COMPARAÇÃO DE DESEMPENHO DE ESTATÍSTICAS DE MONITORAMENTO DA QUALIDADE DE PREVISÕES DE SÉRIES TEMPORAIS

COMPARAÇÃO DE DESEMPENHO DE

ESTATÍSTICAS DE MONITORAMENTO DA

QUALIDADE DE PREVISÕES DE SÉRIES

TEMPORAIS

Felipe Schoemer Jardim (PUC-Rio )

felipe_s_jardim@hotmail.com

DENILSON RICARDO DE LUCENA NUNES (UEPA )

denilson.lucena@ibest.com.br

Eugenio Kahn Epprecht (PUC-Rio )

eke@ind.puc-rio.br

Antonio Fernando de Castro Vieira (PUC-Rio )

afcv@puc-rio.br

Este artigo compara os desempenhos, via simulação, das quatro principais estatísticas de monitoramento de previsão de séries temporais conhecidas como Tracking Signal. A comparação é baseada no menor número médio de períodos até um alarme de viés verdadeiro de cada estatística com limites de controle. Duas das estatísticas analisadas se baseiam na soma cumulativa dos erros de previsão. As duas restantes se baseiam nos erros de previsão amortecidos exponencialmente. Os métodos de previsão considerados foram os de amortecimento exponencial simples e duplo para séries com nível médio constante e séries com tendência, respectivamente. Três tipos de mudanças de comportamento em séries temporais - geradoras de viés em previsão - foram analisados, a saber: mudanças no nível e surgimento de tendências, em séries temporais de nível constante e mudança no valor da tendência em séries temporais com tendência. Entre os resultados obtidos, destaca-se a conclusão de que, para determinadas situações, as estatísticas baseadas na soma cumulativa dos erros de previsão apresentaram desempenho superior. Nos casos restantes, todas foram estatisticamente equivalentes.

Palavras-chaves: Séries Temporais, Previsão, Amortecimento Exponencial, Tracking Signal, Monitoramento, Viés, Gráficos de Controle

2

1. Introdução

As previsões de demanda são fundamentais para os processos de decisão e planejamento da cadeia de produção. Constituem um dos principais recursos no processo de tomada de decisões estratégicas de um negócio. Seja no curto, médio ou longo prazo, as previsões de demanda norteiam a gestão dos vários setores de uma corporação, como por exemplo, produção, logística, marketing e finanças (BALLOU, 2006).

Por outro lado, sucessivas previsões de demanda incoerentes com a realidade podem gerar sérios problemas para as empresas, como por exemplo, ociosidade de recurso, longas filas de espera ou vendas perdidas, acarretando custos elevados e baixos níveis de serviço (LUSTOSA

et al., 2008). Dessa forma, é essencial para a saúde de um negócio detectar rapidamente a

ocorrência de algo errado com os modelos de previsão de demanda adotados por um gestor. Quando esses modelos de previsão deixam de ser aderentes à realidade, as previsões começam a ficar sistematicamente acima ou abaixo da demanda real indicando a presença de viés (SILVER et al., 1998). Para modelos de previsão baseados no histórico de séries temporais, isso quer dizer que a série que se acredita representar a demanda ou o método de previsão utilizado (ou os parâmetros usados nos mesmos) devem ser revistos.

As técnicas formais presentes na literatura que apresentam um critério objetivo e quantitativo para detecção de viés, não foram comparadas de forma conclusiva. Em suma, os estudos fizeram comparações utilizando séries específicas de dados, como a série de criminalidade usada por Cohen, 2009, que impossibilita uma generalização dos resultados ou testaram uma combinação reduzida para os valores dos parâmetros utilizados pelas técnicas, como as comparações feitas por Gardner, 1983 e 1985 e McClain, 1988.

Diante do exposto, o presente trabalho apresenta três objetivos principais listados abaixo. a) Identificar na literatura as principais técnicas formais – que apresentam critérios

objetivos e quantitativos – de monitoramento para detecção de viés em modelos de previsão de demanda;

b) Analisar essas técnicas, via simulação, para uma quantidade mais abrangente – que nas pesquisas anteriores – de modelos de previsão, de tipos de mudanças no

3 comportamento na demanda (as quais geram viés nas previsões) e de combinações de valores dos parâmetros dos modelos de previsão; e

c) Identificar as técnicas formais com melhor desempenho em cada situação estudada. Os modelos de previsão de demanda podem ser qualitativos, de séries temporais ou causais (CHOPRA; MEINDL, 2004). O presente trabalho aborda os modelos de previsão baseados em séries temporais, aplicáveis particularmente para o curto e médio prazo e utilizados, por exemplo, no programa mestre de produção, no planejamento desagregado e em controle de estoques. E a preocupação central do estudo em questão são as técnicas de monitoramento desses modelos.

Três tipos de alterações de comportamento na demanda (geradoras de viés nas previsões) foram estudados. A primeira foi mudanças no nível de um modelo de demanda constante, a segunda foi inclusões de tendências em um modelo de demanda constante e a terceira, alterações na tendência em um modelo de demanda com tendência. Todas essas mudanças e inclusões são em função do desvio-padrão da demanda.

Os métodos de previsão de séries temporais estudados nesse trabalho foram os baseados no amortecimento exponencial. Para os modelos de séries constantes utilizou-se o método de previsão baseado no amortecimento exponencial simples. Para os modelos de séries com tendência foi usado o método de Holt, que é baseado no amortecimento exponencial duplo. Este artigo segue a seguinte organização: na Seção 2 é apresentada a fundamentação teórica e uma revisão bibliográfica sobre as estatísticas analisadas e suas medidas de desempenho. Na Seção 3 é apresentada a metodologia proposta para comparação de desempenho entre as técnicas estudadas. Nessa seção, também são apresentados detalhes do experimento de simulação realizado. A Seção 4 contém uma análise dos resultados obtidos. Conclusões e propostas para estudos futuros se encontram na Seção 5.

2. Revisão bibliográfica e fundamentação teórica

Em uma revisão de literatura foram identificadas quatro técnicas formais de monitoramento, cada uma baseada em uma estatística diferente. Essas estatísticas são conhecidas como

4 função dos erros de previsão. Nesse contexto, o erro de previsão um passo a frente é definido como:

et xt xˆt1,t ₍₁₎

Onde x_t é o valor real da demanda no período t e xˆ_t1,t é a previsão da demanda feita no período t-1 para o período t.

Brown (1962) forneceu a primeira proposta para monitoramento de modelos de previsão, que consiste em computar a cada período uma estatística Tracking Signal definida por:

t t t DAM EAC TSB  (2)

Onde EAC_té a soma cumulativa dos erros de previsão no período t, calculada pela fórmula recursiva EAC_t e_t EAC_t1. O valor inicial da soma cumulativa dos erros



EAC_inicial



é definido como zero. DAM_t é a estimativa do desvio absoluto médio do erro no período t, atualizada por amortecimento exponencial simples pela fórmula recursiva



1



1

1  1 

 _{t t}

t e DAM

DAM





, onde ₁ é uma constante de amortecimento escolhida pelo usuário do método e pode assumir valores entre 0 e 1.

