UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO MA1055 (geometria espacial) – prof. fernando j. o .souza POSTULADOS E PROPOSI ¸C ˜OES PARA CONSULTA v. 2.0 AXIOM ´ATICA ADOTADA objetos primitivos:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO MA1055 (geometria espacial) – prof. fernando j. o .souza POSTULADOS E PROPOSI ¸ C ˜ OES PARA CONSULTA v. 2.0

AXIOM ´ ATICA ADOTADA

objetos primitivos: pontos, retas, planos e, a rigor, o espa¸co (euclidiano).

rela¸ c˜ oes primitivas: incidˆencia (entre pares de objetos primitivos de ti- pos distintos), interposi¸c˜ao (entre triplas de pontos), congruˆencia de pares ordenados de segmentos de reta, e congruˆencia de pares ordenados de ˆangulos.

postulados (axiomas)

P0) Na geometria euclidiana plana, o plano incide a todos os pontos e todas as retas. Na geometria euclidiana espacial, o espa¸co incide a todos os pon- tos, todas as retas e todos os planos; e, para todo plano π, os axiomas e as proposi¸c˜oes da geometria euclidiana plana valem com as rela¸c˜oes primitivas do espa¸co (incidˆencia, interposi¸c˜ao, congruˆencia) restritas a π e aos pontos e retas (e objetos definidos a partir deles) sobre π.

P1) Dois pontos distintos A e B, existe uma ´ unica reta que incide a (passa por) ambos. Tal reta determinada por A e B ´e denotada por ←→

AB e por ←→

BA.

P2) Dada uma reta, existem dois pontos distintos sobre ela, e um ponto exterior a ela (ou seja, dois pontos distintos aos quais ela incide, e um ao qual ela n˜ao incide).

P3) Dados trˆes pontos n˜ao-colineares, existe um ´ unico plano incidente aos trˆes (que, assim, determinam tal plano).

P4) Dado um plano, existem trˆes pontos n˜ao-colineares sobre ele, e um ponto exterior a ele (ou seja, trˆes pontos n˜ao-colineares aos quais ele incide, e um ao qual ele n˜ao incide).

P5v1) Dados dois planos, se existe um ponto sobre ambos, ent˜ao existe ou- tro ponto sobre ambos (ou seja, se eles incidem a um mesmo ponto, ent˜ao incidem a algum outro em comum).

P5v2) Dado um plano, ele determina exatamente dois semi-espa¸cos.

Proposi¸c˜ ao TP5) Na presen¸ca dos postulados P0–P4, as duas vers˜oes do Postulado P5 acima se equivalem.

Obs.: O Postulado P5 estabelece a tridimensionalidade do espa¸co.

P6) Os axiomas e teoremas de congruˆencia da geometria euclidiana plana

estendem-se a pares de segmentos de reta, pares de ˆangulos, e pares de tri-

ˆangulos sobre planos distintos.

algumas proposi¸ c˜ oes (teoremas)

T1) Dados uma reta r e um plano π, se dois pontos distintos sobre r es- t˜ao sobre π, ent˜ao r est´a sobre π.

T2) Dados uma reta r e um plano π, um e apenas um dos seguintes casos de posi¸c˜ao relativa ocorre: ou r est´a sobre π; ou eles s˜ao secantes (transversais);

ou eles s˜ao paralelos.

T3) Dois pontos distintos est˜ao sobre, pelo menos, dois planos distintos.

T4) Uma reta e um ponto exterior a ela determinam um ´ unico plano.

T5) Duas retas concorrentes

determinam um ´ unico plano.

T6) Dadas duas retas no espa¸co, um e apenas um dos seguintes casos de posi¸c˜ao relativa ocorre: ou elas s˜ao coincidentes; ou eles s˜ao concorrentes; ou eles s˜ao paralelas; ou elas s˜ao reversas

.

T7) Dados um plano π, um pol´ıgono de n lados B sobre π, e um ponto V exterior a π, est´a determinada a pirˆamide de base B e v´ertice V .

T8) Dados dois planos distintos, se existe um ponto sobre ambos, ent˜ao existe uma ´ unica reta sobre ambos.

T9) Dados dois planos, um e apenas um dos seguintes casos de posi¸c˜ao re- lativa ocorre: ou eles s˜ao coincidentes; ou eles s˜ao secantes (transversais); ou eles s˜ao paralelos.

T10) Duas retas paralelas determinam um ´ unico plano.

T11) Um ponto exterior a uma reta r est´a sobre uma ´ unica reta paralela a r.

T12) Dadas trˆes retas r, s e t duas a duas distintas, (r//t ∧ s//t) = ⇒ r//s.

T13) Dados dois pares de retas concorrentes (a, b) e (c, d) tais que a//c e b//d, o ˆangulo entre a e b ´e congruente ao ˆangulo entre c e d.

