Exercicios Resolvidos - Trigonometria

(1)

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 11: : CinCinco retas disco retas distintintas em um tas em um plaplano corno cortamtam-se em-se em nn pontos. pontos. DetermiDetermine o maior valorne o maior valor que

que nn pode assumir.pode assumir.

Solu¸ Solu¸cc˜˜aaoo::

Considere

Considere aa11,,aa22,,aa33,,aa44 ee aa55 as cinco retas.as cinco retas.

Co

Como mo ququereeremomos s o o mamaioior r vavalolor r ququee nn podepode assumi

assumir, r, ent˜ent˜ao ao a a segunsegunda da reta reta deve deve corcortar tar aa primeira.

primeira.

Observe a ﬁgura ao lado: Observe a ﬁgura ao lado:

A terceira reta deve cortar as duas primeiras e assim por diante. A terceira reta deve cortar as duas primeiras e assim por diante.

Da

Da´´ı, ı, temos temos que que o o nńúmero umero de de pontpontos os ser´será a ::

1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1010

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 22: : As As bissetrizes bissetrizes de de dois dois ˆˆangulos angulos adjacentesadjacentes AAOB OB ˆ ˆ ee B B OC OC ˆ ˆ s˜s˜ao, ao, resprespectivaectivamente,mente, OM OM ee ON

ON . A bissetriz do ˆ. A bissetriz do ˆanguloangulo M M ON ON ˆ ˆ formaforma5050oo

com

com OC OC . . Se Se a a medida medida do do ˆˆanguloangulo AAOB OB ˆ ˆ ´´ee 8080oo

,

, determdetermineine o

o valor valor da da medida medida do do anguloˆanguloˆ B B OC OC ˆ ˆ ..

Solu¸

Solu¸cc˜˜aaoo:: ConsiderConsidere e os os ˆˆangulos angulos adjacenadjacentestes AAOB OB ˆ ˆ ee B B OC OC ˆ ˆ e a s bissetrizese a s bissetrizes OM OM ee ON ON dede AAOB OB ˆ ˆ ee B B OC OC ˆ ˆ ,, respectivamente.

respectivamente. A A medida medida do do ˆˆanguloangulo AAOB OB ˆ ˆ ´´ee 8080oo

, ou seja,

, ou seja, m(Am(AOB)OB)=ˆ ˆ =8080oo

. . Denomine

Denomine m(B m(B OC)OC)=ˆ ˆ =22aa.. Achando a bissetriz de

Achando a bissetriz de M M ON ON ˆ ˆ , temos que esta faz, temos que esta faz 5050oo

com com OC OC .. Da´

Da´ı, ı, tetemomos s queque aa++ aa+ 40+ 40

o o 2 2 = = 5050 o o

⇒

22aa++aa+ 40+ 40oo = 100= 100oo

_⇒

33aa= 60= 60oo

_⇒

aa = 20= 20oo

(2)

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 33: Considere a reta: Considere a reta rr paralela a retaparalela a reta ss,, rr

_

ss, na ﬁgura abaixo., na ﬁgura abaixo.

Determine

Determine αα++β β ..

Considere a ﬁgura dada e

Considere a ﬁgura dada e rr

_

ss. Seja. Seja A, B, C,A, B, C, D, E, F, G

D, E, F, G ee H H na ﬁgura dada.na ﬁgura dada. Seja a reta

Seja a reta tt

_

rr passando porpassando por AA ee F F

_∈

tt.. Temos que:

Temos que: D

D BE BE =ˆ ˆ =αα == B B AF AF ˆ ˆ (ˆ(ˆanguangulos corrlos correspespondeondententes)s) G

G CH CH ˆ ˆ == β β == F F AC AC ˆ ˆ (ˆ(ˆanguangulos corrlos correspespondeondentesntes)) D

Da´a´ıı

α

(3)

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 44::

Seja a ﬁgura ao lado e considere: Seja a ﬁgura ao lado e considere: AB

AB == AC AC ,, m(E m(E BD)BD)=ˆ ˆ =6060oo

, , m(B m(B CE)CE)=ˆ ˆ =5050oo e e m(D m(D CE)CE)=ˆ ˆ =3030oo . . Determine a medida do ˆ

Determine a medida do ˆangulo Bangulo BDE.DE.ˆˆ

Considere a ﬁgura dada e que

Considere a ﬁgura dada e que AB AB == AC AC ,, m(E m(E BD)BD)ˆ ˆ == 6060oo

, , m(B m(B CE)CE)ˆ ˆ == 5050oo e e m(D m(D CE)CE)ˆ ˆ == 3030oo . . Como

Como AB AB == AC AC , , eentnt˜˜aaoo m(Am(ABC)BC)ˆ ˆ == m(Am(ACB)CB)=ˆ ˆ =8080oo

Temos que

Temos que ∆∆CCBDBD e e ´´ iiss´´oscosceleseles, , j´j´a a queque m(B m(B DC)DC)ˆ ˆ == 8080oo

.

. EnEnt˜t˜aoao BC BC == BD BD .. Temos que

Temos que ∆∆BCBCE E ´é e iiss´óscosceleseles, , j´já a queque m(B m(B EC)EC)ˆ ˆ == 5050oo

.

. EnEnt˜t˜aoao BC BC == BE BE .. Logo

Logo BD BD == BE BE ee m(D m(D BE)BE)ˆ ˆ == 6060oo

, ent˜

, entãoao ∆∆BEBEDD ´é e eqequiuil´látaterero, o, j´já a quque e sese X X = m(B

= m(B DE) = m(B DE) = m(B ˆ ˆ ED)ED).ˆ ˆ . Temos que

Temos que X + X + X + X + 60 60 o o

= 180 = 180 o o

⇒

X = 60 X = 60 o o

Logo

Logo m(B m(B DE)DE)=ˆ ˆ =6060oo

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 55:: Na ﬁgura ao lado,

Na figura ao lado, P P ´é e a a ininterterse¸se¸c˜cão ao das bidas bissetrissetrizes zes exterexternas nas emem B

B ee C C . . Calcule Calcule a ma medida edida do ˆdo ˆanguloangulo B B PC PC ˆ ˆ , sabendo que a medida, sabendo que a medida do

do ˆˆanangugulolo AAˆ ˆ ´´ee 7070oo

. .

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 66: : Num Num polpol´´ıgono ıgono regular regular convexconvexoo ABCDE..., ABCDE..., o o ˆˆanangugulolo B B AD AD ˆ ˆ medemede 1818◦◦_{. Calcule o n´}_{. Calcule o n´}_umero_umero

de

de lados lados do do polpol´´ıgono.ıgono.

Solu¸

Solu¸cc˜˜aaoo:: Seja Seja o po polol´´ıgono ıgono regular regular convexconvexoo ABCDE...ABCDE... e consideree considere m(B m(B AD)AD)ˆ ˆ = 18= 18◦◦_._.

Temos que

Temos que ABAB == BC BC == CCDD ==aa e quee que ∆∆ ABC ABC == ∆∆ BCD BCD pois :pois :



(4)





180180oo

−

22aa+ 180+ 180oo

−

22bb+ 70+ 70oo = 180= 180oo (2)(2) De (2) vem: De (2) vem: 250250oo = 2 = 2aa+ 2+ 2bb

_⇒

aa++bb= 125= 125oo (3) (3) Substituindo (3) em (1) vem, Substituindo (3) em (1) vem, 125 125oo + +xx= 180= 180oo

⇒

xx = 55= 55oo Portanto Portanto m(B m(B PC)PC)= 55ˆ ˆ = 55◦◦_._. e enntt˜˜aaoo,, AC AC == BDBD

Temos ainda que

Temos ainda que ∆∆ ABD ABD == ∆∆ ACD ACD , pois, pois







AB AB ==CCDD AC AC == BDBD (LLL)(LLL) AD AD comumcomum e

enntt˜˜aaoo m(Am(ADC) = m(B DC) = m(B ˆ ˆ AD)AD)ˆ ˆ == 1818◦◦

⇒

m(B m(B CD)CD)ˆ ˆ = 162= 162◦◦ _(ˆ_(ˆ_angu_angu_lo_lo_int_intern_ern_o_o_do_do_pol´_pol´_ıgo_ıgono)_no)._.

