COMPETÊNCIA EM EDUCAÇÃO PÚBLICA PROFISSIONAL ETEC LAURO GOMES. MÉTODOS de RESOLUÇÃO de PROBLEMAS de ELETRICIDADE. - Números Decimais Propriedades ;

(1)

ETEC “LAURO GOMES”

MÉTODOS de RESOLUÇÃO de PROBLEMAS de ELETRICIDADE

- Números Decimais – Propriedades ; - Potências e Expoentes ;

- Notação Científica ;

- Potência de Dez - Múltiplos e Submúltiplos; - Código de Cores de resistores;

- Operações Fracionárias – Associação de resistores;

- Sistemas de Equações Lineares – Método da Substituição; Método da Adição. - Matrizes – Regra de Sarrus;

Regra de Cramer. - Leis de Kirchhoff - Lei dos Nós;

Lei das Malhas. - Trigonometria – Revisão;

- Vetores;

- Vetores e Quantidades Complexas.

(2)

DESENVOLVIMENTO DO CONTEÚDO

1º) Números Decimais

- Entender a formação do sistema numeral Decimal;

- Compreender o conceito de peso e posição do algarismo em relação ao conjunto numérico; - Compreender as propriedades dos números decimais;

- Efetuar operações com números decimais; - Compreender o conceito de arredondamento 2º) Potência de Dez

- Compreender o conceito de múltiplos e submúltiplos de unidades; - Efetuar as devidas transformações entre essas unidades;

- Compreender que em eletricidade é importante que o expoente seja múltiplo de três; - Compreender o conceito de notação decimal e notação científica;

- Efetuar cálculos utilizando potência de dez; - Compreender Código de Cores de Resistores. 3º) Operações Fracionárias

- Compreender o conceito de MMC (Mínimo Múltiplo Comum); - Efetuar cálculos utilizando frações;

- Calcular resistores equivalentes em Associações em Paralelo; - Calcular capacitores equivalentes em Associações em Série; 4º) Sistemas de Equações Lineares – Método para Solução Analítica

- Calcular valores das variáveis que satisfaçam ao sistema linear, utilizando o Método da Substituição;

- Determinar a solução de sistemas lineares, utilizando o Método da Adição. 5º) Matrizes de Sistemas Lineares

- Calcular valores das variáveis de um sistema de equações lineares, utilizando o Método dos Determinantes.

6º) Leis de Kirchhoff

- Compreender o conceito relacionado às correntes no Teorema de Kirchhoff, interpretando a “Lei dos Nós”;

- Compreender o conceito relacionado às tensões no Teorema de Kirchhoff, interpretando a “Lei das Malhas”;

- Analisar circuitos utilizando as Leis de Kirchhoff, empregando os Métodos da Substituição, Adição e Método dos Determinantes;

- Efetuar cálculos de Tensão e Corrente, utilizando Kirchhoff empregando os Métodos de Substituição, Adição e Determinantes.

(3)

7º) Relações Trigonométricas

- Compreender as relações trigonométricas no Triângulo Retângulo;

- Entender os conceitos de seno, cosseno e tangente, assim como de seus inversos; - Utilizar a calculadora como auxílio nos cálculos trigonométricos.

8º) Vetores

- Compreender grandezas Escalares e Vetoriais;

- Efetuar operações utilizando as diversas representações de Vetores; - Comparar o resultado das operações algébricas a gráficos;

- Compreender e efetuar soma de vetores utilizando o “Método do Paralelogramo”; - Compreender e efetuar soma de vetores utilizando o “Método das Projeções”.

- Efetuar a analogia necessária desses diagramas Vetoriais a comportamento de tensão e corrente num circuito em alternada.

9º) Números Complexos

- Entender as formas polares, retangulares de um número complexo; - Efetuar as devidas transformações entre esses números;

(4)

NÚMEROS DECIMAIS

Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.

Um número decimal pode ser colocado na forma genérica: Centena s Dezena s Unidade s , Décimo s Centésimo s Milésimo s

Por exemplo, o número 130,824 pode ser escrito na forma: 1 Centen a 3 dezena s 0 unidade s , 8 décimo s 2 centésimo s 4 milésimo s Logo:

...milhar

→

centena

→

dezena

→

unidade

→

décimo

→

centésimo

→

milésimo...

Perceber que cada número escrito à esquerda do outro, vale dez vezes mais que este outro.

Leitura LeituraLeitura Leitura ::::

0,189 = Cento e oitenta e nove milésimos; 3,7 = Três inteiros e sete décimos;

13,25 = Treze inteiros e vinte e cinco centésimos;

700,804 = Setecentos inteiros e oitocentos e quatro milésimos; 2,7 = dois inteiros e sete décimos;

0,15 = quinze centésimos ;

(5)

Propriedades dos Números Decimais

1 – Um número decimal não se altera se acrescentarmos ou suprimirmos um ou mais zeros à direita do último algarismo de sua parte decimal.

Exemplos: 0,70 = 10 7 100 70 = ; 0,700= 10 7 1000 700 ₌ Portanto, 0,70 = 0,700 Exercícios: Coloque = ou

≠

0,57..._0,570; 6,1 ..._6,10; 17,007 ..._17,700; 5,7000 ..._5,7;

2 – Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000, basta mudar a posição da

vírgula uma, duas ou três casas decimais para a esquerda, respectivamente.

Exemplos: 0,9 : 10 = 0,09; 0,61: 100 = 0,0061 Exercícios: Efetue as divisões:

0,5 ÷1000 = 0,341 ÷ 100 = 248,34 ÷ 100 = 98,72 ÷1000 =

3 – Para multiplicar um número decimal por 10, 100 ou 1000, basta mudar a posição da

vírgula uma, duas ou três casas decimais para a direita, respectivamente

Exemplos: 9,7 . 10 = 97; 0,845.100 = 84,5

Exercícios: Efetue as multiplicações: 0,2 . 100 =

86,34 . 1000 = 0, 673 . 10 =

REGRA PRÁTICA – “Cada número depois da vírgula, significa o número de “zeros” no denominador”. Exemplos: 1,4 = 10 14 2,71 = 100 271 5,814 = 1000 5814

Dizemos que um número escrito “entre vírgulas” está escrito em “Notação Decimal”.

(6)

Operações com números decimais 1 - Multiplicação e Divisão: a) 2,21. 10 = = ×10 100 221 22,1 b) 2,314 . 100 = 100 1000 2314_× = 231,4 c) 2,31 . 7 = 7 100 231 × = 100 1617 = 16,17 d) 87,6 : 10 = 76 , 8 100 876 10 1 10 876 10 10 876 = = × = ÷ e) 918,25 : 100 = = = × = ÷ 10000 91825 100 1 100 91825 100 100 91825 9,1825 2 - Soma e Subtração

Para somar ou subtrair números decimais manter vírgula embaixo de vírgula e efetuar as operações normalmente. Exemplo: a) 0,87+0,13 = 1,00 0,87 + 0,13 1,00 b) 106,94 – 73,57= 33,37 106,94 - 73,57 033,37

(7)

POTÊNCIAS E EXPOENTES Seja:

3.3.3.3.3.3.3.3.3 = 39 onde: 3 é a base e 9 é o expoente.

Logo: an= 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 nvezes a a a a a a a a a a a. . . ... Lembretes: a a a a a 1 1 1 0 1 = = = − com a≠0 n n a a− = 1 com a≠0 m n m n a a = Exemplos: 0 0 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 5 3 3 3 3 1 0 1 = = = = = = − − − ou

Calcule o valor de:

... 037037 , 0 27 1 3 1 3 01 , 0 100 1 10 1 10 3 3 2 2 = = = = = = − −

(8)

Propriedades 1 – Produto de potências de mesma base.

am×an =am+n Ex.: 22×23 =22+3 =25 Na multiplicação de potência de mesma base, repete-se a base e somam-se os expoentes.

2 – Quocientes de potências de mesma base ( com a ≠0)

am ÷an =am−n Ex.: 54 ÷53 =54−3 =51 =5 Na divisão de potências de mesma base, repete-se a base e diminuem-se os expoentes.

