NOÇÕES DE GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS

NOÇÕES DE GEOMETRIAS

NÃO EUCLIDIANAS

Contato

E-mail: karolina.barone@yahoo.com.br

Site (material): no Google digite “Professora

Karolina Barone”

Programa

1. Introdução histórica

2. Indicação de bibliografia

3. Geometria da superfície esférica 3.1 Diretrizes Curriculares

3.2 Atividades

3.3 Discussão das atividades

1. Introdução histórica

As DCE’s (PARANÁ, 2008, p. 55) propõem para o Ensino Fundamental e Médio o conteúdo estruturante Geometrias, que se desdobra em geometria plana, geometria espacial, geometria analítica e noções básicas de geometrias não euclidianas.

O que são geometrias não euclidianas? Como elas

surgiram?

Para responder estas perguntas temos que

nos voltar para o grego Euclides de Alexandria e

sua obra Os elementos (c. 300 a.C.).

Postulados no início do Livro I de Os elementos (EUCLIDES, 2009, p. 98):

1. Fique postulado traçar uma reta a partir de

todo ponto até todo ponto.

2. Também prolongar uma reta limitada,

continuamente, sobre uma reta.

3. E, com todo centro e distância, descrever

um círculo.

4. E serem iguais entre si todos os ângulos

retos.

5. E, caso uma reta, caindo sobre duas, faça os ângulos interiores e do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, elas se encontrarão no lado no qual estão os ângulos menores que dois retos.

m + n < 180° à

direita  encontro

Quinto postulado nos livros didáticos

Por um ponto fora de uma reta passa uma única paralela à reta dada.

John Playfair (1748 – 1819)

O quinto postulado é frequentemente chamado apenas de postulado das paralelas, embora a palavra “paralela” não apareça em sua formulação original e sim na definição 23, de Os elementos, no Livro I.

“Paralelas são retas que, estando no mesmo

plano, e sendo prolongadas ilimitadamente em

Tomei (2003, p. 97) afirma que o postulado das paralelas “está entre as frases que mais provocaram reflexão em toda a História”.

Segundo Barbosa (2009, p. 7), há “evidências

históricas de que o quinto postulado se tornou o principal

alvo de crítica aos Elementos ainda no tempo de

Euclides”.

1. “Mesmo em uma leitura superficial, o

quinto postulado apresenta-se muito diferente dos

demais, até pelo seu tamanho” (BARBOSA, 2009,

p. 7). O mesmo é observado por Davis e Hersh

(2013).

2. Adiamento da utilização do quinto postulado. Ele só foi requerido em uma demonstração a partir da proposição 29 do Livro I (ROBOLD, 1992).

Proposição 29, I. Quando uma reta corta duas

paralelas, formam-se ângulos correspondentes

3. O recíproco do quinto postulado, “A soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que dois ângulos retos” foi provado por Euclides como um teorema. Supunha-se que o postulado também fosse um teorema (ROBOLD, 1992).

Quinto postulado

Seja qual for a razão das críticas, o fato é que desde a época de Euclides muitos tentaram provar o quinto postulado, acreditando que fosse um teorema.

Algumas tentativas: Ptolomeu (c. 85 - 165),

Proclus (410 - 485), Nasiredin (1201 - 1274), John

Wallis (1616 - 1703), Gerolamo Saccheri (1667-

1733), John Heinrich Lambert (1728 -1777) e Adrien

No início do século XIX, matemáticos ainda

tentavam provar o postulado das paralelas, entre

eles os envolvidos no desenvolvimento do que

viria a ser denominado de geometrias não

Barbosa (2009) afirma ter sido Gauss o

primeiro a designar a nova geometria que estava

estudando de não euclidiana.

Segundo Barbosa (2009, p. 38), em uma

carta escrita a Taurinos em 1824, Gauss conta

que há 30 anos vinha refletindo sobre a situação

em que a soma das medidas dos ângulos internos

de um triângulo seria menor que 180°.

Ele afirma que essa possibilidade leva a uma geometria curiosa, diferente da euclidiana mas totalmente consistente, e que os teoremas dessa geometria parecem, para um não iniciado, absurdos.

Gauss pede sigilo a Taurinos e diz que, no futuro,

caso tivesse mais tempo, poderia divulgar suas

investigações.

