Apostila de Cálculo 1

1° Trim. 2° Trim. 3° Trim. 4° Trim.

B A C

( x , y )

-2 . . -3 . -1 0. . 0 .2 3. . 6 A B y x

fog(x)

R

+

log

seno

cosseno

8

α , β

MATEMÁTICA

2º Grau - Supletivo

2º Grau - Supletivo

Isabel Cristina Machado de Lara

tangente

expoente

Grandeza Escalar:

Quantidades que podem ser definidas completamente por um único número

real (magnitude, módulo) e com uma unidade de medida adequada (cm2, m3, cm, g ou s) são

denominadas de grandeza escalar, e o número correspondente é um escalar. Exs.: comprimento, área, volume, temperatura, massa, energia e tempo.

Grandeza Vetorial:

Quantidades que além da magnitude, ou módulo, necessitam também de uma direção e um sentido para serem completamente definidas são denominadas de grandeza vetorial e são representadas por um segmento de reta orientado, chamado de vetor.

Exs.: velocidade, força, aceleração, impulso, deslocamento

VETORES NO PLANO

O perímetro do retângulo ao lado, fica completamente definido quando são especificados o seu módulo (14) e sua unidade de medida (centímetro).

Se um móvel se desloca de um ponto A para um ponto B, não basta afirmar que o móvel deslocou-se 10m. é necessário que além da distância (módulo), seja informada a direção e o sentido em que ocorre este deslocamento. No

exemplo temos o vetor ABcom módulo = 10m, direção de

60º com a horizontal, no sentido de A para B. Podemos ainda nos referir ao sentido horário e anti-horário.

Na figura ao lado, as retas a e b tem a mesma direção e sentido, já as retas c e d tem a mesma direção, porém sentidos contrários.

Podemos representar qualquer ponto do espaço por um vetor nulo que é representado por 0. E a todo vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto –v, que possui o mesmo módulo, a mesma direção, e o sentido contrário.

Representação no plano

Exs.: Represente no plano cartesiano abaixo os vetores: u = (3, 4), v = (-2, 1) e w = (-6, -2):

Um vetor não parte necessariamente da origem, sendo definido por dois pontos. Neste caso, podemos encontrar o seu vetor posição. Infinitos vetores possuem o mesmo vetor posição.

Exs.: a) Encontre o vetor definido pelos pontos A(-2, 3) e B(4,5), represente o vetor definido pelo

segmento orientado AB e o vetor posição AB:

b) Encontre o vetor posição definido pelos pontos P(-3, -1) e Q(5, -3), represente-o geometricamente: Os pontos A (x1, y1) e B (x2, y2) determinam o vetor AB, tal que:

Operações com vetores

Sejam o u = (x1, y1), v = (x2, y2) e k ∈ R, definimos:

a) Adição de vetores

u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

b) Produto de um vetor por escalar

ku = k(x1, y1) = (kx1, ky2) Exs.:

1) Sendo u = (2,3) e v = (4,1), encontre o vetor w = u + v e o vetor z = u – v e represente-os geometricamente.

2) Dado o vetor u = (4, -2) determine o vetor v = 3u e o vetor z = 2 1

u e represente-os geometricamente.

Observação: (STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987)

Temos como propriedades da adição e da multiplicação de vetor por escalar:

Igualdade entre vetores

Dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são iguais se e somente se x1= x2 e y1 = y2, dizemos que u = v.

Exs: 1) Os vetores u = ( 2, 5) e v = ( 2, 5) são iguais.

2) Calcule o valor de x e y para que o vetor u = (x+3, 6) seja igual ao vetor v = (7, 2y -4):

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

1) Determine x para que se tenha AB=CD, sendo A(x,1), B(4,x+3), C(x, x+2) e D(2x, x+6).

2) Determine a extremidade da seta que representa o vetor v = (3,-7), sabendo que sua origem é o

ponto A(2,1).

3) Sendo u = (2,3), v = (-1,4) e w = (-2,-1), represente graficamente os vetores:

a) u + 2v b) – u c) u – v d) 3u – 2v + w e) – u – v + 2w

4) Dados os vetores u = (2,-1) e v = (1,3), determine um vetor w tal que:

a) 3(u+w)−2(v−w)=0

b) 1₂

[

3(_u+_w)−4(_v−_w)

] [

=5_u−3_w+4(3_v−2_w)

]

5) Dados os vetores u e v, determine os vetores z e w tais que:

Respostas:

1) x = 2 2) (5, -6)

3) a) (0,11) b) (-2,-3) c) (3,-1) d) (6,0) e) (-5,-9)

4) a) (-4/5, 9/5) b) 1/117(138, 365)

Produto escalar

Módulo de um vetor

Vetor Unitário

u

Exs.: Calcule o ângulo entre os vetores u = (-2,-2) e v = (0, -2)

Propriedade do Produto escalar

Aplicações

Vetor Deslocamento

Se uma partícula move-se de um ponto A(x1, y1) para um ponto B(x2, y2), o vetor AB,

AB = (x2 – x1, y2 – y1) é chamado vetor deslocamento da partícula.

Resultante

Lembre-se:

cos

α

cos

α

1 ₁ .cos

α

u x u x hip catadj _{⇒ = ⇒ =} = y

α

α

y u sen

α

u y sen hip catopo sen 1 . 1 ⇒ = = ⇒ = y1 α x1 x Logo a resultante é: = (2,2088;4,6213) Calculando o módulo de F, encontramos:

que é aproximadamente igual a 5,12.

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

1) Dados A(2, y) e B(3, 3), determine y para que o módulo do vetor AB seja igual a 5 .

2) Dado B(3, 4) e sendo |AB| = 2, qual é o valor máximo que a primeira coordenada de A pode

assumir? E o mínimo?

7) Calcule a resultante das forças aplicadas ao ponto O da figura abaixo, sabendo que |F1| = 3,

|F2| = 1 e |F3| = 2.

Respostas:

1) y = 1 ou y = 5 2) valor máximo: 5 valor mínimo:1

3)       = 5 24 , 5 18 ) 4 , 3 ( 5 6 ) a b)− 5(−1,2)=( 5,−2 5) 4) k1=-1/4 e k2 =7/4 5) a) (1,2) b) (0, ½) c) (5/3,3) d) (-17/5,-23/5) 6) (7,-1)=(4,-4)+(3,3) 7) _       ₋ 2 3 3 , 2 3 2 3 = (-0,2321;2,5981)

Paralelismo e Perpendicularismo

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

5) Verifique se os pontos A (2,7), B(2,-6) e C(5,-6) são os vértices de um triângulo retângulo, se for calcule em que vértice?

6) Sendo A (3,1), B(-2,2) e C(4,-4) vértices de um triângulo, podemos afirmar que esse triângulo é: (A) Equilátero.

(B) Isósceles e retângulo. (C) Isósceles e não-retângulo.

(D) Retângulo e não-isósceles.

(E) N.d.a.

7) São dados os pontos A(2,y), B(1, -4) e C(3, -1). Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B?

Respostas:

1) a) 14 b) 57,53°

2) Mostre que u.v = u.w = 0

3) a) 5 (1,2) ou - 5 (1,2) b) x = 2 ou x = -2.

4) Aˆ ≅74,75°≅ 74°44’41”, Bˆ≅57,53° ≅ 57°31’43”e Cˆ ≅47,73°≅ 47°43’48” 5) Retângulo em B.

6) C 7) - 14/3

Funções

Uma função de uma variável x é uma relação que associa a cada valor de x um único número y, f(x), chamado de valor da função em x.

Em outras palavras: Se uma variável y depende de uma variável x, de tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de variável x.

A variável x é chamada de variável independente. O conjunto de valores que a variável independente pode assumir é chamado de domínio da função.