3 – Produto de potências de mesmo expoente e bases diferentes.

m m m b a b a × =( × ) _Ex.:43×103 =(4×10)3 =403 Neste caso, multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente.

4 – Quociente de potências de mesmo expoente e bases diferentes.

m m m b a b a ÷ =( ÷ ) _{Ex.: 90}−2 2 2 2 3 30 90 30 − − − _ ₌      = ÷

Neste caso, dividem-se as bases e conserva-se o expoente. 5 – Potência de potência.

( )

m n m n a a = × Ex.:

( )

3 2 6 8 4 2 5 5 = = − − a a

Uma potência elevada a um dado expoente é igual à potência que se obtém conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes.

Observação: Expoente Fracionário:

4 3 4 3 3 2 3 2 2 1 5 5 7 7 8 8 = = =

(9)

Operações com Potência: 1 - Soma e Subtração:

x = 103+102 =102 +10.102 =11.102 (ou 1000 + 100 = 1100 que em base dez = 11.102); x = 103−102 =10.102 −102 =9.102 (ou 1000 – 100 = 900 que em base dez = 9.102); x = 105−103 =102.103 −103 =100.103 −103 =99.103(ou 100000 – 1000 = 99000 que em base dez = 99.102);

x = 8.103+2.102 =8.10.102 +2.102 =80.102 +2.102 =82.102

Na adição e subtração, devemos ter a base dez com o mesmo expoente antes e depois da operação que se deseja efetuar (somar ou diminuir).

2 – Divisão e Multiplicação: z = 103.102 =103+2 =105 z = 105.10−2=105+( )−2 =105−2 =53 w = 10 10 10 10 3 2 2 3 = = − (ou 10 10 . 10 10 10 3 2 2 3 = = − ) w = 1012 ÷108 =1012−8 =104 w = 10−3 ÷10−2 =10−3−( )−2 =10−3+2 =10−1

Na multiplicação de potências de mesma base, repete-se a base e somam-se os expoentes; Na divisão de potências de mesma base, repete-se a base e diminuem-se os expoentes.

(10)

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

É um produto entre dois fatores onde um fator é um número real n e o outro fator é uma

potência de dez.

Primeiro Fator: 1≤n 〈〈〈〈 10

Segundo Fator: base dez, com seu respectivo expoente. Exemplos: a) 0,000316 = 3,16.10−4 b) 28400000 = 2,84.107 c) 15 = 1,5.10 d) 0,37 = 3,7.10−1 e) 0,029 = 2,9.10−2 f) 1,9 = 1,9.100 Exercícios Propostos

1 – Calcule, reduzindo a uma só potência:

( )

= = = × = × = × − − − − 2 1 3 2 2 2 4 4 2 3 10 2 3 2 5 2 10 10

(11)

2 – Verdadeiro (V) ou Falso (F)?

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

2 2

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 10 3 3 4 2 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 2 2 10 10 10 10 2 − = − + = + ÷ = ÷ × = × × = × = × x x

4 – Aplique as propriedades e reduza a uma só potência:

( )

( ) ( )

= ⋅ = = × = × = = ÷ = × − 3 4 3 3 4 4 2 3 2 5 4 2 4 6 4 6 5 5 5 2 3 2 2 10 10 10 10 b a x

5 – Efetue as operações, utilizando a base dez.

= + 2 5 10 10 = − 5 6 10 . 5 10 . 2 = + = + − − 3 3 4 3 10 10 10 . 7 10 . 7

(12)

6 – Escreva em Notação Científica:

30 = 1,780= 100000= 0,003509= 0,00000543= 931000=

7 – Obedecendo às propriedades, efetue:

a)

( )

4 3x ₌ _b)

( )

x3 5₌ c)

(

)

3 3 2 5a b ₌ _d) 6 4 .a a ₌ e) 4 2 3 1 −       − a ₌ _f) 3 2 2 3 2 . 2             b c a c ab = g) 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3       ÷       b a xy b a y x =

8 – Calcule os valores das potências:

a) 62 = b)

( )

3 6 − ₌ c)

( )

20 1 − _{= d)}

( )

3 5 − − ₌ e)

( )

28 0 _{= f)} 2 5 3       = g) 3 3 2 −       = h) 2 7 4       − =

(13)

POTÊNCIA DE DEZ

Às vezes temos que representar um valor muito grande ou muito pequeno de uma determinada grandeza. Não é elegante, por exemplo, a gente dizer que um saco de açúcar tem mil gramas, dizemos que tem 1Kg, ou que um copo tem capacidade para 0,2 litros, dizemos que o mesmo tem capacidade para 200ml. Os múltiplos e submúltiplos foram criados para facilitar a representação de quantidades muito grandes ou muito pequenas, eles são:

Múltiplos Unidade Submúltiplos

Kilo K ₁₀3 100=1 mili m 10−3 Mega M ₁₀6 _micro µµµµ 10−6 Giga G ₁₀9 _nano _n 10−9 Tera T ₁₀12 _pico _p 10−12 Peta P ₁₀15 _femto _f 10−15 Exa E ₁₀18 _atto _a 10−18 CONVERSÃO DE UNIDADES

Usaremos a escala abaixo para efetuar a conversão de unidades. Primeiro temos que saber qual a direção tomada na conversão. Se for da direita para a esquerda (por exemplo, de kilo para mega), andaremos com a vírgula para a esquerda. Se for da esquerda para a direita (por exemplo, de mili para micro), andaremos com a vírgula para a direita, como mostram as setas.

Sabendo a direção tomada na conversão, temos que definir quantas casas andaremos com a vírgula. Num deslocamento para cada unidade vizinha (à direita ou à esquerda) a vírgula andará três casas.

(14)

PREFIXOS NO SISTEMA INTERNACIONAL

Múltiplo Prefixo Símbolo Nome Comum

1018 _exa _E _quintilhão 1015 _peta _P _quadrilhão 1012 _tera _T _trilhão 109 _giga _G _bilhão 106 _mega _M _milhão 103 quilo k mil 102 _hecto _h _cem 101 _deca _da _dez 10-1 _deci _d _Décimo 10-2 _centi _c _Centésimo 10-3 _mili _m _Milésimo 10-6 micro µ Milionésimo 10-9 _nano _n _Bilionésimo 10-12 _pico _p _{Trilionésimo} 10-15 _femto _f _{Quadrilionésimo} 10-18 _atto _a _{Quintilionésimo}

(15)

Exercícios:

1 – Complete o quadro abaixo:

45000000µV 45000mV 45V 0,045KV 0,000045MV µΩ mΩ 3,9Ω KΩ MΩ 786000µA mA A KA MA µV mV V KV 0,12MV µΩ 53600mΩ Ω KΩ MΩ µV mV V 13KV MV µA mA 5,31A KA MA 10000000µΩ mΩ Ω KΩ MΩ µA mA A KA 0,004MA µV 960000mV V KV MV µΩ mΩ Ω 3,2KΩ MΩ µA mA 12A KA MA

2 – Transforme os valores a seguir em Volt (V):

a)16MV b)32µV c)1,34KV d)123mV e)5,64MV f)13598µV g)12,6KV h)698,7mV i)0,98KV j)56,42mV k)0,265MV l)1350µV m)1,34MV n)236,45µV o)6,4KV p)9874,5mV q)0,754MV r)354,00µV

3 – Transforme os valores a seguir em Ampère (A)

a)77mA b)458µA c)623mA d)888,5mA e)10098,7µA f)2654µA g)1,12KA h)666,7mA i)120000µA j)198,99µA k)55,45mA l)28,09µA m)0,0045MA n)2145µA o)777,67mA p)48000µA q)0,56mA

4 – Transformeos valores a seguir em valores convenientes para leitura:

a)1890000Ω b)1200Ω c)0,023KΩ d)0,008MΩ e)0,000029MΩ f)0,073KΩ g)0,00004A h)0,29A i)32600mA j)0,05mA k)50098,7µA l)89000µA m)26000V n)0,094V o)0,38KV p)9000mV q)0,760KV r)71900mV

(16)

5 – Transforme os valores a seguir em Ohm (Ω): a)220KΩ b)1200mΩ c)56KΩ d)1,2MΩ e)26KΩ f)0,98KΩ g)652KΩ h)95MΩ i)421KΩ j)3600mΩ k)165KΩ l)0,025MΩ m)7,23MΩ n)86,57KΩ o)91,28MΩ p)75,57KΩ q)448,2KΩ r)568,4mΩ 6 - Efetue: a) 250Ω + 1,2KΩ + 27,3KΩ = ...KΩ; b) 430mV + 1,3V + mV = ………V; c) 33µA + 720 mA +0,3A = ...mA; d) 10KV + 500V + 0,5KV = ...V;

Para Leitura: Potência de dez e a eletrônica/eletrotécnica

O uso da potência de dez, ao contrário do que muitos pensam, é fácil e ajuda, consideravelmente, em cálculos que envolvem números muitos extensos e com grande quantidade de zeros. Em eletrônica ou eletrotécnica (eletricidade) seu uso fica evidente quando falamos de múltiplos e/ou submúltiplos de grandezas como resistência, capacitância, freqüência, indutância, etc.

