capítulo 1 Conceitos Fundamentais 1.1 Introdução Justificativa para a discussão do tema. Os sistemas de radiocomunicações têm experimentado contínuos

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capítulo

1 Conceitos Fundamentais

1.1 Introduçã o

J ustificativa paraadiscussã o do tema.Ossistemasde radiocomunicações tê m experimentado contínuos crescimentos científicos, tecnológicos e em suas inúmerasaplicações. Partindodas iniciativas pioneiras para o envio de mensagens

telegráficas, as transmissões empregando ondas de rádio passaram para os sistemas deradiodifusão sonora, para os

sistemasdedefesa, para ossistemas de telecomunicaçõesde elevada capacidade e chegaram à transmissão de imagens. Na busca por abrangê ncia maior,evoluíram para ascomunicaçõespor satélite, para a extraordinária ampliação da tele fonia móvel e para a gigantesca expansão da rede mundial decomputadores. Com aplicações crescentes, não seconse guemvisualizarlimites para novas conquistas. Desde as experiê ncias iniciais, identificaram-se as antenas para emissão

e captação da energia eletromagnéticacomo elementos de relevância para garantir a eficáciadas comunicações. Por

maisde cem anos, esses importantescomponentes tiveram incontáveisaperfeiçoamentose continuam evoluindopara se adaptarem às exigê ncias dasnovastecnologias.

Aspectos importantes, O estudo de antenas exigeconhecimentos dateoriaeletromagnética, dateoriade circuitoselétri cos e devários outrosconceitos da físicae da matemática.Por exemplo, oselementos paraaemissão da energia eletro magnética apresentampropriedadesquedeterminam influê ncias sobre sua fonte de excitação esobre as correnteselétri cas que circulam por eles. Nesta situação, pode incorporar o comportamento de um ou mais componentes de circuitos. Como consequê ncia deirradiar aenergiaparao espaço, aantena agecomo cargade uma linhadetransmissão ou de um guiade ondas. Portanto, exigeconhecimentos sobre a teoria de sistemascomelementos distribuídos e a transmissão de

energia em ambientes confinados. No relacionamento da corrente elétrica com as grandezas associadas ao campoele

tromagnéticosãonecessáriosconceitos que descrevem as leis físicas e matemáticas para quantificar a energia emitida

ou em suacapturado meio ambiente. Por estesmotivos,tornam-se úteis asabordagens de algumas dessas informações fundamentais para o projeto, aanálisee as aplicações de antenas.

1.2 Identificaçã o do campo eletromagnético

Combinaçã odeefeitos sobre umacargaem movimento. Serásuposta a atuação sobre umapartícula de massamuito

pequena contendo umacargaelétricapositivaí/,chamadacargadeprova, com seuvalor expresso em coulombs (C). A

naturezapositiva não érelevante para se interpretar o fenômeno, mas é uma referê ncia para analisaros acontecimentos de formamais completa. Por hipótese, a carga movimenta-se com velocidade conhecidaou que possa ser determinada. Porser uma grandeza vetorial, a velocidade deveser descrita pelo seu módulo, pela direção e seu sentido. Comosua massa é desprezível, eliminam-se os efeitos gravitacionais e se a cargaficar submetida a uma força, diz-se que oseu movimento está sofrendoinfluê ncia de um campoeletromagnético. (Figura1.1). A quantificação desse campo depende de sua origem, da distância acontar da fonte,de algumas características do meio, entre outrosfatores.

Regiã o de campo eletromagnético

Figura 1.1. Açã o de um campo eletromagnético sobre uma carga elétrica em movimento.

Grandezasrelacionadas aos efeitos elétricose magnéticos. Os fenômenosenvolvendoo campo eletromagnético obe

decem a leis experimentais, codificadas na segundametade do século X IX . Apresentam-se em forma de relações mate máticas deduzidas de ensaiosefetuados por diferentespesquisadores, como Faraday l,Biot2, Savart,3 Henry,4Ampè re, Coulomb 5, Gauss 6eoutros. Emgeral,asequações valem para grandezas variáveis ou não no tempo, isto é, sob condi ções estáticas oudinâmicas, em ambientes de dimensões macroscópicas. Seguindo esta restrição, supõe-se que um cor poeletrizadotenhacargascomdistâncias entre elas muitopequenas comparadas às dimensões do próprio corpo. Assim, interpreta-seovalor total comoestandodistribuídodeforma contínua na região. Para analisar os diversos fenômenos, serãoidentificadasas grandezas mais importantes associadas a eles a partir de outros conceitos conhecidos das leis da mecânica e do movimento. Inicialmente, supõe-se uma cargadeprova deslocando-se naregião de interesse. Comose definiu, essa carga deve serpontual, concentrada em umcorpo de massa muitopequena e de valor positivo. Conside-rando-adotada de umavelocidade v , a força resultantesobre ela édeterminadapor

7 = ^(ê + vx&) (1.1)

Conceitos Fundamentais 1

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conhecida como lei deLorentz ouforça de Lorentz ou aindalei do movimento de partículascarregadas: Foi pro

posta independentemente por Heaviside8 em1889, razào pela qual algunsautores defendem que a equação deveria

ser registrada como lei de Lorentz-Heaviside.

Como a forçanão inclui a interação gravitacional, significa que o movimentoocorreem um campo determinado pelas grandezas ê e b, sendo que o primeiro valor identifica o campoelétrico,emvolts por metro(V /m). A segundaparcelada

força está relacionada à velocidade e à grandeza conhecida como induçã o magnética ou densidadede fluxo magnético,

representadapelovetor b emedidaem teslas.9 Essas grandezascostumamser representadas também por letrasmaiúsculas, taiscomo É ou B . Esta notaçãoseráreservadaparaquandonãoocorrerem variações no tempoe as letrasminúsculaspara

campos variáveis no tempo, indicando os seus valores instantâneos. Da equação anterior, conclui-se que em uma carga

paradatem-sesomenteinfluê nciadocampoelétrico,definido pela relaçãoentreforçaea carga empregadanoteste:

Seu valor está associado à origem do campo, não depende da carga de prova e tem mesma direção e mesmosentido da

forçamedida no teste. A segunda parcela da força, associadaao movimento dacarga,correspondeaumefeitomagnético

fm~ Qv = qvbsenQü (1.3)

emque aoperação vxb= vbsenQ ú échamadaproduto vetorial. Seu resultado é um vetor perpendicular ao plano forma dopelos vetores originais. Aponta na direçãoperpendicular ao plano formado por eles, em umsentido que obedece à orientação dextrógira. Isto é, imaginando um parafuso de passo àdireita, quando forgirado do primeirovetor em direção ao segundo, o seu movimento longitudinal mostraa direção dovetorresultante. (Figura 1.2). De acordo com estaproposi ção,acomponentemagnéticadaforçaserámáximaquandoavelocidade for perpendicular àinduçãomagnéticaeserá nula quandoa partícula deslocar-separalelamentea ela.Na realidade,a formulação de(1.1)toma por baseadefiniçãodeque a direçãodainduçãomagnéticaé aquela paraa qual desapareceasua influê nciasobrea carga em movimento.10

Deslocamento

Figura 1.2. Grandezas e o resultado do produto vetorial para definir a induçã o magnética.

1.3 Sistemas de referê ncia

Necessidades eexigê ncias. Frequentemente, necessita-se indicar a posição de grandezas eletromagnéticas oudeoutra natureza e emprega-se uma oumais referê ncias a partirdas quais sãotomadas asmedidas. Por exemplo, sistematica menteé precisoinformar sobrea localização de um objeto, de uma casa, doponto de aplicação de uma força ou a dire ção de deslocamentode um automóvel e assim por diante. Todas essas grandezas devem ser referidas a um sistema que

permitasua descrição exatano espaço. Os procedimentos maiscomunsenvolvemas coordenadasretangulares ou car

tesianas, as coordenadas esféricas e as coordenadas cilíndricas. A escolha deumsistema é feita conforme asconve niê nciasde cada problema. Os números que indicam a posição de umponto no espaço com base nessas referê ncias são seus valores coordenadoseestão indicadosna Figura1.3.

Figura 1.3. Sistemas de coordenadas para fixaçã o de pontos no espaço, (a) Coordenadas retangulares ou car tesianas. (b) Coordenadas esféricas, (c) Coordenadas cilíndricas.

Sistemacartesiano. Naparte (zz) da Figura 1.3, o ponto Qédeterminado pelosvalores dex, yez, na sequê nciadextrógira direta. Isto é,no sentido do giro de um parafusoderoscaàdireita do eixo x emdireçãoaoeixo há um movimento longi tudinal na direção positiva de z,comona Figura 1.2. Os valores dex,yez são suascoordenadasretangulares ou cartesia nas. Naespecificação desse ponto indica-se Q(x,y, z),dandoosvalores das coordenadasna ordem que indica as projeções nos respectivos eixos. A distânciadeQatéaorigem do sistemaé fixada por r,conhecidocomoraiovetor ou vetor posiçã o doponto. Suaorigemcoincidecomaorigem do sistema e sua extremidadeindica o ponto deinteresse.