A imagem da função é o conjunto de valores y que a função assume. O número real y é o valor da função f no ponto x, ou imagem de x pela f, e é representado também por f(x).

Conceito

Sejam A e B dois subconjuntos não vazios do conjunto de números reais

ℜ

. Chamamos de função real f de A em B a qualquer regra ou lei que associa a cada x∈A um único número y∈B.

f(2) = 0⇔(2,0)∈f f(3) = 1⇔(3,1)∈f f(4) = 3⇔(4,3)∈f f(5) = 3⇔(5,3)∈f Dom f = A Im f = {0,1,3}

Exemplos 2: Os diagramas abaixo representam relações entre dois conjuntos A e B. Verificaremos porque

cada um deles representa ou não função de A em B.

Exemplos 3: Dentre os gráficos abaixo, justifique porque cada um deles representa ou não y como função de x. a) y b) y c) y d) y 0 x 0 x 0 x 0 x e) y f) y g) y h) y 0 x 0 x 0 x 0 x Justificativas:

a) Não é função, pois existe valor de x associado a dois valores distintos de y.

b) É função, pois cada valor de x está associado a um único valor de y.

c) Não é função, pois o valor de x associado a infinitos valores distintos de y.

d) Não é função, pois existe valor de x associado a dois valores distintos de y.

e) É função, pois cada valor de x está associado a um único valor de y.

f) Não é função, pois existe um valor de x associado a dois valores distintos de y.

g) Não é função, pois existem dois valores de x associado a infinitos valores distintos de y.

h) É função, pois cada valor de x está associado a um único valor de y.

As funções que iremos estudar serão definidas em geral, por fórmulas algébricas.

Nosso objetivo principal é analisar situações-problema que encontramos no nosso cotidiano ou no âmbito de nossa profissão e conseguirmos transcrevê-las da linguagem natural para uma linguagem matemática, para uma linguagem simbólica. Trabalharemos com situações que apresentam dependências entre duas variáveis, x e y, e podem ser expressas por diferentes modelos algébricos, ou seja, diferentes funções. Desse modo, o nosso objetivo é encontrar o modelo matemático que melhor representa uma situação proposta.

Vamos resolver algumas situações-problema onde aplicaremos o conceito de funções. Em cada uma dessas situações encontraremos um modelo matemático que expressa a dependência entre as variáveis envolvidas através de diferentes tipos de funções.

Exemplo: Quando dizemos que o volume ocupado por uma massa constante de um gás, em condições de pressão constante, depende unicamente da temperatura do gás, queremos dizer que conhecida a medida da temperatura T, podemos determinar o seu volume V, através do modelo matemático V = kT.

O modelo V =kT , onde k é uma constante, define V como função de T , pois dado o valor da variável independente T , existe, em correspondência, um único valor para a variável dependente V.

As funções de uma variável podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos e fórmulas. Observe o exemplo a seguir.

A tabela abaixo, construída experimentalmente, apresenta a relação entre pressão e volume de um gás ideal numa certa temperatura.

P(atm) 1 2 4 5 8 10

V(L) 40 20 10 8 5 4

Observe que a cada valor de V esta associado um único valor de P e vice versa. Portanto, podemos pensar numa função de V em P ou numa função de P em V. Na físico-química, considera-se P com função de V, sendo então V a variável independente e P a variável dependente.

Nota: As tabelas são importantes porque com frequência é a forma como as funções aparecem. Esta mesma função de V em P, poderia ser dada através do gráfico abaixo.

Notas:

a) A variável independente V não é uma variável discreta e sim uma variável contínua, pois assume valores numéricos num intervalo e não em valores isolados.

b) Através do gráfico podemos perceber propriedades globais rapidamente, por exemplo: domínio, imagem, velocidades de crescimento e decrescimento, etc...

Outra forma de apresentar esta função de V em P é através de uma fórmula. Da tabela,

P.V = 40 portanto, a função pode ser dada pela equação V

V P( )= 40

Nota: As fórmulas são exatas e sujeitas à análise.

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

Valor Numérico

1) Sendo f( x) = 3x - 2, calcule f( 2 ):

2) Dada a função f(x) = -2x + 5, calcule:

3) Se f(x) = x² - 4, determine o valor de f( -2) - 3 f ( 3 ) + 2 f(3):

4) Encontre a imagem de 2, na função f( x ) = x³ - 3x² + 4x - 5 :

5) Seja f a função cujo domínio é constituído por todos os números reais e que é definida pelo modelo matemático f(x) = 3x3- x2 – 3x +7. Encontre:

a) f(2) b) f(-2)

6) Encontre os valores do domínio para que a função f(x) = 2x2 – 12x – 6 tenha imagem igual a 8:

7) Encontre os valores do domínio para que a função f(x) = 3x2 – 6x – 4 tenha imagem igual a 20:

Respostas:

1) f(2) = 4 2) a) 7 b) 5 c) 4

3) 13 4) -1 5) a) 21 b) -15

6) x = -1 ou x = 7 7) x= -2 ou x = 4

Domínio de uma função real na variável x

1º tipo ⇒

Função RACIONAL INTEIRA EXEMPLOS:

a) f( x ) = 5x - 2 b) f( x ) = x ² - 7x - 11

Dom f(x) = ... Dom (f) = ...

2º tipo ⇒

Função RACIONAL FRACIONÁRIA EXEMPLOS: a) x x f( )= 1 b) 12 3 5 2 ) ( − − = x x x f c) 4 3 3 ) ( ₂ + − − = x x x x f

3º tipo ⇒

Função IRRACIONAL EXEMPLOS: a) f(x)= x b) f(x)= 2x+6 Dom f(x) = ... Dom f(x) = ... c) 4 3 15 ) (x x f = − d) 3 2 8 ) (x x f = − Dom f(x) = ... Dom f(x) = ... e) 2 5 3 ) ( − − = x x x f f) 18 3 2 10 ) ( + − = x x x f Dom f(x) = ... Dom f(x) = ...

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

1) Seja a função dada por f(x) = 2 x 1 x2 + − − . Determine f(-1), f(0), f(1/2) e f(-2).

2) Encontre os domínios das funções abaixo:

a) f(x) = 5 b) f(x) = 2x – 1 c) f(x) = x2 + 2x d) f(x) = x3 + x2 + 2x – 1 e) f(x) = 3 x 1 − f) f(x) = 5x 7 1 x 2 + − g) f(x) = 6−3x h) f(x) = 2x−4 i) f(x) = 3+ x j) f(x) = x x 3− k) f(x) = x 3 x − l) f(x) = 2 ) 2 x ( 1 + m)f(x) = 4 x 3 x 2₋ + _{n) f(x) =} 2 x x 4 3 x 2 + − o) f(x) = 3 4 x 1 − p) f(x) = 5_2x−1 q) f(x) = 4 x 4 2₊

3) Em um carro que comporta até cinco passageiros, a despesa com a gasolina será dividida entre o número de

pessoas que efetuará uma viagem. Se a despesa com gasolina é R$ 45,00, organize uma tabela que relacione o número de passageiros do carro e o valor a ser pago por cada um. Encontre uma lei que relacione essas variáveis.

4) A tarifa de uma corrida de táxi em determinada cidade é composta de duas partes: uma parte fixa

chamada bandeirada e uma parte variável que corresponde ao número de quilômetros que o táxi percorre. Sabe-se que a bandeirada custa R$ 2,80 e o preço por quilômetro rodado é de R$ 0,80. Expresse o preço y a pagar em função do número x de quilômetros rodados.