Vamos ver algumas considerações básicas:

exemplos em eletricidade O número 10 é igual a 1 x 101 ou 101 O número 100 é igual a 1 x 102 ou 102 O número 1.000 é igual a 1 x 103 ou 103 1000 = 1K (quilo) O número 10.000 é igual a 1 x 104 ou 104

O número 1.000.000 é igual a 1 x 106 ou 106 1.000.000 = 1M (mega) O número 0,1 é igual a 1 x 10-1 ou 10-1

O número 0,01 é igual a 1 x 10-2 ou 10-2

O número 0,001 é igual a 1 x 10-3 ou 10-3 0,001 = 1m (mili) O número 0,000.001 é igual a 1 x10-6 ou 10-6 0,000.001 = 1µ (micro) O número 0,000.000.001 é igual a 1 x 10-9 ou 10-9 0,000.000.001 = 1n (nano) O número 0,000.000.000.001 é igual a 1 x10-12 ou 10-12 0,000.000.000.001 = 1p (pico) Mas como podemos provar isto? Basta multiplicarmos o número de dez, por ele mesmo, pela quantidade indicada pelo expoente. Isto para expoentes positivos.

(17)

Vamos ver alguns exemplos: 1-)

1 x 103 = 1 x 10 x 10 x 10 = 1.000

Como o expoente é 3 multiplicamos o número 10, por ele mesmo, três vezes. 2-)

1 x 106 = 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1.000.000

Como o expoente é 6 multiplicamos o número 10, por ele mesmo, seis vezes. Mas, quando o expoente é negativo?

Basta fazermos a mesma coisa e invertemos o resultado. Para fazermos isto é só dividir 1 pelo resultado da multiplicação dos números dez.

Vamos ver alguns exemplos: 1-)

1 x 10-3 = 1÷1 x 10 x 10 x 10 = 1.000

Invertendo o resultado teremos: 1 / 1.000 = 0,001

→

Portanto 1 x 10-3 = 10-3 = 0,001 2-)

1 x 10-12 = 1÷ 1 x 10 x10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 =1÷1000.000.000.000 Invertendo o resultado teremos: 1 / 1.000.000.000.000 = 0,000.000.000.001

Portanto 1 x 10-12 = 10-12 = 0,000.000.000.001

Podemos perceber que:

I - quando o expoente é positivo caminhamos com a vírgula para a direita. 1 x 103 = 1000

→

três casas pois o expoente é 3.

II - quando o expoente é negativo caminhamos com a vírgula para a esquerda. 1 x 10-6 = 0,000.001 → seis casas pois o expoente é –6.

Usando isto em eletrônica/eletrotécnica

Temos em eletricidade diversas grandezas onde aplicamos estes conhecimentos. Vamos trabalhar com duas delas (resistência e capacitância), mas estes princípios se aplicam a todas elas.

Exemplos:

1 – Um resistor de 1.000 Ω pode ter o seu valor escrito como:

(18)

2 – Um capacitor de 100 nF pode ter o seu valor escrito como: 0,000.000.1 Farads 0,000.000.1 F

100 nF 100 x 10-9 Farads 100 x 10-9 F

3 – Um resistor de 470 KΩ pode ter o seu valor escrito como: 470.000 Ohms 470.000 Ω

470 KOhms 470 KΩ 470 x 103 Ohms 4 – Um capacitor de 2,200 µF pode ter o seu valor escrito como: 0,0022 Farads

0,0022 F 2200 µF

2200 x 10-6 Farads 2200 x 10-6 F

Podemos perceber que eventualmente precisaremos “pegar” um capacitor em µF e transformar em nF ou Farad, outras vezes é necessário se transformar o valor de um resistor de MΩ para KΩ ou Ω. Muitas vezes precisaremos fazer isto para aplicarmos estes valores em fórmulas ou para termos todos com a mesma base, visando facilitar cálculos. Também usamos estes conhecimentos para fazer a leitura de componentes e saber o valor correto dos mesmos. Uma forma simples e fácil de se fazer isto é utilizando um pouquinho de matemática e olhando os exemplos:

1 – Transformar 100 nF em µF.

- passe o valor de 100nF para a base de dez: 100 nF = 100 x 10-9

- divida este valor por µ e você encontrará o resultado em µF:

100 x 10-9 / µ = 100 x 10-9 / 1 x 10-6 = 100 x 10-9 x 106 / 1 = 100 x 10-3 = 0,1µF. 2 – Transformar 2,2 MΩ em KΩ.

- passe 2,2 MΩ para a base de dez: 2,2 MΩ = 2,2 x 106

- divida este valor por K e você encontrará o valor em KΩ:

2,2 x 106 / K = 2,2 x 106 / 1 x 103 = 2,2 x 106 x 10-3 / 1 = 2,2 x 103 = 2.200 KΩ.

Perceba que: quando a base de dez passa de baixo para cima, na equação, o seu expoente tem o sinal invertido. Depois basta somarmos os expoentes e aplicarmos a teoria sobre base de dez.

Quando desejamos converter múltiplos ou submúltiplos em sua unidade de medida devemos usar o número 1 (um) no lugar do K, M, n, µ etc.

(19)

SÍMBOLOS E NÚMEROS

Símbolo é um idéia ou conceito visual ou gráfico que representa um objeto que desejamos identificar.

Número é a idéia que o símbolo representa.

Unidades de medidas:

Capacitância - unidade de medida = Farads = F. Resistência - unidade de medida = Ohms = Ω. Indutância - unidade de medida = Henries = H. Freqüência - unidade de medida = Hertz = Hz. Potência - unidade de medida = Watts = W. Tensão - unidade de medida = Volts = V. Corrente - unidade de medida = Ampères = A. Exemplos:

10 µF em F = 10 x 10-6 / F = 10 x 10-6 / 1 = 10 x 10-6 = 0,000.01 F. 1,5 MΩ em Ω = 1,5 x 106 / Ω = 1,5 x 106 / 1 = 1,5 x 106 = 1.500.000 Ω.

Receita de Bolo

1 – pegar o valor e mudá-lo para a base de dez.

2 – dividir pela grandeza, múltiplo ou submúltiplo desejado. 3 – obter o resultado diretamente na forma desejada.

Exemplos:

47 nF em pF =47 x 10-9 / p =47 x 10-9 / 1 x 10-12 =47 x 10-9 x 1012 = 47 x 103 = 47.000 pF. 1M5Ω em KΩ =1,5 x 106 / K =1,5 x 106 / 1 x 103 =1,5 x 106 x 10-3 =1,5 x 103 =1.500 KΩ.

(20)

RESISTORES

Sendo um dos componentes mais comuns, as resistências geralmente possuem um formato cilíndrico e faixas coloridas que definem o seu valor em Ohms. As resistências transformam a energia elétrica em térmica através do efeito Joule. Quando a corrente circula por certos materiais ela encontra uma certa oposição à sua passagem e o que ocorre é justamente a transformação da energia.