2 Engenharia de Antenas - Fundamentos, Projetos e Aplicações

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Sistemaesférico. 0 mesmo ponto do espaço identificado pelas coordenadas cartesianas fica também conhecido sefo remespecificados o vetor posição r, oângulo queaprojeção dersobre oplano x-y faz em relação ao eixoxe pelo ân gulo que r fazcomo eixo vertical. O ângulo emrelação ao eixo xé identificado por0, conhecido comoazimute. O ângulo que r faz com o eixo vertical é 0, chamado de elevaçã o. Esses valoresdescrevemas coordenadas esféricas do ponto, conformea parte(ò) da Figura 1.3. Especifica-se o pontodo espaço naforma Q(r, 0, 0), com dados sobre o vetor posição, o ângulodeelevaçãoe o azimute,nestaordem.

Sistema cilíndrico. Outra opção para identificar um ponto do espaço inclui oazimute 0, acoordenadaze o raio rper pendicular aoeixo vertical. (Figura 1.3(c)). Essesvalores correspondemao sistema decoordenadas cilíndricas e opon to fica determinado por Q(r, 0, z),nesta sequê ncia. Emboraa mesma letrar estejasendo adotadaemcoordenadas cilín dricaseesféricas, osvalores são diferentes, pois um deles tem a origemcoincidente com a do sistemae o outro é o raio de umasuperfície cilíndrica e medido nadireçãoperpendicular ao eixo vertical.

Especificações e limites. As ordensdascoordenadas sãorelevantes, para que as sequê ncias sempre identifiquem os

valoressemquaisquer dúvidas. O azimute0 de coordenadas cilíndricas e esféricas é o mesmo ângulo, mas em coorde

nadas cilíndricaséo segundo valor eemcoordenadas esféricasé o terceiro na sequê ncia dos dados. Acoordenada z dos sistemas cilíndrico e retangular tem mesmo significado em ambos e é dadapelosterceirosvaloresdas respectivas se quê ncias. Os domínios angulares são0 < 0< 2n e 0 < 0< ti, convenções utilizadas em caráter universal. Enquanto em

coordenadas cilíndricas qualquer pontolocaliza-se sobre a superfície deum cilindro, emcoordenadas esféricas omes mo ponto apoia-se na superfície de uma esfera, respeitadosos respectivos raios. Conclui-se que existem relações bem definidas entre as coordenadas dos diferentes sistemas.

Representações das grandezas vetoriais. Para cada uma dascoordenadas, define-se umvetor unitário ou versor que

tem a direção da coordenada e mostraoseu sentido positivo, segundo a convenção dos itens anteriores. No sistema cartesiano, os versores serão x, y, ze nos sistemasesférico e cilíndrico serão r, 0,0 e r,ty,z respectivamente. Como demonstrado,ovetor unitário tem a mesma direção do vetor original e módulo igual àunidade. Um vetor A represen tadona Figura1.4, nos trê s sistemasseria descrito como:

A= Axx + Ayy+A_ z (Sistemacartesiano) (1.4)

À = Ar r + A^ty + A: z (Sistemacilíndrico) (1.5)

A= Ar f + Ae0 + Aq0 (Sistemaesférico) (1.6)

Nesta figura, a componente resultanteno plano x-y (4yy) formaum triângulo retângulo com a componente vertical Az. A resultante no plano x-y é a hipotenusa de outro triânguloretângulocujoscatetos são Axe Ay. Aplicando o teorema de Pitágoras, obtém-se A^= Ax + Ay . Usando o mesmo teorema, acha-se o módulo dovetor A a partir de:

= Ax + Ay+ A? _(1-7)

Figura 1.4. Decomposiçã o de um vetor arbitrário no sistema triortogonal cartesiano.

1.4 Interações eletromagnéticas com o meio

O meio eletromagnético. Qualquer ambiente ouregião em que severificamas atuações e estudam-se osefeitos dos

camposelétrico emagnéticoé identificado como meio eletromagnético Nessa partedoespaço, analisam-seoscompor tamentosdoscampos,quantificam-se suas energias, verificam-seasinterações compartículas que ocompõem e outras consequê ncias. O meio eletromagnético pode ser um material em qualquerestado, sólido, líquido,gasoso,ou mesmo o espaço vazio. Neste último caso, nãosetrata de uma substância, pois serefere ao vácuo absoluto, com ausê ncia de qualquer resíduo de matéria em qualquerestado. Contudo,possui propriedades bemdefinidasque influem em diferentes grandezas dos campos eletromagnéticos. Hávárias características dos meios que afetam ocampo eletromagnético ou são por ele influenciadas edevemser avaliadas asformas e os valores dessas interações.

Composiçã o da matéria. Em geral, as características do meio dependem dasestruturas atômicas, dasdistribuições dos átomos e da formaçãodesuas moléculas. Os átomos são associações complexas departículas com cargas elétricas positi vas, cargas negativas eoutraseletricamenteneutras. Conjuntos de átomosorganizadospara cada substânciaconstituem as

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moléculas. As cargas positivas ficam em umaparte central do átomo com maiorconcenfração de massae, portanto, mais densa, conhecida como núcleo. Em uma modelagem simples, onúcleo é constituídopor prótons e nê utrons. As cargas negativasorbitam essesnúcleos e são diminutoscorpúsculos de massa quasenula,denominadoselétrons. Os elétrons tê m trajetórias definidas epossuem energiaspróprias,conhecidascomoestados de energia. Além de carga positiva, cadapró ton tem massa milharesdevezes maior do que o elétron. Juntoaeles, também integrando o núcleo,encontram-seosnê u trons,partículas densas e sem carga resultante. Cadaelétrontem carga igualem módulo à carga dopróton,comvalor

qe=1,60217733xlO’l9C (1.8)

As atuações do campo eletromagnético sobre as cargasdos átomos indicamtambém ações sobre os próprios átomos e sobre asmoléculas. Essas ações podem manifestar-se como vibrações das partículas, transferê ncias de elétrons para outros níveis deenergia, deslocamentos de elétrons para átomos vizinhos ou atravésdo meio, até mesmo a remoção de

elétronsdomaterial. Em condições normais, os átomospossuemmesma quantidade de prótons e de elétrons, sendo

eletricamente neutros. Se esseequilíbriofor quebrado, oátomopassa a ter uma carga resultante, constituindo um ion. Removendo elétrons, forma-se um ionpositivo e se foremacrescentados elétrons, ter-se-áum ion negativo. Oprocesso chama-se ionizaçã o, eletrizaçã o oupolarizaçã o das partículas domeio.

Características gerais dos meios. Osmeiosapresentam os maisdiversos comportamentos e propriedades. Quandoas

suas características foremindependentesdopontoda região em que estiver sendo analisado, diz-se que é homogê neo, significando material com composição idê ntica em todos os pontos. Se esta condição não forsatisfeita, trata-sede um

meio nã ohomogê neo. E possível que várias propriedades sejamindependentes das amplitudes dos camposaosquais

estiveremsubmetidase tem-se o meio linear.Esta éumasituação comum quando as grandezas tiverem pequenas ampli tudes. Em certas condições, meios com comportamento linear para os camposdepequenasamplitudes tomam-se nã o lineares sob influê ncia de grandes intensidades. Geralmente, osmateriais que sofreminfluê ncia do campo magnético

assumemcomportamentosnãolineares.

Uma terceira propriedade refere-se à influê ncia dadireçãodas grandezas. Quando suas propriedades forem indepen dentesdessasdireções, tem-se um meioisotrópico e, caso contrário, seráanisotrópico. Existem meios que sãoisotrópicos paraefeitoselétricos e, ao mesmotempo, anisotrópicosquando se analisar o comportamento da indução magnéticae vice--versa. Comoexemplode meios que podem tercomportamentoanisotrópico, cita-se um gás ionizadosubmetidoàinfluê n cia deuma induçãomagnéticaestática. Neste caso, toma-seanisotrópico para sua influê nciasobre o campo elétrico eper

manece isotrópico do ponto de vista magnético. O mesmo ocorre com certos cristais submetidos apressões e a campos

elétricos intensos. Em várias aplicações, como em certosdispositivos de altas frequê ncias, emprega-se um material deno minadoferrita, uma cerâmica isolante de baixa densidade, formada com o óxido de ferro combinado comoutro óxido de metal bivalentecomo o níquel, o magnésio, o cobalto etc. Esse materialpode tomar-se anisotrópico em seusefeitos mag

néticos, quandoconvenientemente imantada por umcampo magnetostático. Graças a esta propriedade, é empregada para

construção de isoladores, circuladores, elementoscapazesde modificar adireção do campoeletromagnéticoetc.11

Propriedades eletromagnéticas. Um material submetido a um campo eletromagnético sofre influê ncias sobre os elétrons

queatuamemseusmovimentos nas órbitasao redor do núcleoeemsuasrotações. As atuações nas partículassubatômicas, atômicas e sobre moléculasafetarão o campo elétrico eainduçãomagnética finais,na formacomoessas grandezas deslo cam-se na região, nas alterações de suas amplitudes, na rapidez com que semovimentam etc. Entre as propriedades que

influem nos fenômenos elétricos e magnéticos, destacam-se a permeabilidade magnética, apermissividade elétrica e a

condutividade elétrica. E importante verificarse essas propriedades são idê nticas em todos os pontos, se dependem da direçãodos campos e se sofrem influê ncia das amplitudes,osefeitosdafrequê ncia,entreoutras informações.

