50 10 F 0,15 V 7,5 10 C

(1)

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 31 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

01. Um eletrômetro é um aparelho usado para medir cargas estáticas. Uma carga desconhecida é colocada nas armaduras de um capacitor e após isto medimos a diferença de potencial entre elas. Qual é a menor carga que pode ser medida por um eletrômetro cuja capacitância vale 50 pF e tem sensibilidade à voltagem de 0,15 V?

(Pág. 92) Solução.

A carga a ser medida pelo eletrômetro é acumulada num capacitor, de capacitância C, do instrumento e deve satisfazer à relação fundamental de capacitância:



50 10 F 0,15 V⁹

 ^ ^

7,5 10 C⁹

qCV   ^   ^

7,5 pC q

04. Um capacitor de armaduras paralelas é construído com placas circulares de raio 8,22 cm e 1,31 mm de separação entre elas. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual a carga que aparecerá nas armaduras, se aplicarmos uma diferença de potencial de 116 V entre elas?

(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas, não importando a forma geométrica de suas placas, é dada por:

  ^ ^

 

12 2 2

0 0 10

3

8,85 10 F/m 0, 0822 m

1, 4340 10 F 1,31 10 m

A r

C d d

    ^ _



     

 143 pF

C

(b) A carga q vale:



^{1, 4340} ¹⁰ ¹⁰^{F 120 V}

 ^ ^

^{1, 7208} ^{10 C}⁸

qCV   ^   ^

17, 2 nC q

r

d

q q

(2)

da capacitância C com a temperatura T é dada por

1 1

dC dA dx

dT C A dT x dT

 

   ,

onde A é a área das armaduras e x, a distância entre elas. (b) Se as armaduras forem de alumínio, qual deve ser o coeficiente de dilatação térmica dos espaçadores para que a capacitância não varie com a temperatura?

(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área A, cuja distância de separação é d, é dada por:

0A C d

 (1)

Sendo A e d funções da temperatura, ou seja, A(T) e d(T), podemos derivar C em relação a T:

0 0

0 2

dA dx dA dx

x A x A

A A

dC dT dT dT dT dA x A dx

dT x x xA x dT xA xA dT

 



         

     

   

       

 

Substituindo-se (1) na equação acima, teremos:

1 1

dC dA dx

dT C dT A x dT

 

     

  (2)

(b) A variação do comprimento (x) dos espaçadores é dada por:

x espx T

  

onde α_esp é o coeficiente de expansão térmica dos espaçadores. Em termos de notação diferencial, teremos:

dxespxdT (3)

De forma similar, a variação da área das placas do capacitor é dada por:

2 _Al

dA  AdT (4)

Na Eq. (4), o termo 2αAl é o coeficiente de expansão superficial do alumínio das placas (lembre-se que o coeficiente de expansão superficial é aproximadamente duas vezes o coeficiente de expansão linear). O enunciado exige que a capacitância não varie com a temperatura, o que implica em dC/dT

= 0. Logo (veja Eq. 2):

(3)

1 1

dA dx

dT A  x dT (5)

Substituindo-se (3) e (4) em (5), teremos:

2

1 espxdT AlAdT 1

x dT dT A

 

  



⁶ ¹



2 2 23 10 C

esp Al

     ^ ^

6 1

46 10 C

esp   ^ ^

13. Ache a capacitância equivalente à combinação na Fig. 25. Suponha que C1 = 10,3 F, C2 = 4,80

F e C3 = 3,90 F.

Em primeiro lugar, vamos resolver a associação em série de C1 e C2, cuja capacitância equivalente chamaremos de C12 e, em seguida, resolveremos a associação em paralelo entre C12 e C3, cuja capacitância equivalente chamaremos de C₁₂₃.

2 1

12 1 2 1 2

1 1 1 C C

C C C C C

   

  

   

1 2 12

1 2

10,3 F 4,80 F

3, 2741 F 10,3 F 4,80 F

C C C

C C

 

  

  

 

A capacitância equivalente final vale:

   

123 12 3 3, 2741 F 3,90 F 7,1741 F

C C C      

123 7,17 F

C  

17. (a) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A, com espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras placas de um único capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que a sua capacitância seja igual à da associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supondo que a associação seja em série.

(a) A capacitância da associação em paralelo (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (C_isol).

(4)

Logo:

assoc isol

C C

0A C C C

l

  

3 0A

C l



0 0

3 A A

d l

 _

3 ld

(b) A capacitância da associação em série (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (Cisol).