Para identificar o valor da resistência existe um código universal de cores que utiliza quatro faixas coloridas para indicar um valor: as duas primeiras faixas correspondem a uma cifra, a qual deve ser multiplicada pelo valor da terceira faixa. A quarta faixa está um pouco afastada das outras três primeiras e indica a tolerância, ou seja, a precisão daquele componente.

Podemos trabalhar com resistores de quatro ou cinco anéis. Suas aplicações e componentes serão estudados em Eletricidade Básica. Aqui, nos interessa verificar seus valores e efetuarmos a leitura correta.

tolerância 1o. algarismo tolerância múltiplo 2o. algarismo múltiplo

2o. algarismo 3o. algarismo 1o. algarismo Tabela de Resistores Cor 1o. algarismo significativo 2o. algarismo significativo 3o. algarismo significativo Múltiplo Tolerância Preto 0 0 0 x1 Marrom 1 1 1 x10 ±1% Vermelho 2 2 2 _{x 10}2 ±₂_% Laranja 3 3 3 _{x 10}3 Amarelo 4 4 4 _{x 10}4 Verde 5 5 5 _{x 10}5 Azul 6 6 6 _{x 10}6 Violeta 7 7 7 Cinza 8 8 8 Branco 9 9 9 Ouro _{x 10}−1 ±₅_% Prata _{x 10}−2 ±₁₀_% Ausência ±20%

Observação: Na maioria dos resistores, o primeiro anel é o que se encontra mais próximo a uma das extremidades do componente.

(21)

Exercícios:

1 - Dê o valor do resistor:

a) Marrom, preto, vermelho, laranja, vermelho.

1 0 2 x103 ±2% → 102 000±2% →102 KΩ±2%

b) Violeta, marrom, verde, prata, marrom; c) Vermelho, violeta, amarelo, ouro; d) Laranja, laranja, laranja, prata; e) Azul, cinza, preto, ausência (sem cor); f) Violeta, verde, marrom, ouro;

g) Verde, azul, verde, prata;

h) Azul, branco, cinza, laranja, vermelho; i) Vermelho, amarelo, branco, prata, marrom.

Observação: A última cor sempre representará a tolerância e a penúltima, o multiplicador. 2 – Determine as cores dos resistores:

a)1,2KΩ ±5%; 12.102 ±5%

marrom, vermelho, vermelho e ouro. a) 470KΩ ±10%; b) 1800Ω ±2%; c) 3M9Ω ±10%; d) 2,37Ω ±1%; e) 3K3Ω ±20%; f) 3,57KΩ ±2%; g) 10,7Ω ±1%;

(22)

Observação: Para determinar as cores de um resistor cujo valor está em decimal, escreva-o como

um número inteiro e utilize o múltiplo correspondente para mudar a vírgula. Veja: 2,49Ω±1%= 249.10−2 ±1%

= vermelho, amarelo, branco, prata, marrom

3 – Qual a faixa de valores em Ohms permitida pelo fabricante para os seguintes resistores: a) 150Ω±20%;

b) 150Ω±1%; c) 1KΩ±5%; d)5,6MΩ±10%; e)187KΩ±2%

(23)

OPERAÇÕES FRACIONÁRIAS

SOMA: Reduzir ao mesmo denominador. (M.M.C.)

•••• M. M.C. = Mínimo Múltiplo Comum. Exemplos: a) 60 5 60 2 3 30 1 20 1 ₊ ₌ + ₌ b) 77 60 60 . 77 60 77 1 60 12 15 20 30 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 ₌ ₊ ₊ ₊ _⇒ ₌ + + + _⇒ ₌ _⇒ ₌ _⇒ ₌ x x x x x

SUBTRAÇÃO: Reduzir ao mesmo denominador.(M.M.C.).

•••• M. M.C. = Mínimo Múltiplo Comum. Exemplos: a) 60 1 60 2 3 30 1 20 1 ₋ ₌ − ₌ b) 19 6 6 . 19 6 19 1 6 2 6 21 1 3 1 2 7 1 = ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ − = x x x x x

MULTIPLICAÇÃO: Multiplica-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Exemplos: a) 15 28 3 7 5 4_× ₌ b) 36 24 24 . 36 24 36 1 3 4 8 9 1 = ⇒ = ⇒ = ⇒ × = x x x x

DIVISÃO: Mantém-se a primeira fração e inverte-se a segunda, multiplicando-se ambas. Exemplos: a) 12 40 4 5 3 8 5 4 3 8 = × = b) 441 21 21 . 441 21 441 1 3 49 7 9 1 49 3 7 9 1 = ⇒ = ⇒ = ⇒ × = ⇒ ÷ = x x x x x

(24)

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

Denominam-se resistores todos os aparelhos elétricos que convertem energia elétrica em energia térmica (calor), tais como: lâmpadas, chuveiro elétrico, ferros de passar roupa, alguns tipos de aquecedores elétricos etc.

Inúmeras vezes tem-se necessidade de um valor de resistência diferente dos valores fornecidos pelos resistores de que dispomos; outras vezes, deve atravessar um resistor corrente maior do que ele normalmente suporta e que o danificaria. Nesses casos, deve-se fazer uso de uma associação de resistores.

Em qualquer associação de resistores, denomina-se resistor equivalente o resistor que faria o mesmo que a associação. Entende-se por resistência da associação a do resistor equivalente.

Resistores Associados em Série:

Vários resistores estão associados em série quando são ligados um em seguida ao outro, de modo a serem percorridos pela mesma corrente.

Req= R1+R2 +R3+...Rn₍Ω₎

Na associação em série, o resultado total será igual a soma de todas as resistências empregadas.

A B

(25)

Resistores Associados em Paralelo:

Vários resistores estão associados em paralelo quando são ligados pelos terminais, de modo a ficarem submetidos à mesma ddp.

Em associação de resistores em paralelo, o inverso da resistência equivalente da associação é igual à soma dos inversos das resistências associadas.

n R R R R eq 1 ... 1 1 1 2 1 + + = (Ω)

Para se calcular a Resistência Equivalente (Req_{), de dois resistores associados} em paralelo, podemos simplificar a fórmula para:

) ( 2 1 2 1 Ω + × = R R R R Req A R1 R2 Rn B

(26)

Para resistores de mesmo valor, ligados em paralelo utilizaremos a fórmula: ) (Ω = n R Req

Onde R = valor do resistor

n = número de vezes que o resistor R se repete no circuito.

Resistores Associados em Circuitos mistos

As associações mistas de resistores contêm associações em paralelo e associações em série. Qualquer associação mista pode ser substituída por um resistor equivalente, que se obtém considerando-se que cada associação parcial (série ou paralelo) equivale a apenas um resistor.

Para determinar a resistência equivalente em uma associação mista, colocam-se, de inicio, letras em nós e terminais da associação. “Nós” são os pontos em que a corrente se divide; “terminais”, os pontos entre os quais se quer determinar a resistência equivalente. Simplifica-se aos poucos o esquema, resolvendo as associações cujos resistores se tem certeza de estarem em série (um depois do outro, sem ramificação) ou em paralelo (ligados aos mesmos pontos).

Exemplos:

1 – Calcule a resistência equivalente entre A e B: a) Ω = ⇒ + + =10 5 3 eq 18 eq R R !0Ω 5Ω 3Ω A B I

(27)

b) Ω = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ + + = ⇒ + + = 1,84 13 24 24 13 24 13 1 24 4 3 6 1 6 1 8 1 4 1 1 eq eq eq eq eq eq R R R R R R c) Ω = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ + + = ⇒ + + = 1 4 4 4 . 4 4 4 1 4 2 1 1 1 2 1 4 1 4 1 1 eq eq eq eq eq eq R R R R R R Ou: Ω = ⇒ = 2 2 4 1 1 eq eq R R ; = Ω ⇒ = 1 2 2 eq eq R R Exercícios

Calcule o valor da Resistência Equivalente (Req_{) entre A e B:} a) 4Ω 8Ω 6Ω A B 4Ω B A 4Ω 2 Ω 1Ω 2Ω 3Ω 4Ω B A

(28)

b)

c)

Repita o exercício c, retirando o resistor R7 e colocando um “curto” em seu lugar.