A permeabilidademagnética. A permeabilidademagnética é um indicativo das condições que levam à imantação do

material. O fenômeno relaciona-seaos movimentosdos elétrons nos átomos e moléculas, porinfluê ncia de um campo

externoaplicado.Nestasituação, o meiopassaa influirem umapartícula carregada queestejaemmovimento,significando

mudançana indução magnética. A maior ou menor influê ncia depende da sua permeabilidade magnética, propriedade

medidaemhenrys por metro(H/m) 4 erepresentada pela letragrega p. Emmeios isotrópicos, essa grandezatemcaracterís ticaescalarenãodepende da direçãodocampo. A alteração na forçasobre as cargas emmovimentomostraque a indução magnéticaédiretamenteproporcionalàpermeabilidade do meio, representada da forma b « p. Consequentemente, emum meio isotrópico, homogê neo e lineara relação entre estasgrandezasé constante. Como a indução é umaquantidade veto rial eapermeabilidadeéescalar,encontra-seoutro vetor namesma direção deb,denominadocampo magnético h ,inten sidade de campo magnético ouaindaforça magnetizante e sua unidade éamperes por metro(A/m). Logo,

M-A permeabilidadeé comparada com o queaconteceria se o campoe a partícula emmovimentoestivessemnovácuo, nasmesmas condições. V erifica-se, assim, adiferençaentre osvalores dessa propriedade nomeiomaterial eemausê

n-4 Engenharia de Antenas - Fundamentos, Projetos e Aplicações

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cia de qualquer substância. Para harmonizar commedidasdeoutrasgrandezas,noSistema Internacional de Unidades a permeabilidadedovácuovale 47t x 10"' H/m. Em outrosmeios, seu valor costumaser comparado com o do vácuo da forma

P = PrPo (MO)

em que |i,. é apermeabilidade relativa, permeabilidade específica ou constante magnética. Seu valordiferemuito da unidade em materiais ferromagnéticos e ferrimagnéticos, como o ferro, o niquel, ocobalto, as ligas de ferro, como o aço, o aço-níquel e nasferritas. A maior parte das substâncias apresenta a constante magnética ligeiramentemaior do

que a unidade ou ligeiramente menor, conforme sejammateriaisparamagnéticos ou diamagnéticos. Tipicamente, nes

ses meios apermeabilidaderelativadifere da unidade de uma quantidade entre10"7 e IO"4,de forma que nas duas situa ções, semerro apreciável noscálculos, considera-se |i, = l.12 Enquadram-se nestas categorias oalumínio, o cobre, os plásticosem geral, ligasmetálicas como o bronze e o latão,osmeios gasosos etc.

A permissividade elétrica. A permissividade elétrica é uma característica que dependedecomo cargas deátomos e

moléculas distribuem-se no meio e do seu comportamento sob ação de umcampoelétrico. É representada pela letra

grega e e expressa em faradspormetro(F/m).Também tem marcante efeitonasgrandezas que quantificamo campo

eletromagnético.B Supondo que acausa do campoelétriconãotenha sofrido alterações,apresença de um meio material faz decrescer o seu valorem relaçãoaoque possuiria se o meiofosse o vácuo. Essedecréscimoserá maior quanto maior for a sua permissividade. Chega-se à conclusão de que o campo elétrico emum meio qualquer é inversamente propor cional à permissividade: é 1 / e . Em materiaisisotrópicos, esta característica tem comportamento escalar, como acon

tece com a permeabilidademagnética. Assim, para transformar a expressão de proporcionalidade em uma igualdade,

exige-se que se mtroduza uma quantidade vetorial nosegundo membro. Essanova grandeza é a densidade defluxo

elétrico oudeslocamento elétrico, representado por d, medida em coulombs por metro quadrado (C/m2). Portanto,

^ = 77-= ^ (IH)

1/e

No Sistema Internacionalde Unidades, as permissividades no vácuo eem outros materiais são, respectivamente,

1 1O”9

e0 =--- = 8,854185xl0-12 F/m=---F/m (112) e= Ere0 (1.13)

Moc2 36ti

Oprimeiroresultado de (1.12) é deduzido da permeabilidadeedavelocidade da luz no vácuo (c),14 cujo valor é

c = 2,997924 58 x 108 m/s = 3x 108 m/s (1.14)

Nosmeiosmateriais, éapermissividaderelativa,permissividade especifica ou constantedielétrica. Para o ar, é mui to próximo daunidade, com uma diferença inferior a 0,0007 sob condições normais de temperatura, pressão e umida de.15Na água, é da ordem de80,conformesuapureza, salinidade,dafrequê nciadocampo aplicado etc. Em plásticos, como o polietileno, o poliestireno, o politetrafluoretileno e outrosfica entre2,0 e 3,0, dependendoda composição quí mica, da estrutura atômica, da temperatura,da frequê ncia.

Entre a aplicação do campoelétrico e a respostainterna do meio,hácerto atraso por influê ncia de forças em níveis atômicos. É imperceptível sea operação ocorrerem baixasfrequê ncias, mas suainfluê ncia não pode ser desconsiderada

em frequê nciasmuitoaltas. Oresultadoéumapermissividadecomplexa,com a parteimaginárianegativa:

e = e'-íe* =(e' -íe')£ o (1.15)

A segunda parcela é muito menordo que otermo real, mas será responsável por converter parte daenergia eletro magnética em calor e trará outras consequê ncias. Por exemplo, contribuirá para o aumento da condutividade efetiva do material quando o campo aplicadovariarno tempo.16 As partes real e imaginária da permissividade, em geral, são

dependentes dafrequê ncia. Os efeitos sobre a parte real são sentidos acima dealgunsgiga-hertz. Mas, dependendo

do material, a parte imaginária determina um comportamento inadequado mesmo em frequê ncias na faixa demega-

-hertz. Por estas razões, ainda que seuvalorseja bem pequeno, nem sempre podeser desconsiderado em análises

envolvendo os campos.

A condutividade elétrica. A condutividade relaciona-se também à estrutura atômicadas substâncias e às forças que agem sobre os elétrons. Seu valor, expresso em siemens por metro (S/m), indica maior ou menor facilidadepara omo vimentoordenadode cargas,sob atuação de um campo elétrico.17 Esse deslocamento ordenado leva à corrente decon duçã o, dada pela taxa de variação dacarga na região porunidade de tempo. Um material classificado como dielétrico perfeito não teria cargas livres e nãopermitiria o fluxode corrente,qualquer que fosse campo elétricoaplicado. Portan to, sua condutividadeserianula. Dielétricosreaistê mbaixa condutividade, da ordem de 10”10S/m a 10"15S/m. Exemplos dessesmateriais são o quartzo, a mica, o vidro, a borracha etc.

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Um meioque fosse condutor perfeito, também conhecido como hipercondutor™ estaria nasituação oposta, apresen tando condutividade infinita. Os condutores reais, como o cobre, o alumínio ou a prata, tê m condutividades de dezenas de megassiemens por metro.19 Uma maneirade avaliar esse efeito é imaginar uma superfície transversal ao movimento

de cargase determinaraquantidade decorrente por unidade de superfície. O resultado éconhecido como densidadede

corrente, expressa em ampè res por metroquadrado(A/nr). Estudos decorrentes das experiê ncias de Ohm mostraram

que a densidade de corrente é diretamente proporcional ao campo elétrico aplicado ao meio. Assim, sendo J a densi

dade de correntee E o campo elétricoque causou omovimento de cargas, tem-se J < ^E, uma formulaçãoem termos microscópicos da lei deOhm.20 Enuncia quearelação entre adensidade de correntee o campo elétricoé uma constan te,acondutividadedo meio, representada pela letragregaa:

J = oE (1.16)

Comoocomportamento dos materiais depende dafrequê ncia do campo, a classificação quanto à possibilidade de

conduzir a corrente elétrica deve levar em contaessa influê ncia. A justificativa é feita com análise do movimentodas

cargas. Em frequê ncias pequenas,o período do campo é muito grandecomparadocom o tempo do deslocamento. Logo,

essascargasmudamrapidamente de posiçãoquando se comparacomo período e o meio age comocompor. Significa

umambienteemque há facilidade para movimentaçãodas partículas carregadas.Emfrequê nciasmuito altas,o período

é bem pequeno e o campo muda antes que haja tempo para um deslocamento considerável das cargas. Tudosepassa

como seas partículas estivessem quase paradas e o material assume comportamentode isolante ou dielè trico. Entre esses extremos, encontram-se materiais que estão nacategoria de meios quase condutores.

Porestesmotivos,existemcritériosparaaclassificaçãodosmeios,partindodacomparaçãoentre as influê nciasdacon dutividadeefetivae da permissividade. Considera-se o materialcondutor se (g/cü e)> 100, caracterizandoelevadaconduti

vidade, mesmo em altas frequê ncias. Por outro lado, o ambiente comporta-se como dielè trico sesua condutividade for suficientementepequenaparasatisfazeracondição (c/coe) <0,01. Finalmente, situaçõesentre esses limites indicamque o material age como quase condutor, ou seja, satisfazacondiçãode 0,01 <(cf/íoe)< 100. Os limitesnão são rígidose foram

tomados como em duas ordens de grandeza na comparação da condutividade com o produto da frequê ncia angular pela

permissividade. Dependendo decada caso, os valores podem serdiferentes, mas esses limites são bem aceitos quase uni- versalmente.21 Nos limites superior da atuaçãocomo meio condutor e inferior decomportamento comodielè trico, tê m-se quatroordens de grandeza, umarelação de104, se as características do meio foremconstantes.