Logo:

assoc isol

C C

1

1 1 1 0A

C C C l

 

    

 

 

0

3 A C

l



0 0

1 3

A A

d l

 _ 3 l d

20. Imagine que você disponha de vários capacitores de 2,0 F, capazes de suportar, sem ruptura dielétrica, 200 V. Como seria possível combinar esses capacitores, de modo a obter um sistema capaz de resistir à diferença de potencial de 1.000 V e com uma capacitância de (a) 0,40 F e (b) 1,2 F?

(a) É possível satisfazer a condição do enunciado por meio de uma associação em série de cinco capacitores de C1 = 2,0 F.

C A, d

C A, C A,

C A, l

C A, d

C A, l

C¹/5 5V

= C¹

V V

V

C¹ C¹ C¹ C¹

(5)

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 5

Ceq C C C C C C

 

1 2, 0 F

5 5

eq

C C 

 

0, 40 F Ceq  

Associando-se em série cinco capacitores que suportam individualmente uma tensão de 200 V, a tensão total que a associação poderá suportar é:

 

5 5 200 V

Veq      V V V V V V  1.000 V

Veq 

(b) No item anterior, a associação em série de cinco capacitores de 2,0 F produziu uma

capacitância equivalente de 0,40 F. Para produzir uma capacitância equivalente de 1,2 F seria necessário associar em série cinco capacitores de:

2

1 5

Ceq C

 

2 5 _eq 5 1, 2 F 6, 0 F

C  C    

É possível construir um capacitor equivalente a 6,0 F associando-se três capacitores de 2,0 F em paralelo.

 

1 1 1 3 1 3 2, 0 F 6, 0 F Ceq C  C C  C    

É preciso lembrar que todos os capacitores que participam de uma associação em paralelo estão sujeitos à mesma diferença de potencial do capacitor equivalente. Isto faz com que a limitação da voltagem total também seja satisfeita. A associação total é representada no esquema abaixo, onde todos os quinze capacitores têm capacitância C₁ = 2,0 F:

21. A Fig. 28 mostra dois capacitores em série, com uma seção central rígida, de comprimento b, que pode se mover verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente a esta associação independe da posição da seção central, sendo dada por

0A C a b

 

 ,

C² = 3C¹

= C¹

C¹ C¹ V

V

(6)

A capacitância equivalente (C_eq) de uma associação em série de dois capacitores (C₁ e C₂, onde C₁ é o capacitor superior da Fig. 28 e C2 é o inferior) é dada por:

1 2

1 1 1

Ceq C C (1)

Se chamarmos de x a distância de separação de C1, a separação de C2 será a – b – x. Logo, teremos:

0 0 0 0 0

1 1 1

eq

x a b x a b

A A

C A A A

x a b x

    

  

    

  Portanto:

0 eq

C A

a b

 



24. Quando giramos a chave S da Fig. 30 para a esquerda, as armaduras do capacitor de capacitância C₁ adquirem uma diferença de potencial V₀. Inicialmente, C₂ e C₃ estão

descarregados. A chave S é agora girada para a direita. Quais os valores das cargas finais q1, q2, e q3 sobre os capacitores correspondentes?

Considere a seqüência de operações no circuito mostradas no esquema abaixo:

(7)

No circuito B, a chave S é girada para a esquerda. O capacitor C₁ adquire diferençca de potencial igual à da bateria (V₀) e carga q₀ igual a:

0 1 0

q C V (1)

No circuito D, a chave S é girada para a direita. A carga q0 é distribuída entre os três capacitores. A diferença de potencial de C1 ,V1, diminui enquanto que a de C23 (capacitor equivalente a C2 e C3), ,V₂₃, aumenta até ficarem iguais. Podemos desenvolver o seguinte cálculo:

1 23

V V

23 1

1 23

q q

C C (2)

Como C₂₃ é uma associação em série de capacitores, teremos:

2 3 23

2 3

C C C

C C

  (3)

e

23 2 3

q q q (4)

Portanto, a distribuição de carga entre os capacitores fica da seguinte forma:

0 1 2 1 3

q  q q  q q

2 0 1

q q q (5)

Substituindo-se (4) em (2):

1 2 1

23

q C q

 C (6)

 

1 0 1 1 0 1 1

1

23 23 23

C q q C q C q

q C C C

   

1 0 1

1

23 23

1 C C q

q C C

 

 

 

 

1 0 23

1 1 0

23 1 23 1 23

1 C q C

q C q

C C C C C

   