RESPOSTAS 1) a) -2 b) -1/2 c) -1/2 d) NE 2) a) IR b) IR c) IR d) IR e) IR - {3} f) IR } 5 7 {− − g)(−∞,2] h) [2,+∞) i) [0,+∞) j) (0,+∞) k) [0,+∞) -{9} l)

IR

−{−2} m)

IR

−{−2,2} n)

IR

−{1,3} o)

IR

−{4} p) IR q)

IR

3) x 45 y= , x

∈

{1,2,3,4,5} 4) y = 0,8x + 2,8 Exemplos: a) f(x) = 2x3 – 5x2 + 4x – 1 (polinomial de grau 3)

b) f(x) = 2 – 5x2 (função quadrática, polinomial de grau 2) c) f(x) = 3x + 1 (função linear, polinomial de grau 1) d) f(x) = – 5 (função constante, polinomial de grau 0) e) f(x) = 0 (função constante, não se atribui grau) f) f(x) = 2 1 x 5 x . 2 3 x 2 2 4 + − − (polinomial de grau 4) Notas:

a) Uma função polinomial y = f(x) tem a forma f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2...+ an , com a0, a1, a2,....,an∈IR e n∈{0,1,2,...}.

b) O domínio de uma função polinomial y = f(x) éIR, pois existe o valor da função para cada x∈IR.

FUNÇÃO POLINOMIAL

0

Situação-problema: Em uma microempresa, o custo total mensal com gastos com funcionários, energia

elétrica, telefonia, água, aluguel e demais demandas é de R$ 6.200,00. Represente numa tabela o custo em cada mês e encontre um modelo matemático que represente essa situação, na forma de equação e de gráfico.

Conceito:

Função constante é uma função definida por f(x) = c, onde c é um número real. O gráfico da função constante é uma reta horizontal que corta o eixo das ordenadas em c.

Exemplo: f(x) = 3

Dom f = IR

Im f = { 3 }

Toda função polinomial representada pela fórmula matemática f(x) = mx + b ou y = mx + b, com m

∈ ∈∈

∈ R, b ∈∈∈∈ R e a ≠≠≠≠ 0, definida para todo x real, é denominada função do 1° grau.

Na sentença matemática y = mx + b, as letras x e y representam as variáveis, enquanto m e b são denominadas coeficientes.

Uma função linear é uma função que muda a uma taxa constante em relação a sua variável independente.

Formalmente, diz-se que se m e b são ≠ 0, temos uma função afim, e se b = 0 , essa equação se reduz a y = mx definindo a chamada função linear. No entanto, mesmo existindo uma diferença entre função afim e linear, os matemáticos costumam usar apenas a designação de “função linear” para ambos os casos. Isso se justifica pelo fato de que, em qualquer um dos casos, o gráfico dessas funções será sempre uma reta.

Temos que:

m é a inclinação, ou taxa de variação de y em relação a x.

b é a intersecção vertical, ou o valor de y quando x é zero ( b é o termo independente).

Uma função f é crescente, quando x1 > x2 temos f(x1) > f(x2).

3 y

x

FUNÇÃO CONSTANTE

Uma função f é decrescente, quando x1 < x2 temos f(x1) > f(x2).

O gráfico de uma função crescente sobe à medida que se desloca da esquerda para direita. O gráfico de uma função decrescente desce à medida que se desloca da esquerda para direita.

Exemplo 1: Numa festa o preço da cerveja é de R$ 4,00 e a entrada custa R$ 15,00.

a) Encontre o modelo matemático que representa o custo total em função do número de cervejas compradas. b) Construa o gráfico dessa situação.

c) Quanto será gasto se forem compradas 5 cervejas?

d) Quantas cervejas foram compradas se o custo total foi de R$ 43,00? e) Encontre o domínio e a imagem nesta situação.

f) Classifique a função em crescente e decrescente.

Exemplo 2: Uma máquina foi adquirida por R$ 18.480,00. Sabendo que seu valor se deprecia R$ 840,00 ao

ano:

a) Encontre o modelo matemático que representa o valor da máquina em função do tempo. b) Construa o gráfico dessa situação.

c) Quanto a máquina valerá daqui a 13 anos?

d) Em quanto tempo a máquina perderá totalmente o seu valor? e) Encontre o domínio e a imagem nesta situação.

f) Classifique a função em crescente e decrescente.

Cálculo do coeficiente angular – taxa de variação

Dados os pontos P1 (x1,y1) e P2 (x2,y2), com x1≠ x2, o coeficiente angular m da reta que passa por estes pontos é o número real.

Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo α que a reta faz com o eixo das abscissas. Portanto, pode ser visto como a inclinação da reta, sua declividade. 1 2 1 2 x x y y m cente catetoadja to catetoopos tg m − − = ⇒ = =

α

Ex.: Situação-problema: Para estimular pessoas a usarem o sistema de transporte solidário, o departamento

de trânsito de uma certa região metropolitana ofereceu um desconto especial no pedágio para veículos que transportassem quatro ou mais pessoas. Quando o programa começou, há 30 dias, apenas 157 veículos obtiveram desconto durante o horário matinal de maior movimento de carros. Desde então, o número de veículos com direito ao desconto aumentou a uma razão constante. Hoje, por exemplo, 247 veículos receberam desconto.

a) Encontre um modelo matemático que represente o número de veículos com direito ao desconto, em cada manhã e represente graficamente.

b) Daqui a 14 dias, se essa tendência se mantiver, quantos veículos terão direito ao desconto?

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

Respostas na p.22

1ª Situação-problema: Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma fixa, no valor de R$ 100,00 e outra variável que corresponde a uma comissão de 6% do total de vendas que ele fez no mês.

a) Encontre um modelo matemático que represente o salário do vendedor e represente graficamente. b) Qual será seu salário se as vendas totalizaram R$ 1.250,00?

2ª Situação-problema: A capacidade de uma caixa d’água é de 1.000 litros. Estando totalmente cheia, precisou ser esvaziada para limpeza. Para isso, uma bomba, que retira água à razão de 40 l/min, foi acionada.

a) Encontre um modelo matemático que represente o volume da caixa d’água e represente graficamente.

b) Após 15 minutos, quantos litros de água tem na caixa d’água?

c) Quanto tempo a bomba teve que ficar aberta para que o tanque ficasse com 200 l? d) Em quanto tempo a caixa ficou vazia?

3ª Situação-problema: Numa cidade existem duas empresas de telefone. Na empresa A a taxa mensal custa R$ 23,00 e cada minuto falado custa R$ 0,86. Já, na empresa B a taxa mensal custa R$ 35,00 e o minuto falado custa R$ 0,56.

a) Encontre um modelo matemático que represente o preço pago a cada empresa.

b) Represente graficamente utilizando um mesmo plano cartesiano.

c) Analisando a situação descubra a empresa mais vantajosa e justifique a sua resposta.

4ª Situação-problema: Carlos recebeu três ofertas de emprego. No local A, receberá como salário mensal 10% sobre o total das vendas efetuadas no mês; no local B receberá salário fixo de R$ 350,00 e mais 5% sobre as vendas do mês e no local C receberá salário fixo de R$ 600,00.

a) Sabendo que Carlos estima vender R$ 6.000,00 mensais de mercadorias, qual oferta lhe será mais vantajosa? Justifique sua resposta.

b) Sabendo que Carlos não tem estimativa o valor que conseguirá vender, qual oferta lhe será mais vantajosa? Justifique sua resposta.

5ª Situação-problema: Em uma determinada localidade, uma empresa de táxis A cobra a seguinte tarifa: bandeirada R$ 2,00 e R$ 2,00 por km rodado. Uma outra empresa B cobra R$ 3,00 por km rodado e não cobra bandeirada. Determine:

a) Uma lei de formação (função) para cada uma das empresas;

b) O gráfico de cada uma destas situações, no mesmo plano cartesiano;

c) Qual é a empresa mais vantajosa para o passageiro? Justifique sua resposta a partir dos coeficientes.