Para calcular o valor inicial do desvio absoluto médio do erro



DAM_inicial



para iniciar o cálculo recursivo, Brown (1962), bem como Gardner (1983 e 1985), em seus trabalhos teóricos, utilizou o valor real do desvio-padrão do componente aleatório da série temporal. Na prática, porém, o gestor – que fará as previsões – não tem conhecimento do valor verdadeiro do desvio-padrão, sendo obrigado a estimá-lo.

Muitos autores, inclusive Brown (1962), propuseram substituir DAM_t na equação (2) pela raiz quadrada do erro quadrático médio a cada instante t



EQM_t



, atualizada por amortecimento exponencial simples pela fórmula recursiva EQM_t 



₁e_t2 



1



₁



EQM_t1, como mostra equação abaixo.

5 t t t EQM EAC TSB'  (3) Trigg (1964) propôs substituir, na Equações (2), a soma cumulativa do erro EAC_t pelo erro amortecido exponencialmente EAMt, como mostrado abaixo.

t t t DAM EAM TST  (4) Onde EAM_t é atualizado recursivamente porEAMt ₁et 



1₁



EAMt₁. Segundo Trigg

(1964), a estatística TST tem variância menor que TSB e por esse motivo seria mais eficiente na detecção de viés. Igualmente como que feito com a estatística de Brown (1962), também será testada nesse trabalho uma variante de TST, denominada TST’, que consiste na substituição de DAM_t por EQM_t , como mostra a equação (5).

t t t EQM EAM TST'  (5) Essas quatro estatísticas Tracking Signal (TSB, '

TSB, TST e '

TST ) se mostraram de fácil aplicação, pois não exigem a manipulação de muitos dados, uma vez que as equações (2), (3), (4) e (5) utilizam apenas duas informações do período anterior.

A cada período t as estatísticas Tracking Signal são processadas. Quando seus valores

ultrapassam um determinado valor-limite, é considerado um sinal de existência de viés na previsão, como conseqüência, é necessário rever o modelo de previsão adotado. Dessa forma, uma técnica de monitoramentos é formada por uma estatística e por limites de controle para a mesma, de forma semelhante aos Gráficos de Controle de Processos

Gráficos de Controle de Processos se baseiam em comparar alguma estatística, com distribuição de probabilidade conhecida, calculada periodicamente a partir de dados de qualidade do processo sendo monitorado, com limites de controle obtidos para que tenham uma baixa probabilidade de serem ultrapassados em condições normais (processo em controle), de tal maneira que a ultrapassagem do limite pela estatística usada é indício de problemas internos ao processo (COSTA et al. 2004).

6 As técnicas formais de monitoramento de viés em previsão de demanda constituem-se, portanto, de “Gráficos de Controle” onde os dados do processo são os erros de previsão e as estatísticas de monitoramento (Tracking Signal) são funções desses erros. Contudo, em muitas situações, não é conhecida a distribuição de probabilidade dessas estatísticas pelo fato dos erros de previsão serem auto-correlacionados em decorrência dos procedimentos de amortecimento exponencial empregados nos métodos de previsão, dificultando assim, obter expressões matemáticas para os limites de controle.

Segundo Brown (1962) a estatística TSB, quando obtida a partir dos erros amortecidos exponencialmente, apresenta distribuição aproximadamente normal para ₁0,1. Gardner (1983) chegou à mesma conclusão. A estatística TST, segundo Trigg (1964), também apresenta distribuição normal quando obtida a partir de erros de previsão independentes e normalmente distribuídos, desde que ₁ 0,1. Batty (1969) e McKenzie (1978) confirmaram que para ₁0,1 a hipótese de normalidade de TST se mantém. Embasados por essa hipótese, todos esses autores desenvolveram expressões matemáticas para estimar a variância e os limites de controle dos Trackin Signal em função de ₁ quando o mesmo é menor que 0,1.

Nas situações em que não se conhece a distribuição de probabilidade dos Tracking Signals, resta recorrer à simulação para definir os limites de controle. Através de simulação, é possível construir tabelas com a distribuição acumulada estimada dessas estatísticas, como fizeram Trigg (1964), para TST a partir de erros de previsão independentes e ₁



0,1;0,2



, e Batty (1969), para o caso de erros de previsão por amortecimento exponencial simples considerando os valores ₁



0,1;0,2;0,3;0,40,5



.

Técnicas de simulação também possibilitam determinar limites de controle em função de uma medida conhecida como número médio de períodos até um alarme (NMA), normalmente utilizada em Controle Estatístico de Processos (CEP). O uso do NMA como medida de desempenho na detecção de viés em previsão de demanda foi proposto por Gardner (1983) que foi um dos pioneiros em buscar a estatística mais eficiente para detecção de viés em previsão de demanda fazendo a comparação de desempenho entre TSB e TST. O presente trabalho também utiliza a medida de desempenho NMA.

7 Cada técnica pode gerar um alarme falso ou verdadeiro. Nesse contexto, o primeiro passo para comparar as técnicas de monitoramento é calibrar os limites de controle até que os mesmos forneçam um número médio de períodos até um alarme falso (NMA0) considerado aceitável pelo gestor.

Uma vez feito isso, as técnicas de monitoramento são comparadas com relação à eficiência em gerar alarmes verdadeiros. Assim, quanto menor o número médio de períodos até um alarme verdadeiro (NMA1) melhor será a técnica de monitoramento.

Idealmente o NMA0 deve ser grande e o NMA1 deve ser pequeno. Infelizmente os objetivos de maximizar NMA0 e minimizar NMA1 são conflitantes, pois, fixados os demais parâmetros, a maiores NMA0’s correspondem a maiores NMA1’s.

Cohen et. al (2009) propuseram uma alternativa para determinar os limites de controle a partir da construção de curvas características de operação (ROC). Essas curvas permitem observar para cada combinação de ₁ e limites, as taxas de alarmes verdadeiros e alarmes falsos correspondentes. Contudo, seus resultados dificilmente podem ser generalizados para qualquer série temporal, pois esses autores estudaram apenas séries reais de ocorrências de crimes de duas cidades americanas.

Snyder e Koehler (2009) propuseram um método de previsão que, para os autores, dispensa monitoramento e conseqüentemente limites de controle. Em suma, os autores apresentam o método de previsão por amortecimento exponencial com damped-trend e erro amortecido exponencialmente com uma restrição extra e concluiu que esse modelo é equivalente ao auto-monitoramento e auto-correção automática. Contudo, o método proposto por Snyder e Koehler (2009) não foi comparado com as estatísticas Tracking Signal e não foi tratado no presente estudo.

