Campo magnético

Física 3 (EMB5043): Campo magnético

MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL

Prof. Diego Alexandre Duarte

Universidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville

Sumário

• Campo magnético

• Produzido por corrente

• Lei de Biot-Savart

• Lei de Biot-Savart

• Campo magnético produzido por fio infinito

• Campo magnético produzido por fio curvilíneo

• Campo magnético de uma bobina

• Força entre fios com correntes

• Canhão eletromagnético

• Lei de Ampère

• Fio longo percorrido por corrente

• Solenóide

• Toróide

• Resolução de problemas da Lista 9

Material para estudos

• Capítulo 29 do Halliday volume 3 e capítulo 8 do Moysés volume 3.

• Estudar os problemas da Lista 9 que está disponível em diegoduarte.paginas.ufsc.br.

Campo magnético

PRODUZIDO POR CORRENTE

Oersted descobre que fios com corrente produzem campo magnético, em 1819.

Apresenta o resultado em 1820 numa reunião da Academia de Ciências da França.

Hans Christian Oersted André-Marie Ampère

Ampère assiste a apresentação e inicia uma série de experimentos sobre o tema. Uma semana depois, descobre a atração magnética

entre fios com correntes no mesmo sentido.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Han s_Christian_%C3%98rsted

https://pt.wikipedia.org/wiki/And r%C3%A9-Marie_Amp%C3%A8re

Campo magnético

LEI DE BIOT-SAVART

Para calcular o campo magnético produzido por fio com corrente, usa-se a lei de Biot-Savart:

0

2

ˆ 4

ids r

dB r

µ π

= ×

em que ids é um vetor obtido a partir de uma reta tangente ao

Jean-Baptiste

Biot Félix Savart

https://brasilescola.uol.com.br /fisica/a-lei-biotsavart.htm

em que ids é um vetor obtido a partir de uma reta tangente ao elemento ds e com o mesmo sentido da corrente i. O vetor r é definido do elemento ds até o ponto onde deseja-se calcular o campo magnético. O vetor ids e o vetor r formam um ângulo θ entre si. Note que estes vetores são coplanares; logo, o campo magnético é perpendicular ao plano.

A constante μ₀ é chamada de permeabilidade magnética e indica o quão magnetizável é um dado meio:

7 1

0 4 10 T m A µ = π× ⁻ ⋅ ⋅ ⁻

Lei de Biot-Savart

CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR FIO INFINITO

0

2

ˆ 4

ids r

dB r

µ π

= ×

Para calcular o campo em P, usamos a lei de Biot-Savart:

em que r = s² + R² e :

( ) ( )

0 0

2 2 2 2

ˆ sin sin

4 4

ids r ids

dB s R s R

µ θ µ θ

π π

= =

+ +

ˆ 1 r =

O termo sin θ é dado pela relação de arco duplo:

( ) ( )

4π s +R 4π s +R

( ^o ) ( ^o) ^{( ) ( )} ( ^o)

sin 180 − =θ sin 180 cos θ −sin θ cos 180 =sinθ

2 2

sin R R

r s R

θ = =

+ ( )

0

2 2 32

4 dB iRds

s R

µ

= π

+

Logo: (1) que pode ser, então, representado por:

Lei de Biot-Savart

CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR FIO INFINITO

O campo magnético total em P é obtido a partir da integração da equação (1):

A integração desta equação é similar aos procedimentos estudados em aulas anteriores:

( )

0

2 2 32

4

iR ds

B

s R

µ π

+∞

−∞

=

∫ +

+∞

Os limites caracterizam um fio infinito

( ) ^{( )}

0 0 0

2 2 12

0

2 2 1 0 2

i s i i

B R s R R R

µ µ µ

π π π

+∞

= = − =

+

0

2 B i

R µ

= π

Lei de Biot-Savart

CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR FIO CURVILÍNEO

O campo magnético em C é dado por:

em que e r = R:

0

2

ˆ 4

ids r

dB r

µ π

= ×

ds ⊥ rˆ

µ₀ ids 4 2

dB ids

R µ

= π

O elemento ds representa o comprimento do arco de circunferência e, desta forma, podemos escrever

0 0 0

2 2

4 4 4

i i i

dB ds Rd d

R R R

µ µ µ

φ φ

π π π

= = =

0

4 B i

R µ φ

= π

Resolução de problemas

LISTA 9, PROBLEMA 2

O campo magnético é dado por:

em que e ds = dx; logo:

0

2

ˆ 4

ids r

dB r

µ π

= ×

ids

r

θ

• B

2 2

r = R + x

sin µ idx θ

ids

x ^{dB = 4µπ0} (^{idxR2 +sinxθ2})

O termo sin θ é dado por :

O campo magnético no ponto P₂ será:

2 2

sin R

R x

θ =

+ ( ) ( )

0 0

3/ 2 3/ 2

2 2 2 2

4 4

iR

iRdx dx

dB

R x R x

µ µ

π π

= =

+ +

( ) ( )