6ª Situação-problema: Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de 100 u.m. mais 50 u.m. por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de 80 u.m. mais 60 u.m. por hora de trabalho. A partir de quantas horas de trabalho o encanador A é preferível ao B?

7ª Situação-problema: Suponha que a função C(x) = 20x + 40 represente o custo de produção de um determinado artigo, onde C é o custo (em reais) e x é o número de unidades produzidas. Determine:

a) O custo de fabricação de 5 unidades produzidas.

b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 1.200,00?

c) Os valores de x para os quais o problema tem interpretação gráfica, ou seja, o Domínio da função. d) O gráfico da função.

8ª Situação-problema: Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização pelo seu uso, representada pela função P(t) = 50 – 5t, onde P é o preço da máquina (em reais) e t é o tempo de uso (em anos). Determine:

a) O gráfico da função. b) O custo da máquina ao sair da fábrica. c) O custo da máquina pós 5 anos de uso. d) O domínio e a imagem da função.

9ª Situação-problema: Sabendo que para produzir 10 unidades de uma mercadoria o gasto é de R$ 2350,00 e para produzir 25 unidades dessa mesma mercadoria o gasto será de R$ 2875,00, encontre a expressão que representa o gasto em função das unidades produzidas, considerando um crescimento linear. Quanto será gasto para produzir 50 unidades dessa mercadoria?

10ª Situação-problema: Desde o começo do mês, um reservatório local está perdendo água a uma taxa constante. No décimo segundo dia do mês, o reservatório contém 200 milhões de litros de água, e no vigésimo primeiro dia ele contém apenas 164 milhões de litros.

a) Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo e construa o gráfico.

b) Quanta água estava no reservatório no oitavo dia do mês?

11ª Situação-problema: Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato tem gasto fixo de R$ 600,00 e, em material, gasta R$ 25,00 por unidade produzida. Cada unidade será vendida por R$ 175,00.

a) Quantas unidades os estudantes terão de vender para existir o equilíbrio?

12ª Situação-problema: A pontuação média dos estudantes aprovados em uma faculdade de ciências humanas no exame de Matemática tem decaído a uma taxa constante nos últimos anos. Em 1990 a pontuação média foi de 575, enquanto em 1995 foi de 545.

a) Expresse a pontuação matemática média em função do tempo

b) Se a tendência continuar, qual será a pontuação média dos estudantes aprovados por volta do ano

2003?

c) Se a tendência continuar, quando a pontuação média atingirá 527?

13ª Situação-problema: Para pequenas variações de temperatura, a fórmula para a dilatação de uma

barra de metal submetida a mudanças de temperatura é l −l0 = al0 (t –t0) , onde l é o comprimento

do objeto quando a temperatura é 0 t,l é o comprimento inicial na temperatura 0 t , e a é uma constante que depende do tipo de metal.

a) Expresse l como função linear de t . Encontre a inclinação e a intersecção vertical.

b) Suponha que você tenha uma barra que, inicialmente, mede 100cm a uma temperatura de 10ºC, e

feita de um metal com a igual a 10-5 . Obtenha a equação que dá o comprimento da barra em função

da temperatura t.

c) O que diz o sinal da inclinação a respeito da dilatação de um metal sob uma variação de t ?

14ª Situação-problema: Às 9h20min da manhã, uma sonda lunar está a 1.000 pés acima da superfície da lua e começa uma descida vertical atingindo o solo lunar às 10h 13min da manhã. Supondo que a sonda mantenha uma velocidade constante, ache uma função D tal que D(t) expresse aproximadamente a altitude da sonda acima da lua como uma função de t.

Respostas

1ª) a) y = 0,06x + 100 b) R$ 175,00

a) Se Carlos estima vender exatamente R$ 6000,00, a escolha melhor seria a empresa B. b) Se ele não tiver estimativas de vendas teremos:

- vendas de até R$ 5000,00 a melhor escolha será a empresa C;

- vendas entre R$ 5000,00 e R$ 7000,00 a melhor escolha será a empresa B; - vendas acima de R$ 7000,00 a melhor empresa será a empresa A.

Isso ocorre devido a taxa de variação (coeficiente angular) de cada uma das empresas. Embora a empresa B tenha um salário fixo (coeficiente linear) maior que a empresa A, a taxa de variação de A é maior, o que faz que ela cresça mais rapidamente ultrapassando o valor de B em R$ 7000,00, a qual já ultrapassou C em R$ 5000,00.

[Obs.: Sabemos que muitas variáveis pessoais do empregado poderiam ser consideradas aqui, por exemplo a certeza de ganhar pelo menos R$ 600,00. No entanto, ao analisarmos uma situação envolvendo modelos matemáticos devemos levar em conta apenas os dados matemáticos. A menos que a análise solicitada se refira a uma vida pessoal].

5a) a) A ⇒ y = 2x+2 B ⇒ y = 3x b) 3x = 2x + 2 3x-2x = 2 x = 2 ⇒I (2, 6) A C 4ª) A B

c) Até 2km rodados,a empresa mais vantajosa é a B. Em exatos 2km, ambas. Acima de 2km rodados a mais vantajosa será a A, pois embora a empresa A tenha um custo fixo [coef. Linear] maior, sua taxa de variação [coef. Angular] é menor fazendo com que seu valor aumente mais devagar sendo ultrapassado por B em 2km.

6a) 13) a) l = al0t + l0 – al0t0 , inclinação = al0 , intersecção = l0 – al0t0 b) l = 0,001t + 99,99 14) D(t) 1000 53 1000 + − = t , t em minutos, 0 ≤ t ≤ 53 11) 12) 7a)

Toda função polinomial representada pela fórmula matemática f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função quadrática.

O gráfico de uma função quadrática, a qual possui domínio real, é uma curva chamada parábola.

CONCAVIDADE

Para construirmos uma parábola precisamos conhecer:

* Intersecções no eixo x: x’ e x’’ * Intersecção no eixo y : c * Ponto do vértice: a b xv 2 − = a yv 4 ∆ − = ∆=b2 −4ac Eixo de simetria x’ xv x’’ Assim, o xv é o valor médio entre x’ e x’’ yv yv é a imagem do xv Assim, o yv é o valor da função em xv V (xv, yv) y x

Concavidade

Possibilidades de gráficos

∆

> 0

∆

= 0

∆

< 0

y y x x

voltada para cima ⇔⇔⇔⇔ a > 0

a > 0

Dom f(x) = IR

Im f(x) = [ y

v

, +

∞

[

x’ ≠≠≠≠ x’’ x’ = x’’ x’, x’’ ∉∉∉∉ IR em ambos os casos

a < 0

Dom f(x) = IR

Im f(x) = ]-

∞

, y

v

]

Exemplo 1: Construa o gráfico de cada função abaixo e escreva seu domínio e sua imagem:

a) f(x) = x² - 8x + 12 b) y = -x² + 4x + 5

Exemplo 2: Um agricultor comprou 20m de tela e quer construir um galinheiro retangular aproveitando para

isso um muro como uma das paredes.

a) Encontre o modelo matemático que permite calcular a área em função do comprimento. b) Construa o gráfico dessa função.

c) Quais devem ser as dimensões do galinheiro para que sua área seja máxima? d) Qual será a sua área máxima?

Exemplo 3: Um prédio possui 180 salas comerciais que estão sendo alugadas por R$300,00 mensais cada

uma. O dono do prédio insatisfeito com a renda proveniente desses aluguéis decidiu aumentar seu valor. No entanto, estima que, para cada R$ 15,00 de aumento de aluguel, 5 salas ficarão vazias. Encontra o modelo matemático que expressa o faturamento em função do número de aumentos, e represente esta situação graficamente.