A falta de tempo seria o único motivo para Gauss não publicar suas descobertas?

Na época, a filosofia de Kant, cujas idéias se

apoiavam na geometria euclidiana, até então tida como

verdade absoluta, havia sido absorvida pela Igreja

Romana e devido à Inquisição, qualquer manifestação

contrária à filosofia dominante poderia ser perigosa.

Um outro matemático estava realizando estudos parecidos com os de Gauss. Era Johann Bolyai, filho de Wolfgang Bolyai, amigo de Gauss.

Wolfgang e Gauss tentavam provar o quinto

postulado ainda em 1799.

Por volta de 1820, Johann Bolyai começou a obter resultados interessantes ao substituir o quinto postulado por uma afirmação que lhe fosse contrária. Ao negar o quinto postulado (versão de Playfair), dois casos devem ser considerados:

I. Não existe qualquer paralela a uma reta dada, passando por um ponto fora dessa reta.

II. Existe mais de uma paralela a tal reta passando pelo ponto dado.

Bolyai estudou o segundo caso.

Primeiro modelo

matemático para o caso II:

pseudoesfera, desenvolvido pelo

matemático italiano Eugênio Beltrami. Na figura, L

e L

são paralelas à L

.

Modelos planos para o caso II: disco de

Poincaré (1854 – 1912) e o disco de Klein

(1849 – 1925). No disco de Poincaré abaixo, L

e

L

são paralelas à L

.

Soma dos ângulos internos de um triângulo

no disco de Poincaré (software NonEuclid)

Trajetória de Bolyai (BARBOSA, 2009)

I. 1823: carta para o pai relatando suas descobertas, que só seriam publicadas em 1832, como um apêndice de uma obra de Wolfgang.

II. 1831: Wolfgang envia uma carta a Gauss,

III. 1832: Gauss toma conhecimento do

trabalho de Bolyai e escreve uma carta a

Wolfgang dizendo que quase tudo o que Johann

havia descoberto, ele já sabia, resultado de 35

IV. 1848: Bolyai fica sabendo que o crédito

pela descoberta da nova geometria devia ser

dividido com outra pessoa, Lobachevski, que

havia publicado seus estudos sobre geometria

hiperbólica em 1829-1830!

12 anos depois, falece Bolyai.

Apenas três pessoas compareceram ao seu enterro.

O registro de sua morte na igreja dizia apenas: "Sua vida passou inutilmente".

Ele deixou mais de 20.000 páginas de

manuscritos de trabalhos sobre matemática.

Trajetória de Lobachevski (BARBOSA, 2009)

I. 1826: palestra na Universidade de Kasan sobre uma nova geometria.

II. 1829-1830: primeira publicação sobre

geometria não euclidiana (no Kasan Bulletin).

III. 1840: publica seus estudos em alemão.

IV. 1841: Gauss toma conhecimento das

pesquisas de Lobachevski e afirma que os

resultados publicados já eram conhecidos por ele,

mas tinham sido demonstrados por métodos

diferentes.

V. 1855: escreve uma obra em francês.

VI. 1856: morre sem reconhecimento.

VII. 10 anos após sua morte: reconhecimento

de seu trabalho e do de Bolyai, devido a duas

As descobertas de Gauss, Lobachevski e

Bolyai mostraram que o quinto postulado de

Euclides era independente dos demais, ou seja,

era impossível “demonstrá-lo” com base nos quatro

anteriores. Assim, era possível construir um sistema

de afirmações geométricas consistentes, a partir de

um conjunto de axiomas no qual o postulado das

paralelas é substituído por um postulado contrário

Uma visão global da geometria, em

espaços de dimensão qualquer, seria

proporcionada em meados de 1851, pelo

matemático alemão Riemann, que teve Gauss

como orientador.

Uma das negações do quinto postulado de

Euclides, vista anteriormente e chamada pelas

DCE’s de postulado de Riemann, “Não existe

qualquer paralela a uma reta dada, passando por

um ponto fora dessa reta”, pode ser observada na

geometria da superfície esférica, um caso

particular da geometria estudada pelo alemão.

William Clifford (1845-1879), um geômetra que foi o

primeiro tradutor da dissertação de Riemann para o

inglês, notou o potencial da geometria riemanniana para

descrever fenômenos físicos, o que seria confirmado

mais tarde por Einstein (1879-1955), que percebeu na

geometria de Riemann a linguagem matemática

necessária para sua teoria da relatividade (O’SHEA,

2009).