       (7)

C1

C²

C3

V0

+ + +



C1

C2

C³ V0

q V2, 2

q V3, 3

q V1, 1

C1

C²

C3

V0

q V⁰, ⁰

+ + +



C1

C²

C3

V0

q V⁰, ⁰

+ + +



+ + +

+ + +



A B C D

(8)

2 3

1 1 0 1 0

2 3 1 2 1 3 2 3

1

2 3

1 C C

q C q C q

C C C C C C C C

C C C

 

    

 

        

(8)

1 2 1 3

1 1 0

1 2 1 3 2 3

C C C C q C V

C C C C C C

  

    

Da Eq. (5), temos:

1 2 1 3 1 2 1 3

2 1 0 1 0 1 0

1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3

C C C C 1 C C C C

q C V C V C V

C C C C C C C C C C C C

     

          

1 2 1 3 2 3 1 2 1 3

2 1 0

1 2 1 3 2 3

C C C C C C C C C C q C V

C C C C C C

     

    

2 3

2 1 0

1 2 1 3 2 3

q C V C C

C C C C C C

 

    

Como q2 = q3:

2 3

3 1 0

1 2 1 3 2 3

q C V C C

C C C C C C

 

    

26. Um capacitor de armaduras planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas que formam entre si um ângulo , conforme na Fig. 32. O lado do quadrado é igual a a. Mostre que a capacitância deste capacitor, para valores de  muito pequenos, é

2

0 1

2

a a

C d d

   

   

 

(Sugestão: O capacitor pode ser dividido em faixas infinitesimais que estejam efetivamente em paralelo.)

Considere o esquema abaixo:



dx a

d

y

x

(9)

Tomando-se dois elementos de placas de comprimento dx e largura a, o conjunto representa um capacitor de placas paralelas de capacitância dC que possui área dA e distância de separação entre as placas l. Capacitância dC:

0 0 0

tan dA adx adx dC l d y d x

  

   

 

O capacitor da figura pode ser considerado como sendo uma associação em paralelo de capacitores dC e, neste caso, somam-se (integram-se) as capacitâncias:

0

0 tan

a adx

C dC

d x



  

 



0 tan

tan ln 1

a a

C d

 



 

   

  (1)

No Apêndice H deste livro vê-se que a função ln (1+x) pode ser expandida em série de Taylor, sendo o resultado:

 

¹ ² ¹ ³

 

ln 1 1

2 3

x x x x x

     

Considerando-se tan x a

d

 

e tomando-se apenas os dois primeiros termos da série:

2 2

2

tan tan tan tan tan

ln 1 1

2 2

a a a a a

d d d d d

    

       

   

   

Considerando-se   0, isto implica em tan   . Logo:

ln 1 tan 1

2

a a a

d d d

  

     

   

    (2)

0 1

2 a a a

C d d

  



 

   

2

0 1

2

a a

C d d

   

   

 

27. A diferença de potencial fornecida pela bateria B da Fig. 33 é igual a 12 V. (a) Calcule a carga em cada capacitor após ter sido fechada a chave S₁. (b) Idem, quando também estiver fechada a chave S₂. Suponha que C₁ = 1 F, C2 = 2 F, C3 = 3 F e C4 = 4 F.

(10)

(a) Considere o esquema a seguir:

C1 C3

C² C⁴

V

C¹³

C²⁴

V

=

Os capacitores C1 e C3 estão associados em série. Isto significa que:

1 3 13

1 3

C C C

C C

 

1 3

q q

O mesmo é verdadeiro para os capacitores C2 e C4:

2 4 24

2 4

C C C

C C

 

2 4

q q

Como a ddp entre as placas de C13 e C24 é igual a V, temos:

1 3 2 4

V   V V V V Tomando-se:

1 3 1 1

1 3

1 3 1 3

q q q q

V V V

C C C C

     

1

1 3

1 1

V q

C C

 

   

 

1 3 1

1 3

q V C C

C C

 

1 3 9 μC

q q  De forma semelhante:

2 4 2

2 4

q V C C

C C

 

(11)

2 4 16 μC q q 

(b) Considere o esquema a seguir:

C¹ C³

C² C4

V

C¹ C³

C² C4

V V

C12 C34

= =

12 34

q q V V V

C C

   

Onde, por se tratar de uma associação de capacitores em série:

12 34

q q Logo:

12

12 34

1 1

V q

C C

 

   

 

12 34

q q V C C

C C

 