0 0

3/ 2 1/ 2

2 2 2 2

4 0 4

iR L dx i L

B R x R R L

µ µ

π π

= =

+ +

∫

Resolução de problemas

LISTA 9, PROBLEMA 2

Substituindo os valores, obtemos:

Podemos fazer o cálculo similar para determinar o campo magnético no ponto P₁:

( )

( )^{( )}

( )

( )

( ) ( )

7 0

1/2 1/ 2

2 2 2 2

4 10 0, 693 0,136

132 nT

4 4 0, 251 0, 251 0,136

i L

B R R L

µ π

π π

× −

= = =

 

+  + 

( ) ( )

2 2

0 0

3/ 2 3/ 2

2 2 2 2

2 0

4 2

L L

L

iR dx iR dx

B

R x R x

µ µ

π π

+ +

−

= =

+ +

∫ ∫

( )

( )

2

0 0 0

1/ 2 1/ 2 1/ 2

2 2 2 2 2 2

0

2 144 nT

2 2 2 4

4

L

i x i L i L

B R R x R R L R R L

µ µ µ

π π π

+

= = = =

+ + +

Função par

Resolução de problemas

LISTA 9, PROBLEMA10

O campo magnético é dado por:

e o módulo do campo magnético total produzido por uma bobina é:

r r

• ×

• ×

r

dB dB dB

T

r Vista frontal

0

2

ˆ 4

N ids r

dB r

µ π

= ×

θ

θ a/2

ids ids

• ×

ids ids dB_T = 2dBcosθ

O campo magnético produzido pelas duas bobinas é o dobro do campo produzido por uma. Assim:

o

0 0

2 3

ˆ sin 90

2 cos 2

T

ids r

N N iads

dB r r

µ µ

π θ π

 

 

=  =

a

em que cos θ = a/r e ^{r = a2 +}( )^a₂ ^{2 = a2 +}( )^a₂ ^{2 =  }_{  }⁵₄ ^{12 a}

Resolução de problemas

LISTA 9, PROBLEMA10

O elemento ds é integrado ao longo do perímetro da bobina:

3

32

0 0 0

3 3 2

2 3

4

2 2 5 5 2

4

T

r

N iads N iads N ids

dB r a

a

µ µ µ

π π π

 

= =      =   

r3

3 3

2 2

0 0

2 0

4 4

5 2 5 2

a T

Ni Ni

B ds

a a

µ π µ

π

   

 

= 

∫

3 3

2 2

0 0

4 4

ˆ ˆ

2 2

5 2 5

O T

Ni Ni

B B z z

a a

µ µ

    

    

= =    = 

Considerando as duas bobinas, obtemos o campo magnético produzido no ponto O:

Resolução de problemas

LISTA 9, PROBLEMA10 – ANÁLISE

• ×

r

dB dB dB

T

r Vista frontal

Considerando que o ponto está numa posição y qualquer ao longo do eixo y temos:

o

0 0

2 3

ˆ sin 90

2 cos 2

T

ids r

N Niads

dB r r

µ µ

π θ π

 

 

=  =

θ

θ z em que cos θ = a/r e . Logo:r = a² +z²

×

•

iL iL

θ z

a ( )

0 0

3 3

2 2 2

2 2

T

Niads Niads

dB r a z

µ µ

π π

= =

+ Similarmente ao caso anterior, obtemos (para uma bobina):

( ) ( )

2 0

2 2 32

2

z

B z Nia

a z

= µ

+

Resolução de problemas

LISTA 9, PROBLEMA10 – ANÁLISE

Para simular as figuras ao lado, foram consideradas as seguintes condições:

μ₀Ni/2 = 1 T·m a = 1,0 m

(T)

( ) ( )

2 0

2 2 32

2

z

B z Nia

a z

= µ

+

a = 1,0 m

Região de análise: −4,0 m ≤ z ≤ 4,0 m Distâncias de separação: 1,0 e 1,5 m

Lei de Biot-Savart

CAMPO MAGNÉTICO DE UMA BOBINA dB ∝ ids×rˆ

r × ids

dB

× r

ids

π/2

dB

r ×

ids dB

π

× r

ids

3π/2

dB dB

dB

dB

dB

ids

Força entre fios paralelos

Considerando que a distância de separação é muito menor que o comprimento dos fios, podemos assumir que o campo magnético que o fio a produz sobre o fio b é dado por:

0

2

a a

B i

d µ

= π

Pela regra da mão direita, podemos concluir que B está para baixo na região onde encontra-se z

x y

Pela regra da mão direita, podemos concluir que B_a está para baixo na região onde encontra-se o fio b. Como o fio b possui corrente i_b e está numa região com campo magnético B_a, sofrerá a atuação de uma força magnética F_ba:

Similarmente, o fio a sofre a atuação da mesma força:

0 0

2 2

a a b

ba b a b

i i i L F i LB i L

d d

µ µ

π π

= = =

0 0

2 2

b a b

ab a b a

i i i L F i LB i L

d d

µ µ

π π

= = = Observação:

