Apostila Pesquisa Operacional

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Apostila

11

de

Introdução à Pesquisa Operacional

Prof. Dr. Gilberto S. Matos

((http://sites.google.com/site/gilbertosmatos1

http://sites.google.com/site/gilbertosmatos1))

Campina Grande - PB Campina Grande - PB Novembro / 2012 Novembro / 2012 -1

1_{Esta apostila vem sendo desenv}_{Esta apostila vem sendo desenvolvida desde de 2008.1 quando o}_{olvida desde de 2008.1 quando o Prof.}_{Prof. Gilberto S. Matos iniciou}_{Gilberto S. Matos iniciou}

sua experiência em ministrar esta disciplina, desde então o mesmo está sempre em busca da melhoria sua experiência em ministrar esta disciplina, desde então o mesmo está sempre em busca da melhoria deste

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Sumário

1

1 AprApreseesentntaçaçãoão 55

1.

1.1 1 EmEmenentata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.

1.2 2 ObjeObjetitivvosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.3

1.3 ConConteúteúdo do ProProgragramátmáticoico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.

1.4 4 MéMétodtodo o de de EnEnsisinono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.5

1.5 AAvvaliações aliações e Horáe Horários drios de Ae Atenditendimenmentoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.5

1.5.1 .1 DatData daa das Ps Prorovvas e as e ConConteúteúdodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.5

1.5.2 .2 HorHoráriários os de de AtAtendendimeimentntoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.

1.6 6 BiBiblblioiogrgraﬁaaﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2

2 IntIntroducao roducao à Pà Pesquiesquisa Osa Operacioperacionalnal 99

2.1

2.1 ObjetObjetivivos os do do CapíCapítultuloo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.2

2.2 PePesqusquisa Opeisa Operacracionional: al: o que é, quo que é, quando e coando e como surmo surgiugiu?? . . . 99 2.2

2.2.1 .1 O qO que ue é Pé Pesqesquisuisa Opea Operacracionaional?l? . . . 99 2.2

2.2.2 .2 QuaQuando e condo e como surmo surgiu a Pgiu a Pesqesquisuisa Operaa Operaciocionalnal?? . . . 1100 2.2

2.2.3 .3 CieCientntististas.as... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 2.3

2.3 Um pouUm pouco da co da TTeoreoria daia das Des Deciscisõesões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 2.

2.3.3.1 1 DeDeﬁnﬁniçiçãoão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 2.3.2

2.3.2 CaracCaracteríterísticasticas s do do ProcesProcesso so de de DeciDecisãosão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 2.3

2.3.3 .3 ClaClassissiﬁcaﬁcação ção das das DecDecisõeisõess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 2.3.4

2.3.4 AlgumAlgumas téas técnicacnicas segs segundo o undo o grau dgrau de ese estrututruturação ração da decda decisãoisão . . . . 1122 2.3

2.3.5 .5 SobSobre re DecDecisãisão o RacRacionaionall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 2.4

2.4 A NatA Natureureza da Pza da Pesqesquisuisa Opera Operaciacionalonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144 2.5

2.5 FFases dases de um e um EstudEstudo de o de PePesquisa squisa OperaciOperacionalonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144 2.6

2.6 1a. Li1a. Lista sta de de ExeExercírcíciocioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177 33

(5)

3

3 ProProgragramaçmação ão LinLinearear 1919

3.

3.1 1 InIntrtroduoduçãçãoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199 3.2

3.2 ProblProblemas de emas de ProgrProgramação Lamação Linear (inear (PPL) PPL) e Modelage Modelagem Matem Matemátiemáticaca . . . . 1199 3.2.1

3.2.1 FFormormulação ulação MatemMatemáticática a do do PPLPPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2200 3.2

3.2.2 .2 ExeExercírcíciocios s de de FixFixaçãaçãoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211 3.3

3.3 SoluçãSolução Gráﬁco Gráﬁca de um a de um ProblProblema de ema de ProgrProgramação Lamação Linear inear (PPL(PPL)) . . . . 2244 3.

3.3.3.1 1 InIntrtroduçoduçãoão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244 3.

3.3.3.2 2 ExExememplploo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244 3.3

3.3.4 .4 TipoTipos de Solus de Solução de um Pção de um PPL IlPL Ilustustradrados por Resos por Resoluolução Grção Gráﬁcáﬁcaa . . 2929 3.4

3.4 DifDifereerentntes Fes Formormas de uas de um PPm PPLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311 3.

3.4.4.1 1 InIntrtroduçoduçãoão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311 3.4.2

3.4.2 TTransforransformação mação de PPde PPL’s pL’s para a ara a FForma Porma Padrãoadrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3333 3.4

3.5 SolSoluçõeuções Básis Básicas de um Siscas de um Sistemtema de Equaça de Equações Lineões Linearearess mm ×× n,n, mm ≤ ≤ nn e e

a Resolução de um PPL Utilizando Soluções Básicas

a Resolução de um PPL Utilizando Soluções Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3355 3.

3.5.5.1 1 InIntrtroduçoduçãoão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3355 3.5

3.5.2 .2 SolSoluçãução Gerao Geral e Soluçl e Solução Básião Básica de um Sistca de um Sistema de Eqema de Equaçuações Li-ões Li-neares

neares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3366 3.5

3.5.3 .3 AplAplicaicação doção dos Ress Resultultadosados: : Um méUm método de Stodo de Soluolução de Pção de PPLPL . . . . 3377 3.

3.6 6 O O MéMétodtodo o SiSimplmplexex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388 3.6

3.6.1 .1 PrPrincincípiípios os BásBásicoicoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388 3.6

3.6.2 .2 IdéIdéia Ria Resuesumidmida soba sobre o re o MétMétodo Siodo Simplmplexex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4422 3.6.3

3.6.3 Método Método SimplSimplex ex em em TTabelas abelas (T(Tabularabular)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4422 3.

3.6.6.4 4 ExExerercícícicioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4433 3.6

3.6.5 .5 SolSoluçãução o IniIniciacial l ArtArtiﬁciﬁcialial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4444 3.6

(6)

Capítulo 1

Apresentação

Nesta apostila/disciplina não temos a pretensão de apresentar tudo sobre Pesquisa Operacional (P.O.) mas sim de introduzir algumas das principais técnicas de P.O. bem como algumas idéias sobre outras não menos importantes para resolver problemas práticos que podem surgir na vida proﬁssional.

1.1 Ementa

Introdução à P.O.: a tomada de decisão, deﬁnição de P.O., fases de um estudo de P.O.. Problemas de Programação Linear (P.P.L.): modelagem e resoluções - Gráﬁca, pela Solução Básica (algébrica) e Método Simplex. Uso de programas computacionais para a resolução de P.P.L.s: ferramenta Solver do Excel, software TORA, etc. Análise de Sensibilidade: preço dual e custo reduzido. Dualidade e Análise de Pós-otimização. Problemas de Transporte e Designação e noções sobre outras técnicas de P.O.

1.2 Objetivos

• Apresentar a Pesquisa Operacional como uma ciência que tem por objetivo

au-xiliar gerentes e administradores na tomada de decisões;

• Estudar Programação Linear (P.L.) por ser uma das técnicas mais utilizadas na

prática;

• Apresentar algumas tecnologias computacionais tais como a ferramenta Solver do

Excel, software TORA, etc., para a resolução de P.P.L.s;

• Estudar algoritmos para a resolução de Problemas de Transporte e Designação; • Apresentar noções sobre outras técnicas de P.O.

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1.3 Conteúdo Programático

• Unidade I

Introdução à P.O.: conceitos e deﬁnições sobre tomada de decisão, modelagem e P.O.. Fases de um Estudo de P.O.. Modelagem de Problemas de P.L., resolução de PPL gráﬁca e por solução básica(algébrica). O uso do software TORA.