Curto-circuito - O curto-circuito é caracterizado quando existe um condutor de resistência elétrica desprezível (R = 0) entre dois pontos de um circuito elétrico.

d) 2Ω 3Ω 5 Ω 3Ω 6Ω 4Ω 6Ω 6Ω 7Ω 1Ω 2Ω A B Dados: R1 = 4KΩ R2 = 2KΩ R3 = 5 KΩ R4 = 3.000 Ω R5 = 1.000Ω R6 = 6KΩ R7 = 8 KΩ R1 R5 R2 R 6 R4 R 3 R7 8Ω 10Ω 3Ω 10Ω

(29)

EXERCÍCIOS DE REVISÃO: 1 – Efetue utilizando potência de dez:

a) 10000 = 1 b) = 4000 2 c) = × 2 1 5 3 d) = Μ Κ 1 . 1 1

µ

e)

(

)

₌ Κ Μ 1 1 . 1 . 1

µ

m

2 – Efetue as operações trabalhando com potência de dez: a) 5m A + 6µA + 70 mA

b) 7KV + 8V +o,5KV c) 7nF +250 pF – 8 nF d) 3MΩ+ 230KΩ-1,5KΩ

3 – Recebemos do sol energia equivalente a 200 bilhões de MW. Desse valor, 100 000 MW são absorvidos em usinas hidroelétricas e 400 000 MW em usinas termoelétricas, correspondendo a um total de eletricidade de 500 000 MW. Percebe-se que a humanidade aproveita na forma de energia elétrica uma fração da energia recebida como radiação solar. Qual o valor correspondente a essa fração (em potência de dez)?

4 – Escreva em Notação Científica: a) 37,98 b) 1,203 c) 139000 d) 0,003490097 e) 1000000000 f) 0,00000345

(30)

5 – Calcule os valores das potências, obedecendo às propriedades: a) 2 = 3 4 _e) 3 = 2 8 _i)

(

)

(

3 3

)

6 3 5 6 3 10 10 10 10 . 50 10 10 . 10 + − b) = . 10 10 . 10 5 4 3 f) = − 5 4 10 . 2 , 4 10 . 2 j)

(

)

(

2 2

)

4 4 2 5 3 10 10 10 10 . 10 10 10 + − c)

(

)

= 2 3 2 10 . 10 _g) 9 4 = : a a d)

(

)

= − − − −₁ ₂ ₃ 4 10 . 10 . 10 _h)

( )

10a2 4 =

6 – Escreva em Notação Decimal:

a) 5.10−3= b) 8. 102= c) 789.10−4= d) 85.100=

7– A velocidade da luz é de aproximadamente 300 000Km/s. Expresse esse valor em: a) m/s;

b) Km/h.

8 – Três resistores R1,R2eR3_{, formam uma associação total de 56}ΩΩΩΩ_{. Se}R3_{é o dobro de}R2_e 2

R _{é o dobro de}R₁_{, quais os valores dos resistores?}

9 – Efetue: a) 5 4 3 2_× = b) 3 2 7 2 ÷ = c) 8 1 2 3 5 4₊ ₊ = d) 3 2 8 3 5 2 _×       ₋ =

(31)

10 – Calcule o valor de x a) 3 1 5 8 1 ₌ ₊ x b) 3 1 2 7 1 ₌ ₋ x c) 3 4 8 9 1 ₌ _× x d)       − + = 5 3 10 7 3 5 1 1 x e) 49 3 7 9 1 ₌ _÷ x

11 – Calcule o valor do Req_{entre A e B:}

Repita este exercício, colocando um “curto” no lugar do resistor de 10Ω que está na diagonal da malha do meio. 10Ω 10Ω ₁₀_Ω 10Ω 10Ω 10Ω 10Ω 10Ω 22Ω A B

(32)

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Um Sistema Linear é formado por um conjunto de funções lineares cuja solução corresponde a valores que satisfazem a todas as equações do sistema.

Um sistema linear pode ser:

a) Compatível e Determinado – quando possui uma única solução; b) Compatível e Indeterminado – quando possui diversas soluções;

c) Incompatível ou impossível - quando não existe solução que satisfaça as duas equações.

Em eletricidade, os sistemas serão sempre Compatíveis e Determinados, pois analisaremos circuitos onde só pode existir uma solução para valores de tensão e corrente (Mais tarde, veremos as Leis de Kirchhoff onde se verifica na prática o uso de Sistemas Lineares).

Métodos para solução analítica de sistemas:

Exemplos: 1) Um litro de álcool custa 60 centavos e um litro de gasolina custa 80 centavos. Se um litro da mistura de álcool e gasolina custa 75 centavos, quanto de álcool contém um litro dessa mistura?

Para resolver esse problema, vamos supor que x e y sejam, respectivamente, as frações de álcool e de gasolina que compõem essa mistura. Assim:

   = + = + 75 80 60 1 y x y x I - Método da Substituição Indica-se:    = + = + 75 80 60 1 y x y x Da primeira: y = 1-x

Substitui-se na segunda equação:

60x + 80(1 – x) = 75 ⇒ 60x + 80 – 80x = 75 ⇒ -20x = 75 – 80 ⇒ -20x = -5 ⇒ 20 5 = x _⇒ 4 1 = x _⇒ x = 0,25.

(33)

2)    = + = − 7 1 y x y x Da primeira: x−y=1⇒ x=1+ y Substitui-se na segunda equação:

3 2 6 6 2 1 7 2 7 2 1 7 1 7 = ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = + + ⇒ = + y y y y y y y y x Substitui-se y em x: y x=1+ _ey=3_logo: 4 3 1+ ⇒ = = x x Verificação:   → = + ⇒ = + → = − ⇒ = − ! 7 3 4 7 ! 1 3 4 1 verdadeiro y x verdadeiro y x Exercícios:

1 - Calcule o valor de x e y pelo Método da Substituição

   − = → = + = − y x y x y x 3 7 7 3 0 2

Substituindo-se “x” na primeira equação:

(

)

2 7 14 7 14 0 7 14 0 6 14 0 3 7 2 − y −y= ⇒ − y−y= ⇒ − y= ⇒ = y⇒ y= ⇒ y= Se y=2 e x=7−3y, então:x=7−3.2⇒x=7−6⇒x=1

2 – Calcule o valor de x e y do sistema abaixo:

   = − = + 3 2 4 3 y x y x

(34)

II - Método da Adição:

A indicação é a mesma do método anterior. Agora iremos somar uma equação à outra. Precisamos deixar em uma das incógnitas (x ou y), o mesmo índice, porém com sinais contrários para que a soma de um deles seja zero.

Observe: 1 –    = + = − 7 1 y x y x

Vamos somar as duas equações. Perceba que o índice de “y” nas equações é o mesmo e têm os sinais contrários, portanto a soma de ambos é zero. Assim, somando-se teremos:

+    = + = − 7 1 y x y x 4 2 8 8 2 8 0 2x+ = ⇒ x= ⇒ x= ⇒x=

Feita a soma, voltamos em qualquer uma das equações e substituímos o valor de x por 4 Assim: 3 1 4 1 4 1⇒ − = ⇒ − = ⇒ = = − y y y y x

Assim, podemos fazer a verificação como visto anteriormente.

x - y = 1 ou seja: 4 – 3 = 1 (verdadeiro!) x + y = 7 ou seja: 4 + 3 = 7 (verdadeiro!) 2 –    = + = − 7 3 0 2 y x y x

Neste caso, não temos índices iguais. Para conseguirmos, basta multiplicar a equação inteira pelo índice desejado. Escolhemos y já que os sinais nas duas equações são contrários, facilitando a operação. Assim:

( )

   = + → × = + = − → × = − 7 3 1 1 7 3 0 3 6 3 0 2 y x y x y x y x +    = + = − 7 3 1 0 3 6 y x y x

Então, somando-se fica: 1 7 7 7 0 7x+ = ⇒x= ⇒ x=

Se x=1, em qualquer uma das equações basta efetuarmos a substituição. Assim, na primeira teremos:

(35)

2 0 1 . 2 0 2x− y= ⇒ − y= ⇒ y=

Portanto, o valor encontrado, independente do método utilizado (substituição ou adição), deve ser o mesmo, tal como vimos agora.