As pesquisas voltadas para comparar o desempenho entre TST e TSB se resumiram a um universo pequeno de combinações de valores dos parâmetros das estatísticas e modelos de previsão. As previsões monitoradas nessas comparações de desempenho se restringiram àquelas por amortecimento exponencial simples. Além disso, a única forma estudada de alteração no comportamento da série temporal que leva ao surgimento do viés na previsão foi a mudança em degrau do nível.

8

3. Metodologia proposta e experimento de simulação

A análise de desempenho das técnicas TSB, TSB´, TST, TST’, foi feita por simulação utilizando o programa MATLAB. Como visto na introdução, para cada uma das quatro técnicas de monitoramento, três tipos de mudanças no comportamento da demanda (geradoras de viés) foram estudados.

O primeiro tipo consiste em mudanças no nível de modelos de séries temporais constantes representados pela expressãox_t a_t, onde x_t é a demanda no período t,

a

é o nível médio da demanda e _t é o valor do ruído no período t, que se supõe ser normalmente distribuído com média zero e variância 2

. Essa mudança será denominada CONSTANTE – DEGRAU. Depois da alteração, a demanda passa a ser representada por aa_t, onde a representa a mudança no nível.

O segundo tipo é o surgimento de tendências em modelos de séries temporais constantes. Essa mudança será denominada CONSTANTE – TENDÊNCIA. Depois dessa alteração, a demanda passa a ser representada por ab_t, onde b representa a inclusão da tendência.

Por fim, o terceiro tipo são alterações na tendência em modelos de séries temporais lineares com tendência representados pela expressão x_t abt_t, onde b é a taxa de crescimento ou decrescimento. Essa mudança será denominada TENDÊNCIA – NOVA TENDÊNCIA. Depois dessa alteração, a demanda passa a ser representada por abbt_t, onde b

representa a mudança na tendência.

A previsão de demanda para o modelo constante foi feita por amortecimento exponencial simples que é calculada recursivamente pela equação abaixo.





_{t t} t t t x x xˆ_,1   1 ˆ_1, (6) Onde xˆ_t,t1 é a previsão feita no período t para o período seguintes (t+1) e é a constantes de amortecimento.

9 A previsão para o modelo linear foi calculada por amortecimento exponencial duplo, conhecido como modelo de Holt, que utiliza as seguintes equações para atualização recursiva das estimativas dos parâmetros e previsão um passo a frente.

1 -t 1 -t t t 1 -t 1 -t t 1 , ˆ ) 1 ( ) ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ )( 1 ( ˆ ˆ ˆ ˆ b a a b b a x a b a x t t t t t                , (7) Sendo aˆ_t e bˆ as estimativas de nível e taxa de crescimento no instante _t t respectivamente. 

e  são constantes de amortecimento que podem assumir valores entre 0 e 1.

Com o objetivo de simplificar e diminuir o número de combinações entre  e , utilizou-se uma expressão sugerida por Brown (1962), que representa um caso particular do método de

Holt. Nesse caso, para cada valor  existe apenas um valor de , calculado por:











2

1

1 

 ₍₈₎

Os limites de controle foram calibrados de maneira a fornecer NMA0 = 50, o que significa, por exemplo, esperar em média um alarme falso por ano em um sistema de previsões semanais.

Antes da inserção das mudanças de comportamento na demanda (por simulação) e da calibragem é necessário definir os valores de cada parâmetro dos modelos de previsão e das técnicas de monitoramento a serem testados na simulação.

O parâmetro de amortecimento α foi variado de 0,045 a 0,3 a cada 0,015, totalizando 18 valores. O parâmetro de amortecimento β foi variado de acordo com os valores de α segundo a Equação 8, totalizando 18 valores (e 18 pares [α, β]). O parâmetro de amortecimento α1 foi variado de 0,01 a 0,1 a cada 0,01, totalizando 10 valores e 180 combinações entre [α, β] e α1. Esses valores foram escolhidos com base nas sugestões de Silver et al. (1998), em valores típicos no contexto de controle estatístico de processo - CEP (COSTA et al., 2004) e em pequenos testes realizados e considerados razoáveis com base na experiência.

Uma vez definidos os valores de cada parâmetro das técnicas de monitoramento e modelos de previsão a serem testados por simulação, é possível dar início ao processo de calibragem dos

10 limites de controle – para cada combinação de parâmetros – das técnicas de monitoramento para um número médio de períodos até um alarme falso considerado razoável, ou seja, para o estudo em questão, NMA0 = 50. As Seções 3.1 e 3.2 detalham os processos de calibragem e obtenção de NMA1, respectivamente.

3.1 Procedimento de calibragem (para NMA0 = 50)

Inicialmente foram gerados aleatoriamente 1000 valores do ruído 



 ~ N

 

0,1



, e com esses valores, foi obtida uma série temporal simulada de cada modelo (constante e linear).

Os 36 primeiros períodos de cada série são utilizados como histórico da demanda para inicializar os processos de previsão e monitoramento. Começam-se, então, a fazer previsões a partir do período 37, possibilitando o cálculo dos erros de previsão que são utilizados nas técnicas de monitoramento TSB, TSB´, TST, TST’.

A partir do período 37, cada estatística é processada e começa-se uma contagem de períodos. Quando, para cada técnica, surge um alarme (ou seja, um valor da estatística fora dos limites de controle, que até então foram escolhidos arbitrariamente), o processamento da mesma é interrompido e o número de períodos até um alarme falso é armazenado (NA0). O alarme é falso, pois não foi inserida nenhuma alteração no modelo gerador da série temporal em questão. Esse procedimento é repetido dez mil vezes e uma média dos valores de NA0 (NMA0) é obtida para cada técnica de monitoramento e combinação de parâmetros.

Esse procedimento depende dos limites de controle que são variados utilizando o método de busca da Secante no qual, para cada valor dos limites, repete-se todo o procedimento para avaliar o NMA0 até que os valores dos limites, que produzam um NMA0 = 50, sejam encontrados. Isso foi feito para cada combinação de valores de parâmetros.

3.2 Obtenção de NMA1

O procedimento para obtenção de NMA1 é semelhante ao de NMA0. Porém, nesse caso, já estão definidos os valores dos limites de controle das técnicas de monitoramento, para cada combinação dos parâmetros, que geram NMA0 = 50.

11 Foram testados quatro valores para a e b em função do desvio-padrão do ruído (σ). São eles: a



0,5;1;1,5;2



e b



0,05;0,1; 0,25; 0,5



.

De forma semelhante ao que foi feito para as calibragens das técnicas, inicialmente foram gerados aleatoriamente 1000 valores de 



 ~ N

 

0,1



, e com esses valores, foi obtida uma série temporal de cada modelo.

