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Reconfiguração e Padronização de um Modelo Exponencial de
uma Equação Aplicada em Operações Financeiras.
Rodrigo Romais (FCSGN) 1 r.romais@gmail.com Pablo Oliveira de Sousa (FCSGN) 2 pablo.contábeis@gmail.com
Resumo: Esta proposta é descrever um modelo de equação que padronize aplicações de
matemática financeira. Uma operação financeira é dependente de um capital e de uma taxa de juros, que consequentemente ocorre dentro de um período de tempo, seja ela uma aplicação sob o regime de capitalização simples ou composta. Sendo assim, a condição fundamental para prever valores de resgate, a taxa de juros e período de tempo deve estar atrelada a mesma unidade de tempo. Quanto uma aplicação regida por capitalização simples, a taxa de juros e o período de tempo são diretamente proporcionais, o que não ocorre na capitalização composta. Então, o objetivo deste trabalho é reconfigurar esta problemática, o processo para obtenção da reformulação parte de uma técnica algébrica matemática de modo a tornar taxa de juros composta diretamente proporcional ao período de tempo da operação financeira. A proposta se desenvolve com uma aplicação financeira e a subsequente comparação entre o modelo existente e o modelo reconfigurado, evidenciando o erro relativo encontrado nas taxas equivalentes de juros compostos.
Palavras-chave: Matemática Financeira, Capitalização, Taxa Proporcional de Juros.
Abstract: This proposal describes an equation model that standardizes financial mathematics
applications. A financial transaction is dependent on a capital and an interest rate, which consequently takes place within a period of time, be it an application under the simple capitalization regime or compound. Thus, the fundamental condition for predicting redemption values, interest rate and time period should be linked to the same unit time. As an application governed by simple capitalization, the interest rate and the period of time they are directly proportional, which does not occur in compound capitalization. So the aim of this work is to reconfigure this problem, make compound interest rate directly proportional to the time of the financial transaction. The proposal develops a financial application and the subsequent comparison between the existing model and reset model, showing the relative error found in the equivalent rates of compound interest.
Keyword: Financial Mathematics, Bonds, Interest Rate.
1Rodrigo Romais, Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT, Sinop, 2011), Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual Paulista “Julho de Mesquita Filho” (UNESP, Ilha Solteira, 2014). Atualmente docente do ensino superior na Faculdade de Ciências Sociais de Guarantã do Norte-MT, Rua Jequitiba, nº 40, Jardim Aeroporto. Cep.: 78520-000. E-mail: r.romais@gmail.com. Maio de 2016.
2Pablo Oliveira de Souza, Gestão Contábil e Tributária, pelo Instituto Cuiabano de Educação – ICE (Cuiabá-MT, 2011). Bacharel em Ciências Contábeis, pelo Instituto Cuiabano de Educação – ICE (Cuiabá-MT, 2013). Atualmente, Empresário Contador do escritório Yescont. Assessoria e Consultoria Contábil. docente do ensino superior na Faculdade de Ciências Sociais de Guarantã do Norte-MT, Rua Jequitiba, nº 40, Jardim Aeroporto. Cep.: 78520-000. E-mail: pablo.contábeis@gmail.com. Maio de 2016.
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1. INTRODUÇÃO
Mediante uma aplicação financeira, a solução deste tipo de problema necessita de condições fundamentais para a obtenção do seu valor de resgate. Em outras palavras, um capital investido ou emprestado mediante capitalização simples ou capitalização composta necessita que, a taxa de juros da operação esteja na atrelada à unidade de tempo que o período da operação financeira para a obtenção do seu valor montante.
Entretanto, a vital diferença entre capitalização simples e capitalização composta esta na linearidade em que se configuram as capitalizações após atualização de montante período a período. A capitalização simples é dita linear, porque os juros que são calculados período a período reincidem sobre o capital inicial da aplicação financeira, isto é, o valor dos juros no primeiro, segundo, terceiro até o enésimo período é o mesmo, por isso, Juros Simples. Já a capitalização composta é dita exponencial ou não linear, porque os juros são calculados sempre sobre o valor acumulado anterior, isto é, ao final do primeiro período gera o valor de montante da operação, consequentemente, este montante vira o capital no início do próximo período, além dos juros já calculados, eles também passam a render juros também, daí surge a expressão popular juros sobre juros, formalmente Juros Compostos. Estes e demais conceitos podem ser vistos em Assaf (2009).
A Figura 1 apresenta os comportamentos, linear e exponencial, respectivamente advinda da capitalização simples e composta.
Figura 1 – Comportamento das Capitalizações
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Com uma abordagem sobre comportamento exponencial de uma função é representada genericamente conforme equação (1).