D Da´a´ıı 162 = 162 = 180(180(nn

−

2)2) n n

⇒

162162nn = 180= 180nn

−

360360

⇒

1818nn = 360= 360

⇒

nn = 20= 20 Logo o n´

Logo o n´umeumero ro de de ladolados ´s ´ee 2020..

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 77: Os lados de um triˆ: Os lados de um triˆangulo medem, respectivamenteangulo medem, respectivamente 88 cm,cm, 99 cm cm ee 1010 cmcm. . CaCalclculule oe o pe

perr´´ımeımetro tro do do tritriˆânguangulo lo que que se se obtóbtém em tratra¸¸cando-scando-se e pelopelos s v´vértices ertices desse desse triˆtriângulo angulo paralelaparalelas s aos aos ladoslados opostos.

opostos.

Sej

Seja a o o tritriˆânguangulolo ABC ABC de ladosde lados 88 cm,cm, 99cm cm ee 1010 cm. Tra¸cm. Tra¸cancando pdo pelos elos v´vérterticeices des desse sse tritriˆânguangulo plo paralaralelaelass aos lados opostos, construimos o novo triˆ

aos lados opostos, construimos o novo triˆangulo que vamos denotar porangulo que vamos denotar por DEF DEF .. Como

Como BC BC

_

AD AD

_⇒

D D AB = AAB = Aˆ ˆ BC BC ˆ ˆ ee AACB = C CB = C ˆ ˆ AE AE ˆ ˆ (alternos internos)(alternos internos) AC

(5)

D

Da´a´ıı B B DADAˆ ˆ == B B CACAˆ ˆ jj´´a a qquuee A A ˆ ˆ ++ B B ˆ ˆ ++ C C ˆ ˆ == 180180◦◦_._.

Logo

Logo ∆∆ ADB ADB == ∆∆ ABC ABC , pois, pois







AB

AB comumcomum D

D AB = AAB = Aˆ ˆ BC BC ˆ ˆ (ALA)(ALA) D

D BA = B BA = B ˆ ˆ AC AC ˆ ˆ De forma similar, temos que:

De forma similar, temos que: ∆

∆ BFC BFC = ∆= ∆ ABC ABC ee ∆∆ AEC AEC = ∆= ∆ ABC ABC e

enntt˜˜aaoo

DB

DB == BF BF = 9= 9,,ADAD ==AE AE = 10= 10,,FFC C ==CCE E = 8= 8 Da

Da´´ı ı o o per´per´ımeımetro tro dessdesse e novo novo tritriˆˆanangugulo lo ´´e:e: 2

2

_·

10 + 210 + 2

_·

9 + 29 + 2

_·

8 = 548 = 54 Note

Note que que o o per´per´ımetro ımetro deu deu o o dobro dobro do do per´per´ımetrımetro o do do triˆtriˆangulo angulo iniciainicial.l.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 88: : Num Num quadril´quadril´atero atero convexo, convexo, a a soma soma de de dois dois ˆˆangulos angulos internos internos consecutivos consecutivos medemede 190190◦◦_._.

Determine

Determine o maior o maior dos ˆdos ˆangulos formado pelas angulos formado pelas bissetrizes bissetrizes internas dos internas dos dois outros dois outros ˆˆangulos.angulos.

Solu¸

Solu¸cc˜ãaoo:: Considere um quadrilĆonsidere um quadrilátero convexo tal que a soma de dois âtero convexo tal que a soma de dois ângulos internos consecutivosangulos internos consecutivos mede

mede 190190◦◦_{. Temos que}_{. Temos que}

ˆ ˆ A A ++ B B = 190ˆ ˆ = 190◦◦ (1) (1) Sabemos que Sabemos que ˆ ˆ A A ++ B B ˆ ˆ ++ C C ˆ ˆ ++ D D ˆ ˆ = 180= 180◦◦₍₄₍₄

−

2) = 3602) = 360◦◦ ₍₂₎₍₂₎ Substituindo (1) em (2) vem : Substituindo (1) em (2) vem : ˆ ˆ C C ++ D D = 360ˆ ˆ = 360◦◦

−

190190◦◦ = 170 = 170◦◦

(6)

Denotando os ˆ

Denotando os ˆangulos entre as bissetrizes deangulos entre as bissetrizes de X X ee Y Y , temos:, temos: Y Y == C C ˆ ˆ 2 2 ++ ˆ ˆ D D 2 2 == ˆ ˆ C C ++ DDˆˆ 2 2 == 170 170◦◦ 2 2 = = 8585 ◦ ◦ X+Y X+Y = 180= 180◦◦

⇒

X X = 180= 180◦◦

−

8585◦◦ = 95 = 95◦◦ Lo

Logo go o o mamaior ior dos dos angangulˆˆ ulos os ´´ee 9595◦◦_._.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 99: : Dois Dois pol´pol´ıgonos ıgonos regulareregularess P P 11 ee P P 22 tem respectivamentetem respectivamente nn eenn++11 lados. Sabendo-se quelados. Sabendo-se que

a soma das medidas de um ˆ

a soma das medidas de um ˆangulo interno deangulo interno de P P 11 com com um um ˆˆangulo angulo exterexterno no dede P P 22 valevale 168168◦◦, , determdetermineine

o

o n´n´umero umero de dide diagonais agonais desses desses polpol´´ıgonos.ıgonos.

Solu¸

Solu¸cc˜˜aaoo:: Sejam Sejam dois dois polpol´´ıgonos ıgonos regulareregularess P P 11 ee P P 22 comcom nn ee nn+ 1+ 1 lados. Temos que:lados. Temos que:

Ai AiP P 11 ++AeAeP P 22 = 168= 168 ◦ ◦

⇒

180(180(nn_n_n

−

2)2) ++ 360360 n n+ 1+ 1 = 168= 168 ◦ ◦ (180 (180nn

₋

360)(360)(nn+ 1) + 360+ 1) + 360nn= 168= 168nn22 _{+ 168}_{+ 168} n n 180 180nn22

₋

360360nn+ 180+ 180nn

₋

360 + 360360 + 360nn

₋

168168nn22

₋

168168nn = 0= 0 12 12nn22 _{+ 12}_{+ 12} n n

₋

360 = 0360 = 0 n n22++nn

₋

30 = 030 = 0 n n ==

−

11

±

√

1 + 1201 + 120 2 2

⇒







n n = 5= 5 n n ==

₋

66 (n(n˜˜ao ao seservrve)e) P

P 11 temtem nn lados elados e nn = = 55

⇒

dd11 ==

5(5 5(5

₋

3)3)

2

2 = = 55

P

P 22 temtem nn+ 1+ 1 lados elados e nn+ 1 = 6+ 1 = 6

⇒

dd22 ==

6(6 6(6

₋

3)3)

2

2 = = 99 O

O nńúmero umero de de diagonaidiagonais ´s é: e: parapara P P 11, 5 diagonais e para, 5 diagonais e para P P 22, 9 diagonais., 9 diagonais.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 1010: Determine a medida do ˆ: Determine a medida do ˆanguloangulo B B MC MC ˆ ˆ formado pelas retas suportes dos ladosformado pelas retas suportes dos lados AB AB ee CD

CD de um dec´de um decágono regular da figura abaixo.agono regular da figura abaixo.

Solu¸

Solu¸cc˜ãaoo:: Seja Seja a figura figura dada. a dada. Temos que os Temos que os ˆângulosangulos B B MC MC ˆ ˆ eeM M CB CB ˆ ˆ s˜são congao congrueruentntes pes por seor sererem ˆm ânangulgulosos exter

externos dnos de um e um mesmo mesmo polpol´´ıgono ıgono regular regular e cade cada ˆa ˆangulo angulo exterexterno vno valeale 360360

◦ ◦ 10 10 = 36= 36 ◦ ◦_._.