Emfrequê nciasaltas, computam-se asinfluê ncias sobre as propriedades do meio. Assim, considera-se a condutivi dade dinâmica ouefetivaqueinclui o efeito daparte imagináriadapermissividade, obedecendo a

at, = a+WEz' (1.17)

em que o segundo termo praticamente não precisaser considerado em baixas frequê ncias. Como já mencionado em

outra parte deste texto, onovo valor influiránaconversão de energia do campo eletromagnético para calor, isto é, na dissipaçãode potê ncia no meio material.

E xemplo. Medições em um dielè trico mostram suas características quase independentes da frequê ncia, com permeabilidade igual à do vácuo, e = (2,3 - i 0,000 1)e0 eo = 10“5S/m. Achar sua condutividade efetiva na frequê ncia de 10GHz.

Soluçã o. Aplicando (1.17), encontra-se um valor substancialmente diferente das características originais:

(5„ = o+coer = 10~5+2nx — — = 6,56x10"5 S/m (1)

e 36te k 7

Relaçõesconstitutivas. Demonstrou-se que asgrandezas que quantificam ocampo eletromagnético estão associadas a

diferentes influê ncias do meio. Umresumo dessas propriedades pode ser dado pelas denominadas relaçõesconstitutivas domeio. Com as grandezasespecificadasem valoresinstantâneos, ficam da forma:

ft=p,Ã (1.18) J = (1.19) J = aê (1.20)

Deve-se preverque todasas características eletromagnéticas sejamafetadas pela frequê ncia e não apenas a conduti vidade. Em alguns materiais, a permeabilidade magnética assume valoresmuitoaltos em baixasfrequê ncias, tornar-se

menorem radiofrequê ncias muito altas e tenderpara o comportamentodo vácuo em frequê ncias ópticas. É comum que

a permissividadefiqueconstante até centenas de mega-hertze sofraalterações significativas em frequê ncias maiores.

1.5 L eis

da teoria eletromagnética

Formulaçã o das equações de MaxwelL Desde a metadeda décadade1850, Maxwell22 interessou-se pelosfenômenos

elétricos e magnéticos e passou a divulgar algunsestudos relativosaos trabalhosde Faraday. Em1864, formulou mate maticamente asleis da eletricidade e domagnetismo, publicadasem um artigocientíficode1865.23Suas teorias apare

ceramno livro Tratado de Eletricidadee de Magnetismo, de 1873, e comprovavamque a eletricidade eomagnetismo

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eramfenômenos inter-relacionados. Maxwell deduziua existê ncia dasondas eletromagnéticas e concluiu que a luz era uma irradiação envolvendo ocampoelétrico e o campo magnético, obtendo com boa exatidão a sua velocidade.24,25 A

comprovação foi possível porque entre 1729 e 1862 conheciam-se valores próximos do verdadeiro, com resultados

entre 298.000km/s e 313.300km/s.26

Em 1883, parademonstrar as ideias de Maxwell, Hertz27 fez vários ensaios de laboratório, conseguindo gerare de

tectaras ondas eletromagnéticas. Na ocasião, descobriu outro fenômenodegrandeimportância que ficou comprovado

ser uma nova interação entre aluzeos fenômenos elétricos, conhecidocomo efeito fotoelétrico. Diversas desuas expe riê ncias foram divulgadas narevista Annalen der Physik edepoisem livro,considerado uma dasmais importantesobras científicas sobre o assunto. Pelarelevância de suas descobertas, asondas eletromagnéticas foram também chamadas de

ondas hertzianas, embora com menor ê nfase nos dias atuais.28 Outras experiê ncias levaram a um conjunto de leis que

regem o comportamento do campo eletromagnético. Essas leis foram sintetizadas nas equaçõesdeMaxwell, queestabele cemos valores e as relações entre as diferentes grandezas quequantificam as açõesdoscamposelétricoemagnético. Lei de Ampè re. Uma das equaçõesde Maxwell é obtida da lei de Ampè re, que quantifica o campo magnético a partirda corrente elétrica que lhe deu origem. Por esta lei, com importante modificação atribuída a Maxwell, demonstra-se que umacorrente variável no tempo causa um campo magnético, tambémvariávelno tempo. A corrente variável no tempo

tem que ser originada pormovimento de cargas em que a velocidade não seja constante. Trata-se de um movimento

acelerado (no sentidopositivo ou negativo) daspartículascarregadas. Da mesmamaneira,umcampoelétrico variável notempo também é responsável pelacriação de um campo magnético. Em ambientes em que campo elétrico ecorrente

variemnotempo e existam ao mesmo tempo,o campo magnético é resultante da combinação dos dois efeitos. Se não

houveracorrenteresultante domovimentoacelerado de cargas elétricas,como em um dielétrico perfeito, avariaçãodo campoelétrico levaa um valor diferente de campo magnético.29

Para expressarestalei em forma matemática, considera-se um contorno fechado delimitandouma superfícieempre sença de um campo magnético.(Figura1.5).Mais uma vez, estabelecido um sentido depercurso no contornoda região, a regra da mão direita indica a direção dovetor unitário normal à superfície emtodosospontos. Sobreocontorno, to ma-se um percurso elementare associa-se um vetorcomomódulo igual a ele e direçãotangente aopercurso no ponto. Esse vetor elementar será designado por d 7, com o qual será feito o produto escalar com o campo magnético em todos

(1.21) d ■ ndS

Figura 1.5. Elementos envolvidos na descriçã o da lei de Ampè re.

os pontos, da forma h-dt. Em seguida, esses valores serão somados. De acordo com a lei deAmpè re, oresultado é

umagrandeza obtida comdiferentesprocessos de integração, daforma:

j -ndS+—

I

d

« 'J

A operação mostrada no primeiro membro, envolvendo o produto escalar de uma grandeza vetorial por um desloca

mentoelementar, échamada integral de linha na trajetóriaespecificada. Se o percurso forfechado, como nocaso em aná

lise, o resultado c chamado de circulaçã o no contorno. Eventualmente, o resultado dessa operação é chamado deforça

magnetomotriz ou, mais raramente, magnetomotância, dada em ampè res (A). O primeirotermodo segundo membro é o

fluxo do vetor j e representa a corrente resultante do movimento ordenado de cargas, também emampè res. O segundo

termo do membro intermediário ou do membro da direitatem dimensão de corrente, obtida apartirda variação do deslo camento elétrico com o tempo. Portanto, essa variaçãotemefeito de corrente na formaçãodocampomagnéticoeé chama dade corrente de deslocamento.Utilizando o conceitode fluxo, nota-se queaúltimaintegraçãoé o fluxododeslocamento elétrico, denominado fluxo elétrico, medido em coulombs (C) e essa corrente é a derivada do fluxo elétrico no tempo. Conclui-seque a lei de Ampè remostraque a circulaçãodocampo magnéticoem dada regiãoéigual à corrente decondu ção somadaà corrente de deslocamento através da superfíciedelimitada pela circulação. Estabelecendo-se a relação entre as grandezas emcadaponto da região, se as grandezas variaremnotempo,a lei assume o aspectodiferencial:

V xÂ =;+^- (1.22)

(8)

Oprimeiromembrodestaequação representa orotacionaldocampo magnético, uma grandeza vetorialqueéigual à densidade de corrente de conduçã osomada àderivada do deslocamento elétrico no tempo. A densidadede correntede condução é originada pelo movimentoordenado de cargas no meio. O segundo termo do segundo membro de (1.22) é a densidade de corrente de deslocamento, o efeito davariação do campo elétricono tempo e que contribui paraformação do campo magnético. Seuvalorsóédiferentede zero em regime dinâmico eanula-se se as adensidade de corrente e o

deslocamento elétricoforem constantes no tempo. Quando isso ocorrer, apenas a corrente originada pelo movimento

uniforme de cargasseráresponsável pela formaçãodo campo magnético, identificado comocampo magnetostático ou

eletromagnetostático. Pela impossibilidade demovimentode cargas em umdielétrico perfeito, a existê ncia de um cam pomagnético dinâmico implica em um campo elétricovariável no tempo. Fato semelhante ocorrenovácuo.