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

RESPOSTAS a partir da p. 29

1ª Situação-problema: Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular. O retângulo onde a casa será construída tem 96m de perímetro.

a) Escreva a área da casa em função do seu comprimento x.

b) Calcule as dimensões da casa para que sua área seja a máxima possível.

c) Qual é a área máxima possível?

2ª Situação-problema: Uma bola foi lançada da origem de um sistema percorrendo uma curva dada pela função f(x)= -x² + 20x, onde y representa a altura e x a distância percorrida. Faça o esboço da trajetória feita pela bola, encontre a distância que a bola caiu no chão e altura máxima que ela atingiu.

3ª Situação-problema: Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura t( em graus Celsius), segundo a função N(t)= 0,1t²-4t+90. Nessas condições:

a) Em qual temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo?

b) Qual é o número mínimo de batimentos cardíacos por minuto?

c) Em que ponto o gráfico da função intercepta o eixo vertical?

d) Se a temperatura ambiente for 30°C, qual será o número de batimentos cardíacos, por minuto, de

uma pessoa sadia que está dormindo?

4ª Situação-problema: O proprietário de um pomar de maçãs estima que, plantando 24 pés por acre, cada pé de maçã adulto produzirá 600 maçãs por ano. Para cada árvore plantada por acre, além das 24, haverá um decréscimo de produção de 12 maçãs por ano. Quantas árvores devem ser plantadas de modo que se obtenha o número máximo de maçãs por ano?

5ª Situação-problema: Deseja-se construir numa sala um novo escritório com paredes em MDF. Sabendo que as paredes em MDF possuem 14m de comprimento e que serão aproveitadas as duas paredes de canto já existentes na sala:

a) Escreva a área do escritório em função do seu comprimento x.

6ª Situação-problema: Fazendeiros vendem cada fruta por R$ 2,00 no início da colheita, depois o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Num pequeno sítio, o fazendeiro colheu 80 frutas e a colheita cresce, em média, de uma fruta por dia.

a) Encontre um modelo matemático que represente a receita com a venda das frutas desse

fazendeiro.

b) Represente graficamente.

c) Calcule quando o fazendeiro deverá colher as frutas para que a receita seja a máxima possível.

7ª Situação-problema: A audácia é um valor, mas a pressa e a imprecisão são inimigas da perfeição. Imagine que o Ricardão foi fazer uma exibição ao saltar sobre as ondas. Sol brilhante, muita espuma,

e sua “namorada” a admirá-lo. Ricardão fez um rápido cálculo mental e usou a função f(x) = - x 2 +

6x. A sua decepção foi grande ao cair sobre o rochedo que se escondia nas ondas (Ver figura abaixo).

a) Calcule a distância do rochedo até o ponto assinalado na margem e sua altura.

b) Construa o gráfico que demonstra essa trajetória.

RESPOSTAS

Função Potência

É uma função polinomial da forma f(x) = xn , onde n é um número inteiro positivo.

Exemplos:

a) Trace os gráficos das funções dadas por y = x2 e y = x4 , no mesmo sistema de eixos e compare-os.

b) Trace os gráficos das funções dadas por y = x, y = x3 e y = x5 , no mesmo sistema de eixos e compare-os.

Função Racional

É uma função da forma f(x)

q(x) p(x)

= onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q(x)≠0.

Seu gráfico pode apresentar retas denominadas assíntotas verticais nos pontos onde o denominador se anula, ou seja, nos valores fora do domínio, e retas denominadas assíntotas horizontais se f(x) se aproxima de um valor finito quando x cresce ou decresce, ou seja, o limite de f(x) quando x tende ao infinito.

Exemplos: a) f(x) = x 1 Dom f(x) = IR * Im f(x) = IR* b) f(x) = - x 1 Dom f(x) = IR * Im f(x) = IR*

d) Trace os gráficos de f(x) = 1 x 1 − : e) Dom f(x) = IR – {1} Im f(x) = IR* d) Trace os gráficos de f(x) = 1₂ x : Dom f(x) = IR – {0} Im f(x) = ]0, +∞[

Função Raiz-enésima

É uma função da forma _f(x)=n_{x , onde n é um número inteiro maior que um.}

Exemplos: a) f(x) = x Dom f(x) = [0, + ∞[ Im f(x) = [ 0, +∞[ b) f(x) = 3

x

Dom f(x) = IR Im f(x) = IR

Funções definidas por mais de uma lei

Resposta:

3ª situação-problema: Um imposto é cobrado em função da renda mensal do contribuinte da seguinte maneira: até 10 sm (salários mínimos), inclusive, o contribuinte está isento; entre 10 sm e 20 sm paga 10%; 20 sm ou mais, paga 25%. Dê a lei dessa função e esboce o seu gráfico.

4ª situação-problema: Esboce o gráfico da função abaixo, determinando o domínio e imagem. 2x+5,se−5≤x<−2

x2,se−2≤x<1 2,sex≥1

Função Valor Absoluto

Chamamos de Função Valor Absoluto a função de ƒ em ƒ, definida por f(x) = | x |, ou seja

Obs.: 2 | |

x

x = Dom f(x) = R Im f(x) = R+

Exemplos:

1) Construa o gráfico de cada função abaixo sempre verificando seu domínio e sua imagem: a) f(x) = |x - 2| teremos    < − + − ≥ − − = − = 0 2 : , 2 0 2 : , 2 2 ) ( x se x x se x x x f então    < + − ≥ − = − = 2 : , 2 2 : , 2 2 ) ( x se x x se x x x f Dom: R e Im: R+ b) f(x) = | x + 1 | c) f(x) = |2x + 6| d) f (x) = | x² - 6x + 8 | e) f(x) = | -x2 + 4x – 5 |

Função Inversa

Dada a função f(x) tal que f: A → B, chamamos de FUNÇÃO INVERSA a f-1 : B → A.

Exemplos:

1) Encontre a função inversa de cada função abaixo:

a) f(x) = 2x + 3 b) y = 5x - 3 c) 3 4 2 + − = x x y 2) Sendo 6 2 1 3 ) ( − + = x x x f , calcule: a) Dom f(x) b) f-1 (x) c) Dom f-1 (x) d) f-1 (1) + 2f-1 (0)

Função Composta

Situação-problema: A poupança p de um operário depende do salário s que recebe; seu salário, por sua vez

depende do número de horas extras que faz por mês. Sabendo que essas dependências são descritas pelas funções p = 0,4s – 100 e s = 330 + 15 x, respectivamente, determine a poupança como função do número x de horas extras.

Dadas as funções f(x) tal que f : A → B e g(x) tal que g : B → C, chamamos de FUNÇÃO COMPOSTA de g com f a função f(g(x)) ou fog(x) tal que fog(x) : A → C:

Exemplos: a) Sendo f( x) = 3x - 2 e g(x) = 2x + 1, calcule fog(x) e gof(x):

Função Inversa e Função Composta

b) Dadas as funções f(x) = 2x - 4, g(x) = x² - 2x + 5 e t(x) = 3x + 2, encontre: gof(x) = fot(x) = tof(2) = gof(-3) = f(-2) - 3 g( 1 ) + 2 tog(-3) =

Respostas:

b) gof(x)= 4x 2 – 20x + 29 fot(x) = 6x tof(2) = 2 gof(-3) = 125 f(-2) - 3 g( 1 ) + 2 tog(-3) = 104

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

1a situação-problema: Carlos recebe R$ 3,00 por hora de trabalho.

a) Escreva a expressão que nos dá o salário em função do número de horas. b) Escreva a expressão que nos dá o número de horas em função do salário. c) Construa os dois gráficos num mesmo plano cartesiano.

