Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H) - Profª Silvana Heidemann Rocha Estudante: GABARITO Código: Semestre Letivo: - Data: / /

Ministério da Educação

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Campus Curitiba

Diretoria de Graduação e Educação Profissional Departamento Acadêmico de Estatística

Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H) - Profª Silvana Heidemann Rocha

Estudante: GABARITO Código:

Semestre Letivo: - Data: / / TRABALHO 2, EM EQUIPE – Valor: 0 a 7,0

Assunto: Principais Distribuições Probabilísticas: Binomial, Hipergeométrica, Normal Tipo de Avaliação: Trabalho Acadêmico

Realização da Avaliação: À distância, por meios remotos, devido à pandemia de COVID-19

Critérios de correção

• As equipes devem ter no máximo 4 estudantes;

• A capa, a folha de rosto e eventuais citações e referências devem estar conformes as normas de apresentação de trabalho acadêmico (normas da ABNT);

• Se a questão tiver cálculos, eles devem estar explicitados e apresentados de forma organizada, logo após a respectiva fórmula, sob pena de anulação da questão;

• Os cálculos podem ser resolvidos manuscritamente, bem como todo o trabalho;

• A entrega do trabalho resolvido deverá ser por e-mail, num único arquivo, em PDF. Se for para entregar de outra maneira, o(a) estudante deverá entrar em contato com a professora Silvana por meio do WhatsApp (41) 99974-1216, antes da entrega;

• Para cada questão, a nota será atribuída da seguinte maneira: montagem inicial adequada (1/3 do valor da questão), desenvolvimento em caminho adequado (1/3 do valor da questão) e conclusão adequada (1/3 do valor da questão). A montagem inicial errada invalida as demais etapas e a respectiva questão receberá nota zero.

01) Se um produto fabricado não atender as especificações de projeto ele é denominado "produto não-conforme". Considere um produto cuja probabilidade de ele ser não-conforme é igual a 8%. São selecionadas ao acaso 10 unidades desse produto. Qual a probabilidade de no máximo duas serem não-conformes?

a) Identifique a variável aleatória X nesse experimento;

X: Número de produtos não-conformes numa amostra aleatória de n=10 produtos

b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros.

X~Binomial(n=10, p=0,08)

c) Determine a função de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;

𝑃(𝑋 = 𝑥) =

𝑛!

𝑥! (𝑛 − 𝑥)!

𝑝

𝑥

_{(1 − 𝑝)}

𝑛−𝑥

_,

_{𝑥 = 0, 1, 2, … , 𝑛}

𝑃(𝑋 = 𝑥) =

10!

𝑥! (10 − 𝑥)!

0,08

𝑥

_0,92

10−𝑥

_,

_{𝑥 = 0, 1, 2, … , 10}

X P(X=x) 0 0,434388454224 1 0,377729090629 2 0,147807035464 3 0,034274095180 4 0,005215623180 5 0,000544238940 6 0,000039437604 7 0,000001959633 8 0,000000063901 9 0,000000001235 10 0,000000000011 Total 1

Gráfico 1 – Função de probabilidade do número de produtos não-conformes, numa amostra aleatória de 10 produtos, sendo 0,08 a probabilidade de um produto ser não-conforme

Fonte: Autoria própria. d) Responda a questão do enunciado;

P(X≤ 2) ≅ 0,434 + 0,378 + 0,148 = 0,96 e) Determine a esperança matemática e a variância de X.

E(X) = np = 10 ∙ 0,08 = 0,8 produtos não-conformes na amostra, em média V(X) = np(1-p) = 10 ∙ 0,08 ∙ 0,92 = 0,736 produtos não-conformes2 DP(X) = 0,858 produtos não-conformes 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450 0,500 0 2 4 6 8 10 12 Pro b ab ili d ad e

02) Num lote com 50 peças, há 12 defeituosas. Em oito peças extraídas ao acaso e com reposição, qual a probabilidade de se encontrar pelo menos uma peça defeituosa?

a) Identifique a variável aleatória X nesse experimento;

b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros.

c) Determine a função de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica; d) Responda a questão do enunciado.

e) Determine a esperança matemática e a variância de X.

03) Num lote com 50 peças, há 12 defeituosas. Em oito peças extraídas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de se encontrar pelo menos uma peça defeituosa?

a) Identifique a variável aleatória X nesse experimento;

b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros.

c) Determine a função de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica; d) Responda a questão do enunciado.

e) Determine a esperança matemática e a variância de X.

04) Se um conjunto de valores tem distribuição Normal, qual a porcentagem de valores que distam da média:

a) um desvio-padrão? b) dois desvios-padrões? c) três desvios-padrões? Solução:

a) P(-1 < Z < 1) = 0,6827 b) P(-2 < Z < 2) = 0,9545 c) P(-3 < Z < 3) = 0,9973 05) Um fabricante alega que as baterias para automóveis produzidas por ele têm duração média de

950 dias, com um desvio-padrão de 65 dias e segue distribuição Normal. Retirando-se, ao acaso, uma bateria de seu estoque, qual a probabilidade de que ela dure entre 850 e 1000 dias?

a) Identifique a variável aleatória X nesse experimento;

b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros.

c) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;

e) Determine a esperança matemática e a variância de X.

06) A vida útil de certo aparelho de televisão segue uma distribuição Normal com média de oito anos e desvio-padrão de 1,8 ano. O fabricante substitui os aparelhos que acusam defeito de fabricação dentro do prazo de garantia. Se ele deseja substituir no máximo 5% dos aparelhos vendidos por apresentarem defeitos de fabricação, qual deve ser o prazo de garantia?

a) Identifique a variável aleatória X nesse experimento;

X: Tempo de duração de um aparelho de televisão, em anos

b) Indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X, com os respectivos parâmetros.

X ~ N(𝜇 = 8, 𝜎

2

= 1,8

2

)

c) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica;

𝑓

_𝑋

(𝑥) =

1

𝜎

√

2𝜋

𝑒

−1₂(𝑥−_𝜎𝜇) 2

, 𝑥 ∈ 𝑅, 𝜇 ∈ 𝑅 e 𝜎 ∈ 𝑅

+∗

𝑓

_𝑋

(𝑥) =

1

1,8

√

2𝜋

𝑒

−1₂(𝑥−8_1,8 ) 2

, 𝑥 ∈ 𝑅

Gráfico 2 – Função densidade de probabilidade do tempo de duração, em anos, de um aparelho de televisão, cujo tempo de duração tem distribuição Normal com média 8 anos e desvio-padrão 1,8 anos Fonte: Autoria própria.

d) Responda a questão do enunciado. Fazendo

𝑧 =

𝑥−8

_1,8 , tem-se:

P(X < garantia) = 𝑃(𝑍 < 𝑧₁) =0,05 ⇒

𝑧

₁

= −1,64

pela tabela de integral da distribuição normal-padrão

Comandos do software estatístico R: curve(dnorm(x,mean=0,sd=1), from=-5, to=5)

polygon(x=c(-5,seq(-5,-1.64, l=20),-1.64), y=c(0,dnorm(seq(-5,-1.64, l=20)),0), col="gray")

Fazendo

−1,64 =

𝑥−8

_1,8

,

encontra-se

𝑥 = 5,048

anos. Logo, o prazo de garantia deve ser de no máximo 5 anos.

e) Determine a esperança matemática e a variância de X.