Ambassão quantidadesquesesomamno segundo membro, dadasporunidade de superfície através da qual se me demos respectivos fluxos. Logo, ambassão expressasemampè res por metro quadrado(A/m2). A operaçãoidentificada comorotacional dovetor h significa o limite da sua circulação por unidade de superfície, quandoessasuperfícietender para zero. O resultado é um vetor perpendicular à superfície delimitada pelo contorno de integração. Esse cálculo en volve derivadasparciais em relação às coordenadas espaciaisconforme osistema de referê ncias adotado. Em coordena das retangulares,cilíndricaseesféricas,tê m-se:

+

flÊkAl

_

I

è

VU

3r J 3r r 30 J (1-23) (1.24) i a/>9kií 1 d(M.nõl ipW 38 30 J 30 3r J 3r 38 J (1.25)

LeideFaraday. Outra informaçãoderelevância vem daleide Faraday ouleida induçã oeletromagnética. Segundo

ela, sempre que umcampomagnético variar no tempo,apareceráumcampoelétrico induzido proporcional à variação

do campo magnético. Suadireçãoé perpendicularàdo campo magnético original. Junto com a leide Ampè re, permitirá

que sejam quantificadas ascomponentes do campo eletromagnético.30Umacorrentevariável produz um campomagné

tico variável no tempo, responsável pelaindução de umcampoelétrico também variávelno tempo. Deacordo comesta lei, a circulação do campo elétrico no contorno de uma superfície éonegativo da taxa devariação no tempo do fluxo

magnéticoqueatravessaasuperfície. Em termos matemáticos:

cs s

Noprimeiromembro, o resultado da integraçãoéconhecidocomo força eletromotriz ou,menoscomumente,

eletromo-tância, medida em volts. O sinal negativo do segundo membro foi determinado pelo físico russo Lenz que provou sua

necessidade para garantiro princípio da conservação da energia.31 Há necessidade de identificar uma superfície aberta, através da qual é medido o fluxo magnético mostrado no segundo membro desta equação, como na Figura 1.5. Poroutro lado, se o campo magnético for constante, nãoapareceráforçaeletromotriz induzidaea existê nciadocampoelétricodeve ser atribuída a uma distribuição de cargas elétricas estáticas. Se isso ocorrer, a integração doprimeiro membro é igual a zero, independentemente da trajetória escolhida e diz-se que se trata de um campoconservativo. Novamente, tomando a integração por unidadedesuperfície,quandoestatender parazero, tem-sealeide Faraday na forma diferencial:

V xê =~ (1.27)

dí

com os desenvolvimentos semelhantes aos mostrados para ocampo magnético, conforme o sistema de coordenadas de

interesse. Quando o campo magnético for constante, osegundo membro de (1.27) anula-se, indicando que o rotacional é zeroem um campoconservativo. A integraçãoentredoispontosquaisquer desse campo levaàdiferença de potencial entre eles,queé o trabalho por unidadede carga, comum valor sempreigual,independente da trajetóriaescolhida. Logo,

yBA = vB-yA = \BÊ-di (i.28)

* A

Lei deGauss para ocampo elétrico. Paraapresentar esta lei, admitem-se cargas elétricas extremamentepequenas dis

tribuídas de maneira continuaem umaregião do espaço. Define-seadensidade volumétrica de cargas p= dq/dV em

coulombs por metrocúbico (C/m3), sendodV o volume elementar. Será tomada uma superfície fechada envolvendo essa

(9)

região, comona Figura 1.6. A leide Gaussdizque o fluxo do deslocamento elétrico através dessa superfície fechada é igual à carga envolvidapelasuperfície. Portanto,

d n dS =

S V

(1.29)

Figura 1.6. Ilustraçã o para apresentaçã o da lei de Gauss para o campo elétrico.

Quandoesteresultado forpositivo,significaqueentre o deslocamentoe o vetor unitário normal àsuperfíciede integra

ção existe um ângulo menordo que 90° Isso implica em que carga resultantedentro da superfície, mostrada no segundo

membro da equação, é positiva. Nestecaso, é identificada como uma fonte de fluxoelétrico. Poroutro lado, quando o re sultado fornegativo, considera-se que no interior da superfície tem-se umsorvedouro de fluxo elétrico, representado por uma cargatotal negativa. Emmuitosproblemas,estaanálise deve ser feitaemum ou mais pontos da regiãoonde se consi deraro fluxoporunidadedevolume,quando esse volumetenderpara zero. A equação da lei deGaussmodifica-separa

V-<7 =p (1.30)

emqueaoperaçãodoprimeiromembroé o divergenteouadivergê ncia do vetor. Representa o fluxo do vetorpor unidade devolume no ponto considerado, isto é, quando o volumetenderparazero. Emborasejaumaoperaçãosobre um vetor, seu resultadoé escalar.Nossistemas de coordenadas retangulares, cilíndricase esféricas, calcula-se o divergentecomo:

(1.31) (1.32)

j_ 1 3(r2rff) ( 1 3(senQde) 1 dd»

r2 dr rsenQ 90 rsenQ 9p (1.33)

Lei deGauss para o campo magnético. Quando o fluxo magnético for calculado atravésde uma superfície fechada, semelhante à da Figura 1.6, o resultado é zero. Portanto, não existem fontes nem sorvedouros de fluxo magnético em qualquerregião. Esta conclusão é a lei de Gauss para o campo magnético, significando que não se pode encontraralgo que se comportasse como “carga magnética"' isolada. Porisso, esta conclusãoé conhecidatambémcomolei dainexis tê nciadecarga magnética. Em termos matemáticos, obtê m-seosseguintesresultados:

(1.34) V -ó = 0 (1.35)

s

Equaçã o da continuidade. Oprincípiodaconservaçãodacargadizque se houverum movimentoa partir de certa região, igual quantidade de carga por unidadedetempotemque se modificaremoutro local, indicandoqueaquantidadetotal não se modifica. Este princípio é representado pela equaçã o da continuidade e para descrevê -la, supõe-se uma superfície fe chadana qualsedistribuem cargas segundo uma densidade volumétrica p. (Figura 1.7). Se dessa região sair umacorrente z, a carga em seu interior decresceu na mesma taxa por unidade de tempo, ou seja, deve-se ter i = -dq /dt. Como a correnteé o fluxode j ea carga éaintegral da densidade de cargas no volumedelimitadopelasuperfícieS. escreve-se:

5 K

(1.36) Estaé uma das representações doprincipioda conservação da carga,conhecidacomoformaintegral da equaçã oda continuidade. Parauma região muito pequena,tendendo para um ponto do espaço, calcula-se esse resultado por unidade de volume. O primeiromembro torna-seo divergente da densidade de corrente e no membro da direita fica aderivada notempo da densidade volumétrica de cargas. Oresultadoéa,forma diferencial da equaçã o da continuidade:

(10)

(1.37)

Figura 1.7. Regiã o da qual sai uma corrente correspondente à re duçã o de carga em seu interior por unidade de tempo.

1.6 Condições de contorno

Definiçã o. É comum o campo eletromagnético estar emambientesdiferentes. Por exemplo, é possível haver necessida de de analisar o campo eletromagnético noar e no solo, que sãomeios eletromagnéticos com características próprias. As diferenças sãodadaspelos valores de permissividade, permeabilidademagnética e condutividade. Para oscampos

existirem em ambientes diferentes, além de satisfazerem as equações de Maxwell, suas componentes devem satisfazer

também uniconjunto de leis nasuperfície que separa os dois meios, conhecidas como condições decontorno. (Figura 1.8).Nessa superfície, destaca-seo vetor unitário normala ela íi, nailustração apontando para o meio 2. Considerou-se a superfície comoplana. Quando isso não ocorrer, a interface dos dois meiosdevesersuposta como uma sucessão de planos tangentes aelaemtodos os pontos. Com isso, as conclusões serão as mesmas, porém válidasem cadaponto.

Figura 1.8. Esquema de dois meios, com destaque para a super fície de separaçã o.

Condiçã o de contornoparao deslocamento elétrico. Esta condiçãoestabelece que a componente normal dovetor des locamento elétrico no limite que separa dois meiossofre uma descontinuidade igual à densidade de cargas elétricas nessasuperfície de separação. Em termos matemáticos,estaleiéescritacomo

/5-(52-Â)= ps (1.38)

emque p5 é a densidade superficial decargasnainterface dos dois meios, expressa em coulombspor metro quadrado

(C/m2). Os termos D2n = D2n e -w= D]n sãoas componentes normaisdovetor deslocamento nos meios 1 e 2,

medidas sobre a superfície de separação. Se não houver cargas nessa superfície, a componente normal fica continua, poisa situação fica particularizadapara

^-^=0 (1-39)

Condiçã ode contorno para a induçã o magnética. Para a indução magnética, a componente normal é contínua na su

perfície de separação entre dois meios. Portanto, nos doisladosdainterface,ascomponentes normais tê m o mesmo valore representa-se como:

zi’(52-^l)=0 (1.40)

Trata-sede uma equação semelhante à do deslocamento elétrico com a inexistê ncia decargas magnéticas na natureza. Mais uma vez, as parcelas B2 = Bin e = B\n sãoas componentes normais da induçãomagnética na interface.

Condiçã o de contornopara o campo elétrico. A componentetangencial do campo elétrico não sofredescontinuidade

na mterface de dois meios. Assim, emum mesmoponto nos dois lados dessa superfícieas correspondentes componen

tes tangenciaisassumemexatamente o mesmo valor. Estacondiçãoéexpressacomo

/?x(Ê2-É1)= 0 (1.41)

uma vez que /?xE2 = E2t e/ixE, = Èu são as componentestangenciais do campo elétrico nos respectivosmeios, sobre a superfície de separação.

Condiçã ode contorno paraocampomagnético. Na passagem deum parao outro meio, a componente tangencial do

campomagnético sofre umadescontinuidade igual àdensidade de correntenasuperfície de separaçãoentre esses meios.

(11)

Esta grandeza, que será representadapelo vetor K , éacorrentepor unidade de largura sobre a superfície de separação. Considera-se queestejaapoiada nessa superfície(Figura 1.9) e é medida em ampè respor metro (A/m). Sua direção e

valor numéricorelacionam-secom o campo magnético por meiode

n x(H2-H[)= k (1.42)

sendo hxH2 e nxH{ = H\( as componentes tangenciaisdo campo magnéticona interface dos dois meios. Se

não existir acorrentesobreasuperfície de separação,acondição de contornofica

#2/~tfir=0 (1-43)

e,neste caso, acomponentetangencial é contínua, com valoresidê nticos na interface, em ambos os meios. Embora seja uma situaçãoparticular,é comum quando os dois meios forem dielétricos perfeitos.