2a situação-problema: Andréia recebe um salário fixo de R$ 300,00 mensais e mais R$ 14,00 por hora

trabalhada.

a) Expresse o salário mensal de Andréia em função das horas trabalhadas. b) Expresse as horas trabalhadas por Andréia em função do seu salário mensal. d) Quanto Andréia receberá se trabalhar 252 horas no mês?

e) Quantas horas Andréia deverá trabalhar para receber R$ 4500,00?

3a situação-problema: O custo para produção de x embalagens é dado por C(x) = 5x + 20, em reais.

a) Expresse o número de embalagens em função do custo.

b) Quantas embalagens podem ser produzidas para que se gaste R$ 12520,00? c) Qual o custo de 300 embalagens?

4a situação-problema: Encontre a função inversa de cada uma das funções abaixo e analise o seu domínio:

a) x x y − + = 4 3 b) 1 3 5 2 − − = x x y c) 2 4 3 1 + − = x x y d) 9 3 6 2 − + − = x x y

5a situação-problema: A poupança p de um operário depende do salário s que recebe; seu salário, por sua vez

depende do número de horas extras que faz por mês. Sabendo que essas dependências são descritas pelas funções p = 0,4s – 100 e s = 330 + 15 x, respectivamente, determine a poupança como função do número x de horas extras.

6a situação-problema: Um estudo das condições ambientais de uma comunidade suburbana indica que a taxa

média diária de monóxido de carbono no ar será de C(p) = 0,5p + 1 parte por milhão, quando a população for de p milhares. Imaginemos que, daqui a t anos, a população da comunidade será de p(t) = 10 + 0,1t² milhares. a) Expresse a taxa de monóxido de carbono no ar com uma função do tempo.

b) Quando o nível de monóxido de carbono atingirá 6,8 partes por milhão?

7a situação-problema: O estudo das condições ambientais de uma comunidade suburbana indica que a taxa

diária de monóxido de carbono do ar será de C(p) = 0,4p + 1, partes por milhão, quando a população for de p milhares. Avalia-se que, daqui a t anos, a população da comunidade será de p(t) = 8 + 0,2t² milhares.

a) Expresse a taxa futura de monóxido de carbono na comunidade como função do tempo. b) Daqui a dois anos, qual será a taxa de monóxido de carbono?

8a situação-problema: Em certa fábrica, o custo de fabricação de q quantidades, durante o horário de trabalho, é de C(q) = q² + q + 900 reais. Nas t primeiras horas de produção de um dia normal de trabalho, fabricam-se q(t) = 25t unidades.

a) Expresse o custo total de fabricação em função de t. b) Quanto terá sido gasto na produção, no final da 3ª hora? c) Quando o custo total da produção atingirá R$ 11.000,00?

9a situação-problema: Sabendo que em uma fábrica, o custo de fabricação de q unidades, durante o

horário de trabalho, é de C(q) = q² + 2q + 700 reais. Nas t primeiras horas de produção de um dia normal de trabalho, fabricam-se q(t) = 24t + 3 unidades.

a) Expresse o custo total de fabricação em função de t. b) Quanto terá sido gasto na produção, no final da 4ª hora? d)Quando o custo total da produção atingirá R$ 22.603,00?

RESPOSTAS 1. a) f(x) = 3x b) f(x) -1 = x/3 2. a) f(x) = 14x + 300 a) f(x)-1 = (x-300)/14 b) R$ 3828,00 c) 300 horas 3. a) C(x) –1 = (x-20)/5 b) 2500 embalagens c) R$ 1520,00 4. a) 1 3 4 1 − − + − = − x x y b) 2 3 5 1 − − = − x x y c) 3 4 1 2 1 + + − = − x x y d) 2 3 6 9 1 + + = − x x y 5. p(s(x)) = 6x + 32 6. a) C(p(t)) = 0,05t^2 + 6 b) t = 4 anos 7. a) C(p(t)) = 0,08t^2+ 4,2 b) C(p(2)) = 4,52 mg c) t = 5 anos 8. a) C(q(t)) = 625t^2+25t+900 b) C(q(3))= 6600 c) t = 4h 9. a) C(q(t)) = 576t^2+192t+715 b) C(q(4))= R$ 10699,00 c) t = 6h f(x) f-1(x)

Chamamos de Função Exponencial a função f: IR → IR*+, isto é, que associa a cada x real um correspondente real, da forma y = ax. É toda função que possui a incógnita no expoente com a ≠ 1 e a>0. A função pode ser CRESCENTE ou DECRESCENTE, observe:

y y

x x

Chamamos de Função Logarítmica a função f: IR*+ → IR, isto é, que associa a cada x real um

correspondente real, da forma y = log a x, onde a > 0 e a ≠ 1.

A função pode ser CRESCENTE ou DECRESCENTE, observe:

y y

x x

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

1ª Situação-problema: Uma pessoa ganhou na loteria uma determinada quantia em dinheiro. Ao longo do primeiro mês após o recebimento do prêmio, gastou a metade do dinheiro. Durante o segundo mês, gastou a metade do que havia sobrado. E assim agiu nos meses seguintes: sempre gastando a metade do que sobrara no mês anterior. O gráfico cartesiano, onde o eixo horizontal se refere aos meses e o vertical ao dinheiro disponível, que melhor representa a situação é:

(A) (B) (C) (D) (E)

2ª Situação-problema: Uma população de bactérias triplica a cada hora.

a) Encontre uma função que expresse o número de habitantes em função do tempo.

b) Esboce o seu gráfico.

c) Em quanto tempo (horas, minutos e segundos) a população se torna 100 vezes maior?

3ª Situação-problema: Uma população de insetos duplica a cada ano.

a) Encontre uma função que expresse o número de insetos em função do tempo.

b) Esboce o seu gráfico.

c) Em quanto tempo (anos, meses e dias) a população se torna 1000 vezes maior que a população

inicial?

Função Exponencial e Logarítmica

a > 1 crescente 0 < a < 1 decrescente a > 1 crescente 0 < a < 1 decrescente 1 1 1 1

4ª Situação-problema: Considerando uma taxa mensal constante de 10% de inflação, o aumento de preços em 2 meses será de:

(A) 2%. (B) 4%. (C) 20%. (D) 21%. (E) 121%.

5ª Situação-problema: Uma empresa expande suas vendas em 20% ao ano. Hoje ela vende 1000 unidades.

a) Quantas venderá daqui a t anos, ou seja, qual o modelo matemático que representa essa situação?

b) Esboce o gráfico.

6ª Situação-problema: Atualmente uma cidade possui 50.000 habitantes. A partir dos resultados de uma pesquisa constatou-se que ela cresce 25% ao ano.

a) Encontre um modelo matemático que represente essa situação e represente graficamente.

b) Qual é a previsão de quando essa cidade atingirá 500.000 habitantes?

c)

Aplicações da Função Exponencial e Logarítmica

• Juros Compostos e Inflação

No regime de juros compostos o juro aferido em cada período se agrega ao montante e essa soma passa a gerar juros no período seguinte. Consideremos um capital C aplicado à taxa de juros i por período, obtemos a fórmula do montante após n períodos:

M = C(1 + i)n ⇒⇒⇒⇒ Q = Q0 (1 + i)t

Considerando Inflação como um aumento generalizado dos preços de bens e serviços, num

certo intervalo de tempo, para atualizarmos monetariamente uma importância afetada pela inflação, usamos o mesmo raciocínio desenvolvido em juro composto.