(7)

Portanto o

Portanto o ∆∆ BMC BMC ´´e e iiss´´ososceceles les e e da´da´ıı ˆ ˆ B B ++ M M ˆ ˆ ++ C C ˆ ˆ = 180= 180◦◦

⇒

3636◦◦ + 36 + 36◦◦ + +M M ˆ ˆ = 180= 180◦◦

⇒

M M ˆ ˆ = 180= 180◦◦

−

7272◦◦ = 108 = 108◦◦ D Da´a´ıı m(B m(B MC)MC)ˆ ˆ = 108= 108◦◦ Ex

Exerercc´´ıcıcio io 1111: As semi-retas: As semi-retas PM PM ee PN PN s˜são ao tangenttangentes es ao ao cc´´ırculo ırculo da da figura figura e e o o comprimencomprimento to do do arcoarco

⌢

M

MGN GN ´´e e quatro quatro vezes vezes o o do do arcoarco MMF

⌢

FN N . . CalculCalcule e o ˆo ˆanguloangulo M M PN PN ˆ ˆ ..

Considere a ﬁgura dada e que o comprimento do arco

Considere a ﬁgura dada e que o comprimento do arco MM

⌢

GN GN ´´e e 4 4 vezes vezes o o do do arcoarco MM

⌢

FFN N .. M

M PN PN ˆ ˆ ´é e uum m angulo ângulo ˆ excêxcêntricentrico o exterexterno.no. D Daá´ıı M M PN PN =ˆ ˆ =

⌢

M MGN GN

₋

MM

⌢

FFN N 2 2 == 4 4 MMF

⌢

FN N

₋

MM

⌢

FFN N 2 2 == 3 3MM

⌢

FFN N 2 2 (1)(1) Mas Mas

⌢

M MGN GN ++MM

⌢

FFN N = 360= 360◦◦

⇒

44 MMF

⌢

FN N ++ MMF

⌢

FN N = 360= 360◦◦

⇒

55 MMF

⌢

FN N = 360= 360◦◦

⇒

MM

⌢

FFN N = = 7272◦◦ ₍₂₎₍₂₎ Substituindo (2) em (1) vem: Substituindo (2) em (1) vem:

⌢

M MFFN N == 33

·

7272 2 2 = 108= 108 ◦ ◦ Ex

Exerercc´´ıcıcio io 1212: Na : Na semicisemicircunferˆrcunferˆencia encia de cde centroentro O O e e didiˆˆamametetroro AB AB , temos que, temos que AD AD

_

OC OC ; sendo; sendo A, B,A, B, C

C ee D D quatro pontos distintos. Sequatro pontos distintos. Se m( m( BC BC

⌢

)) indica a medida do arcoindica a medida do arco BC BC

⌢

ee m( m( CC

⌢

DD)) indica a medidaindica a medida do arco

(8)

Seja

Seja a a semicircunferˆsemicircunferˆencia encia de de centrocentro O O e e didiˆˆamametetroro AB AB comcom AD AD

_

OC OC ; sendo; sendo A, B, C A, B, C ee D D quatroquatro pontos distintos.

pontos distintos. Temos que

Temos que m(B m(B OC)OC)ˆ ˆ == m(B m(B AD)AD)ˆ ˆ (1) (1) (ˆ(ângulos angulos correspcorrespondenteondentes; s; note note queque B B OC OC ˆ ˆ ´é e anguânˆ gulo lo cecentntraral l ee B

B AD AD ˆ ˆ ´´e e anguanˆˆ gulo lo ininscscriritoto).). Temos que : Temos que : m(B m(B OC)OC)ˆ ˆ ==m( m( BC BC

⌢

)) (2)(2) e e m(B m(B AD)AD)ˆ ˆ == mm((

⌢

BD BD)) 2 2 (3)(3) Substituindo (1) em (3) vem: Substituindo (1) em (3) vem: m(B m(B OC)OC)ˆ ˆ == mm((

⌢

BD BD)) 2 2 De (2): De (2): m m((BC BC

⌢

) ) == mm((

⌢

BD BD)) 2 2

⇒

mm((

⌢

C CDD) ) ==mm((BDBD

⌢

))

₋

mm((BC BC

⌢

) ) = 2= 2mm((BC BC

⌢

))

₋

mm((BC BC

⌢

) =) = mm((BC BC

⌢

)) Logo Logo m m((CCD

⌢

D) ) == mm((BC BC

⌢

)) Ex

Exerercc´´ıcıcio io 1313: As di: As diagonais agonais de um trde um trapápézio rezio retêtângulo mangulo medem, edem, resprespectivaectivamente mente 9 cm e 19 cm e 12 cm. 2 cm. CalculeCalcule o

o per´per´ımeımetro tro do do quadquadrilrilátero ate´ ro convconvexo exo cujcujos os v´vérterticeices s s˜são ao os os popontontos s m´médiedios os dos dos ladolados s desdesse se tratrap´péziezio.o.

Cons

Consideridere e um um tratrap´p´eziezio o retretˆˆanguangulolo ABCD ABCD cujas diagonais medem, respectivamente 9 cm e 12 cm.cujas diagonais medem, respectivamente 9 cm e 12 cm.

Sejam

Sejam M M 11,,M M 22,,M M 33 ee M M 44 os os pontpontos os m´m´edios edios dede AB, BC, CD AB, BC, CD ee AD AD , , respectirespectivamentvamente.e.

Temos que : Temos que :

M

M 11M M 44 ´´e e babase se m´m´ededia ia dodo ∆∆ ABD ABD

⇒

M M 11M M 44 ==

9 9 2 2

(9)

M M 22M M 33 ´´e e babase se m´m´ededia ia dodo ∆∆ BCD BCD

⇒

M M 22M M 33 == 9 9 2 2 M

M 11M M 22 ´´e e babase se m´m´ededia ia dodo ∆∆ ABC ABC

⇒

M M 11M M 22 ==

12 12 2 2 M

M 33M M 44 ´´e e babase se m´m´ededia ia dodo ∆∆ ADC ADC

⇒

M M 33M M 44 ==

12 12 2 2

Da´

Da´ı ı o o pper´er´ımımetetro ro ppededidido o ´´e:e:

9 9 2 2 ++ 9 9 2 2 ++ 12 12 2 2 ++ 12 12 2 2 = 21= 21 Nota

Nota: : Dado Dado um um triˆtriânguloangulo ABC ABC , considere, considere M M poponto nto m´médio edio dede AB AB ee N N poponto nto m´médiedio o dede AC AC

_⇒

MN MN ´

´e e bbaasse e m´m´edediiaa,, MN MN == BC BC 2

2 ee MN MN



BC BC ..

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 1414: Considere na figura ,: Considere na figura , ABCD ABCD um quadrado eum quadrado e DAPQ DAPQ um um losango losango cujo cujo v´vérticeertice P P eesstt´áa no prolongamento da diagonal

no prolongamento da diagonal AC AC . . CalcCalcule ule os os ˆˆanguangulos los do do tritriˆˆanguangulolo DRQ DRQ ..

Considere a ﬁgura dada e seja

Considere a figura dada e seja ABCD ABCD um quadrado,um quadrado, DAPQ DAPQ um losango eum losango e P P estéstá a no no prolprolongaongamentmentoo da diagonal

(10)

Temos que

Temos que D D AC AC ˆ ˆ = 45= 45◦◦ _(bissetriz_(bissetriz_do_do_v´_v´_ertice_ertice_de_de_um_um_quadrado)_quadrado)

E Enntt˜˜aaoo P P AD AD = 180ˆ ˆ = 180◦◦

−

4545◦◦ _{= 135}_{= 135}◦◦ Mas

Mas ∆∆ ADP ADP ´é e iiss´ósceles, jósceles, já quea que AP AP ==AD AD (Propriedade do losango)(Propriedade do losango) E Enntt˜ãaoo P P AD AD ˆ ˆ ++ AAPD PD ˆ ˆ ++ AADP DP ˆ ˆ = 180= 180◦◦ _e_e _A_A_PD_PDˆ ˆ ₌₌ _A_A_DP_DPˆ ˆ