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 (1)
Em que 𝑎 é um número real diferente de zero; 𝑥 é a incógnita de 𝑓(𝑥) em forma de expoente, contanto, função exponencial.
Uma função exponencial 𝑎𝑥 é compreendida graficamente conforme mostra a Figura 2.
Figura 2 – Comportamento de funções exponenciais
Fonte: Próprio Autor
A Figura 2 apresenta dois tipos de comportamento da função exponencial, o primeiro é quando 𝑎 é um valor positivo e maior que um, a função é crescente. Quando 𝑎 é um valor entre zero e um, isto é 𝑎 > 1, então a função 𝑎𝑥 é decrescente.
Considere duas funções exponenciais 𝑓 𝑥 = 2𝑥 e 𝑔 𝑥 = 10𝑥. A Figura 3 exibe o comportamento de 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥).
Figura 3 – Comportamento das funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥)
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Como 𝑓 𝑥 < 𝑔(𝑥), isto é 2𝑥 > 10𝑥, então 𝑔(𝑥) tem um crescimento mais acentuado em relação à 𝑓(𝑥), cresce com maior velocidade. Pode-se constatar ainda na Figura 3 que as funções se encontram no ponto (0,1), isto é as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são iguais quando 𝑥 = 0, ambas tem imagem 𝑦 = 1. Em outras palavras, as funções se tocam no eixo das abscissas 𝑦. Conforme varia o valor de 𝑎, a função cresce ou decresce com maior velocidade, com isso, através do teste da inclinação da reta tangente, busca-se uma função que represente todas as funções exponenciais. Conforme Stewart (2009) a função 𝑒𝑥 é a padronização de todas as funções exponenciais.
Os regimes de capitalização simples e composta rendem valores acumulados diferentes quando o período de capitalização é superior a um. Na Figura 1 é possível destacar que a capitalização composta apresenta crescimento mais acentuado quanto à capitalização simples, assim, os valores de resgate serão diferentes conforme cresce o período de tempo 𝑡, com exceção quando o período de tempo 𝑡 = 1, pois o cálculo do montante será sobre o capital inicial C para ambas as capitalizações. Sobre o valor do capital aplicado ou emprestado em qualquer circunstância financeira, no instante inicial, isto é, quando t = 0 pode ser chamado de A0, indicando que é o valor acumulado A(t) no instante inicial da operação.
Na capitalização simples, a taxa de juros e o período de tempo da operação são diretamente proporcionais, cuja conversão é efetuada com facilidade. Quanto à capitalização composta isto não ocorre, isto é, estas grandezas não são diretamente proporcionais e não pode ser convertido por regra de três simples, o que submete a uma conversão aproximada, chamada de taxa equivalente, utilizando de operações de potenciação e radiciação em cada problema que envolva uma situação financeira, tornando um processo de resolução de maior tempo. Para contornar esta problemática, este trabalho trata de uma padronização exponencial para aplicações envolvendo operações financeiras, reconfigurando o modelo atual para dar melhor precisão na obtenção de seu valor de resgate e evitar conversões de taxas equivalentes constantes em toda e qualquer situação financeira, tornando também as grandezas de taxa e período diretamente proporcionais.
2. PROBLEMA MODELO
O modelo que se deseja aplicar a técnica de reconfiguração, parte da equação que é utilizada em operações financeiras e para sua obtenção é necessário um processo algébrico de
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equações.
Considerando 𝐴(𝑡) a função que determina o valor acumulado da aplicação financeira em função de 𝑡 períodos. Adotando 𝑖 para expressar a taxa de juros compostos e tomando 𝐴0 para
representar o capital inicial, ou ainda, o valor acumulado da aplicação no instante inicial, com 𝑡 = 0.
Para o período de tempo 𝑡 = 1, temos:
𝐴 𝑡 = 1 = 𝐴0+ 𝐴0∙ 𝑖 Isolando a variável 𝐴0 temos:
𝐴 𝑡 = 1 = 𝐴0 ∙ (1 + 𝑖) Analogamente para o período de tempo 𝑡 = 2, temos:
𝐴 𝑡 = 2 = 𝐴0∙ 1 + 𝑖 ∙ (1 + 𝑖)
Assim,
𝐴 𝑡 = 2 = 𝐴0∙ 1 + 𝑖 2
Analogamente para o período de tempo 𝑡 = 3, temos:
𝐴 𝑡 = 3 = 𝐴0∙ 1 + 𝑖 ∙ (1 + 𝑖) ∙ (1 + 𝑖)
Assim,
𝐴 𝑡 = 3 = 𝐴0∙ 1 + 𝑖 3
Então, para o período de tempo 𝑡 obtem-se a equação (2).