• O número e

Aplicação dedutiva: Certa ocasião o suíço Jacque Bernoulli (1654- 1705) propôs o seguinte problema: “Qual é a lei que estabelece a forma como cresce um capital, depositado em um banco a juros compostos, quando os juros são acrescidos ao capital a cada instante, isto é, quando o número de capitalizações tende a ser infinito?” Considere um capital de R$ 1,00. Calcule o montante desse capital se ele for investido pelo prazo de um ano a juro composto de:

a) 100% ao ano: ... b) 50% ao semestre: ... c) 25% ao trimestre: ... d) 16,67% ao bimestre: ... e) 8,33% ao mês: ... f) 0,27% ao dia: ... g) 0,011% à hora: ...

Percebemos que à medida que n cresce a expressão (1+1/n)n tende ao número irracional

e = 2,7182818284590452353... Leohnard Euler (1707-1783) escolheu a letra e para designar esse

número irracional. Temos então:

e

n

n n



=











+

+∞ →

1

1

lim

Tínhamos M = C(1+i) n , com juros contínuos em um ano teremos: C(1+i/n) n como montante em 1 ano, se aplicarmos esse capital em k anos teremos M = C(1+ i/n) kn . Para facilitar o cálculo e encontrarmos uma fórmula para capitalização contínua fazemos t = n/i, assim, n = t.i:

⇒ = ⇒       + = ⇒       + = ki ki t i t k Ce M t C M i t i C M . . . 1 1 .

1 onde k é o número de anos e i é a taxa.

tende para e quando t tende ao ∞. Se quisermos continuar utilizando a nossa notação antiga teremos: M = Cein

• Logaritmo neperiano

John Neper (1550-1617) é considerado por alguns historiadores o criador dos logaritmos. Em

homenagem a ele, os logaritmos na base e são chamados de logaritmos neperianos. Como esses

logaritmos são muito utilizados em fenômenos naturais, também são chamados de logaritmos naturais.

log e x = ln x (logaritmo natural de x)

Modelos Exponenciais

* CRESCIMENTO EXPONENCIAL * DECAIMENTO EXPONENCIAL

Q(t) = Q o e it Q(t) = Q o e -it

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

RESPOSTAS a partir da p. 49

7ª Situação-problema: Os biólogos determinaram que, sob condições ideais, um número de bactérias em uma cultura cresce exponencialmente. Suponha que 2.000 bactérias estejam inicialmente presentes em uma certa cultura, e que 6.000 estejam presentes 20 minutos depois. Quantas bactérias estarão presentes ao fim de 1 hora?

8ª Situação-problema: (Vendas a varejo) O número total de hambúrgueres vendidos por uma cadeia nacional de fast-food está crescendo exponencialmente. Se 4 bilhões foram vendidos em 1986 e 12 bilhões em 1991, quantos terão sido vendidos em 1996?

9ª Situação-problema: (Decaimento radioativo) Uma substância radioativa decai exponencialmente. Se 500 gramas da substância estavam presentes inicialmente e 400 gramas estão presentes 50 anos depois, quantas gramas estarão presentes após 200 anos?

10ª Situação-problema: (Produto interno bruto) O Produto Interno Bruto (PIB) de um certo país era de 100bilhões de dólares em 1980, e de 165 bilhões de dólares em 1990. Supondo um crescimento exponencial, qual será seu valor no ano 2000?

11ª Situação-problema: Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que seu valor daqui a t anos será V(t) = 6.561(1/3)t reais.

a) Qual seu valor hoje? b) Qual seu valor daqui a 3 anos? c) Daqui a quantos ano seu valor será 81? d) Faça o gráfico da função.

e) Dê uma interpretação ao modelo matemático.

Juros compostos continuamente

12ª Situação-problema: Daqui a t anos o valor de uma máquina será de V = 50. (0,8)t mil reais.

a) Qual seu valor hoje?

b) Faço o gráfico de V em função de t.

c) Daqui a quantos anos seu valor se reduzirá à metade?

d) Dê uma interpretação ao modelo matemático.

13ª Situação-problema: Estudos demográficos feitos em certo país estimaram que sua população daqui a t anos será de P(t)= 40.(1,05)t milhões de habitantes.

a) Qual será a população hoje?

b) Qual será a população daqui a dois anos?

c) Daqui a quantos anos a população dobrará?

d) Faça o gráfico de p em função de t.

e) Dê uma interpretação ao modelo matemático.

14ª Situação-problema: A partir de um certo ano, a população de uma cidade passou a crescer de

acordo com a função P = 50.000 (1,02)n , onde n representa os anos e P, o número de habitantes. Qual

é a previsão de quando essa cidade atingirá 500.000 habitantes?

15ª Situação-problema: Sob condições ideais, o número de bactérias em uma cultura cresce

exponencialmente sob a forma: Q(t) = Q(0). ekt, onde t é o tempo em minutos (e é a base do sistema de

logaritmos neperianos e k é uma constante.

a) Supondo 200 bactérias iniciais e 800 bactérias após 30 minutos, quantas existirão após 60 minutos

de início?

b) Após quantos minutos existirão 1600 bactérias?

16ª Situação-problema: A população de um país cresce de acordo com a fórmula P = Po eit , onde Po

é a população num instante t = 0, t é dado em anos e i é a taxa de crescimento anual. Sabendo que ln 2

≈ 0,69, calcule em quanto tempo essa população estará duplicada:

a) na América do Norte, onde a taxa de crescimento anual é de 1%;

b) na Rússia, onde a taxa de crescimento é de 1,7% ao ano.

17ª Situação-problema: Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor após t anos é dado por uma função da forma Q(t) = Qo e- 0,04t . Após 20 anos, a máquina vale $8.986,58. Qual será o seu valor original?

18ª Situação-problema: A taxa com que um funcionário do correio pode classificar a correspondência é uma função da experiência do funcionário. Suponha que o correio central de uma grande cidade estime que, após t meses no emprego, um funcionário médio possa classificar Q(t) = 700 – 400 e-0,5t cartas por hora.

a) Quantas cartas o novo empregado pode classificar por hora?

b) Quantas cartas um empregado com 6 meses de experiência pode classificar por hora?

c) Aproximadamente, quantas cartas um empregado médio, no máximo de sua capacidade, será capaz de classificar por hora?

19ª Situação-problema: Os registros de saúde pública indicam que, t semanas após o início de uma

gripe virótica, conhecida pelo nome de influenza, aproximadamente _t

e t Q _1,2 19 1 20 ) ( ₋ + = mil pessoas

terão contraído a doença.

a) Quantas pessoas tinham a doença quando ela começou a se espalhar? b) Quantas tinham contraído a doença após o fim da segunda semana?

c) Se a tendência continuasse, aproximadamente quantas pessoas ao todo teriam contraído a doença? 20ª Situação-problema: (Densidade populacional) A densidade populacional a x quilômetros do centro de uma certa cidade é de

D(x) = 12e-0,07x mil pessoas por quilômetro quadrado. a) Qual é a densidade populacional no centro da cidade?

b) Qual é a densidade populacional a 10 quilômetros do centro da cidade?

21ª Situação-problema: (Depreciação) Quando uma certa máquina industrial tiver t anos, o seu valor de revenda será de

V(t)= 4.800 e-t/5 + 400 u.m.

a) Quanto a máquina vale quando está nova? b) Quanto a máquina vale após 10 anos?

22ª Situação-problema: (Crescimento populacional) Projeta-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t)= 50e0,02t milhões.

a) Qual é a população atual? b) Qual será a população daqui a 30 anos?

23ª Situação-problema: (Crescimento populacional) Estima-se que a população de um certo país cresça exponencialmente. Se a população era de 60 milhões em 1986 e de 90 milhões em 1991, qual será a população em 2001?