⇒

135135◦◦_{+ 2}_{+ 2A}_A_PD_{PD = 180}ˆ ˆ _{= 180}◦◦

⇒

AAPD PD = 22ˆ ˆ = 22◦◦₃₀₃₀′′ Logo como

Logo como a a diagonal ´diagonal ´e e bissetriz bissetriz no losango no losango vem:vem: Q Q DR DR ˆ ˆ = 22= 22◦◦ 30 30′′ . . D Da´a´ıı Q Q DC DC = 90ˆ ˆ = 90◦◦ + 45 + 45◦◦ = 135 = 135◦◦ Temos que

Temos que ∆∆ DQC DQC ´´e e iiss´´osceles, poisosceles, pois QD QD ==DC DC

_⇒

D D QC QC =ˆ ˆ = D D CQ CQ ˆ ˆ .. D Da´a´ıı 135 135◦◦ + +D D QC QC +ˆ ˆ +D D CQ CQ ˆ ˆ = 180= 180◦◦

⇒

135135◦◦ + 2 + 2D D QC QC ˆ ˆ = 180= 180◦◦

⇒

D D QC QC ˆ ˆ = 22= 22◦◦ 30 30′′ No No ∆∆ QDR QDR , temos:, temos: 22 22◦◦₃₀₃₀′′_{+ 22}_{+ 22}◦◦₃₀₃₀′′₊₊_Q_Q_RD_{RD = 180}ˆ ˆ _{= 180}◦◦

⇒

Q Q RD RD ˆ ˆ = 135= 135◦◦ Logo

Logo os os ˆˆangulos angulos pedipedidos dos s˜s˜ao ao :: 2222◦◦₃₀₃₀′′_,_,₂₂₂₂◦◦₃₀₃₀′′ _e_e ₁₃₅₁₃₅◦◦_._.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 1515: As bases: As bases MQ MQ eeNP NP de um de um trap´trap´ezio medem ezio medem 42 cm 42 cm e 112 cm, e 112 cm, respectivamente. respectivamente. CalculeCalcule o lado

o lado PQ PQ , , sabesabendo ndo que que o o ˆânguloangulo M M QP QP ˆ ˆ ´é e o o dobro dobro do do ˆânguloangulo P P NM NM ˆ ˆ

Cons

(11)

Seja

Seja QLQL

_

MN MN

_⇒

MQLN MQLN e ´e ´ um um paralelogparalelogamo, amo, poispois MQ MQ

_

NLNL (Defini¸(Defini¸c˜cão ao de de trtrapap´ézezioio)) QL

QL

_

MN MN (Por constru¸(Por constru¸cc˜˜aaoo)) Denotemos

Denotemos m(M m(M NP)NP)ˆ ˆ == x x

_⇒

m(M m(M QP)QP)ˆ ˆ = = 22 x x Temos que:

Temos que: 1)

1) MQ MQ ==NLNL = 42= 42 (Propriedade de paralelogramo)(Propriedade de paralelogramo) 2)

2) m(Q m(Q LP)LP)ˆ ˆ ==m(M m(M NL)NL)ˆ ˆ == x x (ˆ(ˆanguangulos corlos corresrespopondenndentestes)) 3)

3) m(M m(M NL)NL)ˆ ˆ ==m(M m(M QL)QL)ˆ ˆ == x x (ˆ(ˆangulos angulos opostopostos os do do paraleloparalelogramo gramo s˜s˜ao ao congruencongruentes)tes)

Temos que

Temos que m(Lm(LQP)QP)ˆ ˆ == 2x 2x -- x x == x x Portanto

Portanto ∆∆ QLP QLP ´é e isis´ósceles de baseosceles de base QLQL eenntt˜ãaoo PLPL== PQ PQ ee PLPL = 112= 112

₋

42 = 7042 = 70 Logo

Logo PQ PQ = = 7070 cm.cm.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 1616:: Na ﬁgura

Na figura ABCD ABCD ´é e reretˆtâanngugulloo,, M M ´é e o o ppononto to m´médedio io dede CCDD e e o o trtriîânangulguloo ABM ABM ´é e equequilílátaterero. o. SeSendndoo

AB

AB = 15= 15 cm, cm, calculcalculee AP AP ..

Seja na ﬁgura

(12)

Trace a diagonal

Trace a diagonal AC AC e sejae seja O O o encontro das diagonaiso encontro das diagonais AC AC ee BD BD . Temos que. Temos que no

no ∆∆ ACD ACD ,, AM AM ee DODO s˜são ao memedidianaanas s ee P P ´é e o o baricbaricentrentro o destdeste e triˆtriânguangulolo

_⇒

AP AP == 22 3

3

·

AM AM (1)(1) Mas

Mas AM AM ==ABAB (2) ((2) (∆∆ ABM ABM e ´e ´ eqequiuil´l´ataterero)o).. De (1) e (2) De (1) e (2) AP AP == 22 3 3

·

ABAB == 2 2 3 3

·

15 = 1015 = 10 Logo

Logo AP AP = 10= 10 cm.cm.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 1717: : Em um triÊm um triânguangulolo ABC ABC os os ˆânangugulolossB B ˆ ˆ eeC C ˆ ˆ medem respectivamentemedem respectivamente 7070◦◦ _e_e₆₀₆₀◦◦_{. Determine}_{. Determine}

a raz˜

a razão entre os dois maiores âo entre os dois maiores ânguloangulos s forformados pelas mados pelas intersinterse¸e¸c˜cões oes das das trˆtrês es alturaalturas.s.

Sej

Seja a um um tritriˆˆanguangulolo ABC ABC ,, B B ˆ ˆ = 70= 70◦◦ _e_e _C_Cˆ ˆ ₌₌₆₀₆₀◦◦_._.

Tracem

Tracemos aos as ts trˆrˆes es alturaalturassAH AH 11,,BH BH 22 eeCCH H 33, o encontro dessas alturas, denotemos por, o encontro dessas alturas, denotemos por O O (ortocentro).(ortocentro).

Vamos

Vamos achar achar os os ˆˆangulos angulos formados formados pelas pelas interse¸interse¸c˜c˜oes dessas alturas.oes dessas alturas. B B AAˆ ˆ H H 11 = 180= 180◦◦

−

9090◦◦

−

7070◦◦ = 20= 20◦◦

⇒

H H 33OAOAˆ ˆ = 180= 180◦◦

−

9090◦◦

−

2020◦◦ = 70= 70◦◦ C C AAˆ ˆ H H 11 = 180= 180◦◦

−

9090◦◦

−

6060◦◦ = 30= 30◦◦

⇒

AAO O ˆ ˆ H H 22 = 180= 180◦◦

−

9090◦◦

−

3030◦◦ = 60= 60◦◦ C C O O ˆ ˆ H H 22 = 180= 180◦◦

−

6060◦◦

−

7070◦◦ = = 5050◦◦ Portanto a

Portanto a raz˜razão ao entre entre os os dois dois maiores ˆmaiores ânguangulos los pepediddidos os ´é:e: 7070 60 60 == 7 7 6 6 ouou 60 60 70 70 == 6 6 7 7

(13)

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 1818: Se na figura,: Se na figura, T T ´é e o o incincententro ro do do trtriîângangululoo MNP MNP , d, determietermine ne a ma medida edida do ˆdo ânguloangulo αα..

Solu¸

Solu¸cc˜ãaoo:: Seja a figura:Seja a figura:

Denominemos Denominemos M M NT NT ˆ ˆ == xx ee N N PT PT ˆ ˆ == yy

_⇒

P P NT NT ˆ ˆ ==xx ee M M PT PT ˆ ˆ == yy Da´ Da´ı ı tetemomoss 50 50◦◦ ₌₌_x_x₊₊_y_y ₍₍₁₁₎₎ _e_e _α_α_{+ 2}_{+ 2}_x_x_{+ 2}_{+ 2}_y_y _{= 180}_{= 180}◦◦ ₍₂₎₍₂₎ Substituindo (1) em (2) vem: Substituindo (1) em (2) vem: α α+ 2(+ 2(xx++yy) = 180) = 180◦◦

⇒

αα+ 2+ 2

_·

5050◦◦ _{= 180}_{= 180}◦◦

⇒

αα= 80= 80◦◦ Ex

Exerercc´´ıcıcio io 1919: : Mostre Mostre que em que em um um triˆtriângulo qualquer angulo qualquer a a medida medida de cada de cada altura áltura é e menor que menor que a a semi- semi-soma das medidas dos lados adjacentes a ela.

soma das medidas dos lados adjacentes a ela.