Mesmo não tendo mencionado

explicitamente a geometria não euclidiana em

seus trabalhos, Riemann propiciou que essa

geometria fosse trazida para a “corrente

dominante do pensamento matemático” e a fez

parecer tão natural quanto a euclidiana

(O’SHEA, 2009, p. 133).

Geometria e Geometria Euclidiana

não são sinônimos!

Uma definição de

geometria não euclidiana

De acordo com Robold (1992, p. 45),

Pela expressão “geometria não euclidiana”

entendemos um sistema geométrico construído sem

a ajuda da hipótese euclidiana das paralelas e

Negação do V postulado

Mais de uma paralela Geometria hiperbólica

Nenhuma paralela

Bolyai Gauss

Lobachevski

Resumo

O estudo da Geometria Não Euclidiana não traz mais aos estudantes do que cansaço, vaidade, arrogância e imbecilidade. O espaço Não Euclidiano é a falsa invenção dos demónios, que prazenteiramente ocupam os pensamentos obscuros dos Não Euclidianos com falsos conhecimentos. Os Não Euclidianos, tal como os sofistas, parecem não se aperceber de que os seus pensamentos passaram a ser obscurecidos pelos estímulos dos espíritos malignos.

1866

Outras geometrias não euclidianas

Na literatura, de modo geral, entende-se por geometrias não euclidianas aquelas que surgiram devido a discussões acerca do quinto postulado de Euclides. É comum que apenas a geometria hiperbólica e a elíptica (ou da superfície esférica) sejam chamadas de não euclidianas.

Porém, outras geometrias também recebem tal

Isso pode ser verificado, inclusive, nas

DCE’s, que entendem como geometrias não

euclidianas, além das já comentadas, a geometria

projetiva, a geometria topológica e a geometria

dos fractais (PARANÁ, 2008, p. 56-57).

GEOMETRIA PROJETIVA

GEOMETRIA TOPOLÓGICA

GEOMETRIA DOS FRACTAIS

Alguns autores como Krause (1975), Kaleff e

Nascimento (2004), Miranda, Barroso e Abreu

(2005) e Noronha (2006) também chamam de

geometria não euclidiana a geometria do taxista,

que utiliza como espaço uma malha quadriculada.

2. Indicação de bibliografia

(nível iniciante)

Assuntos:

geometria hiperbólica e da superfície esférica.

Preço: 34 reais + frete

Assuntos: alguns capítulos sobre geometria da

superfície esférica, projetiva,

topológica e fractal.

Contém capítulos que

tratam de geometria

hiperbólica, elíptica,

projetiva e topológica.

Apresenta um capítulo intitulado

“Geometria não euclidiana”.

Contém um capítulo intitulado “Geometria

não euclidiana”.

Contém um capítulo intitulado “Geometrias

não euclidianas”.

Contém um capítulo intitulado

“Além de Euclides”.

Contém um capítulo intitulado

“Geometrias diversas

– plana e fantasia”.

I. Periódicos: https://sites.google.com/site/

professorakarolinabrdasilva/periodicos

II. Dissertações e teses:

(a) http://bdtd.ibict.br/ (Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações)

(b) http://bancodeteses.capes.gov.br/

Referências

BARBOSA, J. L. M. Geometria hiperbólica. 5. impr.

Rio de Janeiro: IMPA, 2009. (Publicações Matemáticas)

COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é matemática?

Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.

COUTINHO, L. Convite às geometrias não

DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática.

Lisboa: Gradiva, 2013.

DE MAIO, W.; CHIUMMO, A. Geometrias: geometrias analítica e vetorial: euclidianas e não euclidianas. Rio de Janeiro: LTC, 2008. (Fundamentos de Matemática).

EUCLIDES. Os Elementos. Tradução: Irineu Bicudo. São Paulo: Editora UNESP, 2009.

EVES, H. Geometria. São Paulo: Atual, 1992. (Tópicos

de história da matemática para uso em sala de aula)

GARBI, G. A Rainha das Ciências. São Paulo:

Livraria da Física, 2006.

