ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica I PME 3100 Prova n

^o

3 Data 27 / 11 / 2018 Duração da Prova: 120 minutos

Não é permitido o porte de calculadoras, "tablets", celulares e dispositivos similares.

QUESTÃO 1 (3,0 pontos) – O sistema material da figura é composto pelas partículas B e C, cada uma de massa m, e pela partícula A, de massa M. As barras AE, BC, DF e EF tem massa desprezível.

Determine:

a) o momento de inércia J

_Oz

, em função de M, m e das dimensões do sistema;

b) o valor de M, em função de m, para que os produtos de inércia sejam todos nulos.

QUESTÃO 2 (3,5 pontos) – Para alimentar um sistema de inspeção de peso de caixas de alimentos, uma caixa retangular de massa m (modelada como ponto material), partindo do repouso, desce por uma superfície sem atrito até atingir uma correia transportadora que se move com velocidade horizontal

v_C

. Nessa correia, o coeficiente de atrito entre a caixa e a superfície é  , e a caixa escorrega em relação a esta superfície. A caixa deve passar sob o sistema de inspeção com a mesma velocidade da correia a uma distância d do ponto onde entrou na correia. Usando o Teorema da Energia Cinética, determine qual é essa distância d.

QUESTÃO 3 (3,5 pontos) – Um carretel de massa M é formado por dois cilindros, de raios R e r, soldados um ao outro, e tem um fio ideal enrolado na circunferência do cilindro (O,R).

Esse carretel é colocado sobre um trilho fixo e inclinado DE, num plano vertical, e uma força F paralela ao trilho é aplicada na ponta B do fio, conforme mostrado na figura ao lado.

Suponha que não há escorregamento entre o carretel e o trilho. É dado o momento de inércia J

_Oz

do carretel, em relação ao seu centro de massa O. Usando o sistema de coordenadas indicado na figura, e em função dos dados, pede-se:

a) o diagrama de corpo livre do carretel;

b) a relação entre a aceleração do ponto O e a aceleração angular do carretel;

c) a expressão da força de atrito no contato em C, em função da força F;

d) supondo  pequeno, o valor mínimo da força F para que o carretel suba pelo trilho.

 B  C  // Oz A

a B 2

a

a 3

C

O

D

E F

a 2 a

2

a

z ^x

y massa m

m massa M

massa

O

C 

R

g

r

D

E

F B

fio

i 

 j k



A

i

j

k

vC

H

Sistema de inspeção

Correia transportadora

g

d

QUESTÃO 1 (3,0 pontos) – O sistema material da figura é composto pelas partículas B e C, cada uma de massa m, e pela partícula A, de massa M. As barras AE, BC, DF e EF tem massa desprezível.

Determine:

a) o momento de inércia J

_Oz

, em função de M, m e das dimensões do sistema;

b) o valor de M, em função de m, para que os produtos de inércia sejam todos nulos.

Solução

a – Momento de inércia J

_Oz

:

   

 ^{2 a}

²

^{2 a}

²

 ^{2 m}  ^{    2 a}

²

^{3 a}

²

 ^M     ^{8 a}

²

^{2 m 13 a}

²

M

J

_Oz

       J

_Oz

  8 M  26 m  a

²

b – Cálculo dos produtos de inércia:

             

 m 3 a a m 3 a a M 2 a 0

J

_Oxz

J

_Oxz

 0

      ^{  }    ^

 m 2 a a m 2 a a M 2 a 0

J

_Oyz

J

_Oyz

 0

          

 2 m 2 a 3 a M 2 a 2 a 12 ma

²

4 Ma

²

J

_Oxy

^J

_Oxy

 ⁴  ^{3 m}  ^M  ^a

²

Basta anular o produto de inércia J

_Oxy

:

    

 3 m M 4 a

²

0

J

_Oxy

M  3 m

Observações:

 Como o plano Oxy é de simetria, pode-se concluir imediatamente que J

_Oxz

 J

_Oyz

 0 , e que o eixo Oz é principal de inércia.

 Impondo J

_Oxy

 0 , temos que os eixos Ox e Oy também são principais de inércia.