Seja

(14)

h haa < < bb h haa < < cc

⇒

h haa ++hhbb < b< b++cc

⇒

ha ha << b b++cc 2 2 Ex

Exerercc´´ıcıcio io 2020: : Mostre Mostre que que em em um um triˆtriângulo angulo retˆretângulo, angulo, a a soma soma das das medidamedidas s das das trˆtrês es alturaalturas s ´é e maiormaior que

que a a medida medida do do semipsemiperer´´ımetro ımetro desse desse triˆtriˆangulo.angulo.

Consider

Considere e um um triˆtriˆangulo angulo retˆretˆangulo angulo com com lados lados medindomedindo bb,, cc ee aa ee aa sendo a hipotenusa.sendo a hipotenusa.

Consideremos as alturas relativas aos lados: Consideremos as alturas relativas aos lados:

a a comocomo hhaa b b comocomo hhcc c c comocomo hhbb Note

Note que que neste neste triˆtriˆangulo angulo ::

b b== hhcc ee cc== hhbb b b++c c > > aa

_⇒

hhcc++hhbb > > aa

⇒

22hhaa++hhbb ++hhcc > > aa

⇒

22hhaa++hhbb ++cc++hhcc ++b b > > aa++bb++cc

⇒

22hhaa+ 2+ 2hhbb + 2+ 2hhcc > > aa++bb++cc

⇒

hhaa++hhbb++hhcc >> a a++bb++cc 2 2 Ex

Exerercc´´ıcıcio io 2121: O propriet´: O proprietário ario de de uma uma area área ´ quer quer dividi-la em dividi-la em trˆtrês es lotes, lotes, conforme a conforme a figura figura abaixo.abaixo. Determine os valores de

Determine os valores de a,a,bb ee cc, em , em metros, metros, sabendo-se que sabendo-se que as laterais as laterais dos terrenos dos terrenos s˜s˜ao paralelas ao paralelas ee que

(15)

De acordo com o Teorema de Tales, tem-se: De acordo com o Teorema de Tales, tem-se: aa

20 20 == b b 24 24 == c c 36 36.. Assim: Assim: a a++bb++cc 20 + 24 + 36 20 + 24 + 36 == a a 20 20 == b b 24 24 == c c 36 36

⇒

120 120 80 80 == a a 20 20 == b b 24 24 == c c 36 36

⇒

33₂₂ == aa 20 20 == b b 24 24 == c c 36 36

⇒











a a== 2020

·

33 2 2 = 30= 30 b b== 2424

·

33 2 2 = = 3636 c c== 3636

·

33 2 2 = 54= 54 Log

Logo oo os vs valoralores es s˜s˜ao:ao: aa= = 3030 metros,metros, bb= 36= 36 metros emetros e cc= = 5454 metros.metros.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 2222: : O O peperr´´ımeımetro tro de de um um tritriˆânguangulolo ABC ABC ´é e 100 100 metros. metros. A A bissetriz bissetriz do do ˆângulo angulo internointerno AAˆ ˆ div

divide o ide o ladlado o oposoposto em to em doidois s segsegmenmentos que tos que medmedem 16 em 16 metmetros e ros e 24 metros24 metros. . DetDetermiermine a ne a medmedidaida dos lados desse triˆ

dos lados desse triˆangulo.angulo.

Sej

Seja a um um tritriˆanguloanguˆ lo ABC ABC , , cujcujo o peperr´´ımeımetro tro e e ´´ 100 100 metmetrosros..

a

a++bb++cc= 100= 100 (1)(1)

Seja

Seja AN AN a bissetriz interna. Temos que:a bissetriz interna. Temos que:

C

CN N = 16= 16 ((22) ) ee BN BN = 24= 24 (3)(3) Usando o Teorema da bissetriz interna vem:

(16)

Como

Como bb++cc= 60= 60

_⇒

cc= 60= 60

₋

24 = 3624 = 36.. Da

Da´´ı aı as s medimedidas das dos dos ladolados s do do tritriˆˆanguangulolo aa = 40= 40 cm,cm, bb= = 2424 cm, ecm, e cc= 36= 36 cm.cm.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 2323: Na figura abaixo,: Na figura abaixo, ABCD ABCD ´é e um um reretˆtângulo eangulo e M M e e ´´ ppononto to m´médedio io dede ABAB. . SeSe hh ´é e alaltuturara do

do trtriîângangululoo CDE CDE relativa ao ladorelativa ao lado CD CD , , ee xx ee yy s˜são ao as as medidamedidas s dos dos lados lados do do retˆretângulo, angulo, deterdetermine mine aa rela¸

rela¸c˜c˜ao entreao entre hh,, xx ee yy..

Seja a ﬁgura dada, ou seja,

Seja a figura dada, ou seja, ABCD ABCD ´é e um um reretˆtânangugulo lo ee M M ´é e ppononto to m´médedio io dede AB AB ..

h

h ´é e alalturtura a do do trtriîânangulguloo CDE CDE relativa ao ladorelativa ao lado CD CD ;;

x

x ee yy s˜são as medidas dos lados do retâo as medidas dos lados do retângulo.angulo. ∆

∆CDE CDE

_∼

∆∆AME AME poispois



AAEM EM ˆ ˆ ==D D EC EC ˆ ˆ M

M AE AE =ˆ ˆ =D D CE CE ˆ ˆ ((AAAA

∼

))

⇒

_AM_AMCCDD == hh x x

₋

hh

⇒

y y y y 2 2 = = hh x x

₋

hh

⇒

2 =2 = h h x x

₋

hh

⇒

22xx

−

22hh==hh

⇒

22xx = = 33hh Logo a rela¸ Logo a rela¸c˜c˜aao o ppeeddiidda a e:´e´: 33hh= 2= 2x.x. Ex

Exerercc´´ıcıcio io 2424: : Calcular Calcular o raio raio da cio da circunfercunferˆrência encia circunscircunscrita crita ao trao triîânguloangulo ABC ABC da figura, seda figura, se ABAB = 4= 4,,

AC

(17)

Seja a ﬁgura com:

Seja a ﬁgura com: ABAB = 4= 4,, AC AC = 6= 6 ee AH AH = 3= 3.. O

O o o centro centro da da circunfcircunferˆerˆencia.encia. Tracem

Tracemos os o o diˆdiˆametametroro AD AD .. Temos que

Temos que AACD CD = 90ˆ ˆ = 90◦◦_,_,_j´_j´_a_a_qu_que_e _ABD_ABD

⌢

_{= 180}_{= 180}◦◦ _e_e _A_A_CD_CD =ˆ ˆ ₌

⌢

ABD ABD 2 2 D

Da´a´ıı ∆∆ABH ABH

_∼

∆∆ADC ADC , , j´j´a a ququee AAHB HB =ˆ ˆ = AACD CD = 90ˆ ˆ = 90◦◦ _e_e _A_A_BH_BH =ˆ ˆ ₌ _A_A_DC_DC =ˆ ˆ ₌

⌢

AC AC 2 2 Assim Assim AH AH AC AC == AB AB AD AD

⇒

3 3 6 6 == 4 4 2 2RR

⇒

RR = 4= 4 Ex

Exerercc´´ıcıcio io 2525: : Na Na figura figura abaixo, abaixo, as as distˆdistâncias ancias dos dos pontospontos AA ee B B a retaà reta` rr valem 2 e 4. As proje¸valem 2 e 4. As proje¸c˜cõesoes ortogonais de

ortogonais de AA ee B B sobre sobre essa essa reta reta s˜são ao os os pontpontosos C C ee D D . Se a medida de. Se a medida de CD CD ´é e 9, 9, a a que que disdistˆtânanciciaa de

de C C devdever´er´a ea estar star o po pontontoo E E , do segmento, do segmento CD CD , para que, para que m(C m(C EA)EA)ˆ ˆ == m(D m(D EB)EB)?ˆ ˆ ?