𝐴 𝑡 = 𝐴0∙ 1 + 𝑖 𝑡 (2)
A equação (2) descreve o cálculo do valor acumulado 𝐴(𝑡) em função do valor inicial 𝐴0, da
taxa de juros compostos 𝑖 e do período de tempo 𝑡. Nesta equação é evidenciado matematicamente a característica de não linearidade para a capitalização composta, pois 𝑡 é o exponte que caracteriza o comportamento exponencial da função conforme visto nas Figuras 1, 2 e 3.
Apresentado o modelo de equação para o cálculo do valor acumulado montante conforme a equação (2), o problema modelo necessita de uma aplicação financeira para a obtenção de resultados, para consequentemente, realizar a comparação entre os resultados. Adotando um capital inicial 𝐴0 = $1.000,00 („$‟ indica unidades financeiras); taxa de juros compostos
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𝑖 = 6% ao ano, capitalizados num período de tempo 𝑡 = 3.
2.1. Resolução do Problema Modelo
Usualmente, os juros são capitalizados com maior frequência, ao invés de cada ano ele é capitalizado em cada semestre, cada mês, cada dia, assim sucessivamente. Tomamos que o período capitalizado seja dividido em 𝑛 partes dentro de um ano. Assim, partindo da equação (2), equação (3) representa o cálculo do valor acumulado 𝐴(𝑡) com 𝑛 subdivisões de período 𝑡. 𝐴(𝑡) = 𝐴0 1 + 𝑖 𝑛 𝑛∙𝑡 (3) O valor de n representará o número de divisões realizadas em um ano. A partir da equação (3) deseja-se obter o valor acumulado A(t = 3) com período de três anos capitalizados: anualmente, semestralmente, mensalmente e diariamente.
Para a capitalização anual, o número de divisões em um ano é n = 1, assim: A(3) = 1000 1 +0,06
1
1∙3
A 3 = 1000 1 + 0,06 3
A 3 = $1.191,02
Para a capitalização semestral, o número de divisões em um ano é n = 2, assim: A(3) = 1000 1 +0,06
2
2∙3
A 3 = 1000 1 + 0,03 6
A 3 = $1.194,05
Para a capitalização mensal, o número de divisões em um ano é n = 12, assim: A(3) = 1000 1 +0,06
12
12∙3
A 3 = 1000 1 + 0,005 36
A(3) = $1.196,68
7 A 3 = 1000 1 +0,06 365 365∙3 A 3 = 1000 1 + 0,00016 365∙3 A(3) = $1.197,20
Quanto ao problema modelo é possível fazer algumas observações: Constatou-se que quanto maior o número de divisões n no ano, maior é o valor acumulado montante dentro do mesmo período de três anos; A conversão proporcional da taxa de juros com período gera um erro de aproximação, pois conforme varia o número de divisões, varia também o valor acumulado; O valor acumulado em função do tempo deduzido e representado pela equação (2) é uma função exponencial.
Com essas observações é possível pensar num modelo matemático que padroniza uma equação exponencial da forma geral 𝑒𝑥 e, pensar num modelo de reconfiguração que evita dispersão quanto valores acumulados, independente, dos períodos de capitalização e do número de subdivisões dentro de um ano.
2.2. Reconfiguração do Problema Modelo
Constatou-se que os juros pagos aumentam conforme o número de subdivisões de período de capitalização n aumenta. Tomando 𝑛 um número muito grande, isto é, fazer 𝑛 tender ao infinito n → ∞, então se capitaliza os juros continuamente. Deseja-se padronizar a equação (3), em que A(t) renda juros continuamente, independente da divisão n.
Da equação (3) surge a equação (4), fazendo com que o número de divisões em um ano seja extremamente grande, como segue.
A t = lim n→∞A0 1 + i n nt (4) Com a equação (4) é possível realizar uma mudança de posição utilizando propriedades de potencia, então a equação (4) pode ser reescrita conforme equação (5).
A t = lim n→∞A0 1 + i n n i it (5)
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Conforme denotada a equação (5) é possível realizar uma troca de variáveis m = n/i, gerando uma nova equação, a equação (6).
A t = lim m→∞A0 1 + 1 m m it (6)
Conforme Stevart (2009) define matematicamente que a exponencial 𝑒, ainda chamado de o número de ouro 𝑒 = 2,7172 … é expresso pela equação (7).
lim m→∞ 1 + 1 m m = e (7)
Com as equações (6) e (7) é possível então padronizar um modelo matemático que descreve o valor acumulado 𝐴(𝑡) em função do capital 𝐴0, da taxa de juros composta 𝑖 e do período de
tempo 𝑡 através da equação (8).