• Unidade II

Resolução de P.P.L.s pelo Método Simplex: Princípios, Simplex Tabular e Método das duas fases. Análise de Sensibilidade: preço dual e custo reduzido. Dualidade e Análise de Pós-otimização. O uso da ferramenta Solver do Excel e do software TORA.

• Unidade III

Problemas de Transporte e Designação e, possivelmente, de outra(s) técnica(s) de P.O..

1.4 Método de Ensino

• Exposição de problemas acompanhados de explicações intuitivas e teóricas de

alguma técnica de P.O. com o objetivo de resolver tais problemas;

• Proposição de problemas para serem resolvidos pelos próprios alunos objetivando

a entrega de tais soluções no formato de relatório técnico e/ou seminário.

1.5 Avaliações e Horários de Atendimento

• Três (3) provas com direito a uma (1) reposição. Exame ﬁnal.

• Trabalhos no formato de relatórios técnicos e/ou seminários desenvolvidos no

decorrer da disciplina também poderão, mas não necessariamente, serem consi-derados na composição das notas de cada prova.

(8)

1.6. BIBLIOGRAFIA 7

1.5.1 Data das Provas e Conteúdo

Tabela 1.1: Data das provas e conteúdos. Data Conteúdo Data Conteúdo 19 Dezembro Unidade I 29 Abril Reposição 13 Março Unidade II 06 Maio Exame Final 22 Abril Unidade III

1.5.2 Horários de Atendimento

Acessar: http://sites.google.com/site/gilbertosmatos1

1.6 Bibliograﬁa

Básica

• Hamdy A. Taha. Pesquisa operacional . 8a. ed.. Pearson Book.

• Andrade, Eduardo Leopoldino. 4a. ed. Introdução à Pesquisa Operacional:

métodos e modelos para análise de decisões . gen / LTC.

• Lachtermarcher, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões . 4a. ed.

São Paulo: Pearson - Prentice Hall.

• Render, Barry M.; Stair, Ralph M.; Hanna, Michael E.. Análise Quantitativa

para Administração com Excel e POM-QM para Windows . 10a. ed.. Bookman.

Complementar

• Arenales, Marcos; Armentano, Vinícius Amaral; Morabito, Reinaldo; Yanasse,

Horacio Hideki (2006). Pesquisa Operacional - Modelagem e Algoritmos .

• Ermes Medeiros da Silva et. all (1998). Pesquisa Operacional: Programação

linear. Simulação. 3a. ed.. Ed. Atlas.

(9)

(10)

Capítulo 2

Introducao à Pesquisa Operacional

2.1 Objetivos do Capítulo

• Deﬁnir PO;

• Discutir e deﬁnir o conceito de decisão;

• Discutir sobre o processo de decisão e suas classiﬁcações; • Discutir sobre decisão racional;

• Discutir a Natureza da PO;

• Conhecer as Fases de um Estudo de PO.

2.2 Pesquisa Operacional: o que é, quando e como

surgiu?

2.2.1 O que é Pesquisa Operacional?

Como o próprio nome sugere, Pesquisa quer dizer Estudo e Operacional quer dizer

das Operações/Atividades. Neste contexto, podemos dizer que:

Pesquisa Operacional - é uma ciência que se utiliza de um conjunto de técnicas quantitativas que tem por objetivo estudar as atividades ou operações de uma organi-zação com o intuito de auxiliar os gerentes e administradores na tomada de decisões.

(11)

2.2.2 Quando e como surgiu a Pesquisa Operacional?

• A PO apareceu pela a primeira vez durante a Segunda Guerra Mundial, quando

equipes de pesquisadores procuraram desenvolver métodos para resolver deter-minados problemas de operãções militares.

• O sucesso das aplicações dos métodos desenvolvidos levou o mundo acadêmico e

empresarial a procurar utilizar as técnicas em problemas de administração.

2.2.3 Cientistas...

• Em 1947, George Dantzig e outros cientistas do Departamento da Força Aérea

Americana apresentaram um método denominado Simplex para a resolução dos Problemas de Programação Linear (PPL);

• Outros cientistas que dedicaram os seus estudos à PO (à Pesquisa do Ótimo)

foram:

– Na antiguidade:

∗ Euclides, Newton, Lagrange, dentre outros;

– No século XX:

∗ Leontief, Von Neumann, Kantarovich, dentre outros.

2.3 Um pouco da Teoria das Decisões

2.3.1 Deﬁnição

Dentre outras deﬁnições, uma delas diz:

Deﬁnição 2.3.1. “Uma decisão é um curso de ação escolhido pela pessoa, como o

meio mais efetivo a sua disposição, para obter os objetivos procurados, ou seja, para resolver o problema que a incomoda.”

2.3.2 Características do Processo de Decisão

O Processo de Decisão: 1. É Seqüencial

• É consequência de uma série de fatos anteriores que criaram as bases para

se chegar a decisão.

• Uma decisão signiﬁcativa é uma compilação de muitas decisões.

(12)

2.3. UM POUCO DA TEORIA DAS DECISÕES 11 2. É Complexo

• Consiste de um inter-relacionamento entre pessoas, responsabilidades pelo

serviço, comunicação e sistemas de informações, códigos de ética e moral e, às vezes, interesses e objetivos diferentes dos participantes.

3. Envolve valores subjetivos

• Muitas vezes é desejável que a maior parte de um processo de decisão seja

identiﬁcável e claro, podendo ser repetido por outras pessoas ou em outras ocasiões;

• No entanto, é impossível que inúmeros fatores intuitivos, provenientes de

experiência pessoal e personalidade não interﬁram no processo decisório. 4. Em ambiente institucional

• O inter-relacionamento entre pessoas, a forma como se processa o ﬂuxo de

informações, as características da organização e o sistema hierárquico são fatores que afetam fundamentalmente o processo de tomada de decisão.

2.3.3 Classiﬁcação das Decisões

Uma classiﬁcação geral onde as decisões são vistas à luz do nível em que ocorrem den-tro de uma empresa e do grau de complexidade envolvido é dada e exempliﬁcada

abaixo:

1. Nível Estratégico

• Diz respeito a sua importância e abrangência com relação à organização. • Quanto mais as atividades de uma organização forem afetadas pela decisão,

mais estratégica será.

2. Grau de Estruturação (complexidade)

• Uma decisão é tão mais estruturada quanto mais intimamente o processo

puder ser acompanhado ou mesmo repetido por outras pessoas, em outras ocasiões.

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Grau de Estruturação

alto Administração de Programação da Localização de

estoques produção uma nova fábrica

médio Financiamento do Programação Diversiﬁcação pela

capital de giro orçamentária aquisição de outra empresa

baixo Escolha de manchete Contratação de um Aprovação de um programa de

de jornal diretor de planejamento pesquisa e desenvolvimento

operacional gerencial corporativo

Nível Estratégico

2.3.4 Algumas técnicas segundo o grau de estruturação da

de-cisão

Para problemas com:

• Alto grau de estruturação

– Programação Linear (PL)

∗ Problemas de distribuição de recursos ∗ Problemas de transporte

∗ Problemas de planejamento da produção ∗ Problemas de corte de materias, etc.

– Programação Não Linear (PNL)

– Programação Inteira

– Teoria das ﬁlas

∗ Organização do tráfego aéreo ∗ Construção de barragens, etc.

– Teoria dos estoques

– Programação dinâmica, etc.

• Grau de estruturação médio

– Análise estatística

– Simulação

– Análise de risco

– teoria dos jogos

Observação: em todas as situações essas técnicas dependem de uma ferramenta extremamente útil que é:

(14)

2.3. UM POUCO DA TEORIA DAS DECISÕES 13

2.3.5 Sobre Decisão Racional

Deﬁnição 2.3.2 (Decisão racional). é aquela que, de forma efetiva e eﬁciente, garante a realização dos objetivos preestabelecidos, para os quais os meios e recursos foram reservados.