Solu¸

Solu¸cc˜ãaoo:: Seja Seja a a figura figura com com os os dados dados do do exercexerc´´ıcio.ıcio. Seja

Seja xx a medida dea medida de C C aa E E .. Como

Como

C

CDD = 9= 9

_⇒

EDED = 9= 9

₋

xx

Denomine

Denomine m(C m(C EA)EA)ˆ ˆ ==m(D m(D EB)EB)ˆ ˆ ==αα

_⇒

∆∆AEC AEC

_∼

∆∆BDE BDE (C(Cririt´t´ererio io AAAA

_∼

))

⇒

_BD_BDAC AC == CCE E 9 9

₋

xx, ou seja,, ou seja, 2 2 4 4 == x x 9 9

₋

xx.. D Da´a´ıı 44 = = 1818

₋

22

_⇒

66 = 18= 18

_⇒

= = 33

(18)

Seja um triˆ

Seja um triânguangulo lo retretˆânguangulolo OAB OAB , retˆ, retângulo emangulo em O O , com, com OAOA == aa ee OBOB == bb. . S˜São dao dados ados os pos pontosontos P

P emem OAOA ee Q Q emem OB OB de tal maneira quede tal maneira que AP AP == PPQQ== QBQB == xx.. Considere o

Considere o ∆∆ OPQ OPQ reretˆtˆanangugulolo::

OP OP 22 ++OQOQ22 == PPQQ22

_⇒

((aa

₋

xx))22 + (+ (bb

₋

xx))22 == xx22.. a a22

₋

22axax++xx22++bb22

₋

22bxbx++xx22 == xx22 x x22

₋

2(2(aa++bb))xx++aa22 ++bb22 = = 00 Resolv

Resolvendo a endo a equaequa¸¸c˜c˜ao ao vvemem::

x x== 2(2(aa++bb))

±



(2((2(aa++bb)))) 2 2

−

4(4(aa22 ₊₊_b_b22₎₎ 2 2 == 2( 2(aa++bb))

_±

√

88abab 2 2

⇒

x x== 2(2(aa++bb))

±

22

√

₂₂_ab_ab 2 2 ==







a a++bb++

√

22abab a a++bb

₋

√

22abab Como

Como x x < < aaee x x < < bb, , enent˜tão ao nñão ao ppoode de seserr aa++bb++

√

22abab, , j´j´a a ququee aa++bb++

√

22ab > aab > aee aa++bb++

√

22ab > bab > b.. Portanto

Portanto xx== aa++bb

₋

√

22abab..

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 2727: : TrˆTrês es goiabas goiabas perfperfeitameeitamente nte esfésféricas ericas de de centrocentross C C 11,,C C 22 ee C C 33, e raios 2cm, 8cm e 2cm,, e raios 2cm, 8cm e 2cm,

respectivamente,

respectivamente, est˜estão sobre ao sobre uma mesa uma mesa tangenciando-se como tangenciando-se como sugere sugere a figura.a figura.

Um

Um bichbichinho que inho que est´est´a a no centro no centro da primeira goiaba quer da primeira goiaba quer se se dirigidirigir r para o para o centro da centro da terceiterceira ra pelopelo caminho

caminho mais mais curto. curto. Quantos Quantos centcent´´ımetrımetros os perpercorrer´correr´a?a?

Considere

Considere na figura na figura dada, as dada, as trˆtrês es goiabas de goiabas de centroscentros C C 11,,C C 22 ee C C 33, e raios 2cm, 8cm e 2cm, respecti-, e raios 2cm, 8cm e 2cm,

respecti-vamente. vamente.

(19)

Denote na ﬁgura

Denote na ﬁgura C C 11BB == yy ee TTAA ==xx..

No

No ∆∆C C 11BC BC 22, u, usando sando o Teorema o Teorema de Pde Pit´it´agoras agoras vem:vem:

y y22 + 6+ 622 = (8 + 2)= (8 + 2)22

_⇒

yy = 8= 8 (1)(1) Temos que Temos que ∆∆ C C 22TTAA

∼

∆∆ C C 22C C 11BB, , j´j´a a ququee T TAA

_

C C 11BB

⇒

10 10 8 8 == y y x x (2)(2) Substituindo (1) em (2), vem: Substituindo (1) em (2), vem: 10 10 8 8 == 8 8 x x

⇒

1010xx = 64= 64

⇒

xx = 6= 6,,44

Logo o caminho mais curto mede:

Logo o caminho mais curto mede: 2 +2 +xx++xx+ 2 = 4 + 2+ 2 = 4 + 2

_·

66,,4 = 164 = 16,,88 cm.cm.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 2828: No quadrado: No quadrado ABCD ABCD de lado 12 cm, temosde lado 12 cm, temos AE AE = = 1313 cm cm ee CCF F = = 33 cm. cm. O ˆO ˆanguangulolo A

AEF EF ˆ ˆ ´é e agudo, ragudo, reto eto ou ou obtuso? obtuso? Justifique.Justifique.

Seja o quadrado

Seja o quadrado ABCD ABCD de lado 12 cm, temosde lado 12 cm, temos AE AE = 13= 13 cm cm ee CCF F = 3= 3 cm.cm. No

No ∆∆ADE ADE , temos:, temos: 12

1222 ++DE DE 22 ==AE AE 22

_⇒

DE DE 22 = 13= 1333

₋

121222 = = 2525

_⇒

DE DE = 5= 5 D

Da´a´ıı

EC

EC ==DC DC

₋

DE DE = 12= 12

₋

5 = 5 = 77 No

No ∆∆ABF ABF , temos:, temos: 12 1222

+

+BF BF 22 == AF AF 22

_⇒

AF AF 22 = 144 + 9= 144 + 922

= 225

_⇒

AF AF = 15= 15 No

No ∆∆CCEF EF , temos:, temos:

EF

EF 22 = 7= 722 + 3+ 322 = 58= 58 No

No ∆∆AEF AEF , temos:, temos:

15

(20)

Seja o quadril´

Seja o quadril´ateroatero ABCD ABCD , tal que, tal que ABAB == CDCD = = 33 cm,cm, BC BC = = 22 cm,cm, m(Am(ADC)DC)ˆ ˆ = = 6060◦◦ _e_e _m(A_m(A_BC)_BC)ˆ ˆ

= = 9090◦◦_._.

No

No ∆∆ABC ABC , temos:, temos:

AC

AC 22 ==ABAB22 ++BC BC 22 = 3= 322 + 2+ 222 = 13= 13

_⇒

AC AC ==

√

1313 Denote

Denote ADAD == xx. Usando a lei dos co-senos no. Usando a lei dos co-senos no ∆∆ACACDD, vem:, vem:

AC

AC 22 == ADAD22 ++DC DC 22

₋

22ADAD

_·

DC DC

_·

cos60cos60◦◦

( (

√

13)13)22 ==xx22+ 3+ 322

₋

22

_·

xx

_·

33

_·

11 2 2

⇒

13 =13 = xx 2 2 + 9 + 9

₋

33xx Temos que

Temos que xx22

₋

33xx

₋

4 4 = 0= 0. Resolvendo esta equa¸. Resolvendo esta equa¸c˜c˜ao ao vevemm::

x x == 33

±

√

9 + 169 + 16 2 2 ==











3 + 5 3 + 5 2 2 = 4= 4 3 3

₋

55 2 2 ==

−

11(N˜(N˜ao ao seservrve)e) Log

Logo o o o per´per´ımeımetro tro do do quadquadrilril´´ateateroro ABCD ABCD ´´e e ::

AB

AB++BC BC ++CCDD++ADAD = 3 + 2 + 3 + 4 = 12= 3 + 2 + 3 + 4 = 12cmcm.. Ex

Exerercc´´ıcıcio io 3030: : ConsideConsidere re o o triˆtriângulo angulo nñão ao retˆretângulo angulo da da figura figura abaixo. abaixo. DeterDeterminemine sensenαα..