Interface de um dielétricocom um condutor. Nãoé raro que se encontremseparaçõesentre um dielétrico e um condutor. Porexemplo,na Figura 1.8seriapossível o meioacimadasuperfície S ser dielétrico enaparte inferior ter-se um condutor. Considerandoos meios ideais, no lado do dielétrico acondutividadeserianulae no lado docondutoresseparâmetrotende ria para o infinito, mas acorrente em seuinterior ésemprefinita. Partindo dalei de Ohm, o campo elétricona mesma re gião assumiria o valor Ê= (J/cr) =0. Da lei de Faraday na forma descrita em (1.27) verifica-se que no caso dinâmico,

quando os campos variam no tempo, é necessário que a indução magnética também seja nula. Logo, o campo magnético

dinâmicotambémé nulo econclui-sequenãoexistecampoeletromagnéticodentrode um condutor perfeito.

Figura 1.9. Disposições dos campos elétrico e magnético na su perfície de um condutor perfeito.

Como seconsiderou que o meio 1 fosse ocondutor, significa que nascondiçõesdecontorno apresentadas tê m-se Ex= 0, D{ =0, =0, =0. Assim, só há necessidade de avaliação dasgrandezasnodielétrico. Partindo de (1.40), verifica-se que o campo elétrico no dielétrico, sobre a superfície de separação, deveser paralelo ao vetor unitário ne normal à superfície do condutor. Entrandocom esta conclusão em (1.38), significaque nD = ps e o campo elétrico na superfície deseparação assume o valor:

e (1.44)

Partindo de (1.40), vê -se que oprodutoescalar dovetor normal com a indução no lado do dielétricofica igual a ze ro. Logo, sãovetores perpendiculares entresi e a induçãomagnética é tangente à superfície de um condutor perfeito. Aplicandoesta propriedade em(1.42), acha-se essa componentedo campo magnético

H =Kxn (1.45)

no lado do dielétrico, sobre a superfície de separação. A Figura 1.9 esquematiza as situações para os campos elétrico e magnéticosobreumcondutorperfeito. A inexistê nciadecamposno segundomeio permite identificaruma superfície con dutoracomosendo urna parede elétrica,queimpedeatransferê ncia do campoeletromagnéticoparauma das regiões.

Conceito de paredemagnética. Das condições estudadas, a presença de uma parede metálica implica em componente

tangencial decampo elétrico nulo na separaçãoentredois meios. No lado do condutor, oscamposresultantes são nuloseno

lado do dielétrico restama componente normal do campo elétricoe a componente tangencial do campomagnético. Teori

camente, seriapossível uma interface entre dois dielétricos emquerestasse em um dos lados uma componenteparalela do

campoelétricoe umacomponentenormal docampo magnético. Issoocorre, por exemplo, quandoapemiissividade de um

dos meios for muito maior doquea do outro. De acordo com(1.50),tem-se, no casodesuperfíciesemcargas,

(1.46) Portanto, se a constante dielétrica dosegundo meio formuitomaior do que a do primeiro ouo campo elétricodopri meiro meio for muito menor doque do segundo, aequação anterior estabelece que

h-E 2=0 (1.47)

eno ladode maior constantedielétricatem-seapenasacomponentetangencial do campoelétrico. Pelo fato de estaanálise ser feitaemdielétricosperfeitos,não se tem densidadedecorrentedeconduçãonainterface, de modoque(1.54)toma-se:

(12)

nxH2= nxH} (1.48) Conforme a lei deFaraday (1.27), se não houver campoelétrico no meio 1, seurotacional temque ser igual a zero. Ou

seja, a derivada da indução magnética no tempo, correspondente ao segundomembro da equação, tem que ser nula.

Logo,a indução magnéticateriaqueser constante ou nula. Comocampo elétricovariávelnotempo implicaria em indu ção variável no tempo, sua derivada só podeser zero coma indução nula. Logo, ocampomagnéticono meio de menor constantedielétricatambémtemque ser igual azero. Assim, em(1.48):

nxK2 = 0 (1.49)

Observa-sequesobreuma parede elétrica, os campos elétricoe magnéticosatisfazem as condições:

»x£ 2 = 0 (1.50) í-H2=0 (1.51)

Por outro lado, repetindo asconclusões anteriores, para grandes diferençasde dielétricos ou o campo nulo emuma região, as condiçõesaserem satisfeitas são

z?-É2=O (1.52) « x/72 = 0 (1.53)

indicando certasemelhançaoudualidade entre asduas situações. Porestarazão, quando(1.47) e(1.49) foremsatisfei tas, dizque na fronteira entre os dois meios existe umaparede magnética.

1.7 A

onda eletromagnética

Descriçã o geral. Comoum campo eletromagnético podealteraromovimento de uma carga, significa que é dotado da

chamada energia eletromagnética. O campo eletromagnético pode ter comportamentoarbitrário com o tempo, represen tando alguma formade vibração. Quando issoocorrer, a energia desloca-se no espaço, constituindoo que se definiu

como ondaeletromagnética. Sem dificuldades, identificam-se experiê ncias diárias com apresentações de onda eletro

magnética. É ocaso da luz, obtida de fontes naturaisou artificiais, osinalcaptado de uma emissora de radiodifusão ou televisão, asmensagens trocadas por meio de um telefone celulareassim por diante.Na Figura 1.10 mostram-sealguns comportamentos no tempo, em um ponto do espaço, determinadospelas características da fonte. A descrição da grande za em todos os momentos é dada por seus valores instantâneos, como jáantecipado, chamados devaloresreaisou valores no domínio do tempo. Nasilustraçõesdafigura, apósumintervalode um períodoT os valores e respectivas

variações repetem-se, com correspondê ncias exatasao primeiroconjuntoanalisado, indicando quesão/âwções periódi

cas. Não se identificando um período de repetição, tê m-se funçõesnã o periódicas ou aperiódicas. Logo, senforum número inteiro, a função periódica no tempo/(í), de período T,obedeceàcondição:

Figura 1.10. (o) Funçã o periódica arbitrária, (b) Funçã o harmônica no tempo, com seus parâmetros mais importantes.

Em eletromagnetismo, a energia, a potê nciae outrasgrandezasdependemdosvalores instantâneos docampoelétri

coe do campo magnético. Estãoassociadastambém àspropriedades do meioe às alterações dos campos no intervalo de tempode interesse. São comuns os formatos aleatórios no tempo, de acordo com as informações a serem transmitidas. Todavia,umestudoenvolvendo o comportamentoda Figura 1.10(6)émuito útil, poispermitea interpretaçãoe a quan tificaçãode várias propriedadesde diferentes grandezas.

Funções harmônicas no tempo. Um campo eletromagnético pode variarsenoidalmente ou cossenoidalmente no tempo,

segundofunções matemáticasdo tipo

3 =Amdx cos(íd< +0)=Amáx cosW (1.55)

sendo Amáx aamplitude da grandeza,coa frequê ncia angular em radianos por segundo (rad/s),0uma fase arbitrária que determina acondiçãodo campo noinstanteinicial da análise e Y é o argumentototalda função

T = (üM(|> (1.56)

(13)

Quando a grandezafor descrita por(1.55), diz-se que está apresentando uma variaçã o harmônicano tempo ou variaçã o sinusoidal no tempo. A frequê ncia angular representaataxa de variaçãoda fasecom o tempo:

^ = d^/dt. (1.57)

O argumento total H7 sofre influê nciade outros fatores, como ascaracterísticas do meio e da distância percorrida pelo campo. A frequê nciaangular depende apenas davariaçãodesse argumento com o tempo. Para destacar este fato, aex pressãoanterior deve ser representadacom o símbolo de derivada parcial, indicando que no cálculo dafrequê ncia angu larapenasa variação notempodeve ser consideradasobre o argumento:

co= dT/d/. (1.58)

não importandosehouver influê ncias de outras variáveis, como distância, características do meio etc. Uma vez que o conjunto devaloresda funçãoem um período forma um ciclo, suafrequê ncia cíclica, ou simplesmente frequê ncia, indica aquantidadedeciclos por segundo. É dadaemhertz (Hz) eé definida como oinverso do seu período:

f = UT (1 59)

Encontram-se campos eletromagnéticos com frequê ncias muitíssimoelevadas, sendo necessário o uso dos múltiplos,

que representam milhares, milhões, bilhões e trilhões de hertz, respectivamente representadospor quilo-hertz (kHz), mega-hertz(MHz), giga-hertz (GHz) e tera-hertz (THz).