Obstáculos a uma decisão racional

• Limitações de caráter pessoal - força do hábito, falta de memória e distração,

prejulgamentos e valores pessoais.

• Limitações de caráter político - necessidade de compromisso entre diferentes

posições e órgãos da empresa.

• O fator tempo - às vezes a urgência de uma solução leva a uma decisão com

conhecimento incompleto dos dados do problema.

Duas diﬁculdades inerentes ao problema

1. Escolha do problema certo para resolver - o primeiro passo para uma to-mada de decisão racional é saber qual problema que requer solução e isto nem sempre é fácil.

• É necessário observar sintomas tais como: reclamações, atrasos, prejuízos,

etc.

• Deve-se identiﬁcar claramente qual é o problema que causa aqueles

efeitos pertubadores. 2. Conhecimento insuﬁciente

• O ideal seria ter o conhecimento completo de todas as alternativas e

consequências possíveis das decisões.

• Na prática as decisões são tomadas com base em informações

incomple-tas ou parciais.

• Informação tem custo - quanto mais informações forem exigidas mais

tempo e dinheiro serão necessários.

• Informação demais pode prejudicar - a análise de muitas informações

exige tempo e habilidades extras.

• No caso de pouca ou falta de informações - a experiência pessoal

(15)

2.4 A Natureza da Pesquisa Operacional

• Um estudo de Pesquisa Operacional consiste, basicamente, em construir um

modelo de um sistema real como meio de analisar e compreender o compor-tamento do mesmo.

– O sistema pode atualmente existir e neste caso o objetivo é analisá-lo e escolher uma ação para aprimorá-lo.

– O sistema pode ainda estar em concepção e neste caso o objetivo é identiﬁcar a melhor estrutura do sistema futuro.

• A inﬂuência de um número muito grande de variáveis sobre o sistema real bem

como a relação entre elas contribuem para a complexidade do sistema.

– Ainda que um sistema real seja complexo, o sistema muitas vezes pode ter o comportamento fundamentalmente inﬂuenciado por uma quantidade reduzida de variáveis principais.

∗ A simpliﬁcação do sistema real em termos de um modelo passa

primei-ramente pela identiﬁcação dessas variáveis principais.

2.5 Fases de um Estudo de Pesquisa Operacional

Nesta seção procuramos descrever resumidamente sobre as principais fases/etapas ne-cessárias para o desenvolvimento de um estudo ou projeto de Pesquisa Operacional. De modo geral, podemos dizer que as principais fases são:

1. Formulação/Deﬁnição do Problema

“É muito difícil procurar uma solução “certa” para um problema mal formulado!!!”

A frase acima resume muito bem a grande importância de se deﬁnir bem um problema em um estudo de PO. Nesta fase, três (3) aspectos principais devem ser discutidos:

• Descrição exata dos objetivos do estudo;

• Identiﬁcação das alternativas de decisão existentes;

• Reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema(realidade).

2. Construção do Modelo

Um modelo é uma representação simplificada de uma situação da vida real e reflete a essência do problema formulado. Um modelo matemático nesta fase pode muitas vezes formalizar esta representação simplificada em termos de sím-bolos e expressões matemáticas. Alguns aspectos fundamentais para a construção do modelo são:

(16)

2.5. FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL 15

• Simpliﬁcar sem perder a essência do problema

A formulação matemática de um problema deve iniciar por um modelo mais simples possível mas de tal forma que as soluções possam ser aplicadas na vida real.

• Processo em Espiral

A modelagem desenvolve-se em forma de espiral, começando por uma repre-sentação simpliﬁcada do problema até se chegar, após vários ciclos, a uma representação mais próxima da realidade.

• Escolha do modelo certo

Por vezes o problema pode ser representado por modelos já desenvolvidos pela Pesquisa Operacional, como, por exemplo: modelos de Programação Linear, modelos de Programação Não-Linear, Programação dinâmica, Pro-blema de transporte, etc.

3. Solução do Modelo

Nesta etapa o analista de PO deve conhecer as principais técnicas de solução e al-goritmos mais adequados em termos de rapidez de processamento computacional e precisão da resposta. O uso de softwares adequados é de grande importância nesta etapa.

4. Validação do Modelo

Nesta fase é necessário avaliar se o modelo; apesar de sua inexatidão em re-presentar o sistema real; ainda é capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema.

Um método utilizado para validar um modelo consiste em analisar o seu desem-penho com o uso de dados passados do sistema, veriﬁcando se o modelo reproduz bem o comportamento que o sistema manifestou. Dependendo das conclusões desta avaliação, os seguintes passos são adotados:

• Avaliação satisfatória - procede-se à tomada de decisão e busca-se a

im-plementação da solução no sistema real.

• Avaliação não-satisfatória - procede-se à reformulação, remodelação e

resolução do novo modelo.

É importante destacar que a validação de um modelo aplicado a sistemas ine-xistentes pode ser feita pela veriﬁcação da correspondência entre os resultados obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema.

5. Implementação da Solução

Uma vez validado o modelo e as soluções obtidas é necessário implementá-las no sistema real e como esta é uma atividade que altera uma situação existente é preciso envolver ativamente a administração e todas as componentes que atuam no sistema em estudo.

(17)

Nesta fase é necessário a existência de uma equipe que controle, supervisione e esteja apta a reformular algumas partes do modelo mediante às novas situações-problemas do sistema real. Se necessário, modelos mais complexos devem ser considerados.

6. Avaliação Final

A avaliação dos resultados obtidos em qualquer etapa do processo é de fundamen-tal importância, pois isto garantirá melhor adequação das decisões às necessidades do sistema e aceitação mais fácil dessas decisões por todos os setores envolvidos.

(18)

2.6. 1A. LISTA DE EXERCÍCIOS 17

2.6 1a. Lista de Exercícios

1) (Passagens aéreas) Imagine que você tenha um compromisso de trabalho de cinco (5) semanas entre João Pessoa (JP) e Recife (Rec). Você pega um avião em João Pessoa na segunda-feira e volta na quarta-feira. Uma passagem aérea normal de ida e volta custa R$ 400,00, mas há um desconto de 20% se as datas do bilhete abrangerem um ﬁnal de semana. Uma passagem só de ida em qualquer direção custa 75% do preço normal. Como seria mais conveniente você comprar as passagens para o período de cinco semanas? Obs.: Considere três ou quatro opções/alternativas viáveis e decida pela mais conveniente.

2) Considere a montagem de um retângulo de área máxima com um pedaço de ﬁo de comprimento L centímetros. Qual deveria ser a largura(l) e a altura(a) do

retângulo?

a) Identiﬁque duas soluções viáveis e determine qual delas é a melhor.

b) Determine a solução ótima para este problema. (Sugestão: use a restrição para expressar a função objetivo em termos de uma só variável e a partir daí utilize o cálculo diferencial.)

3) Certa vez, três amigos inseparáveis, em uma de suas viagens, tiveram que atra-vessar um rio usando um barco mas o barco só suportava no máximo 150 Kg e

dois destes amigos pesavam 75 Kg, já o terceiro pesava 150 Kg. É claro que o

barco não podia nem ir e nem voltar sem ninguém dentro e assim o problema é: como os três amigos, nestas condições, podem atravessar o rio de um lado para o outro?