GREENBERG, M. J. Euclidean and non-euclidean geometries: development and history. 3. ed. San Francisco, CA: W. H. Freeman, 1994.

JANOS, M. Matemática para pais (e) interessados:

volume 2: geometrias. São Paulo: Livraria da Física,

KALEFF, A. M.; NASCIMENTO, R. S. Atividades introdutórias às geometrias não euclidianas: o exemplo da geometria do táxi. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, n.

44, 2004, p. 11-42. Disponível em:

<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/00 00011892.pdf>. Acesso em: 16 set. 2014.

KASNER, E.; NEWMAN, J. Matemática e imaginação.

Rio de Janeiro: Zahar, 1968.

MIRANDA, D. F.; BARROSO, L. C.; ABREU, J. F. Geometria táxi: uma geometria não euclidiana descomplicada. In:

ENCONTRO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DE OURO PRETO, 3., 2005, Ouro Preto.

NORONHA, C. A. As geometrias urbana e isoperimétrica:

uma alternativa de uso em sala de aula. 2006. Tese (Doutorado em Educação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

O’SHEA, D. A solução de Poincaré: em busca da forma do

universo. Rio de Janeiro: Record, 2009.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica:

Matemática. Curitiba: Secretaria de Estado da Educação do Paraná, 2008.

ROBOLD, A. I. Geometria não euclidiana. In: EVES, H.

Geometria. São Paulo: Atual, 1992. p. 45-47. (Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula)

SILVA, K. B. R. Noções de geometrias não euclidianas:

hiperbólica, da superfície esférica e dos fractais. 1. ed.

Curitiba: CRV, 2011.

TOMEI, C. Euclides – a conquista do espaço. São Paulo:

DCE’s (PARANÁ, 2008, p. 57)

Desenvolvimento histórico; postulado de Riemann;

curva na superfície esférica; conceito de geodésia;

círculos máximos e círculos menores; distância na superfície esférica; ângulo esférico; triângulo esférico;

classificação dos triângulos esféricos; conceitos

referentes à superfície da Terra, como pólos, Equador,

meridianos, paralelos e as direções de movimento.

Atividade 1 – Distâncias

a) De posse de um mapa-múndi, de um globo terrestre e de fita adesiva colorida, trace, nos dois objetos, a menor distância percorrida por um avião que sai de Brasília e vai para Lisboa.

Compare as representações.

Resolução da atividade 1 (a)

1. No mapa-múndi: a distância é dada por um segmento de reta.

2. No globo terrestre: a distância é dada por

um arco de circunferência (ou segmento

Zanella (2013, p. 100) sugere utilizar um aplicativo gratuito desenvolvido por pesquisadores da Universidade Federal Fluminense, para trabalhar com o globo terrestre de forma dinâmica.

Para mais informações sobre o aplicativo, acesse:

http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2006.

b) Partindo de certo ponto da Terra, um

caçador andou 10 km para o sul, 10 km para o

leste e 10 km para o norte, voltando ao ponto de

partida. Ali encontrou um urso. De que cor é o

urso? Represente a trajetória do caçador e

identifique a figura formada (atividade adaptada de

Barco (1989)).

Resolução da atividade 1 (b)

1. Pensamento euclidiano plano: o caçador

não consegue voltar ao ponto de partida. Forma-

se uma linha poligonal.

2. Pensamento “esférico”: o urso é branco, pois o caçador sai e volta para o Pólo Norte.

Forma-se um triângulo esférico.

Atividade 2 – Retas e ângulos

Na superfície esférica, geodésicas são

circunferências máximas, ou seja, aquelas com o

mesmo diâmetro da esfera. Elas podem ser obtidas

considerando a circunferência correspondente à

seção plana da esfera, que passa pelo seu centro.

a) Você conhece algum conceito da

geografia que se relacione com geodésicas?

Conclusão

Na superfície da Terra existem apenas dois

tipos de retas esféricas: a linha do equador e os

meridianos.

Alguns autores definem meridiano a partir de semicircunferência ou semicírculo (COUTINHO, 2001) e outros com base em circunferência ou círculo (DOLCE e POMPEO, 1974; JANOS, 2011).

No primeiro caso, a circunferência máxima só seria

obtida ao considerar a união do meridiano com o

antimeridiano correspondente, isto é, com a

semicircunferência “oposta” ao meridiano.

b) Utilize fitas adesivas de cores diferentes para representar duas retas distintas na superfície terrestre.