Umadasmaneiras degerar o campo eletromagnético em umambienteaberto é por meio de uma antena ea sua fre quê ncia é determinada pelas características doequipamento transmissor. Uma emissora deradiodifusão que emprega modulação em amplitudeemiteondas em frequê ncias entrecentenas de quilo-hertz atê algumas dezenas de mega-hertz. Emissorasdetelevisão operam em frequê nciasdedezenasou centenas de mega-hertz. Transmissõespor satélite usam

frequê ncias de giga-hertz e os sistemas de elevadas capacidades, comoas empregadas na rede mundial de computado

res, usam cabos de fibras ópticas que processam sinais de centenas de tera-hertz. Dasinformaçõesrelativas à frequê n cia,frequê ncia angulare período, deduz-se que

(O= -y=2rt/ (1.60)

Representaçã o fasorial. Paracomportamento harmônico notempo,define-se ofasor ouvetor complexo como

= ^n,àx e‘ * = (161)

destacando,nestarepresentação, a amplitude e o argumento do campo. O fator /= é a unidade imaginária, tam

bém identificadapela letra j, conforme a conveniê ncia. A teoria de números complexos estabeleceque a representação dadaem(1.61)possa ser escrita como

Amixe’* =Ãmix cos- <|> +i Ãmáxsenty (1.62)

O primeiro termo do segundo membro é a parte real e o segundo é a parle imaginária do fator complexo

e10 = exp( i(j>)= cos(j>+ isen(j>. Asrepresentações dadasem (1.66)são chamadasde forma exponencial (primeiro membro)

e formatrigonométrica (segundomembro) dagrandezacomplexa. Seria possível escrevê -lacomo

2mixe'* = Amáx cos <|>+iÃmáxsen<b= 2,. + i2t (1.63)

emque as suas partes real eimaginária sãoselecionadascom os símbolos {• ••) e 2m{•••}, da forma:

Àr = 9te{ J} = Àmáx costy (1.64) - Zm {^} = (1.65)

O númerocomplexo podeser representadograficamentea partir daideia que ofator i determina uma rotação de 90° nosegmentodereta que estiverrepresentado pelo valor que lhe segue. Assim, indicam-se os valoresdas partes real e imaginária dofasor na forma indicada na Figura 1.11,com o eixo horizontal,chamado eiro dasabscissas, indicandoas parcelas reaise o eixovertical,chamadoeixo das ordenadas, com os valores das parcelas imaginárias. O plano definido por esses valores é ochamado de plano complexo ou plano de Argand-Gauss22 De acordo com a disposição no plano, deduz-se que o valor absoluto eo argumentotomado em relação ao eixo dosvaloresreaissãoencontrados com o auxí lio do teoremade Pitágoras e com as relaçõestrigonométricascirculares convencionais:

\A\= ,lAt+ A? (1.66) (167)

Quando agrandezativer sua correspondente harmônica no tempo, é possível recuperar a forma instantânea multipli cando o fasorpelo fatorcomplexo exp(KOt), expandindo oprodutona forma trigonométricae selecionando a partereal.

(14)

A operaçãoéaseguinte:

(1.68) ã = ^e{ÃeIU3,}= ^e {Ãmáxe‘^}= Ãmáx cos(®í + 0)

Como o símbolo seleciona apenas a componenteem cosseno, abandona-se a outraparcela. É usual referir-se ao

valor complexo de um campoharmôniconotempocomodescriçã o da grandeza no domínioda frequê ncia. Essa represen taçãotemvantagens no tratamentodosefeitos no meio, no cálculo doscampos,emcálculosde energia e potê ncia etc.

Figura 1.11. Representaçã o de uma grandeza no plano complexo.

E xemplo. Uma grandeza é representada no domínio da frequê ncia por A = (10x + z20y)exp(-/0,5z), sendo x e y os versores paralelos aos eixos xey. Achar o campo instantâneo, supondo sua frequê ncia angular de IO8 rad/s.

Soluçã o. A grandeza possui duas componentes perpendiculares entre si, defasadas de 90 graus, o que fica explícito pela presença da unidade imaginária na componente de campo na direção y .Aplicando a regra de (1.68), vem:

ã = 9te{ A eiu>‘} = 9?e{(10í + í20^)eí(“,"'0'52)} = 9ie{ (10í + í20y)[cos((Dí -0,5 z) + ísen(<i)í - 0,5 z)]} (•) O produto da componente paralela ax pela parte imaginária da função harmônica e o produto da componente y pela parte real da expansão da função harmônica são imaginários. Ao selecionar apenas a parte real, encontra-se:

ã = 10 cos(tí)t — 0,5 z) x - 20sen((üt — 0,5 z)y (2)

Quandoas grandezas tiverem o comportamento harmônico no tempo, as leis da teoriaeletromagnética podem ser reescritas com certas alterações nos termosqueenvolvam aderivadaemrelação ao tempo. Nestes termos, basta substi tuir o operador d/dt pelo fator zw e as leisde Ampè re, de Faraday, de Gaussea equaçãoda continuidade ficam:

V xH= oÈ + íO)D = (o+ ícoe )È (1.69) V x £ = -/(O B - -íiòilH (1.70) V -D = p (1.71) V -5 = 0 V -J = -zcüp (1.72) (1.73) A equaçã o de onda. Emuma região sem cargas e sem correntes,equações de Maxwell ficam:

- r_=ae_ dd₊_— ₌_cre_ ₊_E_—dê

dl dt (1.74)

(1-75)

V .rf =EV « e= 0 (1.76)

V -ô=pV -Ã =0 (1.77)

Tomandoorotacional dasduasprimeiras equações, substituindo uma na outra e aplicandoos resultados de(1.76) e

(1.77),conclui-seque os campos elétricoemagnéticodevem satisfazer as expressões:

_2- d2ê de 2T 32/? 3^ a

V2e-|ie— --po — = 0 (1.78) V2/z-pe— --pa— = 0 (1.79)

dr dt dr dt

Deacordocomestes resultados, os campos elétrico emagnético só podem existir se satisfizerem um comportamento descrito por:

(1-80)

(15)

chamadaequaçã o de onda. Ouseja, em um ambienteemque as fontes de campo eletromagnético estejam bemdistantes do ponto de interesse, ocampoelétrico e o campo magnético sãoassoluções dadas pela equaçãode onda. Se esses

campos variarem harmonicamente no tempo, aequação dc onda assume o formato:

V2Â-zcop.(n +zcoe) J = 0 (1.81)

Soluçã o da equaçã o de onda. A equação de onda em suaformacomplexa pode sersolucionadacom ométodo de sepa ração de variáveis,33 sem dificuldades. A solução descreveos camposelétrico e magnético na forma complexacomo:

A= Ãoexp(-Y-r) (1.82)

em que r é o vetor posiçã o do ponto do espaçoem que se deseja determinar o campo. A grandeza vetorial y é chama da vetorde propagaçã o e suadireção indica a direçãode deslocamento do campo eletromagnético, comose ilustra na Figura1.12. Éescritocomo

Y = Y Y (1.83)

sendo y o vetor unitário da direção de y e y é o valor escalar correspondente,chamado fator depropagaçã o.

Figura 1.12. Elementos envolvidos na soluçã o da equaçã o de onda, relacionando o campo em determinado ponto do espaço.

De acordocoma equação de onda e sua solução, estefator écalculado por:

Y =7 zü)p(a+ío)e) =a+ i0 (1.84)

Na descrição matemática dofator depropagação, verifica-setratar-se de umagrandeza complexa, composta de uma parterealaeuma parte imaginária íp.Com esses valores substituídosem(1.82) verifica-seque a determinaráo maior ou menor decréscimo da amplitude do campo com a distância, sendoporisso identificadocomo fator de atenuaçã o e apresentado em neperspormetro (Np/m). O coeficiente Pmostra a maior ou menorvariação da fase do campo com a distância eé chamado de fatordefase, medido em radianos por metro (rad/m). Elevando aoquadrado osdois membros da equação anterior, desenvolvendo o resultadoecomparando os dois membros, obtê m-se os valores de a eP:

(1.85) (1-86)

Estasequações são gerais,paraquaisquer meios ilimitados. Algumas situações particulares são encontradase justifi cam determinadassimplificações. Quandoo meio de propagação for um dielétricoperfeitoouo vácuo tem-se a= 0. Nestecaso, ofator de atenuaçãofica igual azeroe ofator de fasetoma-sediretamenteproporcional àfrequê ncia:

oc = 0 (1.87) P = (1.88)

Situaçãomaisrealista é a propagação em um dielétrico real, com condutividade muito pequena comparada ao produto coe,porém diferente de zero(occcoe). Aplicam-secom pequena diferençaemrelação ao valor exato as expressões:

(1.89) + —1

8 (1-90)

Embora de ocorrê ncia menos comum, a análiseda propagação em meioscondutores implica em novascondições

para o fator de atenuação ou fator de fase. Isso pode ocorrer, por exemplo, nacomunicaçãocom um submarino submer so na águado mar. Emaltasfrequê ncias, aatenuação fica muito elevadae o alcance possível para a onda eletromagné tica fica muitocomprometido. Todavia,se atransmissãofor feita em baixasfrequê ncias, daordemde até algumasde zenas dequilo-hertz, a água do mar age como meio condutor real. Estacondição é determinadapor a » we e as equa

ções para ofator de atenuação e o fator de fase tornam-se:

(16)