Como C₁₂ e C₃₄ são associações de capacitores em paralelo, temos:

  



¹ ²

 

³ ⁴



12 34

1 2 3 4

C C C C

q q V

C C C C

 

 

  

12 34 25, 2 μC q q 

Mas:

12 12

12

8, 4 μC V q

C  Logo:

1 12 1

q V C

1 8, 4 μC q 

2 12 2

q V C

1 16,8 μC q 

De forma semelhante:

3 10,8 μC q 

1 14, 4 μC q 

30. As tentativas de construção de um reator de fusão termonuclear controlada que, se bem-

sucedidas, poderiam fornecer uma enorme quantidade de energia a partir do hidrogênio pesado

(12)

energia armazenada, (a) em joules e (b) em kW.h.

(a) A energia potencial acumulada num capacitor carregado, de capacitância C sujeito à uma diferença de potencial V, é dada por:

  

²

2 3 3 6

1 1

61, 0 F 10, 0 V 3, 05 J

2 2

U  CV  ^   

3, 05 MJ U

(b) Lembrando-se que:

7 3

kW h

1 J W s 2, 777 kW h

10 W 3.600 s

      

Teremos:



^{3, 05} ⁶^{J 2, 777}



⁷^{kW h}



^0,84722 ^{kW h}

U   ^   

0,847 kW h

U 

32. Dois capacitores, um de 2,12 F e outro de 3,88 F são ligados em série, com uma diferença de potencial de 328 V entre os terminais da associação. Calcular a energia total armazenada nos capacitores.

Podemos representar a associação em série dos capacitores C₁ e C₂ pelo capacitor equivalente C₁₂:

1 2 12

1 2

C C C

C C

 

A energia potencial acumulada no capacitor C12 sujeito à diferença de potencial V vale:

2 12

1 U 2C V Logo:

  

    ^ ^

6 6

2 2 1 2

6 6

1 2

2,12 10 F 3,88 10 F

1 1

328 V 0, 073745 J

2 2 2,12 10 F 3,88 10 F

U C C V

C C

 

 

  

   

73, 7 mJ U

34. Um banco de capacitores ligados em paralelo, contendo 2.100 capacitores de 5,0 F cada, é usado para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco até a diferença de potencial nos terminais da associação atingir 55 kV, supondo um custo de 3 centavos por kW.h?

Considere o seguinte esquema:

(13)

A tarifa total T a ser paga pelo carregamento dos N capacitores é o produto da tarifa t pela energia acumulada nos N capacitores (CN).

T  t UN NtU

Na expressão acima, U é a energia acumulada em cada um dos capacitores da associação.

2 2

1 1

2 2

T Nt CV  NtCV

 

⁷



⁶

 ^ ^

²

1 cents kW.h

2.100 3, 0 2, 78 5, 0 F 55.000 V 13, 2449 cents

2 kW.h J

T    ^  ^ 

 

13 cents T 

38. Seja um capacitor cilíndrico de raios iguais a a e b, respectivamente como ilustra a Fig. 4.

Mostre que a metade da sua energia potencial elétrica está acumulada no interior de um cilindro de raio igual a

r ab. C V

C C

C V

}

U U U

U

1 2 3

2.100

(14)

a b

r

+



+ +

+ + + + +



 



 



Capacitância de um capacitor cilíndrico:

 

2 0

ln C L

 b a



Energia potencial elétrica acumulada num capacitor cilíndrico:

 

2 2

0

ln

2 4

q b a U q

C  L

  (1)

Densidade de energia (u) entre as placas de um capacitor cilíndrico:

u dU

 dV

 

2 0

1 . .2 .

dU udV  ^2 E ^ L r dr (2) Campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico:

2 0

E q

 Lr

 (3)

2

0 2 2 2 2

4 0

dU q Lrdr

 L r 

 

 

  

 

2

4 0

dU q dr

 Lr

 (4)

Condição que resolve o presente problema:

2

r a

dU U



⁽⁵⁾

Substituindo-se (1) e (4) em (5):

 

2 2

0 0

1 ln

4 2 4

r a

q b a q dr dr

Lr r L

 

 

  

 



ln 1ln 2

r b

a  a

2

ln r lnb

a a

  

  

r 2 b

a a

  

  

(15)

r b a  a r ab

40. Mostre que as armaduras de um capacitor plano de placas se atraem mutuamente com uma força igual a

2

2 0

F q

 A



Obtenha este resultado calculando o trabalho necessário para aumentar a separação entre as armaduras x para x + dx.