1. Em quantos pontos elas se cruzam? O mesmo ocorreria na geometria euclidiana plana?

Por quê?

Resolução da atividade 2 (b. 1)

1. As retas esféricas se cruzam em dois pontos, diametralmente opostos (antípodas).

Interseções entre

Interseções entre

meridianos

Na geometria euclidiana plana, duas retas,

quando se cruzam, o fazem em apenas um ponto

(retas concorrentes).

2. As duas retas esféricas do exercício anterior formaram ângulos. Quantos? Como poderíamos defini-los? (Sugestão: baseie-se na definição de ângulo euclidiano).

Ângulo (euclidiano): figura formada pela

união de duas semi-retas de mesma origem.

Resolução da atividade 2 (b. 2)

2. As duas retas formam oito ângulos, que

poderiam ser chamados de ângulos esféricos.

Definição (ângulo esférico): figura formada

pela união de dois arcos de circunferência

máxima, que se cruzam.

3. Você sabe quanto mede o ângulo formado

pela interseção de um meridiano com a linha do

equador? Na geometria da superfície esférica, a

medida de um ângulo é a mesma do ângulo

euclidiano plano formado pelas tangentes aos

lados do ângulo esférico, que passam pelo vértice

deste último (COUTINHO, 2001, p. 83).

A interseção de um meridiano com a linha do equador forma 90º.

Para verificar isto, construa um instrumento de medição de ângulo com o auxílio de dois canudos e um alfinete.

Resolução da atividade 2 (b.3)

c) Na geometria euclidiana plana, dois pontos distintos determinam quantas retas distintas? E na geometria da superfície da Terra?

Geometria euclidiana: uma única reta (postulado 1).

Geometria da superfície da Terra: infinitas

(meridianos), caso os pontos sejam os pólos e uma

Pólo Norte

Infinitas

Apenas uma (linha do equador)

Apenas uma (um dos meridianos)

d) O quinto postulado de Euclides é válido na geometria da superfície da Terra?

Não é válido. Considere por exemplo, a linha do equador e um ponto fora dela (um dos pólos).

Por este ponto não passa reta paralela à linha do

equador, já que duas retas esféricas sempre se

cruzam.

Quinto postulado de Euclides (nos livros didáticos): por um ponto fora de uma reta passa uma única paralela à reta dada.

Postulado de Riemann: por um ponto fora

de uma reta não passa paralela à reta dada.

e) Sejam X e Y dois pontos distintos. Em quantas parte eles dividem:

a) uma reta euclidiana?

b) uma reta esférica?

Resolução da atividade 2 (e)

a) Reta euclidiana: 3 partes, sendo 2 semi-

retas e um segmento de reta.

Resolução da atividade 2 (e)

b) Reta esférica: 2 partes (dois arcos de

circunferência)

Atividade 3 - Triângulos

a) Na superfície da Terra, é possível obter

um triângulo com dois ângulos retos? Explique.

Resolução da atividade 3 (a)

Suponhamos que P seja um pólo, e A e B pontos

distintos sobre a linha do equador. Da Geografia,

sabemos que existe um meridiano que passa por P e A,

outro que passa por P e B, e que os meridianos são

perpendiculares à linha do equador (MENDONÇA,

2005). Logo, o triângulo esférico PAB tem ângulos retos

nos vértices A e B. Este triângulo é chamado de

P

A

B

b) É possível obter um triângulo com três ângulos retos, tendo um vértice no Pólo Norte? Explique.

Sejam A e B pontos distintos sobre a linha do

equador, tais que A está sobre o meridiano de

Greenwich e B sobre o meridiano a 90º graus deste. O

triângulo resultante é chamado de trirretângulo e é

ilustrado na figura a seguir.

P

A

B

c) O triângulo do item (b) parece ocupar qual porção da superfície esférica?

1/8

d) Qual é a soma dos ângulos internos dos triângulos dos itens (a) e (b)? O mesmo acontece na geometria euclidiana?

Item (a): mais de 180°.

Item (b): 270°.

e) É possível obter um triângulo com soma dos ângulos internos maior que 270°? Explique.