No curso técnico, entretanto, utilizaremos sistemas de três equações e três incógnitas sendo necessário que façamos uso dos métodos da substituição e adição simultaneamente para resolvermos o sistema. Veja o exemplo:      − = + − = + = − − 20 4 15 50 15 10 0 z y y x z y x

→

( )

     ΙΙΙ − = + − ΙΙ = + Ι + = ⇒ = − − 20 4 15 50 15 10 0 z y y x z y x z y x

Da primeira, obtemos que: x= y+z e denominamos de equação I essa observação.

Substitui-se ( I ) na ( II ):

(

y z

)

y y z y y z

( )

V

y

x+15 =50⇒10 + +15 =50⇒10 +10 +15 =50⇒25 +10 =50Ι 10

Soma-se (III) com (IV):

   = + − = + − ) ( 50 10 25 ) ( 20 4 15 IV z y III z y

Observamos que de imediato nada se pode fazer, porém, com alguns artifícios matemáticos, conseguimos descobrir o valor de y, por exemplo. Para tanto, devemos efetuar multiplicações para que possamos somar as duas equações. Assim:

(

)

( )

   = + → × = + = − → − × − = + − 200 40 100 4 ) ( 50 10 25 200 40 150 10 ) ( 20 4 15 z y IV z y z y III z y

Somando-se III com IV, vem:

6 , 1 250 400 400 250y= ⇒ y= ⇒ y= Se y = 1, 6, podemos substituir em III ou IV.

Deste modo, em III, temos:

1 4 4 4 4 24 20 4 20 4 24 20 4 6 , 1 . 15 20 4 15 = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ + − = ⇒ − = + − ⇒ − = + − ⇒ − = + − z z z z z z z y Em I:

(36)

Exercícios de Fixação 1 – Calcule o valor de I1,I2eI3      = + − = + = − − 20 10 2 10 2 5 0 3 2 2 1 3 2 1 I I I I I I I

2 – Calcule o valor das correntes:

     = + − = + = − − 50 9 10 100 10 15 0 3 2 2 1 3 2 1 I I I I I I I

3 – Calcule o valor das correntes do circuito representado pelas equações abaixo:

     − = + = − = + − − 42 202 47 25 47 376 0 3 2 2 1 3 2 1 I I I I I I I

(37)

MATRIZES

São conjuntos numéricos, onde os elementos são dispostos em linhas e colunas. Os elementos de uma matriz podem ser dispostos entre colchetes, parênteses ou barras duplas:

          2 5 3 ;           −6 8 7 5 3 4 2 0 1 ; 8 7 15 4 7 − A = 3 2 4 8 1 5 3 0 7 x         −

Linhas = filas horizontais Colunas = filas verticais Tipo: 3x3 (linhas x colunas)

Tipos de Matriz: a) A = 3 31 5 4 x          −

= Matriz Coluna – possui somente uma coluna

b) A =

(

7 0 8 5

)

1x4 _{= Matriz Linha – pois possui somente uma linha}

c) A = 8 5 0 3 3 2 4 9 1 7 2 0 x           −

= Matriz Quadrada – pois o número de linhas é igual ao número de colunas. Representação: m m mn mxn n n a a a a a a a a a             L M M M M L L 2 1 2 22 21 1 12 11

a11 =_{Elemento localizado na primeira linha, primeiro coluna.}

=

22

a _{Elemento localizado na segunda linha, segundo coluna;} mn

a

(38)

Portanto, podemos ter uma matriz com “m” linhas e “n” colunas.

Chamamos de Diagonal Principal, aquela formada por elementos que possuem “índices iguais”(a11,a22,a33etc_{).A Diagonal Secundária é a oposta à primeira.}

Exercício: Represente a matriz onde:

. 0 ; 8 ; 2 ; 6 ; 4 ; 1 ; 5 ; 3 ; 7 33 32 31 23 22 21 13 12 11 = = − = = = = = − = = a a a a a a a a a

Identifique na matriz acima, quais elementos compõem a diagonal principal e quais pertencem a diagonal secundária.

DETERMINANTES (Regra de Sarrus)

Determinante é um número real, associado a uma matriz quadrada.

a) Matriz de primeira ordem ou do tipo 1x1 Exemplos:

A = −8

→

D = -8 B = 15

→

D = 15

b) Matriz de segunda ordem ou do tipo 2x2 Exemplos: A = 5 3 2 8

→

D = 8×3−5×2 ⇒ D = 24 – 10 ⇒ D = 14 B = 4 3 2 6 − − →_{D =}

(

6×−3

) (

− 4×−2

)

⇒_{D = -18 + 8}⇒_{D = -10}

Observe que o determinante é obtido multiplicando-se os elementos da diagonal principal, menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

(39)

c) Matriz de terceira ordem ou do tipo 3x3 Exemplos: A = 3 1 3 2 1 4 4 1 3 2 3 2 5 1 4 O O O O O O O O O − − − D = 4×3×4+

(

−1×−2×3

)

+5×2×1−

(

3×3×5

) (

− 1×−2×4

) (

− 4×2×−1

)

⇒ ⇒_{D = 35}

Neste caso, copiamos ao lado da matriz, as duas primeiras colunas;

Multiplicamos os elementos da diagonal principal somando com o produto dos elementos das outras duas diagonais paralelas à principal;

Em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal secundária, subtraindo do produto dos elementos das outras duas diagonais.

Exercícios: 1 – Calcule o determinante: 3 2 2 5 4 1 1 3 2 − 4 15 0 0 15 10 1 1 1 − − − 6 1 3 0 1 2 3 1 1 − −

(40)

REGRA DE CRAMER D D x= x ; D D y= y ; D D z= z . Assim como em eletricidade:

D D I I1 1 = ; D D I I2 2 = e D D I I3 3 =

Exemplo: 1 - Determine x, y e z do sistema:

     = − − − = − − − − = − + 4 4 3 3 2 5 2 z y x z y x z y x

Em primeiro lugar, vamos montar a matriz pertinente ao sistema:

          − − − − − − 1 1 4 3 2 1 1 2 1 e

também, aquela matriz composta pelos termos independentes:

          − − 4 3 5 .

Para o cálculo de D ,x DyeDz_{, devemos substituir a coluna dos termos independentes em x,} y e z respectivamente. Calculamos o Determinante: 4 1 2 1 2 1 1 1 4 3 2 1 1 2 1 − − − − − − − − − D = (1.-2.-1)+(2.-3.4)+(-1.-1.-1)-(4.-2.-1)-(-1.-3.1)-(-1.-1.2) ⇒ D =-36 Cálculo de Dx_: 4 1 2 3 2 5 1 1 4 3 2 3 1 2 5 − − − − − − − − − − − Dx_{= -36} Obs: termo independente em “x”.

Então: 1 36 36 = ⇒ − − = = x D D x x

(41)

Cálculo de Dy: 4 4 3 1 5 1 1 4 4 3 3 1 1 5 1 − − − − − − − − − Dy₌₇₂ Então: 2 36 72 _⇒ ₌₋ − = = y D D y y Cálculo de Dz_: 4 1 2 1 2 1 4 1 4 3 2 1 5 2 1 − − − − − − − − Dz_{= -72} Então: 2 36 72 ₌ ⇒ − − = = z D D z z

Obs: No cálculo de y e de z, a coluna dos termos independentes substituiu a coluna de y e z respectivamente.

Exercícios Propostos

1 – Resolva, utilizando a Regra de Cramer

     − = − − = − + = + − 3 2 3 2 2 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 I I I I I I I I I      = + + − = − = + − 0 13 2 12 2 3 2 1 3 2 3 2 1 I I I I I I I I

(42)

LEIS DE KIRCHHOFF

As Leis de Kirchhoff envolvem conceitos básicos para a resolução e análise de circuitos elétricos tanto em corrente contínua como em alternada.