4) Amy, Jim, John, e Kelly estão em pé na margem leste de um rio e querem atravessar para a margem oeste usando uma canoa. A canoa pode levar no máximo duas pessoas por vez. Amy, que tem a constituição mais atlética, pode atravessar o rio a remo em 1 minuto. Jim, John e Kelly levariam 2, 5 e 10 minutos, respectivamente. Se houver duas pessoas na canoa, a mais lenta determinará o tempo da travessia. O objetivo é que os quatro estejam do outro lado do rio no menor tempo possível.

a) Identiﬁque no mínimo dois planos viáveis para atravessar o rio (lembre-se de que a canoa é o único meio de transporte, e não pode ir nem voltar vazia). b) Deﬁna o critério para avaliar as alternativas.

c) Qual é o menor tempo para transportar os quatro para o outro lado do rio? (Obs.: a solução deste problema é dada no Apêndice C do livro de P.O. do Taha)

(19)

(20)

Capítulo 3

Programação Linear

3.1 Introdução

A programação linear pertence a uma classe de problemas chamada de otimização que visa maximizar ou minimizar (otimizar) uma função de várias variáveis sujeita a certas restrições.

A principal característica da programação linear consiste do fato de que tanto a função (função objetivo) a ser maximizada (ou minimizada) como também as restri-ções podem ser representadas por expressões lineares e devido a esta linearidade, métodos numéricos simples e eﬁcientes podem ser utilizados para resolver tais proble-mas.

Veremos, agora, um exemplo simples de problema que pode ser formulado/modelado como de programação linear.

3.2 Problemas de Programação Linear (PPL) e

Mo-delagem Matemática

Exemplo 3.2.1 (Fábrica 1). Uma pequena indústria produz artigos A1 e A2 que

são vendidos a 200 u.m. (unidades monetárias) e 300 u.m., respectivamente. Na sua produção são utilizados 3 tipos de matérias-primas, P ₁, P ₂ e P ₃, que são gastas da seguinte forma:

2 unidades de P 1 para fabricar 1 unidade de A1,

4 unidades de P 2 para fabricar 1 unidade de A1,

1 unidade de P 1 para fabricar 1 unidade de A2,

1 unidade de P 3 para fabricar 1 unidade de A2,

Por razões econômicas, as matérias-primas P 1, P 2 e P 3 estão disponíveis no

máximo em 20, 32 e 10 unidades, respectivamente. 19

(21)

O dono da empresa deseja saber as quantidades dos produtos A1 e A2 que devem

ser produzidas para que a receita bruta seja a maior possível.

3.2.1 Formulação Matemática do PPL

Para resolver o problema da Fábrica 1 vamos formular o problema como um pro-blema de programação linear. Para isto, é necessário realizarmos algumas suposições, deﬁnirmos algumas variáveis ditas de decisão e representar as informações do problema em termos de expressões matemáticas. Vejamos:

Suposições para a modelagem matemática :

(a) Supor que a quantidade do produto a ser vendida é igual a quantidade do produto a ser fabricada, isto é, não há estoque;

(b) Supor que a receita bruta é proporcional Ãă quantidade vendida;

(c) Supor que as matérias-primas gastas são proporcionais às quantidades produzi-das, ou seja, não há desperdício de matéria-prima;

(d) Admitir que quantidades negativas dos produtos A₁ e A₂ não terão signiﬁcado

algum.

Deﬁnição de variáveis de decisão:

Agora, observe que podemos considerar as seguintes variáveis ditas de decisão:

x1: quantidade a ser produzida dos produtos A1, e

x2: quantidade a ser produzida dos produtos A2

Deﬁnição da Função Objetivo (F.O.):

Após interpretar as hipóteses (a) e (b), veriﬁcamos que podemos exprimir a receita bruta como função das variáveis x₁ e x₂, da seguinte forma:

f (x1, x2) = 200x1 + 300x2,

Esta função é denominada Função Objetivo (F.O.) e deverá ser maximizada com relação às variáveis x1 e x2 de modo que a receita bruta será a maior possível, conforme

o dono da fábrica deseja.

Deﬁnir e escrever as restrições do problema em termos de inequações lineares:

Observe que existe limite na disponibilidade das matérias-primas e isto requer que restrições sejam consideradas no problema que estamos modelando. Portanto, admitindo a hipótese (c), para cada matéria-prima temos uma restrição que pode ser expressa da seguinte forma:

(22)

3.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL) E MODELAGEM MATEMÁTICA21 - para a matéria-prima P 1: 2x1 + x2 ≤ 20

- para a matéria-prima P 2: 4x1 ≤ 32

- para a matéria-prima P 3: x2 ≤ 10.

Resumindo o Problema formulado:

Assim, é possível escrever, de forma sucinta, o problema do seguinte modo: "Encontre, se existir, o par (x∗

1, x

∗

2), tal que a função f (x1, x2) = 200x1 + 300x2,

sujeita às restrições

2x1 + x2 ≤ 20

4x1 ≤ 32

x2 ≤ 10

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (hipótese d),

assuma o maior valor possível."

O Problema de Programação Linear (PPL) na Forma Matemática Ge-ral :

Finalmente, o problema formulado pode ser escrito da seguinte forma matemática geral: Maximizar 200x1 + 300x2, Sujeito aă 2x₁ + x₂ ≤ 20 4x1 ≤ 32 x2 ≤ 10 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

3.2.2 Exercícios de Fixação

Desenvolva e apresente os modelos de programação linear correspondentes aos seguintes problemas:

1. (Marcenaria) Este exemplo nos ajudará a compreender os princípios básicos do Método Simplex e foi extraído do livro: Andrade, Eduardo Leopoldino, 1990.

Formulação do problema:

O gerente de uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de pro-dução. Nesta marcenaria apenas dois produtos são fabricados: mesa e armário, ambos de um só modelo. Por simplicidade consideramos que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibili-dades diárias são mostradas na seguinte tabela:

(23)

Tabela 3.1: Disponibilidades diária de recursos.

Recurso Disponibilidade

Madeira 12 m2

Mão-de-obra (horas/Unid.) 8 H.h. (Horas homem) O processo de produção é tal que:

• Para fazer 1 mesa, gasta-se:

– 2 m2 _{de madeira}

– 2 H.h. de mão-de-obra

• Para fazer 1 armário, gasta-se:

– 3 m2 _{de madeira}

– 1 H.h. de mão-de-obra Sabe-se, ainda, que:

• O lucro de cada mesa é de 4 u.m. (unidades monetárias) • O lucro de cada armário é de 1 u.m. (unidade monetária)

O problema do fabricante é: encontrar o programa de produção que maximiza o lucro total.

Este problema é extremamente simples e por isso é possível resolvêlo usando apenas algumas considerações qualitativas, o que possibilita compreender os fun-damentos do método Simplex que veremos posteriormente.

2. (Agricultura 1) Um agricultor precisa adubar a sua plantação e dispõe de dois tipos de adubo. O primeiro tipo contém 3 g de fósforo, 1 g de nitrogênio e 8 g

de potássio, e custa 10 u.m. (unidades monetárias) por quilograma. O segundo contém 2 g de fósforo, 3 g de nitrogênio e 2 g de potássio, e custa 8 u.m. por

quilograma. O agricultor sabe que um quilograma de adubo dá para 10 m2 _de

terra, e que o solo em que estão suas plantações necessita de pelo menos 3 g de

fósforo, 1,5 g de nitrogênio e 4 g de potássio a cada 10 m2. Nestas condições,

quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 m2_{, de modo a}

(24)

3.2. PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL) E MODELAGEM MATEMÁTICA23 3. (Marketing 1) O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma

mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P 1 e P 2.

As alternativas são:

a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mínimo de R$ 3.000,00 e deve propor-cionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada R$ 1.000,00 investidos.

b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada R$ 1.000,00 investidos em P 1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P 2 o retorno

é de 10%.

A empresa dispõe de R$ 10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade?

(25)

3.3 Solução Gráﬁca de um Problema de Programação

Linear (PPL)

Observação: Trazer régua, lápis e borracha para as aulas de solução gráﬁca, e, se possível, notebook para o uso do software TORA disponibilizado no site do livro de PO do autor Taha.