Observe o triângulo trirretângulo. O ângulo do pólo pode ser aumentado até ficar próximo de 180°. Assim, obteríamos um novo triângulo esférico, cuja soma dos ângulo internos seria aprox. 90° + 90° + 180° = 360°.

Obs: Ele ocupa aprox. 2/8 da superfície esférica.

A

B C

f) É possível obter um triângulo com soma dos ângulos internos igual a 810°? Explique.

Sim. Basta observar o triângulo trirretângulo. Seus vértices determinam um outro triângulo, que tem os mesmos lados que o triângulo do item 3 (b), porém cada ângulo interno mede 360° - 90°

= 270°. Logo, a soma dos ângulos internos do novo triângulo será

3 · 270° = 810°.

Para facilitar, pense na área determinada por cada um dos triângulos. Em rosa está a área determinada

pelo triângulo de ângulos internos iguais a 270°.

g) O triângulo do item (f) parece ocupar qual porção da superfície esférica?

Da forma como o triângulo foi construído é

fácil ver que ele ocupa 7/8 = 1 – 1/8 (ver item (c))

da superfície esférica.

h) A maior soma possível para os ângulos internos de um triângulo esférico é 810°? Explique.

Não. Considere um triângulo birretângulo, cujo ângulo

não reto mede aproximadamente 0°. Como em (f), seus

lados determinam outro triângulo, que tem dois ângulos

internos medindo 270° e um medindo aproximadamente

360°. A soma dos ângulos internos do novo triângulo será

aproximadamente 2 · 270° + 360° = 900°.

Aumenta p/ aprox. 360°

90° 270°

270° 90°

Diminui p/ aprox. 0°

i) Na geometria euclidiana há relação entre a área do triângulo e a soma de seus ângulos internos? E na geometria da superfície esférica?

Justifique.

Geometria euclidiana: não há relação, já

que Área = (base · altura) / 2.

Geometria da superfície esférica: quanto

maior a soma dos ângulos internos do triângulo,

j) Considere o triângulo esférico ABC destacado na

figura a seguir, que é uma superfície esférica

qualquer, de raio r. Sejam A’, B’ e C’ pontos

antípodas de A, B e C, respectivamente. Prove que

a área desse triângulo e a soma de seus ângulos

internos (em radianos) se relacionam por meio da

expressão

ou, de forma equivalente,

esférico excesso

r

A





De acordo com Lima (2011), a validade da

expressão anterior foi demonstrada pelo

matemático francês Albert Girard, em 1629. Por

isso tal expressão ficou conhecida como fórmula

de Girard para triângulos esféricos.

De acordo com Contador (2008), Menelau de Alexandria (c. 100 d. C.), em sua obra Sphaerica apresenta a demonstração de um teorema que afirma que a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico é maior que 180°.

Apesar de Hiparco (190 – 126 a.C.) ter

realizado estudos sobre triângulos esféricos, a obra

de Menelau é considerada o primeiro trabalho

Dica: para a demonstração você vai precisar relembrar o que é um fuso esférico, sua área, bem como a área da superfície esférica.

A idéia é pensar em quantos fusos

esféricos são necessários para “cobrir” a

superfície esférica e depois desconsiderar as

Para ajudar na

visualização lembre dos gomos de uma tangerina.

Fuso esférico: parte da superfície esférica que se

obtém ao girar uma

semicircunferência de um ângulo  (em radianos)

8 fusos

Quantos fusos há na figura abaixo, que contêm os triângulos ABC e A’B’C’ e têm vértices em A, A’, B, B’, C e C’?

Dois AA’,

dois BB’ e

dois CC’.

Fusos AA’

Fusos BB’

Fusos CC’

Dos fusos anteriores, quantos contêm os triângulos ABC e

A’B’C’?

3 “visíveis”

(AA’, BB’ e CC’):

cada um contém

3 “invisíveis”

(AA’, BB’ e CC’):

cada um contém

Quantos fusos são necessários para

“cobrir” a superfície esférica?

Seis, sendo 3 “visíveis” e 3 “invisíveis”.

Na resposta anterior há sobreposição de

áreas?

Sim, as áreas dos triângulos ABC e A’B’C’ se repetem

3 vezes cada,

Como a área da superfície esférica

pode ser escrita em função das áreas

dos fusos e dos triângulos esféricos?