Considere o seguinte esquema, em que temos um capacitor de placas planas e paralelas, separadas por uma distância x e carregado com carga q.

A placa da direita é movida para a direita através de uma distância dx. O trabalho W realizado pela força F pode ser calculado da seguinte forma:

cos dW  F ds Fdx 

dW Fdx (1)

O mesmo trabalho é equivalente à variação de energia potencial do sistema:



0



0 ² ² ²

0 0

1 1

2 2 2

q q q

dW dU U U U U

C C C C

 

            

 

 

2 2

0 0 0

2 2

q x x dx q

dW x x dx

A A A

  

  

     

 

2

2 0

dW q dx

 A

  (2)

Comparando-se (1) e (2):

q2

F 





dx

+q q

x F

ds



F

(16)

42. Uma bolha de sabão R₀ adquire lentamente uma carga elétrica q. Por causa da repulsão entre as cargas superficiais, o raio aumenta ligeiramente até o valor R. A pressão do ar dentro da bolha diminui, por causa da expansão, até p(V0/V) onde p é a pressão atmosférica, V0 é o volume inicial e V é o volume final. Mostre que

 

2 2 3 3

0 0

32

q    pR R R ,

(Sugestão: Considere as forças atuantes sobre um elemento de área da bolha carregada. Elas são devidas a (i) pressão do gás, (ii) pressão atmosférica, (iii) tensão eletrostática; veja o Problema 41).

Considere o seguinte esquema da situação, onde pi e pf são as pressões internas da bolha antes e após a deposição das cargas, respectivamente:

Vamos analisar as forças que agem sobre um elemento de área A da bolha carregada. De fora para dentro da bolha age a força devida à pressão atmosférica, Fatm. De dentro para fora agem a força devida à pressão do ar no interior da bolha, F_int, e a força devida à tensão eletrostática, F_eletr (veja o enunciado do Problema 41). O estudante deve notar que a tensão superficial da bolha, que tende a reduzir seu volume, foi desprezada. O somatório dessas forças deve ser nulo.

0 F 



int eletr atm

F F F

As forças devidas a cada uma das pressões são iguais às respectivas pressões multiplicadas pelo elemento de área considerado (F = p A), enquanto que a tensão eletrostática (força por unidade de área) é obtida como resultado do Problema 41.

2 0

1

f 2

p  A  E   A p A

A bolha comporta-se como um condutor em relação às cargas, que se espalham homogeneamente por sua superfície. O campo elétrico no interior da bolha é nulo, enquanto que na superfície externa

(17)

vale /0 (ver Capítulo 28 – Campo Elétrico). O valor de p_f é dado no enunciado do problema.

Assim, teremos:

2 0

0 0

1 2

pV p

V

 



 

   

 

A densidade superficial de cargas  corresponde à razão entre a carga total q e a área superficial da bolha.

2 3

0 2

0

3 0

4

3 1 4

4 2

3 R q

p R p

R

  

 

   

   

     

   

   

 

3 2

0

2 4 3

0

32 1

R

q p

R R

 

 

   

 

 

2 2 3 3

0 0

32

q    pR R R

44. É dado um capacitor de 7,40 pF com ar entre as armaduras. Você é solicitado a projetar um capacitor que armazene até 6,61 J com uma diferença de potencial máxima de 630 V. Qual dos dielétricos da Tabela 1 você usará para preencher o espaço entre as armaduras do capacitor, supondo que todos os dados são exatos, isto é, a margem de erro é zero?

Se a capacitância do capacitor com vácuo entre as placas for C₀, com ar entre as placas for C₁ e com outro dielétrico for C2, valem as seguintes relações:

1 1 0

C C

2 2 0

C  C

1 0 1

2 2 0

C C





2

2 1

1

C  C

  (1)

A energia potencial acumulada no capacitor C2 vale:

2

2 2 2

1

U 2C V (2)

2 2

2 1 2

1

U 2  C V



 

  

 

Resolvendo-se para 2:

   

 

6 1 2 2 1, 00 6, 61 J

2U 4,501099





  

(18)

De acordo com a Tabela 1 (Pág. 86), o material com  = 4,5 corresponde ao ÓLEO DE TRANSFORMADOR.

46. Um capacitor de armaduras, cujo dielétrico é o ar, tem capacitância igual a 51,3 pF. (a) Se as armaduras têm área de 0,350 m², qual é a sua separação? (b) Se a região entre as armaduras for preenchida agora com material de constante dielétrica igual a 5,60, qual é a nova capacitância?