Solu¸

Solu¸cc˜ãaoo:: SejSeja o a o triˆtriânguangulo lo retretˆânguangulo lo da da figurfigura:a: Pela lei dos senos temos:

Pela lei dos senos temos:

1 1 se senn1515◦◦ == 3 3 sen

senαα

⇒

sensenαα = 3= 3sesenn1155

◦ ◦

(21)

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 3131: : A diagonal A diagonal de um de um quadrado inscrito quadrado inscrito em em um cum c´´ırculo mede ırculo mede 8 cm. 8 cm. Calcule o Calcule o perper´´ımetroımetro de

de um um triˆtriângulo angulo equiléquilátero atero inscritinscrito o nesse nesse cc´´ırculoırculo..

Temos que

Temos que a da diagonal iagonal de de um um quadrado iquadrado inscritnscrito o em em um um cc´´ırculırculo ó é e o diô diâmetroametro, , ou ou seja,seja, 2

2RR ==dd

_⇒

dd= 8 = 2= 8 = 2RR

_⇒

RR = 4= 4

Como o lado em fun¸

Como o lado em fun¸c˜cão ao do do rairaio o de de um um tritriˆânguangulo lo equiequil´láteatero ro inscinscrito rito nestneste e cc´´ırcırculo ulo ´ée ll33 == RR

√

33 temostemos

que

que ll33 = = 44

√

33..

Da´

Da´ı ı o o pper´er´ımımetetro ro ppededidido o ´´ee 33

_·

44

√

3 = 123 = 12

√

33 cm.cm.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 3232: Dado o raio: Dado o raio RR de uma de uma circuncircunferˆferência, encia, calcular calcular o lado e o lado e o apó apótema do octótema do octógono regularogono regular inscrito.

inscrito.

Considere a ﬁgura que mostra o oct´

Considere a ﬁgura que mostra o oct´ogono regular inscrito.ogono regular inscrito.

Note

Note que que o o ˆˆangulo angulo centracentrall AAOB OB ˆ ˆ ´´ee 360360

◦ ◦ 8 8 = 45= 45 ◦ ◦_._.

Vamos achar o lado, do oct´

Vamos achar o lado, do oct´ogono (ogono (ll88), em fun¸), em fun¸c˜c˜ao ao do do raraioio RR..

Usando a lei dos co-senos vem: Usando a lei dos co-senos vem:

l l2288 ==RR 2 2 + +RR22

₋

22

_·

RR

_·

RR

_·

cos45cos45◦◦ l l2288 = 2= 2RR 2 2

−

22

_·

RR22

_·

√

₂₂ 2 2 = = 22RR 2 2

−

RR22

√

22

(22)

⇒

aa22 8 8 ==RR 2 2

−

22RR 2 2

−

RR22

√

2 2 4 4 == 4 4RR22

−

22RR22 + +RR22

√

2 2 4 4

⇒

aa22 8 8 == 2 2RR22 + +RR22

√

2 2 4 4 == R R22 (2 + (2 +

√

2)2) 4 4

⇒

aa88 == R R 2 2



_{2 +}_{2 +}

√

₂₂ Ex

Exerercc´´ıcıcio io 3333: E: Em um m um semicsemic´´ırculo ırculo de raio de raio 6 cm, 6 cm, tra¸tra¸cam-se duas cordas paralelas que representam oscam-se duas cordas paralelas que representam os lados de

lados de um quadrado um quadrado e e de um de um hex´hex´agono regular agono regular inscritos. inscritos. Calcule a Calcule a distˆdistˆancia entre ancia entre as duas as duas cordas.cordas.

Seja um

Seja um semicsemic´´ırculo de ırculo de raio 6 raio 6 cm e cm e duas cordas paralelas que duas cordas paralelas que representam os representam os lados de um lados de um quadradoquadrado e

e de de um um hex´hex´agoagono.no.

Seja

Seja ABAB == ll66,, CCDD == ll44 ee RR = 6= 6. Vamos calcular. Vamos calcular EF EF == OE OE

−

OF OF ..

Cons

Consideridere os e os tritriˆˆanguanguloslos OEB OEB ee OFD OFD :: Temos

Temos

OE

OE 22 ++EBEB22 == OBOB22

_⇒

OE OE 22 ++



ll66 2 2



22 _{= 6}_{= 6}22 . . (1)(1) OF

OF 22 ++FFDD22 == ODOD22

_⇒

OF OF 22 ++



ll44 2 2



22 ₌₌₆₆22 . . (2)(2) Temos que Temos que l l44 = 6= 6

√

22 (3)(3) e e ll66 = 6= 6 (4)(4) Substituindo (4) em (1) vem: Substituindo (4) em (1) vem: OE OE 22 = 36= 36

₋

66 2 2 4 4 = 36= 36

−

36 36 4 4 = 27= 27

⇒

OE OE = = 33

√

₃₃

(23)

Substituindo (3) em (2) vem: Substituindo (3) em (2) vem: OF OF 22 = 36= 36

₋



66

√

₂₂ 2 2



22 = 36 = 36

₋

99

_·

2 = 182 = 18

_⇒

OF OF = 3= 3

√

22 Da´

Da´ı ı a a didistˆstˆancancia ia pepedida dida ´´e:e: EF EF = 3= 3

√

33

₋

33

√

2 = 3(2 = 3(

√

33

₋

√

2)2)..

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 3434: De : De quanto aumenta o quanto aumenta o raio de raio de uma circunferˆuma circunferˆencia quando o encia quando o seu comprimento aseu comprimento aumentaumenta de

de ππ cm?cm?

Seja

Seja uma uma circuncircunferˆferˆencia encia de de raioraio RR e comprimentoe comprimento C C . Temos que. Temos que C C = 2= 2πRπR.. Se aumentarmos o comprimento

Se aumentarmos o comprimento C C dede ππ, vamos determinar de quanto aumenta o raio, vamos determinar de quanto aumenta o raio RR. Denote o. Denote o novo raio de novo raio de RR′′_._. E Enntt˜˜aaoo C C ++ππ = 2= 2πRπR′′

⇒

22πRπR ++ππ = 2= 2πRπR′′

⇒

RR′′ ₌₌ 22πRπR ++ππ 2 2ππ == π π(2(2RR+ 1)+ 1) 2 2ππ

⇒

RR ′ ′ ₌₌ 22RR+ 1+ 1 2 2 Logo

Logo o o aumentaumento o pedidpedido ´o ´e:e: RR′′

−

RR == 22RR+ 1+ 1 2 2

−

RR == 2 2RR+ 1+ 1

₋

22RR 2 2 == 1 1 2 2.. Ex

Exerercc´´ıcıcio io 3535: Em uma engrenagem a roda grande de raio 75 cm faz 900 voltas, enquanto a pequena: Em uma engrenagem a roda grande de raio 75 cm faz 900 voltas, enquanto a pequena d´

d´a 1500 a 1500 voltas. voltas. Qual o Qual o raio da raio da roda roda pequena?pequena?

A roda grande tem raio 75 cm e faz 900 voltas. A roda grande tem raio 75 cm e faz 900 voltas. Vamos determinar o comprimento total (

Vamos determinar o comprimento total (C C ) da roda grande.) da roda grande.

C

C = 2= 2ππ

_·

7575

_·

900900 (1)(1) A roda pequena d´

A roda pequena d´a 1500 voltas, vamos determinar o raio (a 1500 voltas, vamos determinar o raio (rr) desta roda.) desta roda. Note que

Note que o comprimento total o comprimento total desta rodesta roda ´da ´e o e o mesmo da mesmo da roda grande.roda grande. Logo Logo C C = 2= 2ππ

_·

rr

_·

15001500 (2)(2) De (1) e (2) vem: De (1) e (2) vem: 2 2ππ

_·

rr

_·

1500 = 21500 = 2ππ

_·

7575

_·

900900

_⇒

15001500rr = = 7575

_·

900900

_⇒

rr = 45= 45 cmcm Da

Da´´ı ı o o raio raio da da roda roda pequepequena na ´´e e 45 45 cm.cm.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 3636: : Calcule Calcule a a area area ´´ de de um um quadril´quadril´atero atero convexo convexo de de diagonais pdiagonais perpendiculares erpendiculares medindo medindo 1212 cm e 15 cm.

cm e 15 cm.