3.3.1 Introdução

Até o momento, apenas formulamos alguns problemas como sendo de programação linear. Na verdade, o que ﬁzemos foi transpor uma realidade existente em determinado ambiente (e.g. indústria e terras agrículas) para um modelo matemático que procura representá-lo da melhor forma possível. Este procedimento pode ser considerado como o primeiro passo para a resolução de problemas de otimização. O próximo passo consiste em buscar a melhor solução para o problema em questão.

Nesta seção, veremos como obter soluções, caso existam, através de gráficos. Em particular, veremos como obter soluções gráficas para problemas de P.L. que envolvem apenas 2 variáveis; pois, a solução gráfica para problemas que envolvem 3 variáveis, em geral, não é fácil e para 4 ou mais variáveis, a resolução de um P.P.L só é possível algebricamente.

Para ilustrar o método gráﬁco de solução de um P.P.L. continuaremos com a resolução dos problemas de programação linear já formulados na seção anterior.

3.3.2 Exemplo

Exemplo 3.3.1 (Cont. Fábrica 1). Para o problema da Fábrica 1, o seguinte P.P.L foi considerado: Maximizar 200x₁ + 300x₂, Sujeito àă 2x1 + x2 ≤ 20 4x1 ≤ 32 x2 ≤ 10 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

Então, a solução gráﬁca consiste em desenvolver os seguintes passos:

10) Determinar o conjunto de pontos_(x₁_{, x}₂_{) ∈ }2 que satisfazem as restrições do

problema de programação linear. Para isso, deve-se determinar os pontos do plano que satisfazem cada uma das inequações das restrições, tais como:

(a) pontos que satisfazem a primeira inequação: . (Esboçar a região do plano que satisfaz a primeira inequação)

(26)

3.3. SOLUÇÃO GRÁFICA DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL)25 (b) pontos que satisfazem a segunda inequação: .

(Esboçar a região do plano que satisfaz a segunda inequação)

(c) pontos que satisfazem a terceira inequação: . (Esboçar a região do plano que satisfaz a terceira inequação)

(d) pontos que satisfazem a condição de não-negatividade: . (Esboçar a região do plano que satisfaz a condição de não-negatividade)

Antes de prosseguirmos à busca gráﬁca de uma solução ótima para o PPL, o conhecimento da seguinte deﬁnição é de fundamental importância.

Deﬁnição 3.3.1 (Região Viável). É o conjunto de pontos que satisfaz todas as restrições. Esta região também é conhecida por conjunto de soluções (ou pontos) viáveis.

Portanto, a região viável, ou seja, os pontos que satisfazem todas as restrições estarão na intersecção das regiões encontradas em (a), (b), (c) e (d).

(27)

Vejamos, agora, o próximo passo para a obtenção da solução ótima do P.P.L. através do método gráﬁco.

20) Após identitiﬁcar no plano (gráﬁco) o conjunto de soluções viáveis, o problema

se torna o seguinte:

“Determinar, se existir, um ponto (x∗

1, x

∗

2) pertencente ao conjunto de pontos

viá-veis, de tal forma que a função f (x1, x2) = 200x1+300x2 assuma o maior valor possível.”

Uma das maneiras de obter a solução ótima, isto é, o ponto (x∗

1, x

∗

2) da região

viável que maximiza a função f (x1, x2) = 200x1 + 300x2, consiste em atribuir alguns

valores para a função, obtendo, assim, o que se chama de Curvas de Nível. Para este problema, em particular, alguns exemplos de curvas de nível são:

200x1 + 300x2 = 1200

200x1 + 300x2 = 2400

200x1 + 300x2 = 3600

E as curvas de nível representadas no sistema de eixo cartesiano serão da forma: (Esboçar as curvas de nível no sistema de eixo cartesiano)

Observe que:

• As curvas de nível são todas retas paralelas e

• A função objetivo assume valor cada vez maior num determinado sentido.

É possível provar que as curvas de nível são perpendiculares ao vetor gra-diente da função; ou seja; as curvas de nível da função f (x₁, x₂) = 200x₁+300x₂ são

(28)

3.3. SOLUÇÃO GRÁFICA DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL)27 perpendiculares ao vetor



∂f (x1, x2) ∂x1 , ∂f (x1, x2) ∂x2



_{= (200, 300).}

Além disso, o vetor gradiente nos fornece o sentido de crescimento da função. (Esboçar, no gráﬁco anterior, o vetor gradiente perpendicular às curvas de nível, indicando o sentido de crescimento da função objetivo f (x₁, x₂) = 200x₁ + 300x₂)

Finalmente, diante destas informações, poderemos determinar uma solução ótima para o problema, se existir. Para isto, observe o seguinte gráﬁco:

(Esboçar a região viável juntamente com o vetor gradiente e várias curvas de nível no sentido de crescimento (máximo) da função objetivo cujo(s) ponto(s) ainda

pertença(m) à região viável)

A partir deste gráﬁco, pode-se observar que a curva de nível de maior valor dentro da região viável é a reta que passa pelo ponto de coordenadas (x1, x2) = (5, 10).

Portanto, o ponto (x∗

1, x

∗

2) = (5, 10) é a solução do problema e o maior valor que a

função pode assumir é f (x∗

1, x ∗ 2) = 200x ∗ 1 + 300x ∗ 2 = 200.5 + 300.10 = 4000. Dizemos que (x∗ 1, x ∗

2) = (5, 10) é uma solução ótima, e o valor da função f (x

∗

1, x

∗

2) =

4000 o valor ótimo do problema.

Para ﬁnalizar, devemos descrever a solução do problema da seguinte forma: Sendo x1 e x2 a quantidade do produto A1 e A2 a ser produzida, respectivamente;

o dono da empresa deve produzir 5 unidades do produto A1 e 10 unidades do produto

(29)

3.3.3 Exercícios de Fixação

Resolva; se possível; pelo método da solução gráﬁca os PPLs modelados na Seção anterior. Resolva-os manualmente e usando o software TORA.

(30)

3.3. SOLUÇÃO GRÁFICA DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (PPL)29

3.3.4 Tipos de Solução de um PPL Ilustrados por Resolução

Gráﬁca

Na seção anterior, foi ilustrado alguns problemas de PPL cujas soluções ótimas pu-deram ser obtidas a partir de análises gráficas. Nestes exemplos, foi possível verificar a existência de uma única solução ótima. Acontece que nem sempre isso ocorre, ou seja, existem problemas em que existem infinitas soluções ótimas ou até mesmo problemas em que a solução ótima seja impossível ou inviável de ser obtida. Exis-tem, ainda, problemas cujo valor da função pode crescer (ou decrescer) indefinidamente dentro da região viável, e, nestes casos, dizemos que os problemas são ilimitados.

Para uma melhor compreensão deste assunto, obtenha a solução dos seguintes problemas de programação linear através do método gráﬁco e classiﬁque os problemas segundo o tipo de solução obtido.

1 - Desenvolva, apresente e interprete a solução gráﬁca para os seguintes problemas de programação linear: a) max 2h1 + 3h2 sujeito a h1 + h2 ≤ 50 2h1 + 3h2 ≥ 70 2h1 ≥ 20 3h₂ ≥ 30 h1 ≥ 0, h2 ≥ 0. b) min 30x1 + 20x2 sujeito a 4x1 + x2 ≥ 20 x₁ + 2x2 ≥ 10 x1 ≥ 2 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. c) max x1 + 2x2 sujeito a 4x1 + x2 ≥ 20 x1 + 2x2 ≥ 10 x1 ≥ 2 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. d) min x₁ + x₂ sujeito a −2x1 + x2 ≥ 2 x1 − 2x2 ≥ 2 x₁ ≥ 0, x2 ≥ 0.