No período 57 um incremento a ou b é inserido na série. Começam-se, então, a fazer previsões a partir do período 37. Assim, os erros de previsão são calculados e utilizados nas técnicas de monitoramento com os limites já calibrados para NMA0 = 50. A partir do período 37, cada estatística é processada e é dado início ao monitoramento. A contagem de períodos até um alarme começa a partir da introdução da mudança de comportamento (no período 57). Então, quando, para cada técnica, surge um alarme, após a inserção do viés, o processamento da mesma é interrompido e o número de períodos até um alarme verdadeiro é armazenado (NA1). Esse procedimento é repetido dez mil vezes e uma média dos valores de NA1 (NMA1) é obtida para cada técnica de monitoramento e combinação de parâmetros. Essa média é utilizada na comparação das técnicas.

Para cada parâmetro dos métodos de previsão – escolhidos pelo gestor – existe um conjunto de técnica de monitoramento, com uma combinação de parâmetros, que apresenta o melhor desempenho, ou seja, os menores NMA1’s.

4. Resultados e análises

Ao final do experimento de simulação foram obtidos 720 resultados de NMA1 referentes a cada combinação de , ₁ e a (ou b) para cada uma das quatro estatísticas testadas e para cada uma dos três tipos de mudanças de comportamento, totalizando 8.640 resultados. Cada um desses resultados de NMA1 foi gerado com um limite de controle especifico que resulta em NMA0 = 50, obtido no processo de calibragem. Observou-se que, com poucas exceções, as combinações de



₁,Limite



, para cada estatística, e tipo de mudança de

12 comportamento, que tiveram melhor desempenho para as menores alterações na demanda (a0,5 oub0,05) mantiveram essa superioridade para alterações maiores.

Sendo assim, os pares



₁,Limite



que resultam nos menores NMA1’s para   o 0,05 5 , 0   

a u b foram agrupados nas Tabelas 1, 2 e 3 para posterior comparação das estatísticas. Os limites de controle das estatísticas TSB, TSB’, TST, TST’, foram denotados por LB, LB’, LT e LT’ respectivamente. O erro-padrão de cada resultado também está presente nas tabelas.

Pelas tabelas, observa-se que todas as estatísticas testadas apresentaram desempenho semelhante. Nota-se ainda que para pequenos aoub as diferenças entre valores de NMA1 são maiores (para qualquer  e qualquer estatística). Contudo, com o aumento em aoub essas diferenças diminuem consideravelmente, ou seja, quanto mais acentuada é a mudança de comportamento na demanda, mais semelhantes se tornam os desempenhos de cada estatística.

Outra observação importante foi que todos os resultados de desempenho independem dos valores iniciais de a e b e que os valores de NMA1 são constantes, desde que mantidas as proporções a  ou b , o que reflete a generalidade desses resultados.

Para que a estatística mais eficiente fosse identificada, o erro-padrão da simulação foi utilizado para verificar se alguma estatística é significativamente melhor que outra. Dessa forma, considerando nas Tabelas 1, 2 e 3 a faixa



NMA₁erro, NMA₁erro



, nos casos em que ocorre superposição das faixas de duas técnicas, essas são consideradas equivalentes. Caso contrário (quando não ocorre superposição), um resultado é significativamente superior ao outro. A Figura 1 ilustra o uso desse critério.

13

Δa NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro Δa NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro

0.50 α1 15.80 0.18 α1 15.64 0.19 α1 16.30 0.18 α1 16.47 0.29 0.50 α1 18.97 0.31 α1 18.24 0.30 α1 17.21 0.36 α1 16.98 0.59 1.00 0.01 7.00 0.04 0.01 6.93 0.04 0.06 7.99 0.04 0.01 7.32 0.06 1.00 0.01 6.31 0.06 0.01 6.18 0.06 0.02 6.40 0.07 0.03 6.51 0.12 1.50 LT 4.60 0.02 LT' 4.58 0.02 LB 5.51 0.02 LB' 4.87 0.03 1.50 LT 3.74 0.03 LT' 3.69 0.03 LB 3.87 0.03 LB' 3.94 0.05 2.00 0.06 3.48 0.01 0.05 3.48 0.01 6.89 4.32 0.01 5.49 3.64 0.02 2.00 0.04 2.72 0.02 0.04 2.70 0.02 4.58 2.82 0.02 3.63 2.93 0.03 0.50 α1 16.14 0.20 α1 15.87 0.21 α1 16.22 0.20 α1 16.32 0.33 0.50 α1 19.41 0.31 α1 18.65 0.30 α1 17.32 0.37 α1 17.22 0.60 1.00 0.01 6.84 0.05 0.01 6.79 0.05 0.04 7.43 0.06 0.03 7.43 0.09 1.00 0.01 6.35 0.06 0.01 6.21 0.06 0.05 6.55 0.08 0.03 6.44 0.12 1.50 LT 4.41 0.03 LT' 4.38 0.03 LB 4.95 0.03 LB' 4.88 0.05 1.50 LT 3.68 0.03 LT' 3.63 0.03 LB 4.00 0.03 LB' 3.88 0.05 2.00 0.06 3.32 0.02 0.05 3.30 0.02 6.41 3.81 0.02 5.12 3.75 0.03 2.00 0.04 2.67 0.02 0.03 2.65 0.02 4.42 3.02 0.02 3.53 2.87 0.03 0.50 α1 16.45 0.25 α1 16.05 0.24 α1 16.35 0.22 α1 16.10 0.36 0.50 α1 19.29 0.32 α1 18.53 0.33 α1 17.64 0.38 α1 16.98 0.62 1.00 0.02 6.60 0.05 0.01 6.74 0.05 0.04 7.15 0.06 0.03 7.20 0.09 1.00 0.01 6.24 0.06 0.01 6.16 0.06 0.02 6.31 0.08 0.03 6.42 0.13 1.50 LT 4.25 0.03 LT' 4.27 0.03 LB 4.71 0.03 LB' 4.60 0.05 1.50 LT 3.64 0.03 LT' 3.61 0.03 LB 3.75 0.03 LB' 3.85 0.05 2.00 0.11 3.21 0.02 0.05 3.22 0.02 6.03 3.64 0.02 4.80 3.59 0.03 2.00 0.04 2.62 0.02 0.03 2.61 0.02 4.34 2.75 0.02 3.44 2.84 0.03 0.50 α1 16.29 0.24 α1 15.75 0.23 α1 16.39 0.23 α1 16.12 0.38 0.50 α1 19.41 0.34 α1 18.74 0.34 α1 17.80 0.40 α1 17.80 0.65 1.00 0.01 6.50 0.05 0.01 6.40 0.05 0.04 7.07 0.06 0.03 6.86 0.09 1.00 0.01 6.22 0.07 0.01 6.08 0.07 0.04 6.46 0.09 0.07 6.71 0.15 1.50 LT 4.14 0.03 LT' 4.10 0.03 LB 4.57 0.03 LB' 4.51 0.05 1.50 LT 3.64 0.03 LT' 3.61 0.03 LB 3.88 0.04 LB' 4.14 0.06 2.00 0.06 3.10 0.02 0.04 3.08 0.02 5.73 3.47 0.02 4.56 3.43 0.03 2.00 0.04 2.59 0.02 0.03 2.58 0.02 4.39 2.82 0.02 3.34 3.13 0.03 0.50 α1 17.03 0.23 α1 16.62 0.23 α1 16.30 0.25 α1 16.26 0.39 0.50 α1 20.25 0.37 α1 19.51 0.36 α1 18.21 0.47 α1 17.85 0.72 1.00 0.01 6.39 0.05 0.01 6.28 0.05 0.03 6.83 0.06 0.04 6.84 0.10 1.00 0.01 6.26 0.07 0.01 6.15 0.07 0.05 6.51 0.10 0.03 6.39 0.16 1.50 LT 4.01 0.03 LT' 3.97 0.03 LB 4.32 0.03 LB' 4.45 0.05 1.50 LT 3.60 0.03 LT' 3.56 0.03 LB 3.92 0.03 LB' 3.80 0.06 2.00 0.05 2.98 0.02 0.04 2.98 0.02 5.46 3.30 0.02 4.35 3.40 0.03 2.00 0.04 2.60 0.02 0.03 2.58 0.02 4.09 2.86 0.02 3.28 2.77 0.03 0.50 α1 16.78 0.23 α1 16.35 0.23 α1 16.37 0.26 α1 16.16 0.43 0.50 α1 20.74 0.35 α1 19.59 0.35 α1 18.09 0.46 α1 18.14 0.79 1.00 0.01 6.30 0.05 0.01 6.21 0.05 0.04 6.81 0.06 0.07 7.02 0.10 1.00 0.01 6.36 0.06 0.01 6.21 0.06 0.03 6.44 0.11 0.03 6.47 0.16 1.50 LT 3.89 0.03 LT' 3.86 0.03 LB 4.31 0.03 LB' 4.59 0.05 1.50 LT 3.55 0.03 LT' 3.49 0.03 LB 3.78 0.04 LB' 3.73 0.06 2.00 0.05 2.92 0.02 0.04 2.90 0.02 5.23 3.23 0.02 4.18 3.61 0.03 2.00 0.04 2.54 0.02 0.03 2.51 0.02 4.02 2.69 0.02 3.21 2.69 0.03 0.50 α1 17.73 0.26 α1 17.22 0.25 α1 16.75 0.28 α1 16.63 0.44 0.50 α1 21.20 0.36 α1 20.12 0.36 α1 18.82 0.50 α1 18.27 0.80 1.00 0.01 6.34 0.06 0.01 6.24 0.05 0.08 6.99 0.06 0.03 6.55 0.10 1.00 0.01 6.39 0.07 0.01 6.24 0.07 0.07 6.92 0.11 0.08 6.86 0.17 1.50 LT 3.86 0.03 LT' 3.81 0.03 LB 4.57 0.03 LB' 4.17 0.05 1.50 LT 3.54 0.03 LT' 3.51 0.03 LB 4.01 0.04 LB' 4.15 0.06 2.00 0.05 2.86 0.02 0.04 2.84 0.02 5.02 3.54 0.02 4.02 3.15 0.03 2.00 0.04 2.53 0.02 0.03 2.52 0.02 3.90 2.92 0.02 3.11 3.07 0.04 0.50 α1 17.47 0.27 α1 16.85 0.28 α1 16.54 0.29 α1 16.58 0.47 0.50 α1 21.57 0.39 α1 20.31 0.38 α1 18.83 0.51 α1 18.43 0.87 1.00 0.01 6.30 0.06 0.01 6.20 0.06 0.01 6.41 0.06 0.03 6.57 0.10 1.00 0.01 6.40 0.07 0.01 6.21 0.07 0.05 6.55 0.12 0.05 6.61 0.18 1.50 LT 3.79 0.03 LT' 3.74 0.03 LB 3.92 0.03 LB' 4.08 0.05 1.50 LT 3.58 0.03 LT' 3.53 0.03 LB 3.88 0.04 LB' 3.84 0.07 2.00 0.05 2.79 0.02 0.04 2.77 0.02 4.87 2.86 0.02 3.88 3.04 0.03 2.00 0.04 2.51 0.02 0.03 2.48 0.02 3.82 2.75 0.02 3.05 2.76 0.03 0.50 α1 19.04 0.30 α1 18.36 0.29 α1 17.06 0.30 α1 16.76 0.51 0.50 α1 21.13 0.40 α1 20.34 0.39 α1 19.02 0.53 α1 19.02 0.86 1.00 0.01 6.30 0.06 0.01 6.21 0.06 0.07 6.87 0.07 0.07 6.73 0.12 1.00 0.01 6.59 0.09 0.01 6.40 0.09 0.02 6.52 0.13 0.04 6.56 0.21 1.50 LT 3.74 0.03 LT' 3.71 0.03 LB 4.28 0.03 LB' 4.39 0.05 1.50 LT 3.57 0.03 LT' 3.51 0.03 LB 3.64 0.04 LB' 3.79 0.07 2.00 0.05 2.77 0.02 0.04 2.75 0.02 4.67 3.26 0.02 3.75 3.31 0.03 2.00 0.04 2.49 0.02 0.03 2.47 0.02 3.80 2.57 0.02 3.01 2.70 0.04 TST TST' TSB TSB' 0 .0 4 5 0 .1 8 0 α TST TST' TSB TSB' α 0 .1 9 5 0 .0 7 5 0 .2 1 0 0 .0 9 0 .2 2 5 0 .0 6 0 .2 8 5 0 .1 6 5 0 .3 0 0 0 .1 0 5 0 .2 4 0 0 .1 2 0 .2 5 5 0 .1 3 5 0 .2 7 0 0 .1 5 Fonte: Autores

Figura 1 – Ilustração de como o erro-padrão foi utilizado para comparação.

14 Tabela 2 – Valores de NMA1 em função de



1 Lb



para Constante – Tendência

Δb NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro Δb NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro

0.05 α1 14.03 0.13 α1 14.07 0.13 α1 14.26 0.08 α1 14.28 0.08 0.05 α1 14.10 0.14 α1 14.16 0.14 α1 14.10 0.08 α1 14.09 0.08 0.10 0.03 10.08 0.08 0.03 10.05 0.08 0.02 10.47 0.05 0.01 10.46 0.05 0.10 0.01 9.74 0.08 0.01 9.76 0.08 0.01 9.77 0.05 0.03 9.87 0.05 0.25 LT 6.42 0.04 LT' 6.42 0.04 LB 6.75 0.03 LB' 6.77 0.03 0.25 LT 5.90 0.04 LT' 5.88 0.04 LB 6.01 0.03 LB' 6.01 0.03 0.50 0.18 4.55 0.03 0.14 4.59 0.03 6.90 4.81 0.02 5.49 4.85 0.02 0.50 0.04 4.08 0.03 0.04 4.06 0.03 4.61 4.12 0.02 3.63 4.20 0.02 0.05 α1 13.95 0.13 α1 14.01 0.13 α1 14.30 0.08 α1 14.27 0.08 0.05 α1 14.28 0.14 α1 14.09 0.14 α1 14.18 0.08 α1 14.19 0.08 0.10 0.03 9.91 0.08 0.03 9.96 0.08 0.03 10.38 0.05 0.01 10.37 0.05 0.10 0.01 9.72 0.08 0.01 9.70 0.08 0.02 9.85 0.05 0.02 9.83 0.05 0.25 LT 6.30 0.04 LT' 6.28 0.04 LB 6.63 0.03 LB' 6.63 0.03 0.25 LT 5.88 0.04 LT' 5.84 0.04 LB 6.01 0.03 LB' 6.01 0.03 0.50 0.17 4.45 0.03 0.13 4.52 0.03 6.43 4.77 0.02 5.12 4.81 0.02 0.50 0.04 4.02 0.03 0.03 4.04 0.03 4.46 4.11 0.02 3.55 4.12 0.02 0.05 α1 14.02 0.13 α1 13.94 0.13 α1 14.11 0.08 α1 14.11 0.08 0.05 α1 14.25 0.14 α1 14.34 0.14 α1 14.11 0.09 α1 14.12 0.08 0.10 0.03 9.98 0.08 0.03 9.88 0.08 0.01 10.11 0.05 0.01 10.07 0.05 0.10 0.01 9.78 0.08 0.02 9.72 0.08 0.03 9.95 0.05 0.03 10.00 0.05 0.25 LT 6.24 0.04 LT' 6.18 0.04 LB 6.44 0.03 LB' 6.44 0.03 0.25 LT 5.80 0.04 LT' 5.88 0.04 LB 5.96 0.03 LB' 5.97 0.03 0.50 0.16 4.38 0.03 0.13 4.37 0.03 6.08 4.54 0.02 4.83 4.54 0.02 0.50 0.04 4.01 0.03 0.03 4.03 0.03 4.32 4.16 0.02 3.44 4.15 0.02 0.05 α1 13.96 0.13 α1 13.93 0.13 α1 14.02 0.08 α1 14.06 0.08 0.05 α1 14.19 0.14 α1 14.33 0.14 α1 14.19 0.10 α1 14.19 0.09 0.10 0.02 9.85 0.08 0.02 9.77 0.08 0.01 9.94 0.05 0.01 9.98 0.05 0.10 0.01 9.74 0.08 0.01 9.78 0.08 0.02 9.81 0.06 0.02 9.81 0.05 0.25 LT 6.17 0.04 LT' 6.21 0.04 LB 6.33 0.03 LB' 6.34 0.03 0.25 LT 5.85 0.04 LT' 5.85 0.04 LB 5.99 0.03 LB' 5.99 0.03 0.50 0.11 4.32 0.03 0.08 4.36 0.03 5.75 4.42 0.02 4.58 4.43 0.02 0.50 0.04 3.99 0.03 0.03 3.97 0.03 4.24 4.08 0.02 3.38 4.09 0.02 0.05 α1 13.86 0.13 α1 13.99 0.13 α1 14.03 0.08 α1 14.08 0.08 0.05 α1 14.30 0.14 α1 14.39 0.14 α1 14.40 0.10 α1 14.43 0.09 0.10 0.01 9.77 0.08 0.01 9.83 0.08 0.02 10.05 0.05 0.02 10.03 0.05 0.10 0.01 9.74 0.08 0.01 9.76 0.08 0.01 9.80 0.06 0.03 9.90 0.05 0.25 LT 6.14 0.04 LT' 6.14 0.04 LB 6.23 0.03 LB' 6.23 0.03 0.25 LT 5.80 0.04 LT' 5.84 0.04 LB 5.89 0.03 LB' 5.94 0.03 0.50 0.05 4.25 0.03 0.04 4.28 0.03 5.48 4.43 0.02 4.36 4.45 0.02 0.50 0.04 3.97 0.03 0.03 3.96 0.02 4.16 4.02 0.02 3.28 4.07 0.02 0.05 α1 13.91 0.13 α1 13.91 0.13 α1 14.03 0.08 α1 13.93 0.08 0.05 α1 14.34 0.15 α1 14.26 0.15 α1 14.25 0.10 α1 14.31 0.09 0.10 0.01 9.77 0.08 0.01 9.79 0.08 0.06 10.12 0.05 0.04 9.97 0.05 0.10 0.01 9.78 0.09 0.01 9.75 0.08 0.01 9.78 0.06 0.02 9.87 0.05 0.25 LT 6.07 0.04 LT' 6.04 0.04 LB 6.42 0.03 LB' 6.30 0.03 0.25 LT 5.80 0.04 LT' 5.79 0.04 LB 5.85 0.03 LB' 5.89 0.03 0.50 0.05 4.20 0.03 0.04 4.23 0.03 5.23 4.57 0.02 4.16 4.45 0.02 0.50 0.04 3.94 0.03 0.03 3.96 0.02 4.07 4.00 0.02 3.21 4.01 0.02 0.05 α1 13.85 0.14 α1 13.95 0.13 α1 14.06 0.08 α1 14.10 0.08 0.05 α1 14.34 0.15 α1 14.44 0.15 α1 14.31 0.10 α1 14.32 0.09 0.10 0.01 9.76 0.08 0.01 9.71 0.08 0.01 9.81 0.05 0.01 9.86 0.05 0.10 0.01 9.80 0.09 0.01 9.85 0.08 0.01 9.83 0.06 0.01 9.79 0.05 0.25 LT 5.98 0.04 LT' 6.01 0.04 LB 6.11 0.03 LB' 6.11 0.03 0.25 LT 5.85 0.04 LT' 5.79 0.04 LB 5.86 0.03 LB' 5.87 0.03 0.50 0.05 4.19 0.03 0.04 4.15 0.03 5.06 4.23 0.02 4.03 4.24 0.02 0.50 0.04 3.95 0.03 0.03 3.93 0.03 4.00 3.98 0.02 3.18 3.97 0.02 0.05 α1 13.92 0.14 α1 14.00 0.14 α1 13.95 0.08 α1 14.00 0.08 0.05 α1 14.53 0.15 α1 14.62 0.15 α1 14.45 0.11 α1 14.40 0.09 0.10 0.01 9.71 0.08 0.01 9.69 0.08 0.02 9.86 0.05 0.02 9.87 0.05 0.10 0.01 9.92 0.09 0.01 9.77 0.08 0.02 9.90 0.06 0.03 9.91 0.05 0.25 LT 5.94 0.04 LT' 5.93 0.04 LB 6.07 0.03 LB' 6.08 0.03 0.25 LT 5.88 0.04 LT' 5.83 0.04 LB 5.96 0.03 LB' 5.92 0.03 0.50 0.05 4.11 0.03 0.04 4.11 0.03 4.88 4.24 0.02 3.89 4.26 0.02 0.50 0.04 3.92 0.03 0.03 3.93 0.03 3.89 3.98 0.02 3.08 3.99 0.02 0.05 α1 14.04 0.12 α1 13.99 0.14 α1 14.07 0.08 α1 14.00 0.08 0.05 α1 14.65 0.15 α1 14.37 0.15 α1 14.50 0.11 α1 14.45 0.09 0.10 0.01 9.70 0.06 0.01 9.80 0.08 0.03 9.98 0.05 0.04 9.81 0.05 0.10 0.01 9.85 0.09 0.01 9.82 0.09 0.01 9.94 0.07 0.03 9.91 0.05 0.25 LT 5.93 0.03 LT' 5.94 0.04 LB 6.11 0.03 LB' 6.15 0.03 0.25 LT 5.78 0.04 LT' 5.81 0.04 LB 5.82 0.03 LB' 5.95 0.03 0.50 0.09 4.08 0.02 0.04 4.11 0.03 4.71 4.27 0.02 3.74 4.28 0.02 0.50 0.04 3.87 0.03 0.03 3.89 0.03 3.84 3.94 0.02 3.02 4.02 0.02 TST TST' TSB TSB' 0 .0 4 5 0 .1 8 0 α TST TST' TSB TSB' α 0 .1 9 5 0 .0 7 5 0 .2 1 0 0 .0 9 0 .2 2 5 0 .0 6 0 .2 8 5 0 .1 6 5 0 .3 0 0 0 .1 0 5 0 .2 4 0 0 .1 2 0 .2 5 5 0 .1 3 5 0 .2 7 0 0 .1 5 Fonte: Autores

