for uma solução básica viável
3.6. O MÉTODO SIMPLEX 45 variáveis artificiais não for nula na solução ótima tem-se que a solução é inviável (isto
é, o PPL tem restrições inconsistentes).
Método das duas fases
No método do M-grande, a utilização da punição M , que, por definição, deve ser grande
em relação aos coeficientes da função objetivo, pode resultar em erros de arredonda- mento que podem comprometer a precisão dos cálculos simplex. O método das duas fases ameniza essa dificuldade eliminando totalmente a constante M . Como o nome
sugere, o método resolve o problema de PL em duas fases: a Fase I tenta achar uma solução básica viável inicial e, se ela for encontrada, a Fase II é invocada para resolver o problema original.
Resumo do método das duas fases
• Fase I
Expresse o problema na forma de equações e adicione as variáveis artificiais ne- cessárias às restrições (exatamente como no método do M-grande ) para garantir uma solução básica viável inicial. Em seguida, ache uma solução básica com as equações resultantes que, independentemente do problema de PL ser de maximi- zação ou minimização, sempre minimizará a soma das variáveis artificiais. Se o
valor mínimo da soma for positivo, o problema de PL não tem nenhuma solução viável, o que encerra o processo (lembre-se de que uma variável artificial positiva significa que uma restrição original não foi satisfeita). Caso contrário, passe para a Fase II.
• Fase II
Use a solução viável da Fase I como uma solução básica viável inicial para o problema original.
3.6. O MÉTODO SIMPLEX 47
3.6.6 Casos Especiais do Método Simplex
Nesta sub-seção pretendemos descrever de forma sucinta sobre as possíveis soluções
que podem surgir ao resolvermos um PPL pelo Método Simplex, assim como foi verificado os casos possíveis de solução através do Método da Solução Gráfica. Com este intuito consideraremos quatro casos especiais:
1. Degeneração
2. Soluções ótimas alternativas (ou múltiplas soluções ótimas) 3. Soluções ilimitadas
4. Soluções não existentes (ou inviáveis)
O interesse em estudar estes casos especiais tem duas intenções: 1) Apresentar uma explanação teórica dessas situações e;
2) Dar uma interpretação prática do que esses resultados poderiam significar em um problema na vida real.
Degeneração
Na aplicação da condição de viabilidade(condição que mantem a viabilidade simul- tânea das restrições) do método simplex pode ocorrer um empate na razão mínima que pode ser resolvido arbitrariamente. Quando isso acontece, no mínimo uma variável básica será zero na iteração seguinte, e diz-se que a nova solução é degenerada.
Não há nada de alarmante com uma solução degenerada, exceto uma pequena inconveniência teórica denominada ciclagem ou retorno cíclico. A ciclagem pode ocorrer pelo fato da possibilidade do método simplex entrar em uma sequência de ite- rações sem nunca melhorar o valor da função objetivo e nunca satisfazer a condição de otimalidade. Soluções existem para evitar a ciclagem mas são raramente implementa- dos nos softwares por reduzir drasticamente a velocidade dos cálculos e contando com o fato de sua ocorrência ser rara na prática.
Um segundo ponto teórico surge do fato da possibilidade de surgir em diferentes iterações valores idênticos para o valor da função objetivo, apesar de diferenças entre a categorização das váriáveis básicas e não-básicas. Sendo assim poderíamos perguntar se poderíamos parar na primeira iteração em que a degeneração aparece ainda que não seja ótima e a resposta é não porque a solução pode ser temporariamente degenerada. E agora, qual a implicação prática da degeneração? O que acontece é que alguns recursos (restrições) são supérfluos e esta informação pode ser valiosa durante a imple- mentação da solução. A informação também pode levar à descoberta de irregularidades na construção do modelo mas infelizmente não há nenhuma técnica de cálculo eficiente para identificar restrições redundantes diretamente da tabela.
Observemos todos estes comentários usando o software Tora para resolver (pelo simplex tabular e gráfico) o seguinte PPL:
max z = 3x1 + 9x2
sujeito a x1 + 4x2 ≤ 8
x1 + 2x2 ≤ 4
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Soluções ótimas alternativas (ou múltiplas soluções ótimas)
Quando a função objetivo tem direção paralela a uma restrição vinculadora não redundante (isto é, uma restrição que é satisfeita como uma equação na solução ótima), a função objetivo pode assumir o mesmo valor ótimo em mais de um ponto de solução, o que dá origem a soluções ótimas alternativas (ou múltiplas soluções ótimas). Na solução gráfica do seguinte modelo de PPL
max z = 2x1 + 4x2
sujeito a x1 + 2x2 ≤ 5
x1 + x2 ≤ 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
,
é possível observar isto e, na solução Simplex tabular, é possível observar que em uma certa iteração o valor do coeficiente de uma determinada variável não básica na linha de z é zero, o que significa que esta determinada variável não básica pode entrar na
solução básica sem alterar o valor de z , mas apenas causando mudança nos valores das
variáveis.
O método Simplex apresenta apenas dois pontos extremos de todas as possíveis soluções e, na prática, soluções ótimas alternativas permitem, por exemplo, escolhas convenientes de acordo com o interesse atual do mercado. Por exemplo, na solução ótima do PPL acima, uma das soluções aponta que apenas um dos produtos podem ser produzidos e uma outra solução permite que dois produtos possam ser produzidos sem alterar o valor ótimo. Neste último caso, numa situação de mix de produtos, pode haver vantagem em produzir dois produtos em vez de um para poder enfrentar a concorrência de mercado. Solução ilimitada Na resolução do seguinte PPL max z = 2x1 + x2 sujeito a x1 − x2 ≤ 10 2x1 ≤ 40 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
é possível observar a possibilidade do valor de uma variável poder ser aumentado in- definidamente sem violar nenhuma restrição, o que significa que a região de soluções é