T14) Dados um plano π, um paralelogramo ABCD sobre π, e um ponto E exterior a π, est´a determinado o paralelep´ıpedo de base ABCD e lado AE.

T15) Dados um plano π e uma reta r que n˜ao est´a sobre π, r ´e paralela a π se, e somente se, r ´e paralela a uma reta sobre π.

T16) Dados dois planos paralelos, cada um deles ´e paralelo a todas as retas sobre o outro.

1

Assumir a seguinte defini¸c˜ ao: Duas retas s˜ao concorrentes se, e somente se, incidem a um ´ unico ponto em comum (dito ponto de intercepta¸ c˜ ao das duas retas). Elas serem coplanares ser´a visto como parte da tese da Proposi¸c˜ ao T4.

2

Isto ´e, as duas n˜ ao est˜ ao sobre um mesmo plano, de modo que os outros trˆes casos

consistem das retas coplanares.

T17) Se um plano ´e paralelo a duas retas concorrentes sobre outro plano, ent˜ao estes planos s˜ao paralelos.

T18) Dados dois planos secantes ao longo da reta r, cada um deles ´e paralelo a todas as retas paralelas a r que est˜ao sobre o outro.

T19) Um ponto P exterior a um plano α est´a sobre um ´ unico plano β pa- ralelo a α. Al´em disto, todas as retas paralelas a α por P est˜ao sobre β, e todo ponto sobre β est´a sobre uma destas retas (´ unica se o ponto n˜ao ´e P ).

T20) Dados um plano π e uma reta r secante a π, r ´e secante a todo plano paralelo a π.

T21) Dados uma reta r e um plano π secante a r, π ´e secante a toda reta paralela a r.

T22) Dados dois planos α e β secantes segundo uma reta r, se um plano γ

´e paralelo a α, ent˜ao β ´e secante a γ segundo uma reta paralela a r.

T23) No espa¸co, h´a exemplos de todos os casos de posi¸c˜ao relativa entre ponto e reta, ponto e plano, duas retas, reta e plano, e dois planos.

T24) Dois segmentos de retas paralelas compreendidos entre dois planos pa- ralelas s˜ao congruentes.

T25) Dado um feixe de planos paralelos e duas retas concorrentes que s˜ao secantes ao feixe, este determina segmentos proporcionais sobre elas.

T26) Dados o plano α e a reta r perpendiculares, toda reta paralela a r ´e perpendicular a α.

T27) Dados o plano α e a reta r perpendiculares, todo plano paralelo a α ´e perpendicular a r.

T28) Duas retas distintas e perpendiculares a um mesmo plano s˜ ao paralelas.

T29) Dois planos distintos e perpendiculares a uma mesma reta s˜ ao paralelos.

T30) Se uma reta r ´e ortogonal a uma par de retas concorrentes sobre um plano α, ent˜ao r ´e perpendicular a α.

T31) Por um ponto no espa¸co, passa um ´ unico plano perpendicular a uma reta dada.

T32) Por um ponto no espa¸co, passa uma ´ unica reta perpendicular a um plano dado.

T33) Dois planos no espa¸co s˜ao perpendiculares se, e somente se, um deles cont´em uma reta perpendicular ao outro.

T34) Dados os planos perpendiculares α e β, e uma reta r sobre α, se r

´e perpendicular `a reta s ao longo da qual α e β se interceptam, ent˜ao r ´e perpendicular a β.

T35) Por uma reta n˜ao-perpendicular a um plano α passa um, e apenas um,

plano perpendicular a α.

T36) (O teorema mais geral sobre congruˆencia no espa¸co). Dados um na- tural n, duas figuras congruentes {A

}

e {B

}

(com n pontos cada), e um ponto A

, existe um ponto B

tal que as novas figuras {A

}

e {B

}

(com n + 1 pontos cada) s˜ao congruentes. Al´em disto, se uma das duas figuras dadas possui quatro pontos n˜ao-coplanares, ent˜ao B

´e ´ unico.

T37) Dados um ponto O (origem), uma classe de congruˆencia de segmen- tos de reta (unidade de comprimento) e trˆes semi-retas n˜ao-coplanares sr(O, A), sr(O, B) e sr(O, C) nesta ordem (eixos coordenados) de origem O, est´a determinado um ´ unico sistema de coordenadas para os pontos no espa¸co com origem, unidade e eixos (na ordem estabelecida) dados.

T38) Dados um ponto O (origem) sobre um plano α, uma classe de con-

gruˆencia de segmentos de reta (unidade de comprimento), duas semi-retas

perpendiculares sr(O, A) e sr(O, B) (eixos Ox e Oy, nesta ordem), e um se-

miespa¸co determinado pelo plano π

(para o eixo Oz), est´a determinado

um ´ unico sistema de coordenadas cartesianas (ortogonais) para os pontos no

espa¸co com origem, unidade e eixos (na ordem estabelecida) dados.