Dessa forma, conclui-se que: no caso Constante – Degrau, para valores de  no intervalo



0,165; 0,3



, as estatísticas TSB e TSB’, apresentaram desempenho melhor que as estatísticas

TST e TST’. Para os outros valores de



, de fato, não houve diferenças significativas entre desempenhos.

Para o caso Constante – Tendência não houve diferença significativa nos desempenhos para nenhum valor de



. No caso Tendência – Nova tendência, as estatísticas TSB e TSB’ são mais eficientes para qualquer



. Essas conclusões estão resumidas na Figura 2.

15 Assim, o gestor poderá utilizar a Figura 2, juntamente com as Tabelas 1, 2 e 3, como ferramenta para identificar os parâmetros



₁ Limite



a serem utilizados no monitoramento de suas previsões a partir de um valor de α.

Tabela 3 – Valores de NMA1 em função de



 1 Lb



para Tendência – Nova tendência

Δb NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro Δb NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro NMA1 erro

0.05 α1 16.42 0.13 α1 16.61 0.13 α1 17.66 0.14 α1 17.79 0.14 0.05 α1 17.60 0.16 α1 17.34 0.15 α1 17.36 0.15 α1 17.26 0.14 0.10 0.06 11.49 0.07 0.04 11.57 0.08 0.01 12.54 0.08 0.02 12.76 0.08 0.10 0.02 10.93 0.07 0.01 10.84 0.07 0.01 11.11 0.07 0.03 11.21 0.07 0.25 LT 7.22 0.04 LT' 7.41 0.04 LB 8.03 0.04 LB' 8.20 0.04 0.25 LT 6.29 0.03 LT' 6.34 0.03 LB 6.47 0.03 LB' 6.51 0.03 0.50 0.38 5.20 0.02 0.22 5.33 0.02 9.86 5.66 0.03 7.72 5.96 0.03 0.50 0.09 4.30 0.02 0.04 4.30 0.02 5.07 4.38 0.02 3.96 4.46 0.02 0.05 α1 16.53 0.28 α1 16.41 0.13 α1 17.37 0.14 α1 17.43 0.14 0.05 α1 17.26 0.16 α1 17.88 0.17 α1 17.69 0.15 α1 17.55 0.15 0.10 0.02 11.44 0.08 0.04 11.41 0.07 0.01 12.11 0.08 0.01 12.01 0.08 0.10 0.01 10.78 0.07 0.01 11.11 0.07 0.07 11.50 0.07 0.03 11.20 0.07 0.25 LT 7.15 0.04 LT' 7.05 0.04 LB 7.60 0.04 LB' 7.62 0.04 0.25 LT 6.30 0.03 LT' 6.32 0.03 LB 6.71 0.03 LB' 6.46 0.03 0.50 0.14 5.07 0.02 0.21 5.04 0.02 8.66 5.39 0.03 6.82 5.40 0.03 0.50 0.05 4.24 0.02 0.04 4.26 0.02 4.75 4.65 0.02 3.80 4.40 0.02 0.05 α1 16.53 0.13 α1 16.48 0.13 α1 17.13 0.14 α1 17.17 0.14 0.05 α1 18.31 0.16 α1 18.26 0.18 α1 18.08 0.16 α1 17.87 0.15 0.10 0.06 11.32 0.07 0.03 11.29 0.07 0.01 11.78 0.08 0.03 12.12 0.08 0.10 0.01 11.11 0.07 0.01 10.89 0.07 0.01 11.06 0.07 0.03 11.21 0.07 0.25 LT 6.86 0.03 LT' 7.07 0.04 LB 7.31 0.04 LB' 7.50 0.04 0.25 LT 6.26 0.03 LT' 6.24 0.03 LB 6.35 0.03 LB' 6.42 0.03 0.50 0.33 4.83 0.02 0.15 4.92 0.02 7.78 5.13 0.02 6.13 5.42 0.03 0.50 0.05 4.22 0.02 0.04 4.26 0.02 4.69 4.24 0.02 3.66 4.39 0.02 0.05 α1 16.40 0.14 α1 16.39 0.13 α1 16.86 0.14 α1 16.85 0.14 0.05 α1 18.07 0.20 α1 18.87 0.18 α1 18.33 0.16 α1 18.11 0.17 0.10 0.02 11.20 0.07 0.02 11.18 0.07 0.01 11.59 0.07 0.02 11.75 0.08 0.10 0.01 11.02 0.08 0.01 11.04 0.07 0.06 11.39 0.08 0.01 11.33 0.07 0.25 LT 6.82 0.04 LT' 6.80 0.04 LB 7.12 0.04 LB' 7.20 0.04 0.25 LT 6.19 0.03 LT' 6.24 0.03 LB 6.51 0.03 LB' 6.36 0.03 0.50 0.12 4.75 0.02 0.10 4.77 0.02 7.14 4.96 0.02 5.63 5.09 0.02 0.50 0.04 4.15 0.02 0.03 4.18 0.02 4.41 4.43 0.02 3.58 4.23 0.02 0.05 α1 16.65 0.13 α1 16.60 0.13 α1 16.83 0.14 α1 16.80 0.13 0.05 α1 18.71 0.20 α1 17.11 0.18 α1 18.61 0.18 α1 18.48 0.17 0.10 0.03 11.09 0.07 0.02 11.10 0.07 0.02 11.42 0.07 0.03 11.46 0.07 0.10 0.01 11.01 0.08 0.01 10.43 0.08 0.02 11.14 0.07 0.03 11.25 0.07 0.25 LT 6.72 0.03 LT' 6.71 0.04 LB 6.95 0.04 LB' 7.12 0.04 0.25 LT 6.21 0.03 LT' 5.99 0.03 LB 6.36 0.03 LB' 6.34 0.03 0.50 0.17 4.68 0.02 0.09 4.64 0.02 6.57 4.85 0.02 5.19 5.00 0.02 0.50 0.04 4.18 0.02 0.03 4.00 0.02 4.35 4.18 0.02 3.43 4.31 0.02 0.05 α1 16.50 0.14 α1 16.64 0.14 α1 16.86 0.14 α1 16.70 0.14 0.05 α1 20.78 0.18 α1 20.10 0.17 α1 19.20 0.18 α1 18.81 0.19 0.10 0.03 11.08 0.07 0.01 11.02 0.07 0.01 11.20 0.07 0.01 11.16 0.07 0.10 0.01 12.13 0.09 0.01 11.21 0.09 0.03 11.40 0.07 0.02 11.36 0.07 0.25 LT 6.60 0.03 LT' 