(a) Um capacitor com placas planas e paralelas de área A e separação d possui capacitância C₀ dada por:

0 0

C A d

 Logo:

  

 

12 2

0

12 0

8,85 F/m 0,350 m

0, 06038 m

51,3 F

d A C

 ^



   



6, 04 cm d

(b) Preenchendo-se o espaço entre as placas com dielétrico , a nova capacitância C será:

  

¹²



¹⁰

0 5, 60 51,3 F 2,8728 F

CC  ^  ^ 287 pF

C

48. Uma certa substância tem constante dielétrica 2,80 e sua rigidez dielétrica é 18,2 MV/m. Se é usada como dielétrico em um capacitor de armaduras paralelas, qual a área mínima das armaduras para que a capacitância seja 68,4 nF e o capacitor possa resistir a uma diferença de potencial de 4,13 kV?

A capacitância C de um capacitor de placas planas e paralelas com material dielétrico  entre as placas é dada por:

CC0

Na equação acima, C0 é a capacitância do mesmo capacitor sem o material dielétrico entre as

placas. Esta capacitância é dada pela equação a seguir, em que A é a área das placas e d é a distância de separação entre elas.

0 0

C A d

 Logo:

0A

C d





0

A Cd



Multiplicando-se e dividindo-se a equação acima por V_max, teremos:

(19)

max max

0 max 0 max

1

CV d CV

A^  ^V ^  ^E

  

    

9 3

max 2

12 6

0 max

68, 4 F 4,13 V

0, 62637 m

2,80 8,85 F/m 18, 2 V/m

A CV

 E



 

  

 

0, 626 m2

A

50. Você foi encarregado de projetar um capacitor portátil que possa armazenar 250 kJ de energia e escolhe um capacitor de armaduras paralelas com dielétrico. (a) Qual o menor valor possível para o volume do capacitor, se for usado um dielétrico selecionado entre aqueles listados na Tabela 1 e para os quais é dado o valor da rigidez dielétrica? (b) Capacitores modernos de alto desempenho e que podem armazenar 250 kJ têm volumes iguais a 0,087 m³. Supondo que o dielétrico usado tenha a mesma rigidez dielétrica do item (a), qual deve ser a sua constante dielétrica?

(a) O campo elétrico entre as placas de um capacitor, carregado com carga q e preenchido com dielétrico , vale:

0 0

E q

A



 

 

Na expressão acima,  é a densidade de carga em cada placa do capacitor. Resolvendo-se a equação acima para A e multiplicando-se ambos os membros por d, a distância de separação das placas, teremos:

2

0 0 0

q q V qV

Ad d

E E E E

  ^{ } 

    

Reconhecendo-se que Ad é o volume entre as placas e que q é o produto da capacitância C pela diferença de potencial entre as placas V, teremos:

 

²

2 2

0 0

CV V CV

Ad ^  E ^ E ⁽¹⁾

A energia potencial acumulada no capacitor é dada por:

1 2

U  2CV Logo:

2 2

CV  U (2)

2 0

2U

Ad ^ E ⁽³⁾

Na condição-limite apresentada pelo problema (volume mínimo), o campo elétrico E corresponde à rigidez dielétrica suportada pelo material dielétrico. Como o volume Ad é inversamente

(20)

 

   

3

3 2

12

2 250 J

0, 40868 m kV 1.000 V 1.000 mm

5, 4 8,85 F/m 160

mm kV m

Ad



  

 

     

 

0, 41 m3

Ad 

(b) Resolvendo-se (3) para a constante dielétrica:

2 0

2U Ad E

 ^ 

 

  

3

2

3 12

2 250 J

25,3669 F kV 1.000 V 1.000 mm

0, 087 m 8,85 F/m 160

mm kV m





  

 

     

 25 F

51. Uma chapa de cobre de espessura b é introduzida exatamente no meio das armaduras de um capacitor plano, que estão separadas pela distância d (veja a Fig. 35). (a) Qual o valor da capacitância, depois da introdução da placa? (b) Se a carga nas armaduras mantém o valor constante q, ache a razão entre a energia armazenada antes e depois da introdução da placa. (c) Qual o trabalho realizado sobre a placa para inseri-la? A placa é puxada para dentro do

capacitor ou você tem de empurrá-la?