(31)

e) max x1 + x2 sujeito a −2x1 + x2 ≤ 2 x₁ − 2x₂ ≤ 2 x1 + x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. f) max x2 sujeito a −x1 + x2 ≤ 1 x2 ≤ 2 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

(32)

3.4. DIFERENTES FORMAS DE UM PPL 31

3.4 Diferentes Formas de um PPL

3.4.1 Introdução

Qualquer problema de programação linear pode ser escrito na forma que chamaremos

geral, mas, por conveniência, qualquer PPL também pode ser escrito sob outras formas e representações. A principal forma de um PPL que estudaremos é a padrão e as possíveis representações de um PPL são: cartesiana, matricial e vetorial . Vejamos, agora, algumas deﬁnições e observações sobre este assunto.

Deﬁnição 3.4.1 (Forma Padrão). Dizemos que um problema de programação linear está na forma padrão quando encontra-se na seguinte forma:

Observações:

a. As restrições de um PPL na forma padrão são todas escritas na forma de igual-dades lineares (equações lineares).

b. Qualquer PPL pode ser escrito na forma padrão.

c. O PPL na forma padrão acima encontra-se representado por uma notação cartesiana. Agora, de forma equivalente, o PPL pode ser representado por uma

notação matricial, dada por: Notação matricial de um PPL na forma padrão

(33)

c



=

x



=

A =

d. Um PPL na forma padrão também pode ser representado por uma notação vetorial, dada por:

Em que a



j =

Exemplo: Dado o seguinte PPL na forma padrão e representação cartesiana, represente-o na forma matricial e vetorial:

Maximizar 5x1 − 3x2 − 4x3,

Sujeito Ãă x1 + 2x2 − x3 = 10

2x1 + x2 + 3x3 = 15

3x1 + 3x2 + 2x3 = 12

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0.

Deﬁnição 3.4.2 (Solução Viável e Região Viável). Uma solução x



= (x1, . . . , xn)

T

é dita viável se satisfaz todas as restrições (2) e as condições de não-negatividade (3) do PPL na forma padrão. O conjunto de todas as soluções viáveis é chamado região viável .

Deﬁnição 3.4.3 (Solução Ótima). Uma solução viável que fornece o maior valor à função objetivo f é chamada solução ótima, denotada por x



∗ = (x∗ 1, . . . , x ∗ n)T .

(34)

3.4. DIFERENTES FORMAS DE UM PPL 33

Observação 1. Uma solução é ótima se:

f (x∗

1, . . . , x

∗

n) ≥ f (x1, . . . , xn), para qualquer solução viável x



= (x1, . . . , xn)

T _.

3.4.2 Transformação de PPL’s para a Forma Padrão

Foi dito anteriormente que qualquer PPL pode ser transformado para a forma padrão. Para isto é importante saber que:

1. Minimizar f (x



) = f (x1, . . . , xn) é equivalente à maximizar−f (x



) = −f (x1, . . . , xn)

(Prove!).

2. A i−ésima restrição da forma:

pode ser transformada na seguinte igualdade: em que xF i =

é conhecida por variável de folga. 3. A i−ésima restrição da forma:

pode ser transformada na seguinte igualdade: em que xF i ≥ 0.

Neste caso xF i também é denominada variável de folga ou de forma mais adequada

variável de excesso. 4. Variáveis negativas

Se na modelagem de um problema a variável xi deve assumir um valor negativo,

esta variável pode ser substituída por uma não-negativa da seguinte forma: Substituir no modelo matemático a variável

xi ≤ 0

pela variável

x_i = −xi ≥ 0

5. Variáveis livres de sinal

Se xi é irrestrita de sinal, ou seja, pode ser positiva, negativa ou nula, a variável

é dita livre e a mesma pode ser substituída por duas outras não-negativas. Para isto note que qualquer número xi pode ser escrito como:

(35)

3.4.3 Exercícios de Fixação

1 - Obtenha a forma padrão dos seguintes problemas de programação linear: a) max 5x1 + 3x2 sujeito a 2x1 + x2 ≤ 8 x₁ − 2x₂ ≥ 3 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. b) max 5x₁ + 3x₂ sujeito a 2x1 + x2 = 8 x1 − 2x2 ≥ 3 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. c) max 5x1 + 3x2 sujeito a 2x1 + x2 ≤ 8 x₁ − 2x2 ≤ 3 x1 ≥ 0, x2 ≤ 0. d) max 5x₁ + 3x₂ sujeito a 2x1 + x2 ≤ 8 x1 − 2x2 ≤ 3 x1 ≥ 0, x2 livre de sinal e) min 5x1 + 3x2 − x3 sujeito a 2x1 + x2 + 3x3 ≤ 15 x1 − 2x2 + x3 ≥ 10 3x1 − x2 + 2x3 = 8 x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3 livre de sinal.

(36)

3.5. SOLUÇÕES BÁSICAS DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES M ×N, M ≤ N E A RES

3.5 Soluções Básicas de um Sistema de Equações

Li-neares m × n, m ≤ n e a Resolução de um PPL

Utilizando Soluções Básicas

3.5.1 Introdução

Já vimos que as restrições de um PPL na forma padrão formam um sistema de equações lineares. Veremos, agora, um método para determinar algumas soluções de um sistema linear retangular (cujo número de equações é menor ou igual ao número de incógnitas,

m × n, m ≤ n). Para iniciar, vejamos algumas deﬁnições importantes.

Deﬁnição 3.5.1 (Matriz Base ou Básica). Dado um sistema de equações lineares

m × n, m ≤ n, Ax



= b



, A ∈  m×n , x



∈  n_, _b



∈ 

m_{, dizemos que uma submatriz}_B

m × m da matriz A, com det(B) = 0 (determinante não-nulo e, portanto, B invertível)

é uma matriz base ou básica .

Deﬁnição 3.5.2 (Partição Básica). A partição básica é uma reorganização (parti-ção) nas colunas da matriz de coeﬁcientes A de um sistema de equações lineares Ax



= b



descrita da seguinte forma:

A = [ B | N ].

Onde:

• B - é uma matriz m × m básica ( m colunas de A invertível).

• N - é a matriz não-básica m × (n − m) formada pelas n − m colunas de A que

não estão na matriz básica B.

Observação 2. Para cada partição básica tem-se associada uma partição no vetor x



, dada por: x



=



x



B x



N



_, em que: • x



B - é o vetor de variáveis (básicas) diretamente associadas às colunas da matriz

básica B.

• x



N - é o vetor de variáveis (não-básicas) diretamente associadas às colunas da

matriz não-básica N .

Exemplo 3.5.1. A partir do sistema de equações lineares abaixo, obtenha todas as partições básicas possíveis, identiﬁcando as variáveis básicas e não básicas:



x1 + x2 + x3 = 4

x₂ + + x4 = 2

(37)

3.5.2 Solução Geral e Solução Básica de um Sistema de

Equa-ções Lineares

Quando uma partição básica A = [ B | N ] é considerada, o sistema Ax



= b



pode ser reescrito de forma equivalente como:

Bx



B + N x



N = b



, pois Ax



= b



⇐⇒ A = [ B | N ]



x



B x



N



_= b



⇐⇒ Bx



B + N x



N = b



.

Segue, portanto, que a solução dada por:

x



B = B −1 b



− B −1 N x



N (3.1)

é denominada solução geral de um sistema de equações lineares.

Observação 3. Para obter uma solução geral basta atribuir valores quaisquer às n −m

variáveis não-básicas pertencentes ao vetor x



N , obtendo-se assim, de forma única, os

m valores das variáveis básicas pertencente ao vetor x



B.

Deﬁnição 3.5.3 (Solução Básica). Uma solução x



=



x



B x



N



_{é chamada solução}

básica quando as n − m variáveis não-básicas do vetor x



N da solução geral são todas

iguais a zero. Desta forma, a solução básica assume a forma:

x



=



x



B x



N



₌



B−1 b



0





_.