6.67 0.03 LB 6.82 0.04 LB' 6.78 0.04 0.25 LT 7.17 0.04 LT' 6.29 0.04 LB 6.32 0.03 LB' 6.30 0.03 0.50 0.16 4.55 0.02 0.05 4.61 0.02 6.21 4.71 0.02 4.89 4.74 0.02 0.50 0.04 5.07 0.03 0.03 4.13 0.02 4.19 4.21 0.02 3.34 4.20 0.02 0.05 α1 16.49 0.14 α1 16.61 0.14 α1 16.82 0.14 α1 16.74 0.14 0.05 α1 21.51 0.29 α1 20.46 0.18 α1 19.66 0.20 α1 19.59 0.18 0.10 0.01 10.93 0.07 0.02 10.87 0.07 0.02 11.28 0.07 0.04 11.20 0.07 0.10 0.01 11.42 0.08 0.01 11.46 0.09 0.02 11.45 0.08 0.03 11.35 0.08 0.25 LT 6.54 0.03 LT' 6.56 0.03 LB 6.76 0.03 LB' 6.86 0.03 0.25 LT 6.22 0.03 LT' 6.27 0.04 LB 6.25 0.03 LB' 6.29 0.03 0.50 0.06 4.49 0.02 0.08 4.47 0.02 5.81 4.66 0.02 4.57 4.83 0.02 0.50 0.04 4.09 0.02 0.03 4.11 0.03 4.11 4.18 0.02 3.22 4.19 0.02 0.05 α1 16.84 0.14 α1 16.98 0.14 α1 16.97 0.14 α1 17.04 0.14 0.05 α1 22.27 0.22 α1 20.52 0.26 α1 20.15 0.21 α1 20.05 0.21 0.10 0.02 10.87 0.07 0.02 11.00 0.07 0.01 11.03 0.07 0.02 11.25 0.07 0.10 0.01 11.64 0.09 0.01 11.24 0.08 0.02 11.56 0.08 0.02 11.71 0.08 0.25 LT 6.41 0.03 LT' 6.47 0.03 LB 6.57 0.03 LB' 6.65 0.03 0.25 LT 6.29 0.04 LT' 6.15 0.03 LB 6.29 0.03 LB' 6.26 0.03 0.50 0.10 4.40 0.02 0.08 4.41 0.02 5.57 4.51 0.02 4.36 4.55 0.02 0.50 0.04 4.09 0.02 0.03 4.03 0.02 4.00 4.10 0.02 3.17 4.16 0.02 0.05 α1 16.74 0.15 α1 17.07 0.14 α1 17.08 0.15 α1 17.04 0.14 0.05 α1 23.04 0.35 α1 21.80 0.36 α1 21.21 0.23 α1 20.86 0.24 0.10 0.01 10.75 0.07 0.01 10.95 0.07 0.01 11.00 0.07 0.02 11.09 0.07 0.10 0.01 11.73 0.09 0.01 11.65 0.08 0.02 11.82 0.08 0.01 11.88 0.08 0.25 LT 6.31 0.03 LT' 6.47 0.03 LB 6.54 0.03 LB' 6.56 0.03 0.25 LT 6.24 0.03 LT' 6.25 0.03 LB 6.24 0.03 LB' 6.28 0.03 0.50 0.05 4.32 0.02 0.04 4.36 0.02 5.28 4.44 0.02 4.16 4.50 0.02 0.50 0.04 4.07 0.02 0.03 4.05 0.02 3.90 4.13 0.02 3.13 4.12 0.02 0 .0 7 9 0 .0 8 4 0 .0 8 9 0 .0 5 4 0 .0 5 9 0 .0 6 4 0 .0 6 9 0 .0 7 3 TST TST' TSB TSB' 0 .0 4 5 0 .1 8 0 α TST TST' TSB TSB' α β 0 .0 1 2 β 0 .0 5 0 0 .1 9 5 0 .0 7 5 0 .2 1 0 0 .0 9 0 .2 2 5 0 .0 6 0 .0 1 5 0 .0 1 9 0 .0 2 4 0 .2 8 5 0 .1 6 5 0 .3 0 0 0 .1 0 5 0 .2 4 0 0 .1 2 0 .2 5 5 0 .1 3 5 0 .2 7 0 0 .1 5 0 .0 2 8 0 .0 3 2 0 .0 3 6 0 .0 4 1 0 .0 4 5 Fonte: Autores

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Fonte: Autores

5. Conclusões e propostas para estudos futuros

A análise e comparação das quatro estatísticas Tracking Signal (TSB, TSB’, TST e TST’), via simulação, para determinadas faixas de valores de



e



(usados no amortecimento exponencial simples e duplo respectivamente) e para um número médio de períodos até um alarme falso igual a cinqüenta, apontou para três conclusões de cunho geral listadas abaixo.

a) Para a maioria das situações estudadas, as estatísticas TSB e TSB’ são mais eficientes na detecção de viés que as demais, ainda que as diferenças de desempenho sejam pequenas. Nas demais situações todas as estatísticas foram equivalentes

b) Os desempenhos de cada estatística na detecção do viés tendem a ser equivalentes à medida que se aumenta a magnitude da mudança de comportamento na demanda. c) As substituições do DAM pela raiz do EQM nas estatísticas TSB e TST, que resultam nas

estatísticas TSB’ e TST’, não fornecem diferenças significativas de desempenhos. Sugere-se que estudos futuros abordem a detecção do viés em modelos com sazonalidade, bem como outros métodos de previsão de séries temporais, como por exemplo, os modelos ARIMA, que também devem ser analisados sob a ótica do monitoramento do viés. O parâmetro de amortecimento ₁ pode ainda ser estudado com maior abrangência, pois para

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TST, McClain (1988) sugere que diferentes parâmetros de amortecimento no numerador e no

denominador produzam melhores resultados.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio da CAPES e CNPq.

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