Vejamos antes de estudar as Leis de Kirchhoff algumas definições necessárias. Observe o circuito abaixo:

Ramo: Trecho de um circuito composto por bipolos ligados em série. Ex. : AB; BC; AF; ED etc.

Nó ou Ponto Elétrico: é a intersecção de três ou mais ramos. Ex: B e E

Malha: circuito fechado, cujos lados são constituídos por ramos. Ex: ABEFA; BCDEB; ABCDEFA

Primeira Lei de Kirchhoff - “Lei dos Nós”

“A soma algébrica das correntes em um nó é zero, considerando-se as correntes que entram no nó como positivas e como negativas as que saem do nó”.

Ou

“A soma algébrica das correntes que chegam a um nó é igual à soma algébrica das correntes que dele saem”. 3 1 6 5 4 2 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 I ( I ) I I I 0 I I I I I I I I I I I I I + + − + + + = ⇒− + − + + + ⇒ + + + = + − A B _C D E F A I1 _I2 I3 I4 I5 I6

(43)

Segunda Lei de Kirchhoff – “Lei das Malhas” “A soma algébrica das tensões em uma malha é zero”.

Ou

“A soma algébrica das tensões orientadas no sentido horário é igual à soma algébrica das tensões orientadas no sentido anti-horário”.

Malha

α

→

R1.I1−E3 +R5.I1+E1 =0 ⇒R1.I1+R5.I1 =E3−E1

Malha

β

→ R2.I2 +E2 +R3.I2 +R4.I2 +E3 =0⇒R2.I2 +R3.I2 +R4.I2 =−E2 −E3

Exemplo:

1 – Calcule o valor das correntes I1,I2,I3_{, utilizando as Leis de Kirchhoff (efetue os cálculos}

pelos métodos da substituição e matricial) Nó → 1 2 3 3 2 1 3 2 1 ( ) ( ) 0 0 I I I I I I I I I + = ⇒ ⇒ = − − ⇒ = − + − + Malha

α

→ 10I1 +15I2 −50=0⇒10I1+15I2 =50 Malha

β

→ 3I3 +20+1I3 −15I2 =0⇒−15I2 +4I3 =−20 E3 R1 R2 R3 R4 R5 E1 E2 I1 I2 I3 R1I1 R2.I2 R3.I2 R4.I2 R5.I1

α

β

20V 3.I3 1.I3 10.I1 50V 15.I2 I1 I3 I2

α

_β

(44)

Método da substituição:      − = + − = + + = ) ( 20 4 15 ) ( 50 15 10 ) ( 3 2 2 1 3 2 1 III I I II I I I I I I Substituir I na II: ) ( 50 10 25 50 15 10 10 50 15 ) ( 10 I₂ +I₃ + I₂ = ⇒ I₂ + I₃ + I₂ = ⇒ I₂ + I₃ = IV Somar III com IV:

) 4 ( 50 10 25 ) 10 ( 20 4 15 3 2 3 2 × = + − × − = + − I I I I → → 100 40 200 200 40 150 3 2 3 2 = + = − I I I I + A I I I 1,6 250 400 400 250 2 = ⇒ 2 = ⇒ 2 =

Substituir I2= 1,6A na equação III ou IV. Na III vem:

A I I I I I I 1 4 4 24 20 4 20 4 6 , 1 . 15 20 4 15 2 + 3 =− ⇒− + 3 =− ⇒ 3 =− + ⇒ 3 = ⇒ 3 = − Substituir I2 e I3 na equação I: A I I I I I₁ = ₂ + ₃ ⇒ ₁ =1,6+1⇒ ₁ =2,6

Método Matricial - Regra de Cramer:

     − = + − = + = − − 20 4 15 50 15 10 0 3 2 2 1 3 2 1 I I I I I I I           − − − 4 15 0 0 15 10 1 1 1 →_{Matriz Principal}           −20 50 0 →_{Termos independentes}

(45)

Cálculo do Determinante: 15 0 15 10 1 1 4 15 0 0 15 10 1 1 1 − − − − − D = (1.15.4)+(-1.0.0)+(-1.10.-15)-(0.15.-1)-(-15.0.1)-(4.10.-1)⇒ D= 60+150+40 ⇒ ⇒_{D = 250} Cálculo de I1 15 20 15 50 1 0 4 15 20 0 15 50 1 1 0 − − − − − − − DI1 =(0.15.4)+(-1.0.-20)+(-1.50.-15)-(-20.15.-1)-(-15.0.0)-(4.50.-1)⇒ ⇒_DI 1 = 750-300+200⇒ DI1 = 650 D DI I 1 1 = A I I 2,6 250 650 1 1 = ⇒ = ⇒ Cálculo de I2 20 0 50 10 0 1 4 20 0 0 50 10 1 0 1 − − − D I2 = (1.50.4)+(0.0.0)+(-1.10.-20)-(0.50.-1)-(-20.0.1)-(4.10.0) ⇒ D I2 = 200+200 ⇒ ⇒_{D I}₂_{= 400} D DI I 2 2 = ⇒ A I I 1,6 250 400 2 2 = ⇒ = Cálculo de I3 15 0 15 10 1 1 20 15 0 50 15 10 0 1 1 − − − − − D I3 = (1.15.-20)+(-1.50.0)+(0.10.-15)-(0.15.0)-(-15.50.1)-(-20.10.-1) ⇒ ⇒_{D I}₃_{= -300+750-200}⇒_{D I}₃_{= 250} D DI I3 = 3 _⇒ I I 1A 250 250 3 3 = ⇒ =

(46)

Exercícios Propostos

1 – Calcule as correntes dos circuitos abaixo, utilizando os dois métodos de resolução: substituição e matricial. a) b) 2Ω 1Ω 5Ω 2Ω 6V 1Ω 22V I3 I2 6Ω 4V I1 11Ω 14Ω 15V 1Ω 12Ω 20V 11Ω 10Ω 10V I1 I2 I3

(47)

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – REVISÃO

A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos)

Triângulo Retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Origem desses nomes:

Cateto Cathetós:

(perpendicular)

Hipotenusa Hypoteinusa:

Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

Relações métricas no Triângulo Retângulo

Nesse triângulo ABC, retângulo em A, temos os seguintes elementos:

• Os ângulos Â,Bˆ e Cˆ são ângulos internos cujas medidas representamos por A, B e C. Assim: o ) ) ) 180 = + +B C A ₍A)_=90º)

• O lado BC é a hipotenusa ( hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto);

• Os lados AC e AB são os catetos (opostos aos ângulos agudos).

As medidas desses segmentos serão representadas por letras minúsculas, do nosso alfabeto da seguinte maneira:

BC = a; AC = b; AB = c.

• Existem relações entre essas medidas e ainda a altura do triângulo e suas projeções que se chamam relações métricas nos triângulos retângulos, porém, a que mais nos interessa é aquela que expressa o Teorema de Pitágoras: “em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.)

+ = C B A _b c

(48)

Razões trigonométricas no Triângulo Retângulo

Dado o triângulo ABC, que é retângulo em A, podemos fazer algumas definições (conforme visto anteriormente):

• O lado a chama-se Hipotenusa do triângulo retângulo e corresponde ao lado oposto ao

ângulo reto;

• Os lados b e c chamam-se Catetos.

Podemos estabelecer entre a hipotenusa e os catetos, as seguintes relações trigonométricas:

1 - Seno de um ângulo agudo é o quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa: a b B)= sen a c C) = sen

2 - Cosseno de um ângulo agudo é o quociente entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa:

C B A b a c

(49)

a c B)= cos a b C) = cos

3 - Tangente de um ângulo agudo é o quociente entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo:

c b tgB= b c tgC =

Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1

(50)

(51)

Exemplo:

Uma ponte plana de 100 m de comprimento deve ser construída unindo dois pontos com um desnível de 50 metros. Qual será a inclinação da ponte?

