh[nhu ap oh.hu -@ap e ohuoo hvauh[ og5vuhqhuoo ap opor>uvsahdaa vhsv huvsn pm sou h[ sun8[~ y op nun[oo
op sohoiax sop mouh[ on5nuhqhuoa mun a xy ohnpohd o onb (9) oh,onnbo vp os-on8ag
sx+ zx+ hx
[h.pphvhu on5nnba mun ohuoo ohuas~ hás apod 9 : sxp + ~x/ — ~xg
g = exp — zxg+ hxZ
Q 5 Qgggg@g
hehx
BLUJQJ h:P [PhoUhBhu
og5nnba mun ohuoo (y) saoonnbv vp muagshs o hv>uasohdah sohuapod 'n[nuuog nssv opuvsg
g . p zn~x p Iuhx = xy sohu0$ 'op/Ug l hg zlp hXhw~ ~x"zp ~... ~ zxzr~ y hxhZp ~xul~ + ~ Zxzhg + hxl l~
h.un[oo s~hoha~ op muos mun ohuoo xy ohnpohd o hoxahoso y
[mopgnhu oy5vnbv mun ohuoo (g) hnvuh[ muahshs o mhuasvhdah op mhhnuhvh[v muhog mn[[