Deﬁnição 3.5.4 (Solução Básica Viável). Dizemos que uma solução básica é viável quando x



B ≥ 0



. Neste caso, temos que:

x



=



x



B x



N



₌



B−1 b



0





_{≥ 0}



.

Propriedade 1 (2.1, pág. 73 de Arenales et al, 2006). Considere uma região viável descrita como S = {x



∈  tal que Ax



= b



, x



≥ 0



}. Um ponto x



∈ S é um vértice de

S se e somente se x



for uma solução básica viável .

Consequência: Uma região viável S tem um número ﬁnito de vértices pois há

um número ﬁnito de partições básicas, limitado por:



n

m



=

n!

m!(n − m)!,

(38)

3.5. SOLUÇÕES BÁSICAS DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES M ×N, M ≤ N E A RES

Propriedade 2 (ver Arenales et al, 2006). Se um problema de programação linear tem solução ótima , então existe um vértice ótimo.

Observação 4. Provas das propriedades 1 e 2 podem ser encontradas, por exemplo, em Bregalda et al. (1988).

3.5.3 Aplicação dos Resultados: Um método de Solução de

PPL

A partir dos resultados das sub-seções anteriores tornou-se possível obter um método de solução de PPLs que não necessariamente possuem apenas duas (2) variáveis de decisão mas sim duas (2) ou mais, como está descrito a seguir:

Consequência (Um método de Solução de PPL):

Se existe uma solução ótima para um PPL, basta que se procure o ótimo entre todas as soluções básicas viáveis (vértices da região viável).

Exemplo 3.5.2. Dado o seguinte PPL:

max x1 + 2x2

sujeito a x1 + x2 ≤ 4

x₂ ≤ 2 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

a) Obtenha a forma padrão deste PPL.

b) Determine quantas soluções básicas existem e obtenha-as.

c) Dentre as soluções básicas, obtenha as básicas viáveis e a solução ótima.

d) Desenvolva a solução gráfica do PPL e identifique graficamentes as soluções básicas, básicas viáveis e ótima obtidas no item anterior.

e) Qualquer solução básica é um vértice da região viável? Explique.

Resp.: Solução ótima: (x1, x2, x3, x4) = (2,2,0,0). Valor ótimo = 6. ( x3, x4 são variáveis de folga).

(39)

3.6 O Método Simplex

3.6.1 Princípios Básicos

O método Simplex é uma ferramenta utilizada normalmente para a resolução de pro-blemas de alocação de recursos e pertence a um capítulo da Pesquisa Operacional chamado de Programação Linear.

A partir deste momento, apresentamos a conceituação básica do método Simplex através de um exemplo. Para isto devemos lembrar que o problema da marcenaria

pode ser modelado segundo um problema de programação linear expresso da seguinte forma:

Maximizar Lucro ≡ L = 4x1 + x2,

Sujeito àă 2x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 + x2 ≤ 8

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.

Neste momento, resolveremos o PPL acima através de um raciocínio lógico que se baseia nos princípios básicos do método simplex. Para isto resolveremos o PPL respondendo à algumas questões, vejamos.

Solução do modelo:

Questão 1: Observando o conjunto de restrições do PPL da marcenaria (e a

região viável, caso exista), quantas combinações de valores de x1 e x2 satisfazem tais

restrições? Resposta :

Exemplos de soluções que satisfazem as restrições:

Note que muitas outras combinações podem ser testadas e muitas destas também satisfazem as restrições do PPL.

Questão 2 : Qual das combinações x1 e x2 que além de satisfazer as restrições do

PPL, levam a um maior lucro?

Resposta : para responder a esta questão desenvolveremos os seguintes passos:

10 Passo: Admita como solução inicial a mais pessimista, ou seja, não produzir

(40)

3.6. O MÉTODO SIMPLEX 39

20 Passo: (10 Critério)

• Analisando a função objetivo L = 4x₁ + x2 qual sua sugestão com relação a

um primeiro produto a ser produzido? Você começaria a produzir uma certa quantidade x1 de mesas ou uma certa quantidade x2 de armários? Por que?

• Note que visando um maior lucro possível é razoável produzir uma quantidade de

mesas maior possível mas para isto é necessário observar que há uma quantidade limitada de recursos (madeira e mão-de-obra). Deste modo, se não produzimos armários, os seja, se x2 = 0, temos que as restrições dos rescursos disponíveis

ﬁcam dadas por:

Deste modo:

– Se considerarmos só o recurso madeira, devemos produzir:

– Se considerarmos só o recurso mão-de-obra, devemos produzir:

– Mas para produzir as mesas percebemos que é necessário considerar os dois recurso simultaneamente de modo que só podemos produzir:

Segue assim que nossa segunda solução para o problema é dada por:

Note que esta solução é viável pois de acordo com a solução desenvolvida todas as restrições do problema são respeitadas. Veja:

Recapitulando:

1. Partimos de uma solução viável:

para outra que resultou em um lucro maior:

(41)

(a) Escolheu-se uma variável de decisão para tornar-se positiva tomando como base aquela que possuía o maior coeﬁciente na função objetivo Lucro = L.

(b) Uma vez escolhida a variável de decisão (produto), a produção foi estabele-cida no maior valor possível, ou seja, à variável de decisão escolhida deu-se o maior valor positivo sem que a restrições de recursos disponíveis fossem violadas.

Neste momento é natural formularmos as seguintes questões:

• A solução encontrada é a melhor de todas?

• Que critérios lógicos podemos utilizar para responder a esta questão?

Resposta : para responder se a solução encontrada é a melhor de todas

pode-mos nos utilizar de critérios lógicos análogos ao 10 Critério, porém com pequenas

alterações.

30 Passo:

De acordo com a solução atual devemos produzir x1 = 4 mesas e nenhum armário

x2 = 0.

Questões:

1. Existe alguma vantagem em também produzir armários para que o lucro seja ainda maior? Por exemplo, há vantagem em se produzir uma unidade de armário (passar x1 = 0 para x1 = 1)?

2. Ainda existe recursos disponíveis para se produzir armários? Quais?

Precisamos perceber que havendo vantagem em se produzir armários, será neces-sário reduzir a produção de mesas pois mesmo havendo madeira disponível para a produção dos móveis, o recurso mão-de-obra é excasso; segundo a programação (solu-ção) de produção atual (x1 = 4 mesas e nenhum armário x2 = 0).

Consequências ao Produzir Armários

Como consequência para produzir armários, duas alterações devem ser feitas no programa de produção:

1. O número inicialmente encontrado para a produção de mesas deve diminuir e isso diminui o lucro total.

(42)

3.6. O MÉTODO SIMPLEX 41 2. A produção de armários, inicialmente nula, pode então tornar-se positiva,

provo-cando assim um aumento do lucro total.

Com base nestas duas alterações simultâneas no lucro; uma redução e um aumento; o 10 Critério pode ser adaptado como:

• A variável x2 (produção de armários) deverá se tornar positiva se o resultado no

lucro for positivo. Ou seja, se:

O Aumento no lucro L provocado pelo aumento de x2 denotado por Ax2

for maior que

A Redução no lucro L provocado pela diminuição de x1 denotada por Rx1

De modo equivalente, devemos dizer que a variável x2 (produção de armários)

deverá se tornar positiva se a contribuição líquida para o lucro dada por x2 for

positiva, ou seja, se:

Contribuição líquida dada por x2 = Ax2 − Rx1 > 0. 20 Critério (Adaptação do ₁0)

• Ao invés de se fazer positiva a variável que tem o maior coeﬁciente positivo na

função objetivo, faz-se positiva se sua contribuição líquida for positiva.

Após calcular a contribuição líquida para o lucro total dada pela variável x2 quando

a mesma passa de x2 = 0 para x2 = 1 (e consequêntemente x1 = 4 para x1 = 3.5) é

possível veriﬁcar que a mesma é negativa em uma unidade, ou seja, que:

Contribuição líquida dada por x2 = 4.(redução em x1 quando x2 = 1) + 1.(variação em x2)

= 4.(−0.5) + 1.(1) = −1.