FUNÇÃO SENO

No ciclo trigonométrico abaixo, considere o ângulo α e o correspondente arco AB. É possível observar

a construção de um triângulo retângulo. Considerando R = 1 u.m. podemos afirmar em relação ao sen α que:

Sinal e variação da função y = sen x

1o Quad 2o Quad 3o Quad 4o Quad

0o< x < 90o 90o < x < 180o 180o < x < 270o 270o < x < 360o

 

 Observe algumas regularidades:

Gráfico da função sen x  y = sen x

sen α =

Portanto, o senα é a projeção do arco AB sobre o eixo y. A B α αα α x y

Podemos concluir que para y = sen x temos:

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

1. Construa o gráfico das funções abaixo, indicando em cada caso o domínio, a imagem e o período:

a) f(x) = 3 senx b) f(x) = sen 2x c) f(x) = sen (x/2) + 2 d) f(x) = -1 + sen (x + π/4) 2. Seja ) 1 4 sen( 2 ) (x = x−π +

f . Desenhe seu gráfico, fazendo os gráficos intermediários, a fim de

entender as transformações ocorridas:

O domínio da função seno é R e a imagem é o intervalo [-1,1].

Trata-se de uma função limitada e periódica, período P= .

Para sen ax teremos: P= /a.

Analisemos o que aconteceu: 1o) y = sen (x+c) ... ... 2º) y = b sen (x) ... ... 3º ) y = sen (x) + k ... ... 4º) y = -sen (x) ... ... 5º) y = sen (ax) ... ...

FUNÇÃO COSSENO

No ciclo trigonométrico abaixo, considere o angulo â e o correspondente arco AB. Observando o

triângulo retângulo e considerando R = 1 u.m. podemos afirmar em relação ao cos α que:

Sinal e variação da função y = cos x

1o Quad 2o Quad 3o Quad 4o Quad

0o_{< x < 90}o ₉₀o _{< x < 180}o ₁₈₀o _{< x < 270}o ₂₇₀o _{< x < 360}o

Gráfico da função cos x  y = cos x 

Podemos concluir que para y = cos x temos: cos α =

Portanto, o cos α é a projeção do arco AB sobre o eixo x.

O domínio da função seno é R e a imagem é o intervalo [-1,1].

Trata-se de uma função limitada e periódica, período P= .

Para cos ax teremos: P= /a.

A B α αα α x y

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

1: Construa o gráfico das funções abaixo, encontre seu Dom, Im e Período:

a) f(x) = -2 cos x

b) f(x) = cos 2x - 3

c) f(x) = -3cos 4x

Situação-problema 2: A temperatura média semanal em Washington, t semanas após o início do ano é

(

)

_   − + = 12 52 2 sen 23 54 ) (t t

f π . Qual é a temperatura média semanal durante a 21a semana?

Resp.: 74,3655º F

Situação-problema 3: Em qualquer localidade, a temperatura de água encanada varia durante o ano. Em Dallas, no Texas,

a temperatura de água encanada (em graus Fahrenheit) t dias após o começo do ano é aproximadamente

(

)

_   − + = 208 365 2 cos 14 59 ) (t t

f π , 0≤t≤365. Qual é aproximadamente a temperatura em 12 de fevereiro, ou seja,

quando t= 43?

Resp.: 45,6305o F

FUNÇÃO TANGENTE

Sabemos que x x tgx cos sen = , portanto, cos x ≠ 0, Portanto x ≠π/2 + kπ, k ∈ R. Daí: Dom tg x = R – {π/2+k.π} Im = R Período = 2π

FUNÇÃO COTANGENTE

FUNÇÃO SECANTE

Parte do texto retirado do material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira

1 Noção intuitiva

Vamos fazer um estudo informal de limites, de modo a desenvolver intuitivamente idéias básicas que irão alicerçar nossos estudos futuros.

Muitas vezes quando trabalhamos com funções, o que nos interessa são os valores f(x) de uma função f, quando x assume valores próximos de um número a, em outras palavras, queremos saber se a f(x) se aproxima de um número b quando x se aproxima de a. Em caso afirmativo, dizemos que o limite de f(x) quando x tende para a, é igual a b e indicamos pela notação

b x f a x→ ( )= lim

O cálculo de limites serve para descrever o modo como uma função se comporta quando x, a

variável independente tende a um determinado valor.

Observemos o exemplo, seja a função f, dada por

1 1 ) ( 2 − − = x x x f . O domínio de f(x) = ℜ −{1}.

O questionamento que fazemos é se f(x) se aproxima de algum número quando x assume valores próximos de 1? Ou seja, qual o limite de f(x) quando x tende a 1? Para responder esta pergunta, preencha a tabela abaixo com valores de x próximos do número 1 e os correspondentes valores de f(x).

x 0 0,5 0,7 0,9 0,99 0,999 ... 1 ... 1,001 1,01 1,1 1,2 1,5 2 f(x)

Observemos outro exemplo, seja a função f, dada por 3 2 ) ( − = x x f . O domínio de f(x) = IR −{3}. Qual

o limite de f(x) quando x tende a 3?

x 2 2,5 2,7 2,9 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 3,1 3,2 3,5 4

f(x)

Pela tabela podemos concluir que quando x tende a 3, não existe o limite de f(x). Isso pode ser observado também no gráfico:

−∞ = − − → ₃ 2 lim 3 _x x = − → ₃ 2 lim 3 x x ∄ +∞ = − + → ₃ 2 lim 3 _x x Dom f(x) = IR – {3} Im f(x) = IR – {0} Dom f(x) = IR – {1} Im f(x) = IR – {2}

2 Limites Laterais

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

Respostas

2. (a) verdadeiro. (b) falso. (c) falso. (d) verdadeiro. (e) verdadeiro. (f) verdadeiro. (g) verdadeiro. (h) verdadeiro. (i) verdadeiro. (j) falso. (k) verdadeiro.

4. (a) 1, 1, 2. (b) sim, 1. (c) 4, 4. (d) sim, 4.

Exs.: a) Seja f(x) = 1 x se , 4 1 x se , 1 x 1 x2 = ≠ − − , determine limf(x) 1

x→ e se f(x) é uma função contínua:

b) Seja f(x) = 3 x se , 6 3 x se , 3 x 9 x2 = ≠ − − , determine limf(x) 3

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

4 Limites de funções polinomiais

Os limites de funções polinomias podem ser obtidos por substituição: limP(x)=P(a)

→a

x .

Exs.: Calcule cada limite abaixo:

a) + = → ( 3 ) lim 2 5 x x x b) − + = − → ( 3 ) lim 3 2 1 x x x x c) − + = → (4 2 1) lim 2 2 x x x d) + = → (6 4) lim 0 x x

5 Funções básicas contínuas

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

Respostas

E3) 1) e + 1 2) 0 3) 8ln 2 4) 0 5) 1 6) 0 7) –1 8) 1

E4) 1) ∄ 2) ∄ 3) +∞ 4) −∞

e)

_n n m m x n n n n n n m m m m m m x d x x c d x d x d x d x d x d c x c x c x c x c x c

lim

lim

0 1 2 2 2 2 1 1 0 1 2 2 2 2 1 1 ... ... ±∞ → − − − − − − − − ±∞ → = + + + + + + + + + +

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

E1) Calcule o limite de cada função abaixo:

E2) Encontre o limite das funções abaixo:

Respostas

9 Assíntotas

Dada a função 3 2 ) ( − = x x

f , vamos construir o seu gráfico:

Dom f( x)= IR - {3} = − − → ₃ 2 lim 3 _x x → − −₃= 2 lim 3 _x x = − ∞ − → ₃ 2 lim x x →+∞ −₃= 2 lim x x Assíntota vertical x = 3 Assíntota horizontal y = 0