 B  C  // Oz A

a B 2

a

a 3

C

O

D

E F

a 2 a

2

a

z ^x

y massa m

m massa M

massa

1,0

1,0

0,5

0,5

QUESTÃO 2 (3,5 pontos) – Para alimentar um sistema de inspeção de peso de caixas de alimentos, uma caixa retangular de massa m (modelada como ponto material), partindo do repouso, desce por uma superfície sem atrito até atingir uma correia transportadora que se move com velocidade horizontal

v_C

. Nessa correia, o coeficiente de atrito entre a caixa e a superfície é  , e a caixa escorrega em relação a esta superfície. A caixa deve passar sob o sistema de inspeção com a mesma velocidade da correia a uma distância d do ponto onde entrou na correia. Usando o Teorema da Energia Cinética, determine qual é essa distância d.

Solução

Na parte onde não há atrito, apenas a força peso realiza trabalho. Usando o Teorema da Energia Cinética:

gH v

mgH mv

W E

E 2

2 1

1 2

1 1

0 0

1

 

_

   

Na correia transportadora, até a posição do sistema de inspeção:

Diagrama de corpo livre da caixa

Teorema da resultante



 













C at

C at

x

v v F

v v F

ma

1 1

se

se

mg N mg

N

ma

_y

   0  

Nesse trecho, até a posição do sistema de inspeção, como há escorregamento, e a posição vertical é constante, apenas a força de atrito realiza trabalho.

mg N

F

_at

    (constante, pois há escorregamento) mgd

d F

W

_12



_at

  

Teorema da energia cinética

mgd mgH

mv mgd

mv mv

W E

E

₂



₁



_12



₂²



₁²

   

₂²

    2

1 2

1 2

1

Como queremos v

₂

 v

_C

: mv

_C²

 mgH    mgd  2

1

g gH v

d

C



 

2

2 1 F

at

mg N

i

j

k

vC

H

Sistema de inspeção

Correia transportadora

g 1

d

2

0

1,0

0,5

0,5 0,5

(uma das respostas) 1,0

(a segunda resposta)

QUESTÃO 3 (3,5 pontos) – Um carretel de massa M é formado por dois cilindros, de raios R e r, soldados um ao outro, e tem um fio ideal enrolado na circunferência do cilindro (O,R).

Esse carretel é colocado sobre um trilho fixo e inclinado DE, num plano vertical, e uma força F paralela ao trilho é aplicada na ponta B do fio, conforme mostrado na figura ao lado.

Suponha que não há escorregamento entre o carretel e o trilho. É dado o momento de inércia J

_Oz

do carretel, em relação ao seu centro de massa O. Usando o sistema de coordenadas indicado na figura, e em função dos dados, pede-se:

a) o diagrama de corpo livre do carretel;

b) a relação entre a aceleração do ponto O e a aceleração angular do carretel;

c) a expressão da força de atrito no contato em C, em função da força F;

d) supondo  pequeno, o valor mínimo da força F para que o carretel suba pelo trilho.

Solução

a) Diagrama de corpo livre: b) Não havendo escorregamento:

 O C  v i k r j v

v

_O _C  _O   















  0 





 r i i

v

_O

 

 ^a

O

^{r i}

 

    (1)

c) Teorema da Resultante

 ^{F F Mg}   ^{i N Mg}  ^j

a

M 

_{O at}

 



 cos

sen  





 Usando (1):



 r F F Mg sen M 

_at

 





(2)



 cos

cos

0  N  Mg  N  Mg (3) Teorema da Quantidade de Movimento Angular

O

O

M

H







k J H k J

H

_{O Oz O Oz} 

 





    

 F r FR  k M

_{O at} 





FR r F

J

_Oz







_at

 (4) De (2) e (4):

 

2

sen r M J

r R F r

Mg

Oz





  





(5)

 

2

sen r

M J

Mg J F MrR F J

Oz

Oz Oz

at





  

(6)

d) Para o carretel subir pelo trilho:    0 . Assim, de (5):

 sen r Mg R

F r 



 





 

O C

 R

g

r

F

i 

 j k



Mg F

^at

N A O

C

 R

g

r

D

E

F B

fio

i 

 j k



A

1,0

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Observações:

 Para que a hipótese de não haver escorregamento seja válida, temos também um limite superior para a força F:

Para não escorregar:    sen  _ cos _

(6) 2 e (3)

usando

Mg

r M J

Mg J F MrR N J

F

Oz

Oz Oz

at







 



 

 

MrR J

J r

m J F Mg

Oz

Oz Oz





 

²

 cos  sen 

 Para que haja F que satisfaça os limites mínimo e máximo:

 

 

MrR J

J r

M J F Mg r

R r Mg

Oz

Oz Oz





 

 







 cos sen

sen

²

 

 

MrR J

J r

M J r R r

Oz

Oz Oz





 









 cos sen

sen

²

  

R r R 

 



tan