Considere o seguinte esquema:

(a) A introdução de um material condutor entre as placas de um capacitor carregado causa separação de cargas no condutor. Como o campo elétrico no interior do condutor deve ser zero (equilíbrio eletrostático), deduz-se que a separação de cargas no condutor gerou um campo elétrico



E⁰



 d

+q C ,V⁰ ⁰ q





d

+q C,V q

b





E⁰ E⁰

q +q

(21)

que neutralizou o campo produzido pelas cargas nas placas. Para que isso seja possível, as cargas induzidas no condutor devem ser iguais, em módulo, às cargas nas placas. O efeito líquido da introdução do material condutor é a criação de dois capacitores em série, de carga q, área A, separação das placas (d  b)/2 e capacitância C’. Chamando-se C a capacitância da associação em série, ou seja, do capacitor original mais a placa de cobre introduzida, teremos:

1 1 1 2

' ' '

C C C C

 

0

2 ' 2 2

2 2 2 2

A d b A

C d b A

C d b

 

 

    



0A C d b

 



(b) A razão entre a energia armazenada antes (U0) e depois (U) da introdução da placa, vale:

 

0 2

2 2 0

0 0 0 0 0

2 2

2 0

0

1 2 1 2

A E d

U C V C V d

U CV CV A E d b

d b



 

 

 

  

   

    

 

U0 d U d b



A introdução da lâmina faz com que a energia potencial do sistema diminua.

(c) Por definição, o trabalho realizado pela força elétrica vale:



0



0

W    U U U U U

 

²

 

²

2 2 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

A A

W C V CV E d E d b

d d b

 

   

           

 

2 2

0 0 0 0

1 1

2 2

W   AE d  AE db

 

0 0

2 0

W _ AE E _d_ d_b _

 

0 0

2 0

W _ AE E b

(1) Chamando-se de  a densidade de cargas em cada placa do capacitor, o campo elétrico E₀ valerá:

0

0 0

E q

A



 

  (2)

0AE0 q

  (3)

2 W q q b

 A



(22)

O trabalho realizado por uma força externa é o negativo desse trabalho:

2 ext

2 0

W W q b

 A

   

Quando a lâmina de cobre começa a ser introduzida no espaço entre as placas do capacitor, as cargas já existentes na s placas polarizam a extremidade da lâmina e as cargas induzidas são atraídas para dentro do capacitor. Como as cargas induzidas estão presas na lâmina, esta também é atraída para dentro do capacitor. Logo, a força externa precisa puxar a lâmina para fora das placas para neutralizar a força de atração e manter constante a velocidade de entrada da placa de cobre. A atração da lâmina pelas placas e sua aproximação, fazem com que a energia potencial do sistema diminua, como revelou o resultado do item (b).

54. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos diferentes, como mostra a Fig. 36.

Mostre que o valor de sua capacitância é dado por

0 1 2

2

e e

C A d

   

  

Verifique a correção deste resultado em todos os casos particulares que você for capaz de imaginar. (Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois capacitores ligados em paralelo?)

Quando o capacitor acima for carregado, toda a superfície de cada placa deve estar no mesmo potencial, uma vez que cada placa estará conectada diretamente à fonte de potencial. Isto implica em que a área das placas que envolverem o dielétrico 1 terá carga q1 e capacitância C1 e a área das placas que envolverem o dielétrico 2 terá carga q2 e capacitância C2.

1 0 2 0

1 2

0 0

C V C V q q

C C C

V V



    

Note que a expressão acima corresponde a uma associação de capacitores em paralelo.

 

0 0 0

1 2 1 2

2 2 2

C C C

C    

Na expressão acima, C0 é a capacitância do capacitor sem os dielétricos presentes.

 

0

1 2

2 C A

d

  

 

55. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos, como mostra a Fig. 37. Mostre que o valor de sua capacitância é dado por

0 1 2

1 2

2 _e _e

e e

C A d

  

 

 

   

Verifique a correção deste resultado para todos os casos particulares que for capaz de imaginar.

(23)

(Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois capacitores ligados em série?)

O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância, em que q₀ é a carga nas placas do capacitor e V é a diferença de potencial entre as placas:

q0

C V (1)

Ao longo do dielétrico 1, a diferença de potencial é V₁ e o campo elétrico é E₁. Ao longo de 2, V₂ e E2. Logo, a diferença de potencial vale:

0 0 0

1 2 1 2

1 1

2 2 2 2 2

E E E d

d d d d

V V V E E

   

 

         

 

Na equação acima, E0 é o campo elétrico entre as placas sem os dielétricos.