Sendo assim, podemos concluir que não há vantagem em se produzir armários e a solução ótima para o problema da marcenaria recomenda que sejam produzidas:

o que resulta num lucro máximo L = f (x∗

1, x ∗ 2) = 4x ∗ 1 + x ∗ 2 = .

(43)

3.6.2 Idéia Resumida sobre o Método Simplex

O método simplex consiste de um procedimento matemático e computacional sistemá-tico e eﬁciente para a resolução de problemas de programação linear (PPL). O processo de solução de um PPL por este método basea-se na resolução de sistemas de equações lineares considerando as seguintes idéias/questões:

1) Qual o sistema que deve ser resolvido?

2) Qual o próximo sistema a ser resolvido fornecerá uma solução melhor que a anterior?

3) Como identiﬁcar uma solução ótima, uma vez que a tenhamos encontrado?

3.6.3 Método Simplex em Tabelas (Tabular)

As operações do método simplex podem ser organizadas em tabelas chamadas tabelas simplex . Embora o método simplex tabular não seja a forma ideal de se implementar

em um computador, essa organização é interessante para manipular problemas peque-nos e rapidamente compreender como o método funciona.

De modo geral, o método simplex pode ser resumido através dos seguintes passos:

Passo 1: Para cada desigualdade, introduzir as variáveis de folga (obter a forma padrão

do PPL).

Passo 2 : Montar um quadro para os cálculos:

– Colocar na 1a. linha os valores simétricos dos coeﬁcientes da função objetivo, e

– Colocar os coeﬁcientes das variáveis (com os respectivos sinais) associados às restrições do problema.

Passo 3 : Estabelecer uma solução básica inicial:

– Usualmente atribui-se valor zero às variáveis originais e acha-se valores po-sitivos para as variáveis de folga.

Passo 4: Escolher a próxima variável a entrar na base:

– Escolhe-se a variável não-básica que fornece a maior contribuição líquida para o aumento da função-objetivo (a que tem maior valor negativo na 1a. linha da tabela).

(44)

3.6. O MÉTODO SIMPLEX 43

Condição de otimalidade - se todas as variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes da função-objetivo nulos ou positivos, a solução atual é ótima. Se alguma dessas variáveis tiver coeficiente nulo, significa que ela pode ser introdu-zida sem aumentar o valor da função-objetivo. Isso quer dizer que temos outra solução ótima, com o mesmo valor da função objetivo.

Passo 5 : (Condição de viabilidade) Escolher a variável que deve deixar a base,

reali-zando o seguinte procedimento:

– Divide-se os elementos da última coluna pelos correspondentes elementos positivos da coluna da variável que vai entrar na base.

Obs: Caso não haja elemento algum positivo nessa coluna, o processo deve parar, já que a solução seria ilimitada.

– O menor quociente indica a equação cuja respectiva variável básica deverá ser anulada, tornando-se variável não-básica.

Passo 6 : Usando operações elementares válidas com as linhas da matriz, transformar a

matrix representada na tabela simplex de modo a encontrar a nova solução básica do problema. Para isto:

– A coluna da variável básica deverá se tornar um vetor identidade onde o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que está sendo anulada (que está passando de básica para não-básica).

Passo 7 : Retornar ao Passo 4 para iniciar outra iteração.

Exemplo 3.6.1. Resolva o Problema da Marcenaria (que produz mesa e armário)

pelo método simplex (tabular).

Exemplo 3.6.2.

Resolva o seguinte PPL pelo método simplex (tabular) e gráﬁco, observando que o método simplex é eﬁciente no sentido de buscar a solução ótima através de um número mínimo de iterações (percorrendo um número mínimo de vértices).

Maximizar Z = 3x1 + 5x2 sujeito a x1 ≤ 4 x₂ ≤ 6 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Resposta: (x∗ 1, x ∗ 2, x ∗ 3, x ∗ 4, x ∗ 5) = (2, 6, 2, 0, 0). Valor ótimo Z = 36.

3.6.4 Exercício

Resolva alguns dos PPLs até aqui apresentados através do método Simplex utilizando o software TORA e a função SOLVER do Excel.

(45)

3.6.5 Solução Inicial Artiﬁcial

Como já é possível observar, problemas de PL nos quais todas as restrições são (≤) com

lados direitos não negativos oferecem uma solução básica inicial viável conveniente

na qual todas as variáveis são de folga mas isso não acontece com modelos que

envolvem restrições (=) e/ou (≥).

O procedimento para iniciar a resolução de problemas de PL ‘mal comportados‘ com restrições (=) e/ou (≥) é usar variáveis artiﬁciais que desempenham o papel de

folgas na primeira iteração e então descartá-las legitimamente em iterações posteriores. Dois métodos fortemente relacionados são apresentados aqui: o método do M-grande

e o método das duas fases.

Método do M-grande

O método do M-grande começa com um problema de PL na forma de equações. Se a equação i não tiver uma folga (ou uma variável que possa desempenhar o papel de

uma folga), uma variável artiﬁcial, Ri, é adicionada para formar uma solução inicial

semelhante à solução básica na qual todas as variáveis são de folga. Contudo, como as variáveis artiﬁciais não são parte do modelo original, recebem punições muito altas na função objetivo, o que (a certa altura) as força a ter o valor igual a zero na solução ótima. Isso sempre ocorrerá se o problema tiver uma solução viável. A regra a seguir mostra como a punição é designada nos casos de maximização e minimização.

Regra de penalização das variáveis artiﬁciais:

Dado M , um valor positivo suficientemente alto (em termos matemáticos, M → ∞), o coeficiente na função objetivo de uma variável artificial representa uma punição

adequada se:

Coeﬁciente na função objetivo da variável artiﬁcial =



−M, em problemas de maximização M, em problemas de minimização

Veja agora como funciona o método do M-grande através do modelo de PL abaixo que não apresenta uma solução básica inicial conveniente:

Exemplo 3.6.3. min z = 4x₁ + x₂ sujeito a 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 ≥ 6 x₁ + 2x₂ ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Resp.: (x∗ 1, x ∗ 2) = (2/5, 9/5). Valor ótimo: z = 17/5.

Comentário: A utilização da punição M tem por objetivo forçar que os valores

(46)

3.6. O MÉTODO SIMPLEX 45 variáveis artiﬁciais não for nula na solução ótima tem-se que a solução é inviável (isto é, o PPL tem restrições inconsistentes).

(47)

Método das duas fases

No método do M-grande, a utilização da punição M , que, por deﬁnição, deve ser grande

em relação aos coeﬁcientes da função objetivo, pode resultar em erros de arredonda-mento que podem comprometer a precisão dos cálculos simplex. O método das duas fases ameniza essa diﬁculdade eliminando totalmente a constante M . Como o nome

sugere, o método resolve o problema de PL em duas fases: a Fase I tenta achar uma solução básica viável inicial e, se ela for encontrada, a Fase II é invocada para resolver o problema original.

Resumo do método das duas fases

• Fase I

Expresse o problema na forma de equações e adicione as variáveis artiﬁciais ne-cessárias às restrições (exatamente como no método do M-grande ) para garantir uma solução básica viável inicial. Em seguida, ache uma solução básica com as equações resultantes que, independentemente do problema de PL ser de maximi-zação ou minimimaximi-zação, sempre minimizará a soma das variáveis artiﬁciais. Se o

valor mínimo da soma for positivo, o problema de PL não tem nenhuma solução viável, o que encerra o processo (lembre-se de que uma variável artiﬁcial positiva signiﬁca que uma restrição original não foi satisfeita). Caso contrário, passe para a Fase II.

• Fase II

Use a solução viável da Fase I como uma solução básica viável inicial para o problema original.