Circunferência Trigonométrica Arcos

Chamamos de arco de circunferência AB e se indica AB cada uma das partes em que a circunferência fica dividida por dois de seus pontos.

Quando A ≡ B, temos um arco nulo e outro de uma volta.

Ângulo Central

(52)

Ângulo Central é todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos raios são raios dessa circunferência.

Observação: A medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente: m(AB) = m(AOˆB).

Unidades de Medidas de Arco.

Quadrante é cada uma das quatro partes iguais em que o ciclo trigonométrico fica dividido pelo sistema de eixos cartesianos.

Grau: Chamamos de grau o arco unitário igual a 360 1

da circunferência. Note que a medida de um arco corresponde a uma circunferência completa é igual a 360º.

Radiano: Chamamos de radiano (rd) a medida de um arco de comprimentos igual à medida do raio da circunferência que o contém (1 rad ≅ 57,3º).

Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco (não utilizaremos em nosso estudo).

Sabemos que o comprimento de uma circunferência de raio r é igual a 2π.r. Logo, uma circunferência contém 2π vezes o seu raio. Assim, a medida em radianos de um arco correspondente a uma circunferência completa é igual a 2π rd.

O número pi Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:

= 3,1415926535897932384626433832795...

360º corresponde a 2ππππ radianos ou 180º corresponde a ππππ radianos.

Assim, podemos converter grau para radiano e vice-versa, estabelecendo uma regra de três.

0º - 90º (1º quadrante); 90º - 180º (2º quadrante); 180º - 270º (3º quadrante); 270º - 360º (4º quadrante).

(53)

Exercícios:

1 – Calcule, em graus a medida dos arcos:

a) 4 . 3

π

rad º 135 4 º 180 . 3 4 . 3 ₌ ₌ =

π

x b) 6 . 5

π

rad c)9

π

rad d) 4 . 7

π

rad e) 5

π

rad f) 3 2

π

rad

2 – Calcule em radianos, as medidas dos arcos: a) 30º ;

b) 240º ;

c) 72º;

(54)

Números trigonométricos

I - Seno (sen) de um arco é a ordenada (eixo y) desse arco no ciclo trigonométrico.

Sinal do Seno:

1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante

+ + - -

Cossecante (cossec) de um arco é o inverso do seno desse arco:

x x sen 1 sec cos = →_{na calculadora:} 1 sen sec cos x= −

(55)

II - Cosseno (cos) de um arco é a abscissa (eixo x) da extremidade desse arco no ciclo trigonométrico

Sinal do Cosseno:

+ - - +

O inverso do cosseno de um arco chama-se Secante (sec) desse arco:

x x

cos 1 sec =

→

Na calculadora: secx=cos−1

(56)

III - Tangente (tg) de um arco é o quociente do seno pelo cosseno desse arco. x x tgx cos sen = Sinal da Tangente

+ - + -

O inverso da tangente de um arco chama-se Cotangente (cotg) desse arco:

x x gx sen cos cot = →_{na calculadora:} 1 cotgx=tg− Exercícios:

(57)

1 – Calcule o seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos: a) 30º b) 57º c) 180º d) 230º e) 320º

2 – Calcule o seno, cosseno e a tangente:

a) rad 3

π

b) rad 4 . 2

π

c)

π

rad d) rad 6 5π e) rad 2 . 3

π

3 – Agora, calcule o inverso de cada um desses valores trigonométricos. (Utilize sua calculadora científica).

(58)

VETORES

Existem dois tipos de grandezas físicas: as grandezas escalares e as grandezas vetoriais. Quando se fala de comprimento de um corpo, de sua massa ou ainda de seu volume, acompanhado de sua respectiva unidade, estamos falando de uma grandeza escalar. Portanto, as grandezas escalares nos informam o valor numérico acompanhado da respectiva unidade.

Exemplo: V = 5 cm3; C = 10km; A= 2000m 2 P = 54kg etc...

Grandezas vetoriais são aquelas que além do valor numérico e sua respectiva unidade, também nos fornecem outras informações como direção, sentido e ponto de aplicação. Por exemplo: só é possível saber o que acontece a um corpo submetido a uma força quando se conhece o valor dessa força, a direção em que atua e o sentido de sua ação. Por isso não podemos dizer que dois carros possuem a mesma velocidade somente verificando a leitura de seus velocímetros. Isto porque seus movimentos podem ter direções e sentidos diferentes.

Quando você está se deslocando de uma posição para outra, basta você dizer que percorreu uma distância igual a 5 m? Você precisa especificar, além da distância (módulo), a direção e o sentido em que ocorre este deslocamento.

Os vetores d1 e d3 têm a mesma direção, mesmo módulo, e sentidos opostos.

Os vetores d2 e d4 têm a mesma direção, módulos diferentes e sentidos opostos.

Os vetores d1 e d2 têm o mesmo módulo, direções e sentidos diferentes.

Os vetores d3 e d4 têm módulos, direções e sentidos diferentes.

As grandezas vetoriais são representadas por segmentos de reta orientados, chamados Vetores.

O comprimento da reta utilizada para representar o valor da grandeza desse vetor chama-se MÓDULO. É necessário para que se tenha uma noção exata da grandeza que o desenho obedeça a uma escala.

A seta numa das extremidades dessa reta, determina o SENTIDO do vetor e o ângulo formado com a referência determina a DIREÇÃO. É importante que se tenha a noção exata entre direção e sentido lembrando que cada direção (horizontal, vertical e inclinada) admite dois sentidos.

(59)

Exemplos:

Operações com Vetores: - Soma de vetores -

I – Soma de dois ou mais vetores partindo de pontos diferentes:

Neste caso, a soma é feita através do “método dos polígonos”, que consiste em alinhar os vetores em seqüência, obedecendo as suas inclinações e os seus tamanhos sendo que o vetor soma ou resultante, será obtido ligando-se as duas extremidades do vetor inicial com o vetor final.

Exemplo: a)

b)

II – Soma de dois ou mais vetores que partem do mesmo ponto formando um ângulo entre eles:

Quando dois ou mais vetores partem do mesmo ponto, para se obter o vetor soma ou vetor resultante, devemos aplicar a “regra do paralelogramo”. Para aplicá-la devemos traçar uma reta imaginária partindo de um dos vetores e paralela a um outro vetor; devemos fazer a mesma coisa com o outro e onde estas retas se cruzarem obtemos o ponto que será ligado ao ponto de origem dos vetores, obtendo-se assim o vetor resultante.

Exemplo: A B C ar br cr b r ar cr Rr x y z w v

Se os vetores fecharem o polígono, significa que a soma deles é zero. Assim:

S =0 r av

α

Rr av

α

Rr av

α

br R2 = a2 +b2 +2.a.b.cos

α

Rr av

α

(60)

III – Soma de dois vetores que partem do mesmo ponto e têm o mesmo sentido:

Quando os vetores partem do mesmo ponto e no mesmo sentido, sua soma será feita sobrepondo-se ambos, ou seja, o vetor resultante ou soma será obtido somando-se o módulo dos dois vetores.A direção e o sentido serão o mesmo dos vetores que estão sendo somados.

Assim:

= + 2

1 V

Vr r

Em eletricidade, dizemos que esses vetores estão “em fase”. O ângulo entre eles é 0º.

III – Soma de dois vetores que partem do mesmo ponto, porém em sentidos opostos:

Quando os vetores partem do mesmo ponto, porém, em sentidos opostos, seus módulos se subtraem. O ângulo entre eles é 180º. Assim:

= + 3

4 V

V

Em eletricidade dizemos que esses vetores estão “totalmente fora de fase”.

IV – Soma de dois vetores perpendiculares entre si

Geometricamente, aplica-se o Método do Paralelogramo para se determinar o vetor resultante.

Determina-se o módulo do vetor resultante aplicando-se o teorema de Pitágoras para o triângulo ABC: dr2 = d12 + d22 1 V 2 V 1 V V2 2 1 V V Rr = + 3 V V 4 3 4 3 4 ( ) V V R V V R − = ⇒ − + = r r