- Correntes no mesmo sentido: atração - Correntes no sentido oposto: repulsão

i j

k +

−

Força entre fios paralelos

CANHÃO ELETROMAGNÉTICO

Resolução de problemas

LISTA 9, PROBLEMA 6

× B F1

As forças F₂ e F₄ são iguais; porém F₁ é maior que F₃:

em que o campo magnético produzido pelo fio superior é dado por:

( ) ( )

1 3 2 2

Fr = −F F = i LB a −i LB a+b

i₂

( ) ^{0 1i}

B y µ

= π

F2

F3

F4

com y representando a distância a partir do eixo. Logo:

( ) 2 B y = πy

( )

0 1 0 1

2 2

2 2

r

i i

F i L i L

a a b

µ µ

π π

 

   

=  −  + 

( )

( )( )( )( )

( )( )

0 1 2 1 1 0 1 2 0 30 20 0, 08 0,3

3, 2 mN

2 2 2 0, 01 0, 09

r

i i L i i bL

F a a b a a b

µ µ µ

π π π

 

=  − + = + = =

Lei de Ampère

James Clerk Maxwell

Considere uma região com correntes saindo do plano delimitadas por uma curva fechada:

0 env C

B ds⋅ = µ i

∫

em que i_env é a corrente envolvida

https://pt.wikipedia.org/wiki/James_Cler k_Maxwell

em que i_env é a corrente envolvida pela amperiana.

A lei de Ampère será utilizada para resolução de problemas simétricos, i.e., onde o campo magnético B é paralelo ao caminho de integração (1º passo) e não depende do caminho ds (2º passo). Logo:

em que s é o caminho total de integração.

0 0

env env

C

B ds Bds B ds Bs i B i

s µ µ

⋅ = = = = ∴ =

∫ ∫ ∫

Lei de Ampère

FIO LONGO PERCORRIDO POR CORRENTE – CAMPO EXTERNO

Considere um fio infinito com corrente i saindo do plano.

O campo magnético é dado pelo lei de Ampère:

O campo magnético produzido é paralelo e independente do elemento de integração ds. Logo:

0 env C

B ds⋅ =µ i

∫

do elemento de integração ds. Logo:

0i

B s

= µ

em que s representa o caminho total de integração, i.e., o perímetro do caminho:

0

2 B i

r µ

= π

Lei de Ampère

FIO LONGO PERCORRIDO POR CORRENTE – CAMPO INTERNO

A curva amperiana delimina parte da corrente que

atravessa o fio. Assumindo que a densidade de corrente é constante, a corrente envolvida é dada por:

Logo:

2

2 2 2

env

env

i i r

J i i

R r R

π π

= = ∴ =

Logo: ₂

0 env 0 2

C

B ds i i r

µ µ R

⋅ = =

∫

Assumindo as duas condições de simetria, obtemos:

( )

2 2

0 0 0

2 2 2

2 2

ir ir ir

B sR r R R

µ µ µ

π π

= = =

Lei de Ampère

FIO LONGO PERCORRIDO POR CORRENTE – ANÁLISE

( )

0

2 para 0 2

ir r R

R µ

 π ≤ ≤

( )  ²

0

2

para 2

B r R

i r R

r π

µ π

= 

 ≥



Lei de Ampère

SOLENÓIDE

0 0 0

b c d a

C a b c d

B ds B ds B ds B ds B ds

= = =

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Assumindo um solenoide extenso (comprimento muito maior que o diâmetro):

0

b b h

C a a

B ds⋅ = B ds⋅ = Bds = B ds = Bh

∫ ∫ ∫ ∫

Lei de Ampère

SOLENÓIDE

Assumindo um solenoide extenso (comprimento muito maior que o diâmetro):

0 C

B ds⋅ =Bh = µ Ni

∫

0

0

B Ni i

h

µ µ η

= =

em que η representa a densidade de espiras do solenóide (espiras/m).

Lei de Ampère

TORÓIDE

O campo magnético dentro do toróide é circular. Logo:

0 C

B ds⋅ = Bds = Nµ i

∫ ∫

considerando que o dispositivo possui N espiras.

*A corrente envolvida pela amperiana é Ni.

0 0

2

N i N i

B s r

µ µ

= = π

Resolução de problemas

LISTA 9, PROBLEMA 8

O elétron está em movimento circular devido a força magnética causada pelo campo magnético:

×

×

×

×

×

×

×

×

B

•v r

( )

2

0

qvB m v qv i

R µ η

= =

que fornece:

mv2 mv

×

×

× ×

×

×

×

×

×

×

× ²

0 0

mv mv

i = qvµ ηR = qµ ηR

Substituindo os valores do enunciado, obtemos:

( )( )

( )^{( )( )}

11 8

7

0, 57 10 0, 0460 3 10

0, 272 A 4 10 10000 0, 0230

i π

−

−

× × ×

= =

×

Dúvidas?

diego.duarte@ufsc.br Skype: diego_a_d

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