I-—---- _(1.91) _{P =} ₌_ylnfiin _(1.92) Os valores obtidospara ofator de atenuação e ofator de fase devem ser aplicados em (1.86)paracomplementar a solução e a interpretação doscampos descritospela equação de onda. Utilizando oconceito de produto escalar, oexpo

ente dessa equação pode ser expandido como:

y-r= yrcosBrg= yrp= (a +i^)rp (1-93)

sendo 0,^ oângulointerno entre a direçãodo vetor posição e a do vetor depropagação. O valor rpé a projeção de r na direção de y. Para facilitar as análises,pode-seescolherum dos eixoscoordenados coincidente comadireção de pro

pagação. Empregandoestas conclusões na solução da equação de onda, tem-se

^= ^oe”a9’e_ípr'’ (1.94)

para qualquer componente do campo eletromagnético. Paraa formainstantânea,segue-se aoperação

ã = Xe{Ãeiau}= Ão e'arp cos(u>t -^rp) (1.95)

Em condutores, que apresentam altacondutividade,ofator de atenuação (1.91) fica muitoelevado e a amplitude do

campo cai rapidamente, mesmo parauma pequena distânciapercorrida. Pela lei de Ohm, explicitada em termos do

campo elétrico em (1.16), a densidade decorrente decresce na mesma proporção docampoelétrico. Portanto, a concen traçãode corrente é máximana superfície do meio e reduz-se exponencialmente coma distância para dentro do mate rial. A taxa deredução será maior com o aumento dafrequê ncia, por causa do crescimento do fator de atenuação. Ou seja, para o mesmo material, quanto maior for a frequê ncia, mais acorrente tende a seconcentrar nasuasuperfície ex-tema. O comportamento é conhecidocomo efeito pelicular 34,3x 36ou efeito Kelvif1'38 designação para homenagear o pesquisador queapresentouestudossobre o fenômenoemcondutoresde secção transversalcilíndrica.'9

E xemplo. Determinado meio apresenta £ = 2e0, p = e condutividade o = 2mS/m. Nele propaga-se uma onda eletromagnética que no plano z = 0 apresenta um campo elétrico de 200mV /m na frequê ncia de 5MHz. Encontrar o fator de atenuação e o fator de fase. Obter a descrição desse campo na sua forma instantânea, utilizando os valores calculados. Encontrar a distância percorrida pela onda para a amplitude de seu campo elétrico cair para a metade do valor inicial.

Soluçã o. A relação entre a condutividade e o produto da permissividade pela frequê ncia angular é:

e não se enquadra em nenhuma das condições que permitem o uso de equações aproximadas. Logo, devem ser empregadas as expres sões gerais ou (1.88) para obtenção do fator de fase e do fator de atenuação. Tem-se:

y = ^ícü|i(a + to) = (0,1732 + i 0,2279) m_1 (2)

Portanto, os valores procurados para o fator de atenuação, o fator de fase e o campo instantâneo são:

a = 0,1732 Np/m (3) P = 0,2279 rad/m (4)

a = 0,200e’0,1732 r" caj(107TO-0,2279^) (5)

em que fica destacada a variação da amplitude com a distância. Para chegar ao ponto em que a amplitude cai para a metade do valor inicial, deve-se efetuar as operações:

0,100 = 0,200e~°’1732 9 ₍₆₎ ---_{-0,1732 V 0,200}1 , f 0,100 a = 4 m _J! „ ₍₇₎

1.8 Características da onda eletromagnética

Fontesnaturaisde energia eletromagnética, Uma perturbação no campo eletromagnético semprese propaga no meio,

formando a onda eletromagnética, fato comprovado pela primeira vez em 1883 por Hertz.40 Como ocampo possui

energia, seu deslocamento indica transporte dessaenergia para todasas direções do espaço. Esse comportamento ondu latório éobservado em diversas situações naturais. Por exemplo, identificam-se ondas eletromagnéticas na emissão de energia por moléculas e átomos excitados, em amplas faixas defrequê ncias. O hidrogê nio submetido a temperaturas muitoaltasfaz os dois átomos de suas moléculas vibrarem, com emissão em frequê ncias da ordem de l,3xlOl4Hz.4‘ Com este mesmo princípio, encontram-se outras fontes de ondas eletromagnéticas. A energiadasestrelas em forma de luzvisível, de radiaçãoinfravermelha e de emissõesultravioleta, em frequê ncias de rádio eem micro-ondas sãoexem plos deondaseletromagnéticasoriundas de fontes naturais, emgeral atuando sob altas temperaturas.

(17)

Adescriçãopara o hidrogê niopode ser estendidapara partículascomcargas elétricas, comoelétronseíonsemagitação nos materiais. Essas emissões influem nos sistemas terrestres e espaciais como interferê ncias nas telecomunicações. Jáse detectoua chamada radiaçã o cósmica defundo (RCF),um sinal vindodouniverso,correspondenteàemissãodeumcorpo

negro na temperatura de 2,725 kelvins. Distribui-se em muitas frequê ncias, com um máximo em160,4GHz. Integram os

sinais vindos do espaçoque alcançam toda a Terra denominadosruídos galácticosou ruídos cósmicos. Seus efeitos mais significativos são entre 15MHze 100GHz,comamplitudesafetadaspelascaracterísticasdaatmosfera.

Embora a energiaeletromagnéticaseja mais perceptível quando originada em altas temperaturas, qualquer corpo em temperatura acimado zero absoluto ou zero kelvin é responsávelpor emissões,originadas na agitação térmicade seus elétrons, átomos e moléculas. Costuma-seidentificá-la como radiaçã o térmicaou irradiaçã o térmica e a ener gia total é proporcional à quarta potê nciadatemperatura absoluta do corpo. A conclusão é conhecida como lei de

Stefan-Boltzmann, apresentada em sua versão final em 1884.’2 43 Háondas eletromagnéticas em forma de ruídos

causadospor relâmpagos, descargas elétricasnoar e entrenuvens, ruídosdaagitaçãode cargas naatmosfera etc. As

descargas entre nuvens e o solo são capazes de produzir emissões em frequê ncias muito elevadas, incluindo os

raios Xf* forma deirradiação descoberta em 1895 por Roentgen.45Osraios deRoentgensãooriundosdevibrações

de elétrons internos dos átomos e foramidentificadas como ondaseletromagnéticas em 1912porvonLaue.46Exis

tem aindaosraios gama, criados espontaneamente em núcleos deátomosradioativos, comonourânio, no rádio etc.

Possuem grandes energias etê m aplicaçõesna indústria, na ciê ncia, na medicina etc.

Fontes artificiais deenergiaeletromagnética. A onda eletromagnética podeser emitida por uma antena, o dispositivo mais comum para transmissões de sinais detelevisão, de rádio e de outrascomunicações sem fio. A invenção de mode los melhores adaptados a certas exigê ncias e condições contribuiu para o desenvolvimento das radiocomunicações, em que as mensagenspodem ser enviadas a longas distâncias, sem necessidade de um meio materialentreoponto de emis são e o derecepção. Nessassituações,avibração do campoeletromagnético pode ser causada por uma carga elétricaem aceleração,como ocorre emumacorrentevariávelnotempo. Conformeaaplicação,a frequê ncia de trabalho e as carac terísticas desejadas para a emissão e a recepção, desenvolveram-se diferentes projetos e modelos de antenas. Um tipo bem simpleséconstituído por um condutor comumacorrente variável no tempo.

A emissão eletromagnética pode ser estabelecida, também, a partir detransições de elétrons entreníveis de energia dos átomos. Quando elétronspassamde um estado maisalto para um nível inferiorde energia, adiferençamanifesta-se como onda eletromagnética, em geral de elevadas frequê ncias,como nasfaixasdeinfravermelho e de luz visível. O processo é explorado na fabricação de fontes ópticas controladas,como os váriosmodelos de laserese de diodos emis soresde luz.47'48 Emissões em frequê ncias mais elevadas, como asirradiaçõesdealtaenergia, são produzidastambém de forma artificial por diferentes processos. Os raios X mencionados surgem também do impacto de elétrons de altas velocidades num anteparometálico,originandoa irradiaçã o de enfreamento.

Frente de onda. Examinando (1.95), verifica-sequeafase totalda ondaeletromagnéticaédeterminada por

vP(r,Z) =(OZ-Prp (1.96)

Define-se afrente de ondaou superfície equifásica como sendo olugar geométrico dospontos em que se tem a fase da ondaconstante, em determinado instante. No meio ilimitado, essa superfície tem formato deumplano e esse campo eletromagnético em movimento é chamadode ondaplana. (Figura 1.13).Nota-se quea frente de onda,por caracterizar

uma condiçãodefaseconstante,édeterminadaem(1.96) por

KP(r,/)=íüZ-Prp= K (1.97)

sendo K umaconstantecorrespondente ao ânguloquedefinea frentede onda especificada naposiçãor . Percebe-sequeà medida que o tempo passa, a posiçãorp modifica-se, para a fase permanecer constante. Portanto, a onda desloca-se no espaçoe essedeslocamento do camposignificaqueestáagindocomouma onda caminhante ou onda progressiva.

Figura 1.13. Frente de onda e direçã o de propagaçã o em um meio ilimitado.

Onda eletromagnética transversal. De acordo com as análises realizadas, o campo elétrico e ocampomagnético da onda obedecem à soluçãodada cm (1.82). Quando esses campos forem substituídos em (1.69) e (1.70), asoperações matemáticasenvolvendo os rotacionais levam aos resultados:

yx/7= -(o + í(oe)£ (1.98) yxE = iwpH (1-99)

emqueadireção do vetor depropagaçãocorrespondeà direção de deslocamento da onda eletromagnética.