0 1 2

1 2

2

V V  

 

  

  

  (2)

0 1 2 1 2

0

0 1 2 1 2

2q 2

C C

V

   

   

      

Nas equações acima, C₀ é a capacitância do capacitor sem as camadas de dielétrico e V₀ é a diferença de potencial entre suas placas. Logo:

0 1 2

1 2

2 A

C d

  

 

 

   

Esta expressão é a mesma que será obtida se considerarmos que o capacitor do problema é uma associação em série de capacitores C1 e C2, que possuem dielétricos 1 e 2, respectivamente.

56. Qual é a capacitância do capacitor da Fig. 38? A área de armadura é A.

(24)

Considerando-se o resultado dos Problemas 54 e 55, podemos considerar o capacitor acima como uma associação de capacitores C1, C2 e C3, sendo que C2 e C3 estão em série e C1 está em paralelo com C₂₃, que é o capacitor equivalente à associação de C₂ e C₃. Logo:

1 23

CC C (1)

A capacitância C1 vale:

1 0

1 0 1

2

2 4

A C A

d d

  ^{ }^{ }_{ }  

  (2)

A capacitância da associação C23 vale:

2 0 3 0

2 3 0 2 3

23

2 0 3 0

2 3 2 3

2 2

2

2 2

A A

C C d d A

C C C A A d

d d

   

  

     

  

    

  

       

(3)

1 0 0 2 3 0 1 2 3

2 3 2 3

4 2 2 2

A A A

C d d d

        

   

   

        

0 2 3

1

2 3

2 4

C A d

   

 

 

    

59. Duas placas paralelas de área igual a 110 cm² possuem cargas de sinais opostos e módulo igual a 8,9  10^7C. A intensidade do campo elétrico no interior do material dielétrico que preenche o espaço entre elas é de 1,4  10⁶ V/m. (a) Calcule o valor da constante dielétrica do material. (b) Determine o valor da carga induzida em cada superfície do dielétrico.

(a) A constante dielétrica  é dada pela razão entre o campo elétrico entre as placas sem a presença do dielétrico, E0, e o campo no interior do dielétrico, E:

E0

  E

O campo sem o dielétrico vale:

0 0

E q

A



 

 

Logo:

 

   

7 0

12 4 2 6

0

8,9 C

6,5301

8,85 F/m 110 m 1, 4 V/m

q

 AE





 

   

  

 6,5

(b) Considere a aplicação da lei de Gauss ao capacitor com o dielétrico, de acordo com o esquema abaixo:

(25)

0 d q0 q'





^E ^A 

0EA q0 q'

  



⁷

 

¹²



⁶



⁴ ²



0 0

' 8,9 C 8,85 F/m 1, 4 V/m 110 m

q  q  EA ^  ^  ^ ' 7,5371 7 C

q  ^ ' 0, 75 C q  

61. Um capacitor tem armaduras paralelas cuja área é de 0,118 m² e estão separadas por 1,22 cm.

Uma bateria carrega as armaduras até que a diferença de potencial entre elas seja 120 V, sendo então desligada. Uma placa de dielétrico, de espessura de 4,30 mm e constante dielétrica 4,80, é então colocada simetricamente entre as armaduras do capacitor. (a) Ache a capacitância antes da introdução do dielétrico. (b) Qual a capacitância após introduzirmos o dielétrico? (c) Qual o valor da carga livre q antes e depois da introdução do dielétrico? (d) Qual o campo elétrico no espaço entre as armaduras e o dielétrico? (e) Qual o campo elétrico no interior do dielétrico? (f) Com o dielétrico colocado, qual a diferença de potencial entre as armaduras? (g) Qual o

trabalho externo realizado no processo de inserir o dielétrico?

(a) A capacitância C0 antes da introdução do dielétrico vale:

  

 

12 2

0 11 0

8,85 F/m 0,118 m

8,5598 F

0, 0122 m C A

d

 ^^ _

   

0 85, 6 pF C 

(b) Ver adiante.

(c) A carga livre q0 nas placas, antes da introdução do dielétrico, vale:



¹¹

 ^ ^

⁸

0 0 0 8,5598 F 120 V 1, 0271 C

q C V  ^  ^

0 10,3 nC q 

Como o capacitor estava desconectado da bateria quando o dielétrico foi introduzido, não há mudança na quantidade de carga nas placas do capacitor. Seja q a carga após a introdução do dielétrico. Logo:

10,3 nC q





+q⁰ q⁰





 E

 +q’

q’