A

= 2  A

+ 2  A

+ 2  A

– 2  A

- 2  A

AA’

BB’

A

= 2  A

+ 2  A

+ 2  A

– 2  A

- 2  A



ou seja,



k) Utilize a expressão anterior, para confirmar resultados já obtidos (itens b e c).

Mostre, por exemplo, que o triângulo que ocupa

1/8 da superfície esférica tem 270° como soma de

seus ângulos internos.

Atividade 4 - Polígonos

No mínimo quantos lados pode ter um polígono na:

a) geometria euclidiana?

b) geometria da superfície esférica?

Resolução da atividade 4

a) 3 lados (triângulo).

b) 2 lados (biângulo), figura formada por

duas semicircunferências máximas (PATAKI,

2003). O fuso esférico pode ser encarado com um

biângulo.

Atividade 5 – Retas perpendiculares

a) Na geometria euclidiana plana, qual a

classificação de duas retas distintas que são

perpendiculares a uma terceira? O mesmo ocorre

na superfície esférica? Por quê?

Resolução da atividade 5 (a)

Geometria euclidiana plana: as retas são paralelas.

Geometria da superfície esférica: as retas

são “concorrentes”. Tome, por exemplo, dois

meridianos e a linha do equador.

b) A propriedade geral dos triângulos retângulos (teorema “de Pitágoras”) é válida na superfície esférica?

Não. Tome, por exemplo, o triângulo

trirretângulo. Os lados de um triângulo esférico

são medidos pelos ângulos subentendidos por

Assim, o triângulo trirretângulo tem 3 lados medindo 90° cada (COUTINHO, 2001) e não é verdade que

Lado PB Ângulo

subentendido

pelo lado PB

Título: Geometria Esférica

(As aventuras de Radix) Duração: 9 minutos

Disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=CCIE8Vaf3oI Acesso em: 16 set. 2014.

Mais informações:

http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1054

Título: A Geometria Não Euclidiana

(Tópicos de História da Matemática) Duração: 24 minutos e 26 segundos.

Disponível em:

http://www.youtube.com/watch?v=gqyY_vSQWEw

Título: Dimensions (Chapter 1) (legendado) Duração: 14 minutos e 10 segundos.

Disponível em:

http://www.youtube.com/embed/6cpTEPT5i0A?list=PL3C690 048E1531DC7

e também em

http://strato.impa.br/videos/Dimensions/EN/

Acesso em: 16 set. 2014.

Mais informações:

No início do vídeo há uma animação que

fornece uma boa revisão de meridianos, paralelos,

latitude e longitude.

Referências

BARCO, L. Geometria com urso e sem urso: colocando a matemática em xeque. Superinteressante. Mar. 1989. Disponível em:

http://super.abril.com.br/ciencia/geometria-urso-urso-colocando- matematica-xeque-438944.shtml. Acesso em: 16 set. 2014.

CONTADOR, P. R. M. Matemática, uma breve história. Vol. I. 3. ed.

São Paulo: Livraria da Física, 2008.

DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar 10: geometria espacial (posição e métrica). São Paulo: Atual, 1974.

LIMA, E. L. Meu professor de Matemática e outras histórias. 5. ed.

Rio de Janeiro: SBM, 2011. (Coleção do Professor de Matemática)

MENDONÇA, C. Entenda as coordenadas geográficas. 2005.

Disponível em: http://educacao.uol.com.br/geografia/ult1701u15.jhtm.

Acesso em: 16 set. 2014.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática.

Curitiba: Secretaria de Estado da Educação do Paraná, 2008.

PATAKI, I. Geometria esférica para a formação de professores: uma proposta interdisciplinar. São Paulo. 2003. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica, São Paulo.

ZANELLA, I. A. Geometria esférica: uma proposta de atividades

Orientanda do PDE (2012-2014)

Aluna: Joana Dark Mariano de Souza Orientador: Dirceu Pereira da Silva

Projeto: Geometria da superfície esférica:

um exemplo de geometria não-euclidiana para

alunos do Ensino Médio.

“... através da seleção natural a nossa mente se adaptou às condições do mundo externo. Adotou a geometria mais vantajosa para a espécie ou, em outras palavras, a mais conveniente. Geometria não é uma verdade, ela é vantajosa”.

Poincaré (apud JANOS, 2011, p. 393)