Conside

(24)

Vamos denonimar a interse¸

Vamos denonimar a interse¸c˜c˜ao ao das das diadiagonagonais is dede E E e denotee denote AE AE ==a, BE a, BE == b, CE b, CE == cc ee DE DE == d.d.

Temo

Temos s que que a a ´árarea ea do do quaquadrdrilílátaterero o ´é:e:

S S ABCDABCD == ab ab 2 2 ++ bc bc 2 2 ++ ad ad 2 2 ++ cd cd 2 2 == ( (aa++cc))bb 2 2 ++ ( (aa++cc))dd 2 2 E Enntt˜˜aaoo S S ABCDABCD == ( (aa++cc)()(bb++dd)) 2 2 == 12 12

_·

1515 2 2 = 90= 90 Da´

Da´ı ı a a ´´ararea ea proprocuracurada da ´´e e 90 90 cmcm22

. .

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 3737: No paralelogramo: No paralelogramo ABCD ABCD de de ´´ararea ea 48 48 cmcm22_{, os pontos}_{, os pontos} _P_P_,_,_Q_Q_e_e _R_R_{dividem a diagonal}_{dividem a diagonal} _BD_BD

em

em quatro quatro partes partes de ide igual mgual medida. edida. Calcule Calcule a á área area do tdo triˆriânguloangulo AQR AQR ..

Seja o paralelogramo

Seja o paralelogramo ABCD ABCD de de ´´area area 48 48 cmcm22 _{e os pontos}_{e os pontos} _P_P_,_,_Q_Q _e_e _R_R _{dividindo a diagonal}_{dividindo a diagonal} _BD_BD _em_em

quatro partes de igual medida. quatro partes de igual medida.

Ligando os pontos

Ligando os pontos AA aa P P ,, C C aa P P ,, C C aa Q Q ee C C aa R R ; temos ; temos 8 tr8 triˆiˆangulos angulos a saa saber:ber: ABP, APQ, AQR, ARD, CBP, CPQ, CQR

ABP, APQ, AQR, ARD, CBP, CPQ, CQR ee CCRDRD

Esses

Esses triˆtriângulos angulos tem tem a ma mesma esma ´área, area, j´já qua que ee eles les tem tem a ma mesma esma base base e a e a mesma mesma alturaltura. a. Portanto, Portanto, j´jáa que

que a a ´árearea a do do paralparaleloelogragramo mo ´é e a a somsoma a das das ´áreareas as dessdesses es oito oito tritriˆânguanguloslos, , temtemos os que que a a ´árearea a do do tritriˆânguangulolo AQR AQR ´é:e: 4848 8 8 == 6 6 cmcm 2 2 . .

(25)

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 3838: Num terreno retangular com 54 cm: Num terreno retangular com 54 cm22

de

de ´´area, area, desejadeseja-se -se construir construir um um jardim, jardim, tamb´tamb´emem retangular, medindo 6 metros por 3 metros, contornado por uma cal¸

retangular, medindo 6 metros por 3 metros, contornado por uma cal¸cada de larguracada de largura LL, como indica, como indica a ﬁgura. Calcule o valor de

a ﬁgura. Calcule o valor de LL..

Seja

Seja a a figura figura dada e dada e temos temos que que a a ´área area do do terrenterreno o ´é e 54 54 mm22 _{e o retˆ}_{e o retˆ}_{angulo que iremos construir, o}_{angulo que iremos construir, o}

jardim,

jardim, mede mede 6 6 metros metros por por 3 3 metros.metros. Vamos achar a largura

Vamos achar a largura LL da cal¸da cal¸cada.cada.

Temos que Temos que (6 + 2 (6 + 2LL)(3 + 2)(3 + 2LL) = 54) = 54

_⇒

18 + 618 + 6LL+ 12+ 12LL+ 4+ 4LL22 = 54= 54..

⇒

44LL22 + 18+ 18LL

₋

36 = 036 = 0

_⇒

22LL22 + 9+ 9LL

₋

18 = 018 = 0 Resolv

Resolvendo a endo a equaequa¸¸cc˜ao a˜o ddee 22oo

grau vem: grau vem: L L==

−

99

±

√

81 + 14481 + 144 4 4











−

99

₋

1515 4 4 ==

−

66

−

9 + 159 + 15 4 4 == 6 6 4 4 = 1= 1,,55 Como

Como LL >>00, temos que o valor de, temos que o valor de LL = 1,5 metros.= 1,5 metros.

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 3939: : ConsConsidere a idere a circuncircunferˆferˆenciaencia, , representrepresentada ada abaixoabaixo, , de de raio 2 raio 2 cm cm e e os os diˆdiˆametrosametros AB AB ee CD

CD perpendicperpendiculaulares. res. Com centro emCom centro em C C e raioe raio CACA foi tra¸foi tra¸cado o arcocado o arco ABAB

⌢

. . DeDetetermrminine a é a árarea ea da rda regegi˜iãoao assinalada.

(26)

Seja

Seja a a circunfcircunferêrência encia dada, dada, com com raio raio 2 cm 2 cm e oe os ds diîâmetroametross AB AB ee CD CD perpendiculares.perpendiculares.

Temos que Temos que AC AC 22 = = 2222 + 2 + 222

⇒

AC AC = 2= 2

√

22 ee AACB CB ˆ ˆ == 180180 ◦ ◦ 2 2 = 90= 90 ◦ ◦ Denota

Denotando ndo a ´a ´area area pedidpedida a porpor AA p p vem que:vem que:

A

A p p == AAsetor CAB setor CAB

−

AA∆∆ACB ACB ==

π π

_·

(2(2

√

2)2)22 4 4

−

2 2

√

22

_·

22

√

22 2 2 == 8 8ππ 4 4

−

8 8 2 2 = 2= 2ππ

−

44 Da´

Da´ı ı a a ´árarea ea da da reregigi˜ão ao asassisinanalalada da ´ée (2(2ππ

₋

4)4) cmcm22

. .

Ex

Exerercc´´ıcıcio io 4040: A : A figura mostra figura mostra dois arcos dois arcos de cirde circunferˆcunferência encia de centrode centro O O , raios, raios R R ee 2R 2R e e ttrˆrêes s ˆâanngugullooss congrue

congruentes. ntes. Calcule Calcule a a raz˜razão ao entre entre as as ´áreas areas da da regi˜região ao hachurahachurada da e e nñão ao hachurhachurada.ada.

Seja a ﬁgura dada, com raios

(27)

As

As trˆtrˆes es reregigi˜˜oes de centrooes de centro O O e raioe raio R R , vamos denotar po, vamos denotar po AA.. As

As outras outras trˆtrês es regi˜regiões, vamos denotar poroes, vamos denotar por B B , c, como omo estéstá a indicadindicado na o na figura.figura. Vam

Vamos os acachar har a á árarea ea da da reregi˜giãoao AA..

S S AA == πR πR22 4 4

_·

33 == πR πR22 12 12 Vam

Vamos os acachar har a á árarea ea da da reregi˜giãoao B B ..

S S BB == π π(2(2RR))22 4 4

_·

33

−

πR πR22 12 12 == 4 4πRπR22 12 12

−

πR πR22 12 12 == πR πR22 4 4 A

A ´árarea ea da da regiregi˜ão ao hahachchururada ada ´é:e: 22S S AA++S S BB e e a a ´árarea ea da da regiregi˜ão ao nñão ao hahachchururadada a ´ée S S AA+ 2+ 2S S BB

Log

Logo, o, a a razraz˜ão ao ententre re as as ´áreareas as pepedidadidas s ´é:e: 2 2S S AA++S S BB S S AA+ 2+ 2S S BB = = 2 2πRπR22 12 12 ++ πR πR22 4 4 πR πR22 12 12 ++ 2 2πRπR22 4 4 = = 2 2πRπR22 _{+ 3}_{+ 3} πR πR22 12 12 πR πR22 + 6 + 6πRπR22 12 12 = = 55πRπR 2 2 12 12

·

12 12 7 7πRπR22 == 5 5 7 7