A t = A0eit (8)
Fazendo o teste da derivada, derivando A(t) em função da variável tempo t, obtem-se: dA
dt = i ∙ A0ei∙t = i ∙ A(t)
É dizer que, com a capitalização continua de juros, a taxa de aumento de um investimento é proporcional a seu tamanho, isto é, com o modelo matemático reconfigurado é possível confirmar que a taxa de juros e o período de tempo agora estão diretamente proporcionais. Usando os dados do problema modelo, em que 𝐴0 = 1000, 𝑖 = 6% ao ano e 𝑡 = 3 anos. Então para a capitalização anual, o número de divisões em um ano é 𝑛 = 1, assim:
A t = A0ei∙t
A 3 = 1000e3∙0,06
A 3 = $1.197,22
Para a capitalização semestral, o número de divisões em um ano é n = 2, assim: A t = A0ei∙t
A 3 = 1000e(3∙2)∙0,062
A 3 = $1.197,22
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A t = A0ei∙t
A 3 = 1000e(3∙12)∙0,0612
A 3 = $1.197,22
Para a capitalização mensal, o número de divisões em um ano é n = 365, assim: A t = A0ei∙t
A 3 = 1000e(3∙365)∙0,06365
A 3 = $1.197,22
Independente do número de divisões 𝑛 que se toma em um ano, e independente do tipo de capitalização, o valor acumulado 𝐴(𝑡) adotando o mesmo período 𝑡 será o mesmo encontrado. Ainda, a taxa de juros composta 𝑖 e o período de 𝑡 é diretamente proporcional.
Outro trabalho que apresenta desenvolvimento algébrico e resolução analítica de problema modelo é encontrado em Romais (2015).
2.3. Análise do Erro Relativo
Conforme descreve Romais (2015) para a verificação do erro gerado nas aproximações, utiliza-se a medida de erro percentual relativo, assim como expressa a equação (9).
Erro = 100 ∙ SR − SA
SR (9)
Em que SR é o resultado encontrado pela Solução do modelo Reconfigurado e 𝑆𝐴 é o resultado
pelo modelo atual.
A Tabela 1 representa os valores de ambos os modelos e o respectivo cálculo do erro percentual relativo.
Tabela 1 – Aproximações do Modelo Atual com Modelo Reconfigurado
𝒏 𝑺𝑹 𝑺𝑨 Erro (%)
𝟏 $1.197,22 $1.191,02 0,518
10
𝟏𝟐 $1.197,22 $1.196,68 0,045
𝟑𝟔𝟓 $1.197,22 $1.197,20 0,002
Fonte: Próprio Autor
Como visualizado na Tabela 1 o erro relativo decresce à medida que ocorre a subdivisão de períodos dentro de um ano para o modelo anterior, em contra partida, o modelo reconfigurado mantem-se inalterado, caracterizando uma capitalização constante.
3. CONCLUSÃO
Como relatado anteriormente, a taxa de juros composto não é diretamente proporcional ao período de tempo, fazendo com que os valores acumulados fossem diferentes a medida que subdivide 𝑛 vezes o próprio período.
A principal dificuldade pela não proporcionalidade de taxa e período é que, precise converter a uma taxa equivalente de juros, aumentando o tempo de solução de obtenção do valor acumulado montante. Além da dificuldade da manipulação matemática encontrada nos processos de potenciação e radiciação.
O processo de formular o modelo que descreve a obtenção do valor do montante em função do capital, da taxa e do período, onde foi possível constatar ser uma função exponencial e, o processo para a reconfiguração se deu principalmente na fundamentação porque a exponencial 𝑒 é a generalização de todas as funções exponenciais.
Com a reconfiguração do modelo, além de manter a mesma solução, independente da divisão do período de capitalização, padroniza uma expressão exponencial corrigindo erros obtidos pelas aproximações das conversões.
Este trabalho também servirá como base para trabalhos futuros, uma vez que, operações financeiras como desconto, inflação e fluxo de caixa abrangem capitalizações simples e composta, na medida em que, se cria a necessidade de padronização e reconfiguração de modelos matemáticos torna-se de utilidade econômica e social.
REFERENCIAS
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
AZEVEDO, Gustavo Henrique W. de. Seguros, matemática atuarial e financeira: uma abordagem introdutória. São Paulo: Saraiva, 2010.
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FRANCISCO, Walter de. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
ROMAIS, R.; “Aplicação dos Métodos de Euler e de Euler Melhorado na Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária”. NATIVA, Revista de Ciências Sociais do Norte de Mato Grosso. V. 4, N. 1, 2015. Ver artigo em: http://faflor.com.br/revistas/nativa/index.php/revistanativa/article/view/195/384
SILVA, Andrá Luiz Carvalhal da. Matemática financeira aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010. STEWART, James. Calculo - Volume 1. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
